高考数学模拟复习试卷试题模拟卷150 3

高考模拟复习试卷试题模拟卷

【考情解读】

1.了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程和特点；

2.了解反证法的思考过程和特点． 【重点知识梳理】 1．直接证明

内容

综合法

分析法

定义

利用已知条件和某些数学定义、公

理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立

从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直到最后把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止

实质 由因导果

执果索因 框图表示

P ⇒Q1→Q1⇒Q2→…→Qn ⇒Q

Q ⇐P1→P1⇐P2

→…→

得到一个明显

成立的条件

文字语言 因为……所以……

或由……得……

要证……只需证…… 即证……

2.间接证明

间接证明是不同于直接证明的又一类证明方法，反证法是一种常用的间接证明方法．

(1)反证法的定义：假设原命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明原命题成立的证明方法．

(2)用反证法证明的一般步骤：①反设——假设命题的结论不成立；②归谬——根据假设进行推理，直到推出矛盾为止；③结论——断言假设不成立，从而肯定原命题的结论成立．

【高频考点突破】 考点一 综合法的应用

例1 已知数列{an}满足a1＝12，且an ＋1＝an

3an ＋1(n ∈N*)．

(1)证明数列{1

an }是等差数列，并求数列{an}的通项公式；

(2)设bn ＝anan ＋1(n ∈N*)，数列{bn}的前n 项和记为Tn ，证明：Tn<1

6.

【特别提醒】(1)综合法是“由因导果”的证明方法，它是一种从已知到未知(从题设到结论)的逻辑推理

方法，即从题设中的已知条件或已证的真实判断(命题)出发，经过一系列中间推理，最后导出所要求证结论的真实性．

(2)综合法的逻辑依据是三段论式的演绎推理．

【变式探究】(·课标全国Ⅱ)设a 、b 、c 均为正数，且a ＋b ＋c ＝1，证明： (1)ab ＋bc ＋ac≤13；(2)a2b ＋b2c ＋c2a ≥1. 考点二 分析法的应用 例2、已知a>0，求证a2＋1a2－2≥a ＋1

a －2.

【特别提醒】

(1)逆向思考是用分析法证题的主要思想，通过反推，逐步寻找使结论成立的充分条件．正确把握转化方向是使问题顺利获解的关键．

(2)证明较复杂的问题时，可以采用两头凑的办法，即通过分析法找出某个与结论等价(或充分)的中间结论，然后通过综合法证明这个中间结论，从而使原命题得证．

【变式探究】 已知a ，b ∈(0，＋∞)，求证：(a3＋b3)13<(a2＋b2)1

2. 考点三 反证法的应用

例3 已知数列{an}的前n 项和为Sn ，且满足an ＋Sn ＝2. (1)求数列{an}的通项公式；

(2)求证：数列{an}中不存在三项按原来顺序成等差数列． 【特别提醒】

(1)当一个命题的结论是以“至多”“至少”“唯一”或以否定形式出现时，可用反证法来证，反证法关键是在正确的推理下得出矛盾，矛盾可以是与已知条件矛盾，与假设矛盾，与定义、公理、定理矛盾，与事实矛盾等．

(2)用反证法证明不等式要把握三点：①必须否定结论；②必须从否定结论进行推理；③推导出的矛盾必须是明显的．

【变式探究】 等差数列{an}的前n 项和为Sn ，a1＝1＋2，S3＝9＋3 2. (1)求数列{an}的通项an 与前n 项和Sn ；

(2)设bn ＝Sn

n (n ∈N*)，求证：数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列． 考点四、反证法在证明题中的应用

例4、直线y ＝kx ＋m(m≠0)与椭圆W ：x2

4＋y2＝1相交于A 、C 两点，O 是坐标原点． (1)当点B 的坐标为(0,1)，且四边形OABC 为菱形时，求AC 的长；

(2)当点B 在W 上且不是W 的顶点时，证明：四边形OABC 不可能为菱形． 【方法与技巧】

1．分析法的特点：从未知看需知，逐步靠拢已知．

2．综合法的特点：从已知看可知，逐步推出未知．

3．分析法和综合法各有优缺点．分析法思考起来比较自然，容易寻找到解题的思路和方法，缺点是思路逆行，叙述较繁；综合法从条件推出结论，较简捷地解决问题，但不便于思考．实际证题时常常两法兼用，先用分析法探索证明途径，然后再用综合法叙述出来．

失误与防范

1．用分析法证明时，要注意书写格式的规范性，常常用“要证(欲证)……”“即证……”“只需证……”等，逐步分析，直至一个明显成立的结论．

2．利用反证法证明数学问题时，要假设结论错误，并用假设的命题进行推理，如果没有用假设命题推理而推出矛盾结果，其推理过程是错误的.

【真题感悟】

1.【高考陕西，文16】观察下列等式：

1－11 22 =

1－11111 23434 +-=+

1－11111111 23456456 +-+-=++

…………

据此规律，第n个等式可为______________________.

2．（·山东卷）用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x2＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是()

A. 方程x2＋ax＋b＝0没有实根

B. 方程x2＋ax＋b＝0至多有一个实根

C. 方程x2＋ax＋b＝0至多有两个实根

D. 方程x2＋ax＋b＝0恰好有两个实根

3．（·北京卷）已知{an}是由非负整数组成的无穷数列，该数列前n项的最大值记为An，第n项

之后各项an＋1，an＋2，…的最小值记为Bn，dn＝An－Bn.

(1)若{an}为2，1，4，3，2，1，4，3，…，是一个周期为4的数列(即对任意n∈N*，an＋4＝an)，写出d1，d2，d3，d4的值；

(2)设d是非负整数，证明：dn＝－d(n＝1，2，3，…)的充分必要条件为{an}是公差为d的等差数列；

(3)证明：若a1＝2，dn＝1(n＝1，2，3，…)，则{an}的项只能是1或者2，且有无穷多项为1.