第六章 结构位移计算

kFS FSP ds GA
梁和刚架（受弯杆件）的位移计算公式为：
ΔKP
桁架（只有轴力）的位移计算公式为：
MM Pds EI
ΔKP
FN FNPds EA
FN FNPl EA
组合结构（受弯杆件+链杆）的位移计算公式为：
ΔKP
MM Pds FN FNPl
EI
EA
第6章
例6-1 试求图a所示刚架A点的竖向位移△Ay。各杆的材料相
三、计算位移的有关假定
1、结构材料服从“虎克定律”，即应力、应变成线形关系。
2、小变形假设。变形前后荷载作用位置不变。
3、结构各部分之间为理想联结，不计摩擦阻力。
4、当杆件同时承受轴力与横向力作用时， 不考虑由于杆 弯曲所引起的杆端轴力对弯矩及弯曲变形的影响。
P
A
B
P
满足以上要求的体系为“线变形体系”。因位移与荷载 为线形关系，故求位移时可用叠加原理。
结构力学
STRUCTURE MECHANICS
北京建筑工程学院专业基础部
第6章
第6 章 结构位移计算
6.1 概述
变形：结构形状的改变。 位移：结构各处位置的移动。
线段AA’—A点的线位移，计为ΔA。
截面A转动的角度—截面A的角位移， 计为φA。
ΔA—可用水平分量ΔAx和竖向分量 ΔAy 表示。
第6章
第6章
图a所示结构由于荷载、温度变化及支座移动引起了变形，
求K点沿任一指定方向k—k的位移△K。
虚设力状态如图b，使力状态的外力能在位移状态的
△K 上作虚功。
第6章
外力虚功为
设 FK=1 W FK ΔK FR1c1FR2c2 FR3c3 1 ΔK FRc
变形虚功为
WV FNdu Md FSds
A —截面A的角位移（顺时针方向） B —截面B的角位移（逆时针方向） AB A B —截面A、B的相对角位移
ΔC —C点水平线位移（向右） ΔD —D点水平线位移（向左） ΔCD ΔC ΔD —C、D两点的水平相对线位移
第6章
一、产生位移的原因：
（1）荷载 （2）温度变化、材料胀缩 （3）支座沉降、制造误差
由虚功原理 W WV
ΔK FRc FNdu Md FSds
单位荷载法 平面杆件结构位移计算一般公式
第6章
图a为求A点水平位移时的虚拟状态 图b为求A截面转角时的虚拟状态 图c为求A、B两点在其连线上相对线位移时的虚拟状态 图d为求A、B两个截面相对转角时的虚拟状态
广义位移： 线位移、角位移、相对线位移、相对角位移、某一组位移的统称。 广义力： 集中力、力偶、一对集中力、一对力偶、某一力系的统称。
ΔAy
5 8
同，截面的I、A均为常数。
解：（1）虚拟状态如图b，各杆内力为
AB段： M x , FN 0, FS 1 BC段： M l , FN 1, FS 0
（2）实际状态中，各杆内力为
AB段：
MP
qx2 2
,
FNP 0,
FSP qx
BC段：
MP
ql 2 2
,
FNP ql,
FSP 0
（3）代入位移计算公式
第6章
四、功、实功和虚功
功：力对物体作用的累计效果的度量 功=力×力作用点沿力方向上的位移
实功：力在自身所产生的位移上所作的功
P W P
虚功：力在非自身所产生的位移上所作的功
tC
P t
W Pt
第6章
M
M
M
A
B
P
A
B P
W P P---广义力; ---广义位移
第6章
6.2 变形体虚功原理和单位荷载法
ΔAy
5 8
ql 4 EI
ql 2 EA
k ql2 2GA
5 8
ql 4 EI
(1
8 5
I Al 2
4 5
kEI GAl 2
)
第6章
（4）讨论
ΔAy
5 8
ql 4 EI
(1
8 5
I Al 2
4 5
kEI GAl 2
)
上式中：第一项为弯矩的影响，第二、三项分别为轴力、剪力的影响。
设：杆件截面为矩形，宽度为b、高度为h，A=bh，I=bh3/12，k=6/5
WV
FN1du2
FS1dv2
M1d2
第6章
对整个结构有：
WV dWV FNdu Md FSds
虚功方程为：
W WV
W FNdu Md FSds
虚功原理应用： 虚位移原理——虚设位移状态（可求实际力状态的未知力） 虚力原理——虚设力状态（可求实际位移状态的位移）
一、变形体系的虚功原理
变形体系处于平衡的必要和充分条件是，对于任何虚位移， 外力所做虚功总和等于各微段上的内力在其变形上所作的虚功 总和，简单地说，外力虚功等于变形虚功。
外力虚功W：整个结构所有外力（荷载与支座反力）在其 相应的虚位移上所作虚功的总和。
变形虚功WV：所有微段两侧截面上的内力在微段的变形上 所作虚功的总和，也称为内力虚功或虚应变能。
第6章
求图a所示桁架AB杆的角位移。
在位移微小的前提下，桁架杆件的 角位移=其两端在垂直于杆轴方向上的 相对线位移除以杆长，如图b。
AB杆的角位移
AB
ΔA
d
ΔB
荷载所做的虚功
1 d
ΔA
1 d
ΔB
ΔA
d
ΔB
AB
第6章
计算对象：线弹性结构，位移与荷载成正比，应力与应变符合
胡克定律。
求图a所示结构K点的竖向位
移△KP。位移计算公式为
ΔKP
FNduP
MdP FS Pds
虚拟状态如图b所示。由材料力学
dP
M Pds EI
Pds
k FSP ds GA
duP
FNPds EA
k—剪切变形的 改正系数
第6章
平面杆件结构在荷载作用下的位移计算公式为：
ΔKP
MM Pds EI
FN FNPds EA
第6章
M1
FN1 FS1
MA
FN A FS y
M1+dM1 FN1+dFN1
FS1+dFS1
v
* A
m( x)
A
* A
u*A
y
q( x) p( x)
MB B FN s
FS
力状态
v u
s
v B
* B
* B
u*B
位移状态 ds
ds du ds
v2 ds (dv2 ds)
ds
d ds
略去高阶微量，微段上各力在其变形上所作虚功为：
c
t1
c ຫໍສະໝຸດ Baidu2 t1
绝对位移
AV
BV
相对位移
广义位移
第64章
二、计算结构位移的目的
1、刚度验算：电动吊车梁跨中挠度 fmax≤l/600。
2、计算超静定结构必须考虑位移条件。
3、施工技术的需要。
P
P
P
P
P
P/2
P/2
c
c CV
4、结构的动力计算和稳定分析中，都常需计算结 构的位移。
第64章