第2章 收益率的计算

25
2.4.1 独立同分布正态收益率模型
• 对数收益率的另一个优点：时间加总的正 态性。
r[ t ,t k ] rt 1 rt 2 ,..., rt k
• 由于服从独立的正态分布变量之和，仍然服从正 态分布，即单期收益率的正态性暗含多期收益率 的正态性，可以方便研究，故“独立同分布的正 态对数收益率”成为金融学中最简单、用途最广 的假设。
– 等权重（Equal Weighted）资产组合的收益率 – 价值权重（Value Weighted）资产组合的收益率
• 收益率的证券加总，又称为横截面求和 • 收益率的时间加总，又称为纵向求和
15
2.3.1 等权重组合的收益率加总
• 等权重资产组合中，每个资产的投资额都 是相等的，都是总投资额的1/N，因此，整 个组合的收益率为
2.4 收益的不确定性
•由于证券投资的不确定性，在t-1时刻，投资 者对t时刻的股价st 是不知道的，简言之，股票 价格是随机变量，显然收益率 Rt , rt也是随机变 量。 •为了表示证券价格的不确定性，一般采用收 益率作为随机变量来表示，如
Rt
iid N ( , 2 )
21
2.4.1 独立同分布正态收益率模型
• 简单收益率的另外一个缺陷，即“时间加 总后的算术收益率其分布性质的复杂性”
R
若Rt i
BH [ t ,t k ]
2
(1 Rt i ) 1
i 1
BH [ t ,t k ]
k
iid N ( , ), i 1,..., k , R
的分布形式
不得而知！
24
2.4.1 独立同分布正态收益率模型
R
DA [ t ,t k ]
Rt i
i 1
12
k
Data = excelget(„F:\金融工程：理论与实证方法 \szzs.xls', '999999', 'A1:B81'); price=cell2mat(Data(:,2)); return_data=price2ret(price); hpy_return=sum(return_data); hpy_return_1=log(price(end)./price(1)); return_data_1=price2ret(price,[],'Periodic'); da_return=sum(return_data_1); return_result=[price(2:end) 1000*return_data 1000*return_data_1] total_return=[hpy_return da_return]
对数收益率的应用
• 线性法则：收益率一般都是年化收益率， 若年化的收益率要表示为月、周、天的收 益率，则采用线性计算，称为“线性法则 ”。 • 平方根法则：年化的标准差要换算为月、 周、天的标准差，需要采用“平方根法则 ”。 • 以上这一切成立的条件是：对数收益率服 从独立同分布假设。
31
文件名：stock_mean_std Data = excelget(„F:\ 金 融 工 程 ： 理 论 与 实 证 方 法 \szzs_daily.xls', '999999', 'A1:B1680'); • price=cell2mat(Data(:,2)); • return_data=price2ret(price); • figure • subplot(2,1,1);plot(price) • title('szzs_daily') • subplot(2,1,2);plot(return_data) • title('log return') • figure • qqplot(return_data); • daily_return=mean(return_data) • daily_std=std(return_data) • annual_return=252*daily_return • annual_std=252^0.5*daily_std • return_skewness =skewness(return_data) • return_kurtosis =kurtosis(return_data) • [h_jbtest p_jbtest]= jbtest(return_data,0.05) • [h_kstest p_kstest ksstat] = kstest(return_data) 32
• 对于所有的t
rt ln(1 Rt ) iid N ( , )
2
• 则有
r[ t ,t k ] rt 1 rt 2 ,..., rt k N (k , k )
2
ln( x) - k P{r[ t ,t k ] x} { } k
30
ln(1 0.05) 0.0488 ,ln(1 0.05) 0.0513
5
2.2 收益率的时间加总
• 定义：对于单期的收益率，记为
st st 1 Rt st 1
• 定义：对于多期的收益率，即[t,t+k]之间的 收益率，记为 R[ t ,t k ] ，并且有
R[ t ,t 1] Rt 1
28
算例
• 在上述假设条件下，求该股票两期的算术 总收益率小于0.9的概率。 • 由正态分布的性质可知，两期对数收益率 的和仍服从正态分布
r1 r2 ~ N (0, 2(0.1) )
2
ln(0.9) { } (0.745) 0.2281 ( 2)(0.1)
29
2.4.2 多期对数正态收益率
st 1 Rt st 1 为总收益率。
3
2.1 价格与收益率
• 与简单收益率对应的是连续复利收益率， 又称为对数收益率
st rt ln ln st ln st 1 st 1
• 显然成立
rt ln(1 Rt )
4
• 当Rt很小时，对数收益率可以近似等于简 单收益率 rt ln(1 Rt ) Rt
金融工程学：理论分析与实证方法
第2章 收益率的计算方法
林辉 博士 南京大学金融学教授，博士生导师
1
本章大纲
• 单个资产的简单收益率和对数收益率 • 收益率的证券加总与时间加总
– 买入-持有策略下的时间加总 – 动态调整策略下的时间加总 – 等权重组合 – 价值权重组合
2
2.1 价格与收益率
假定某资产在时刻t的价格是St ，若忽略红利 分配，则t时刻资产（例如股票）的简单收益 率为 st st 1 st Rt 1 st 1 st 1 并且称
• 算术收益率的缺陷，若
Rt
iid N ( , )
2
st st 1 st • 则隐含着 Rt 1 (, ) st 1 st 1
• 而由于股价的非负约束（有限责任）
st st 1 st Rt 1 [1, ) st 1 st 1
23
2.4.1 独立同分布正态收益率模型
8
案例：金额加权收益率
9
2.2.1 买入并持有策略下的时间加总
• 若以对数收益率来计算买入并持有策略下 的收益率 st k r[ t ,t k ] ln( ) st
st 1 st 2 st k ln( ) ln( ),..., ln( ) st st 1 st k 1 rt 1 rt 2 ,..., rt k rt i
i 1
10
k
2.2.2 动态调整策略的收益率
• 动态调整策略是指在每期都调整投资组合 ，即它是积极投资策略。 • 最简单的动态调整策略：等投资额动态调 整策略。
11
2.2.2 动态调整策略的收益率
• 动态投资策略的含义：投资者在每期的期 初投入相等金额（如1元），每期期末不管 盈亏，在剔除收益或补偿亏损后，将投资 额重新调整到相等金额，直到投资期结束 ，显然，在此策略下，简单收益率多期的 时间加总为
Rew,t
1 N Ri ,t N i1
由于股票的价格经常变动，等权重组合隐含着股 票组合需要频繁调整以保持权重固定。 关键：不管公司市值如何，其投资额都是相等的。
16
2.3.1 等权重组合的收益率加总
• 假设总投资额1元，则等权重组合意味着期 初时刻每只股票的投资额都是 1/N元，则期 末时刻该组合的总收益为
R
BH [ t ,t k ]
(1 Rt i ) 1
i 1
7
k
2.2.1 买入并持有策略下的时间加总
R
BH [ t ,t k ]
(1 Rt 1 ) 1 Rt i
i 1 i 1
k
k
显然，买入并持有策略基于多个时期的复利 计算，而非单利计算。 问题：上述的计算公式为什么表达的是买入 并持有的策略呢？如果中间有追加投资能否 这样计算呢？
1 1 N (1 Ri ,t ) 1 Ri ,t N i 1 i 1 N
N
1 N 因此，等权重组合的收益率为 Ri ,t N i 1
17
2.3.1 等权重组合的收益率加总
• 问题：在现实中，等权重的投资策略运用 于何种市场环境？
– 牛市 – 熊市 – 猴市
18
2.3.2 价值权重组合的收益率加总
• 价值权重资产组合的收益率：每个公司的 市值决定其的投资比重
wi
Vi
V j
j 1
N
Rvw,t wi Ri ,t
i 1
N
19
两种组合收益率算法的区别
• 价值权重收益率和等权重收益率的区 别是：