(完整)相似三角形经典模型总结,推荐文档
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四边形 DEFG 即为所求作的正方形 问题：⑴证明上述所作的四边形 DEFG 为正方形 ⑵在 ABC 中，如果 BC 6 3 ， ABC 45 , BAC 75 ,求上述正方形 DEFG 的边长
A
G
F
G' F'
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经典模型
相似三角形经典模型总结
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∽ ∽ 180°
∽∽∽ ∽ ∽ 180°
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【精选例题】
“平行型”
【例 1】 如图， EE1∥F∥F1 MM1 ，若 AE EF FM MB ，
【例 6】 已知： D ， E 为三角形 ABC 中 AB 、 BC 边上的点，连接 DE 并延长交 AC 的延长线于点 F ， BD : DE AB : AC 求证： CEF 为等腰三角形
A
C D
E
B
F
【例 7】 如图，已知 AB / /EF / /CD ，若 AB a ， CD b ， EF c ，求证： 1 1 1 . c ab
A
D
O
B
C
2.当 AOD ，以点 O 为旋转中心，逆时针旋转 度（ 0 90 ），问上面的结论是否成立，请说明
理由
D A
O
B
C
【例 14】 （全国初中数学联赛武汉选拔赛试题）如图，四边形 ABCD 和 BEFG 均为正方形，求 AG : DF : CE _________.
A
D
A
G
G
F
F
B E
S : S : S : S 则 AEE1
四边形E四E边1F1形F 四边形
FF1M1M
MM1CB _________
A
E F M B
E1 F1 M1 C
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【例 2】 如图， AD∥E∥F∥ MN BC ，若 AD 9 ， BC 18 ， AE : EM : MB 2 : 3 : 4 ,则 EF _____ ， MN _____
C
B
E
“斜交型”
【例 15】 如图， ABC 中， D 在 AB 上，且 DE∥BC 交 AC 于 E ， F 在 AD 上，且 AD2 AF AB ，求证： AEF : ACD
F D
A E
B
C
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【例 16】 如图，四边形 ABCD 的对角线相交于点 O ， BAC CDB ,求证： DAC CBD
A
D
E
Fwk.baidu.com
M
N
B
C
【例 3】 已知， P 为平行四边形 ABCD 对角线， AC 上一点，过点 P 的直线与 AD ， BC ， CD 的 延长线， AB 的延长线分别相交于点 E ， F ， G ， H 求证： PE PH PF PG
G
D
C
E
P
F
A
B
H
【例 4】 已知：在 ABC 中， D 为 AB 中点， E 为 AC 上一点，且 AE 2 , BE 、 CD 相交于点 F ， EC
A
D O
B
C
【例 17】 如图，设 AB BC CA ，则 1 2 吗？ AD DE EA
A
1 B
E D2
C
【例 18】 在锐角三角形 ABC 中， AD ， CE 分别为 BC ， AB 边上的高， ABC 和 BDE 的面 积分别等于18 和 2 ， DE 2 ，求 AC 边上的高
D E
P
Q
A
C
B
【例 12】 阅读并解答问题.
在给定的锐角三角形 ABC 中，求作一个正方形 DEFG ，使 D ， E 落在 BC 边上， F ， G 分别落在 AC , AB 边上，作法如下： 第一步：画一个有三个顶点落在 ABC 两边上的正方形 D ' E ' F 'G ' 如图， 第二步：连接 BF ' 并延长交 AC 于点 F 第三步：过 F 点作 FE BC ,垂足为点 E 第四步：过 F 点作 FG∥BC 交 AB 于点 G 第五步：过 G 点作 GD BC ，垂足为点 D
B
C
AEF∽ ∽ ∽ AE‘F’
E E'
F' F
B
C
AEF∽ ∽ ∽ AE‘F’
C ， E ' ， F ' 共线
E'
A
E F'
F
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A
E
F' F
B
C
AEF∽ ∽ ∽ AE‘F’
B
C
AEF∽ ∽ ∽ AE‘F’
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【例 13】 已知梯形 ABCD ， AD∥BC ，对角线 AC 、 BD 互相垂直，则 1.证明： AD2 BC 2 AB2 CD2
BF
求 的值
EF
A
D FE
B
C
【例 5】 已知：在 ABC 中，AB=3AD，延长 BC 到 F ,使 CF 1 BC ,连接 FD 交 AC 于点 E 3
求证：① DE EF ② AE 2CE
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A D
E B
CF
“平行旋转型”
图形梳理：
A
E E'
F' F
B
C
AEF∽ ∽ ∽ AE‘F’
F' A
E F
B
C
AEF∽ ∽ ∽ AE‘F’
B D' E' D
EC
E'
F' A
E
F
B
C
AEF∽ ∽ ∽ AE‘F’
A E'
E F' F
B
C
AEF∽ ∽ ∽ AE‘F’
特殊情况： B 、 E ' 、 F ' 共线
A
A
E E'
F' F
C A
E
BF
D
【例 8】 如图，找出 SABD 、 SBED 、 SBCD 之间的关系，并证明你的结论.
C A
E
BF
D
【例 9】 如图，四边形 ABCD 中， B D 90 ， M 是 AC 上一点， ME AD 于点 E ， MF BC 于点 F 求证： MF ME 1 AB CD
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D E
A
M C
F
B
【例 10】 如图，在 ABC 中， D 是 AC 边的中点，过 D 作直线 EF 交 AB 于 E ,交 BC 的延长线 于F 求证： AE BF BE CF
A
E D
B
C
F
【例 11】 如图，在线段 AB 上，取一点 C ，以 AC ， CB 为底在 AB 同侧作两个顶角相等的等腰 三角形 ADC 和 CEB ， AE 交 CD 于点 P ， BD 交 CE 于点 Q , 求证： CP CQ
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四边形 DEFG 即为所求作的正方形 问题：⑴证明上述所作的四边形 DEFG 为正方形 ⑵在 ABC 中，如果 BC 6 3 ， ABC 45 , BAC 75 ,求上述正方形 DEFG 的边长
A
G
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经典模型
相似三角形经典模型总结
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【精选例题】
“平行型”
【例 1】 如图， EE1∥F∥F1 MM1 ，若 AE EF FM MB ，
【例 6】 已知： D ， E 为三角形 ABC 中 AB 、 BC 边上的点，连接 DE 并延长交 AC 的延长线于点 F ， BD : DE AB : AC 求证： CEF 为等腰三角形
A
C D
E
B
F
【例 7】 如图，已知 AB / /EF / /CD ，若 AB a ， CD b ， EF c ，求证： 1 1 1 . c ab
A
D
O
B
C
2.当 AOD ，以点 O 为旋转中心，逆时针旋转 度（ 0 90 ），问上面的结论是否成立，请说明
理由
D A
O
B
C
【例 14】 （全国初中数学联赛武汉选拔赛试题）如图，四边形 ABCD 和 BEFG 均为正方形，求 AG : DF : CE _________.
A
D
A
G
G
F
F
B E
S : S : S : S 则 AEE1
四边形E四E边1F1形F 四边形
FF1M1M
MM1CB _________
A
E F M B
E1 F1 M1 C
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【例 2】 如图， AD∥E∥F∥ MN BC ，若 AD 9 ， BC 18 ， AE : EM : MB 2 : 3 : 4 ,则 EF _____ ， MN _____
C
B
E
“斜交型”
【例 15】 如图， ABC 中， D 在 AB 上，且 DE∥BC 交 AC 于 E ， F 在 AD 上，且 AD2 AF AB ，求证： AEF : ACD
F D
A E
B
C
6
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【例 16】 如图，四边形 ABCD 的对角线相交于点 O ， BAC CDB ,求证： DAC CBD
A
D
E
Fwk.baidu.com
M
N
B
C
【例 3】 已知， P 为平行四边形 ABCD 对角线， AC 上一点，过点 P 的直线与 AD ， BC ， CD 的 延长线， AB 的延长线分别相交于点 E ， F ， G ， H 求证： PE PH PF PG
G
D
C
E
P
F
A
B
H
【例 4】 已知：在 ABC 中， D 为 AB 中点， E 为 AC 上一点，且 AE 2 , BE 、 CD 相交于点 F ， EC
A
D O
B
C
【例 17】 如图，设 AB BC CA ，则 1 2 吗？ AD DE EA
A
1 B
E D2
C
【例 18】 在锐角三角形 ABC 中， AD ， CE 分别为 BC ， AB 边上的高， ABC 和 BDE 的面 积分别等于18 和 2 ， DE 2 ，求 AC 边上的高
D E
P
Q
A
C
B
【例 12】 阅读并解答问题.
在给定的锐角三角形 ABC 中，求作一个正方形 DEFG ，使 D ， E 落在 BC 边上， F ， G 分别落在 AC , AB 边上，作法如下： 第一步：画一个有三个顶点落在 ABC 两边上的正方形 D ' E ' F 'G ' 如图， 第二步：连接 BF ' 并延长交 AC 于点 F 第三步：过 F 点作 FE BC ,垂足为点 E 第四步：过 F 点作 FG∥BC 交 AB 于点 G 第五步：过 G 点作 GD BC ，垂足为点 D
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C
AEF∽ ∽ ∽ AE‘F’
E E'
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AEF∽ ∽ ∽ AE‘F’
C ， E ' ， F ' 共线
E'
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【例 13】 已知梯形 ABCD ， AD∥BC ，对角线 AC 、 BD 互相垂直，则 1.证明： AD2 BC 2 AB2 CD2
BF
求 的值
EF
A
D FE
B
C
【例 5】 已知：在 ABC 中，AB=3AD，延长 BC 到 F ,使 CF 1 BC ,连接 FD 交 AC 于点 E 3
求证：① DE EF ② AE 2CE
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A D
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“平行旋转型”
图形梳理：
A
E E'
F' F
B
C
AEF∽ ∽ ∽ AE‘F’
F' A
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AEF∽ ∽ ∽ AE‘F’
B D' E' D
EC
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F' A
E
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B
C
AEF∽ ∽ ∽ AE‘F’
A E'
E F' F
B
C
AEF∽ ∽ ∽ AE‘F’
特殊情况： B 、 E ' 、 F ' 共线
A
A
E E'
F' F
C A
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BF
D
【例 8】 如图，找出 SABD 、 SBED 、 SBCD 之间的关系，并证明你的结论.
C A
E
BF
D
【例 9】 如图，四边形 ABCD 中， B D 90 ， M 是 AC 上一点， ME AD 于点 E ， MF BC 于点 F 求证： MF ME 1 AB CD
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D E
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【例 10】 如图，在 ABC 中， D 是 AC 边的中点，过 D 作直线 EF 交 AB 于 E ,交 BC 的延长线 于F 求证： AE BF BE CF
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E D
B
C
F
【例 11】 如图，在线段 AB 上，取一点 C ，以 AC ， CB 为底在 AB 同侧作两个顶角相等的等腰 三角形 ADC 和 CEB ， AE 交 CD 于点 P ， BD 交 CE 于点 Q , 求证： CP CQ