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相似三角形知识点与经典题型知识点1 有关相似形的概念(1)形状相同的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形.(2)如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多 边形．相似多边形对应边长度的比叫做相似比(相似系数)．知识点2 比例线段的相关概念（1）如果选用同一单位量得两条线段b a ,的长度分别为n m ,，那么就说这两条线段的比是nmb a =，或写成n m b a ::=．注：在求线段比时，线段单位要统一。
（2）在四条线段d c b a ,,,中，如果b a 和的比等于d c 和的比，那么这四条线段d c b a ,,,叫做成比例线段，简称比例线段．注：①比例线段是有顺序的，如果说a 是d c b ,,的第四比例项，那么应得比例式为：ad c b=．②()a ca b c d b d==在比例式：：中，a 、d 叫比例外项，b 、c 叫比例内项, a 、c 叫比例前项，b 、d 叫比例后项，d 叫第四比例项，如果b=c ，即 a b b d =：：那么b 叫做a 、d 的比例中项， 此时有2b ad =。
（3）黄金分割：把线段AB 分成两条线段)(,BC AC BC AC >，且使AC 是BC AB 和的比例中项，即2AC AB BC =⋅，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中AB AC 215-=≈0.618AB．即AC BC AB AC ==简记为：12长短＝＝全长注：黄金三角形：顶角是360的等腰三角形。
黄金矩形：宽与长的比等于黄金数的矩形知识点3 比例的性质（注意性质立的条件：分母不能为0）（1） 基本性质：①bc ad d c b a =⇔=::；②2::a b b c b a c =⇔=⋅．注：由一个比例式只可化成一个等积式，而一个等积式共可化成八个比例式，如bc ad =，除了可化为d c b a ::=，还可化为d b c a ::=，b a d c ::=，c a d b ::=，c d a b ::=，b d a c ::=，a b c d ::=，a c b d ::=．（2） 更比性质(交换比例的内项或外项)：()()()a bc d a c d cb db a d bc a ⎧=⎪⎪⎪=⇔=⎨⎪⎪=⎪⎩，交换内项，交换外项．同时交换内外项 （3）反比性质(把比的前项、后项交换)： a c b d b da c=⇔=．（4）合、分比性质：a c abcd b d b d±±=⇔=．注：实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间发生同样和差变化比例仍成立．如：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+--=-⇒=dc dc b a b a c cd a a b d c b a 等等．（5）等比性质：如果)0(≠++++====n f d b nm f e d c b a ΛΛ，那么b an f d b m e c a =++++++++ΛΛ．注：①此性质的证明运用了“设k 法”（即引入新的参数k ）这样可以减少未知数的个数，这种方法是有关比例计算变形中一种常用方法．②应用等比性质时，要考虑到分母是否为零．③可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立．如：ba f db ec a f ed c b a fe d c b a =+-+-⇒=--=⇒==32323322；其中032≠+-f d b ． 知识点4 比例线段的有关定理1.三角形中平行线分线段成比例定理:平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.由DE ∥BC 可得：ACAEAB AD EA EC AD BD EC AE DB AD ===或或注：①重要结论：平行于三角形的一边,并且和其它两边相交的直线,所截的三角形的三边．．．．．．与原三角形三边．．．．．．对应成比例.②三角形中平行线分线段成比例定理的逆定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.那么这条直线平行于三角形的第三边.此定理给出了一种证明两直线平行方法,即：利用比例式证平行线.③平行线的应用：在证明有关比例线段时，辅助线往往做平行线,但应遵循的原则是不要破坏条件中的两条线段的比及所求的两条线段的比.2.平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所截得的对应线段成比例. 已知AD ∥BE ∥CF,可得AB DE AB DE BC EF BC EF AB BCBC EF AC DF AB DE AC DF DE EF=====或或或或等.注：平行线分线段成比例定理的推论：平行线等分线段定理：两条直线被三条平行线所截，如果在其中一条上截得的线段相等，那么在另一条上截得的线段也相等。
初中数学相似三角形模型总结
初中数学相似三角形模型总结数学这门学科，说简单也简单，说难也难。
有时候，一些看似抽象的概念一旦掌握了，就会觉得它们其实挺有趣的。
今天，我们要聊的就是相似三角形这个话题。
别着急，听我慢慢说，相信我，搞懂它们其实比你想象的要容易得多。
1. 相似三角形的基本概念1.1 什么是相似三角形？大家都知道，三角形有各种各样的样子，有的胖，有的瘦，有的高，有的矮。
但不管它们的外形如何，只要它们的角度相同，比例也保持一致，那它们就是相似三角形。
换句话说，就是这些三角形看起来像是放大或缩小版的关系。
1.2 为什么要学习相似三角形？可能有同学会问，这些三角形和我们的生活有什么关系？其实，了解相似三角形能帮助我们解决很多实际问题，比如测量远处物体的高度或距离，甚至能帮助我们设计一些简单的模型。
相似三角形的知识不仅能帮我们在考试中得高分，还能在生活中找到实际的应用。
2. 相似三角形的判定条件2.1 角角相似（AA）这是最基本的相似三角形判定方法。
只要两个三角形的两个角相等，那这两个三角形就是相似的。
这就像两个镜子前的自己，只要你转身的角度一样，镜子中的影像也会一样。
用公式来讲，角角相似就是：如果 (angle A = angle A') 和 (angle B = angle B')，那么△ABC ~ △A'B'C'。
2.2 边角边相似（SAS）另一种情况是，一个三角形的两边分别和另一个三角形的两边成比例，同时夹角也相等。
那么这两个三角形也是相似的。
简单来说，就像你用尺子量了一下两个三角形的边，再确认它们之间的夹角也是一致的，那么这两个三角形就是相似的。
2.3 边边边相似（SSS）如果两个三角形的三边分别成比例，那这两个三角形也是相似的。
想象一下，你有两个相同的形状的三角形，但是一个比另一个大，那它们之间的边的长度比例也应该是一样的。
这种情况下，三角形之间的相似性就完全取决于边的比例关系了。
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学科教师辅导讲义学员编号：年级：初三课时数：3学员姓名：辅导科目：数学学科教师：吴猛授课类型T(同步知识主题) C （专题方法主题）T （学法与能力主题）授课日期及时段2016-07-27相似三角形模型总结模型一：A型或反A型1．（2011•河北模拟）将三角形纸片△ABC按如图所示的方式折叠，使点B落在边AC上，记为点B′，折痕为EF．已知AB=AC=6，BC=8，若以点B′，F，C为顶点的三角形与△ABC相似，那么BF的长度是（）A．B．4 C．或2 D．4或考点：相似三角形的性质；解一元一次方程；翻折变换（折叠问题）．专题：计算题；压轴题．分析：根据折叠得到BF=B′F，根据相似三角形的性质得到=，设BF=x，则CF=8﹣x，即可求出x的长，得到BF的长，即可选出答案．解答：解：∵△ABC沿EF折叠B和B′重合，∴BF=B′F，设BF=x，则CF=8﹣x，∵当△B′FC∽△ABC，∴=，∵AB=6，BC=8，∴=，解得：x=，即：BF=，当△FB′C∽△ABC，，，解得：x=4，当△ABC∽△CB′F时，同法可求B′F=4，故BF=4或，故选：D．点评：本题主要考查了相似三角形的性质，折叠问题，解一元一次方程等知识点，解此题的关键是设BF=x，能正确列出方程．1、如图：△ABC中，D是AB上一点，AD=AC，BC边上的中线AE交CD于F。
2、求证：3、BDA CFE答案：证明：（方法一）如图延长AE到M使得EM=AE，连接CM∵BE=CE，∠AEB=∠MEC ∴△BEA≌△CEM ∴CM=AB，∠1=∠B ∴AB∥CM∴∠M=∠MAD，∠MCF=∠ADF∴△MCF∽△ADF ∴∵CM=AB，AD=AC ∴（方法二）过D作DG∥BC交AE于G则△ABE∽△ADG，△CEF∽△DGF∴，∵AD=AC，BE=CE ∴模型二：X型和反X型1．（2012•朝阳）如图，在正方形ABCD内有一折线段，其中AE⊥EF，EF⊥FC，并且AE=4，EF=8，FC=12，则正方形与其外接圆形成的阴影部分的面积为80π﹣160．考点：相似三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质；正多边形和圆．专题：压轴题．分析：首先连接AC，则可证得△AEM∽△CFM，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得EM与FM的长，然后由勾股定理求得AM与CM的长，则可求得正方形与圆的面积，则问题得解．解答：解：连接AC，∵AE丄EF，EF丄FC，∴∠E=∠F=90°，∵∠AME=∠CMF（对顶角相等），∴△AEM∽△CFM，∴，∵AE=4，FC=12，∴，∴EM=2，FM=6，在Rt△AEM中，AM==2，在Rt△FCM中，CM==6，∴AC=8，在Rt△ABC中，AB=AC•sin45°=8×=4，∴S正方形ABCD=AB2=160，圆的面积为：π•（）2=80π，∴正方形与其外接圆之间形成的阴影部分的面积为80π﹣160．故答案为：80π﹣160．点评：此题考查了相似三角形的判定与性质，正方形与圆的面积的求解方法，以及勾股定理的应用．此题综合性较强，解题时要注意数形结合思想的应用．2、如图，弦和弦相交于内一点，求证：.思路点拨：题目中求证的是等积式，我们可以转化为比例式，从而找到应证哪两个三角形相似.同时圆当中同弧或等弧所对的圆周角相等要会灵活应用.证明：连接，.在∴∽∴.3．如图，△ABC≌△ADE且∠ABC=∠ADE，∠ACB=∠AED，BC．DE交于点O．则下列四个结论中，①∠1=∠2；②BC=DE；③△ABD∽△ACE；④A．O、C．E四点在同一个圆上，一定成立的有（）A． 1个B． 2个C． 3个D． 4个【答案】D模型三：字母型1．如图，点A ，B ，C ，D 为⊙O 上的四个点，AC 平分∠BAD，AC 交BD 于点E ，CE=2，CD=3，则AE 的长为（ ）A ．2B ．2.5C ．3D ．3.5 【答案】B. 2．（2015•南通）如图，AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，弦AD 平分∠BAC ，交BC 于点E ，AB=6，AD=5，则AE 的长为（ ）A ．2.5B ．2.8C ．3D ．3.2考点： 相似三角形的判定与性质；勾股定理；圆周角定理． 专题： 压轴题． 分析：连接BD 、CD ，由勾股定理先求出BD 的长，再利用△ABD ∽△BED ，得出=，可解得DE 的长，由AE=AD﹣DE 求解即可得出答案．解答： 解：如图1，连接BD 、CD ，，∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ADB=90°，∴BD=，∵弦AD 平分∠BAC ，∴CD=BD=，∴∠CBD=∠DAB ，在△ABD 和△BED 中，∴△ABD ∽△BED ，∴=，即=，解得DE=， ∴AE=AD ﹣DE=5﹣=2.8．故选：B点评： 此题主要考查了三角形相似的判定和性质及圆周角定理，解答此题的关键是得出△ABD ∽△BED ．3、已知如图，CD 是Rt △ABC 斜边AB 上的高，E 为BC 的中点，ED 的延长线交CA 于F 。
初中数学三角形相似模型大总结
初中数学三角形相似模型大总结三角形相似是初中数学里非常重要的知识点，是中考中一定会涉及的考点之一。
三角形相似的判定和应用题型千变万化，但“万变不离其宗”，常用的一共有以下8种模型。
1、8字形模型2、反8字形模型3、A字形模型4、反A字形模型5、共边反A字形模型6、剪刀反A字形模型7、一线三等角模型8、一线三垂直模型【模型总结】8种具体模型实际上可以分为三个大类，如下面表格所示：【应用提示】三角形相似的实际应用中遇到的模型基本上是属于上面8种模型的变化。
比如当三角形为直角三角形时的反A字形。
【应用举例】思路分析：通常来讲，题目中遇到线段成某个比例的已知条件，往往会和三角形相似结合起来。
因为三角形相似就能利用线段的比例。
本题中，△CEF和△EFD是对折关系，所以∠EDF=∠C=60度。
进而得到∠A=∠B=∠EDF=60度，一线三等角模型太明显不过了。
因此：△AED∽△DBF。
虽然，解题过程中还用到了设未知数解方程的代数思想，但是如果不能及时发现一线三等角模型，然利用相似比例列出2个方程，此题难度也不小。
【总结】三角形相似就意味着对应线段的比值相等，所以就能建立等式关系。
因此，题目中只要看到线段比例已知，就要首先考虑构建三角形相似来利用这个已知条件，为进一步完成解题创下基础。
口诀：线段比例若知道，三角相似解题巧。
有些同学相似三角形的判定方法明明都知道，却还是不会证三角形相似，在有些图形中甚至找不到谁和谁相似，完全无从下手。
这种情况，其中一个很大的原因就是——对相似的基本模型不熟悉。
本文就来说说相似的几种基本模型，让你能在复杂的图形中快速识别，迅速上手。
1、A字型（金字塔形）A字型分两种，一种上下平行的，一种上下不平行的。
注意两种A字型对应关系不同。
2、8字型（沙漏型）同A字型一样，8字型也有两种，一种上下平行，一种上下不平行，对应关系也不同。
3、子母型子母型相似可看作由非平行的A字型相似变化而来。
子母型相似的对应关系比较容易写错，为了避免出错可采用两种书写习惯：①仿照A字型写法，从公共点写起，△BAD∽△BCA；②按角的大小排序来写，小中大，△ABD∽△CBA.推荐第一种，更不容易错。
相似三角形知识点整理精选全文完整版
可编辑修改精选全文完整版相似三角形知识点整理重点、难点分析：1、相似三角形的判定性质是本节的重点也是难点．2、利用相似三角形性质判定解决实际应用的问题是难点。
☆内容提要☆ 一、本章的两套定理第一套（比例的有关性质）：涉及概念：①第四比例项②比例中项③比的前项、后项，比的内项、外项④黄金分割等。
第二套：二、有关知识点： 1.相似三角形定义：对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形。
2.相似三角形的表示方法：用符号“∽”表示，读作“相似于”。
3.相似三角形的相似比：相似三角形的对应边的比叫做相似比。
4.相似三角形的预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所截成的三角形与原三反比性质：cda b = 更比性质：dbc a a c bd ==或 合比性质：ddc b b a ±=± ⇒=⇔=bc ad d c b a （比例基本定理） ban d b m c a n d b n m d c b a =++++++⇒≠+++=== :)0(等比性质 相似基本定理 推论(骨干定理)平行线分线段成比例定理(基本定理)应用于△中 相似三角形定理1定理2 定理3 Rt △ 推论推论的逆定理推论角形相似。
5.相似三角形的判定定理：(1)三角形相似的判定方法与全等的判定方法的联系列表如下：类型斜三角形直角三角形全等三角形的判定SAS SSS AAS（ASA）HL相似三角形的判定两边对应成比例夹角相等三边对应成比例两角对应相等一条直角边与斜边对应成比例从表中可以看出只要将全等三角形判定定理中的“对应边相等”的条件改为“对应边成比例”就可得到相似三角形的判定定理，这就是我们数学中的用类比的方法，在旧知识的基础上找出新知识并从中探究新知识掌握的方法。
6.直角三角形相似：(1)直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似。
(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。
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《相似三角形》知识点归纳知识点1有关相似形的概念(1) 形状相同的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形 •(2) 如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多边形.相似多边形对应边长度的比叫做相似比 (相似系数).知识点2比例线段的相关概念、比例的性质 (1)定义: 在四条线段a,b, c,d 中，如果a 和b 的比等于e 和d 的比，那么这四条线段 a,b,c,d 叫做成比例线段，简称比例线段.注：①比例线段是有顺序的，如果说 a 是b,c,d 的第四比例项，那么应得比例式为:注：①黄金三角形：顶角是 360的等腰三角形②黄金矩形：宽与长的比等于黄金数的矩形a -，(交换内项)c d②a c b d d c，(交换外项) 核心内容：ad bcb a'd -.(同时交换内外项) (2)黄金分割：把线段AB 分成两条线段 AC,BC(AC BC),且使AC 是AB 和BC 的比例中项, 即AC 2 AB BC ，叫做把线段 AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中 AC 也」AB 〜0.618 AB •即 2 AC AB BC E 1 AC 2 简记为: 长-短-V5 1全—长—2a c abed(3)合、分比性质：注：实际上，比例的合比性质可扩展为: 比例式中等号左右两个比的前项，后项之间b a d c发生同样和差变化比例仍成立•如：a c a c等等•b d a bc da b c d(4)等比性质：如果 a c e m(b d f n 0),b d f n那么a c e m ab d f n b知识点3比例线段的有关定理平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线,所截得的对应线段成比例已知AD//BE// CF,可得JAB些或AB BC EFAC特别在三角形中：DF AB由DE// BC可得：如圧或BDDB EC AD EF DEEC EA知识点4相似三角形的概念匹巨或便BC等.(1)定义：对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形•相似用符号“S”表示，读作“相似于” 似系数)•相似三角形对应角相等，对应边成比例.•相似三角形对应边的比叫做相似比(或相注：①对应性：即把表示对应顶点的字母写在对应位置上②顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的.③两个三角形形状一样，但大小不一定一样.④全等三角形是相似比为1的相似三角形.用轴语言表港是r 石6三角形全等 三角形相似两角夹一边对应相等(ASA)两角对应相等 两角一对边对应相等(AAS)两边对应成比例，且夹角相等 两边及夹角对应相等(SAS)三边对应成比例 三边对应相等(SSS)、(HL ) “ HL ”知识点5 相似三角形的性质相似三角形对应角相等，对应边成比例. 相似三角形周长的比等于相似比. 相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比. 相似三角形面积的比等于相似比的平方. 相似三角形的几种基本图形：称为“平行线型”的相似三角形(有“ A 型”与“ X 型”图)(2)三角形相似的判定方法 1、 平行法： 2、 判定定理 3、 判定定理 4、 判定定理 5、 判定定理 全等与相似的比较： (或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似 两角对应相等，两三角形相似. AA 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似 .SAS 三边对应成比例，两三角形相似 .SSS “HL ” (图上)平行于三角形一边的直线和其它两边 1 2 3 4 简述为： 简述为： 简述为： 直角三角形中, 则S ==> AD 2 =BD- DCS ==> AB 2 =BD- BC S ==> AC 2 =CD- BC⑴⑵⑶⑷知识点6(1)如图: / BAC=90°, AD 是斜边 BC 上的高, (3)射影定理： 如图，Rt △ ABC 中,则厶ADE^A ABC称为“斜交型”的相似三角形。
相似三角形分类整理(超全)
nih的相似比，当且仅当它们全等时，才有e an dAl l t h i ng si nt he i rb ei n ga re go od fo rs o m ②这个定理是用相似三角形定义推导出来的三角形相似的判定定理．它不但本身有着广泛的应用，同时也是证明下节相似三角形三个判定定理的基础，故把它称为“预备定理”； ③有了预备定理后，在解题时不但要想到上一节“见平行，想比例”，还要想到“见平行，想相似”．(二)相似三角形的判定1、相似三角形的判定： 判定定理(1)：两角对应相等，两三角形相似． 判定定理(2)：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似． 判定定理(3)：三边对应成比例，两三角形相似．温馨提示： ①有平行线时，用上节学习的预备定理； ②已有一对对应角相等(包括隐含的公共角或对顶角)时，可考虑利用判定定理1或判定定理2；③已有两边对应成比例时，可考虑利用判定定理2或判定定理3．但是，在选择利用判定定理2时，一对对应角相等必须是成比例两边的夹角对应相等．例1.如图三角形ABC 中，点E 为BC 的中点，过点E 作一条直线交AB 于D 点，与AC 的延长线将于F 点，且FD=3ED ，求证：AF=3CF2、直角三角形相似的判定： 斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似．温馨提示： ①由于直角三角形有一个角为直角，因此，在判定两个直角三角形相似时，只需再找一对对应角相等，用判定定理1，或两条直角边对应成比例，用判定定理2，一般不用判定定理3判定两个直角三角形相似； ②如图是一个十分重要的相似三角形的基本图形，图中的三角形，可称为“母子相似三角形”，其应用较为广泛． ③如图，可简单记为：在Rt △ABC 中，CD ⊥AB ，则△ABC ∽△CBD ∽△ACD ．直角三角形的身射影定理：AC 2=AD*ABCD 2=AD*BDBC 2=BD*ABgnihtlt he i rb ee an dAl l t h i ng si nt he i rb ei n ga re go od fo rs o例5. 如图，Rt ABC 中，CD 为斜边AB 上的高，E 为CD 的中点，AE 的延长线交BC ∆于F ，FG AB 于G ，求证：FG =CF BF ⊥2∙四、作中线例6 如图，中，AB ⊥AC ，AE ⊥BC 于E ，D 在AC 边上，若BD=DC=EC=1，求ABC ∆AC 。
(完整版)相似三角形知识点归纳(全)
知识点 1 有关相似形的概念
(1) 形状相同的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形
.
(2) 如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多
边形．相似多边形对应边长度的比叫做相似比 ( 相似系数 ) ．
知识点 2 比例线段的相关概念、比例的性质
．相似三角形对应边的比叫做相似比 ( 或相
（2）三角形相似的判定方法
1、平行法： （图上）平行于三角形一边的直线和其它两边
( 或两边的延长线 ) 相交，所构成的三角形与原三角形相似 .
2、判定定理 1：简述为： 两角对应相等，两三角形相似． AA
3、判定定理 2：简述为： 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似
（ 1） 位似图形是相似图形的特例，位似图形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点
.
（ 2） 位似图形一定是相似图形，但相似图形不一定是位似图形
.
（ 3） 位似图形的对应边互相平行或共线 .
（ 4）位似图形具有相似图形的所有性质 .
位似图形的性质：
Байду номын сангаас
位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比
．SAS
4 、判定定理 3：简述为： 三边对应成比例，两三角形相似 ．SSS
5、判定定理 4：直角三角形中， “ HL”
全等与相似的比较：
三角形全等
三角形相似
两角夹一边对应相等 (ASA) 两角一对边对应相等 (AAS) 两边及夹角对应相等 (SAS) 三边对应相等 (SSS) 、 (HL ）
两角对应相等 两边对应成比例，且夹角相等
B
C
（ 1）定义：对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形．相似用符号“∽”表示，读作“相似于” 似系数 ) ．相似三角形对应角相等，对应边成比例．
相似三角形常见模型(总结)1
相似三角形第一部分 相似三角形模型分析一、相似三角形判定的基本模型认识（一）A 字型、反A 字型（斜A 字型）BDE（平行）BDE（不平行）（二）8字型、反8字型J OADBCAB CD（蝴蝶型）（平行） （不平行） （三）母子型BDD（四）一线三等角型：三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景（五）一线三直角型：（六）双垂型：ADC 二、相似三角形判定的变化模型旋转型：由A字型旋转得到。
8字型拓展CB EDA共享性GABEF一线三等角的变形一线三直角的变形第二部分相似三角形典型例题讲解母子型相似三角形例1：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD交于点O，BE∥CD交CA延长线于E．求证：OEOAOC⋅=2．例2：已知：如图，△ABC中，点E在中线AD上, ABCDEB∠=∠．求证：（1）DADEDB⋅=2；（2）DACDCE∠=∠．例3：已知：如图，等腰△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D，CG∥AB，BG分别交AD、AC于E、F．求证：EGEFBE⋅=2．相关练习：1、如图，已知AD为△ABC的角平分线，EF为AD的垂直平分线．求证：FCFBFD⋅=2．A CDEBGMF EHDCBA2、已知：AD 是Rt △ABC 中∠A 的平分线，∠C=90°，EF 是AD 的垂直平分线交AD 于M ，EF 、BC 的延长线交于一点N 。
求证：(1)△AME ∽△NMD; (2)ND 2=NC ·NB3、已知：如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D ，E 是AC 上一点，CF ⊥BE 于F 。
求证：EB ·DF=AE ·DB4.在∆ABC 中，AB=AC ，高AD 与BE 交于H ，EF BC ⊥，垂足为F ，延长AD 到G ，使DG=EF ，M 是AH 的中点。
求证：∠=︒GBM 905．（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）、（3）小题满分各5分）已知：如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，BC =2，AC =4，P 是斜边AB 上的一个动点，PD ⊥AB ，交边AC 于点D （点D 与点A 、C 都不重合），E 是射线DC 上一点，且∠EPD =∠A ．设A 、P 两点的距离为x ，△BEP 的面积为y ．（1）求证：AE =2PE ；（2）求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域； （3）当△BEP 与△ABC 相似时，求△BEP 的面积．双垂型1、如图，在△ABC 中，∠A=60°，BD 、CE 分别是AC 、AB 上的高 求证：（1）△ABD ∽△ACE ；（2）△ADE ∽△ABC ；(3)BC=2ED2、如图，已知锐角△ABC ，AD 、CE 分别是BC 、AB 边上的高，△ABC 和△BDE 的面积分别是27和3，DE=62，求：点B 到直线AC 的距离。
相似三角形总复习模型总结
三角形相似总复习第一部分相似三角形知识要点大全知识点1..相似图形的含义把形状相同的图形叫做相似图形。
（即对应角相等、对应边的比也相等的图形）解读：（1）两个图形相似，其中一个图形可以看做由另一个图形放大或缩小得到.（2）全等形可以看成是一种特殊的相似，即不仅形状相同，大小也相同.（3）判断两个图形是否相似，就是看这两个图形是不是形状相同，与其他因素无关.例1 .放大镜中的正方形与原正方形具有怎样的关系呢分析：要注意镜中的正方形与原正方形的形状没有改变.解：是相似图形。
因为它们的形状相同，大小不一定相同.例2 •下列各组图形：①两个平行四边形；②两个圆；③两个矩形；④有一个内角80°的两个等腰三角形；⑤两个正五边形；⑥有一个内角是100。
的两个等腰三角形，其中一定是相似图形的是______________ （填序号）.解析：根据相似图形的定义知，相似图形的形状相同，但大小不一定相同，而平行四边形、矩形、等腰三角形都属于形状不唯一的图形，而圆、正多边形、顶角为100。
的等腰三角形的形状不唯一，它们都相似.答案：②⑤⑥.知识点2•比例线段对于四条线段a,b,c,d ，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即--（或b da:b=c:d ）那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段.a c解读：（1）四条线段a,b,c,d 成比例，记作—一（或a:b=c:d ）,不能写成其他形式，即比例线段b d有顺序性.a c（2）在比例式（或a:b=c:d ）中，比例的项为a,b,c,d ，其中a,d为比例外项，b,c为比例内项，db d是第四比例项.a b（3）如果比例内项是相同的线段，即或a:b=b:c，那么线段b叫做线段和的比例中项。
b c⑷通常四条线段a,b,c,d的单位应一致，但有时为了计算方便，a和b统一为一个单位，c和d统一为另一个单位也可以，因为整体表示两个比相等.a例3 .已知线段a=2cm, b=6mm,求b分析：求旦即求与长度的比，与的单位不同，先统一单位，再求比.b3 、例4 .已知a,b,c,d 成比例，且a=6cm,b=3dm,d= dm,求c的长度.2分析：由a,b,c,d 成比例，写出比例式a:b=c:d，再把所给各线段a,b,,d 统一单位后代入求c. 知识点3.相似多边形的性质相似多边形的性质：相似多边形的对应角相等，对应边的比相等.解读：（1）正确理解相似多边形的定义，明确“对应”关系.（2）明确相似多边形的“对应”来自于书写，且要明确相似比具有顺序性.例5.若四边形ABCD勺四边长分别是4, 6, 8, 10,与四边形ABCD相似的四边形ABCD的最大边长为30,则四边形ABCD的最小边长是多少分析：四边形 ABCD 与四边形ABQD 相似，且它们的相似比为对应的最大边长的比，即为 多边形对应边成比例的性质，利用方程思想求出最小边的长. 知识点4 •相似三角形的概念对应角相等，对应边之比相等的三角形叫做相似三角形.解读：(1)相似三角形是相似多边形中的一种； (2) 应结合相似多边形的性质来理解相似三角形； (3) 相似三角形应满足形状一样，但大小可以不同； (4)相似用“s”表示，读作“相似于” ；(5) 相似三角形的对应边之比叫做相似比.注意：①相似比是有顺序的，比如△AB3A A i B i C ，相似比为 k,若厶ABGs^ 1ABC 则相似比为 1。
相似三角形”A“字模型(含详细问题详解)-经典
教师辅导教案授课日期：年月日授课课时：课时ABC △与A B C '''△相似，AD 是ABC △中BAC ∠的角平分线，A D ''是A B C '''△中B A C '''∠的角平分线，则有AB BC AC AD k A B B C A C A D ====''''''''（k 为相似比）． 4．相似三角形周长的比等于相似比． ABC △与A B C '''△相似，则有AB BC ACk A B B C A C ===''''''（k 为相似比）．应用比例的等比性质有AB BC AC AB BC ACk A B B C A C A B B C A C++====''''''''''''++． 5．相似三角形面积的比等于相似比的平方．ABC △与A B C '''△相似，AH 是ABC △中BC 边上的高线，A H ''是A B C '''△中B C ''边上的高线，则有AB BC AC AH k A B B C A C A H ====''''''''（k 为相似比）．进而可得21212ABC A B C BC AHS BC AH k S B C A H B C A H '''⋅⋅==⋅=''''''''⋅⋅△△．二、相似三角形的判定1．平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似． 2．如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．可简单说成：两角对应相等，两个三角形相似．3．如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似． 4．如果一个三角形的三条边与另一个三角形的你对应成比例，那么这两个三角形相似．可简单地说成：三边对应成比例，两个三角形相似．5．如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．6．直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形相似（常用但要证明）7．如果一个等腰三角形和另一个等腰三角形的顶角相等或一对底角相等，那么这两个等腰三角形相似；如果它们的腰和底对应成比例，那么这两个等腰三角形也相似． 三、相似证明中的基本模型A 字形图①A 字型，DE//BC ;结论：AD AE DEAB AC BC==， 【例1】李老师在编写下面这个题目的答案时，不小心打乱了解答过程的顺序，你能帮他调整过来吗？证明步骤正确的顺序是（ ）已知：如图，在△ABC 中，点D ，E ，F 分别在边AB ，AC ，BC 上，且DE ∥BC ，DF ∥AC ，求证：△ADE∽△DBF．证明：①又∵DF∥AC，②∵DE∥BC，③∴∠A=∠BDF，④∴∠ADE=∠B，∴△ADE∽△DBF．A．③②④① B．②④①③ C．③①④② D．②③④①【解答】证明：②∵DE∥BC，④∴∠ADE=∠B，①又∵DF∥AC，③∴∠A=∠BDF，∴△ADE∽△DBF．故选：B．【练1】如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=16cm，AC=12cm，点P从点B出发，以2cm/秒的速度向点C移动，同时点Q从点C出发，以1cm/秒的速度向点A移动，设运动时间为t秒，当t= 4.8或秒时，△CPQ与△ABC相似．【解答】解：CP和CB是对应边时，△CPQ∽△CBA，所以，，即，解得t=4.8；CP和CA是对应边时，△CPQ∽△CAB，所以，，即，解得t=．综上所述，当t=4.8或时，△CPQ与△CBA相似．故答案为4.8或．图②反A字型，∠ADE=∠B或∠1=∠B结论：AE AD DE==AC AB BC【例2】如同，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，下列条件中不能判断△ABC∽△AED的是（）A．=B．=C．∠ADE=∠C D．∠AED=∠B【解答】解：∵∠DAE=∠CAB，∴当∠AED=∠B或∠ADE=∠C时，△ABC∽△AED；当=即=时，△ABC∽△AED．故选：A．【例3】如图，P是△ABC的边AB上的一点．（不与A、B重合）当∠ACP=∠ B 时，△APC与△ABC是否相似；当AC、AP、AB满足时，△ACP与△ABC相似．【解答】解：∵∠A=∠A，∠ACP=∠B，∴△ACP∽△ABC；∵，∠A=∠A，∴△ACP与△ABC；故答案为：B；．【练习1】如图，D、E为△ABC的边AC、AB上的点，当∠ADE=∠B 时，△ADE∽△ABC．其中D、E分别对应B、C．（填一个条件）．【解答】解：当∠ADE=∠B，∵∠EAD=∠CAB，∴△ADE∽△ABC．故答案为∠ADE=∠B．【练习2】如图，在△ABC中，D、E分别在AB与AC上，且AD=5，DB=7，AE=6，EC=4．求证：△ADE∽△ACB．【解答】证明：∵AD=5，DB=7，AE=6，EC=4，∴AB=5+7=12，AC=6+4=10，∴====，∴=，又∵∠A=∠A，∴△ADE∽△ACB．【练习3】如图，AB=AC，∠A=36°，BD是∠ABC的角平分线，求证：△ABC∽△BCD．【解答】证明：∵AB=AC，∠A=36°，∴∠ABC=∠C=72°，∵BD是角平分线，∴∠ABD=∠DBC=36°，∴∠A=∠CBD，又∵∠C=∠C，∴△ABC∽△BCD．【练习4】已知：如图，△ABC中，∠ACD=∠B，求证：△ABC∽△ACD．【解答】证明：∵∠ACD=∠B，∠A=∠A，∴△ABC∽△ACD．【练习5】如图，已知AD•AC=AB•AE．求证：△ADE∽△ABC．【解答】证明：∵AD•AC=AE•AB，∴=在△ABC与△ADE 中∵=，∠A=∠A，∴△ABC∽△ADE．【练习6】已知：如图，在△ABC中，D，E分别为AB、AC边上的点，且AD=AE，连接DE．若AC=4，AB=5．求证：△ADE∽△ACB．【解答】证明：∵AC=3，AB=5，AD=，∴，∵∠A=∠A，∴△ADE∽△ACB．图③双A字型【例4】如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，∠AED=∠ABC，∠BAC 的平分线AF交DE于点G，交BC于点F．（1）试写出图中所有的相似三角形，并说明理由（2）若=，求的值．【解答】解：（1）∵∠AED=∠ABC，∠EAD=∠BAC，∴△ABC∽△AED．∵∠AED=∠ABC，∠EAG=∠BAF，∴△AEG∽△ABF．∵∠EDG=∠ACF，∠DAG=∠CAF，∴△ADG∽△ACF．（2）∵=，∴=，∵△ADG∽△ACF，∴==．【练习1】如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，AE=4，AB=6，AD：AC=2：3，△ABC的角平分线AF交DE于点G，交BC于点F．（1）请你直接写出图中所有的相似三角形；（2）求AG与GF的比．【解答】解：（1）△ADG∽△ACF，△AGE∽△AFB，△ADE∽△ACB；（2）∵==，=，∴=，又∵∠DAE=∠CAB，∴△ADE∽△ACB，∴∠ADG=∠C，∵AF为角平分线，∴∠DAG=∠FAE∴△ADG ∽△ACF ， ∴==，∴=2．图④内含正方形A 字形，结论AH a aAH BC-=（a 为正方形边长）【例5】如图，△ABC ，是一张锐角三角形的硬纸片，AD 是边BC 上的高，BC=40cm ，AD=30cm ，从这张硬纸片上剪下一个长HG 是宽HE 的2倍的矩形EFGH ，使它的一边EF 在BC 上，顶点G 、H 分别在AC ，AB 上，AD 与HG 的交点为M ． （1）求证：=；（2）求这个矩形EFGH 的周长；（3）是否存在一个实数a ，当HE=a 时从三角形硬纸片上剪下的矩形面积最大？若存在，试求出a ；若不存在，请说明理由．【解答】（1）证明：∵四边形HEFG 为矩形， ∴HG ∥EF ， 而AD ⊥BC ， ∴AM ⊥BC ，。
相似三角形的八大基本模型
相似三角形的八大基本模型1、等腰三角形：等腰三角形是一种三角形，它的两条边长相等，称为等腰三角形。
它的三个角也是等角，每个角度都是60度，是一个等边三角形。
它也有着金字塔形状。
2、等边三角形：等边三角形是三角形中最常见的一种，它的三个边长都是相等的，因此得名等边三角形。
由于边长是相等的，因此三个角也是等角，每个角度都是60度。
此外，它也有着正三角形的特性。
3、直角三角形：直角三角形是一种三角形，它的一个角是90度，成为直角三角形。
直角三角形一般分为狭角三角形和钝角三角形两种，其中，狭角三角形的两个直角边都要大于第三条斜边，而钝角三角形则相反，其两个直角边都要小于第三条斜边。
4、相似三角形：相似三角形是指三角形中，由一条射线形成的两个三角形，三条边长的比值相等的三角形。
它的内角和外角相似，但是边长和面积都不同。
由此可以知道，如果两个三角形边长比值相同，则该两个三角形为相似三角形。
5、等分直角三角形：等分直角三角形是指一个直角三角形中，由底边一个端点引分出来的两条斜边上的各个点，连接起来后形成的直角三角形。
由于它的特点，两个边长和底边的面积比例也是相同的，每个等分点也和其他两个等分点是相等的。
6、正交三角形：正交三角形是指两个直角三角形中的一类，由其相似的三条边构成，两个斜边互相垂直相交，而三条边长分别是直角三角形中底边和邻边之和。
正交三角形属于相似三角形，具有和相似三角形一样的特性。
7、正三角形：正三角形是一种特殊的三角形，它的三个角都是60度，每个角度都相同，其三条边长也相等，为了符合这种特性，它也有其称之为正三角形的原因。
它有着明显的金字塔形状，但是每个角度都是60度，因此可以说它的金字塔形状是平行的。
8、稜角三角形：稜角三角形是一种特殊的三角形，它的其中一个角是60度，另外两个角都小于60度，一般不会大于60度，这种三角形因此也有着金字塔形状，但是由于角度上的不同，边长也不同。
其中，由三角形的垂足作为原点，内角和外角大小关系也要满足，且两个内角和一个外角和要等于180度。
(完整word)初二超经典相似三角形模型分析大全(可编辑修改)
数关系，并写出定义域。
C
Q
P
11
B
O
A
(完整 word)初二超经典相似三角形模型分析大全(word 版可编辑修改)
【练习 1】
在直角 ABC 中, C 90o , AB 5, tan B 3 ,点 D 是 BC 的中点，点 E 是 AB 边上的动点， DF DE 4
（2）如果点 P 在 BC 边上移动（点 P 与点 B、C 不重合），且满足∠EPF=∠C,PF 交直线 CD 于
点 F,同时交直线 AD 于点 M,那么
①当点 F 在线段 CD 的延长线上时，设 BP= x ，DF= y ，求 y 关于 x 的函数解析式,并写出函
数的定义域；
②当 S 9 S 时，求 BP 的长．
点 B 重合）,且保持 APQ ABC .
①若点 P 在线段 CB 上（如图）,且 BP 6 ，求线段 CQ 的长；
②若 BP x ， CQ y ，求 y 与 x 之间的函数关系式，并写出函数的定义域；
A Q
B
P
C
A
A
B
C
B
C
备用图
备用图
（2）正方形 ABCD 的边长为 5 （如下图），点 P 、 Q 分别在直线 CB 、 DC 上（点 P 不与点 C 、点 B
是腰 BC 上一个动点(不含点 B 、 C ),作 PQ AP 交 CD 于点 Q .(图 1) (1)求 BC 的长与梯形 ABCD 的面积； （2）当 PQ DQ 时，求 BP 的长;（图 2)
不重合）， DF DE, DF 与射线 BC 相交于点 F。
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P
Q
A
C
B
【例 12】 阅读并解答问题.
在给定的锐角三角形 ABC 中，求作一个正方形 DEFG ，使 D ， E 落在 BC 边上， F ， G 分别落在 AC , AB 边上，作法如下： 第一步：画一个有三个顶点落在 ABC 两边上的正方形 D ' E ' F 'G ' 如图， 第二步：连接 BF ' 并延长交 AC 于点 F 第三步：过 F 点作 FE BC ,垂足为点 E 第四步：过 F 点作 FG∥BC 交 AB 于点 G 第五步：过 G 点作 GD BC ，垂足为点 D
B
C
AEF∽ ∽ ∽ AE‘F’
E E'
F' F
B
C
AEF∽ ∽ ∽ AE‘F’
C ， E ' ， F ' 共线
E'
A
E F'
F
E'
A
E
F' F
B
C
AEF∽ ∽ ∽ AE‘F’
B
C
AEF∽ ∽ ∽ AE‘F’
5
郑州郭氏数学内部】 已知梯形 ABCD ， AD∥BC ，对角线 AC 、 BD 互相垂直，则 1.证明： AD2 BC 2 AB2 CD2
“平行旋转型”
图形梳理：
A
E E'
F' F
B
C
AEF∽ ∽ ∽ AE‘F’
F' A
E F
B
C
AEF∽ ∽ ∽ AE‘F’
B D' E' D
EC
E'
F' A
E
F
B
C
AEF∽ ∽ ∽ AE‘F’
A E'
E F' F
B
C
AEF∽ ∽ ∽ AE‘F’
特殊情况： B 、 E ' 、 F ' 共线
A
A
E E'
F' F
BF
求 的值
EF
A
D FE
B
C
【例 5】 已知：在 ABC 中，AB=3AD，延长 BC 到 F ,使 CF 1 BC ,连接 FD 交 AC 于点 E 3
求证：① DE EF ② AE 2CE
2
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E B
CF
A
D
E
F
M
N
B
C
【例 3】 已知， P 为平行四边形 ABCD 对角线， AC 上一点，过点 P 的直线与 AD ， BC ， CD 的 延长线， AB 的延长线分别相交于点 E ， F ， G ， H 求证： PE PH PF PG
G
D
C
E
P
F
A
B
H
【例 4】 已知：在 ABC 中， D 为 AB 中点， E 为 AC 上一点，且 AE 2 , BE 、 CD 相交于点 F ， EC
4
郑州郭氏数学内部EFG 即为所求作的正方形 问题：⑴证明上述所作的四边形 DEFG 为正方形 ⑵在 ABC 中，如果 BC 6 3 ， ABC 45 , BAC 75 ,求上述正方形 DEFG 的边长
A
G
F
G' F'
C
B
E
“斜交型”
【例 15】 如图， ABC 中， D 在 AB 上，且 DE∥BC 交 AC 于 E ， F 在 AD 上，且 AD2 AF AB ，求证： AEF : ACD
F D
A E
B
C
6
郑州郭氏数学内部】 如图，四边形 ABCD 的对角线相交于点 O ， BAC CDB ,求证： DAC CBD
A
D O
B
C
【例 17】 如图，设 AB BC CA ，则 1 2 吗？ AD DE EA
A
1 B
E D2
C
【例 18】 在锐角三角形 ABC 中， AD ， CE 分别为 BC ， AB 边上的高， ABC 和 BDE 的面 积分别等于18 和 2 ， DE 2 ，求 AC 边上的高
S : S : S : S 则 AEE1
四边形E四E边1F1形F 四边形
FF1M1M
MM1CB _________
A
E F M B
E1 F1 M1 C
1
郑州郭氏数学内部 如图， AD∥E∥F∥ MN BC ，若 AD 9 ， BC 18 ， AE : EM : MB 2 : 3 : 4 ,则 EF _____ ， MN _____
D E
A
M C
F
B
【例 10】 如图，在 ABC 中， D 是 AC 边的中点，过 D 作直线 EF 交 AB 于 E ,交 BC 的延长线 于F 求证： AE BF BE CF
A
E D
B
C
F
【例 11】 如图，在线段 AB 上，取一点 C ，以 AC ， CB 为底在 AB 同侧作两个顶角相等的等腰 三角形 ADC 和 CEB ， AE 交 CD 于点 P ， BD 交 CE 于点 Q , 求证： CP CQ
【例 6】 已知： D ， E 为三角形 ABC 中 AB 、 BC 边上的点，连接 DE 并延长交 AC 的延长线于点 F ， BD : DE AB : AC 求证： CEF 为等腰三角形
A
C D
E
B
F
【例 7】 如图，已知 AB / /EF / /CD ，若 AB a ， CD b ， EF c ，求证： 1 1 1 . c ab
A
D
O
B
C
2.当 AOD ，以点 O 为旋转中心，逆时针旋转 度（ 0 90 ），问上面的结论是否成立，请说明
理由
D A
O
B
C
【例 14】 （全国初中数学联赛武汉选拔赛试题）如图，四边形 ABCD 和 BEFG 均为正方形，求 AG : DF : CE _________.
A
D
A
G
G
F
F
B E
C AEΒιβλιοθήκη BFD【例 8】 如图，找出 SABD 、 SBED 、 SBCD 之间的关系，并证明你的结论.
C A
E
BF
D
【例 9】 如图，四边形 ABCD 中， B D 90 ， M 是 AC 上一点， ME AD 于点 E ， MF BC 于点 F 求证： MF ME 1 AB CD
3
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相似三角形经典模型总结
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【精选例题】
“平行型”
【例 1】 如图， EE1∥F∥F1 MM1 ，若 AE EF FM MB ，