《概率论与数理统计》习题及答案第八章

《概率论与数理统计》习题及答案

第八章

1. 设x.,x2,•••,%…是从总体X中抽岀的样本，假设X服从参数为兄的指数分布，几未知，给泄入〉0和显著性水平a(Ovavl),试求假设H o的力$检验统计量及否建域.

解

选统汁量*=2人工乙=2如庆

则Z2 -Z2(2n) »对于给宦的显著性水平a,査z'分布表求出临界值加⑵"，使

加⑵2))=Q

因z2 > z2 > 所以(F"： (2/1)) => (/2 > /； (2n)),从而

a = P{X2 > 加⑵“} n P{r > Za(2/0)

可见仏:2>^的否定域为Z2>Z；(2«).

2. 某种零件的尺寸方差为O-2=1.21,对一批这类零件检查6件得尺寸数据(毫米)：，，，，，。设零件尺寸服从正态分布，问这批零件的平均尺寸能否认为是毫米(a = O.O5).

解问题是在/已知的条件下检验假设：“ = 32.50

Ho的否定域为1“ l> u af2

u0(n5 = 1.96 ,因1“ 1=6.77 >1.96,所以否泄弘，即不能认为平均尺寸是亳米。

3. 设某产品的指标服从正态分布，它的标准差为b = 100,今抽了一个容量为26的样本，计算平均值1580,问在显著性水平a = 0.05下，能否认为这批产品的指标的期望值“不低于1600。

解问题是在b?已知的条件下检验假设://>1600

的否定域为u < -u a/2,其中

X-1600 r-r 1580-1600 c , “

11 = ------------ V26 = ------------------- x 5.1 = —1.02.

100 100

一叫05 =—1.64.

因为// =-1.02>-1.64 =-M005,所以接受H(>,即可以认为这批产品的指标的期望值“不低于1600.

4. 一种元件，要求其使用寿命不低于1000小时，现在从这批元件中任取25件，测得其寿命平均值为950小时，已知该元件寿命服从标准差为o-=100 小时的正态分布，问这批元件是否合格(<7=0.05)

解设元件寿命为X,则X~N(“，IO。?)，问题是检验假设H0://>1000.仏的否定域为w < -H0 05 ,貝中

X-1000 /— 950-1000 「

u = -------------- (25 = ------------------ x5 = -2.5

cr 100

w o.o5 = 1 64

因为

u = -2.5 < -1.64 = z/005

所以否泄Ho,即元件不合格.

5. 某批矿砂的5个样品中镰含量经测左为X(%):

3.25, 3.27, 3.24, 3.26, 3.24

设测泄值服从正态分布，问能否认为这批矿砂的银含量为3.25(a = 0.01)解问题是在P未知的条件下检验假设H. : // = 3.25

H o的否泄域为

lfl>也⑷

_ 1 5 _

X =3.252, s'=_(工X” -5X X2)=O.OOO17, 5=0.013

4 r-l

/().oo5 ⑷=4.6041

X-3.25 ,7 3.252-3.25 …

t = ------------- >/5 = ----------------- x 2.24 = 0.345

S0.013

因为

1/1= 0.345 < 4.6041 = Z0005(4)

所以接受Ho,即可以认为这批矿砂的银含虽:为.

6. 糖厂用自动打包机打包，每包标准重量为100公斤，每天开工后要检验一次打包机工作是否正常，某日开工后测得9包重量(单位：公斤)如下:

99.3, 98.7, 100.5, 101.2, 98.3, 99.7, 99.5, 102.1, 100.5

问该日打包机工作是否正常（a = 0.05；已知包重服从正态分布）

_ 1 9

解 X =99.98> S 2=-（22（X,. -x ）2） = 1.47, S = 1.21 ,

8 z-i

问题是检验假设H o :// = 1OO 的否定域为iM>r tf/2（8）. 其中 _

Z =X-100^=99.98-100X 3 = _005

S 1.21

仏§ ⑻= 2.306 因为

”1=0.05 <2.306 =心25 （8） 所以接受Ho,即该日打包机工作正常.

7. 按照规定，每100克罐头番茄汁中，维生素C 的含量不得少于21 亳克，

现从某厂生产的一批罐头中抽取17个，测得维生素C 的含量（单位：亳 克）如下

22, 21, 20, 23, 21, 19, 15, 13, 16, 23, 17, 20, 29, 18, 22, 16, 25.

已知维生素C 的含量服从正态分布，试检验这批罐头的维生素含虽是否合 格。

（a = 0.025）

解 设X 为维生素C 的含量，则X ~ N （“，O-2）, 艮=20, S —419.625, S =

20.485 , n = \l .问题是检验假设 H o : //>21.

（1） H o ://>21.

（2） 単择统计呈7并计算其值：

X —21 厂 20 — 21 C

t = ----------- y /n = ------------ \JY7 = -0.20

S 20.485

（3 ）对于给定的tz = 0.025查/分布表求出临界值 fa （"）= /oo25

（16） = 2.2・

（4）因为-r 0025（16） = -2.20<-0.20 = /o 所以接受即认为维生 素含量合

格.

8. 某种合金弦的抗拉强度X ~N （“，b?）,由过去的经验知//< 10560

（公斤/厘米二），今用新工艺生产了一批弦线，随机取10根作抗拉试验，测得数 据如下：