3 勾股定理的应用
勾股定理的应用
勾股定理的应用勾股定理作为数学中著名的定理之一，广泛应用于各个领域。
它是数学中的基础定理之一，也是几何学中三角形研究的重要工具。
本文将从几个应用角度介绍勾股定理在实际生活中的运用。
一、建筑工程中的应用勾股定理在建筑工程中有着广泛的应用。
举个例子，我们在修建某一斜坡时，需要确定其坡度，勾股定理可以帮助我们准确计算出坡度。
此外，在设计斜面道路、楼梯等结构时，勾股定理也能帮助我们确保结构的稳定与安全。
二、航海导航中的应用在航海导航中，勾股定理被广泛用于测量船只的航向和航速。
通过测量船只相对于岸上两个点的距离，结合勾股定理可以计算出船只的位移和速度，为航海者提供准确的导航信息。
三、地理测量中的应用在地理测量中，勾股定理被用于测量两个相隔较远的地点之间的距离。
通过在地面上进行三角测量，即测量两个点与另一个点的夹角以及距离，再利用勾股定理求解，可以得到精确的距离数据，为地理测量和地图绘制提供重要支持。
四、天文学中的应用在天文学中，勾股定理被用于测量遥远星体之间的距离和角度。
天文学家通过观测星体的位置和角度，结合勾股定理的计算方法，可以确定天体的距离和大小，进而推断宇宙的形态和结构。
五、计算机图形学中的应用计算机图形学中，勾股定理被广泛应用于图形处理和渲染。
图形引擎通过勾股定理来计算线段的长度、图形的形状和倾斜度等信息，为计算机生成的图像提供基础数学支持。
综上所述，勾股定理作为数学中一项重要的基础定理，在实际生活中有着广泛的应用。
它在建筑工程、航海导航、地理测量、天文学和计算机图形学等领域中都起着重要的作用。
通过勾股定理的运用，我们可以提高工作效率，确保工程安全，促进科学发展。
因此，深入理解和应用勾股定理对我们的日常生活和社会发展都具有重要意义。
勾股定理简介及应用
勾股定理简介及应用勾股定理是古希腊数学家毕达哥拉斯在公元前6世纪提出的一条三角形重要的几何定理，它可以用来计算三角形的边长或角度。
勾股定理的表述是：在一个直角三角形中，直角边的平方等于斜边的两个边的平方和。
即a²+ b²= c²，其中a和b是直角三角形的两个直角边，c是斜边。
勾股定理的应用非常广泛，可以用来解决各种实际问题，以下是一些典型的应用：1. 面积计算：勾股定理可以用来计算三角形的面积。
根据定理，面积等于直角边的乘积的一半。
例如，一个直角边长为a，另一个直角边长为b的直角三角形的面积为1/2 * a * b。
2. 边长计算：勾股定理可以用来计算三角形的边长。
如果已知两个边长a和b，可以用勾股定理求解斜边的长度c。
例如，已知一个直角三角形的两条直角边长分别为3和4，可以用勾股定理计算出斜边的长度为5。
3. 角度计算：勾股定理可以用来计算三角形的角度。
根据定理，如果已知三角形的两个边长a和b，并且要求斜边与其中一个直角边之间的角度，可以使用反正弦函数求解。
例如，已知一个直角三角形的两条直角边长分别为3和4，可以用反正弦函数求解出斜边与边长为3的直角边之间的角度。
4. 判断三角形类型：勾股定理可以用来判断三角形的类型。
如果三个边长满足勾股定理，即a²+ b²= c²，那么这个三角形是直角三角形；如果两个边长的平方和小于第三个边长的平方，即a²+ b²< c²，那么这个三角形是钝角三角形；如果两个边长的平方和大于第三个边长的平方，即a²+ b²> c²，那么这个三角形是锐角三角形。
5. 应用于解决实际问题：勾股定理可以用来解决很多实际问题，例如在建筑工程中计算屋顶的坡度和高度、在导航中确定航程和航向、在物理中计算物体的运动轨迹等等。
总结来说，勾股定理是一条非常重要和实用的几何定理，它不仅可以用来计算三角形的边长和角度，还可以用来解决各种实际问题。
三角形中的勾股定理及其应用
三角形中的勾股定理及其应用勾股定理是数学中的一个重要定理，它描述了直角三角形中三条边之间的关系。
根据勾股定理，直角三角形中最长的边，即斜边的平方等于两个直角边平方的和。
这一定理被广泛应用于几何学、物理学和工程学等领域，有助于解决直角三角形相关的问题和计算。
勾股定理的一种简单表述是：在一个直角三角形中，斜边的平方等于两个直角边平方的和。
用数学符号表示为：c² = a² + b²，其中c是斜边的长度，a和b是两个直角边的长度。
勾股定理的应用非常广泛，下面将介绍其中一些常见的应用。
1. 测量直角三角形的边长：当我们已知一个直角三角形的两个直角边的长度时，可以通过勾股定理计算斜边的长度。
这对于工程测量和建筑设计等领域非常重要。
2. 判断三角形的形状：根据勾股定理，如果一个三角形的三条边满足c² = a² + b²，那么这个三角形就是一个直角三角形。
通过这一定理，我们可以判断任意三条边的长度是否构成直角三角形。
3. 计算角度：勾股定理可以用来计算直角三角形中的角度。
根据a²+ b² = c²，我们可以通过三角函数的逆运算，如正弦、余弦和正切等，求得角度的数值。
4. 解决问题：勾股定理在解决实际问题中有着重要的应用。
例如，在导航和航海中，我们可以利用勾股定理计算两个位置之间的直线距离。
在炮弹轨迹的分析和设计中，勾股定理可以帮助预测炮弹的轨迹和距离。
通过深入理解和应用勾股定理，可以进一步拓展我们对三角形性质的认识，并解决更为复杂的问题。
例如，我们可以探索勾股定理在多边形中的应用，以及勾股定理的扩展形式，如海伦公式等。
除了勾股定理本身，我们还可以讨论一些与之相关的概念和定理，进一步加深对三角形的理解。
例如，我们可以介绍正弦定理和余弦定理，它们可以用来计算非直角三角形中的边长和角度。
总结起来，勾股定理作为数学中一项重要而实用的定理，不仅有助于理解和解决直角三角形相关的问题，还在物理学、工程学和导航等实际应用中发挥着重要作用。
直角三角形的勾股定理应用
直角三角形的勾股定理应用直角三角形是一种特殊的三角形，其中一个角为90度。
直角三角形的勾股定理是三角学中一个重要的定理，它描述了直角三角形的边之间的关系。
勾股定理的应用广泛，涉及到许多实际问题的求解，如测量距离、解决航行问题以及建筑设计等。
本文将探讨勾股定理的应用。
1. 测量距离在测量距离时，勾股定理可以帮助我们计算两点之间的直线距离。
假设我们要测量一个山谷的宽度，可以在山谷两侧的位置选择两个测量点，构成一个直角三角形。
然后，使用勾股定理计算斜边的长度，即山谷的宽度。
这种方法可以很好地应用于实地测量和地图测量等领域。
2. 解决航行问题勾股定理在航行和导航中也有广泛的应用。
例如，当船只从一个港口航行到另一个港口时，可以使用勾股定理计算两个港口之间的直线距离。
这样的计算对于规划航程、估计燃料消耗以及导航目标的定位都非常重要。
勾股定理的应用使航行更具可行性和准确性。
3. 建筑设计在建筑设计中，勾股定理被广泛应用于测量和规划。
以建筑设计中的角度和长度为基础，可以使用勾股定理计算建筑物的高度、宽度和斜面的倾斜角度。
此外，勾股定理还可以用来计算建筑物之间的距离，以及建筑物的位置和方向。
4. 解决几何问题勾股定理在解决几何问题时也非常有用。
例如，在平面几何中，我们经常需要计算直角三角形的边长或角度。
根据勾股定理，知道两个边的长度，我们可以计算出第三边的长度。
此外，勾股定理还可以帮助我们计算直角三角形中的角度，如求解一个角的正弦、余弦或正切值。
5. 物理应用勾股定理在物理学中也有着重要的应用。
例如，在力学中，勾股定理可以用来计算力的合成或分解。
根据勾股定理，我们可以计算合成力的大小和方向，以及将一个力分解为两个分力的大小和方向。
这对于研究质点平衡以及分析物体受力情况非常有用。
总结：直角三角形的勾股定理是一个广泛应用于各个领域的重要定理。
它不仅可以用于测量距离、解决航行问题和建筑设计，还可以用于解决几何问题和物理应用。
3.3勾股定理的应用
3 巩固新知
PART THREE
【例 1】如图，带阴影的矩形面积是多少？
解：在Rt△ADE中， AD2=AE2+DE2=82+152=172， 所以AD=17， 所以矩形的面积是17×3=51(cm2)．
【变式 1】如图，某隧道的截面是一个半径为 4.2m 的半圆形，一辆高 3.6m，宽 3m 的卡车能通过该隧道吗？
C．三边之比为 1：2：2 D．三边之比为 3：4：5
B 4．将直角三角形的两条直角边各扩大一倍，则斜边扩大多少倍（ ）．
A． 1 B．1 C．2 D．4 2
5.小红要求△ABC 最长边上的高，测得 AB=8 cm，AC=6 cm，BC=10 cm，则可知
B 最长边上的高是（ ）
A.48cm
B.4.8 cm
48 cm
D. 5 cm
6．如图，已知 ABC中， ACB 90,A 30,CD AB 于 D，若 DB 2 ，则
C AB 的长为（ ）．
A．4 B． 4 3 C．8 D．16
7．某日早 5 点，甲、乙两艘轮船同时从同一港口出发，甲以 30 海里／小时向北 偏东 45°航行，乙以 15 海里／小时向北偏西 45°航行，问早 7 点时两船的距离是 多少？
图一
图二
当OB=1.5cm
AB AO2 OB2 4.22 1.52 15.39m 3.6 12.9615.39m
可以通过隧道
【例 2】代数学著作《九章算术》中记载了如下一个问题：有一个水池，水面的
边长为 10 尺的正方形，在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面 1 尺，如
果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，请问这个水池的深
C 个三角形是（ ）．
勾股定理在实际生活中的应用
勾股定理在实际生活中的应用
勾股定理是古希腊数学家勾股所提出的，它表明了一个有三个正整
数组成的三角形的三条边（a,b,c）之间的关系，即a^2+b^2=c_2，主要
用于计算三角形中各边的长度，这个定理应用广泛。
1. 三棱锥和其他几何体
勾股定理在解决三角形问题的同时也有助于计算立体几何图面的表面
积和体积，特别是可以用来计算三棱锥的表面积和体积，对于任何一
个具有两个边长的三棱锥，可以使用勾股定理来求解它的底面和顶面
之间的距离，从而算出它的表面积和体积。
2. 建筑计算
勾股定理在建筑计算中也有用到，它可以帮助计算建筑物外墙和屋顶
坡度的高度，或者确定其他三角形形状建筑物的高度。
同时，屋面的
坡度也可以使用勾股定理来计算，因为屋面的坡度也是一个三角形，
勾股定理可以用来确定屋面的高度和角度。
3. 水利
建纳水利也是勾股定理的常用应用，它可以用来计算水渠或水坝底开
口的高度。
由于受水库底部和上部水平面之间的水头高度受到引水渠
容积受限，进一步受到引水渠斜度限制，那么可以使用勾股定理来求
解引水渠底开口高度。
因此，可以用勾股定理确定引水渠中水的流量，从而计算出正确的储水渠的容积。
4. 导航测量
导航测量中也使用到勾股定理，比如用它来计算从某一特定点到特定方位的垂直距离。
对角线距离也可以通过使用勾股定理来进行计算，这是由于当测量站和要测量的点之间存在着三角形关系，用勾股定理就可以求出两点之间的距离。
勾股定理的应用举例
最短时:x=1.5 ∴最短是1.5+0.5=2(m).
答:这根铁棒的长应在2～3 m之间.
【规律方法】将立体图形展开成平面图形,找
出两点间的最短路径,构造直角三角形，利用勾 股定理求解.
运用勾股定理解决实际问题时，应注意： 1.没有图时要按题意画好图并标上字母. 2.有时需要设未知数，并根据勾股定理列出相 应的方程来解.
C
于AB边吗？
A
B
【解析】如图AD2+AB2=302+402=502=BD2， 得∠DAB=90°，AD边垂直于AB边.
（2）若随身只有一个长度为20 cm的刻度尺，能有
办法检验AD边是否垂直于AB边吗？
D
C
M·
· A N
B
【解析】在AD上取点M,使AM=9 cm,在AB上取点N使 AN=12 cm,测量MN是否是15 cm，是，就是垂直；不是， 就是不垂直.
运用勾股定理解决实际问题时，应注意： 1.没有图时要按题意画好图并标上字母. 2.有时需要设未知数，并根据勾股定理列出相应 的方程来解.
数学是无穷的科学. ——赫尔曼外尔
3.3 勾股定理的应用举例 (1)
1.能运用勾股定理及直角三角形的判别条件（即勾 股定理的逆定理）解决简单的实际问题. 2.数学思考、解决问题：在将实际问题抽象为数学 问题的过程中，学会观察图形，提高分析问题、解 决问题的能力及渗透数学建模的思想.
1.你知道勾股定理的内容吗？ 2.一个三角形的三条边长分别为a,b,c(c>a,c>b）， 能否判断这个三角形是否是直角三角形？
2．如图，台阶A处的蚂蚁要爬到B处搬运食物，它
怎么走最近？并求出最近距离.
勾股定理的应用八年级数学
勾股定理的应用八年级数学勾股定理是数学中比较基本的一条定理，它可以解决很多有关直角三角形的问题。
在实际应用中，勾股定理有着广泛的应用，下面将介绍勾股定理的应用。
1. 测量地图上的距离当我们看地图时，往往需要测量两个点之间的距离。
在有些情况下，这个距离可能是斜线距离，而非水平或垂直距离，这时候我们就可以用勾股定理来求斜线距离。
我们可以把地图上的两个点看成直角三角形的直角点，然后利用勾股定理求得斜线距离。
2. 建筑设计在建筑设计中，我们往往需要计算建筑物的高度或者长度等。
在有些情况下，我们需要测量无法直接测得的高度或者长度，这时候也可以使用勾股定理来计算。
例如，我们可以通过测量某一楼层地面到天花板的距离以及该楼层到地面的距离，就可以利用勾股定理计算出该建筑物的高度。
3. 计算斜坡的高度和长度4. 求解导弹打靶问题导弹打靶问题是勾股定理应用于瞄准问题的典型案例。
假设导弹从一个点出发，需要打中地面上的目标点，我们可以将导弹的路程看成直角三角形的斜边，然后利用勾股定理计算出导弹需要调整的角度和方向。
5. 计算船舶航行距离在海上航行时，需要计算船舶的航行距离。
假设船舶向东行驶一定距离，然后向南行驶一定距离，这时候我们可以将船舶行驶的距离看成直角三角形的两条直角边，然后利用勾股定理计算出船舶的航行距离和方向。
6. 计算斜面上的物体滑动速度在物理学中，斜面上的物体滑动速度计算是一个重要问题。
假设滑动的物体滑到底部所需要的时间是已知的，我们可以将斜面看成直角三角形，然后利用勾股定理计算出物体下滑的速度和加速度。
综上所述，勾股定理在数学和实际应用中都有着广泛的应用。
随着科技的不断发展，勾股定理也会被应用到更多的领域中，为我们的生活带来更多便利。
勾股定理的应用
是否垂直于AB边吗？BC边与AB呢？ D
C
（3）小明在AD边上量得AE=0.3厘
米，AB边上量得AF=0.4厘米，EF的 A
B
长是0.5厘米，从而得出AD边垂直
于AB边。他的做法合理吗？
一展身手
1、如图，学校教学楼旁有一块矩形
花圃，有极少数同学为了走“捷径”
在花圃内走出了一条“路”。 他们
仅仅少走了（ ）步路（假设2步
方案选择
蚂蚁A→B的路线
视频演示
拓展提高
c6
9
6B
A
c 6B
6
9 A
方案选择
蚂蚁A→B的路线
学有所获
今天的收获：
1、今天你学到了哪些知识? 2、你还有哪些困惑？
教师寄语
数学在我们的生活中无处不在, 只要你是个有心人,就一定会发现在 我们的身边,我们的眼前, 还有很多 象 “勾股定理”那样的知识等待我 们去探索，等待我们去发现……
B
接向上爬到点C ，然后
再从点C 沿底面直径爬
到点B ，这样爬的总路
程与沿圆柱侧面爬行的
最短路程比较，哪一条
更短些？
A
探研点拨
归纳 几何体上的最短路径
转化
平面上两点间的距离
建模
直角三角形
勾股定理
求解 即：在求曲面上的最短路径时，往往把立体图形转化 为平面图形，利用勾股定理及其逆定理解决实际问题．
走近生活
课后探索
如图长为3cm，宽为2cm，高为1cm 的长方体盒子，蚂蚁沿着表面从A到B 需要爬行的最短路程是多少呢？
B
A
美丽绽放
如图，有一个圆柱，它的高
B
等于12cm,底面上圆的周长等于
勾股定理及其应用
勾股定理及其应用勾股定理是中国古代数学的一大发明，也是数学中最基础、最重要的定理之一。
它描述了直角三角形中三边的关系，被广泛应用于几何学、物理学、工程学等领域。
本文将介绍勾股定理的原理以及它在实际问题中的应用。
一、勾股定理的原理勾股定理可以用数学公式表示为：在直角三角形中，直角边的平方等于两条直角边的平方和。
设直角三角形的两条直角边分别为a和b，斜边为c，根据勾股定理可以得出以下公式：a² + b² = c²这个公式是勾股定理的基本表达式，它是通过对直角三角形的三边进行数学推导得出的。
二、勾股定理的应用1. 解决几何问题勾股定理在几何学中有广泛的应用。
例如，可以通过已知直角边的长度来计算斜边的长度，或者通过已知斜边和一个直角边的长度来计算另一个直角边的长度。
通过勾股定理，我们可以解决诸如直角三角形的边长计算、角度计算等几何问题，对于建筑设计、地理测量等领域都有重要意义。
2. 测量地理距离在地理学中，我们often需要计算地球表面上两点之间的直线距离。
由于地球是球状的，所以实际距离不能直接通过直线距离计算得出。
但是在较小的地理范围内（例如一个城市、一个国家等），可以将地球表面近似为平面，这样就可以使用勾股定理来计算两点之间的近似直线距离。
3. 解决物理问题勾股定理也在物理学中得到了广泛的应用。
例如，在力学中，我们可以通过勾股定理计算一个斜面上物体的重力分量和斜面的角度之间的关系；在光学中，勾股定理可以用来计算光的传输路径和折射角度等。
4. 三角函数的应用勾股定理与三角函数之间存在紧密的关系。
通过勾股定理，我们可以定义正弦、余弦和正切等三角函数。
这些三角函数在科学计算、电子工程、信号处理等领域中有广泛的应用，例如在无线通信中，计算机图形学中，音频信号处理中等。
总结：勾股定理作为数学中的重要定理，不仅仅是理论的产物，更是实践中的有力工具。
它的应用广泛涉及到几何学、物理学、工程学等多个领域。
勾股定理的应用(3种题型)
第03讲勾股定理的应用（3种题型）【知识梳理】一．勾股定理的应用（1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形．（2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．（3）常见的类型：①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度．②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和．③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题．④勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边．二．平面展开-最短路径问题（1）平面展开﹣最短路径问题，先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题．（2）关于数形结合的思想，勾股定理及其逆定理它们本身就是数和形的结合，所以我们在解决有关结合问题时的关键就是能从实际问题中抽象出数学模型．【考点剖析】题型一．勾股定理的实际应用例1．如图，一棵树从3m处折断了，树顶端离树底端距离4m，那么这棵树原来的高度是() A．8m B．5m C．9m D．7m【变式】如图在实践活动课上，小华打算测量学校旗杆的高度，她发现旗杆顶端的绳子垂到地面后还多出1m，当她把绳子斜拉直，且使绳子的底端刚好接触地面时，测得绳子底端距离旗杆底部5m，由此可计算出学校旗杆的高度是()A．8m B．10m C．12m D．15m例2．如图，一个直径为20cm的杯子，在它的正中间竖直放一根小木棍，木棍露出杯子外2cm，当木棍倒向杯壁时（木棍底端不动），木棍顶端正好触到杯口，求木棍长度．【变式】小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多了1m，当他把绳子的下端拉开5m后，发现下端刚好接触地面，求旗杆的高．题型二．平面展开-最短路径问题例3．如图，长方体的底面边长是1cm和3cm，高是6cm，如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达B，那么用细线最短需要（）A．12cm B．10cm C．13cm D．11cm例4．一个上底和下底都是等边三角形的盒子，等边三角形的高为70cm，盒子的高为240cm，M为AB的中点，在M处有一只飞蛾要飞到E处，它的最短行程多少？【变式】如图①，有一个圆柱，它的高等于12cm，底面半径等于3cm，在圆柱的底面A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的B点的食物，需要爬行的最短路程是多少?(π取3)题型三：勾股定理中的折叠问题例5．如图，矩形纸片ABCD中，4AB=，3AD=，折叠纸片使AD边与对角线BD重合，折痕为DG，则AG的长为()A．1B．43C．32D．2【变式】如图，将矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上F点处，已知3CE cm=，8AB cm=，求图中阴影部分的面积．【过关检测】一．选择题1．如图，在水池的正中央有一根芦苇，池底长10尺，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边，它的顶端恰好到达池边的水面则这根芦苇的长度是（）A．10尺B．11尺C．12尺D．13尺2．如图，已知圆柱底面的周长为12cm，圆柱高为8cm，在圆柱的侧面上，过点A和点C嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为（）A．10cm B．20cm C．cm D．100cm3．如图，小巷左右两侧是竖直的墙壁，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米．若梯子底端位置保持不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面1.5米，则小巷的宽度为（）A．0.8米B．2米C．2.2米D．2.7米4．如图，台阶阶梯每一层高20cm，宽30cm，长50cm，一只蚂蚁从A点爬到B点，最短路程是（）A．10B．50C．120D．1305．如图，圆柱的高为8cm，底面半径为2cm，在圆柱下底面的A点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面B处的食物，已知四边形ADBC的边AD、BC恰好是上、下底面的直径，问：蚂蚁吃到食物爬行的最短距离是cm．（π取3）6．《九章算术》中的“引葭赴岸”问题：今有池方一丈，葭（一种芦苇类植物）生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，水深几何？其大意是：有一个边长为10尺的正方形池塘，一棵芦苇生长在它的正中央，高出水面1尺．如果把该芦苇拉向岸边，那么芦苇的顶部恰好碰到岸边（如图所示），则水深________尺．7．《九章算术》是我国古代一部著名的数学专著，其中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，未折抵地，去本三尺，问折者高几何？其意思是：有一根与地面垂直且高一丈的竹子(1丈10尺），现被大风折断成两截，尖端落在地面上，竹尖与竹根的距离为三尺，问折断处离地面的距离为．8．《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根四尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图所示，△ABC中，∠ACB＝90°，AC+AB ＝10，BC＝4，求AC的长．9．如图，一架25米长的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，梯子底端B离墙AO有7米．（1）求梯子靠墙的顶端A距地面有多少米？（2）小燕说“如果梯子的顶端A沿墙下滑了4米，那么梯子的底端B在水平方向就滑动了4米．”她的说法正确吗？若不正确，请说明理由．10．已知某开发区有一块四边形的空地ABCD，如图所示，现计划在空地上种植草皮，经测量∠A＝90°，AB＝3m，BC＝12m，CD＝13m，DA＝4m，若每平方米草皮需要200元，问要多少投入？11．我国古代的数学名著《九章算术》中记载“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问：折者高几何？”译文：一根竹子，原高一丈，虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好着地，着地处离原竹子根部3尺远．问：尺）原处还有多高的竹子？（1丈1012．如图，一个梯子AB，顶端A靠在墙AC上，这是梯子的顶端距地面的垂直高度为24米，若梯子的顶端下滑4米，底端将水平滑动了8米，求滑动前梯子底端与墙的距离CB是多少？13．（2022春•蜀山区期中）在一款名为超级玛丽的游戏中，玛丽到达一个高为10米的高台A，利用旗杆顶部的绳索，划过90°到达与高台A水平距离为17米，高为3米的矮台B，（1）求高台A比矮台B高多少米？（2）求旗杆的高度OM；（3）玛丽在荡绳索过程中离地面的最低点的高度MN．14．如图，四边形ABCD是舞蹈训练场地，要在场地上铺上草坪网．经过测量得知：∠B＝90°，AB＝24m，BC ＝7m，CD＝15m，AD＝20m．（1）判断∠D是不是直角，并说明理由；（2）求四边形ABCD需要铺的草坪网的面积．15．如图，A，B两村在河L的同侧，A，B到河L的距离分别为1.5km和2km，AB＝1.3km，现要在河边建一供水厂，同时向A，B 1.8万元，问水厂与A村的水平距离为多远时，能使铺设费用最省，并求出总费用约多少万元．。
勾股定理在日常生活中的应用
勾股定理在日常生活中的应用1. 引言：从数学公式到生活点滴哎呀，说到勾股定理，很多人脑子里可能会立马浮现出一堆枯燥的公式和数学课本。
其实，这个定理不仅仅是在黑板上发光发热的公式，它在我们日常生活中可是大有用处的。
今天就让我们一起来看看，勾股定理如何从数学课堂走进我们的生活，成为我们解决实际问题的好帮手。
2. 勾股定理简单讲解2.1 勾股定理是什么勾股定理说的是，直角三角形的三个边之间有个非常简单的关系。
简单来说，就是直角三角形中，最长的那条边（我们叫它斜边）平方等于另外两条边的平方和。
这公式就是：a² + b² = c²。
听上去可能有点晦涩，但其实很简单，想象一下一个直角三角形，你就能明白它的意思。
2.2 为什么它有用勾股定理的厉害之处在于，它可以帮助我们快速算出很多问题的答案，比如你要测量的距离、或者物体的大小等。
如果我们能把它用到实际问题中，就能变得聪明很多哦。
3. 勾股定理在生活中的应用实例3.1 家庭装修中的妙用好比说你在家里重新装修，想在墙上挂个大电视机。
可是，墙上挂架的位置有点难找，电视机的尺寸也需要考虑。
假如你不确定电视机的底边在墙上挂的位置的距离，那就可以用勾股定理来解决。
假设你已经知道电视机的高度和宽度，那就可以用勾股定理来计算电视机从地面到顶部的总高度。
这样，你就能准确地找到最合适的位置，把电视挂得又稳又好看。
3.2 旅行中的导航帮助再比如，你出去旅游，遇到个迷路的情况，找不到从一个景点到另一个景点的最佳路线。
如果你能把这些地点画成一个直角三角形，知道了两点之间的距离，就可以用勾股定理来计算直接走直线的最短距离。
这样，你就能省去不少时间，快快乐乐地享受旅行了。
3.3 体育运动中的应用勾股定理在体育运动中也能派上大用场。
比如你在打篮球时，瞄准篮筐，你可以用它来计算投篮的角度和距离。
比如你站在离篮筐一定距离的位置上，可以用勾股定理计算出你需要向上投篮的角度和力度，这样你就能更准确地投中篮筐。
3.3勾股定理的应用举例(七年级上册数学课件)
讨论：1. 蚂蚁怎样沿正方体表面从A点爬行到G点？
2. 有最短路径吗？若有，那条最短？你是怎
么确定的？
H
G
E D
F C
A
B
H E
D
A
H E
D
A
正方体爬行路径
H
G
G
上（下）
F
E
F
C 前（后）
H
E D
B
A
A B
G
E
F
G
F C 前（后） 右（左）
h 12
例题解析
C
B
h 12 转化
A
解：由题意得展开图，知AB即为最短路径，其中 AC=12, BC= 1 18 9 在RtABC中，2有AC２＋BC２＝12２＋９２＝225＝AB２, AB＝15.
故最短路径是15 cm.
例题变式
方法总结：侧面展开图中 两点之间的线段最短.
三、合作探究之正方体
x2 1.52 22
B
x 2.5
故最长是2.5+0.5=3(米)
当最短时: x 1.5
A
C 故最短是1.5+0.5=2(米)
答:这根铁棒的最长为3米，最短为2米.
五、做一做
例3 如图是一个滑梯示意图，若将滑道AC水平放置，则刚好与 AB一样长.已知滑梯的高度ＣＥ＝３ｍ，ＣＤ＝１ｍ，试求滑道 ＡＣ的长.
B
A
B
C
GF
G
上（下） F
CE
H
右（左）
B
A
D
例题变式：
（1）如把正方体变成如左图的长方体，长方体底面 长为2,宽为1,高为4,蚂蚁从A点沿长方体表面爬到E点有 多少种爬行可能？哪种爬行路径的距离最短？是多少？
勾股定理的应用范围
勾股定理的应用范围勾股定理，那可是数学界的一个超级明星啊！它的应用范围可广啦。
一、建筑领域在建筑工程里，勾股定理就像是一个默默守护的小天使。
比如说盖房子的时候，要确保房子的墙角是直角。
工人师傅们就可以利用勾股定理来进行测量。
假如一条直角边的长度是3米，另一条直角边是4米，那斜边就应该是5米呀。
要是测量出来不是5米，那这个墙角可就不是直角啦，房子的结构稳定性可能就会受到影响呢。
而且在搭建一些特殊形状的建筑构件时，也需要用到勾股定理来计算边长，确保各个部分能够完美拼接在一起。
二、测量领域测量土地面积的时候，勾股定理也能大显身手。
当遇到不规则形状的土地，我们可以把它分割成一些直角三角形，然后用勾股定理求出各个三角形的边长，进而算出面积。
还有在测绘地形的时候，如果知道了两个地点之间的水平距离和垂直距离，就可以用勾股定理算出它们之间的实际直线距离。
就像测量山的高度和两个山峰之间的距离，通过在不同位置测量角度和距离，利用勾股定理就能算出想要的数据。
三、航海领域对于在海上航行的船只来说，勾股定理也是个得力助手。
比如说知道了灯塔和船只之间的两条相互垂直方向上的距离，就可以算出船只离灯塔的实际距离，这有助于船只确定自己的位置，避免触礁等危险。
而且在规划航线的时候，如果把航线看作是斜边，其他方向上的距离看作直角边，也可以通过勾股定理来进行计算和调整。
四、物理学中的力的分解在物理学里，当一个力作用在一个物体上，我们有时候需要把这个力分解成不同方向上的分力。
如果这几个分力的方向是相互垂直的，就可以利用勾股定理来计算各个分力的大小。
就像一个斜面上的物体受到的重力，我们可以把它分解成垂直于斜面和平行于斜面的两个分力，通过勾股定理来准确求出这两个分力的大小，进而分析物体在斜面上的运动状态。
勾股定理在很多很多领域都有着不可替代的作用，就像一个万能钥匙，虽然它看起来只是一个简单的数学定理，但却能开启这么多领域的大门呢！。
勾股定理的八大应用
勾股定理的八大应用
1. 测量直角三角形边长和角度：勾股定理可以用来确定直角三角形的斜边长，也可以用来计算两侧的直角边的长度。
它还可以用来计算三角形角度。
2. 计算斜率和距离：勾股定理可以用来计算误差，比如在工程学中，测量仪器的精度可以通过勾股定理来检验。
3. 计算面积和体积：勾股定理可以用来计算任意形状的物体的表面积和体积。
4. 面对三角形和圆形的圆角问题，勾股定理可以帮助我们解决。
5. 在游泳、篮球和足球比赛中，勾股定理可以帮助我们预测运动员的最终目标。
6. 在数学中，勾股定理是三角函数的基础，可以用来证明一些三角函数的恒等式。
7. 勾股定理可以用来推导其他数学和物理方程的解，如波动方程。
8. 勾股定理也可以用于解决实际问题，例如构建建筑物或在电路中设计电路。
勾股定理的应用
勾股定理的应用勾股定理是数学中的一条重要定理，它描述了直角三角形中三边之间的关系。
在生活和实际应用中，勾股定理有着广泛的应用。
本文将介绍勾股定理在测量、建筑、导航和图形设计等领域的具体应用。
测量领域中，勾股定理被广泛应用于测量距离。
以建筑斜坡的测量为例，斜坡上升高度h与斜线的长度L之间的关系可以通过勾股定理来计算：L² = h² + d²，其中d表示水平距离。
因此，在实际测量中，我们可以通过测量这两个数据来计算斜坡的斜线长度，从而获得准确的测量结果。
在建筑领域中，勾股定理被用于计算斜坡的坡度。
例如，当我们需要在一座山坡上建造道路时，为了确保道路的安全和适宜度，需要计算坡度。
通过勾股定理，我们可以计算出山坡的斜率，从而决定道路的坡度是否符合要求。
这样，勾股定理为建筑师和工程师提供了重要的计算工具，使他们能够设计出符合规范的建筑物。
此外，勾股定理在导航和定位领域也有着广泛应用。
例如，在船舶导航中，通过测量船舶与目标之间的距离和角度，利用勾股定理可以计算出两者之间的直线距离。
这样一来，船舶的导航员可以更准确地确定目标位置，提高导航的准确性。
另外，在卫星定位系统（GPS）中，勾股定理也被用于计算卫星和接收器之间的距离，以确定接收器的准确位置。
在图形设计以及艺术创作中，勾股定理也扮演着重要的角色。
通过利用直角三角形的比例关系，设计师可以使用勾股定理来确定艺术作品的长宽比例。
这样可以保证作品的视觉效果和比例感，使其更加美观和谐。
另外，在绘画和摄影中，通过勾股定理，艺术家可以确定透视和景深效果，使作品更加立体和逼真。
总之，勾股定理作为数学中的基础定理，在生活和实际应用中发挥着重要的作用。
从测量到建筑，从导航到艺术创作，它的应用无处不在。
掌握勾股定理的应用，不仅能够提高我们的数学水平，还能够帮助我们更好地理解和应用数学知识，从而实现更高效、精确的工作和创作。
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形中两点之间的距离，就是立体图形表面上两点间的最短
路径的长．
解析总结反 [点拨] 常见的三种立体图形表面上两点间的最短路径类型： 思 几何体 立体图形 平面展开图 基本原理 思想方法
圆柱 长方体
两点 之间，
线段 最短
化曲 为平
解析总结反
几何体 立体图形 平面展开图 基本原理 思想方法
思
两点
台阶
之间， 线段
132，所以AB′＝13 m，故梯子最短需要13 m.
解目 归纳总结
析标
突 求立体图形中最短路径问题的“四步法”：
破
(1)化：化曲面为平面；
(2)构：构造直角三角形；
(3)求：利用勾股定理求解；
(4)检：检验结果是否符合题意．
解目 目标二 利用勾股定理及其逆定理解决实际问题
析标 突
例2 [教材补充例题]如图1－3－2，在一棵树CD的6 m高处B
全品学练考
数学 八年级 上册 北师版
第 一
勾股定理
章
3 勾股定理的应用
-
3 勾股定理的应用定理解决最短路径问题
析标
突 例1 [教材补充例题] 如图1－3－1所示，有一圆柱形油罐，已 破 知油罐的底面圆的周长是12 m，高是5 m，要从点A起环绕油
罐建梯子，梯子的顶端正好到达点A的正 上方点B处，则梯子最短需要多长？
在Rt△ACD中，CD2＋CA2＝AD2，
即(18－x)2＝(6＋x)2＋122，
解得x＝3，
故树高为CD＝6＋3＝9(m)．
答：树高为9 m.
解析总结反
小结
知识点一
有关立体图形表面上两点间的最短路径问题
思
解决立体图形表面上两点间的最短路径问题时，先将立体
图形转化为平面图形，然后再利用_勾__股__定__理___求出平面图
破 有两只猴子，其中一只猴子爬下树走到离树12 m处的池塘
的A处，另一只爬到树顶D后直接跃到A处，距离以直线计
算，如果两只猴子所经过的路程相等，
请问这棵树有多高．
图1－3－2
解目 析标
解：由题意知AD＋DB＝BC＋CA，且CA＝12 m，BC＝6 m.
突 破
设BD＝x m，则AD＝(18－x)m.
图1－3－1
解目 析标
解：将圆柱形油罐的侧面沿AB剪开铺平得到四边形AA′B′B，
突 破
如图所示，则四边形AA′B′B为长方形，AB＝A′B′＝5 m，
AA′＝BB′＝12 m，∠A′＝90°.连接AB′，沿AB′建梯子时，
梯子最短．在Rt△AA′B′中，AB′2＝AA′2＋A′B′2＝122＋52＝
化曲 为平
最短
解析总结反 知识点二 应用勾股定理和直角三角形的判别条件解决简单的实 思 际问题
勾股定理
直角三角形的判别条件
在抽象出的直角三角形 判断抽象出的三角 作用
中利用勾股定理求解 形是不是直角三角形
关键
从实际问题中抽象出直角三角形
思想方法
方程思想
谢 谢 观 看！