直线和椭圆的位置关系 课件
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3.1.3直线与椭圆的位置关系ppt课件
(2)△=0 有一个解 直线与椭圆有一个公共点 (相切)
(3)△<0 无解
直线与椭圆没有公共点 (相离)．
通法
直线与椭圆的位置关系
x2 y2
1 的位置关
例1：判断直线y=x+1与椭圆
5
4
系
相交
那么，相交所得的弦的弦长是多少？
知识点2.弦长问题
x2 y 2
若直线 l : y kx m与椭圆 2 2 1(a b 0) 的
交椭圆于A，B两点，求弦AB之长．
的右焦点，
知识3.面积问题
x2
例3 已知椭圆C： y 2 1.
2
(1)求椭圆C的离心率；
(2)已知点M (1,0), 且直线y x 1与椭圆C相交于A, B两点，求ABM的面积.
知识点4.中点弦问题
2
2
x y
1
例、椭圆 1, 设直线y x 1与椭圆交于
法二:但有时为了简化计算,常设而不求,运用韦达
定理来处理.
2
或
AB
1
1 2
k
2
( y1 y2 ) 2 4 y1 y2
（适用于任何曲线）
x2 y2
1
例2、椭圆
1, 设直线y x 1与椭圆交于
16 4
2
A、B两点，求弦长| AB | 。
设点
解：设 A( x1 ，y1 ) ，B( x2 ，y2 )
弦长.
• (2)求以A(1,1)为中点椭圆的弦所在的直线方
程.
16 4
2
A、B两点，求线段AB的中点坐标。
分析：中点坐标
+ +
(3)△<0 无解
直线与椭圆没有公共点 (相离)．
通法
直线与椭圆的位置关系
x2 y2
1 的位置关
例1：判断直线y=x+1与椭圆
5
4
系
相交
那么，相交所得的弦的弦长是多少？
知识点2.弦长问题
x2 y 2
若直线 l : y kx m与椭圆 2 2 1(a b 0) 的
交椭圆于A，B两点，求弦AB之长．
的右焦点，
知识3.面积问题
x2
例3 已知椭圆C： y 2 1.
2
(1)求椭圆C的离心率；
(2)已知点M (1,0), 且直线y x 1与椭圆C相交于A, B两点，求ABM的面积.
知识点4.中点弦问题
2
2
x y
1
例、椭圆 1, 设直线y x 1与椭圆交于
法二:但有时为了简化计算,常设而不求,运用韦达
定理来处理.
2
或
AB
1
1 2
k
2
( y1 y2 ) 2 4 y1 y2
（适用于任何曲线）
x2 y2
1
例2、椭圆
1, 设直线y x 1与椭圆交于
16 4
2
A、B两点，求弦长| AB | 。
设点
解：设 A( x1 ，y1 ) ，B( x2 ，y2 )
弦长.
• (2)求以A(1,1)为中点椭圆的弦所在的直线方
程.
16 4
2
A、B两点，求线段AB的中点坐标。
分析：中点坐标
+ +
直线与椭圆的位置关系 ppt课件
y x1
由
x2 2
y2
1
消去
3x2 4x 0
y 并化简整理得
∴ x1 x2
4 3
,
x1 x2
0
∴ AB
( x1 x2 )2 ( y1 y2 )2
2( x1 x2 )2
2
( x1
x2
)2
4 x1 x2
=
4 3
2
∵点 F1 到直线 AB 的距离 d
16k(1 2k) 2(1 4k 2 )
4
解得，k 1 . 2
所以所求直线方程为: y 2 1 (x 4)即x 2y 8 0
直线与椭圆有公共点，
4m2 20(m2 1) 0
解得： 5 m 5
2
2
所以当 5 m 5 时，直线与椭圆有公共 点
2
2
PPT课件
6
探究二：直线与椭圆的相交弦长的求法
直线方程为: y kx m，椭圆方程为：x2 y2 1
直线与椭圆相交的弦长：
1
有两个公共点，求m的范围
PPT课件
12
直线与椭圆的位置关系
例1：判断直线y=x+1与椭圆 x2 y2 1 的位置关
系
54
相交
PPT课件
13
当m取何值时，直线l：y x m 与椭圆 2x2 3y2 6 相交、相切、相离？
解：联立方程组
y x m 消去y 5x2 6mx 3m2 6 0
因为∆=36>0
所以，方程有两个根，
直线与椭圆的位置关系 课件
第二章 圆锥曲线与方程
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·选修2-1
2．直线与椭圆的位置关系 直线 y＝kx＋m 与椭圆ax22＋by22＝1(a>b>0)的位置关系判断方
y＝kx＋m， 法：由ax22＋by22＝1. 消去 y(或 x)得到一个一元二次方程．
位置关系 相交 相切 相离
∴x1＋x2＝42kkk2＋－11，
又∵x1＋x2＝2，∴42kkk2＋－11＝2，得 k＝－12．故弦所在直线
方程为 y－1＝－12(x－1)，即 x＋2y－3＝0．
第二章 圆锥曲线与方程
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·选修2-1
解法二：由于此弦所在直线的斜率存在，所以设斜率为 k， 且设弦的两端点坐标为(x1，y1)、(x2，y2)，
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直线与椭圆的位置关系
第二章 圆锥曲线与方程
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·选修2-1
直线与椭圆的位置关系 温故知新 回顾复习点与圆的位置关系的代数表示，直线与圆的位置 关系的代数与几何表示．
第二章 圆锥曲线与方程
第二章 圆锥曲线与方程
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导， 直 线 l ： y ＝ x ＋ m 与 椭 圆 9x2 ＋ 16y2 ＝ 144．(1)无公共点；(2)有且仅有一个公共点；(3)有两个公共 点．
[解析] 由y9＝x2＋x＋16my，2＝144. 消去 y 得， 9x2＋16(x＋m)2＝144， 化简整理得，25x2＋32mx＋16m2－144＝0， Δ＝(32m)2－4×25(16m2－144)＝－576m2＋14400．
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2．直线与椭圆的位置关系 直线 y＝kx＋m 与椭圆ax22＋by22＝1(a>b>0)的位置关系判断方
y＝kx＋m， 法：由ax22＋by22＝1. 消去 y(或 x)得到一个一元二次方程．
位置关系 相交 相切 相离
∴x1＋x2＝42kkk2＋－11，
又∵x1＋x2＝2，∴42kkk2＋－11＝2，得 k＝－12．故弦所在直线
方程为 y－1＝－12(x－1)，即 x＋2y－3＝0．
第二章 圆锥曲线与方程
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解法二：由于此弦所在直线的斜率存在，所以设斜率为 k， 且设弦的两端点坐标为(x1，y1)、(x2，y2)，
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直线与椭圆的位置关系
第二章 圆锥曲线与方程
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直线与椭圆的位置关系 温故知新 回顾复习点与圆的位置关系的代数表示，直线与圆的位置 关系的代数与几何表示．
第二章 圆锥曲线与方程
第二章 圆锥曲线与方程
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导， 直 线 l ： y ＝ x ＋ m 与 椭 圆 9x2 ＋ 16y2 ＝ 144．(1)无公共点；(2)有且仅有一个公共点；(3)有两个公共 点．
[解析] 由y9＝x2＋x＋16my，2＝144. 消去 y 得， 9x2＋16(x＋m)2＝144， 化简整理得，25x2＋32mx＋16m2－144＝0， Δ＝(32m)2－4×25(16m2－144)＝－576m2＋14400．
直线与椭圆的位置关系(公开课)
直线与椭圆在物理问题中的应用
天体运动：椭圆轨道描述行星或卫星绕太阳的运动，直线轨道描述火箭发射和着陆的过程。
投篮运动：篮Βιβλιοθήκη 运动员投篮时的弧线轨迹可以近似为椭圆，投篮时需要掌握力度和角度，使篮球沿着近似椭圆的轨迹 飞行。
车辆行驶：高速公路上的车辆行驶轨迹可以近似为直线或抛物线，而城市道路中的车辆行驶轨迹则可能为椭圆或直线。
距离法：通过计算直线与椭圆心之间的距离，然后与椭圆的半径比较，判断位置关系。
直线与椭圆相交的情形
交点个数与判别式的关系
当判别式大于0时， 直线与椭圆有两个 交点
当判别式等于0时， 直线与椭圆有一个 交点
当判别式小于0时， 直线与椭圆没有交 点
交点坐标的求解方法
联立方程组： 将直线方程与 椭圆方程联立， 消元后得到一
桥梁设计：桥梁的支撑结构可以设计成直线或抛物线形状，以承受车辆和行人的重量，保证安全。
感谢您的耐心观看
汇报人：
元二次方程
求解交点：解一 元二次方程，得 到交点的x坐标， 再代入椭圆方程
求得y坐标
验证解：将求 得的解代入直 线方程，验证 是否满足条件
得出结论：根 据交点的坐标， 判断直线与椭 圆的位置关系
直线与椭圆相切的情形
切点个数与判别式的关系
切点个数：1个 判别式：Δ=0 直线与椭圆相切的条件：直线与椭圆有且仅有一个公共点
相交、相切、相离的定义
相交：直线与椭圆 有两个不同的交点
相切：直线与椭圆 只有一个交点
相离：直线与椭圆 没有交点
判断位置关系的方法
代数法：通过联立直线与椭圆的方程，消元后得到一元二次方程，根据判别式的值判断位置关系。
几何法：通过观察直线与椭圆的位置关系，判断交点个数，从而确定位置关系。
新高考数学椭圆-第2课时 直线与椭圆的位置关系精品课件
课堂考点探究
解:易知F1(-1,0),F2(1,0).①当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=k(x-1),设A(x1,y1),B(x2,y2),由消去y得(1+2k2)x2-4k2x+2k2-2=0,∴x1+x2=,x1·x2=.∵A(x1,y1),B(x2,y2)在椭圆C上,∴=1-,=1-,∴|AF1|===,
课堂考点探究
解:将直线l的方程与椭圆C的方程联立,得方程组将①代入②,整理得7x2+8mx+4m2-12=0③.方程③根的判别式Δ=(8m)2-4×7×(4m2-12)=-48m2+336.(1)当Δ>0,即-<m<时,方程③有两个不同的实数根,可知原方程组有两组不同的实数解,这时直线l与椭圆C有两个不重合的公共点.(2)当Δ=0,即m=±时,方程③有两个相同的实数根,可知原方程组有两组相同的实数解,这时直线l与椭圆C有两个互相重合的公共点,即直线l与椭圆C有且只有一个公共点.
课堂考点探究
例3 已知椭圆M:+=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A,B,左焦点为F,椭圆M的离心率为,且过点.(2)若过点N(1,1)的直线与椭圆M交于P,Q两点,且线段PQ的中点恰为点N,求直线PQ的方程.
解:设P(xP,yP),Q(xQ,yQ),∵线段PQ的中点恰为点N,∴xP+xQ=2,yP+yQ=2.由题知+=1,+=1,两式相减可得(xP+xQ)(xP-xQ)+(yP+yQ)·(yP-yQ)=0,∴=-,即直线PQ的斜率为-,∴直线PQ的方程为y-1=-(x-1),即3x+4y-7=0.
课堂考点探究
例2 [2021·辽宁辽阳一模] 已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为,且点在C上.(2)设过F2的直线l与C交于A,B两点,若|AF1|·|BF1|=,求|AB|.
解:易知F1(-1,0),F2(1,0).①当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=k(x-1),设A(x1,y1),B(x2,y2),由消去y得(1+2k2)x2-4k2x+2k2-2=0,∴x1+x2=,x1·x2=.∵A(x1,y1),B(x2,y2)在椭圆C上,∴=1-,=1-,∴|AF1|===,
课堂考点探究
解:将直线l的方程与椭圆C的方程联立,得方程组将①代入②,整理得7x2+8mx+4m2-12=0③.方程③根的判别式Δ=(8m)2-4×7×(4m2-12)=-48m2+336.(1)当Δ>0,即-<m<时,方程③有两个不同的实数根,可知原方程组有两组不同的实数解,这时直线l与椭圆C有两个不重合的公共点.(2)当Δ=0,即m=±时,方程③有两个相同的实数根,可知原方程组有两组相同的实数解,这时直线l与椭圆C有两个互相重合的公共点,即直线l与椭圆C有且只有一个公共点.
课堂考点探究
例3 已知椭圆M:+=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A,B,左焦点为F,椭圆M的离心率为,且过点.(2)若过点N(1,1)的直线与椭圆M交于P,Q两点,且线段PQ的中点恰为点N,求直线PQ的方程.
解:设P(xP,yP),Q(xQ,yQ),∵线段PQ的中点恰为点N,∴xP+xQ=2,yP+yQ=2.由题知+=1,+=1,两式相减可得(xP+xQ)(xP-xQ)+(yP+yQ)·(yP-yQ)=0,∴=-,即直线PQ的斜率为-,∴直线PQ的方程为y-1=-(x-1),即3x+4y-7=0.
课堂考点探究
例2 [2021·辽宁辽阳一模] 已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为,且点在C上.(2)设过F2的直线l与C交于A,B两点,若|AF1|·|BF1|=,求|AB|.
直线与椭圆的位置关系优秀课件
A分别是它的左焦点和右顶点，B是它短轴的一个端 点，则∠ABF= A、60° B、75° C、90° D、120°
2 a 2 b
7、椭圆的一焦点与长轴较近端点的距离为 10 5 焦点与短轴两端点连线互相垂直，求该椭圆的标准 方程。 8、已知椭圆在x轴和y轴正半轴上两顶点分别为A， B，原点到直线AB的距离等于 ，又该椭圆 5 3 的离心率为 e ，求该椭圆的标准方程。 2
y x 1 由 x2 消去 y 并化简整理得 2 y 1 2
3x 4x 0
2
2
4 ∴ x1 x2 , x1 x2 0 3
2 2
4 2 2 ∴ AB ( x1 x2 ) ( y1 y2 ) 2( x1 x2 ) 2 ( x1 x2 ) 4 x1 x2 = 3
∵点 F1 到直线 AB 的距离 d 2 1 1 4 4 2= . ∴ S F1 AB d AB = 2 2 2 3 3
0 ( 1) 1
= 2
4 答: △F1 AB 的面积等于 3
典型例题
2 x 2 练 习 : 经 过 椭 圆 + y = 1 的 左 焦 点 F 作 倾 斜 角 为 6 0 1 2 的 直 线 l , 直 线 l 与 椭 圆 交 于 A , B 两 点 , 求 A B 的 长 .
例2、如图，已知椭圆
ax by 1与直线x+y-1=0交
2 2
于A、B两点， AB 2 2, AB的中点M与椭圆中心连线的 y 斜率是 2 ，试求a、b的值。 2
A M
o
B
x
典型例题
x y 例3 已知椭圆 + = 1 和直线l： 25 9
2 a 2 b
7、椭圆的一焦点与长轴较近端点的距离为 10 5 焦点与短轴两端点连线互相垂直，求该椭圆的标准 方程。 8、已知椭圆在x轴和y轴正半轴上两顶点分别为A， B，原点到直线AB的距离等于 ，又该椭圆 5 3 的离心率为 e ，求该椭圆的标准方程。 2
y x 1 由 x2 消去 y 并化简整理得 2 y 1 2
3x 4x 0
2
2
4 ∴ x1 x2 , x1 x2 0 3
2 2
4 2 2 ∴ AB ( x1 x2 ) ( y1 y2 ) 2( x1 x2 ) 2 ( x1 x2 ) 4 x1 x2 = 3
∵点 F1 到直线 AB 的距离 d 2 1 1 4 4 2= . ∴ S F1 AB d AB = 2 2 2 3 3
0 ( 1) 1
= 2
4 答: △F1 AB 的面积等于 3
典型例题
2 x 2 练 习 : 经 过 椭 圆 + y = 1 的 左 焦 点 F 作 倾 斜 角 为 6 0 1 2 的 直 线 l , 直 线 l 与 椭 圆 交 于 A , B 两 点 , 求 A B 的 长 .
例2、如图，已知椭圆
ax by 1与直线x+y-1=0交
2 2
于A、B两点， AB 2 2, AB的中点M与椭圆中心连线的 y 斜率是 2 ，试求a、b的值。 2
A M
o
B
x
典型例题
x y 例3 已知椭圆 + = 1 和直线l： 25 9
高二数学 2.2.2.3_直线与椭圆的位置关系课件
xx及 xx， 则
A
B
AB
A B 1 k 2x A x B （ 1 + hk 2 ） ( x A x B ) 2 4 x A x B
3
类比思考
直线与椭圆的位置关系有哪几种? ①相交
②相切
③相离
h
4
思考：如何判定直线与椭圆的这三种位置关系？
1. 几何方法：考察交点个数
（1）相交－－有两个公共点 （2）相切－－有唯一公共点 （3）相离－－没有公共点
Ａ
M
Ｏ
Ｂ
x
“设而不求”
h
10
例４已知椭圆 mx2ny2 1与直线 xy 1
c 相交于A，B两点， 是 AB的 中点。
若 AB2 2，o c 斜率为 2 （Ｏ为原点），
求椭圆方程。
2
分析：利用弦长公式和两c 点斜率公式构造方程
组，通过求解方程组，得到基本“元” m,n的值，
从而求出椭圆的方程。
h
11
h
2
回顾2： 如何求直线被圆截得的弦长？
（1）几何方法
利用弦心距 d 、半径r 及弦长一半 构造的直角三角形（垂径定理）
AB 2 r2 d2.
r
d
B
A
（2） 代数方法
设 直 线 y k x b 与 圆 (x a )2 (y b )2 r 2 相 交 于 A ,B 两 点 ，
将 直 线 与 圆 方 程 联 立 后 ， 整 理 出 x 的 方 程 ， 求 出
当直线 ykxm与椭圆相交时，设交点
为 A(x1,y1),B(x2,y2)两点，我们把线段 A B 叫做直线被椭圆所截得的弦.
AB=（ 1k2） x1x2 其中 x1x2（ x1x2 ） 24x1x2
直线与椭圆的位置关系 课件
2x－y－2＝0， 由方程组x52＋y42＝1， 得交点 A(0，－2)，B53，43.
|AB|＝ xA－xB2＋yA－yB2
＝
0－532＋－2－432
＝
1295＝5 3
5 .
法二：设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，
2x－y－2＝0， 则 A，B 的坐标为方程组x52＋y42＝1
的解．
消去 y 得，3x2－5x＝0，则 x1＋x2＝53，x1·x2＝0.
法二：设直线 l 与椭圆的交点为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，
∴
x21＋4y12－36＝0， x22＋4y22－36＝0.
两式相减，有 (x1＋x2)(x1－x2)＋
4(y1＋y2)(y1－y2)＝0. 又 x1＋x2＝8，y1＋y2＝4， ∴xy11－－yx22＝－12，即 k＝－12.
∴直线 l 的方程为 x＋2y－8＝0.
[类题通法] 解决椭圆中点弦问题的两种方法
(1)根与系数的关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程 组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及 中点坐标公式解决；
(2)点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐 标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关 系，具体如下：已知 A(x1，y1)，B(x2，y2)是椭圆ax22＋by22＝1(a＞b ＞0)上的两个不同的点，M(x0，y0)是线段 AB 的中点，
[活学活用] 椭圆xa22＋by22＝1(a＞b＞0)的离心率为 23，且椭圆与直线 x＋2y ＋8＝0 相交于 P，Q，且|PQ|＝ 10，求椭圆的方程． 解：∵e＝ 23，∴b2＝14a2.∴椭圆的方程为 x2＋4y2＝a2. 与 x＋2y＋8＝0 联立消去 y，得 2x2＋16x＋64－a2＝0， 由 Δ＞0，得 a2＞32，由弦长公式得 10＝54×[64－2(64－a2)]． ∴a2＝36，b2＝9.∴椭圆的方程为3x62 ＋y92＝1.
|AB|＝ xA－xB2＋yA－yB2
＝
0－532＋－2－432
＝
1295＝5 3
5 .
法二：设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，
2x－y－2＝0， 则 A，B 的坐标为方程组x52＋y42＝1
的解．
消去 y 得，3x2－5x＝0，则 x1＋x2＝53，x1·x2＝0.
法二：设直线 l 与椭圆的交点为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，
∴
x21＋4y12－36＝0， x22＋4y22－36＝0.
两式相减，有 (x1＋x2)(x1－x2)＋
4(y1＋y2)(y1－y2)＝0. 又 x1＋x2＝8，y1＋y2＝4， ∴xy11－－yx22＝－12，即 k＝－12.
∴直线 l 的方程为 x＋2y－8＝0.
[类题通法] 解决椭圆中点弦问题的两种方法
(1)根与系数的关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程 组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及 中点坐标公式解决；
(2)点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐 标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关 系，具体如下：已知 A(x1，y1)，B(x2，y2)是椭圆ax22＋by22＝1(a＞b ＞0)上的两个不同的点，M(x0，y0)是线段 AB 的中点，
[活学活用] 椭圆xa22＋by22＝1(a＞b＞0)的离心率为 23，且椭圆与直线 x＋2y ＋8＝0 相交于 P，Q，且|PQ|＝ 10，求椭圆的方程． 解：∵e＝ 23，∴b2＝14a2.∴椭圆的方程为 x2＋4y2＝a2. 与 x＋2y＋8＝0 联立消去 y，得 2x2＋16x＋64－a2＝0， 由 Δ＞0，得 a2＞32，由弦长公式得 10＝54×[64－2(64－a2)]． ∴a2＝36，b2＝9.∴椭圆的方程为3x62 ＋y92＝1.
直线与椭圆的位置关系(精品复习课件).ppt
5
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【备用例题】 已知椭圆 4x2+y2=1,直线 y=x+m,设直线与椭圆相交于 A(x1,y1), B(x2,y2)两点,求△AOB 面积的最大值及△AOB 面积最大时的直线方程.
解:可求得 O 到 AB 的距离 d= m ,又|AB|= 2 10 8m2 ,
2
5
所以 S = △AOB 1 |AB|·d= 1 × 2 10 8m2 · m
直线与椭圆的位置关系
yy
OO
xx
1.直线 y kx 1 与椭圆
x2 5
y2 m
1 总有公共
点，则 m 的取值范围是
.
分析：依题意知直线过定点（0，1）,且点在
椭圆上或内部，即 02 12 1 且 m 5
5m
2.直线 y kx k与椭圆 x2 y2 1 有几个公共点？
4
例2.若点 O,F 分别为椭圆 x2 + y 2 =1 的中心和左焦点,点 P 为椭圆上任一点,求 95
OP · FP 的最小值.
y
P
FＯxyB来自CＯ Axy
N
Ｏ
M
x
练习3.
已知椭圆 x2 + y 2 = 1的左顶点为A(-2,0). 4
过（- 6 ,0）作一条斜率不为0的直线L. 5
2
25
2
=2
(5
m2)m2
≤
5 2 4
m2
m2
=1
.
54
5
2
4
当且仅当“ 5 -m2=m2”时,上式取“=”. 4
此时 m=± 10 ∈[- 5 , 5 ].
直线与椭圆的位置关系(上课课件)
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第二课时 直线与椭圆的位置关系
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课前预习
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6 1．若直线 y＝kx＋2 与椭圆x2＋y2＝1 相切，则斜率 k 的值为_±__3_____．
32
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直线与椭圆的位置关系 直线 y＝kx＋m 与椭圆ax22＋by22＝1(a＞b＞0)位置关系的判断方法：由 y＝kx＋m， ax22＋by22＝1. 消去 y(或 x)得到一个一元二次方程.
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[例 2] 已知斜率为 1 的直线 l 过椭圆x42＋y2＝1 的右焦点 F，交椭圆于
A，B 两点，求|AB|.
分析：求出直线 l 方程，联立椭圆方程利用弦长公式求出|AB|.
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有关直线与椭圆相交弦的问题，主要思路是联立直线 和椭圆的方程，得到一元二次方程，然后借助一元二次方程的有关知 识解决，有时运用弦长公式，解题时应注意以下几点： (1)当弦的两端点的坐标易求时，可直接求出交点坐标，再用两点间距 离公式求弦长． (2)当弦的两端点的坐标不易求时，可用弦长公式． (3)如果直线方程涉及斜率，要注意斜率不存在的情况．
解法二采用的是设点作差的方法，常称为“点差法”，点差法的要点是 用弦中点坐标表示弦AB的斜率和A，B的坐标，常用来解决与弦中点有关 的问题．
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3.已知椭圆方程是x92＋y42＝1，则以 A(1,1)为中点的弦 MN 所在的直线方程为__4_x_＋__9_y_－__1_3_＝__0____．
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第二课时 直线与椭圆的位置关系
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6 1．若直线 y＝kx＋2 与椭圆x2＋y2＝1 相切，则斜率 k 的值为_±__3_____．
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直线与椭圆的位置关系 直线 y＝kx＋m 与椭圆ax22＋by22＝1(a＞b＞0)位置关系的判断方法：由 y＝kx＋m， ax22＋by22＝1. 消去 y(或 x)得到一个一元二次方程.
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[例 2] 已知斜率为 1 的直线 l 过椭圆x42＋y2＝1 的右焦点 F，交椭圆于
A，B 两点，求|AB|.
分析：求出直线 l 方程，联立椭圆方程利用弦长公式求出|AB|.
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有关直线与椭圆相交弦的问题，主要思路是联立直线 和椭圆的方程，得到一元二次方程，然后借助一元二次方程的有关知 识解决，有时运用弦长公式，解题时应注意以下几点： (1)当弦的两端点的坐标易求时，可直接求出交点坐标，再用两点间距 离公式求弦长． (2)当弦的两端点的坐标不易求时，可用弦长公式． (3)如果直线方程涉及斜率，要注意斜率不存在的情况．
解法二采用的是设点作差的方法，常称为“点差法”，点差法的要点是 用弦中点坐标表示弦AB的斜率和A，B的坐标，常用来解决与弦中点有关 的问题．
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3.已知椭圆方程是x92＋y42＝1，则以 A(1,1)为中点的弦 MN 所在的直线方程为__4_x_＋__9_y_－__1_3_＝__0____．
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∴x1＋x2＝3.又4523－3＝－65，
∴中点坐标为32，－65.
弦长问题
例3 (本题满分6分)已知椭圆4x2＋5y2＝ 20的一个焦点为F，过点F且倾斜角为45°的 直线l交椭圆于A、B两点，求弦长|AB|.
【思路点拨】 求出焦点F的坐标 → 求出直线l的斜率 → 设直线l的方程 → 联立方程 → 利用根与系数的关系设而不解 → 由弦长公式求解
即 1－1a62 ＝295，∴a＝5. ∴C 的方程为2x52＋1y26＝1.
(2)过点(3，0)且斜率为45的直线方程为 y＝45(x －3)， 设直线与 C 的交点为 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 将直线方程 y＝45(x－3)代入 C 的方程， 得2x52 ＋（x－253）2＝1， 即 x2－3x－8＝0，
当
m
为何值时，直线
y＝x＋m
与椭圆 x2 16
＋y92＝1 相交？相切？相离？
y＝x＋m 【解】 由1x62＋y92＝1，得 25x2＋32mx＋16m2 －144＝0， ∴Δ＝(32m)2－4×25×(16m2－144) ＝9×43(25－m2)． 当Δ>0，即－5<m<5 时，直线和椭圆相交； 当Δ＝0，即 m＝±5 时，直线和椭圆相切； 当Δ<0,即 m>5 或 m<－5 时,直线和椭圆相离． 综上所述，当 m>5 或 m<－5 时直线与椭圆相 离；当 m＝±5 时，直线与椭圆相切；当－5<m<5 时，直线与椭圆相交．
直线 y＝3x－2 与椭圆交于 A、B 两点．
设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
ay122＋xb212＝1 ay222＋xb222＝1
① ②
①－②得
（y1＋y2）a（2 y1－y2）＝－（x1＋x2）b（2 x1－x2），
即xy11－－yx22＝－a2b（2（x1y＋1＋x2y）2）＝－ab22xy11＋＋xy22.
失误防范 1.由直线和椭圆求解直线方程，要注意斜率不 存在时是否成立． 2.涉及直线和椭圆的相交，相切问题应满足判 别式Δ≥0.
变式训练
2.设椭圆 C：xa22＋by22＝1(a>b>0)过点(0，4)，离 心率为35. (1)求 C 的方程； (2)求过点(3，0)且斜率为45的直线被 C 所截线段 的中点坐标．
解：(1)将(0，4)代入 C 的方程得1b62＝1， ∴b＝4. 又由 e＝ac＝35得a2－a2b2＝295，
则 x1＋x2＝－190，x1·x2＝－35，(3 分)
|AB|＝ 2|x1－x2|＝ 2· （x1＋x2）2－4x1x2
＝ 2· －1902－4·－35
＝
2·8
910＝169
5 .(6
分)
【名师点评】 当直线与椭圆相交时，两交 点间的距离称为弦长． (1)求弦长的方法：将直线方程与椭圆方程联 立，得到关于x的一元二次方程，然后运用根 与系数的关系，再求弦长．不必具体求出方 程的根，即不必求出直线与椭圆的交点．这 种方法是求弦长常采用的方法．
方法技巧 (1)直线与椭圆有相交、相切和相离三种情况, 其位置关系的几何特征分别是直线与椭圆有 两个交点、有且只有一个交点、无公共点， 并且二者互为充要条件．
(2)判断直线与椭圆的位置关系通常使用代数 法而不使用几何法，即先将直线方程与椭圆 的方程联立，消去一个未知数y(或x)，得到关 于x(或y)的一个一元二次方程，至于该一元二 次方程有无实数解,有几个与方程组的解的个 数相对应,故利用一元二次方程根的判别式Δ, 根据Δ>0、Δ＝0还是Δ<0即可作出判断．
【名师点评】 判断直线与椭圆的位置关系 的常用方法为：联立直线与椭圆方程，消去y 或x，得到关于x或y的一元二次方程,记该方 程的判别式为Δ,则(1)直线与椭圆相交⇔Δ>0； (2)直线与椭圆相切⇔Δ＝0；(3)直线与椭圆相 离⇔Δ<0.
变式训练
1.已知椭圆4x2＋y2＝1及直线y＝x＋m.当直 线和椭圆有公共点时，求实数m的取值范围 ．解：由4y＝x2＋x＋y2m＝1，得 5x2＋2mx＋m2－1＝0. 因为直线与椭圆有公共点， 所以Δ＝4m2－20(m2－1)≥0. 解得－ 25≤m≤ 25.
∵kAB＝3，AB 中点(x0，y0)，x0＝12，y0＝－12，
∴3＝－ba222×2×－1212＝ba22，
∴a2＝3b2.又 a2－b2＝(5 2)2＝50，∴a2＝75， b2＝25， ∴椭圆方程为7y25＋2x52 ＝1.
【名师点评】 关于中点的问题一般地可以 采用两种方法解决：(1)联立方程组，消元， 利用根与系数的关系进行设而不解，从而简 化运算解题；(2)利用“点差法”，求出与中 点、斜率有关的式子，进而求解，同学们可 以试一试．不管应用何种方法我们都必须注 意判别式Δ的限制．
【解】 椭圆方程为x52＋y42＝1，a＝ 5，b＝2， c＝1， ∴直线 l 的方程为 y＝x＋1(不失一般性，设 l 过左焦点)，由y4＝x2＋x＋5y12，＝20，消去 y，得 9x2 ＋10x－15＝0.(2 分) 名师微博 直线方程代入曲线方程，是解这类题目常用 方法.
设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，
设 y＝3x－2 与椭圆的交点坐标为(x1，y1)，(x2， y2)，则 x1＋x2＝a2＋6b92b2.
∵x1＋2 x2＝12，∴a2＋6b92 b2＝12，
∴a2＝3b2 ②， 由①②解得：a2＝75，b2＝25，此时Δ>0，∴2x52 ＋7y52 ＝1.
法二：设椭圆方程为ya22＋xb22＝1(a>b>0)，
中点弦问题
例2 焦点分别为(0，5 2)和(0，－5 2)的椭 圆截直线 y＝3x－2 所得椭圆的弦的中点的横 坐标为12，求此椭圆的方程．
【解】 法一：设所求方程为xb22＋ay22＝1(a>b>0)，
且 a2－b2＝(5 2)2＝50.①
由xb22＋ya22＝1， y＝3x－2
得(a2＋9b2)x2－12b2x＋4b2－a2b2＝0，
∴中点坐标为32，－65.
弦长问题
例3 (本题满分6分)已知椭圆4x2＋5y2＝ 20的一个焦点为F，过点F且倾斜角为45°的 直线l交椭圆于A、B两点，求弦长|AB|.
【思路点拨】 求出焦点F的坐标 → 求出直线l的斜率 → 设直线l的方程 → 联立方程 → 利用根与系数的关系设而不解 → 由弦长公式求解
即 1－1a62 ＝295，∴a＝5. ∴C 的方程为2x52＋1y26＝1.
(2)过点(3，0)且斜率为45的直线方程为 y＝45(x －3)， 设直线与 C 的交点为 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 将直线方程 y＝45(x－3)代入 C 的方程， 得2x52 ＋（x－253）2＝1， 即 x2－3x－8＝0，
当
m
为何值时，直线
y＝x＋m
与椭圆 x2 16
＋y92＝1 相交？相切？相离？
y＝x＋m 【解】 由1x62＋y92＝1，得 25x2＋32mx＋16m2 －144＝0， ∴Δ＝(32m)2－4×25×(16m2－144) ＝9×43(25－m2)． 当Δ>0，即－5<m<5 时，直线和椭圆相交； 当Δ＝0，即 m＝±5 时，直线和椭圆相切； 当Δ<0,即 m>5 或 m<－5 时,直线和椭圆相离． 综上所述，当 m>5 或 m<－5 时直线与椭圆相 离；当 m＝±5 时，直线与椭圆相切；当－5<m<5 时，直线与椭圆相交．
直线 y＝3x－2 与椭圆交于 A、B 两点．
设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
ay122＋xb212＝1 ay222＋xb222＝1
① ②
①－②得
（y1＋y2）a（2 y1－y2）＝－（x1＋x2）b（2 x1－x2），
即xy11－－yx22＝－a2b（2（x1y＋1＋x2y）2）＝－ab22xy11＋＋xy22.
失误防范 1.由直线和椭圆求解直线方程，要注意斜率不 存在时是否成立． 2.涉及直线和椭圆的相交，相切问题应满足判 别式Δ≥0.
变式训练
2.设椭圆 C：xa22＋by22＝1(a>b>0)过点(0，4)，离 心率为35. (1)求 C 的方程； (2)求过点(3，0)且斜率为45的直线被 C 所截线段 的中点坐标．
解：(1)将(0，4)代入 C 的方程得1b62＝1， ∴b＝4. 又由 e＝ac＝35得a2－a2b2＝295，
则 x1＋x2＝－190，x1·x2＝－35，(3 分)
|AB|＝ 2|x1－x2|＝ 2· （x1＋x2）2－4x1x2
＝ 2· －1902－4·－35
＝
2·8
910＝169
5 .(6
分)
【名师点评】 当直线与椭圆相交时，两交 点间的距离称为弦长． (1)求弦长的方法：将直线方程与椭圆方程联 立，得到关于x的一元二次方程，然后运用根 与系数的关系，再求弦长．不必具体求出方 程的根，即不必求出直线与椭圆的交点．这 种方法是求弦长常采用的方法．
方法技巧 (1)直线与椭圆有相交、相切和相离三种情况, 其位置关系的几何特征分别是直线与椭圆有 两个交点、有且只有一个交点、无公共点， 并且二者互为充要条件．
(2)判断直线与椭圆的位置关系通常使用代数 法而不使用几何法，即先将直线方程与椭圆 的方程联立，消去一个未知数y(或x)，得到关 于x(或y)的一个一元二次方程，至于该一元二 次方程有无实数解,有几个与方程组的解的个 数相对应,故利用一元二次方程根的判别式Δ, 根据Δ>0、Δ＝0还是Δ<0即可作出判断．
【名师点评】 判断直线与椭圆的位置关系 的常用方法为：联立直线与椭圆方程，消去y 或x，得到关于x或y的一元二次方程,记该方 程的判别式为Δ,则(1)直线与椭圆相交⇔Δ>0； (2)直线与椭圆相切⇔Δ＝0；(3)直线与椭圆相 离⇔Δ<0.
变式训练
1.已知椭圆4x2＋y2＝1及直线y＝x＋m.当直 线和椭圆有公共点时，求实数m的取值范围 ．解：由4y＝x2＋x＋y2m＝1，得 5x2＋2mx＋m2－1＝0. 因为直线与椭圆有公共点， 所以Δ＝4m2－20(m2－1)≥0. 解得－ 25≤m≤ 25.
∵kAB＝3，AB 中点(x0，y0)，x0＝12，y0＝－12，
∴3＝－ba222×2×－1212＝ba22，
∴a2＝3b2.又 a2－b2＝(5 2)2＝50，∴a2＝75， b2＝25， ∴椭圆方程为7y25＋2x52 ＝1.
【名师点评】 关于中点的问题一般地可以 采用两种方法解决：(1)联立方程组，消元， 利用根与系数的关系进行设而不解，从而简 化运算解题；(2)利用“点差法”，求出与中 点、斜率有关的式子，进而求解，同学们可 以试一试．不管应用何种方法我们都必须注 意判别式Δ的限制．
【解】 椭圆方程为x52＋y42＝1，a＝ 5，b＝2， c＝1， ∴直线 l 的方程为 y＝x＋1(不失一般性，设 l 过左焦点)，由y4＝x2＋x＋5y12，＝20，消去 y，得 9x2 ＋10x－15＝0.(2 分) 名师微博 直线方程代入曲线方程，是解这类题目常用 方法.
设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，
设 y＝3x－2 与椭圆的交点坐标为(x1，y1)，(x2， y2)，则 x1＋x2＝a2＋6b92b2.
∵x1＋2 x2＝12，∴a2＋6b92 b2＝12，
∴a2＝3b2 ②， 由①②解得：a2＝75，b2＝25，此时Δ>0，∴2x52 ＋7y52 ＝1.
法二：设椭圆方程为ya22＋xb22＝1(a>b>0)，
中点弦问题
例2 焦点分别为(0，5 2)和(0，－5 2)的椭 圆截直线 y＝3x－2 所得椭圆的弦的中点的横 坐标为12，求此椭圆的方程．
【解】 法一：设所求方程为xb22＋ay22＝1(a>b>0)，
且 a2－b2＝(5 2)2＝50.①
由xb22＋ya22＝1， y＝3x－2
得(a2＋9b2)x2－12b2x＋4b2－a2b2＝0，