2.3.2.1双曲线的简单几何性质(1)
教学设计1：2.3.2 双曲线的简单几何性质
2．3.2双曲线的简单几何性质◆知识与技能目标了解平面解析几何研究的主要问题：（1）根据条件，求出表示曲线的方程；（2）通过方程，研究曲线的性质．理解双曲线的范围、对称性及对称轴，对称中心、离心率、顶点、渐近线的概念；掌握双曲线的标准方程、会用双曲线的定义解决实际问题．◆过程与方法目标让学生参与并掌握利用信息技术探究点的轨迹问题，培养学生学习数学的兴趣和掌握利用先进教学辅助手段的技能．◆情感、态度与价值观目标在合作、互动的教学氛围中，通过师生之间、学生之间的交流、合作、互动实现共同探究，教学相长的教学活动情境，结合教学内容，培养学生科学探索精神、审美观和科学世界观，激励学生创新．◆教学过程一.复习引入双曲线的定义及标准方程二.思考分析问题1：双曲线的对称轴和对称中心各是什么？提示：坐标轴、坐标原点问题2：在双曲线中，有两条线与双曲线无限靠近，但不能相交，这条直线叫做什么？提示：双曲线的渐近线．问题3：过双曲线的某个焦点平行于渐近线的直线与双曲线有几个交点？提示：只有一个交点．三.抽象概括1．双曲线的几何性质F(－c,0)，F(c,0)F(0，－c)，F(0，c)实轴和虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线，它的渐近线是y ＝±x ，离心率为e ＝ 2.1．双曲线的焦点和顶点在同一条对称轴上．2．利用双曲线的渐近线可以较为精确地画出双曲线，渐近线是直线x ＝±a ，y ＝±b (或x ＝±b ，y ＝±a )围成的矩形的对角线，它决定了双曲线的形状．3．为了便于记忆，根据双曲线的标准方程求它的渐近线方程时，可以把双曲线标准方程x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)中等号右边的“1”改成“0”，然后分解因式即可得到渐近线的方程x a ±yb ＝0. 四.例题分析及练习[例1] 求双曲线nx 2－my 2＝mn (m >0，n >0)的半实轴长、半虚轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程．[思路点拨] 化为标准形式→求a ，b ，c →得双曲线的几何性质 [精解详析] 把方程nx 2－my 2＝mn (m >0，n >0)化为标准方程x 2m －y 2n＝1(m >0，n >0)， 由此可知，半实轴长a ＝m ，半虚轴长b ＝n ，c ＝m ＋n ， 焦点坐标为(m ＋n ，0)，(－m ＋n ，0)，离心率e ＝ca ＝m ＋n m ＝1＋nm， 顶点坐标为(－m ，0)，(m ，0)，渐近线的方程为y ＝±n mx ，即y ＝±mn m x .[感悟体会] 已知双曲线的方程求其几何性质时，若方程不是标准形式的先化成标准方程．弄清方程中的a ，b 对应的值，再利用c 2＝a 2＋b 2得到c ，然后确定双曲线的焦点位置，从而写出双曲线的几何性质． 训练题组11．(2011·安徽高考)双曲线2x 2－y 2＝8的实轴长是( ) A ．2 B ．2 2 C ．4D ．42解析：双曲线方程可变形为x 24－y 28＝1，所以a 2＝4，a ＝2，2a ＝4.答案：C2．已知双曲线C 的焦点、顶点恰好分别是椭圆x 225＋y 216＝1的长轴端点、焦点，则双曲线C的渐近线方程为( ) A ．4x ±3y ＝0B ．3x ±4y ＝0C ．4x ±5y ＝0D ．5x ±4y ＝0解析：由已知得，双曲线焦点在x 轴上，且c ＝5，a ＝3， ∴双曲线方程为x 29－y 216＝1.∴渐近线方程为x 29－y 216＝0，即x 3±y4＝0.答案：A[例2] 求适合下列条件的双曲线标准方程： (1)虚轴长为12，离心率为54；(2)顶点间距离为6，渐近线方程为y ＝±32x ；(3)与双曲线x 2－2y 2＝2有公共的渐近线，且过点M (2，－2)． [思路点拨]分析双曲线的几何性质→求a ，b ，c →确定讨论焦点位置→求双曲线的标准方程[精解详析] (1)设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1或y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)．由题意知2b ＝12，c a ＝54且c 2＝a 2＋b 2，∴b ＝6，c ＝10，a ＝8，∴标准方程为x 264－y 236＝1或y 264－x 236＝1.(2)法一：当焦点在x 轴上时，b a ＝32且a ＝3，∴b ＝92.∴所求的方程为x 29－4y 281＝1.当焦点在y 轴上时，a b ＝32且a ＝3，∴b ＝2.∴所求的方程为y 29－x 24＝1.法二：设以y ＝±32x 为渐近线的双曲线方程为x 24－y 29＝λ(λ≠0)．当λ>0时，a 2＝4λ，∴2a ＝24λ＝6⇒λ＝94；当λ<0时，a 2＝－9λ，∴2a ＝2－9λ＝6⇒λ＝－1. ∴所求的方程为x 29－4y 281＝1和y 29－x 24＝1.(3)设与双曲线x 22－y 2＝1有公共渐近线的双曲线方程为x 22－y 2＝k ，将点(2，－2)代入得k ＝222－(－2)2＝－2，∴双曲线的标准方程为y 22－x 24＝1.[感悟体会] 由双曲线的几何性质求双曲线的标准方程，一般用待定系数法．当双曲线的焦点不明确时，方程可能有两种形式，此时应注意分类讨论．为了避免讨论，也可设双曲线方程为mx 2－ny 2＝1(mn >0)．若已知双曲线的渐近线方程y ＝±ba x ，还可以将方程设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)，可避免讨论焦点的位置．训练题组23．若双曲线的一个焦点为(0，－13)，且离心率为135，则其标准方程为( )A.x 252－y 2122＝1B.y 2122－x 252＝1C.x 2122－y 252＝1D.y 252－x 2122＝1 解析：依题意可知，双曲线的焦点在y 轴上，且c ＝13.又c a ＝135，所以a ＝5，b ＝c 2－a 2＝12，故其标准方程为y 252－x 2122＝1. 答案：D4．与椭圆x 29＋y 225＝1共焦点，离心率之和为145的双曲线标准方程为________．解析：椭圆的焦点是(0,4)，(0，－4)，∴c ＝4，e ＝45，∴双曲线的离心率等于145－45＝2，∴4a ＝2，∴a ＝2.∴b 2＝42－22＝12.∴双曲线的标准方程为y 24－x 212＝1. 答案：y 24－x 212＝1.[例3] 已知F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，PQ 是经过F 1且垂直于x 轴的双曲线的弦．如果∠PF 2Q ＝90°，求双曲线的离心率． [思路点拨]设F 1c ，0，将焦点F 1的横坐标代入方程→求出P 的纵坐标及|PF 1|→由∠PF 2Q ＝90°建立a ，b ，c 的关系→求出离心率[精解详析] 设F 1(c,0)，由|PF 2|＝|QF 2|，∠PF 2Q ＝90°，知|PF 1|＝|F 1F 2|＝2c ，|PF 2|＝22c . 由双曲线的定义得22c －2c ＝2a .∴e ＝c a ＝222－2＝1＋ 2.所以所求双曲线的离心率为1＋ 2.[感悟体会] (1)求双曲线离心率的常见方法：一是依据条件求出a ，c ，再计算e ＝ca；二是依据条件建立参数a ，b ，c 的关系式，一种方法是消去b 转化成离心率e 的方程求解，另一种方法是消去c 转化成含b a 的方程，求出ba后利用e ＝1＋b 2a2求离心率． (2)求离心率的范围一般是根据条件建立a ，b ，c 的不等式，通过解不等式得c a 或ba 的范围，再求得离心率的范围． 训练题组35．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的两条渐近线互相垂直，则双曲线的离心率为( )A. 3B. 2C.52D.22解析：由题意可知，此双曲线为等轴双曲线．等轴双曲线的实轴与虚轴相等，则a ＝b ，c ＝ a 2＋b 2＝2a ，于是e ＝ca ＝ 2.答案：B6．设a >1，则双曲线x 2a2－y 2a ＋12＝1的离心率e 的取值范围是( )A ．(2，2)B ．(2， 5)C ．(2,5)D ．(2, 5) 解析：e 2＝a 2＋a ＋12a 2＝1a 2＋2a ＋2＝(1a＋1)2＋1， ∵a >1，∴0<1a <1,1<1a ＋1<2，∴2<e 2<5.又e >1，∴2<e < 5.答案：B7．(2012·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2m －y 2m 2＋4＝1的离心率为5，则m的值为________．解析：由题意得m ＞0，∴a ＝m ，b ＝m 2＋4，c ＝m 2＋m ＋4， 由e ＝ca ＝5得m 2＋m ＋4m ＝5，解得m ＝2.答案：2五.课堂小结与归纳1．已知双曲线的方程讨论其几何性质时，需先看所给方程是否为标准方程，若不是，需先把方程化为标准方程，然后由方程确定焦点所在的坐标轴，找准a 和b ，才能正确地写出焦点坐标、顶点坐标等．2．如果已知双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ，那么双曲线方程可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)．3．双曲线的离心率e ＝ca ＝1＋b a2(a >0，b >0)．六.当堂训练1．已知双曲线的离心率为2，焦点是(－4,0)，(4,0)，则双曲线方程为( ) A.x 24－y 212＝1 B.x 212－y 24＝1 C.x 210－y 26＝1 D.x 26－y 210＝1 解析：由题意e ＝ca ＝2，∴c ＝2a .又c ＝4，∴a ＝2.∴b 2＝42－22＝12.∴双曲线方程是x 24－y 212＝1.答案：A2．(2011·湖南高考)设双曲线x 2a 2－y 29＝1(a ＞0)的渐近线方程为3x ±2y ＝0，则a 的值为( )A ．4B ．3C ．2D ．1解析：∵x 2a 2－y 29＝1(a >0)，∴双曲线的渐近线方程为x 2a 2－y 29＝0，即3x ±ay ＝0.又双曲线的渐近线方程为3x ±2y ＝0，∴a ＝2. 答案：C3．若双曲线x 29－y 2m ＝1的渐近线的方程为y ＝±53x ，则双曲线焦点F 到渐近线的距离为( )A. 5B.14 C ．2 D ．25解析：∵a ＝3，b ＝m ，∴m 3＝53，∴m ＝5，∴c ＝ a 2＋b 2＝14，∴一个焦点的坐标为(14，0)，到渐近线的距离d ＝|5×14－3×0|5＋9＝ 5.答案：A4．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两个焦点分别为F 1，F 2，以F 1F 2为边作正△MF 1F 2.若双曲线恰好平分该三角形的另两边，则双曲线的离心率为( ) A ．1＋ 3 B ．4＋2 3 C ．23－2 D ．23＋2解析：如图，设N 为MF 2的中点，N 在双曲线上，∴|NF 1|－|NF 2|＝2a .又|F 1N |＝3c ，|NF 2|＝c ，∴3c －c ＝2a ，∴e ＝c a ＝23－1＝3＋1.答案：A5．(2011·辽宁高考)已知点(2,3)在双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)上，C 的焦距为4，则它的离心率为________．解析：根据点(2,3)在双曲线上，可以很容易建立一个关于a ，b 的等式，即4a 2－9b 2＝1.考虑到焦距为4，可得到一个关于c 的等式，2c ＝4，即c ＝2.再加上a 2＋b 2＝c 2，可以解出a ＝1，b ＝3，c ＝2，所以离心率e ＝2. 答案：26．设椭圆C 1的离心率为513，焦点在x 轴上且长轴长为26.若曲线C 2上的点到椭圆C 1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C 2的标准方程为________．解析：设椭圆C 1的方程为x 2a 21＋y 2b 21＝1(a 1>b 1>0)，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＝26，e ＝c 1a 1＝513，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝13，c 1＝5.∴焦距为2c 1＝10.又∵8<10，∴曲线C 2是双曲线．设其方程为 x 2a 22－y 2b 22＝1(a 2>0，b 2>0)，则a 2＝4，c 2＝5，∴b 22＝52－42＝32， ∴曲线C 2的方程为x 242－y 232＝1.答案：x 216－y 29＝17．已知双曲线的中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，－10)． (1)求此双曲线的方程；(2)若点M (3，m )在此双曲线上，求证：1F M ·2FM ＝0. 解：(1)∵离心率e ＝ca ＝2，∴a ＝b .设双曲线方程为x 2－y 2＝n (n ≠0)，∵(4，－10)在双曲线上，∴n ＝42－(－10)2＝6.∴双曲线方程为x 2－y 2＝6. (2)∵M (3，m )在双曲线上，故m 2＝3.又F 1(－23，0)，F 2(23，0)， ∴kMF 1·kMF 2＝m 3＋23·m 3－23＝－m 23＝－1.∴1F M ·2F M ＝0. 8．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >1，b >0)的焦距为2c ，直线l 过点(a,0)和(0，b )，且点(1,0)到直线l 的距离与点(－1,0)到直线l 的距离之和s ≥45c ，求双曲线离心率e 的取值范围．解：设直线l 的方程为x a ＋yb＝1，即bx ＋ay －ab ＝0.由点到直线的距离公式，且a >1，得点(1,0)到直线l 的距离d 1＝ba －1a 2＋b 2，点(－1,0)到直线l 的距离d 2＝ba ＋1a 2＋b 2.∴s ＝d 1＋d 2＝2ab a 2＋b 2＝2abc . 由s ≥45c ，得2ab c ≥45c ，即5a c 2－a 2≥2c 2.∵e ＝ca ，∴5e 2－1≥2e 2，∴25(e 2－1)≥4e 4，即4e 4－25e 2＋25≤0，∴54≤e 2≤5(e >1)．∴52≤e ≤5，即e 的取值范围为[52，5]．。
高中数学_双曲线的简单几何性质教学设计学情分析教材分析课后反思
2.3.2 双曲线简单的几何性质教学设计1．教学目标（1）知识层面：结合双曲线的图象，师生共同探索发现和归纳双曲线的性质，同时体会数形结合的思想方法。
（2）能力层面：通过在教师引导下探索新知的过程，培养学生观察、分析、归纳的自学能力，为学生学习的可持续发展打下基础。
（3）情感层面：通过数形结合思想方法的运用，让学生体会（数学）问题从抽象到形象的转化过程与方法，体会数学之美，激发学生学习数学的信心和兴趣。
2．重点难点重点：师生共同探索，归纳、总结出双曲线的性质，在探索过程中体会数形结合思想方法。
难点：对双曲线性质的理解和应用4．教学过程活动1【导入】环节一活动2【活动】回顾已学活动3新知探索活动4【活动】板书设计椭圆、双曲线的性质比较学情分析本节课之前，学生已经学习了《椭圆及其性质》，《双曲线及标准方程》，这些都为本节课的学习打好了基础。
但由于我校学生生源比较差，基础薄弱，学习的自主性较差，主动性不够，学习有依赖性，并且学习的信心不够，画图读图能力也不足，在讲解时要精分细讲，从图象到方程以及范围、对称性、顶点、实轴虚轴、渐近线、离心率等层层递进，引导学生从图象中得出结论，根据学生对新知识的认知规律，从简到难，数形结合，对性质的讲解要面面俱到。
双曲线简单的几何性质--学生当堂学习效果评测结果及分析1.知识的掌握。
有52%的学生能够达到A，35%的学生能够达到B,13%的学生属于C。
前两种学生平时的学习习惯较好，方法科学，第三种学生基础较差，学习习惯和方法均存在问题。
教师在分层施教基础上，适当采取一些方法让学习好的学生加加餐，让较差的学生能够跳一跳，摘到心仪的果子。
2.思维能力的发展。
11%的学生能够达到A，74%的学生能够达到B,15%的学生属于C。
第一种是平时表现特别积极、敢于展现、大胆发言的学生。
第二种是平时表现比较积极，在课堂活动中能够积极参与的学生。
第三种平时默默无闻，不敢发言和表现。
在激励第一种学生的同时，平时教师应多给与第二和第三种学生发言和表现的机会，以此实现学生的全面发。
高二选修双曲线及简单性质课后巩固试题 (1)
§2.3.2双曲线的简单几何性质(1)学习目标1．理解并掌握双曲线的几何性质．P 56~ P 58，文P 49~ P 51找出疑惑之处） 复习1：写出满足下列条件的双曲线的标准方程： ①3,4a b ==，焦点在x 轴上；②焦点在y 轴上，焦距为8，2a =． 复习2：前面我们学习了椭圆的哪些几何性质？二、新课导学： ※ 学习探究问题1：由椭圆的哪些几何性质出发，类比探究双曲线22221x y ab-=的几何性质?范围：x ： y ：对称性：双曲线关于 轴、 轴及 都对称． 顶点：（ ），（ ）．实轴，其长为 ；虚轴，其长为 ． 离心率：1c e a=>．渐近线： 双曲线22221x y ab-=的渐近线方程为：0x y ab±=．问题2：双曲线22221y x ab-=的几何性质?图形： 范围：x ： y ：对称性：双曲线关于 轴、 轴及 都对称． 顶点：（ ），（ ）实轴，其长为 ；虚轴，其长为 ． 离心率：1c e a=>．渐近线：双曲线22221y x ab-=的渐近线方程为： ．新知：实轴与虚轴等长的双曲线叫 双曲线．※ 典型例题例1求双曲线2214925xy-=的实半轴长、虚半轴的长、焦点坐标、离心率及渐近线的方程．变式：求双曲线22916144y x -=的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程． 例2求双曲线的标准方程：⑴实轴的长是10，虚轴长是8，焦点在x 轴上；⑵离心率e =(5,3)M -；⑶渐近线方程为23y x =±，经过点9(,1)2M -．※ 动手试试练1．求以椭圆22185xy+=的焦点为顶点，以椭圆的顶点为焦点的双曲线的方程．练2．对称轴都在坐标轴上的等到轴双曲线的一个焦点是1(6,0)F -，求它的标准方程和渐近线方程．三、总结提升： ※ 学习小结双曲线的图形、范围、顶点、对称性、离心率、渐近线．※ 当堂检测1． 双曲线221168xy-=实轴和虚轴长分别是（ ）．A ．8、B ．8、C ．4、D ．4、2．双曲线224x y -=-的顶点坐标是（ ）．A ．(0,1)±B ．(0,2)±C ．(1,0)±D ．（2,0±）3． 双曲线22148xy-=的离心率为（ ）．A ．1 B ． C D ．24．双曲线2241x y -=的渐近线方程是 ．5．经过点(3,1)A -，并且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的方程是 ．1．求焦点在y 轴上，焦距是16，43e =的双曲线的标准方程．2．求与椭圆2214924xy+=有公共焦点，且离心率54e =的双曲线的方程．§2.3.2双曲线的简单几何性质(2)学习目标1．从具体情境中抽象出椭圆的模型；2．掌握椭圆的定义；3．掌握椭圆的标准方程．P 58~ P 60，文P 51~ P 53找出疑惑之处） 复习1：说出双曲线的几何性质? 复习2：双曲线的方程为221914xy-=，其顶点坐标是( )，( )；渐近线方程 ． 二、新课导学 ※ 学习探究探究1：椭圆22464x y +=的焦点是？探究2：双曲线的一条渐近线方程是0x +=，则可设双曲线方程为？问题：若双曲线与22464x y +=有相同的焦点，它的一条渐近线方程是0x +=，则双曲线的方程是？※ 典型例题例1双曲线型冷却塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，它的最小半径为12m ，上口半径为13m ，下口半径为25m ，高为55m ，试选择适当的坐标系，求出此双曲线的方程．例2点(,)M x y 到定点(5,0)F 的距离和它到定直线l :165x =的距离的比是常数54，求点M 的轨迹．例3过双曲线22136xy-=的右焦点，倾斜角为30的直线交双曲线于,A B 两点，求,A B 两点的坐标．变式：求A B ？ 思考：1AF B ∆的周长？※ 动手试试练1．若椭圆22214xy a+=与双曲线2212xya-=的焦点相同，则a =____.练2 ．若双曲线2214xym-=的渐近线方程为2y =±，求双曲线的焦点坐标．三、总结提升1．双曲线的综合应用：与椭圆知识对比，结合； 2．双曲线的另一定义； 3．直线与双曲线的位置关系．※ 当堂检测1．若椭圆2212516xy+=和双曲线22145xy-=的共同焦点为F 1，F 2，P 是两曲线的一个交点，则12PF PF ∙的值为（ ）． A ．212B ．84C ．3D ．212．以椭圆2212516x y+=的焦点为顶点，离心率为2的双曲线的方程（ ）． A.2211648xy-= B.221927xy-= C.2211648xy-=或221927xy-= D. 以上都不对3．过双曲线的一个焦点2F 作垂直于实轴的直线，交双曲线于P 、Q ，1F 是另一焦点，若∠12PF Q π=，则双曲线的离心率e 等于（ ）．A.1B.C. 1D. 24．双曲线的渐近线方程为20x y ±=，焦距为10，这双曲线的方程为_______________. 5．方程221xy+=表示焦点在x 轴上的双曲线，则k 的取值范围 ．1．已知双曲线的焦点在x 轴上，方程为22221x y ab-=，两顶点的距离为8，一渐近线上有点(8,6)A ，试求此双曲线的方程．双曲线的简单几何性质随堂巩固1．双曲线19422=-yx的渐进线方程为（ ）A ．x y 32±= B ．x y 94±= C ．x y 23±= D ．x y 49±=2．已知双曲线C 的两条渐进线方程为x y ±=，且过点)1,2(M ，则双曲线的方程为（ ） A ．122=-y x B ．222=-y x C ．122-=-yx D ．222-=-y x3．双曲线的离心率为2，则双曲线的两条渐近线的夹角是4．已知双曲线1422=-ymx的一条渐近线方程为x y =，则实数m =5．已知P 是双曲线19222=-yax 右支上的一点，双曲线的一条渐近线方程为03=-y x ，设21F F 、分别为双曲线的左、右焦点.若32=PF ,则1PF = 6．已知双曲线与椭圆125922=+yx共焦点，它们离心率之和为514，则双曲线方程是强化训练1．已知双曲线12222=-by ax 和椭圆)0,0(12222>>>=+b m a by mx 的离心率互为倒数，那么以m b a 、、为边长的三角形是（ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形 2．已知双曲线13622=-yx的焦点21,F F ，点M 在双曲线上且x MF ⊥1轴，则1F 到直线2MF 的距离为（ ）A ．563 B ．665 C ．56 D ．653．双曲线192522=-yx和)259(192522<<-=+--k k ykx有（ ）A ．相同焦点B ．相同的渐进线C ．相同顶点D ．相等的离心率 4．已知双曲线)0(19222>=-m x m y 的一个顶点到它的一条渐近线的距离为51，则m 等于（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 5．设1>a ，则1)1(2222=+-a yax 的离心率e 的取值范围是（ ）A ．)2,2(B ．)5,2(C ．)5,2(D ．)5,2(6．已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by ax 的一条渐近线为)0(>=k kx y ，离心率为k e 5=，则双曲线方程为（ ）A ．142222=-a yax B ．152222=-ayax C ．142222=-by bxD ．152222=-by bx7．双曲线1251622=-yx的两条渐进线的夹角为8．已知圆0846:22=+--+y x y x C ，以圆C 与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点，则适合上述条件的双曲线的标准方程为 9．已知双曲线的渐进线方程为x y 34±=，并且焦点都在圆10022=+yx 上，求双曲线的方程10．已知双曲线的离心率21,2F F e 、=是双曲线的两个焦点，P 在双曲线上且SPF F ,6021=∠△21FPF =123，求双曲线的方程11．已知双曲线的中心在原点，焦点21F F 、在坐标轴上，离心率为2，且过)10,4(-M （1）求双曲线的方程（2）若点),3(m N 在双曲线上，求证：021=⋅NF NF （3）求△21NF F 的面积12．双曲线14922=-yx与直线1-=kx y 只有一个公共点，求k 的值第二课时1．双曲线112422=-xy的准线方程为（ ）A ．169±=x B ．49±=x C ．169±=y D ．49±=y2．已知双曲线9322=-y x ，则双曲线右支上的点P 到右焦点的距离与点P 到右准线的距离之比等于（ ）A ．4 B ．332 C ．2 D ．23．若双曲线)0(116222>=-b by x的一条准线恰好为圆0222=++x y x 的一条切线，则b 的值为（ ） A ．4 B ．8 C ．42 D ．434．若双曲线的两渐进线是x y 23±=，焦点)0,26()0,26(21F F 、-，那么它两准线间距离为（ ） A ．26138 B ．26134 C ．261318 D ．261395．双曲线两准线间距离等于半焦距，则离心率为（ ） A ．2 B ．3 C ．2 D ．36．与曲线1492422=+yx共焦点，且与曲线1643622=-yx共渐进线的双曲线方程为（ ）A ．191622=-yxB ．116922=-yxC ．191622=-xyD ．116922=-xy强化训练1．已知双曲线14:22=-yx C ，过点)1,1(P 作直线l ，使l 与C 有且只有一个公共点，则满足上述条件的直线l 共有（ ） A ．1 条 B ．2条 C ．3条 D ．4条 2．双曲线191622=-yx的右准线与渐进线在第四象限的交点与右焦点连线的斜率（ ）A ．35- B ．53 C ．34 D ．433．已知双曲线1242522=-yx上一点M 到右准线的距离是10，2F 是右焦点，N 是2MF 的中点，O 坐标原点，则ON 等于（ ）A ．2 B ．2或7 C ．7或12 D ．2或124．设双曲线12222=-by ax 的右准线与渐进线交于B A 、两点，点F 为右焦点，若AB 以为直径的圆经过点F ，则该双曲线离心率为（ ）A ．332 B ．2 C ．3 D ．25．设双曲线12222=-by ax 与)0,0(12222>>=+-b a by ax 的离心率分别为21e e 、，则当b a 、在变化时，2221e e +的最小值是（ ）A ．2B ．42 C ．22 D ．46．若双曲线)0,0(12222>>=-b a by ax 的右支上存在一点，它到右焦点及左准线的距离相等，则双曲线离心率的取值范围为（ ） A ．(]2,1 B ．[)+∞,2 C ．(]12,1+ D ．[)+∞+,127．双曲线两准线将实轴三等分，则双曲线的离心率为 8．已知：点)0,2(),0,3(F A ，在双曲线1322=-yx 上求一点P ，使PF PA 21+的值最小9．设双曲线C 的渐进线方程为034=±y x ,一条准线为516=y ,求双曲线C 的方程10．设双曲线中心在坐标原点,准线平行于x 轴,离心率为25,已知)5,0(P 到双曲线上的点最近距离为2,求此双曲线的方程 11．在双曲线1121322-=-yx的一支上有不同的三点),()6,(),(33211y x C x B y x A 、、,与焦点)5,0(F 成等差数列(1)求31y y +的值(2)求证:线段AC 的垂直平分线经过某一定点,并求出定点坐标12．已知双曲线的中心在原点，焦点21,F F 在坐标轴上，离心率为2，且过点)10,4(- （1）求此双曲线（2）若直线系03=+--m k y kx （其中k 为参数）所过定点M 恰好在双曲线上， 求证：M F M F 21⊥13．已知直线1+=ax y 与双曲线1322=-y x 交于B A ,两点 （1）若以AB 为直径的圆过坐标原点，求实数a 的值 （2）是否存在这样的实数a ，使B A ,两点关于直线x y 21=对称？若存在，请求出a 的值；若不存在，请说明理由 14．设双曲线)0(1:222>=-a yax C 与直线1:=+y x l 相交于不同的点B A 、（1）求双曲线C 的离心率e 的取值范围 （2）设直线l 与y 轴的交点为P ，且PB PA 125=,求a 的值。
第二章 2.3.2 双曲线的简单几何性质
2.3.2双曲线的简单几何性质学习目标 1.掌握双曲线的简单几何性质.2.理解双曲线离心率的定义、取值范围和渐近线方程.3.了解直线与双曲线相交的相关问题．知识点一双曲线的性质标准方程x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0)图形性质范围x≥a或x≤－a y≤－a或y≥a对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点坐标A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a)渐近线y＝±ba x y＝±ab x离心率e＝ca，e∈(1，＋∞)，其中c＝a2＋b2a，b，c间的关系c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0)知识点二等轴双曲线实轴和虚轴等长的双曲线，它的渐近线方程是y＝±x，离心率为 2.1．双曲线x2a2－y2b2＝1与y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0)的形状相同．(√)2．双曲线x2a2－y2b2＝1与y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0)的渐近线相同．(×)3．等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率e＝ 2.(√)4．椭圆的离心率与双曲线的离心率取值范围相同．(×)5．双曲线有四个顶点，分别是双曲线与其实轴及虚轴的交点．(×)一、由双曲线方程研究其几何性质例1 求双曲线9y 2－4x 2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率、渐近线方程． 解 将9y 2－4x 2＝－36化为标准方程为x 29－y 24＝1，即x 232－y 222＝1， 所以a ＝3，b ＝2，c ＝13.因此顶点坐标为A 1(－3,0)，A 2(3,0)， 焦点坐标为F 1(－13，0)，F 2(13，0)， 实轴长2a ＝6，虚轴长2b ＝4， 离心率e ＝c a ＝133，渐近线方程为y ＝±b a x ＝±23x .延伸探究求双曲线nx 2－my 2＝mn (m >0，n >0)的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程． 解 把方程nx 2－my 2＝mn (m >0，n >0)化为标准方程为x 2m －y 2n＝1(m >0，n >0)， 由此可知，实半轴长a ＝m ， 虚半轴长b ＝n ，c ＝m ＋n ，焦点坐标为(m ＋n ，0)，(－m ＋n ，0)，离心率e ＝ca＝m ＋nm＝1＋n m， 顶点坐标为(－m ，0)，(m ，0)， 所以渐近线方程为y ＝±n mx ，即y ＝±mn m x .反思感悟 由双曲线的方程研究几何性质的解题步骤 (1)把双曲线方程化为标准形式是解决此类题的关键．(2)由标准方程确定焦点位置，确定a，b的值．(3)由c2＝a2＋b2求出c的值，从而写出双曲线的几何性质．跟踪训练1 求双曲线9y 2－16x 2＝144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程．解 把方程9y 2－16x 2＝144化为标准方程为 y 242－x 232＝1. 由此可知，实半轴长a ＝4，虚半轴长b ＝3； c ＝a 2＋b 2＝42＋32＝5，焦点坐标是(0，－5)，(0,5)；离心率e ＝c a ＝54；渐近线方程为y ＝±43x .二、由双曲线的几何性质求标准方程 例2 根据以下条件，求双曲线的标准方程． (1)过点P (3，－5)，离心率为2；(2)与椭圆x 29＋y 24＝1有公共焦点，且离心率e ＝52；(3)与双曲线x 29－y 216＝1有共同渐近线，且过点(－3,23)．解 (1)若双曲线的焦点在x 轴上， 设其方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，∵e ＝2，∴c 2a2＝2，即a 2＝b 2.①又双曲线过P (3，－5)，∴9a 2－5b 2＝1，②由①②得a 2＝b 2＝4，故双曲线方程为x 24－y 24＝1. 若双曲线的焦点在y 轴上， 设其方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)，同理有a 2＝b 2，③ 5a 2－9b 2＝1，④ 由③④得a 2＝b 2＝－4(舍去)． 综上，双曲线的标准方程为x 24－y 24＝1.(2)由椭圆方程x 29＋y 24＝1，知半焦距为9－4＝5，∴焦点是F 1(－5，0)，F 2(5，0)． 因此双曲线的焦点为(－5，0)，(5，0)． 设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，由已知条件，有⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝52，a 2＋b 2＝c 2，c ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1.∴所求双曲线的标准方程为x 24－y 2＝1.(3)设所求双曲线方程为x 29－y 216＝λ(λ≠0)，将点(－3,23)代入得λ＝14，∴双曲线方程为x 29－y 216＝14，即双曲线的标准方程为x 294－y 24＝1.反思感悟 (1)根据双曲线的某些几何性质求双曲线方程，一般用待定系数法转化为解方程(组)，但要注意焦点的位置，从而正确选择方程的形式． (2)巧设双曲线方程的六种方法与技巧①焦点在x 轴上的双曲线的标准方程可设为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)．②焦点在y 轴上的双曲线的标准方程可设为y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)．③与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1共焦点的双曲线方程可设为x 2a 2－λ－y 2b 2＋λ＝1(λ≠0，－b 2<λ<a 2)．④与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1具有相同渐近线的双曲线方程可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)．⑤渐近线为y ＝kx 的双曲线方程可设为k 2x 2－y 2＝λ(λ≠0)． ⑥渐近线为ax ±by ＝0的双曲线方程可设为a 2x 2－b 2y 2＝λ(λ≠0)． 跟踪训练2 求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)焦点在x 轴上，虚轴长为8，离心率为53；(2)渐近线方程为y ＝±12x 且过点A (2，－3)．解 (1)设所求双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，由题意知2b ＝8，e ＝c a ＝53，从而b ＝4，c ＝53a ，代入c 2＝a 2＋b 2，得a 2＝9， 故双曲线的标准方程为x 29－y 216＝1.(2)方法一 ∵双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，若焦点在x 轴上，设所求双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，则b a ＝12.①∵A (2，－3)在双曲线上，∴4a 2－9b 2＝1.②由①②联立，无解．若焦点在y 轴上，设所求双曲线的标准方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)，则a b ＝12.③∵A (2，－3)在双曲线上，∴9a 2－4b 2＝1.④由③④联立，解得a 2＝8，b 2＝32. ∴所求双曲线的标准方程为y 28－x 232＝1.方法二 由双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，可设双曲线方程为x 222－y 2＝λ(λ≠0)，∵A (2，－3)在双曲线上， ∴2222－(－3)2＝λ，∴λ＝－8 ∴所求双曲线的标准方程为y 28－x 232＝1.三、双曲线的离心率例3 设F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P 使得|PF 1|＋|PF 2|＝3b ，|PF 1|·|PF 2|＝94ab ，则该双曲线的离心率为________．答案 53解析 不妨设P 为双曲线右支上一点， |PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2.根据双曲线的定义，得r 1－r 2＝2a ， 又r 1＋r 2＝3b ，故r 1＝3b ＋2a 2，r 2＝3b －2a 2.又r 1·r 2＝94ab ，所以3b ＋2a 2·3b －2a 2＝94ab ，解得b a ＝43(负值舍去)，故e ＝c a ＝a 2＋b 2a 2＝⎝⎛⎭⎫b a 2＋1 ＝⎝⎛⎭⎫432＋1＝53. 反思感悟 求双曲线离心率的两种方法(1)直接法：若已知a ，c 可直接利用e ＝ca求解，若已知a ，b ，可利用e ＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2求解．(2)方程法：若无法求出a ，b ，c 的具体值，但根据条件可确定a ，b ，c 之间的关系，可通过b 2＝c 2－a 2，将关系式转化为关于a ，c 的齐次方程，借助于e ＝ca ，转化为关于e 的n 次方程求解．跟踪训练3 (1)已知F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两焦点，以线段F 1F 2为边作正三角形MF 1F 2，若边MF 1的中点P 在双曲线上，则双曲线的离心率是( ) A ．4＋2 3 B ．23－1 C.3＋12D.3＋1答案 D解析 因为MF 1的中点P 在双曲线上，所以|PF 2|－|PF 1|＝2a ，因为△MF 1F 2为正三角形，边长都是2c ，所以3c －c ＝2a， 所以e ＝c a ＝23－1＝3＋1.(2)如果双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1右支上总存在到双曲线的中心与右焦点距离相等的两个相异点，则双曲线离心率的取值范围是________． 答案 (2，＋∞)解析 如图，因为AO ＝AF ，F (c ,0)，所以x A ＝c2，因为A 在右支上且不在顶点处，所以c 2>a ，所以e ＝c a>2.1．双曲线mx 2＋y 2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m 的值为( ) A ．4 B ．－4 C ．－14D.14答案 C解析 由双曲线方程mx 2＋y 2＝1，知m <0， 则双曲线方程可化为y 2－x 2－1m＝1， 则a 2＝1，a ＝1，又虚轴长是实轴长的2倍， ∴b ＝2，∴－1m ＝b 2＝4，∴m ＝－14，故选C.2．中心在原点，焦点在x 轴上，且一个焦点在直线3x －4y ＋12＝0上的等轴双曲线的方程是( )A ．x 2－y 2＝8B ．x 2－y 2＝4C ．y 2－x 2＝8D ．y 2－x 2＝4答案 A解析 令y ＝0，得x ＝－4， ∴等轴双曲线的一个焦点为(－4,0)， ∴c ＝4，a 2＝b 2＝12c 2＝12×16＝8，故选A.3．双曲线x 2－y 2m＝1的离心率大于2的充要条件是( ) A ．m >12B ．m ≥1C ．m >1D ．m >2 答案 C解析 由题意得，a 2＝1，b 2＝m >0，∴c 2＝m ＋1 ∴e ＝c a＝m ＋1>2，∴m >1.4．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为233，则其渐近线方程为________________．答案 y ＝±33x解析 由题意知，e ＝c a ＝233，得c 2a 2＝43.又c 2＝b 2＋a 2，所以b 2＋a 2a 2＝43. 故b 2a 2＝13. 所以b a ＝33，所以该双曲线的渐近线方程为y ＝±33x .5．若直线y ＝kx 与双曲线4x 2－y 2＝16相交，则实数k 的取值范围为________． 答案 (－2,2)解析 易知k ≠±2，将y ＝kx 代入4x 2－y 2＝16得关于x 的一元二次方程(4－k 2)x 2－16＝0，由Δ>0可得－2<k <2.1．知识清单： (1)双曲线的几何性质． (2)双曲线的离心率的求法．2．方法归纳：定义法、函数与方程、数形结合． 3．常见误区：忽略双曲线中x ，y 的范围．1．已知双曲线x 2a 2－y 25＝1(a >0)的右焦点为(3,0)，则双曲线的离心率等于( )A.31414B.324C.32D.43答案 C解析 由题意知a 2＋5＝9，解得a ＝2，e ＝c a ＝32.2．双曲线x 2－y 2＝1的顶点到其渐近线的距离等于( ) A.12 B.22 C ．1 D. 2 答案 B解析 双曲线x 2－y 2＝1的渐近线方程为x ±y ＝0，顶点坐标为(1,0)，(－1,0)，故顶点到渐近线的距离为22. 3．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为52，则双曲线C 的渐近线方程为( )A ．y ＝±14xB ．y ＝±13xC ．y ＝±12xD ．y ＝±x答案 C解析 已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为52，故有a 2＋b 2a 2＝54，所以b 2a 2＝14，解得b a ＝12. 故双曲线C 的渐近线方程为y ＝±12x ，故选C. 4．已知双曲线方程为x 2－y 24＝1，过点P (1,0)的直线l 与双曲线只有一个公共点，则l 共有( ) A ．4条 B ．3条 C ．2条 D ．1条答案 B解析 因为双曲线方程为x 2－y 24＝1，则P (1,0)是双曲线的右顶点，所以过P (1,0)并且和x 轴垂直的直线是双曲线的一条切线，与双曲线只有一个公共点，另外两条就是过P (1,0)分别和两条渐近线平行的直线，所以符合要求的有3条．5．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的焦距为10，点P (2,1)在C 的渐近线上，则双曲线C 的方程为( )A.x 220－y 25＝1 B.x 25－y 220＝1 C.x 280－y 220＝1 D.x 220－y 280＝1 答案 A解析 双曲线C 的渐近线方程为y ＝±b a x ，点P (2,1)在渐近线上，∴4a 2－1b 2＝0，即a 2＝4b 2， 又a 2＋b 2＝c 2＝25，解得b 2＝5，a 2＝20，故选A.6．过双曲线x 2－y 23＝1的右焦点且与x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A ，B 两点，则|AB |等于________．答案 4 3解析 由题意知，双曲线x 2－y 23＝1的渐近线方程为y ＝±3x ，将x ＝c ＝2代入得y ＝±23，所以|AB |＝4 3.7．已知双曲线方程为8kx 2－ky 2＝8(k ≠0)，则其渐近线方程为________________． 答案 y ＝±22x解析 由已知令8kx 2－ky 2＝0，得渐近线方程为y ＝±22x .8．过双曲线x 2－y 23＝1的左焦点F 1作倾斜角为π6的弦AB ，则|AB |＝________.答案 3解析 易得双曲线的左焦点F 1(－2,0)，∴直线AB 的方程为y ＝33(x ＋2)， 与双曲线方程联立，得8x 2－4x －13＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝12，x 1x 2＝－138， ∴|AB |＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝1＋13×⎝⎛⎭⎫122－4×⎝⎛⎭⎫－138＝3. 9．求适合下列条件的双曲线的标准方程．(1)两顶点间的距离是6，两焦点所连线段被两顶点和中心四等分；(2)渐近线方程为2x ±3y ＝0，且两顶点间的距离是6.解 (1)由两顶点间的距离是6，得2a ＝6，即a ＝3.由两焦点所连线段被两顶点和中心四等分可得2c ＝4a ＝12，即c ＝6，于是有b 2＝c 2－a 2＝62－32＝27.由于焦点所在的坐标轴不确定，故所求双曲线的标准方程为x 29－y 227＝1或y 29－x 227＝1. (2)设双曲线方程为4x 2－9y 2＝λ(λ≠0)，即x 2λ4－y 2λ9＝1(λ≠0)，由题意得a ＝3. 当λ>0时，λ4＝9，λ＝36， 双曲线方程为x 29－y 24＝1； 当λ<0时，－λ9＝9，λ＝－81， 双曲线方程为y 29－x 2814＝1. 故所求双曲线的标准方程为x29－y24＝1或y29－x2814＝1.10．过双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C于点P.若点P的横坐标为2a，求双曲线C的离心率．解如图所示，不妨设与渐近线平行的直线l的斜率为ba，又直线l过右焦点F(c,0)，则直线l的方程为y＝ba(x－c)．因为点P的横坐标为2a，代入双曲线方程得4a2a2－y2b2＝1，化简得y＝－3b或y＝3b(点P在x轴下方，故舍去)，故点P的坐标为(2a，－3b)，代入直线方程得－3b＝ba(2a－c)，化简可得离心率e＝ca＝2＋ 3.11．如图，双曲线C：x29－y210＝1的左焦点为F1，双曲线上的点P1与P2关于y轴对称，则|P2F1|－|P1F1|的值是()A．3 B．4 C．6 D．8答案 C解析 设F 2为右焦点，连接P 2F 2(图略)，由双曲线的对称性，知|P 1F 1|＝|P 2F 2|，所以|P 2F 1|－|P 1F 1|＝|P 2F 1|－|P 2F 2|＝2×3＝6.12.如图，中心均为原点O 的双曲线与椭圆有公共焦点，M ，N 是双曲线的两顶点，若M ，O ，N 将椭圆的长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是()A ．3B ．2 C. 3 D. 2答案 B解析 设椭圆与双曲线的标准方程分别为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)， x 2m 2－y 2n 2＝1(m >0，n >0)， 因为它们共焦点，所以设它们的半焦距均为c ，所以椭圆与双曲线的离心率分别为e 1＝c a ，e 2＝c m， 由点M ，O ，N 将椭圆长轴四等分可知m ＝a －m ，即2m ＝a ，所以e 2e 1＝c m c a＝a m＝2. 13．已知F 为双曲线C ：x 29－y 216＝1的左焦点，P ，Q 为C 上的点．若PQ 的长等于虚轴长的2倍，点A (5,0)在线段PQ 上，则△PQF 的周长为________．答案 44解析 由双曲线C 的方程，知a ＝3，b ＝4，c ＝5，∴点A (5,0)是双曲线C 的右焦点，且|PQ |＝|QA |＋|P A |＝4b ＝16，点P ，Q 在双曲线的右支上，由双曲线的定义，得|PF |－|P A |＝6，|QF |－|QA |＝6.∴|PF |＋|QF |＝12＋|P A |＋|QA |＝28，∴△PQF 的周长为|PF |＋|QF |＋|PQ |＝28＋16＝44.14．设双曲线x 2－y 22＝1上有两点A ，B ，AB 中点M (1,2)，则直线AB 的方程为________________． 答案 y ＝x ＋1解析 方法一 (用根与系数的关系解决)显然直线AB 的斜率存在．设直线AB 的方程为y －2＝k (x －1)，即y ＝kx ＋2－k ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2－k ，x 2－y 22＝1，得(2－k 2)x 2－2k (2－k )x －k 2＋4k －6＝0，当Δ>0时，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则1＝x 1＋x 22＝k (2－k )2－k 2， 所以k ＝1，满足Δ>0，所以直线AB 的方程为y ＝x ＋1.方法二 (用点差法解决)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则⎩⎨⎧ x 21－y 212＝1，x 22－y 222＝1，两式相减得(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＝12(y 1－y 2)(y 1＋y 2)． 因为x 1≠x 2，所以y 1－y 2x 1－x 2＝2(x 1＋x 2)y 1＋y 2， 所以k AB ＝2×1×22×2＝1， 所以直线AB 的方程为y ＝x ＋1，代入x 2－y 22＝1满足Δ>0. 所以直线AB 的方程为y ＝x ＋1.15．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线的右支上，且|PF 1|＝4|PF 2|，则此双曲线的离心率e 的最大值为( ) A.43 B.53 C ．2 D.73答案 B解析 ∵P 在双曲线的右支上，∴由双曲线的定义可得|PF 1|－|PF 2|＝2a ， ∵|PF 1|＝4|PF 2|，∴4|PF 2|－|PF 2|＝2a ，即|PF 2|＝23a ， 根据点P 在双曲线的右支上，可得|PF 2|＝23a ≥c －a ， ∴53a ≥c ，又∵e >1，∴1<e ≤53， ∴此双曲线的离心率e 的最大值为53. 16．已知双曲线C 1：x 2－y 24＝1. (1)求与双曲线C 1有相同的焦点，且过点P (4，3)的双曲线C 2的标准方程；(2)直线l ：y ＝x ＋m 分别交双曲线C 1的两条渐近线于A ，B 两点，当OA →·OB →＝3时，求实数m的值．解 (1)双曲线C 1的焦点坐标为(5，0)，(－5，0)，设双曲线C 2的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)， 则⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋b 2＝5，16a 2－3b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1， 所以双曲线C 2的标准方程为x 24－y 2＝1. (2)双曲线C 1的渐近线方程为y ＝2x ，y ＝－2x ，设A (x 1,2x 1)，B (x 2，－2x 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－y 24＝0，y ＝x ＋m ，消去y 化简得3x 2－2mx －m 2＝0， 由Δ＝(－2m )2－4×3×(－m 2)＝16m 2>0，得m ≠0.因为x 1x 2＝－m 23， OA →·OB →＝x 1x 2＋2x 1(－2x 2)＝－3x 1x 2＝m 2， 所以m 2＝3，即m ＝±3.。
2014-2015学年高中数学(人教版选修2-1)配套课件第二章 2.3.2 双曲线的简单几何性质(一)
栏 目 链 接
x2 y2 － ＝1(a>0，b>0)． a2 b2 c 5 由题设知：2b＝12， ＝ ，且 c2＝a2＋b2， a 4 ∴b＝6，c＝10，a＝8， x2 y2
∴所求的双曲线标准方程为 － ＝1. 64 36
(2)设与双曲线 －y2＝1 有公共渐进线的双曲线方程为 2 2 －y2＝λ (λ ≠0)． 将点 M(2，－2)代入 －y2＝λ (λ ≠0)得：λ ＝－2. 2 y2 x2 ∴所求的双曲线标准方程为 － ＝1. 2 4
n mn 渐近线方程为 y＝± x＝± x. m m
点评：已知双曲线的方程求其几何性质时，若方程不是标准形式的 先化成标准方程，弄清方程中的 a，b 对应的值，再利用 c2＝a2＋b2 得到
栏 目 链 接
c，然后确定双曲线的焦点位置，从而写出双曲线的几何性质．
变 式 迁 移
x 2 y2 1．(2013·北京卷)若双曲线 2－ 2＝1 的离心率为 a b
解析：把方程 nx2－my2＝mn 化为标准方程
栏 目 链 接
x2 y2 － ＝1 ， m n
由此可知，实半轴长 a＝ m， 虚半轴长 b＝ n，c＝ m＋n， 焦点坐标是(－ m＋n，0)，( m＋n，0)，
c m＋n m2＋mn 离心率 e＝ ＝ ＝ . a m m
顶点坐标为(－ m，0)，( m，0)．
x2
y2
)
3 A．y＝± x 4 9 C．y＝± x 4
栏 目 链 接
解析：由双曲线方程可得焦点在 x 轴上，a＝4，b＝3. b 3 ∴渐近线方程为 y＝± x＝± x. a 4 答案：A
自 测 自 评
1．双曲线 － ＝1 的( A ) 5 4 A．实轴长为 2 5，虚轴长为 4，渐近线方程为 2 5 3 5 y＝± x，离心率 e＝ 5 5 B．实轴长为 2 5，虚轴长为 4，渐近线方程为
长沙市一中课件_高二理科数学《2.3.2双曲线的简单几何性质(一)》
2
2
复习引入
2. 双曲线的标准方程：
y F1
O
2 2
y
F2 x c2＝a2＋b2 O F2 x
F1
y x x y 2 1 (a＞0,b＞0) 2 1(a＞0,b＞0) 2 2 a b a b 焦点在x轴上，焦点 焦点在y轴上，焦点 是F1(－c, 0)、F2(c, 0). 是F1(0, －c)、F2(0, c).
y B2 a A1 O
F1
F2
A2 x
b B1
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新课讲授
4．渐近线 经过A2、A1作y轴的平行线 x＝±a， 经过B2、B1作x 轴的平行线y＝±b，四 两条直线 条直线围成一个矩形 (如图)． y b x y B2 y x 0 a a b F2 F1 a 叫做双曲线 A x
轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、 渐近线方程.
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例题讲解
例1. 求双曲线9y2－16x2＝144的实半
轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、 渐近线方程.
练习.教科书P61练习第1、2、3题.
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例题讲解
例2. 求中心在原点，对称轴 为坐标轴，
经过点P (1， 3)且离心率为 2 的双曲 线标准方程 .
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课堂小结
1. 双曲线的几何性质： 范围、对称性、顶点、实轴和虚轴、 x y y x 渐近线方程 0 ； 0 a b a b c b 离心率 e , e＞1． e 2 1 . a a 双曲线的离心率越大，它的开口就越阔． 2. 双曲线草图的画法.
高中数学《双曲线的简单几何性质》教学设计2套附反思
2.3.2双曲线的简单几何性质教学目标1．了解双曲线的简单几何性质，如范围、对称性、顶点、渐近线和离心率等。
2．能用双曲线的简单几何性质解决一些简单问题。
教学重点、难点重点：双曲线的几何性质及初步运用。
难点：双曲线的渐近线。
一.自学导引双曲线的简单几何性质注：实轴和虚轴等长的双曲线叫做_________.其离心率_________,渐近线方程_______________典例分析【例1】求双曲线16x 2-9y 2=-144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标、渐近线方程.双曲线5y 2-4x 2=20的实轴长为________,虚轴长为________,渐近线方程为________, 离心率为________.【例2】 求一条渐近线方程是3x +4y=0,一个焦点是(4,0)的双曲线标准方程,并求双曲线的离心率.学习札记与双曲线16922y x =1有共同的渐近线,并且经过点(-3,32)的双曲线方程为___________.【例3】过双曲线22136x y -=的右焦点2F ，倾斜角为30的直线交双曲线于A,B 两点，求AB针对训练双曲线22194x y -=与直线1y kx =-只有一个公共点，求k 的值随堂训练1.双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的2倍,且一个顶点的坐标为(0,2),则双曲线的标准方程为( )A.14422=-y x B.14422=-x y C.18422=-x yD.14822=-y x 2.双曲线与椭圆1641622=+y x 有相同的焦点,它的一条渐近线为y=-x ,则双曲线方程为…( )塘沽滨海中学高二数学备课组 主备人：李志芳 审核A.x 2-y 2=96B.y 2-x 2=160C.x 2-y 2=80D.y 2-x 2=243.实轴长为54且过点A (2,-5)的双曲线的标准方程是( )A.1162022=-y x B.1162022=-x y 1 C.1201622=-y x D.1201622=-x y 4.双曲线的离心率为2,则双曲线的两条渐近线的夹角是( )5.已知双曲线的渐近线方程为x y 43±=,则双曲线的离心率为( ) A.45 B.35或67 C.45或35 D.56或45 6.中心在坐标原点,离心率为35的圆锥曲线的焦点在y 轴上,则它的渐近线方程为( )A.x y 45±=B.x y 54±=C.x y 34±=D.x y 43±=7.双曲线虚轴的一个端点为M ，两个焦点为F 1、F 2，∠F 1MF 2=120°，则双曲线的离心率为（ ）A.32636338.过双曲线116922=-y x 的右焦点作一条渐近线的平行线,它与此双曲线交于一点P ,求P 与双曲线的两个顶点A 、A ′所构成的三角形的面积.2.3.2双曲线的简单几何性质(第一课时)教学设计一、教学目标：（1）运用双曲线的标准方程讨论双曲线的范围、对称性、顶点、离心率、渐近线等几何性质；（2）掌握双曲线标准方程中c b a ,,的几何意义，理解双曲线的渐近线 的概念；（3）能运用双曲线的几何性质解决双曲线的一些基本问题。
2.3.2双曲线的简单几何性质(第1课时)学案
2.3.2双曲线的简单几何性质（第1课时）【学习目标】1、通过对双曲线标准方程的讨论，掌握双曲线的范围，对称性，顶点，渐近线和离心率等几何性质与双曲线的中心，实轴，虚轴，渐进线，等轴双曲线的概念，加深对a 、b 、c 、e 的关系及其几何意义的理解。
2、能利用双曲线的简单几何性质及标准方程解决相关的基本问题。
【学习重点】双曲线的简单几何性质及其应用。
【学习难点】渐近线方程的导出。
一、课前预习要求及内容回顾：1、双曲线的定义：2、双曲线的标准方程：3、回想我们是怎样利用椭圆的标准方程探究椭圆性质的？二、预习整理（一）试一试类比探究椭圆的简单几何性质的方法，根据双曲线的标准方程)0,0(,12222>>=-b a b y a x ，研究它的几何性质。
①范围 ：由双曲线的标准方程可得：=22by 从而得x 的范围： ；即双曲线在不等式 和所表示的区域内。
22ax = 从而得y 的范围为 。
②对称性：以x -代x ，方程不变，这说明所以双曲线关于 对称。
同理，以y -代y ，方程不变得双曲线关于 对称，以x -代x ，且以y -代y ，方程也不变，得双曲线关于 对称。
③顶点：即双曲线与对称轴的交点。
在方程12222=-by a x 里，令y=0,得x= 得到双曲线的顶点坐标为1A （ ）2A （ ） ；我们把1B （ ）2B （ ）也画在y 轴上（如图）。
线段 分别叫做双曲线的实轴和虚轴，它们的长分别为 。
④离心率：双曲线的离心率e= ，范围为 。
（二）想一想1、根据上述四个性质，画出椭圆 191622=+y x 与双曲线191622=-y x 的图象。
2、渐近线：双曲线22221x ya b-=的渐近线方程为,双曲线各支向外延伸时，与它的渐近线，。
叫做等轴双曲线，它的渐近线为，离心率为。
思考：离心率可以刻画椭圆的扁平程度，双曲线的离心率刻画双曲线的什么几何特征？三、合作探究四、小组展示例题1、求下列双曲线的实轴和虚轴的长、顶点和焦点的坐标、离心率，渐近线方程。
双曲线的简单几何性质 (一) - 浙江省桐乡
双曲线的简单几何性质 （一）高二数学 方蕾教学目标：1．使学生掌握双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线、离心率等几何性质.2．用双曲线的方程去研究其几何性质，进一步反应了解析几何的特点，并用图像帮助理解双曲线的几何性质，解决一些相关问题.2．通过类比椭圆的简单几何性质的方法来研究双曲线的简单几何性质，在老师引导下让学生积极讨论、归纳，培养学生的观察、研究能力，增强他们的自信心. 教学重点：双曲线的简单几何性质 教学难点：渐近线的求法及理解 授课类型：新授课 课时安排：1课时教 具：多媒体、三角板 内容分析：本节知识是讲完了双曲线及其标准方程之后，反过来利用双曲线的方程研究双曲线的几何性质. 它是教学大纲中要求学生必须掌握的内容，也是高考的一个考点 用坐标法研究几何问题，是数学中一个很大的课题，这里主要是对双曲线的几何性质的讨论以及利用性质解决相关数学问题.本节内容类似于“椭圆的简单的几何性质”，教学中也可以与其类比讲解，主要应指出它们的联系与区别.教学流程： (一)复习引入1. 双曲线的定义及其标准方程平面内到两定点21,F F 的距离的差的绝对值为常数（大于0且小于21F F ）的动点的轨迹叫双曲线。
即a MF MF 221=-（0<2a <21F F ）焦点在x 轴上时：()0,012222>>=-b a b y a x 焦点在y 轴上时：()0,012222>>=-b a b x a y(注：双曲线是根据项的正负来判断焦点所在的位置)c b a ,,的关系：222b a c +=0>>a c ,c 最大，b a ,可以a =2.椭圆的简单几何性质以()012222>>=+b a bya x为例⑴范围： b y b a x a ≤≤-≤≤- ,⑵对称性：以坐标轴为对称轴，原点为对称中心⑶顶点坐标：()()()(),b ,B ,-b , B a,,A a,A 00002121-长轴：线段21A A 长为2a ，a 短轴：线段21B B 长为2b ，b ⑷离心率：()1,0 ,∈=e ac e探究：类比椭圆几何性质的研究，你认为应研究双曲线的哪些性质？应如何研究这些性质？ （二）新课讲解利用双曲线的方程研究双曲线的几何性质以焦点坐标在x 轴上的标准方程为例，()0,012222>>=-b a by ax1．范围由标准方程12222=-b y a x 可得112222≥+=b y a x ，即22a x ≥，当a x ≥时，y 才有实数值，这说明双曲线在不等式a x -≤与a x ≥所表示的区域内；对于y 的任何值，x 都有实数值 这说明从横的方向来看，直线a x a x =-=和之间没有图象，从纵的方向来看，随着x的增大，y 的绝对值也无限增大，所以曲线在纵方向上可无限伸展，不像椭圆那样是封闭曲线2.对称性：类比研究椭圆对称性的研究方法，容易得到，双曲线关于x 轴、y 轴和原点都是对称的，这时，坐标轴是双曲线的对称轴，原点是双曲线的对称中心.双曲线的对称中心叫做双曲线的中心. 2．顶点在双曲线方程12222=-b y a x 中，令讲解：结合图形，讲解顶点和轴的概念，0=y 得a x ±=，故它与x 轴有两个交点),0,(1a A()0,2a A -，且x 轴为双曲线12222=-b y a x 的对称轴，所以()0,),0,(21a A a A -为其对称轴的交点，称为双曲线的顶点(一般而言，曲线的顶点均指与其对称轴的交做双曲线12222=-by ax 的实轴，它点)，而对称轴上位于两顶点间的线段21A A 叫的长是2a .在方程12222=-by a x 中令0=x 得22b y -=，这个方程没有实数根，说明双曲线和y 轴没有交点。
2020高中数学 2.2.2 双曲线的简单几何性质(1)(含解析)
课时作业16 双曲线的简单几何性质（1)知识点一由双曲线的标准方程研究几何性质1。
若直线x＝a与双曲线错误!－y2＝1有两个交点,则a的值可以是( )A。
4 B.2C。
1 D.－2答案A解析∵双曲线错误!－y2＝1中，x≥2或x≤－2,∴若x＝a与双曲线有两个交点，则a>2或a<－2，故只有A选项符合题意．2．双曲线错误!－错误!＝1的焦点到渐近线的距离为( )A.2错误!B.2C.错误!D。
1答案A解析不妨取焦点（4,0)和渐近线y＝3x，则所求距离d＝错误!＝2错误!。
故选A.3．求双曲线4x2－y2＝4的顶点坐标、焦点坐标、实半轴长、虚半轴长、离心率和渐近线方程．解把方程化为标准形式为错误!－错误!＝1，由此可知,实半轴长a＝1,虚半轴长b＝2。
顶点坐标是（－1,0),（1，0）．c＝错误!＝错误!＝错误!,∴焦点坐标是（－5，0)，（错误!,0)．离心率e＝错误!＝错误!，渐近线方程为错误!±错误!＝0，即y＝±2x。
知识点二求双曲线的离心率4。
下列方程表示的曲线中离心率为错误!的是（）A.错误!－错误!＝1 B.错误!－错误!＝1C.错误!－错误!＝1 D。
错误!－错误!＝1答案B解析∵e＝ca，c2＝a2＋b2，∴e2＝错误!＝错误!＝1＋错误!＝错误!2＝错误!。
故错误!＝错误!，观察各曲线方程得B项系数符合,应选B。
5．已知F1，F2是双曲线错误!－错误!＝1(a>0，b>0)的两个焦点，PQ 是经过F1且垂直于x轴的双曲线的弦，如果∠PF2Q＝90°，求双曲线的离心率．解设F1（c,0），将x＝c代入双曲线的方程得错误!－错误!＝1，∴y ＝±错误!。
由｜PF2|＝｜QF2|，∠PF2Q＝90°，知|PF1|＝｜F1F2|，∴b2a＝2c.∴b2＝2ac.∴c2－2ac－a2＝0.∴错误!2－2·错误!－1＝0.即e2－2e－1＝0。
2.3.2双曲线的简单几何性质(1)
在a、b、c、e四个参数中，知二可求二
二、导出双曲线 y2 a2
x2 b2
1(a
0,b
0)
的简单几何性质
y
（1）范围: y a, y a
（2）对称性: 关于x轴、y轴、原点都对称
a
（3）顶点: (0,-a)、(0,a)
（4）渐近线: y a x
b
（5）离心率: e c a
-b o b x -a
x2 a2
y2 b2
1（ a＞ b ＞0）
x2 a2
y2 b2
1
(
a＞
0
b＞0)
c 2 a 2 b 2 (a＞ b＞0) c 2 a 2 b 2 (a＞ 0 b＞0)
图象
y
M
Y p
F1 0
F2 X
F1 0
F2 X
范围 对称性 顶点
离心率 渐近线
准线
|x|a,|y|≤b
|x| ≥ a，yR
对称轴：x轴，y轴 对称中心：原点
b
例题讲解
例1 :求双曲线 9y2 16x2 144 的实半轴长,虚半轴长,
焦点坐标,离心率.渐近线方程。
解：把方程化为标准方程
y2 42
x2 32
1
可得:实半轴长a=4
虚半轴长b=3
半焦距c= 42 32 5
焦点坐标是(0,-5),(0,5)
离心率: e c 5
a4
渐近线方程: y 4 x 3
y
b B2
A1 -a o a A2
x
-b B1
4、渐近线
双曲线在第一象限内部 分的方程为
（1） y
b双曲x线2 axa22
2(byx22
2.3.2双曲线的简单几何性质(1)
§2.3.2双曲线的简单几何性质(1) 【使用说明】1、课前完成预习学案，掌握基本题型；2、认真限时规范书写，课上小组合作探讨，答疑解惑。
3、A、B层全部掌握，C层选做。
【学习目标】1．理解并掌握双曲线的几何性质．2．能够利用双曲线的几何性质解决有关问题。
【问题导学】（预习教材理P56~ P58，文P49~ P51找出疑惑之处）复习1：写出满足下列条件的双曲线的标准方程：①3,4a b==，焦点在x轴上；②焦点在y轴上，焦距为8，2a=．复习2：前面我们学习了椭圆的哪些几何性质？【合作探究】问题1：由椭圆的哪些几何性质出发，类比探究双曲线22221x ya b-=的几何性质?范围：x：y：对称性：双曲线关于轴、轴及都对称．顶点：（），（）．实轴，其长为；虚轴，其长为．离心率：1cea=>．渐近线：双曲线22221x ya b-=的渐近线方程为：0x ya b±=．问题2：双曲线22221y xa b-=的几何性质?图形：范围：x：y：对称性：双曲线关于轴、轴及都对称．顶点：（），（）实轴，其长为；虚轴，其长为．离心率：1cea=>．渐近线：双曲线22221y xa b-=的渐近线方程为：．新知：实轴与虚轴等长的双曲线叫双曲线．我的疑惑：记录下你的疑惑，让我们在课堂上共同解决。
我的疑惑：记录下你的疑惑，让我们在课堂上共同解决。
【深化提高】例1求双曲线2214925x y-=的实半轴长、虚半轴的长、焦点坐标、离心率及渐近线的方程．变式：求双曲线22916144y x-=的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程．学案编号：B51 第1 页共3 页成功的秘诀公式是A x y z =++其中A 代表成功，x 代表艰苦的劳动，y 代表正确的方法，z 代表少说空话. ——爱因斯坦第 2 页 共 3 页例2求双曲线的标准方程：⑴实轴的长是10，虚轴长是8，焦点在x 轴上；⑵离心率2e =，经过点(5,3)M -；⑶渐近线方程为23y x =±，经过点9(,1)2M -．※ 动手试试练1．求以椭圆22185x y +=的焦点为顶点，以椭圆的顶点为焦点的双曲线的方程．练2．对称轴都在坐标轴上的等到轴双曲线的一个焦点是1(6,0)F -，求它的标准方程和渐近线方程．【当堂检测】1． 双曲线221168x y -=实轴和虚轴长分别是（ ）． A ．8、42 B ．8、22C ．4、42D ．4、222．双曲线224x y -=-的顶点坐标是（ ）． A ．(0,1)± B ．(0,2)± C ．(1,0)± D ．（2,0±）3． 双曲线22148x y -=的离心率为（ ）． A ．1 B ．2 C ．3 D ．24．双曲线2241x y -=的渐近线方程是 ．5．经过点(3,1)A -，并且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的方程是 ．【小结】（1）知识与方法方面 。
教学设计1：3.2.2 第1课时 双曲线的简单几何性质
3.2.2第1课时双曲线的简单几何性质教材分析本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修第一册》第二章《直线和圆的方程》，本节课主要学习双曲线的简单几何性质学生在已掌握双曲线的定义及标准方程之后，反过来利用双曲线的标准方程研究其几何性质。
它是教学大纲要求学生必须掌握的内容，也是高考的一个考点，是深入研究双曲线，灵活运用双曲线的定义、方程、性质解题的基础，更能使学生理解、体会解析几何这门学科的研究方法，培养学生的解析几何观念，提高学生的数学素质。
坐标法的教学贯穿了整个“圆锥曲线方程”运动变化和对立统一的思想观点在这节知识中得到了突出体现，我们必须充分利用好这部分教学目标与核心素养教学重点：直线与双曲线的位置关系.教学难点：直线与双曲线的位置关系.课前准备多媒体.教学过程x ≤-a 或x ≥a (y ∈R)y ≤-a 或y ≥a (x ∈R)c 2=a 2+b 2(c >a >0,c >b >0)渐近线 有渐近线 无渐近线 离心率 e >1 0<e <1 a ,b ,c 关系 a 2+b 2=c 2a 2-b 2=c 2二、典例解析例1 如图，双曲线型冷却塔的外形，是双曲线的一部分，已知塔的总高度为137.5m ，塔顶直径为90m ，塔的最小直径(喉部直径)为60m ，喉部标高112.5m ，试建立适当的坐标系，求出此双曲线的标准方程（精确到1m ）解：设双曲线的标准方程为()222210,0x y a b a b-=>>，如图所示：AB 为喉部直径，故30a m =，故双曲线方程为2221900x y b-=. 而M 的横坐标为塔顶直径的一半即45m ，其纵坐标为塔的总高度与喉部标高的差即137.5112.525m -=， 故()45,25M ，故22245251900b-=，所以2500b =， 故双曲线方程为221900500x y -=. 例2 已知点(,)M x y 到定点()5,0F 的距离和它到定直线l :165x =解：最窄处即双曲线两顶点间，设双曲线的标准方程为：2221 900x yb-=（地面半径）时对应y的值是7 -教学反思引导学生类比直线与椭圆位置关系的判断，让学生自主探究直线与双曲线的位置关系，凡是难度不大，经过学习学生自己能解决的问题，应该让学生自己解决，这样有利于调动学生学习的积极性，激发他们的学习积极性，同时也有利于学习建立信心，使他们的主动性得到充分发挥，从中提高学生的思维能力和解决问题的能力。
双曲线的简单几何性质优秀教案
2.3.2 双曲线的几何性质（第一课时教案)一、 教学目标1. 知识与技能（1）理解并掌握双曲线的简单几何性质；（2）利用双曲线的几何性质解决双曲线的问题。
2. 过程与方法（1）通过类比椭圆的几何性质，得到双曲线的几何性质；（2）通过例题和练习掌握根据条件求双曲线几何性质的相关问题。
3. 情感、态度与价值观（1）培养学生的知识类比的数学思想和逻辑思维能力；（2）培养学生的方法归纳能力和应用意识。
二、 教学重难点1、教学重点：双曲线的几何性质2、教学难点：应用双曲线的几何性质解决双曲线的相关问题三、 教学过程结合双曲线图像以及几何画板动画，学习双曲线的相关几何性质。
1. 取值范围(1) 焦点在x 轴上：x a ≥或x a ≤-，y R ∈(2) 焦点在y 轴上：y a ≥或y a ≤-，x R ∈2. 对称性——既是轴对称图形，又是中心对称图形3. 顶点——双曲线与坐标轴的交点，即12,A A （以图为例）(1) 实轴——线段12A A 。
122,A A a a =为半实轴长；(2) 虚轴——记12(0,),(0,)B b B b -，则线段12B B 为虚轴。
122,B B b b =为半虚轴长。
(3) 等轴双曲线——实轴与虚轴长度相等的双曲线。
一般可设为：22,(0)x y m m -=≠4. 离心率：c e a= (1) 范围：1e >；(2) 变化规律：e 越大，双曲线开口越大；e 越小，双曲线开口越小.5. 渐近线(1) 若22221(0,0)x y a b a b -=>>，则渐近线为：b y x a=±， (2) 若)0,0(12222>>=-b a b x a y ，则渐近线为：a y x b=±， (3) 一般求法：令双曲线方程等于0，即22220x y a b -=（或22220y x a b-=） (4) 渐近线相同的双曲线可设为：2222(0)x y a bλλ-=≠题型一：求双曲线的标准方程例 求满足下列条件的双曲线标准方程（1） 顶点在x 轴上，两定点间的距离为8，54e =； （2） 焦点在y 轴上，焦距为16，43e =； （3） 以椭圆22185x y +=的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线； （4） 过点(3,1)A -的等轴双曲线.题型二：有关渐近线的计算例1 已知双曲线的渐近线方程为34y x =±，求双曲线的离心率为.例2 若双曲线的渐近线方程为3y x =±，它的一个焦点为)，求双曲线的方程.例3 求与双曲线221916x y -=有共同的渐近线，且过点(3,-的双曲线方程.作业：P61 A 组 《导报》第8课时。
2.3.2 双曲线的简单几何性质课件人教新课标
4
2
2.若双曲线 x2 - y2 =1(a,b>0)的渐近线方程为 y=± 3 x,则该双曲线的离心率为
a2 b2
3
(B )
(A) 3 (B) 2 3 (C)2 (D) 6
3
3
2
3.已知定点 A,B 且|AB|=4,动点 P 满足|PA|-|PB|=3,则|PA|的最小值为( C )
(A) 1 2
所以 b=6,c=10,a=8.
所以标准方程为 x2 - y2 =1 或 y2 - x2 =1.
64 36
64 36
(2)顶点间距离为 6,渐近线方程为 y=± 3 x; 2
解:(2)法一 当焦点在 x 轴上时, b = 3 且 a=3, a2
所以 b= 9 .所以标准方程为 x2 - y2 =1.
ab 线方程为 x2 - y2 =λ(λ≠0),再根据其他条件确定λ的值.
a2 b2 (2)巧设双曲线方程的六种常用方法 ①焦点在 x 轴上的双曲线的标准方程可设为 x2 - y2 =1(a>0,b>0).
a2 b2
②焦点在 y 轴上的双曲线的标准方程可设为 y2 - x2 =1(a>0,b>0). a2 b2
a2 b2
25 9
曲线的焦点坐标为
;渐近线方程为
.
答案:(4,0),(-4,0) y=± 3 x
5.已知双曲线 x2 - y2 =1 的左顶点为 A,过右焦点 F 作垂直于 x 轴的直线,交双曲线 9 16
于 M,N 两点,则△AMN 的面积为
.
答案: 128 3
课堂探究
题型一 双曲线的简单几何性质
≤-a 所表示的平面区域内,而在直线 x=a 与 x=-a 之间没有图象.
§2.3.2双曲线的简单几何性质(1)
2 2
解得
所以双曲线方程为
x 1. 6 2
2
y
2
2 y x 例 2 . 设 双 曲 线 2 - 2 = 1 ( a b 0 ) 的 半 焦 距 为 c , 直 线 l 过 点 A ( a ,0 ), B (0 , b ) a b
2
且原点到直线l的距离为
3c ,求 双 曲 线 的 离 心 率 . 4
F2
x
(2) e 的范围： e 1
(3) e的含义：
e是表示双曲线开口大小的一个量, e越大开口越大!
(4)等轴双曲线: 实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线.
x y ( 0)
2 2
y
等轴双曲线的离心率为: e 2 等轴双曲线的两渐近线渐近线为y=±x,
等轴双曲线的两渐近线渐近线互相垂直. 【1】(2000高考)双曲线 互相垂直,那么该双曲线的离心率是( C ) A.2 B.
y
2
2
F ( C , 0)
2 2
F (0, C )
c a b
2
1．请分别写出满足下列条件的双曲线的标准方程 (1) 顶点在 x 轴上，两顶点间的距离是 8, e
x 1 16 9
2
y
2
5 . 4
(2) 焦点在 x 轴上, 实轴长是 10，虚轴长是 8.
x 1 25 16
2
y
设共焦点的双曲线为 x 2 1, 2 2 a 5 a
2
y
2
由
5 5 , a 4
得 a 4,
b 25 16 9.
2
双曲线方程为 x 1. 16 9
《双曲线的简单几何性质(1)》示范公开课教学课件【高中数学北师大】
又c2＝a2＋b2＝4＋b2，②联立①②，解得c＝2，b＝2，
所以双曲线的标准方程为．故选B．
B
知识点 双曲线的范围、对称性、顶点等几何性质．
题型归纳 数形结合法．
双曲线的简单几何性质(1)
第二章 圆锥曲线
我们已经学习了双曲线的概念与双曲线的标准方程，
类比对椭圆的研究，接下来我们应该研究双曲线的哪些内容？
平面内到两个定点距离之差的绝对值等于常数（大于零且小于的点的集合（或轨迹）叫做双曲线．
双曲线的标准方程：
观察平面直角坐标系中的双曲线，它有怎样的范围？
观察双曲线的图象，我们发现双曲线上点的横坐标的范围是，或，纵坐标的范围是．
中心在原点，焦点在x轴上，且一个焦点在直线3x－4y＋12＝0上的实轴与虚轴长相等的双曲线的方程是( )A．x2－y2＝8 B．x2－y2＝4 C．y2－x2＝8 D．y2－x2＝4
∴c＝4，a2＝b2＝c2＝ ×16＝8，∴双曲线方程为x2－y2＝8．故选Ａ．
中心、顶点坐标、实轴和虚轴的长，并画出该双曲线．
解：将x2 4y2=1化为标准方程为=1，
由此可得实半轴长a=１，虚半轴长b=，半焦距．
所以双曲线的焦点坐标为(0)，(0)，中心坐标为(0)，顶点坐标为(0)，(0) ，实轴长为2，虚轴长为1.
先将双曲线方程化为标准方程形式，再进行求解．
设双曲线的标准方程为，
解: 图（2）是冷却塔的轴截面，为了得到双曲线的标准 方程，以最小直径处所在直线为x轴，最小直径的垂 直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，则点A的坐 标为（33.5，0）.
2.3.2双曲线的简单几何性质教学设计及教学反思
2.3.2 双曲线的简单几何性质教学目标：知识与技能：1、熟悉双曲线的几何性质；2、能说明离心率的大小对双曲线形状的影响。
过程与方法：通过对双曲线几何性质的探究，培养学生研究曲线性质的基本方法。
情感态度与价值观：培养学生数形结合的思想，调动学生主动参与课堂教学的积极性，增强学生学好数学的心理体验，产生热爱数学的情感。
教学重点：1.数形结合思想的贯彻；2.运用曲线方程求性质。
教学难点：运用曲线方程求性质。
教学过程:一、 课前三分钟1．双曲线的定义：2．双曲线的标准方程（1）焦点在x 轴上：（2）焦点在y 轴上：3．双曲线中c b a ,,之间的关系二、新知探究 我们以双曲线的标准方程12222=-by a x ，来研究双曲线的几何性质。
1．范围（1）代数法：由2222222211b y a x b y a x =-⇒=-⇒122≥ax 22a x ≥⇒ 即：a x -≤，或a x ≥（2） 几何法：双曲线在不等式a x -≤，或a x ≥所表示的区域内.2．对称性在双曲线方程12222=-by a x 中， 以x -代x ，方程不变，说明双曲线关于y 轴对称；以y -代y ，方程不变，说明双曲线关于x 轴对称；以()y x --,代()y x ,，方程不变，说明双曲线关于原点对称；故：坐标轴是双曲线的对称轴；原点是双曲线的对称中心，即双曲线的中心.3．顶点（与对称轴的交点坐标）令0=y ，得a x ±=，所以顶点坐标()()0,,0,21a A a A -；令0=x ，得2b y -=，这个方程没有实根，也把()()b B b B -,0,,021画在y 轴上.实轴：21A A ，长度a 2；虚轴：21B B ，长度b 2实半轴长：a ；虚半轴长：b4． 离心率（1）定义：双曲线的焦距与实轴长的比ac ，用e 表示。
即()1>=e ac e （2）双曲线的离心率是描述双曲线“张口”大小的一个重要数据。
双曲线的简单几何性质(一) 精品教案
（1）双曲线的定义和标准方程？
（2）椭圆有哪些简单几何性质？（填表）
2、引入
类比椭圆的简单几何性质，猜想双曲线有哪些简单几何性质？
（三）类比探究，研究性质
以方程 为例研究双曲线的简单几何性质
1、范围：
提问：类比椭圆如何研究其范围？
（幻灯片）
2、对称性：
提问：看图可知其有怎样的对称性？
（幻灯片）对称性：双曲线关于x轴、y轴和原点都是对称的.
七、教学过程：
(一)欣赏美图，引出课题
提问：在以上图片中，有没有我们所熟悉的数学图形？
要想运用双曲线的知识做出精美的物品或建造如此宏伟的建筑物，光掌握双曲线的定义和标准方程是远远不够的，我们还有了解更多双曲线的知识，这节课我们就一起来学习《双曲线的简单几何性质》。（引导学生类比探究、交流归纳、总结提升，并充分利用多媒体辅助教学。
六、学法指导
在教师的组织引导下，从学生已有的知识和生活经验出发，让学生经历知识的形成过程。使学生真正成为学习的主体。通过阅读教材，以恰当的问题为纽带，给学生创设自主探究、合作交流的空间，让学生在参与中获得知识，发展思维，感悟数学。
（2）椭圆的离心率刻画了椭圆图形的什么几何特性，双曲线的离心率刻画了双曲线的什么几何特性？《几何画板》演示
5、渐近线：
从学生曾经学习过的反比例函数入手，它的图像是双曲线，当双曲线伸向远处时，它与x、y轴无限接近，此时x、y轴是 的渐近线。
提问：双曲线 有没有渐近线？渐近线方程是什么？《几何画板》演示
二、学情分析
在本节课之前，学生已经学习了椭圆的简单几何性质、双曲线及其标准方程，有了一定的知识储备，并且具备了较强的抽象思维能力和演绎推理能力，可以更好的在教师的引导下通过观察、类比、思考、归纳完成本节课的学习内容。
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c e a
(e 1)
b y x a
c e a
(e 1)
a y x b
c 2 a 2 b 2 (a＞ b＞0)
y
M
c 2 a 2 b 2 (a＞ 0 b＞0)
Y p F2 X
F1
0F2X源自F10B2
. .
B2 A2
图形
. .
F1(-c,0)
F1
y
y
F2
A1 A2
O
F2(0,c)
B1
B1 F2(c,0)
F2
x
A1 O F1
x F1(0,-c)
方程 范围 对称性 顶点 离心率 渐近线
x y 1 (a b 0) 2 2 a b
2
2
x ≥ a 或 x ≤ a，y R
关于x轴、y轴、原点对称
A1（- a，0），A2（a，0）
y ≥ a 或 y ≤ a，x R
y2 x2 2 1 (a 0 ,b 0 ) 2 a b
关于x轴、y轴、原点对称
A1（0，-a），A2（0，a）
例题讲解
4 1、若双曲线的渐近线方程为 y 3 x, 则双曲线
的离心率为 5/3或5/4 。
2、若双曲线的离心率为2，则两条渐近线的夹角 600 为 。
思考：下列双曲线的渐近线
x2 y2 （1）双曲 1 9 16
x2 y2 （2）双曲 1 λ 9 16
总结：“共渐近线”的双曲线的方程
（4）等轴双曲线的离心率e= ? 2
离心率e 2的双曲线是等轴双曲线
c (5) e a
c a b
2 2
2
在a、b、c、e四个参数中，知二可求 二
y x 二、导出双曲线 2 2 1(a 0, b 0) a b y 的简单几何性质
（1）范围: y a, y a
x y 与 2 2 1共渐近线的双曲线系 a b 2 2 x y 方程为 2 2 ( 0，为参数)， a b
λ>0表示焦点在x轴上的双曲线； λ<0表示焦点在y轴上的双曲线。
2
2
练习：
x2 y2 1 有相同渐近线 1. 过点（1，2），且与 16 9
16 y 9 x 的双曲线方程是________.
b 的渐近线为y x a
B2
等轴双曲线 x 2 y 2 m （2 ） (m 0)的渐近线为
A1
o
A2
a x
y x
（3 ） 利用渐近线可以较准确的 画出双曲线的草图
B1
b y x a
b y x a
5、离心率 c 双曲线的焦距与实轴长 的比e ,叫做 （1）定义： a 双曲线的 离心率。
课堂新授
一、研究双曲线
x2 y2 2 1(a 0, b 0) 2 a b
(-x,y)
的简单几何性质
y (x,y) o a (x,-y)
1、范围 2 x 2 2 2 1,即x a a x a, x a 2、对称性
-a (-x,-y)
x
关于x轴、y轴和原点都是对称。 x轴、y轴是双曲线的对称轴，原点是对称中心， 又叫做双曲线的中心。
A1 -a
y b
B2
o a A2 x
x y m ( m 0)
2 2
-b B 1
4、渐近线
y b N(x,y’) M(x,y)
双曲线在第一象限内部 分的方程为 b 2 x 22 y 2 （1 ） y 双曲线 x a2 (x 0) 1( a 0, b 0) 2 a b a
（2）e的范围：
c>a>0
e >1
（3）e的含义：
b c2 a2 c 2 ( ) 1 e2 1 a a a b b 当e (1, )时， (0, ), 且e增大 , 也增大 a a e增大时，渐近线与实轴 的夹角增大
e是表示双曲线开口大小的一个量,e越大开口越大
3、顶点
（1）双曲线与对称轴的交点，叫做双曲线的顶点
顶点是A 1 (a,0)、A 2 (a,0) 只有两个！
虚顶点
B1(0,-b)、B2(0,b)
（ 2） 如图，线段 A1A2 叫做双曲线 的实轴，它的长为2a,a叫做 实半轴长；线段 B1B2 叫做双 曲线的虚轴，它的长为2b,b 叫做双曲线的虚半轴长 （ 3） 实轴与虚轴等长的双曲线 叫等轴双曲线
2.3.2 双曲线简单的几何性质 (一)
定义
| |MF1|-|MF2| | =2a（０ < 2a<|F1F2|）
y
M
M F2
y
图象
F1 o F2
x
F1
x
方程 焦点
a.b.c 的关 系
x y 2 1 2 a b
F ( ±c, 0)
2
2
y x 2 1 2 a b
F(0, ± c)
2
2
c 2 a 2 b2
2
2
（2）对称性: 关于x轴、y轴、原点都对称
（3）顶点: (0,-a)、(0,a) （4）渐近线: y a x
b
-b
a
o b x
-a
c （5）离心率: e a
课堂练习
1 :求双曲线
9
y2
16 x 144 的实半轴长,
2
虚半轴长, 焦点坐标，离心率，渐近线方程。
5 2:已知双曲线顶点间的距离是16，离心率e ， 4 焦点在x轴上，中心在原点，写出双曲线的方 程，并且求出它的渐近线和焦点坐标.
2
2
55
x2 y2 1 有共同焦点，渐近线方程为 2、求与椭圆 16 8
x 3y 0 的双曲线方程。
x y 1 6 2
2
2
小
结
椭 圆
双曲线
方程
a b c关系
图象
2 x2 y 1 2 （ a＞ b ＞0） 2 a b
x2 y2 1 ( a＞ 0 b＞0) 2 2 a b