函数的奇偶性与周期性考点和题型归纳

函数的奇偶性与周期性考点和题型归纳
一、基础知
1．函数的奇偶性
函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件．
若f (x )≠0，则奇(偶)函数定义的等价形式如下：
(1)f (－x )＝f (x )⇔f (－x )－f (x )＝0⇔f (－x )
f (x )＝1⇔f (x )为偶函数；
(2)f (－x )＝－f (x )⇔f (－x )＋f (x )＝0⇔f (－x )
f (x )＝－1⇔f (x )为奇函数．
2．函数的周期性 (1)周期函数
对于函数f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么就称函数f (x )为周期函数，称T 为这个函数的周期．
周期函数定义的实质
存在一个非零常数T ，使f (x ＋T )＝f (x )为恒等式，即自变量x 每增加一个T 后，函数值就会重复出现一次．
(2)最小正周期
如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期．
二、常用结论
1．函数奇偶性常用结论
(1)如果函数f (x )是奇函数且在x ＝0处有定义，则一定有f (0)＝0；如果函数f (x )是偶函数，那么f (x )＝f (|x |)．
(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．
(3)在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇． 2．函数周期性常用结论 对f (x )定义域内任一自变量x ： (1)若f (x ＋a )＝－f (x )，则T ＝2a (a >0)． (2)若f (x ＋a )＝
1
f (x )
，则T ＝2a (a >0)． (3)若f (x ＋a )＝－1
f (x )，则T ＝2a (a >0)．
3．函数图象的对称性
(1)若函数y ＝f (x ＋a )是偶函数，即f (a －x )＝f (a ＋x )，则函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称．
(2)若对于R 上的任意x 都有f (2a －x )＝f (x )或f (－x )＝f (2a ＋x )，则y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称．
(3)若函数y ＝f (x ＋b )是奇函数，即f (－x ＋b )＋f (x ＋b )＝0，则函数y ＝f (x )关于点(b,0)中心对称．
考点一 函数奇偶性的判断
[典例] 判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝36－x 2
|x ＋3|－3；
(2)f (x )＝1－x 2＋x 2－1； (3)f (x )＝log 2(1－x 2)
|x －2|－2
；
(4)f (x )＝⎩
⎪⎨⎪
⎧
x 2＋x ，x <0，x 2－x ，x >0.
[解] (1)由f (x )＝36－x 2
|x ＋3|－3，可知⎩⎪⎨⎪⎧ 36－x 2≥0，|x ＋3|－3≠0⇒⎩⎪⎨⎪⎧
－6≤x ≤6，
x ≠0且x ≠－6，
故函数f (x )的定
义域为(－6,0)∪(0,6]，定义域不关于原点对称，故f (x )为非奇非偶函数．
(2)由⎩
⎪⎨⎪⎧
1－x 2≥0，
x 2－1≥0⇒x 2＝1⇒x ＝±1，故函数f (x )的定义域为{－1,1}，关于原点对称，且
f (x )＝0，所以f (－x )＝f (x )＝－f (x )，所以函数f (x )既是奇函数又是偶函数．
(3)由⎩
⎪⎨⎪⎧
1－x 2>0，|x －2|－2≠0⇒－1<x <0或0<x <1，
定义域关于原点对称．
此时f (x )＝log 2(1－x 2)|x －2|－2＝log 2(1－x 2)2－x －2＝－log 2(1－x 2)x ，
故有f (－x )＝－log 2[1－(－x )2]－x ＝log 2(1－x 2)
x ＝－f (x )，
所以函数f (x )为奇函数． (4)法一：图象法
画出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
x 2＋x ，x <0，
x 2－x ，x >0
的图象如图所示，图象关于y 轴对称，
故f (x )为偶函数．
法二：定义法
易知函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，
当x >0时，f (x )＝x 2－x ，则当x <0时，－x >0，故f (－x )＝x 2＋x ＝f (x )；当x <0时，f (x )＝x 2＋x ，则当x >0时，－x <0，故f (－x )＝x 2－x ＝f (x )，故原函数是偶函数．
法三：f (x )还可以写成f (x )＝x 2－|x |(x ≠0)，故f (x )为偶函数．
[题组训练]
1．(2018·福建期末)下列函数为偶函数的是( ) A ．y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π
4 B ．y ＝x 2＋e |x | C ．y ＝x cos x
D ．y ＝ln|x |－sin x
解析：选B 对于选项A ，易知y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π
4为非奇非偶函数；对于选项B ，设f (x )＝x 2＋e |x |，则f (－x )＝(－x )2＋e |－x |＝x 2＋e |x |＝f (x )，所以y ＝x 2＋e |x |为偶函数；对于选项C ，设f (x )＝x cos x ，则f (－x )＝－x cos(－x )＝－x cos x ＝－f (x )，所以y ＝x cos x 为奇函数；对于选项D ，
设f (x )＝ln|x |－sin x ，则f (2)＝ln 2－sin 2，f (－2)＝ln 2－sin(－2)＝ln 2＋sin 2≠f (2)，所以y ＝ln|x |－sin x 为非奇非偶函数，故选B.
2．设函数f (x )＝e x －e －
x
2，则下列结论错误的是( )
A ．|f (x )|是偶函数
B ．－f (x )是奇函数
C ．f (x )|f (x )|是奇函数
D ．f (|x |)f (x )是偶函数
解析：选D ∵f (x )＝e x －e －x
2，
则f (－x )＝e －x －e x
2＝－f (x )．
∴f (x )是奇函数． ∵f (|－x |)＝f (|x |)，
∴f (|x |)是偶函数，∴f (|x |)f (x )是奇函数．
考点二 函数奇偶性的应用
[典例] (1)(2019·福建三明模拟)函数y ＝f (x )是R 上的奇函数，当x <0时，f (x )＝2x ，则当x >0时，f (x )＝( )
A ．－2x
B ．2－
x C ．－2－
x
D ．2x
(2)(2018·贵阳摸底考试)已知函数f (x )＝a －2
e x ＋1(a ∈R)是奇函数，则函数
f (x )的值域为
( )
A ．(－1,1)
B ．(－2,2)
C ．(－3,3)
D ．(－4,4)
[解析] (1)当x >0时，－x <0，∵x <0时，f (x )＝2x ，∴当x >0时，f (－x )＝2－x .∵f (x )是R 上的奇函数，∴当x >0时，f (x )＝－f (－x )＝－2－x .
(2)法一：由f (x )是奇函数知f (－x )＝－f (x )，所以a －
2e －x ＋1＝－a ＋2e x ＋1，得2a ＝2
e x ＋1
＋2e －x ＋1，所以a ＝1e x ＋1＋e x e x ＋1＝1，所以f (x )＝1－2e x ＋1.因为e x ＋1>1，所以0<1
e x ＋1<1，－1<1－2
e x ＋1
<1，所以函数f (x )的值域为(－1,1)．
法二：函数f (x )的定义域为R ，且函数f (x )是奇函数，所以f (0)＝a －1＝0，即a ＝1，所以f (x )＝1－2e x ＋1.因为e x ＋1>1，所以0<1e x ＋1<1，－1<1－2
e x ＋1<1，所以函数
f (x )的值域为
(－1,1)．
[答案] (1)C (2)A
[解题技法]
应用函数奇偶性可解决的四类问题及解题方法
(1)求函数值
将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解． (2)求解析式
先将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求解，或充分利用奇偶性构造关于f (x )的方程(组)，从而得到f (x )的解析式．
(3)求函数解析式中参数的值
利用待定系数法求解，根据f (x )±f (－x )＝0得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程(组)，进而得出参数的值．
(4)画函数图象和判断单调性
利用奇偶性可画出另一对称区间上的图象及判断另一区间上的单调性．
[题组训练]
1．(2019·贵阳检测)若函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝log 2(x ＋2)－1，则f (－6)＝( )
A ．2
B ．4
C ．－2
D ．－4
解析：选C 根据题意得f (－6)＝－f (6)＝1－log 2(6＋2)＝1－3＝－2.
2．已知函数f (x )为奇函数，当x >0时，f (x )＝x 2－x ，则当x <0时，函数f (x )的最大值为________．
解析：法一：当x <0时，－x >0，所以f (－x )＝x 2＋x .又因为函数f (x )为奇函数，所以f (x )
＝－f (－x )＝－x 2－x ＝－⎝⎛⎭⎫x ＋122＋14，所以当x <0时，函数f (x )的最大值为14
. 法二：当x >0时，f (x )＝x 2－x ＝⎝⎛⎭⎫x －122－14，最小值为－1
4，因为函数f (x )为奇函数，所以当x <0时，函数f (x )的最大值为1
4
.
答案：14
3．(2018·合肥八中模拟)若函数f (x )＝x ln(x ＋a ＋x 2)为偶函数，则a ＝________. 解析：∵f (x )＝x ln(x ＋a ＋x 2)为偶函数， ∴f (－x )＝f (x )，即－x ln(a ＋x 2－x )＝x ln(x ＋
a ＋x 2)，从而ln[(
a ＋x 2)2－x 2]＝0，即ln
a ＝0，故a ＝1.
答案：1
考点三 函数的周期性
[典例] (1)(2018·开封期末)已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝－f (x ＋2)，当x ∈(0,2]时，f (x )＝2x ＋log 2x ，则f (2 019)＝( )
A ．5 B.12
C ．2
D ．－2
(2)(2018·江苏高考)函数f (x )满足f (x ＋4)＝f (x )(x ∈R)，且在区间(－2,2]上，f (x )＝
⎩⎨⎧
cos πx
2，0<x ≤2，⎪⎪⎪⎪
x ＋12，－2<x ≤0，
则f (f (15))的值为________．
[解析] (1)由f (x )＝－f (x ＋2)，得f (x ＋4)＝f (x )，所以函数f (x )是周期为4的周期函数，所以f (2 019)＝f (504×4＋3)＝f (3)＝f (1＋2)＝－f (1)＝－(2＋0)＝－2.
(2)由函数f (x )满足f (x ＋4)＝f (x )(x ∈R)， 可知函数f (x )的周期是4， 所以f (15)＝f (－1)＝⎪⎪⎪⎪－1＋12＝12， 所以f (f (15))＝f ⎝⎛⎭⎫12＝cos π4＝2
2
.
[答案] (1)D (2)22
[题组训练]
1．(2019·山西八校联考)已知f (x )是定义在R 上的函数，且满足f (x ＋2)＝－1f (x )
，当2≤x ≤3时，f (x )＝x ，则f ⎝⎛⎭
⎫－11
2＝________. 解析：∵f (x ＋2)＝－
1
f (x )
，∴f (x ＋4)＝f (x )， ∴f ⎝⎛⎭⎫－112＝f ⎝⎛⎭⎫5
2，又2≤x ≤3时，f (x )＝x ， ∴f ⎝⎛⎭⎫52＝52，∴f ⎝⎛⎭⎫－112＝52. 答案：52
2．(2019·哈尔滨六中期中)设f (x )是定义在R 上的周期为3的函数，当x ∈[－2,1)时，f (x )
＝⎩
⎪⎨⎪⎧
4x 2－2，－2≤x ≤0，x ，0<x <1，则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫214＝________. 解析：由题意可得f ⎝⎛⎭⎫214＝f ⎝⎛⎭⎫6－34＝f ⎝⎛⎭⎫－34＝4×⎝⎛⎭⎫－342－2＝1
4，f ⎝⎛⎭⎫14＝14. 答案：1
4
[课时跟踪检测]
A 级
1．下列函数为奇函数的是( ) A ．f (x )＝x 3＋1 B ．f (x )＝ln 1－x
1＋x
C ．f (x )＝e x
D ．f (x )＝x sin x
解析：选B 对于A ，f (－x )＝－x 3＋1≠－f (x )，所以其不是奇函数；对于B ，f (－x )＝ln
1＋x 1－x ＝－ln 1－x
1＋x
＝－f (x )，所以其是奇函数；对于C ，f (－x )＝e －x ≠－f (x )，所以其不是奇函数；对于D ，f (－x )＝－x sin(－x )＝x sin x ＝f (x )，所以其不是奇函数．故选B.
2．(2019·南昌联考)函数f (x )＝9x ＋1
3
x 的图象( )
A ．关于x 轴对称
B ．关于y 轴对称
C ．关于坐标原点对称
D ．关于直线y ＝x 对称
解析：选B 因为f (x )＝9x ＋1
3x ＝3x ＋3－x ，易知f (x )为偶函数，所以函数f (x )的图象关于
y 轴对称．
3．设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
log 2(x ＋1)，x ≥0，
g (x )，x ＜0，则f (－7)＝( )
A ．3
B ．－3
C ．2
D ．－2
解析：选B 因为函数f (x )是定义在R 上的奇函数，
且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
log 2(x ＋1)，x ≥0，
g (x )，x ＜0，
所以f (－7)＝－f (7)＝－log 2(7＋1)＝－3.
4．若定义在R 上的偶函数f (x )和奇函数g (x )满足f (x )＋g (x )＝e x ，则g (x )＝( ) A ．e x －e －
x B.12(e x ＋e －
x )
C.12
(e －
x －e x ) D.12
(e x －e －
x )
解析：选D 因为f (x )＋g (x )＝e x ，所以f (－x )＋g (－x )＝f (x )－g (x )＝e －x ， 所以g (x )＝1
2
(e x －e －x )．
5．设f (x )是定义在R 上周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝x 2－x ，则f ⎝⎛⎭⎫－52＝( )
A ．－1
4
B ．－1
2
C.14
D.12
解析：选C 因为f (x )是定义在R 上周期为2的奇函数，所以f ⎝⎛⎭⎫－52＝－f ⎝⎛⎭⎫52＝－f ⎝⎛⎭⎫12.又当0≤x ≤1时，f (x )＝x 2－x ，所以f ⎝⎛⎭⎫12＝⎝⎛⎭⎫122－12＝－14
，则f ⎝⎛⎭⎫－52＝14. 6．(2019·益阳、湘潭调研)定义在R 上的函数f (x )，满足f (x ＋5)＝f (x )，当x ∈(－3,0]时，f (x )＝－x －1，当x ∈(0,2]时，f (x )＝log 2x ，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 019)的值等于( )
A ．403
B ．405
C ．806
D ．809
解析：选B 定义在R 上的函数f (x )，满足f (x ＋5)＝f (x )，即函数f (x )的周期为5.又当x ∈(0,2]时，f (x )＝log 2x ，所以f (1)＝log 21＝0，f (2)＝log 22＝1.当x ∈(－3,0]时，f (x )＝－x －1，所以f (3)＝f (－2)＝1，f (4)＝f (－1)＝0，f (5)＝f (0)＝－1.故f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 019)＝403×[f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋f (5)]＋f (2 016)＋f (2 017)＋f (2 018)＋f (2 019)＝403×1＋f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝403＋0＋1＋1＋0＝405.
7．已知函数f (x )是偶函数，当x ＞0时，f (x )＝ln x ，则f ⎝⎛⎭
⎫f ⎝⎛⎭⎫1e 2的值为________． 解析：由已知可得f ⎝⎛⎭⎫1e 2
＝ln 1
e 2
＝－2， 所以f ⎝⎛⎭
⎫f ⎝⎛⎭⎫1e 2＝f (－2)． 又因为f (x )是偶函数，
所以f ⎝⎛⎭
⎫f ⎝⎛⎭⎫1e 2＝f (－2)＝f (2)＝ln 2. 答案：ln 2
8．(2019·惠州调研)已知函数f (x )＝x ＋1
x －1，f (a )＝2，则f (－a )＝________.
解析：法一：因为f (x )＋1＝x ＋1
x ，
设g (x )＝f (x )＋1＝x ＋1
x ，
易判断g (x )＝x ＋1
x 为奇函数，
故g (x )＋g (－x )＝x ＋1x －x －1
x
＝0，
即f (x )＋1＋f (－x )＋1＝0，故f (x )＋f (－x )＝－2. 所以f (a )＋f (－a )＝－2，故f (－a )＝－4. 法二：由已知得f (a )＝a ＋1
a
－1＝2，
即a ＋1a ＝3，所以f (－a )＝－a －1
a －1＝－⎝⎛⎭⎫a ＋1a －1＝－3－1＝－4. 答案：－4
9．(2019·陕西一测)若函数f (x )＝ax ＋b ，x ∈[a －4，a ]的图象关于原点对称，则函数g (x )
＝bx ＋a
x
，x ∈[－4，－1]的值域为________．
解析：由函数f (x )的图象关于原点对称，可得a －4＋a ＝0，即a ＝2，则函数f (x )＝2x ＋b ，其定义域为[－2,2]，所以f (0)＝0，所以b ＝0，所以g (x )＝2
x ，易知g (x )在[－4，－1]上单
调递减，故值域为[g (－1)，g (－4)]，即⎣
⎡⎦⎤－2，－1
2. 答案：⎣
⎡⎦⎤－2，－1
2 10．设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，若当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝lg x ，则满足f (x )>0的x 的取值范围是____________．
解析：当x >0时，lg x >0，所以x >1， 当x <0时，由奇函数的对称性得－1<x <0， 故填(－1,0)∪(1，＋∞)． 答案：(－1,0)∪(1，＋∞)
11．f (x )为R 上的奇函数，当x >0时，f (x )＝－2x 2＋3x ＋1，求f (x )的解析式． 解：当x <0时，－x >0，则f (－x )＝－2(－x )2＋3(－x )＋1＝－2x 2－3x ＋1. 由于f (x )是奇函数，故f (x )＝－f (－x )， 所以当x <0时，f (x )＝2x 2＋3x －1. 因为f (x )为R 上的奇函数，故f (0)＝0.
综上可得f (x )的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
－2x 2＋3x ＋1，x >0，
0，x ＝0，
2x 2
＋3x －1，x <0.
12．设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，对任意实数x 有f ⎝⎛⎭⎫32＋x ＝－f ⎝⎛⎭⎫3
2－x 成立． (1)证明y ＝f (x )是周期函数，并指出其周期； (2)若f (1)＝2，求f (2)＋f (3)的值． 解：(1)证明：由f ⎝⎛⎭⎫32＋x ＝－f ⎝⎛⎭
⎫3
2－x ， 且f (－x )＝－f (x )，知f (3＋x )＝f ⎣⎡⎦⎤32＋⎝⎛⎭⎫32＋x ＝－f ⎣⎡⎦
⎤32－⎝⎛⎭
⎫3
2＋x ＝－f (－x )＝f (x )， 所以y ＝f (x )是周期函数，且T ＝3是其一个周期． (2)因为f (x )为定义在R 上的奇函数，所以f (0)＝0，
且f (－1)＝－f (1)＝－2，又T ＝3是y ＝f (x )的一个周期，所以f (2)＋f (3)＝f (－1)＋f (0)＝－2＋0＝－2.
B 级
1．已知f (x )是R 上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x <2时，f (x )＝x 3－x ，则函数y ＝f (x )的图象在区间[0,6]上与x 轴的交点的个数为( )
A ．6
B ．7
C ．8
D ．9
解析：选B 因为f (x )是最小正周期为2的周期函数，且0≤x <2时，f (x )＝x 3－x ＝x (x －
1)(x ＋1)，
所以当0≤x <2时，f (x )＝0有两个根，即x 1＝0，x 2＝1.
由周期函数的性质知，当2≤x <4时，f (x )＝0有两个根，即x 3＝2，x 4＝3；当4≤x ≤6时，f (x )＝0有三个根，即x 5＝4，x 6＝5，x 7＝6，故f (x )的图象在区间[0,6]上与x 轴的交点个数为7.
2．(2019·洛阳统考)若函数f (x )＝ln(e x ＋1)＋ax 为偶函数，则实数a ＝________. 解析：法一：(定义法)∵函数f (x )＝ln(e x ＋1)＋ax 为偶函数，∴f (－x )＝f (x )， 即ln(e －x ＋1)－ax ＝ln(e x ＋1)＋ax ，
∴2ax ＝ln(e －x ＋1)－ln(e x
＋1)＝ln e －x ＋1e x ＋1＝ln 1e x ＝－x ， ∴2a ＝－1，解得a ＝－12
. 法二：(特殊值法)由题意知函数f (x )的定义域为R ，由f (x )为偶函数得f (－1)＝f (1)，
∴ln(e －1＋1)－a ＝ln(e 1＋1)＋a ，∴2a ＝ln(e －1＋1)－ln(e 1＋1)＝ln e －
1＋1e ＋1＝ln 1e ＝－1， ∴a ＝－12
. 答案：－12
3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x 2＋2x ，x >0，0，x ＝0，
x 2＋mx ，x <0
是奇函数．
(1)求实数m 的值；
(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围．
解：(1)设x <0，则－x >0，
所以f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x . 又f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )， 于是x <0时，f (x )＝x 2＋2x ＝x 2＋mx ，所以m ＝2.
(2)要使f (x )在[－1，a －2]上单调递增，
结合f (x )的图象(如图所示)知⎩⎪⎨⎪⎧
a －2>－1，a －2≤1，所以1＜a ≤3， 故实数a 的取值范围是(1,3]．。