2013年人教版义务教育教科书数学8年级下册16.1二次根式第3课时
人教版数学八下16.3二次根式的加减 课时3新课件
形式.
移：把能开得尽方的因数（或因式）用它的算术平方
根代替，移到根号外，当把根号内的分母中的因式移
到根号外时，要注意依旧写在分母的位置上.
化：化去被开方数中的分母.
约：约分，化为最简二次根式.
新知探究 跟踪训练
1.判断: 下列各式中，哪些是最简二次根式？
3
；
5
（1） 35；
（2）
（3） 3 + 1；
（4） 16.
2.化简： 将下列各式化简为最简二次根式.
1
（2）1 3;
（1） 3 ,
解：（1）∵3 ≥ 0 ，
∴ a≥0.
∴原式 = 2 ∙ = .
（2）原式 =
4
3
=
4× 3
3× 3
=
2 3
.
3
2.化简： 将下列各式化简为最简二次根式.
4
（1） 32 ；
（2） 40 ； （3） 1.5 ； （4） .
3
解：（1） 32 = 16 × 2 = 16 × 2 = 4 2;
（2）
40 = 4 × 10 = 2 10;
（3）
1.5 =
（4）
4 4
=
3 3
3
3
3× 2
6
=
=
=
;
2
2
2
2× 2
=
4× 3
3× 3
=
2 3
.
3
3.设长方形的面积为 S，相邻两边的长分别为 a，b. 已
B． 12
12=2 3
C． 2
2=||
D．
5
3
16.1《二次根式》(第1-3课时)教案 新人教版
16.1 二次根式教案第一课时二次根式的概念教学目标知识与技能 1 理解二次根式的概念2a≥0）的意义求被开方数中字母的取值范围．过程与方法从具体实例中建立二次根式模型，探索二次根式被开方数中字母的取植范围情感态度与价值观经历观察比较总结和应用等数学活动，体验发现的快乐教学重难点关键1a≥0）的式子叫做二次根式的概念；2．a≥0）的意义求被开方数中字母的取值范围教学过程一、复习引入（学生活动）请同学们独立完成下列三个问题：问题1：已知反比例函数y=3x，那么它的图象在第一象限横、•纵坐标相等的点的坐标是___________．问题2：在直角三角形ABC中，AC=3，BC=1，∠C=90°，那么AB边的长是__________．问题3：甲射击6次，各次击中的环数如下：8、7、9、9、7、8，那么甲这次射击的方差是S2，那么S=_________．老师点评：问题1：横、纵坐标相等，即x=y，所以x2=3．因为点在第一象限，所以，．问题2：由勾股定理得问题3：由方差的概念得.二、探索新知，都是一些正数的算术平方根．像这样一些正数的算术平a≥0）•的式子叫做二次根式，”称为二次根号．（学生活动）议一议：1．-1有算术平方根吗？2．0的算术平方根是多少？3．当a<0老师点评:有意义的条件例1．下列式子，哪些是二次根式，、1xx>0）、、、1x y+x≥0，y•≥0）．分析”；第二，被开方数是正数或0．x>0）、x≥0，y≥0）；不是二、1x、1x y+．例2．当x是多少时，2-x在实数范围内有意义？分析：由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0，所以x-2≥0，2-x•才能有意义．解：由x-2≥0，得：x≥2当x≥2时，2-x在实数范围内有意义．三、巩固练习教材练习1、2、3．四、应用拓展例3．当x11x+在实数范围内有意义？分析11x+在实数范围内有意义，必须同时满足0和11x+中的x+1≠0．解：依题意，得23010xx+≥⎧⎨+≠⎩由①得：x≥-3 2由②得：x≠-1当x≥-32且x≠-111x+在实数范围内有意义．例4(1)已知，求xy的值．(答案:2)(2)+=0，求a2004+b2004的值．(答案:25)五、归纳小结（学生活动，老师点评）1a≥0）的式子叫做二次根式，2．要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数．七板书设计一、选择题1．下列式子中，是二次根式的是（）A． B C．x 2．下列式子中，不是二次根式的是（）A B．1 x3．已知一个正方形的面积是5，那么它的边长是（） A．5 B C．15D．以上皆不对二、填空题1．形如________的式子叫做二次根式．2．面积为a的正方形的边长为________．3．负数________平方根．三、综合提高题1．某工厂要制作一批体积为1m3的产品包装盒，其高为0.2m，按设计需要，•底面应做成正方形，试问底面边长应是多少？2．当x+x2在实数范围内有意义？3．4.x有（）个．A．0 B．1 C．2 D．无数5.已知a、b为实数，且=b+4，求a、b的值．16..1 二次根式教案教学内容 1．a ≥0）是一个非负数；2．2=a （a ≥0）． 教学目标知识与技能a ≥02=a （a ≥0），并利用它们进行计算和化简．过程与方法 经历探索二次根式的性质的过程，培养学生从简单到复杂从一般到特殊的思 维过程情感 态度与价值观 通过学生自主探索合作交流体会学习数学的乐趣 教学重难点关键1a ≥0）是一个非负数；2=a （a ≥0）及其运用．2a ≥0）是一个非负数；•用探究的方2=a （a ≥0）． 教学过程一、复习引入 （学生活动）口答 1．什么叫二次根式？2．当a ≥0a<0老师点评（略）． 二、探究新知 议一议：（学生分组讨论，提问解答）a ≥0）是一个什么数呢？老师点评：根据学生讨论和上面的练习，我们可以得出做一做：根据算术平方根的意义填空：）2=_______；2=_______；2=______；2=_______；）2=______；）2=_______；）2=_______．是4的算术平方根，是一个平方等于4）2=4．同理可得：）2=2，2=9，）2=3，）2=13，）2=72，）2=0，所以例1计算1．（5.1）2 2．（2 3．24．（2）2分析：我们可以直接利用（2=a （a ≥0）的结论解题．解：（5.1）2 =1.5，（2 =22·2=22×5=20，2=56，（2）2=22724=．三、巩固练习计算下列各式的值：2）2 （4）2）2（）2 22-四、应用拓展例2 计算1．2（x ≥0） 2．2 3．24． 2 分析：（1）因为x ≥0，所以x+1>0；（2）a 2≥0；（3）a 2+2a+1=（a+1）≥0； （4）4x 2-12x+9=（2x ）2-2·2x ·3+32=（2x-3）2≥0．所以上面的4题都可以2=a（a≥0）的重要结论解题．解：（1）因为x≥0，所以x+1>02=x+1（2）∵a2≥02=a2（3）∵a2+2a+1=（a+1）2又∵（a+1）2≥0，∴a2+2a+1≥02+2a+1（4）∵4x2-12x+9=（2x）2-2·2x·3+32=（2x-3）2 又∵（2x-3）2≥0∴4x2-12x+9≥02=4x2-12x+9例3在实数范围内分解下列因式:（1）x2-3 （2）x4-4 (3) 2x2-3 五、归纳小结本节课应掌握：1a≥0）是一个非负数；2．2=a（a≥0）;反之:a=2（a≥0）．六、布置作业1．教材P8复习巩固2．（1）、（2） P97．七板书设计第二课时作业设计一、选择题1个数是（）．A．4 B．3 C．2 D．12．数a没有算术平方根，则a的取值范围是（）． A．a>0 B．a≥0 C．a<0 D．a=0二、填空题1．（2=________．2_______数．三、综合提高题1．计算（1）2（2）-）2（3）（12）2（4）（）2(5)2．把下列非负数写成一个数的平方的形式:（1）5 （2）3.4 （3）16（4）x（x≥0）3=0，求x y的值．4．在实数范围内分解下列因式:（1）x2-2 （2）x4-9 3x2-516.1 二次根式教案第三课时教学内容a（a≥0）教学目标知识与技能（a≥0），（a≥0）并利用它进行计算和化简．过程与方法经历探索二次根式的性质的过程，培养学生分类的数学思想情感态度与价值观通过学生自主探索合作交流体会学习数学的乐趣及发散思维能力教学重难点关键1a（a≥0）．2．难点：探究结论．3．关键：讲清a≥0a才成立．教学过程一、复习引入老师口述并板收上两节课的重要内容；1a≥0）的式子叫做二次根式；2a≥0）是一个非负数；3．2＝a（a≥0）．那么，我们猜想当a≥0是否也成立呢？下面我们就来探究这个问题．二、探究新知（学生活动）填空：；=________=_______．（老师点评）：根据算术平方根的意义，我们可以得到：110=23=37．例1化简（1（2（3（4分析：因为（1）9=-32，（2）（-4）2=42，（3）25=52，（4）（-3）2=32（a≥0）•去化简．解：（1（2（3（4三、巩固练习教材P7练习2．四、应用拓展例2 填空：当a≥0；当a<0，•并根据这一性质回答下列问题．（1，则a可以是什么数？（2，则a可以是什么数？（3，则a可以是什么数？（学生讨论）分析：（a≥0），∴要填第一个空格可以根据这个结论，第二空格就不行，应变形，使“（）2”中的数是正数，因为，当a≤0-a≥0．（1）根据结论求条件；（2）根据第二个填空的分析，逆向思想；（3）根据（1）、（2│a│，而│a│要大于a，只有什么时候才能保证呢？a<0．解：（1，所以a≥0；（2，所以a≤0；（3）因为当a≥0时，，即使a>a所以a不存在；当a<0，，即使-a>a，a<0综上，a<0例3当x>2分析：(略) 五、归纳小结（a≥0）及其运用，同时理解当a<0a的应用拓展．六、布置作业板书设计第三课时作业设计一、选择题1的值是（）．A．0 B．23C．423D．以上都不对2．a≥0，比较它们的结果，下面四个选项中正确的是（）．AC．-二、填空题1．=________．2是一个正整数，则正整数m的最小值是________．三、综合提高题1．先化简再求值：当a=9时，求如下：甲的解答为：原式=a+（1-a）=1；乙的解答为：原式=a+（a-1）=2a-1=17．两种解答中，_______的解答是错误的，错误的原因是__________．2．若│1995-a│，求a-19952的值．（提示：先由a-2000≥0，判断1995-a•的值是正数还是负数，去掉绝对值）3. 若-3≤x≤2时，试化简│x-2│+。
二次根式(第3课时)八年级数学
5.
3.设 a 1 ，b 10 3 , 则= a
10 3
b
课堂检测
基础巩固题
4.三角形的三边长分别为 20 ，40 ，45 ， 则这个三角形的 周长为_5_5_+_2__1_0___.
5.计算: （1）5 2 18 =_8__2
（2）4 18 - 9 2 =_3__2
8
1
32 2
22 2
2 3 22 21 2
8
16
4
5 4
2
（3）( 24 1 ) 3
6
24
3
1 6
3
24 3
1 6
3
42
6
2
6
2
2
1 6
2
11 6
2
8
1 63
（4） 25
2
99 18
25 2 22
911
92
5 2
2 3 11 3 2
1 2 3 11 2
巩固练习
变式训练
化简：
（1） 2 1 ； （2）12 3 1； （3）( 18 1 ) 8 .
5 10
3
2
解（：1 ） 2
5
1 10
25 55
110 1 1010 5
10 1 10 1 10 ;
10
10
（2）12
3
1
43
3
1 3 2 3
1 3
34
3;
3
33
3
3
（3）( 18 1 ) 8 18 8 1 8 18 8 1 8
变式训练
已知
人教版八年级下册数学教案：161二次根式.docx
课题16. 1 二次根式⑴ 1 课时课型新授备课人刘辉时间三维目标1>知识与技能：理解二次根式的概念，并利用丽(aMO)的意义解答具体题目.2、过程与方法：提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题.经历观察、比较，总结二次根式概念和被开方数取值的过程，发展学生的归纳概括能力。
3、情感态度与价值观：经历观察、比较和应用等数学活动，感受数学活动充满了探索性和创造性，体验发现的快乐，并提高应用的意识。
教学重点形如需(a>0)的式子叫做二次根式的概念；教学难点利用“需(aMO)”解决具体问题学情分析教学过程学生要解决的问题或完成的任务，教师如何教？学生如何学一、复习引入(1) 已知x2 = a.那么a是x的：x是a的，记为，a 一定是数。
(2) 4的算术平方根为2.用式子表示为二V4 :正数a的算术平方根为・0的算术平方根为：式子4a>^a > 0)的意义是。
思考：教材P2思考二、探索新知很明显侖,77,届,都是一些正数的算术平方根.像这样一些正数的算术平方根的式子，我们就把它称二次根式.因此，一般地，我们把形如徧(aM0)的式子叫做二次根式，称为二次根号.思考：(1)T有算术平方根吗？(2)0的算术平方根是多少？(3)当a<0,脳有意艾吗？三、例题讲解例1.下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：(x>0)、Vo、V2、y/2.、、y (xMO, yx x+ y$0).分析：二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“、厂”；第二，被开方数是正数或0.解：二次根式有：近、V7 (x>0)、而、、-血、、yjx+y (xNO,y 20).不是二次根式的有：逅、'、证、1.x x+ y例2 (教材P2例1)当x是怎样的实数时，77三在实数范围内有意义？解：由x-2 >0,得：x>2o当x$2时，石二！在实数范围内有意义.四、归纳小结本节课要掌握：1.形如需(a>0)的式子叫做二次根式，称为二次根号.2.要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数.当堂训练教材P3练习1、2.补充练习：1、当x是多少时，丁2兀+ 3+ 1在实数范围内有意义？X + 1J2x+3$O ①解：依题意，得x+1#=0 ②由①得：x^--,由②得：x去-12O , 1当X》且x#=T时，J2X + 3+ 在实数范围内有意义.2 x + 12、⑴已知y二Q二+低二1+5,求兰的值.(答案⑵y(2)若Ja+1+Jb-1=0,求a+b 的值.(答案：0)作业教材P5习题16. 1第1、7题布置板书设计16. 1 二次根式⑴定义例题小结练习课题16. 1 二次根式(2) 1 课时课型新授备课人刘辉时间三维目标1、知识与技能：(1)理解丽(aNO)是一个非负数和(需)Ja (a>0),并利用它们进行计算和化简.(2)理解历二a (aMO)并利用它进行计算和化简.2、过程与方法：通过复习二次根式的槪念，用逻辑推理的方法推出乔(aNO)是一个非负数，用具体数据结合算术平方根的意义导出(乔)2二a (a$0);最后运用结论严谨解题.3、情感态度与价值观：通过二次根式的相关计算，进而解决一些实际问题，培养学生解决问题的能力。
人教版八年级数学下册第十六章《二次根式(3)》公开课课件
∵由题意知a＜0 ∴点A(－,＋)
1.若 a 2 2b 7 =0，则 a 2b =____3_。 2、已知 1 有意义,那A(a, a )在 第二 象限.
a
3、2+√3-x的最小值为＿2＿，此时x的值为＿3＿。
若a.b为实数,且 2a b20
求 a2b22b1的值
解:
2 a 0 ， b2 0
而2a b20
?
2 a 0 ， b20
a2， b2
原 a 2 b 式 1 2 2 2 2 1 2 2 1 3
实数p在数轴上的位置如图所示，化简
(1p)2
2
2p
1 p (2 p)
p 1 2 p 1
在实数范围内分解因式: 4 x 2 3
解:
∵ 3 （ 3）2
x=5，y=11 (2x - y)2011 = -1
例 5： 已 知 ： x＜ 0， 化 简 ： 16x2
解 ： 1 6 x 2 = （ 4 x ） 2 =|4x|
∵x<0 , ∴4x＜0,
∴原式 = - 4x
练 一 练 ： x 2-6 x + 9 + x 2+ x + 1 ( -1 < x < 3 )
解：(1) (3 )2 |3 |
∵3 0
∴ (3 )2
3
(2) x2 2x1 (x1)2 |x1|
当x＝ 3 时，x－１<０
∴ x2 2x11x 1 3
∴当x＝ 3 时， x2 2x 1 1 3
已知 1 有意义,那A(a,
在
二
a
象限.
∵由题意知a＜0 ∴点A(－,＋)
a )
?
若a.b为实数,且 | 2a| b20
人教版数学八年级下册16.1.3二次根式(教案)
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《二次根式》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要计算非整数的平方根的情况？”（如计算矩形桌面面积时，边长为非整数）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索二次根式的奥秘。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“二次根式在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
人教版数学八年级下册16.1.3二次根式（教案）
一、教学内容
人教版数学八年级下册16.1.3节，本节课主要围绕二次根式展开，包括以下内容：
1.二次根式的定义与性质；
2.二次根式的乘法与除法；
3.二次根式的加法与减法；
4.二次根式的化简与运算；
5.二次根式在实际问题中的应用。
二、核心素养目标
1.理解二次根式的概念，培养学生的数学抽象素养，使学生能够把握数学对象的本质属性；
此外，我在教学中可能过于关注运算的技巧，而忽视了学生对二次根式概念深层次的理解。在未来的课程中，我应该花更多的时间去引导学生思考二次根式的本质，以及它们与平方根、立方根等其他数学概念的联系。
最后，我注意到有些学生在课堂上保持沉默，可能是因为他们害怕犯错。我需要创造一个更加包容和鼓励犯错的学习环境，让学生们明白错误是学习过程的一部分，而不是避免的事情。我会鼓励学生们提出问题，并赞扬那些勇于尝试和犯错的学生的勇气。
二次根式第三课时教案.
16.1 二次根式（第3课时）使学生理解并掌握=,并能利用这一结论进行计算.通过对的化简，培养学生分类讨论的思想.解决了这一类问题的化简问题.利用=（≥0）进行计算当<0时，=-这一结论的推导和应用.课题16.1 二次根式问题1，2 结论：当（≥0）时=归纳小结例2.计算:活动一复习旧知识1.()22.()2=_______=_______；活动二探索填空_____==______；_____==______；_____==______；_____==______；_____==______；求的是22算术平方根，即求4的算术平方根是2；同理依次可得4，0.1，，0；因此，总结出当（≥0）时=.例1 化简:学生口答第（1）小题（2）小题学生考虑应考虑什么?怎样填写?与学生一起分析填空，同时讲清（≥0）的意义并总结出规律.（1）（2）两小题学生自己解决；（3）小题提醒学生应注意考虑x的取值范围.学生独自完成，在全体订正答案.这两道小题的设计目的是复习旧知识,使学生与本节课的内容分开.使学生理解（≥0）实际上是求2的算术平方根.培养学生的归纳能力虽然x可以取全体实数，但要养成习惯对字母进行讨论.对负指数的化简学生应多加注意.（1）；（2）；（3）.解：（1）=8；（2）==4；（3）=x2+1.练习.计算：（1）；（2）（3）；（4）.解：（1）=0.3；（2）=；（3）=5；（4）=10-1=0.1=.问题与情境设计意图活动三拓展提高议一议：=_______=______；=_______=______；=______=______；由上可知,需要a 的范围吗？为什么？当a<0时，=？=＿＿＿(≥0)=＿＿＿(<0).例2.计算:（1）；（2）；（3）.从特殊到一般归纳完整的化简的结论.利用这三个小题进一步使学生对的化简有更深刻的理解.介绍代数式的定义为今后的学习代数式化简做好准备.训练学生的语言表达能力,勇于表达出自己的意见和想法.解:（1）=3；（2）=；（3）=m-1 (m≥1)=1-m（m<1）.代数式定义:用运算符号把数和字母连接起来的式子,叫做代数式.例如:7,,x+y,-2ab, , m2,,等都是代数式.活动四归纳小结1. 的化简；2.与（）2的区别;3.代数式定义.作业：1.计算：(1).；(2).；(3).；(4)..2.已知直角三角形的两条直角边为和,斜边为.(1)如果=12, =5,求；(2)如果=3, =4,求；(3)如果=10,=9,求；(4)如果==2,求.。
人教版八年级数学下册《二次根式的乘除 (第3课时)》示范教学课件
类型二、利用二次根式的乘除法比较二次根式的大小
2．比较大小：
（2） 与 ；
类型二、利用二次根式的乘除法比较二次根式的大小
2．比较大小：
（3） 与 ．
归纳
（1）归根法：先将根号外的正因数平方后移到根号内，计算出被开方平方根也大． （2）平方法：若两个二次根式同号，也可以先将两个二次根式分别平方，再根据实数比较大小的方法比较即可．
类型一、二次根式的乘除混合运算
1．计算：
（1） ；
类型一、二次根式的乘除混合运算
1．计算：
（2） ．
归纳
类型二、利用二次根式的乘除法比较二次根式的大小
2．比较大小：
最终结果要使实际问题有意义
二次根式乘除法的应用
二次根式的乘除混合运算
在实际问题中的应用
比较二次根式的大小
二次根式比较大小有“三招”
归纳
二次根式比较大小有“三招”
类型三、二次根式的乘除在实际问题中的应用
3．电视塔越高，从塔顶发射出的电磁波传播得越远，从而能收看到电视节目的区域就越广．电视塔高 h（单位：km）与电视节目信号的传播半径 r（单位：km）之间存在近似关系 ，其中 R 是地球半径，R≈6 400 km．如果两个电视塔的高分别是 h1 km，h2 km，那么它们的传播半径之比是多少？
类型三、二次根式的乘除在实际问题中的应用
类型三、二次根式的乘除在实际问题中的应用
4．有一幅长方形图片，它的长是 cm，宽是 cm ．李星
同学想设计一个与该长方形面积相等的圆，请你帮他求出圆的半径．
类型三、二次根式的乘除在实际问题中的应用
归纳
解答实际问题时，首先要正确理解题意，把实际问题转化为数学问题，并找到解答问题的关键点，再利用相关数学知识进行解答，最终结果一定要保证实际问题有意义．
人教版数学八年级下册教案 16.1《 二次根式 》
人教版数学八年级下册教案 16.1《二次根式》一. 教材分析人教版数学八年级下册第16.1节《二次根式》是初中数学的重要内容，主要让学生了解二次根式的概念、性质和运算。
本节内容为后续学习二次根式的应用和二次方程等知识打下基础。
教材通过引入二次根式，让学生体会数学与实际生活的联系，培养学生的数学应用能力。
二. 学情分析学生在学习本节内容前，已掌握了实数、有理数和无理数的基本知识，具备一定的代数运算能力。
但学生对二次根式这一概念的理解和应用尚存困难，因此，在教学过程中，要注重引导学生通过实例认识二次根式，感悟数学与生活的联系，激发学习兴趣。
三. 教学目标1.理解二次根式的概念，掌握二次根式的性质。
2.学会二次根式的运算，提高学生的数学运算能力。
3.培养学生的数学思维能力，提高学生解决实际问题的能力。
四. 教学重难点1.二次根式的概念和性质。
2.二次根式的运算方法。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例引入二次根式，让学生感受数学与生活的联系。
2.启发式教学法：引导学生探究二次根式的性质和运算方法，培养学生的独立思考能力。
3.小组合作学习：学生进行小组讨论，共同解决问题，提高学生的合作能力。
六. 教学准备1.教学课件：制作课件，展示二次根式的概念、性质和运算方法。
2.练习题：准备适量练习题，巩固学生对二次根式的理解和应用。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用生活实例，如求物体长度、面积等，引出二次根式的概念。
2.呈现（10分钟）讲解二次根式的定义，让学生通过实例理解二次根式。
3.操练（15分钟）让学生进行二次根式的基本运算，如加减乘除，巩固学生对二次根式的掌握。
4.巩固（10分钟）出示练习题，让学生独立解答，检查学生对二次根式的理解和运用。
5.拓展（10分钟）讲解二次根式的性质，如二次根式的乘除法、化简等，引导学生运用性质解决问题。
6.小结（5分钟）对本节课的主要内容进行总结，让学生明确二次根式的概念、性质和运算方法。
人教版八年级数学下册第十六章16.2二次根的乘除课件(3课时,共61张PPT)
证明：根据积的乘方法则，有 ( a b)2 ( a)2 ( b)2 ab.
∴ a b 就是ab算术平方根.
又∵ ab 表示ab算术平方根， ∴ a b ab (a 0,b 0.)
知识归纳
二次根式乘法法则：
例8 设长方形的面积为S,相邻两边长分别为a,b.
反之： ab = a b （a≥0，b≥0 ）． （a≥0，b≥0 ）．
我们可以运用它来进行二次根式的解题和化简.
解：(2)∵
，
(1)
___×___=____;
（a≥0，b≥0 ）．
当二次根式根号外的因数(式)不为1时，可类比单项式除以单项式法则，易得
2 7= ？
精典例题
例1 计算：
（1） 16 81 ；（2） 12 ；（3） 4a2b3 ． 解：（1） 16 81=36；
（3） 3x 1 xy = 3x 1 xy =x y.
3
3
目标导学三：二次根式的除法
我们知道，两个二次根式可以进行乘法运算，那 么，两个二次根式能否进行除法运算呢？
24 = _____ ； 3 1 = _____ ．
3
2 18
合作探究
问题 计算下列各式，观察计算结果，你能发现 什么规律？
（1） ４ = ９
特殊化，从能开得尽方的 二次根式乘法运算开始思考！
2 7= ？
目标导学一：二次根式的乘法 计算下列各式:
(1) 4 9= __2_×_3__=__6__; 4 9 =___3_6___6__;
(2) 16 25 __4_×_5__=__2_0_; 16 25 =__4_0_0___2_0_; (3) 25 36=__5_×_6__=__3_0_; 25 36 =__9_0_0___3_0_.
人教版八下数学16.1 课时1二次根式的概念教案+学案
人教版八年级下册数学第16章二次根式16.1 二次根式课时1 二次根式的概念教案【教学目标】1．理解二次根式的概念；2．掌握二次根式有意义的条件；3．会利用二次根式的非负性解决相关问题【教学重点】能理解二次根式的概念及有意义的条件.【教学难点】会利用二次根式的有意义的条件及其非负性解题.。
【教学过程设计】一、情境导入问题1：你能用带有根号的式子填空吗？(1)面积为3的正方形的边长为________，面积为S的正方形的边长为________．(2)一个长方形围栏，长是宽的2倍，面积为130m2，则它的宽为________m.(3)一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t(单位：s)与落下的高度h(单位：m)满足关系h＝5t2，如果用含有h的式子表示t，则t＝______．问题2：上面得到的式子3，S，65，h5分别表示什么意义？它们有什么共同特征？二、合作探究探究点一：二次根式的定义例 1 下列各式中，哪些是二次根式，哪些不是二次根式？(1)11；(2)－5；(3)（－7）2；(4)313；(5)15－16；(6)3－x(x≤3)；(7)－x(x≥0)；(8)（a－1）2；(9)－x2－5；(10)（a －b ）2(ab ≥0)．解析：要判断一个根式是不是二次根式，一是看根指数是不是2，二是看被开方数是不是非负数．解：因为11，（－7）2，15－16＝130，3－x (x ≤3)，（a －1）2，（a －b ）2(ab ≥0)中的根指数都是2，且被开方数为非负数，所以都是二次根式.313的根指数不是2，－5，－x (x ≥0)，－x 2－5的被开方数小于0，所以不是二次根式．方法总结：判断一个式子是不是二次根式，要看所给的式子是否具备以下条件：(1)带二次根号“ ”；(2)被开方数是非负数．探究点二：二次根式有意义的条件【类型一】 根据二次根式有意义求字母的取值范围 例 2 求使下列式子有意义的x 的取值范围． (1)14－3x；(2)3－x x －2；(3)x ＋5x .解析：根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0且分母不等于0，列不等式(组)求解．解：(1)由题意得4－3x ＞0，解得x ＜43.当x ＜43时，14－3x有意义； (2)由题意得⎩⎨⎧3－x ≥0，x －2≠0，解得x ≤3且x ≠2.当x ≤3且x ≠2时，3－xx －2有意义；(3)由题意得⎩⎨⎧x ＋5≥0，x ≠0，解得x ≥－5且x ≠0.当x ≥－5且x ≠0时，x ＋5x 有意义．方法总结：含二次根式的式子有意义的条件：(1)如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是各个二次根式中的被开方数都必须是非负数；(2)如果所给式子中含有分母，则除了保证二次根式中的被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零．【类型二】 利用二次根式的非负性求解例 3 (1)已知a 、b 满足2a ＋8＋|b －3|＝0，解关于x 的方程(a ＋2)x ＋b 2＝a －1；(2)已知x 、y 都是实数，且y ＝x －3＋3－x ＋4，求y x 的平方根． 解析：(1)根据二次根式的非负性和绝对值的非负性求解即可；(2)根据二次根式的非负性即可求得x 的值，进而求得y 的值，进而可求出y x 的平方根．解：(1)根据题意得⎩⎨⎧2a ＋8＝0，b －3＝0，解得⎩⎨⎧a ＝－4，b ＝ 3.则(a ＋2)x ＋b 2＝a －1，即－2x ＋3＝－5，解得x ＝4；(2)根据题意得⎩⎨⎧x －3≥0，3－x ≥0，解得x ＝3.则y ＝4，故y x ＝43＝64，±64＝±8，∴y x的平方根为±8.方法总结：二次根式和绝对值都具有非负性，几个非负数的和为0，这几个非负数都为0.探究点三：和二次根式有关的规律探究性问题 例 4 先观察下列等式，再回答下列问题． ①1＋112＋122＝1＋11－11＋1＝112；②1＋122＋132＝1＋12－12＋1＝116；③1＋132＋142＝1＋13－13＋1＝1112.(1)请你根据上面三个等式提供的信息，写出1＋142＋152的结果；(2)请你按照上面各等式反映的规律，试写出用 含n 的式子表示的等式(n 为正整数)．解析：(1)从三个等式中可以发现，等号右边第一个加数都是1，第二个加数是个分数，设分母为n ，第三个分数的分母就是n ＋1，结果是一个带分数，整数部分是1，分数部分的分子也是1，分母是前项分数的分母的积；(2)根据(1)找的规律写出表示这个规律的式子．解：(1)1＋142＋152＝1＋14－14＋1＝1120；(2)1＋1n2＋1（n＋1）2＝1＋1n－1n＋1＝11n（n＋1）(n为正整数)．方法总结：解答规律探究性问题，都要通过仔细观察找出字母和数之间的关系，通过阅读找出题目隐含条件并用关系式表示出来．【板书设计】16.1 二次根式课时1 二次根式的概念1．二次根式的定义一般地，我们把形如a(a≥0)的式子叫做二次根式．2．二次根式有意义的条件被开方数(式)为非负数；a有意义⇔a≥0.【教学反思】通过将新知识与旧知识进行联系与对比，随后由学生熟悉的实际问题出发，用已有的知识进行探究，由此引入二次根式．在教学过程中让学生感受到研究二次根式是实际的需要，体会到数学与实际生活间的紧密联系，以此充分激发学生学习的兴趣．人教版八年级下册数学第16章二次根式16.1 二次根式课时1 二次根式的概念学案【学习目标】1．理解二次根式的概念；2．掌握二次根式有意义的条件；3．会利用二次根式的非负性解决相关问题【学习重点】能理解二次根式的概念及有意义的条件.【学习难点】会利用二次根式的有意义的条件及其非负性解题.。
人教版数学八年级下册第16章二次根式16.1二次根式s课件上课讲义
解：由－a2≥0，得 a2≤0， 又∵a2≥0，∴a＝0， ∴原式＝ 4－ 9＝2－3＝－1
布置作业
教材P5页习题16.1第1、3题．
√√ √ 1.下列式子： 12， 0， （－2）2，3 a， 3－π，
其中二次根式的个数有( C ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 2.若代数式x－1 1＋ x有意义，则实数 x 的取值
范围是( D ) A.x≠1 B.x≥0 C.x≠0 D.x≥0 且 x≠1
达标测评
3.当 x 为何值时，下列各式有意义？
x3
练习2
当a 取何值时，下列二次根式有意义？
（1）
a + 1 ；（2）
1 1- 2a
；（3） （a-1）2 ．
解：（1）由a+1≥0，得 a≥-1；
（2）由1-2a＞0，得
a＜
1 2
；
（3）由（a -1）≥2 0，得 a为任意实数．
应用提高
已知 a，b 为一个等腰三角形的两边长，且 满足等式 2 3a 9 3 3 a b 6 ，求此等腰三角 形的周长．
4.
（双非负性）；
5. 既可表示开方运算，也可表示运算的结果．
a0且a0
练习1
指出下列哪些是二次根式？
√ √ (1) 5; (2) 5; (3)328; (4) x21;
√ (5) a2(a2);
(6) xy(xpy).
解：属于二次根式的有（1）、（4）、（5）.
探究2
例1：当x 是怎样的实数时， x - 2 在实数范围内 有意义？
解：要使 x - 2 在实数范围有意义，
则 x－2≥0，
人教版八年级数学下册课件16.1 二次根式
练习2 二次根式和算术平方根有什么关系？
二次根式都是非负数的算术平方根；带有根号的 算术平方根是二次根式．
例1 当x 是怎样的实数时， x+2 在实数范围内有 意义？
解：要使 x+2 在实数范围有意义， 必须 x+2≥0， ∴ x≥ -2．
∴ 当x≥-2时， x+2在实数范围内有意义．
思考 当x 是怎样的实数时， x2 在实数范围内有意 义？ x3 呢？
（3）根据你的理解，请写出二次根式的定义．
把形如 3， S， 65 ， h 用来表示一个非负数的 5
算术平方根的式子，叫做二次根式．
二次根式：
一般地，我们把形如 a（a≥0）的式子叫做二次
根式，“ ”称为二次根号．
二次根式
被开方数a≥0； 根指数为2．
练习1 指出下列哪些是二次根式？
（1） 5 ； √ （2） -3 ； （3）3 21； （4） x2+1 ；√ （5） a-2（a ≥ 2）；√ （6） a-b（a＜ b）．
2Rh2
简这个式子吗？ 式子 2Rh1 表示什么？公式中 r= 2Rh 中的
2Rh2
r= 2Rh 表示什么意义？
问题（1） ：
面积为3 的正方形的边长为____3___，
面积为S 的正方形的边长为____S___．
提出问题： 上述问题（1）中式子你是怎么得到？得到的两个
式子有什么不同？
问题（2） ： 一个长方形围栏，长是宽的2 倍，面积为
探究1
2
2
1 3
2
=
2
4
2
0
2 17
2是2的算术平方根，根据算术平方根的意义， 有（ 2）2 = 2.
新人教版八年级数学下册《16.1二次根式(第3课时)》教案-文档资料
新人教版八年级数学下册《16.1二次根式（第3
课时）》教案
一、复习引入
老师口述并板收上两节课的重要内容；
1．形如（a≥0）的式子叫做二次根式；
2．（a≥0）是一个非负数；
3．()2＝a（a≥0）．
那么，我们猜想当a≥0时，=a是否也成立呢？下面我们就来探究这个问题．
二、探究新知
（学生活动）填空：
=2；=0.01；=；=；=0；=．
因此，一般地：=a（a≥0）
例1化简
（1）（2）（3）（4）分析：因为（1）9=-32，（2）（-4）2=42，（3）25=52，
（4）（-3）2=32，所以都可运用=a（a≥0）•去化简．
解：（1）==3（2）==4
（3）==5（4）==3
三、巩固练习
教材P7练习2．
四、应用拓展
例2填空：当a≥0时，=_____；当a0时，=_______，•并根据这一性质回答下列问题．
（1）若=a，则a可以是什么数？
（2）若=-a，则a可以是什么数？
（3）a，则a可以是什么数？
分析：∵=a（a≥0），∴要填第一个空格可以根据这个结论，第二空格就不行，应变形，使“（）2”中的数是正数，因为，当a≤0时，=，那么-a≥0．
（1）根据结论求条件；（2）根据第二个填空的分析，逆向思想；（3）根据（1）、（2）可知=│a│，而│a│要大于a，只有什么时候才能保证呢？a0．
解：（1）因为=a，所以a≥0；
（2）因为=-a，所以a≤0；
（3）因为当a≥0时=a，要使a，即使aa所以a不存在；当a0时。
人教版八年级下册数学教案：16.1二次根式
1．回顾：什么叫平方根?什么叫算术平方根?
2．计算:
(1) 的平方根是.
(2)如图,在R ABC中,AB=50m,BC= m,则AC=m.
(3)圆的面积为S,则圆的半径是.
(4)正方形的面积为 ,则边长为.
3.对上面（2）~（4）题的结果,你能发现它们有什么共同的特征吗?
二、探索与实践
1、二次根式的定义.
3、如果等式 = x成立，那么x为（ ）。
A x≤0; B.x=0 ; C.x<0; D.x≥0
4、 若 ，则 =。
5、计算：
（1） =（2） =
（3） =（4） =
6、在实数范围内因式分解：
（1）x2-9= x2- （ ）2= （x+ ____）(x-____)
（2） x2- 3 = x2- ( )2= (x+ _____) (x- _____)
（1） （Байду номын сангаас）
三、课堂练习
P59页 练习1、2.
四、课堂小结
引导学生总结
1.什么叫做二次根式?你们能举出几个例子吗?
2.二次根式有哪两个形式上的特点?
3．当 ≥0时， = ？
【课后练习】
1、下列各式中，正确的是（ ）。
A.B
CD
2、下列计算中，不正确的是 （ ）。
A、3= B、0.5= C、 =0.3D、 =35
数学集体备课教案
主备人
学科
数学
主备时间
集体备课时间
执教人
执教时间
执教班级
教时
课题
二次根式
教学
目标
1、了解二次根式的概念，能判断一个式子是不是二次根式
八年级数学下册课件-16.1 二次根式3-人教版
3 想一想： 10 、 -5 、 8
5 3 、 (-2)2
Байду номын сангаас
a (a＜0﹚、
a2+0.1 、 -a (a＜0﹚是不是二次根式？
例1 : 判断，下列各式中那些是二次根式？
a 10 , 00..0044,, aa2 ,2 ,
5,
aa,, 3 8.
定义：式子 a (a 0) 叫做二次根式.
其中a叫做被开方式。
想一想：假如把题目改为：要使
x-2 x-1
有意义，
字母 x 的取值必须满足什么条件？ x≥2
想一想：一个正数的算术平方根是 正数。
零的算术平方根是 0 。 负数有没有算术平方根？ 没有
做一做: 要使下列各式有意义，字母的取值必
须满足什么条件？
1、 x+3
2、 2-5x
3、
1 x
4、 a2+1
5、 x-3 + 4-x
归 纳
由 a2 aa 0,可以得 a a2 a 0。
利用这个式子，可以把任何一个非负数写成 带有“ ”的形式，例： 5 25 ,
0.9 0.81
试一试
1.计算下列各题:
2
(1) 15 (2)
1
2
5
2.若 (1 x)2 1 x,则x的取值范围为 ( )
A. x≤1 B. x≥1 C. 0≤x≤1 D.一切有理数
又∵ a+2 +|3b-9|+(4-c) 2=0, ∴a+2=0 , 3b-9=0 ,4-c=0 。 ∴a= -2 , b= 3 ,c= 4。 ∴2a-b+c=2×(-2) -3+4 = -3。
二次根式的性质（２）
数学人教版八年级下册16二次根式3
≤-1
（2）下列各等式成立的是（ ）．A．4 5 ×2 5 =8 5
B．5
3 ×4 2 =20 5 C．4 3 ×3 2 =7 5
D．5 3 ×4 2 =20
6
（3）二次根式 (2)2 6 的计算结果是（ ）A．2 6
6
C．6 D．12
B．-2
2、化简与计算：
（1） 360 ； 3 2 75
（2） 32x4 ； （3） 18 30 ；
目标
标
情感
通过观察一些特殊的情形，获得一般结论，使学生感受归纳的思想方法
目标
教学重点 掌握和应用二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质。
教学难点 正确依据二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质进行二次根式的化简。
16.2 二次根式的乘除 1
板书
a · b ＝ ab （a≥0，b≥0）， ab = a · b （a≥0，b≥0）
例题
设计
教学环节
教学过程设计
二次备课
自学导航 （课前预 习）
1．填空：（1） 4 × 49
9 =____， 4 9 =____；
4 × 9 __
（2） 16 × 25 =____， 16 25 =___； 25 __ 16 25
16 ×
（3） 100 × 36 =___， 100 36 =___．
进行计算：即系数之积作为积的系数，被开方数之积为被
开方数。
2、化简二次根式达到的要求：
（1）被开方数进行因数或因式分解。
（2）分解后把能开尽方的开出来。
达标检测 A组
1、选择题
（1）等式 x 1 • x 1 x2 1 成立的条件是（ ）
A．x≥1 B．x≥-1 C．-1≤x≤1 D．x≥1 或 x
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16．1 二次根式第3课时学案
课型: 上课时间：课时：
学习内容：a（a≥0）
学习目标：
1（a≥0）并利用它进行计算和化简．
2（a≥0），并利用这个结论解决具体问题．
教学过程
一、自主学习
（一）、复习引入
1a≥0）的式子叫做二次根式；
2a≥0）是一个非负数；3．2＝a（a≥0）．
那么，我们猜想当a≥0是否也成立呢？下面我们就来探究这个问题．
（二）、自主学习
学生学习课本知识4、5页
（三）、探究新知
1、填空：根据算术平方根的意义，
；；；=___=_ _ ．
2、（a≥0）
例1 化简
（1（2（3（4
解：（1= （2=
（3= （4=
3、注意：（1a（a≥0）．（2）、只有a≥0a才成立．
二、学生小组交流解疑，教师点拨、拓展
例2 填空：当a≥0；当a<0，•并根据这一性质回答下列问题．
（1，则a可以是什么数？
（2，则a可以是什么数？
（3，则a可以是什么数？
例3当x>2
三、巩固练习
教材P4练习
四、课堂检测
（一）、选择题
1）．A．0 B．2
3
C．4
2
3
（二）、填空题
1．=________．
2m的最小值是________．
三、综合提高题
1．先化简再求值：当a=9时，求的值，甲乙两人的解答如下：
甲的解答为：原式（1-a）=1；
乙的解答为：原式=a+（a-1）=2a-1=17．
两种解答中，_______的解答是错误的，错误的原因是__________．
2．若│1995-a│，求a-19952的值．
（提示：先由a-2000≥0，判断1995-a•的值是正数还是负数，去掉绝对值）
3. 若-3≤x≤2时，试化简│x-2│。