函数极值及规划问题
极值与最值问题的数学建模与求解方法
极值与最值问题的数学建模与求解方法极值和最值问题是数学建模中常见的问题之一，它们在实际生活和科学研究中具有重要意义。
本文将介绍极值与最值问题的数学建模与求解方法，并对相关理论进行详细解释。
首先，我们来定义一下极值与最值。
极值是指在一定范围内，函数取得最大值或最小值的点，可以分为局部极值和全局极值。
局部极值是在函数的某一小范围内达到的最大值或最小值，全局极值则是在整个定义域内取得的最大值或最小值。
最值是函数在整个定义域内的最大值或最小值。
在数学建模中，我们常常需要通过建立数学模型来解决实际问题。
对于极值与最值问题，我们可以采用以下的数学建模方法。
第一，建立数学模型。
对于给定的实际问题，我们需要从中抽象出数学模型。
这包括确定参量、变量和约束条件等。
对于极值问题，我们需要确定目标函数和约束条件，而对于最值问题，我们需要确定目标函数，但一般不考虑约束条件。
第二，求解极值与最值。
根据所建立的数学模型，我们可以采用不同的求解方法来求解极值与最值问题。
以下是几种常用的求解方法。
1. 寻找局部极值点：利用微积分的相关知识，我们可以求出函数的一阶和二阶导数，通过求导数为零的点来确定函数的局部极值点。
然后进行极值点的对比，找到全局极值点。
2. 迭代法：对于复杂的非线性函数，我们可以采用迭代法来逼近极值点。
迭代法将问题分解为多个子问题，并通过多次迭代逼近极值点。
常见的迭代法包括牛顿法、梯度下降法等。
3. 整数规划方法：当目标函数和约束条件均为整数时，我们可以采用整数规划方法来求解极值与最值。
整数规划方法将问题转化为线性规划问题，然后通过线性规划的方法来求解。
4. 模拟退火算法：模拟退火算法是一种随机搜索算法，通过模拟金属冶炼退火时的过程，以概率性的方式逼近极值点。
该方法一般适用于非凸函数的最优化问题。
5. 遗传算法：遗传算法是一种模拟自然进化过程的算法，通过种群的选择、交叉和变异等操作来逐步逼近极值点。
该方法适用于高维、多峰和非线性函数的求解。
约束问题
约束极值问题（规划问题）：带有约束条件的极值问题。
非线性规划的一般形式为 min f ( X ) hi ( X ) = 0, i = 1, L , m g ( X ) ≥ 0, j = 1, L , l j
或 min f ( X ) g j ( X ) ≥ 0, j = 1,L , l
13
举例说明：用库恩 − 塔克条件解非线性规划 min f ( x) = ( x − 3) 2 g1 ( x) = x ≥ 0 g ( x) = 5 − x ≥ 0 2
min f ( x) = ( x − 3) 2 0≤ x≤5
解：将原问题改写为
∇f ( x) = 2( x − 3), ∇g1 ( x) = 1, ∇g 2 ( x) = −1
g1 ( X ) = 0
∇g 2 ( X )
6
5
X
R
∇g1 ( X )
− ∇f ( X )
g2 ( X ) = 0
11
（2）X *位于可行域的边界上（续） 2)若X *有两个起作用约束，不失一般性，设g1 ( X * ) = 0, g 2 ( X * ) = 0.此时，∇f ( X * ) 必定位于∇g1 ( X * )和∇g 2 ( X * )的夹角之内。若不然，在X *必定有可行下降方向，它 就不会是极小点。因此，假定∇g1 ( X * )和∇g 2 ( X * )线性无关, 则可将∇f ( X * )和表示为 ∇g1 ( X * )和∇g 2 ( X * )的非负线性组合。也即：在上述条件下，必定存在实数γ 1* ≥ 0和
或
min f ( X ), X ∈ R ⊂ E n R = { X | g j ( X ) ≥ 0, j = 1, L , l}
目标函数的几种极值求解方法
目标函数的几种极值求解方法在数学和优化领域中，目标函数是一个描述优化问题的函数，其目标是将该函数的值最小化或最大化。
目标函数的极值求解方法主要有以下几种方法：1.数值方法：数值方法是通过计算目标函数在一组特定点上的近似值来确定极值。
其中最简单的方法是取目标函数的一些特定点，并计算这些点上的函数值。
然后根据计算结果确定极值。
这些特定点通常是目标函数的极值点的近似值。
例如，可以使用微分方法来估计目标函数的极值点。
2.数学分析方法：数学分析方法是通过对目标函数进行数学分析来确定极值。
其中最常用的方法是求解目标函数的导数或二阶导数，并设置导数等于零来求解函数的极值点。
这个方法适用于一些简单的函数，例如多项式函数。
它可以精确地确定函数的极值点。
3.迭代方法：迭代方法是通过不断迭代目标函数来逼近极值。
迭代方法通常需要一个初始点，然后在每一步中更新该点，直到满足一些停止条件。
最常用的迭代方法是梯度下降法和牛顿法。
梯度下降法通过不断沿着函数的梯度方向进行迭代来逐渐接近极小值。
牛顿法将函数近似为一个二次函数，并使用二次函数的极值点来逼近原函数的极值点。
4.线性规划方法：线性规划方法是对一类特殊的目标函数进行极值求解的方法。
线性规划问题是指包含一组线性不等式或等式约束条件的目标函数的最小化或最大化问题。
线性规划方法可以通过求解线性规划问题的对偶问题来确定原问题的极值。
这个方法对于一些特殊的线性规划问题非常高效。
5.元启发式方法：元启发式方法是一种基于经验和启发式规则来确定目标函数极值的方法。
这些方法通常使用一些随机算法和优化算法，例如遗传算法、粒子群算法等。
元启发式方法通过不断目标函数的解空间来逼近极值。
总之，目标函数的极值求解方法有多种选择，可以根据具体的问题和需求选择合适的方法。
不同的方法有不同的适用范围和计算复杂度，需要根据具体情况进行选择和调整。
微积分中的极值与最值问题
微积分中的极值与最值问题微积分是数学中的一个重要分支，研究了函数的极限、导数和积分等概念及其相互关系。
在微积分中，极值问题是一个非常重要的概念，它可以帮助我们寻找函数的极大值和极小值。
本文将介绍微积分中的极值与最值问题，并讨论在实际应用中的一些具体例子。
一、极值问题的定义与求解方法在微积分中，极值问题指的是在一个函数的定义域中找到函数的极大值和极小值。
极大值是函数取得的最大值，极小值是函数取得的最小值。
极值的求解可以通过求函数的导数来实现。
具体来说，首先求函数的导数，然后找到导数为零或不存在的点，再通过二阶导数的符号确定这些点是否是函数的极值点。
如果二阶导数为正，那么该点是函数的极小值点；如果二阶导数为负，那么该点是函数的极大值点。
如果二阶导数等于零或不存在，就需要使用其他方法进行判断。
二、最值问题的定义与求解方法在微积分中，与极值问题相似的还有最值问题，它指的是在一个函数的定义域中找到函数的最大值和最小值。
最值的求解也可以通过求函数的导数来实现。
与极值问题不同的是，对于最值问题，我们还需要考虑在函数的定义域的边界点上是否存在最值。
因此，在求函数的导数后，需要将函数的定义域的边界点和导数为零或不存在的点进行比较，来确定函数的最值。
三、实际应用中的极值与最值问题极值与最值问题在实际应用中具有广泛的应用，例如经济学、工程学和自然科学等领域。
在经济学中，极值与最值问题可以帮助我们最大化利润或者最小化成本。
假设一个公司的市场需求曲线和成本曲线已知，我们可以通过极值与最值问题来确定最优产量和价格，从而达到最大利润。
在工程学中，极值与最值问题可以帮助我们优化设计。
例如，在桥梁的设计中，我们可以通过极值与最值问题来确定最小的材料使用量，从而降低成本。
又如，在交通规划中，我们可以通过极值与最值问题来确定最短的路线，从而减少时间和能源消耗。
在自然科学中，极值与最值问题可以帮助我们理解自然界中的最优现象。
例如，在物理学中，我们可以通过极值与最值问题来解释一些基本原理和定律。
正定矩阵在最优化的凸规划和函数极值点问题中的应用
另 类 见的 次函 ＝ …＋ ｘ ＝ 一 常 二 数ｑ） Ｇ ｂ＋ ｘ ｘ ｘ Ｗ ｃ１∑ｘ ∑ｂ＋ 。 勘 ｉｃ ｘ， ｉ
二 ｌ＝ ｊｌ ｉｌ ＝
解 由 件 ，） ｘ ２ 。：） ｘ＋ ，（ｘ ７ 从 得到 条 知 ＝ －） （ ０（１ｘ 。 而 ： ｘ｝（ｘ（ ，： ｘ ｌ３） － ＋ ｈ ｒ Ｔ，
当ｌ ４ ４＞ 时， ｌ —ｔ０ Ｇ正定。即 一＜ ｌ Ｇ正定， Ｇ＝ ｚ ｌｔ 时， ＜ 从而“） ｘ 是严格凸
函数 。 当 Ｇ的特 征 值 均 为非 负 数 时， Ｇ半 正 定 。 即 Ｇ 的特 征 多项 式
ｂ （。 ｂ ∈Ｒ。Ｇ为 ｑｘ的 Ｈ ｓｅ ＝ｂｂ， ｃ ， …， （） ｅｓ 矩阵 。ｘ＝ Ｔｘ表示 向量 ｘ的转置 。 ， 当矩 阵 Ｇ半正定时 ｑｘ 凸函数； Ｇ正定时 ｑｘ （是 ） 当 （） 是严格凸函数； 当 Ｇ半负定时 ｑｘ是 凹函数； Ｇ是不定矩阵 时，（ 即不是凸 函数也不是 （） 当 ｑｘ ） 凹函数。下面的引理 １ ． 和定理 １ ． 分别用一 阶导数和二阶导数刻 ．１ １ ．１ １ 画了一般 的非线性 函数是 凸函数 的基本特征， 定理 １ ． 是凸函数的判 ．１ １ 别定 理。 引理 １ ． 设 ｆ ） 义在 凸集 Ｄ上的一阶可微 连续 函数则 ｆ ） ． １ （ 是定 １ ｘ （ 是 ｘ Ｄ上严格凸函数的充分必要 条件是 ： ） （＞ ｆ ）ｙ ｘ Ｖ ，∈Ｄｘ 。 一 ｘ Ｖ （Ｔ — ） ｘ ｙ ｆ） ｘ（ ， ｙ ， ≠ｙ 证 明 必要 性： ｆ ） 设 （ 是凸集 Ｄ上 的严格凸 函数 ， ｘ 则对任意 的 ｘ ∈Ｄ ， ｙ 和任 意的 ∈（， ， ｆ ｙ （一 ） ＜ ｙ （一 ）ｘ由此 得 ０１ 有 （ ＋１ ｘ ） １ ） ） ｈ ） ＋ ｆ ＋ （ ｘ）ｆ ） “ ） ） （ ｈｙ ） （ ｙ一 ｘ ｘ － ｘ＜ （） ５
高三数学 直线中的最值问题及简单的线性规划 知识精讲 通用版
高三数学直线中的最值问题及简单的线性规划 知识精讲 通用版【本讲主要内容】直线中的最值问题及简单的线性规划二元一次不等式（组）表示平面区域、线性规划的意义及应用。
【知识掌握】 【知识点精析】1. 二元一次不等式表示的平面区域：（1）在平面直角坐标系中，已知直线0Ax By C ++=，坐标平面内的点()00,P x y 。
①若0,000>++>C By Ax B ，则点()00,P x y 在直线的上方； ②若0,000<++>C By Ax B ，则点()00,P x y 在直线的下方。
（2）对于任意的二元一次不等式)0(0<>++或C By Ax ，无论B 为正值还是负值，我们都可以把y 项的系数变形为正数。
当B>0时，①Ax+By+C>0表示直线0Ax By C ++=上方的区域； ②Ax+By+C<0表示直线0Ax By C ++=下方的区域。
（3）判断二元一次不等式表示的平面区域的方法：①点定域法：画二元一次不等式表示的平面区域常采用直线定界，点定域（原点不在边界上时，用原点定域最简单）；不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的公共部分。
例如：画不等式x-2y+4>0表示的平面区域时，可先画直线240x y -+=（虚线），取原点()00，代入原不等式成立，所以不等式x-2y+4>0表示的区域如图所示。
②符号判断法：当B>0时，Ax+By+C>0表示直线0Ax By C ++=上方的区域，Ax+By+C<0表示直线0Ax By C ++=下方的区域；一般的若B<0时，可先把y 项系数变为正数再判断。
例如：3x-2y+6>0表示直线3260x y -+=下方区域；-3x+y+3<0表示直线330x y --=下方区域。
2. 线性规划：（1）有关概念：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题。
极值原理的应用
极值原理的应用1. 什么是极值原理？极值原理是数学分析中的一个重要原理，用于求解函数的极大值和极小值。
它是数学中的基础概念之一，被广泛应用于各个领域的问题求解中。
在应用数学、物理学、经济学、工程学等领域中，极值原理都具有重要的应用价值。
2. 数学中的极值原理2.1 极大值与极小值在数学中，给定一个函数f(x)，如果存在一个点x=a，使得在x=a的某个领域内，对于所有的x，都有$f(x)\\leq f(a)$，则称f(a)为函数f(x)的一个极大值。
类似地，如果存在一个点x=a，使得在x=a的某个领域内，对于所有的x，都有$f(x)\\geq f(a)$，则称f(a)为函数f(x)的一个极小值。
2.2 极值原理的应用极值原理在数学中有着广泛的应用。
例如，在求解一元函数的最大值和最小值问题时，可以通过寻找函数的驻点（即导数为零的点）来判断极值的位置。
此外，极值原理还可以用于优化问题的求解，如线性规划、非线性规划等。
3. 物理学中的极值原理极值原理在物理学中也有着重要的应用。
例如，费马原理就是一种极值原理，它用于描述光的传播路径。
费马原理认为，光线在两点之间传播时，其路径是使得光程取极值的路径。
这个极值可以是最小值（即最短路径），也可以是最大值（即最长路径），这取决于传播介质的性质。
另一个物理学中的例子是哈密顿原理，它用于描述力学体系的最小作用量原理。
根据哈密顿原理，力学体系的运动轨迹是取使作用量S（即积分$\\int L dt$）取极值的路径。
这里，L是拉格朗日函数，t是时间变量。
4. 工程学中的极值原理极值原理在工程学中也有着广泛的应用。
例如，在信号处理中，极值原理可以用于信号的去噪和压缩。
通过寻找信号中的极小值或极大值点，可以提取出信号中的重要信息，从而实现信号的去噪和压缩。
此外，极值原理还可以应用于电力系统、通信系统等领域。
例如，在电力系统的负荷调度中，可以利用极值原理来优化电网的功率平衡，减少功率损耗。
函数优化问题
函数优化问题函数优化问题问题列表•局部极值问题：通过求解函数的导数，找到函数在某个区间内的极大值或极小值。
•全局极值问题：通过求解函数的导数，找到函数在整个定义域内的极大值或极小值，包括极大值和极小值点。
•约束条件问题：在函数优化问题中，引入一个或多个约束条件，如等式约束或不等式约束，并找到满足约束条件下的最优解。
•多目标优化问题：考虑多个目标函数，通过权衡各目标的重要性，找到在多个目标之间的最优权衡解。
•离散优化问题：将函数的自变量限制为离散的取值，通过搜索或动态规划等方法，找到最优解。
解释说明函数优化问题涉及找到函数的最优解或最优值的过程。
这些问题在实际中具有广泛的应用，例如在工程、经济学和运筹学等领域。
局部极值问题局部极值问题是函数优化问题中最基本的问题之一。
通过求解函数的导数，可以找到函数在某个区间内的极大值或极小值。
这种方法的限制在于只能找到局部的最优解，无法保证这个解是全局最优解。
全局极值问题全局极值问题是比局部极值问题更困难的问题。
通过求解函数的导数，找到函数在整个定义域内的极大值或极小值。
这需要对函数进行全局搜索或采用其他优化算法来找到全局最优解，因此计算成本相对较高。
约束条件问题在函数优化问题中，有时会引入一个或多个约束条件。
这些约束条件可以是等式约束或不等式约束。
优化问题的目标是在满足约束条件下找到最优解。
约束条件问题常常需要使用拉格朗日乘子法或其他约束优化算法来求解。
多目标优化问题多目标优化问题涉及考虑多个目标函数的最优化。
这些目标函数可能是相互矛盾的，因此需要权衡各目标的重要性。
解决多目标优化问题的方法包括加权法、Pareto最优解和理想点法等。
离散优化问题离散优化问题将函数的自变量限制为离散的取值。
通过搜索或动态规划等方法，找到最优解。
离散优化问题常出现在组合优化和网络优化等领域，例如旅行商问题和背包问题等。
以上列举的问题只是函数优化问题中的一部分，每个问题都有自己特定的解决方法和应用领域。
多元函数的极值问题
最优路径规划
在地图导航、物流配送等领域， 需要寻找从起点到终点的最优路 径，这也可以通过求解多元函数 的极值来找到最优解。
资源分配问题
在资源有限的情况下，如何将资 源合理分配以最大化效益，可以 通过求解多元函数的极值来找到 最优解。
在经济模型中的应用
供需平衡问题
在市场经济中，供需关系影响着商品的价格，如何找到供需平衡点， 可以通过求解多元函数的极值来找到。
03
多元函数极值的存在性定理
极值存在定理
定理描述
如果函数在某区域内的二阶导数存在 且连续，则函数在该区域内必存在极 值点。
证明过程
利用二阶导数的性质，通过构建辅助 函数和运用中值定理，证明极值点的 存在性。
稳定点存在定理
定理描述
如果函数在某区域内的所有偏导数存在 且连续，则函数在该区域内必存在稳定 点。
投资组合优化
投资者需要根据市场情况选择不同的投资组合，以最大化收益或最 小化风险，这可以通过求解多元函数的极值来实现。
劳动力市场分析
在劳动力市场中，如何找到最佳的工资和就业率，可以通过求解多 元函数的极值来找到。
在机器学习中的应用
神经网络训练
在机器学习中，神经网络是一种重要 的模型，其训练过程实际上就是求解 多元函数的极值过程，以找到最佳的 权重和偏置。
多元函数的极值问题在数学建模中具有广泛 的应用，如最优化问题、曲线拟合、插值等 。
实际问题解决
在经济学、物理学、工程学等领域，多元函数的极 值问题常常用于解决实际问题，如成本最小化、效 益最大化等。
算法设计与分析
多元函数的极值问题也是算法设计与分析的 重要基础，如梯度下降法、牛顿法等优化算 法的设计与改进。
多元函数的极值问
求极值步骤
求极值步骤求极值是在数学中常见的问题，可以应用于各种场景，包括求函数的最大值和最小值，以及最大化或最小化一些量的问题。
下面是一份详细的求极值的步骤，包括了一些常用的方法和技巧。
步骤一：明确问题确定你要解决的问题是什么。
是求函数的最大值还是最小值？是含有多个变量的函数还是只有一个变量？明确问题是解决问题的第一步。
步骤二：找到导数导数是求极值的关键。
对于单变量函数，求导数是找到极值的一个重要步骤。
对于多变量函数，我们将多个变量中的一个当作自变量，将其他变量视为常数，然后分别对这个变量求导数。
步骤三：找到导数的临界点在一元问题中，导数的的临界点是导数为零或不存在的点。
这些点可能是函数的极值点。
对于多元问题，临界点是导数对每个变量的偏导数都为零的点。
步骤四：找到函数的极值点根据导数的临界点，计算函数在这些点处的值，并与其他的点进行比较。
找到函数的最大值和最小值。
步骤五：检查边界点在一些情况下，函数的极值可能出现在定义域的边界上。
检查边界点，计算函数在这些点处的值，并与其他的点进行比较。
步骤六：分析结果对于问题的结论，需要进行一些进一步的分析。
检查极值点是否是局部最大点或局部最小点。
例如，我们可以计算二阶导数来确定极值点是极大值还是极小值。
步骤七：验证结果给出问题的条件和约束条件，验证结果是否符合这些条件。
如果结果符合条件，则可以确定问题的最优解。
除了上述的基本步骤，还有一些更高级的求极值方法可以应用于特定的问题：1.拉格朗日乘数法：用于求解带有约束条件的最优化问题。
通过引入拉格朗日乘子将问题转化为无约束优化问题。
2.牛顿法：通过不断逼近最优解的方法，通过计算函数的导数和二阶导数找到极值点。
3.线性规划：用于求解线性约束条件下的最优值。
通过定义目标函数和约束条件，使用线性规划算法来确定最优解。
4.动态规划：用于求解多阶段决策问题，通过把问题分解为一系列子问题，并使用动态规划算法来求解。
在实际问题中，求极值的步骤可能会更加复杂和多样化。
条件极值问题
条件极值问题条件极值问题（ConditionalExtremumProblem），简称极值问题，是一个常见的数学问题，也是非常实用的数学方法之一。
它可以求解多元函数的极大极小值。
条件极值问题在工程、经济、物理等各个领域都有广泛的应用，是现代科学研究的重要工具。
本文将就极值问题的一般性定义、求解方法、实例应用和最优化原理等方面作一简要介绍。
一、极值问题的一般性定义条件极值问题是一个多元函数的极大极小值的求解问题，也称为最优化问题。
它就是求解函数f(x)在给定条件C(x)=0下的极大或极小值，这里f(x)表示目标函数，C(x)表示约束条件。
二、极值问题的求解方法求解极值问题的关键是利用数学方法求解多元函数的极大或极小值。
一般有以下几种方法：1、求导法。
首先要利用微积分求出函数极值的判据，即最优原理，然后利用求导法求出函数的极值；2、等价转化法。
首先将求解的极值问题转化为等价的标准型解，然后利用判别函数的变化情况求解极值；3、线性规划法。
这是极值问题最常用的求解方法，它可以把极值问题转化为一个线性规划问题，然后求解出解析解；4、善用数值方法。
求解极值问题时，也可以善用数值方法，比如牛顿法、梯度下降法等。
三、实例应用1、求一个凸多元函数的极小值。
这里给出一个凸多元函数f(x)=x1+2x2+3x3。
求它的极小值问题，其约束条件为x1+x2+x3=1，即C(x)=x1+x2+x3-1=0。
利用求导法研究函数极值判据，其一阶导数为f(x)=1+2+3=6，它的极小值出现在导数恒为零的地方。
将约束条件带入判别函数，即F(x)=f(x)-λC(x)=x1+2x2+3x3-λ(x1+x2+x3-1)=0，其中λ为拉格朗日乘子，由于极小值时一阶导数恒为零，所以可以得到F(x)=6-3λ=0，可以求出λ=2，此时可以把原问题转化为等价的标准型问题，即F(x)=x1+2x2+3x3-2(x1+x2+x3-1)=0，然后求解这个非线性方程组，得出x1=0, x2=0.5,x3=0.5,此时f(x)=3，即极小值为3。
运筹学的公式
运筹学的公式运筹学是一门研究较为复杂的决策过程的学科，帮助人们以恰当的方式来决定问题的解决方案。
在决策任务中，运筹学利用一系列数学公式来提供精确的、普适的解决方案，因此常常用于复杂的决策任务中。
运筹学公式被广泛地应用于企业经营、遗传算法、制造调度、医学决策等领域。
下面是一些常用的运筹学公式：1. 优化公式：优化方程用来最大化或最小化目标函数，以获得目标函数的最优解。
通常特别使用极值点最大化或者最小化函数，因而被称为极值问题。
一般常见的优化函数有最小二乘法，最小交叉熵法，梯度矩陣搜索法和斜率方向法。
2. 规划公式：规划方程用于解决有约束条件决策问题，即满足约束条件的前提下，最大化或最小化目标函数。
一般常见的规划问题包括线性规划问题，二次规划问题，非线性规划问题，整数规划问题，多目标规划问题以及混合规划问题。
常见的规划求解方法有单纯形算法，简化模型算法，数值迭代算法，随机最优法等。
3. 模型公式：模型方程用于反映决策任务与现实中的关系，把现实情况抽象成数学问题的过程。
常用的模型方程包括线性模型，非线性模型，决策树模型，数学模型，模糊模型等。
有了模型，可以把决策者的抽象情况，映射为可量化的求解问题。
4. 算法公式：算法方程是用来解决某一具体问题的确定性运算步骤。
通常将算法与运筹学很难分开，因为运筹学依赖于算法来求解抽象的决策问题。
典型的算法方程有梯度下降法，模拟退火法，遗传算法，模糊逻辑推理，贪心算法等。
总的来说，运筹学中的公式都有其特定的应用，是有效决策和求解问题的有力工具。
在寻找最优解之前，必须先设定正确的目标函数，并注意到现实条件。
有了运筹学公式，人们可以以定量的方式评估和比较不同决策问题，更好地为复杂决策任务找到最佳解决方案。
求极值可行性分析
求极值可行性分析极值可行性分析是指在一定约束条件下，寻找目标函数的最大值或最小值。
在进行极值可行性分析时，需要确定目标函数和约束条件，并采用适当的数学方法进行求解。
首先，我们要确定目标函数。
目标函数是问题中需要最大化或最小化的函数。
在实际问题中，目标函数可以是成本函数、收益函数、效益函数等，根据具体问题来确定。
例如，在生产经济中，目标函数可以是利润函数，为了最大化利润，我们需要进行极大值的可行性分析。
其次，我们要确定约束条件。
约束条件是限制目标函数取值的条件，包括等式约束和不等式约束。
等式约束是指目标函数必须满足的条件，不等式约束是指目标函数取值的范围限制。
例如，在生产经济中，约束条件可以包括生产成本、资源限制等。
通过约束条件，我们可以确定可行域，即目标函数满足约束条件的取值范围。
确定目标函数和约束条件后，我们可以利用数学方法进行求解。
常见的数学方法包括拉格朗日乘数法、线性规划法、非线性规划法等。
这些方法根据问题的不同，有不同的适用范围。
例如，拉格朗日乘数法适用于有等式约束的问题，线性规划法适用于目标函数和约束条件都是线性的问题。
在进行数学方法求解时，我们需要进行优化计算。
优化计算是利用数学方法寻找目标函数的最大值或最小值的过程。
通过优化计算，我们可以得到目标函数的取值，进而确定最优解。
极值可行性分析的结果可以有多种情况，包括存在最大值、存在最小值、存在唯一最优解、存在多个最优解等。
根据实际问题的要求，我们可以确定最终的解的取值。
在实际应用中，我们通常通过灵敏度分析等方法对解的可行性进行评估。
总之，极值可行性分析是解决最大化或最小化问题的有效方法。
通过确定目标函数和约束条件，并利用数学方法进行求解，我们可以找到目标函数的最大值或最小值。
极值可行性分析在生产经济、资源配置、投资决策等领域有着广泛的应用。
函数的极值条件
函数的极值条件前言我们处理的各种优化问题可以大致分为两类：有约束的优化问题和无约束的优化问题。
工程优化问题往往都是有约束的，但经过适当的处理可以用无约束的优化方法加以解决。
因此无约束极值点存在的条件是优化理论的基本问题。
关键字：无约束有约束优化求解无约束优化问题的实质是求解目标函数f(x)在n维空间R n中的极值。
我们先来看看一元函数的极值条件。
1.无约束优化问题的极值条件1.1一元函数的极值条件由高等数学可知，任何一个单值、连续、可微的一元函数f(x)在给定区间内某点x=x∗有极值的必要条件，是它在该点处的一阶导数为零，即：f′(x∗)=0即函数的极值必须在驻点处取得。
此条件是必要的，但不是充分的，也就是说驻点不一定就是极值点。
如图1.1-1所示，x=0是驻点，但a b图1.1-1其中图a中的x∗点是极小值点，而图b中的x∗并不是极值点。
驻点是否为极值点，还需要函数在该点的二阶导数来判断。
驻点为极小值点的充分条件是，x∗满足不等式：f′′(x∗)>0驻点为极大值点的充分条件是，x∗满足不等式：f′′(x∗)<0若：f′′(x∗)=0则x∗是否为极值点，还需要逐次检验其更高阶导数的符号。
开始不为零的导数阶数为偶数，则为极值点；若为奇次，则为拐点，而不是极值点。
1.2二元函数的极值条件对于二维无约束优化问题，即对二元函数f(x)=f(x1，x2)来说，若在X∗（x1∗，x2∗）处取得极值，其必要条件是：ðf(x1，x2)ðx1=df(x1，x2∗)dx1|x1=x1∗=0ðf(x1，x2)ðx2=df(x1∗，x2)dx2|x2=x2∗=0写成梯度形式可得：∇f(x)=[ðf(x1，x2)ðx1，ðf(x1，x2)ðx2]T=0为推得二元函数极值存在的充分条件，将二元函数f(x)在驻点x∗=[x1∗，x2∗]T作泰勒二次近似展开，得到近似表达式为：f(x)=f(x∗)+[∇f(x∗)]T(x−x∗)+12(x−x∗)T∇2f(x∗)(x−x∗)因为驻点满足∇f(x∗)=0，故由上式可得：f(x)−f(x∗)=12(x−x∗)T∇2f(x∗)(x−x∗)当f(x)−f(x∗)>0，则由上式可知，应有：12(x−x∗)T∇2f(x∗)(x−x∗)>0此时，x∗为极小值。
求极值与最值的方法
求极值与最值的方法求极值和最值是数学中常见的问题。
当我们面临一个函数或一组数据时，我们希望能够找到它们的最大或最小值，这对于解决各种实际问题非常重要。
在本文中，我们将讨论一些常见的方法来求解极值和最值问题。
一、函数的极值求解方法：1.导数法：对于可导的函数，导数可以告诉我们函数在特定点的变化趋势。
函数在极值点的导数为零，所以我们可以通过求解导数为零的方程来找到极值点。
对于一元函数，我们只需求得导数，并求解方程f'(x)=0即可。
对于多元函数，我们需要求偏导数，并解方程组∂f/∂x=0和∂f/∂y=0等。
2.二阶导数法：通过求得函数的二阶导数，我们可以判断函数在其中一点的曲率和凸凹性质。
如果函数在其中一点的二阶导数大于零，则函数在该点上是凸函数，即函数取得极小值。
反之，如果二阶导数小于零，则函数在该点上是凹函数，即函数取得极大值。
二、数据的最值求解方法：1.遍历法：对于一组有限的数据，我们可以通过遍历整个数据集来找到最大或最小值。
这种方法适用于数据量较小的情况，但若数据量很大时，计算量会非常庞大。
2.排序法：我们可以对数据进行排序，然后找出最大或最小的元素。
对于较大的数据集，排序的时间复杂度可能很高，但一旦排好序，最值就可以很快被找出。
3.分治法：对于一个大规模的数据集，可以将其分成若干部分，然后递归地求解各个部分的最值，最后再从这些最值中选取最大或最小的元素。
这种方法适用于大规模数据集，可以大大降低计算复杂度。
4.动态规划法：对于具有重叠子问题特征的问题，我们可以使用动态规划的方法来求解最值。
通过定义状态、状态转移方程和初始条件等，我们可以使用动态规划算法逐步递推得到最值。
虽然这些方法在解决极值和最值问题时都有自己的优势和适用范围，但在具体问题中选择何种方法求解，需要根据问题的性质和数据的特点来确定。
对于函数的极值问题，导数法和二阶导数法是最常用的求解方法；对于数据的最值问题，遍历法和排序法适用于小数据量，而分治法和动态规划法适用于大数据量。
大学数学多元函数的极值与最优化
大学数学多元函数的极值与最优化在大学数学中，多元函数的极值与最优化是一个重要的概念和应用领域。
本文将探讨多元函数的极值及最优化问题，并介绍相关的概念、定理和求解方法。
1. 多元函数的极值概念多元函数是指具有多个变量的函数，其自变量可以是两个或更多个。
对于一个多元函数，极值是指函数取得的最大值或最小值。
极值在数学和实际应用中都具有重要意义。
2. 多元函数的极值存在条件在一些简单的函数中，我们可以通过观察来判断极值是否存在。
然而，对于复杂的多元函数，我们需要利用数学方法来判断。
2.1 判别条件对于一个二元函数 f(x, y)，其极值存在的必要条件是梯度向量 (∇f(x, y)) 的模等于零，并且二阶偏导数满足某些条件。
具体的判别条件可以通过海森矩阵进行判断。
2.2 驻点和临界点在判断多元函数的极值时，我们还需要关注驻点和临界点。
驻点是指梯度向量为零的点，而临界点指的是函数在该点的导数存在的点。
3. 多元函数的最优化问题多元函数的最优化问题是一类常见的数学问题，包括最大值、最小值和最优解等。
求解这类问题的方法可以有很多种。
3.1 条件极值问题条件极值问题是指在特定条件下求解函数最值的问题。
例如，求解一个函数在一定约束条件下的最大值或最小值。
常用的方法有拉格朗日乘数法和求解方程组法。
3.2 无约束极值问题无约束极值问题是指在没有任何限制条件的情况下，求解函数的最值问题。
常用的方法包括导数法、海森矩阵法和牛顿法等。
3.3 数学建模中的最优化问题最优化问题在实际应用中扮演着重要角色，尤其是在数学建模中。
数学建模问题通常需要通过构建数学模型来描述实际问题，并利用最优化方法来解决。
常见的数学建模最优化问题包括最短路径问题、最大流问题和线性规划等。
4. 多元函数的极值与最优化问题的应用多元函数的极值与最优化问题在科学、工程、经济学和管理学等领域有广泛的应用。
4.1 在自然科学中的应用多元函数的极值与最优化在物理学、化学和生物学等自然科学中有着广泛的应用。
第七章-求极值及解线性规划问题命令与例题
例2: 求函数z= e2x(x+y^2+2y)，在区间[-1,1][-2,1]内的极值。 解: 本题限制了求极值的范围，为确定初值，借助等高线图
Mathematica命令为 In[7]:= ContourPlot[Exp[2x]*(x+y^2+2y),{x,-1,1},{y,-2,1},
Contours->20, ContourShading->False, PlotPoints->30]
a21 x 1 + a22 x 2 +…. + a2n x n = b2 约束条件： … …….
a m1x 1 + a m2x 2 +….+ a mn x n = b m
x 1 ,x 2 ,…, x n 0 这里x 1 ,x 2 ,…, x n 是变量， c i, aij ,bi都是已知常数，且bi 0，约束条件常用
从图中看到函数在-1和1附近有两个极小值点，在0附近有一个极大值点，用 Mathematica 命令求之：
In[2]:=FindMinimum[3x^4-5x^2+x-1,{x,1}] Out[2]= {-2.19701, {x -> 0.858028}} In[3]:=FindMinimum[3x^4-5x^2+x-1,{x,-1}] Out[3]= {-4.01997, {x -> -0.959273}} In[4]:=FindMinimum[- (3x^4-5x^2+x-1), {x,0}] Out[4]= {0.949693, {x -> 0.101245}} In[5]:= 3x^4-5x^2+x-1/.x->-2 In[6]:= 3x^4-5x^2+x-1/.x->2 故所求函数在[-2,2]的x=2处取得最大值29, 在x=-0.959273处取得最小值为-4.01997
多元函数的极值及其应用正文
多元函数极值及其应用内容摘要从极值的相关定义、性质及定理出发，结合线性规划所定义的多元函数条件极值的相关理论，研究并讨论了多元函数在满足限制条件不论是方程组还是某些不等式组时的极值问题。
其次，从二元函数极值的定义、性质定理出发，对多元函数极值运用线性函数的理论加以讨论，并且用实际例子验证了上述推论及定理在判别多元函数极值问题中的实用性与灵活性。
文章最后又给出了多元函数极值在实际问题中的应用，以此说明研究极值问题的重要性与必要性。
关键词：多元函数极值正定矩阵稳定点极值判定应用序言多元函数的极值问题在近年来研究已经慢慢地完善起来，相关理论的完善也慢慢地越来越多，多元函数机制问题的应用也逐渐广泛。
然而，在常用书刊之中，与一元函数比较起来，多元函数极值问题的理论相对比较少。
但是，多元函数的应用却是比较广泛的。
在实际的生活之中，我们往往会遇到多元函数的最大值、最小值问题。
然而，多元函数的最大值、最小值与多元函数的极大值、极小值有着密切的联系。
求多元函数的极值，一般可以利用偏导数来解决。
同时，与一元函数相似，我们可以利用函数的极值来求函数的最大值，最小值。
但是由于自变量个数的增加，计算也相对复杂。
函数极值不仅是函数性态的一个重要特征，而且在实际问题中占有重要的地位。
尤其是在当今日益发展的社会生活中，工农业生产、自然科学和工程技术等发展带来了大量的问题，其实质都是函数极值问题。
多元函数极值则通过现在经济学中的热点问题——利润最大化和消费者效用最大化来体现。
一、 多元函数极值的定义定义1：设二元函数(,)f x y 在点(,)P a b 的领域C 有定义，在P 处给出自变量的增量(,)P h k ∆=，相应有函数增量(,)(,)f a h b k f a b ∆=++-。
若f ∆0≤（0f ∆≥），则(,)P a b 是函数(,)f x y 的极大点（极小点）。
极大点（极小点）的函数值(,)f a b 称为函数(,)f x y 的极大点（极小点）。
极值的求解及应用
极值的求解及应用极值是数学分析中的重要概念，指的是函数在某个定义域内取得的最大值和最小值。
极值的求解及应用是数学分析中的基础内容之一，涉及到函数的最优化问题以及其在各个科学领域中的实际应用。
一、极值的求解方法常见的求解函数极值的方法有以下几种：一阶导数法、二阶导数法、拉格朗日乘数法。
1. 一阶导数法：使用一阶导数可以求得函数的极值点。
如果函数在极值点处导数为零，那么这个点就是函数的极值点，同时要按照函数的性质确定是极大值还是极小值。
然而，导数为零并不一定保证这个点是极值点，还需要使用二阶导数进行进一步的判定。
2. 二阶导数法：使用二阶导数可以判定函数在极值点处的极值类型。
如果函数在某个点的一阶导数为零，并且二阶导数大于零，那么这个点就是函数的极小值点；反之，如果二阶导数小于零，那么这个点是函数的极大值点。
3.拉格朗日乘数法：拉格朗日乘数法适用于求解带有约束条件的最优化问题。
对于有n个变量和m个约束条件的最优化问题，可以构建一个泛函函数，通过使用拉格朗日乘数法，将约束条件与目标函数结合起来，并通过求解泛函函数的偏导数为零来求得极值点。
二、极值应用的例子极值的求解与应用在日常生活和各个学科中都有广泛的应用。
以下是几个极值应用的例子：1. 经济学中的利润最大化问题：在市场经济中，企业通过确定合适的产量与售价来达到最大化利润的目标。
利用一阶导数法，可以求得利润函数的极值点，从而确定适当的产量和价格。
2.物理学中的运动最优化问题：在物理学中，例如弹道学中，要求在给定条件下，使得物体的飞行轨迹距离最远或时间最短。
通过构建合适的数学模型和方程，利用导数法可以求得极值点，从而得到最优解。
3. 机器学习中的模型优化问题：在机器学习中，通过构建合适的数学模型，可以将其视为一个优化问题。
利用梯度下降算法，通过求解模型参数的极值点，可以找到最优的模型参数，从而实现模型的优化。
4. 人口学中的人口增长问题：人口学研究中经常需要解决人口增长的模型和问题。
高中数学必修课教案函数的极值与最优化问题的求解
高中数学必修课教案函数的极值与最优化问题的求解高中数学必修课教案-函数的极值与最优化问题的求解一、引言函数的极值与最优化问题是高中数学中重要的概念和解题方法，在实际生活和科学研究中有广泛应用。
通过学习本课，学生将能够理解函数的极值和最优化问题的基本概念，熟练掌握求解相关问题的方法和技巧。
二、知识概述1. 函数的极值函数的极值是函数在定义域内取得的最大值和最小值。
极大值是函数在某一点附近值较大的情况，极小值则相反。
数学中使用导数概念来求解函数的极值。
2. 最优化问题最优化问题是指在一定的限制条件下，寻找使某一确定量达到最大或最小的解决方案。
最优化问题可以通过函数的极值来解决，也可以通过约束条件和拉格朗日乘数法来求解。
三、教学目标1. 理解并能够准确运用函数的极值和最优化问题的基本概念；2. 掌握求解函数的极值的方法，包括使用导数法和分段函数法；3. 了解最优化问题的解题思路，并能够应用拉格朗日乘数法解决相关的问题；4. 培养学生的逻辑思维和解决实际问题的能力。
四、教学内容与方法1. 函数的极值的求解(1) 方法一：使用导数法求解- 掌握函数的导数概念和导数的几何意义；- 通过导数的符号和变化来判断函数的极值；- 运用导数法求解函数的极值问题。
(2) 方法二：使用分段函数求解- 了解和掌握分段函数的概念；- 分段函数法求解函数的极值问题。
2. 最优化问题的求解(1) 线性规划问题- 了解线性规划问题的基本概念和解题思路；- 运用线性规划的基本方法解答问题。
(2) 使用拉格朗日乘数法求解约束问题- 了解拉格朗日乘数法的概念和基本原理；- 运用拉格朗日乘数法解决带有约束条件的最优化问题。
五、课堂实践与教学设计1. 引发兴趣：通过引入具体生活中的最优化问题，激发学生对于函数的极值和最优化问题的兴趣，如最优化生产成本、最大化利润等。
2. 理论学习：系统讲解函数的极值和最优化问题的基本概念，引导学生理解相关定义和方法，例如导数法、分段函数法和拉格朗日乘数法。
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第五章 函数极值MATLAB 提供了很多求极值（或最优值）的命令函数，既可以求无条件的极值，也可求有条件的极值，其中，条件可以是不等式，也可以是等式的，可以是线性的，也可以是非线性的，甚至可以是多个条件，目标函数可以是线性的，也可以是非线性的，总之，MA TLAB 针对不同的类型，采用不同的函数命令去求解，以下将分类型来做些简单的介绍。
5.1线性极值（又称线性规划） 5.1.1线性规划模型规划问题研究的对象大体可以分为两大类：一类是在现有的人、财、物等资源的条件下，研究如何合理的计划、安排，可使得某一目标达到最大，如产量、利润目标等；另一类是在任务确定后，如何计划、安排，使用最低限度的人、财等资源，去实现该任务，如使成本、费用最小等。
这两类问题从本质上说是相同的，即都在一组约束条件下，去实现某一个目标的最优（最大或最小）。
线性规划研究的问题要求目标与约束条件函数都是线性的，而目标函数只能是一个。
在经济管理问题中，大量问题是线性的，有的也可以转化为线性的，从而使线性规划有极大的应用价值。
线性规划模型包含3个要素：（1）决策变量. 问题中需要求解的那些未知量，一般用n 维向量Tn x x x x ),,,(21 表示。
（2）目标函数. 通常是问题需要优化的那个目标的数学表达式，它是决策变量x 的线性函数。
（3）约束条件. 对决策变量的限制条件，即x 的允许取值范围，它通常是x 的一组线性不等式或线性等式。
线性规划问题的数学模型一般可表示为： min （max ） f T Xs.t A X≤bAe q X =beq lb ≤X≤ub其中X 为n 维未知向量，f T =[f 1,f 2,…f n ]为目标函数系数向量，小于等于约束系数矩阵A 为m ×n 矩阵，b 为其右端m 维列向量，Aeq 为等式约束系数矩阵，beq 为等式约束右端常数列向量。
lb,ub 为自变量取值上界与下界约束的n 维常数向量。
特别注意：当我们用MA TLAB 软件作优化问题时，所有求maxf 的问题化为求min(-f )来作。
约束g i (x)≥0，化为 –g i ≤0来做。
5.1.2．线性规划问题求最优解函数： 调用格式： x=linprog(f,A,b)x=linprog(f,A,b,Aeq,beq)x=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub)x=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0)x=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options)[x,fval]=linprog(…)[x, fval, exitflag]=linprog(…)[x, fval, exitflag, output]=linprog(…)[x, fval, exitflag, output, lambda]=linprog(…)说明：x=linprog(f,A,b)返回值x为最优解向量。
x=linprog(f,A,b,Aeq,beq) 作有等式约束的问题。
若没有不等式约束，则令A=[ ]、b=[ ] 。
x=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options) 中lb ,ub为变量x的下界和上界，x0为初值点，options为指定优化参数进行最小化。
[x,fval]=linprog(…) 左端fval 返回解x处的目标函数值。
[x,fval,exitflag,output,lambda]=linprog(f,A,b, Aeq,beq,lb,ub,x0) 的输出部分：exitflag 描述函数计算的退出条件：若为正值，表示目标函数收敛于解x处；若为负值，表示目标函数不收敛；若为零值，表示已经达到函数评价或迭代的最大次数。
Output为关于优化的一些信息。
Lambda为解x的Lagrange乘子。
【例5.1】求解线性规划问题：max f=2x1+5x2s.t ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤≤8234212121xxxxxx先将目标函数转化成最小值问题：min(-f)=- 2x1-5x2具体程序如下：f=[-2 -5];A=[1 0;0 1;1 2];b=[4;3;8];lb=[0 0];[x,fval]=linprog(f,A,b,[],[],lb)f=fval*(-1)运行结果：x = 2 3fval = -19.0000maxf = 19【例5.2】：minf=5x1-x2+2x3+3x4-8x5s.t –2x1+x2-x3+x4-3x5≤62x1+x2-x3+4x4+x5≤70≤x j≤15 j=1,2,3,4,5编写以下程序：f=[5 -1 2 3 -8];A=[-2 1 -1 1 -3;2 1 -1 4 1];b=[6;7];lb=[0 0 0 0 0];ub=[15 15 15 15 15];[x,fval]=linprog(f,A,b,[],[],lb,ub)运行结果：x =0.00000.00008.00000.000015.0000minf =-104【例5.3】：假设某厂计划生产甲、乙两种产品，现库存主要材料有A类3600公斤，B类2000公斤，C类3000公斤。
每件甲产品需用材料A类9公斤，B类4公斤，C类3公斤。
每件乙产品，需用材料A类4公斤，B类5公斤，C类10公斤。
甲单位产品的利润70元，乙单位产品的利润120元。
问如何安排生产，才能使该厂所获的利润最大。
建立数学模型：设x1、x2分别为生产甲、乙产品的件数。
f为该厂所获总润。
max f=70x1+120x2s.t 9x1+4x2≤36004x1+5x2≤20003x1+10x2≤3000x1,x2≥0将其转换为标准形式：min f=-70x1-120x2s.t 9x1+4x2≤36004x1+5x2≤20003x1+10x2≤3000x1,x2≥0编写以下程序：f=[-70 -120];A=[9 4 ;4 5;3 10 ];b=[3600;2000;3000];lb=[0 0];[x,fval,exitflag]=linprog(f,A,b,[],[],lb);x, exitflag,maxf=-fval运行结果：x =200.0000240.0000exitflag =1maxf =4.2800e+004【例5.4】：某公司有一批资金用于4个工程项目的投资，其投资各项目时所得的净收益(投入资金百分比)如下表：B和C的投资要大于项目D的投资。
试确定该公司收益最大的投资分配方案。
建立数学模型：设x1、x2 、x3 、x4分别代表用于项目A、B、C、D的投资百分数。
max f=0.15x1+0.1x2+0.08 x3+0.12 x4s.t x1-x2- x3- x4≤0x2+ x3- x4≥0x1+x2+x3+ x4=1x j≥0 j=1,2,3,4将其转换为标准形式：min z=-0.15x1-0.1x2-0.08 x3-0.12 x4s.t x1-x2- x3- x4≤0-x2- x3+ x4≤0x1+x2+x3+ x4=1x j≥0 j=1,2,3,4编写程序：f = [-0.15;-0.1;-0.08;-0.12];A = [1 -1 -1 -1;0 -1 -1 1];b = [0; 0];Aeq=[1 1 1 1];beq=[1];lb = zeros(4,1);[x,fval,exitflag] = linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb)fmax=-fval运行结果：x =0.50000.25000.00000.2500fval =-0.1300exitflag =1fmax =0.1300即4个项目的投资百分数分别为50%，25%，0, 25%时可使该公司获得最大的收益，其最大收益可到达13%。
过程正常收敛。
【例5.5】：有A、B、C三个食品加工厂，负责供给甲、乙、丙、丁四个市场。
三个厂每天生产食品箱数上限如下表：建立数学模型：设a i j为由工厂i运到市场j的费用，x i j 是由工厂i运到市场j的箱数。
b i是工厂i的产量，d j 是市场j 的需求量。
⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=114312312312A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=343332312423222114131211x x x x x x x x x x x x Xb= ( 60 40 50 ) d= ( 20 35 33 34 )∑∑===3141min i j ijij x a fs.t3,2,141=≤∑=i b xij ij4,3,2,131==∑=j d xi jijx i j ≥0 编写程序：AA=[2 1 3 2;1 3 2 1;3 4 1 1]; f=AA(:);A=[ 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1]; Aeq=[1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1];b=[60;40;50]; beq=[20;35;33;34]; lb=zeros(12,1);[x,fval,exitflag]=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb)运行结果：x = 0.0000 20.0000 0.0000 35.00000.0000 0.0000 0.0000 0.0000 33.00000.000018.468215.5318fval =122.0000exitflag =1即运输方案为：甲市场的货由B厂送20箱；乙市场的货由A厂送35箱；丙商场的货由C厂送33箱；丁市场的货由B厂送18箱，再由C厂送16箱。
最低总运费为：122元。
5.2 0-1整数规划求极值形如：min f T Xs.t A X≤bAe q X =beqxi为0或1其中X为n维未知向量，f T=[f1,f2,…f n]为目标函数系数向量，小于等于约束系数矩阵A 为m×n矩阵，b为其右端m维列向量，Aeq为等式约束系数矩阵，beq为等式约束右端常数列向量。
lb,ub为自变量取值上界与下界约束的n维常数向量。
5.2.1分支定界法在Matlab中提供了bintprog函数实现0-1型线性规划，采用的是分支定界法原理，其调用格式如下：x=bintprog(f,A,b)x=bintprog(f,A,b,Aeq,beq)[x,fval]=bintprog(…)[x, fval, exitflag]=bintprog(…)[x, fval, exitflag, output]=bintprog(…)[x, fval, exitflag, output, lambda]=bintprog(…)说明：x=bintprog(f,A,b)返回值x为最优解向量。