第5章线性规划教材
线性规划教学大纲
线性规划教学大纲引言：线性规划是数学中的一种重要方法，用于解决优化问题。
本教学大纲旨在介绍线性规划的基本概念、原理和应用，使学生能够理解并运用线性规划解决实际问题。
一、课程目标本课程旨在使学生：1. 理解线性规划及其应用领域；2. 掌握线性规划中的基本概念和术语；3. 理解线性规划模型的构建过程；4. 掌握线性规划模型的求解方法；5. 能够运用线性规划解决实际问题。
二、教学内容1. 线性规划基本概念a. 线性规划的定义和特点；b. 线性规划的基本形式和标准形式；c. 线性规划的约束条件和目标函数。
2. 线性规划模型的构建a. 确定决策变量；b. 建立决策变量与目标函数之间的关系；c. 建立决策变量与约束条件之间的关系。
3. 线性规划模型的求解方法a. 图形法：介绍线性规划模型在二维平面上的图形表示方法；b. 单纯形法：介绍单纯形表和单纯形算法的基本原理；c. 整数规划：介绍整数规划模型的特点和求解方法。
4. 教学案例分析通过实际案例分析，引导学生掌握线性规划的应用技巧，并能够独立解决实际问题。
三、教学方法1. 讲授结合案例分析：通过理论讲授和具体案例分析相结合的方式，引导学生深入理解和掌握线性规划的基本原理和方法。
2. 互动式教学：鼓励学生积极参与课堂讨论，提出问题并与教师和其他同学进行交流和互动，促进思维的碰撞和深入思考。
3. 实践操作：安排一定的实践操作环节，使学生能够亲自动手建立线性规划模型和运用求解方法解决实际问题。
四、教学评估1. 平时成绩：包括课堂表现、参与讨论和实践操作。
2. 作业成绩：布置相关作业，旨在巩固学生对线性规划的理论知识和求解方法的掌握。
3. 期末考试：考查学生对线性规划的基本概念、模型构建和求解方法的理解和应用能力。
五、教材和参考书目主教材：1. 《线性规划基础》，作者：XXX，出版社：XXX。
参考书目：1. 《线性规划与整数规划》，作者：XXX，出版社：XXX。
2. 《运筹与优化导论》，作者：XXX，出版社：XXX。
第五讲：模糊线性规划
换基： 换基： 因为 / 2 < 6 / 1,故 为主元素。 10 2为主元素。
1.5 1 0 0 0 2 1 1 0 10 1 1 0 1 6
1.5 1 0 0 0 2 1 1 0 10 1 1 0 1 6 0 1/ 4 − 3 / 4 0 − 7.5 5 → 1 1/ 2 1/ 2 0 0 1/ 2 − 1/ 2 1 1 检验数中1/4为正数，目标值非最优，需换基。 检验数中 为正数，目标值非最优，需换基。 为正数 换基： 换基： 5 1 为主元素。 因为 /(1/ 2) > 1/(1/ 2), 故 / 2为主元素。
得f0 + d0；
3.求解综合线性规划
ax m λ 1 n 1 − (∑aij x j − bi ) ≥ λ, j = 1,2,⋯, m d j i =1 1 n ( c x − f )≥λ 0 d0 ∑ i i i =1 λ ≥ 0, xi ≥ 0(i = 1,2,⋯, n) ∗ ∗ x λ 得 和 。
合线性规划即得模糊 利用单纯形法求解此综 规划的解。 规划的解。
： 模糊线性规划求解步骤
ax m f = Cx 1.求解普通线性规划 s.t. Ax ≤ b 得f0； x≥0
2.给定 i (i = 1,⋯, m), 求解普通线性规划 d
ax m f = Cx s.t. Ax ≤ b + d x≥0
ax m f = 7x1 + 3x2 ~ 3x1 + 2x2 ≤ 1500 ~ ~ x1 ≤ 400, x2 ≤ 250 x ≥ 0, x ≥ 0 2 1 ~ ~ ~ 3 模糊约束 x1 + 2x2 ≤ 1500, x1 ≤ 400, x2 ≤ 250
运筹学基础章节习题详解
运筹学基础章节习题详解章节习题详解第1章导论1．区别决策中的定性分析和定量分析，试各举出两例。
答：决策中的定性分析是决策⼈员根据⾃⼰的主观经验和感受到的感觉或知识对决策问题作出的分析和决策，在许多情况下这种做法是合适的。
例1 在评定“三好⽣”的条件中，评价⼀个学⽣是否热爱中国共产党，尊敬师长，团结同学，热爱劳动等属于定性分析，它依赖于评价者对被评价者的感知、喜好⽽定。
在“德”、“智”、“体”这三个条件中规定“德”占30%、“智”占40%、“体”占30%，这种⽐例是决策者们通过协商和主观意识得出的，它也属于定性分析的范畴。
决策中的定量分析是借助于某些正规的计量⽅法去作出决策的⽅法，它主要依赖于决策者从客观实际获得的数据和招待所采⽤的数学⽅法。
例2 在普通⾼等学校录取新⽣时，通常按该⽣的⼊学考试成绩是否够某档分数线⽽定，这就是⼀种典型的定量分析⽅法。
另外，在评价⼀个学⽣某⼀学期的学习属于“优秀”、“良好”、“⼀般”、“差”中的哪⼀类时，往往根据该⽣的各科成绩的总和属于哪⼀个档次，或者将各科成绩加权平均后视其平均值属于哪⼀个档次⽽定。
这也是⼀种典型的定量分析⽅法。
2．构成运筹学的科学⽅法论的六个步骤是哪些？答：运⽤运筹学进⾏决策过程的⼏个步骤是：1．观察待决策问题所处的环境；2．分析和定义待决策的问题；3．拟定模型；4．选择输⼊资料；5．提出解并验证它的合理性；6．实施最优解。
3．简述运筹学的优点与不⾜之处。
答：运⽤运筹学处理决策问题有以下优点：（1）快速显⽰对有关问题寻求可⾏解时所需的数据⽅⾯的差距；（2）由于运筹学处理决策问题时⼀般先考察某种情况，然后评价由结局变化所产⽣的结果，所以不会造成各种损失和过⼤的费⽤；（3）使我们在众多⽅案中选择最优⽅案；（4）可以在建模后利⽤计算机求解；（5）通过处理那些构思得很好的问题，运筹学的运⽤就可以使管理部门腾出时间去处理那些构思得不好的问题，⽽这些问题常常要依赖于⾜够的主观经验才能解决的；（6）某些复杂的运筹学问题，可以通过计算机及其软件予以解决。
运筹学基础课后习题答案
运筹学基础课后习题答案[2002年版新教材]第一章导论P51.、区别决策中的定性分析和定量分析，试举例。
定性——经验或单凭个人的判断就可解决时，定性方法定量——对需要解决的问题没有经验时；或者是如此重要而复杂，以致需要全面分析（如果涉及到大量的金钱或复杂的变量组）时，或者发生的问题可能是重复的和简单的，用计量过程可以节约企业的领导时间时，对这类情况就要使用这种方法。
举例：免了吧。
2、.构成运筹学的科学方法论的六个步骤是哪些？.观察待决策问题所处的环境；.分析和定义待决策的问题；.拟定模型；.选择输入资料；.提出解并验证它的合理性（注意敏感度试验）；.实施最优解；3、．运筹学定义：利用计划方法和有关许多学科的要求，把复杂功能关系表示成数学模型，其目的是通过定量分析为决策和揭露新问题提供数量根据第二章作业预测P251、.为了对商品的价格作出较正确的预测，为什么必须做到定量与定性预测的结合？即使在定量预测法诸如加权移动平均数法、指数平滑预测法中，关于权数以及平滑系数的确定，是否也带有定性的成分？答：（1）定量预测常常为决策提供了坚实的基础，使决策者能够做到心中有数。
但单靠定量预测有时会导致偏差，因为市场千变万化，影响价格的因素很多，有些因素难以预料。
调查研究也会有相对局限性，原始数据不一定充分，所用的模型也往往过于简化，所以还需要定性预测，在缺少数据或社会经济环境发生剧烈变化时，就只能用定性预测了。
（2）加权移动平均数法中权数的确定有定性的成分；指数平滑预测中的平滑系数的确定有定性的成分。
2.、某地区积累了5个年度的大米销售量的实际值（见下表），试用指数平滑法，取平滑系数α=0.9，预测第6年度的大米销售量（第一个年度的预测值，根据专家估计为4181.9千公斤）年度12345大米销售量实际值（千公斤）52025079393744533979。
答：F6=a*x5+a(1-a)*x4+a(1-a)~2*x3+a(1-a)~3*x2+a(1-a)~4*F16=0.9*3979+0.9*0.1*4453+0.9*0.01*3937+0.9*0.001*5079+0.9*0.0001*4181.9F6=3581.1+400.77+35.433+4.5711+0.3764F6=4022.33、某地区积累了11个年度纺织品销售额与职工工资总额的数据，列入下列表中（表略），计算：（1）回归参数a,b（2）写出一元线性回归方程。
运筹学(第5章 目标规划)
解：设甲、乙产品的产量分别为x1，x2，建立线性规划模型：
max z 2x1 3x2
2x1 2x2 12
s.t
4
x1 x1
2x2
8 16
4x2 12
x1 , x2 0
其最优解为x1＝4，x2＝2，z＊＝14元
但企业的经营目标不仅仅是利润，而且要考虑多个方面，如： (1) 力求使利润指标不低于12元； (2) 考虑到市场需求，甲、乙两种产品的生产量需保持1:1的比
20x1＋50x2≤90000
x1
0
1000
2000
3000
4000
5000
图2 图解法步骤2
针对优先权次高的目标建立线性规划
优先权次高（P2）的目标是总收益超过10000。 建立线性规划如下：
Min d2s.t.
20x1＋50x2≤90000 0.5x1 +0.2x2-d1++d1-=700 3x1+4x2-d2++d2-=10000 d1+＝0 x1,x2,d1+,d1-,d2+,d2-≥0
显然，此问题属于目标规划问题。它有两个目标变量：一是限制风险，一 是确保收益。在求解之前，应首先考虑两个目标的优先权。假设第一个目 标（即限制风险）的优先权比第二个目标（确保收益）大，这意味着求解 过程中必须首先满足第一个目标，然后在此基础上再尽量满足第二个目 标。 建立模型：
设x1、x2分别表示投资商所购买的A股票和B股票的数量。 首先考虑资金总额的约束：总投资额不能高于90000元。即 20x1＋50x2≤90000。
目标规划模型的标准化
例6中对两个不同优先权的目标单独建立线性规划进行求解。为简 便，把它们用一个模型来表达，如下：
第5章 整数线性规划-第1-4节
现设想，如能找到像CD那样的直线去切割域R(图 5-6)，去掉三角形域ACD，那么具有整数坐标的C 点(1，1)就是域R′的一个极点，
如在域R′上求解①～④， 而得到的最优解又恰 巧在C点就得到原问题 的整数解，所以解法 的关键就是怎样构造 一个这样的“割平 面”CD，尽管它可能 不是唯一的，也可能 不是一步能求到的。 下面仍就本例说明：
例 2
求解A
max z=40x1+90x2 9x1+7x2≤56 7x1+20x2≤70 x1，x2≥0 x1，x2整数
① ② ③ (5.2) ④ ⑤
解 先不考虑条件⑤，即解相应的线性规划B,①～④ (见图5-2)，得最优解x1=4.81，x2=1.82，z0=356
可见它不符合整数条件⑤。 这时z0是问题A的最优目标函数值 z*的上界，记作z0= z 。 而在x1=0，x2=0时， 显然是问题A的一个整数可行解， 这时z=0，是z*的一个下界， z 记作 =0，即0≤z*≤356 z。
第3节 割平面解法
在原问题的前两个不等式中增加非负松弛 变量x3、x4，使两式变成等式约束： -x1+x2+x3 =1 ⑥ 3x1+x2 +x4=4 ⑦ 不考虑条件⑤，用单纯形表解题，见表5-2。
表5-2
CB 0 0 1 1 cj XB x3 x4 cj-zj x1 x2 cj-zj b 1 4 0 3/4 7/4 -5/2 1 x1 -1 3 1 1 0 0 1 x2 1 1 1 0 1 0 0 x3 1 0 0 -1/4 3/4 -1/2 0 x4 0 1 0 1/4 1/5 -1/2
第二步：比较与剪支
各分支的最优目标函数中若有小于 z 者，则剪 掉这支(用打×表示)，即以后不再考虑了。若大 于 z ，且不符合整数条件，则重复第一步骤。一直 到最后得到z*为止，得最优整数解xj* ，j=1，…，n。 用分支定界法可解纯整数线性规划问题和混合 整数线性规划问题。它比穷举法优越。因为它仅在 一部分可行解的整数解中寻求最优解，计算量比穷 举法小。若变量数目很大，其计算工作量也是相当 可观的。
《管理运筹学》第四版 第5章 单纯形法 课后习题解析
《管理运筹学》第四版课后习题解析第5章单纯形法1．解：表中a 、c 、e 、f 是可行解，f 是基本解，f 是基本可行解。
2．解：（1）该线性规划的标准型如下。
max 5x 1＋9x 2＋0s 1+0s 2+0s 3 s.t. 0.5x 1＋x 2＋s 1＝8 x 1＋x 2－s 2＝100.25x 1＋0.5x 2－s 3＝6 x 1，x 2，s 1，s 2，s 3≥0（2）至少有两个变量的值取零，因为有三个基变量、两个非基变量，非基变量取零。
（3）（4，6，0，0，-2）T （4）（0，10，-2，0，-1）T （5）不是。
因为基本可行解要求基变量的值全部非负。
（6）略 3.解：令333x x x ''-'=，z f -=改为求f max ；将约束条件中的第一个方程左右两边同时乘以-1，并在第二和第三个方程中分别引入松弛变量5x 和剩余变量6x ，将原线性规划问题化为如下标准型：j x '、j x ''不可能在基变量中同时出现，因为单纯性表里面j x '、j x ''相应的列向量是相同的，只有符号想法而已，这时候选取基向量的时候，同时包含两列会使选取的基矩阵各列线性相关，不满足条件。
4．解： （1） 表5-10,,,,,, 24423 1863 1334 7234max 654332163321543321433214321≥'''=-''+'--=++''+'-+-=+''+'---++-=x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x f 约束条件：（2）线性规划模型如下。
max 6x 1＋30x 2＋25x 3 s.t. 3x 1＋x 2＋s 1=40 2x 2＋x 3＋s 2=50 2x 1＋x 2-x 3＋s 3＝20 x 1，x 2，x 3，s 1，s 2，s 3 ≥0（3）初始解的基为（s 1，s 2，s 3）T ，初始解为（0，0，0，40，50，20）T ，对应的目标函数值为0。
DEA线性规划模式
DEA線性規劃模式
❖ 決策變數：
wg = 綜合醫院輸入及輸出的權重 wu = 大學醫院輸入及輸出的權重 wc = 郡立醫院輸入及輸出的權重 ws = 州立醫院輸入及輸出的權重 E = 郡立醫院輸入值中混合醫院可用的部分
wu
wc
ws 1
48.14wg 34.62wu 36.72wc 33.16ws 36.72
43.10wg 27.11wu 45.98wc 56.46ws 45.98
253wg 148wu 175wc 60ws 175
41wg 27wu 23wc 84ws 23
285.20wg 162.30wu 275.70wc 210.40ws 275.70E
輸出必須大於或等於第j 單位的輸出。 步驟4. 定義決策變數 E，代表混合單位可使用的輸
入相對於第 j 單位輸入值的比率。 步驟5. 對每項輸入，以一個限制式令混合單位的輸
入必須小於等於其可使用的輸入值。 步驟6. 令目標函數為Min E。
第5章 進階線性規劃應用 第210頁
5.2 收益管理
❖ 收益管理在於管理定量非耐久性庫存的短 期需求，以提升組織的潛在收益。
輸入量 1. 全職非醫療人員的數目（包含兼職人員換算後的 數目） 2. 2. 供應品的花費 3. 可用病床數（以一天一床為單位）
輸出量 1. 醫療保險的病人住院日數（以一天一病人為單位） 2. 非醫療保險的病人住院日數 3. 受訓的護士人數 4. 受訓的實習醫生人數
《数学建模》课程教案
《数学建模》课程教案一、教学内容本节课的教学内容选自《数学建模》教材的第五章，主要内容包括线性规划模型的建立、图与网络模型的建立、整数规划模型的建立以及非线性规划模型的建立。
通过本节课的学习，使学生掌握数学建模的基本方法和技巧，培养学生解决实际问题的能力。
二、教学目标1. 让学生掌握线性规划、图与网络、整数规划和非线性规划模型的建立方法。
2. 培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
3. 提高学生的团队协作能力和创新意识。
三、教学难点与重点1. 教学难点：线性规划、图与网络、整数规划和非线性规划模型的建立及求解。
2. 教学重点：线性规划模型的建立和求解。
四、教具与学具准备1. 教具：多媒体教学设备、黑板、粉笔。
2. 学具：教材、笔记本、文具。
五、教学过程1. 实践情景引入：以一个工厂生产安排的问题为例，引入线性规划模型的建立和求解。
2. 知识点讲解：（1）线性规划模型的建立：讲解目标函数的设定、约束条件的确定以及线性规划模型的标准形式。
（2）图与网络模型的建立：讲解图的概念、图的表示方法以及网络模型的建立。
（3）整数规划模型的建立：讲解整数规划的概念和建立方法。
（4）非线性规划模型的建立：讲解非线性规划的概念和建立方法。
3. 例题讲解：选取具有代表性的例题，讲解模型建立和求解的过程。
4. 随堂练习：让学生分组讨论并解决实际问题，巩固所学知识。
六、板书设计板书设计如下：1. 线性规划模型：目标函数约束条件标准形式2. 图与网络模型：图的概念图的表示方法网络模型的建立3. 整数规划模型：整数规划的概念整数规划的建立方法4. 非线性规划模型：非线性规划的概念非线性规划的建立方法七、作业设计1. 作业题目：（1）根据给定的条件，建立线性规划模型，并求解。
（2）根据给定的条件，建立图与网络模型，并求解。
（3）根据给定的条件，建立整数规划模型，并求解。
（4）根据给定的条件，建立非线性规划模型，并求解。
2. 答案：（1）线性规划模型的目标函数为：Z = 2x + 3y，约束条件为：x + y ≤ 6，2x + y ≤ 8，x ≥ 0，y ≥ 0。
最优化计算方法-第5章(线性规划)
第五章线性规划线性规划（Linear Programming，简记为LP）是数学规划的一个重要的分支，其应用极其广泛．1939年，前苏联数学家康托洛维奇（Л.B.Kah ）在《生产组织与计划中的数学方法》一书中，最早提出和研究了线性规划问题．1947年美国数学家丹泽格（G. B. Dantzig）提出了一般线性规划的数学模型及求解线性规划的通用方法─单纯形方法，为这门科学奠定了基础．此后30年，线性规划的理论和算法逐步丰富和发展．1979年前苏联数学家哈奇扬提出了利用求解线性不等式组的椭球法求解线性规划问题，这一工作有重要的理论意义，但实用价值不高．1984年在美国工作的印度数学家卡玛卡(N. Karmarkar)提出了求解线性规划的一个新的内点法，这是一个有实用价值的多项式时间算法．这些为线性规划更好地应用于实际提供了完善的理论基础和算法．第一节线性规划问题及其数学模型一、问题的提出例1 某工厂在计划期内要安排生产Ⅰ、Ⅱ两种产品，已知条件如表所示。
问应如何安排计划使该工厂获利最多？ⅠⅡ现有资源设备原材料A 原材料B 14248台时16kg12kg每件利润23ⅠⅡ现有资源设备原材料A 原材料B 1402048台时16kg12kg每件利润23解: 设x 1、x 2 分别表示在计划期内产品Ⅰ、Ⅱ的产量。
12max 23z x x =+..s t 1228x x +≤1416x ≤2412x ≤12,0x x ≥二、线性规划问题的标准型112211112211211222221122123max ..,,0n nn n n n m m m mn n mn z c x c x c x s t a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b x x x x =+++⎧⎪+++=⎪⎪+++=⎨⎪⎪+++=⎪≥⎩，，其中1,,0m b b ≥11max ..,1,2,,0,1,2,,nj jj nij j i j j z c x s t a x b i mx j n=====≥=∑∑ 12(,,,)T n c c c =c 12(,,,)Tn x x x =x 12(,,,)Tm b b b =b 111212122212n nm m mn a a a a a a a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A 12[,,,]n = p p pmax ..()Tz s t ⎧=⎪=≥⎨⎪≥⎩c x Ax b b x 001max ..()Tnj j j z s tx =⎧=⎪⎪=≥⎨⎪⎪≥⎩∑c xp bb x 00对于不是标准形式的线性规划问题，可以通过下列方法将线性规划的数学模型化为标准形式：（1）目标函数的转换对min z 可以化max()z -（2）右端项的转换对0i b <，给方程两边同时乘以1-（3）约束条件的转换约束条件为≤方程左边加上一个变量,称为松弛变量约束条件为≥方程左边减上一个变量,称为剩余变量（4）变量的非负约束变量j x 无限制时，令,,0j j j j j x x x x x ''''''=-≥变量0j x ≤时，令j jx x '=-例将下列线性规划模型转化为标准形式12312312312312min 23..7232500x x x s t x x x x x x x x x x x -+-⎧⎪++≤⎪⎪-+≥⎨⎪--=-⎪≥≥⎪⎩，解（1）变量的非负约束令345x x x =-1245max 233x x x x -+-..s t 612457x x x x x ++-+=712452x x x x x -+--=12453225x x x x -++-=§2 两变量线性规划问题的图解法例1 求下列线性规划的解12121212max ..284300z x x s t x x x x x x =+⎧⎪+≤⎪⎪≤⎨⎪≤⎪≥≥⎪⎩，解（1）画可行域c A B D C 2x 1x O （2）画出目标函数的梯度向量：（3）作目标函数的一条等值线,120x x z +=将等值线沿梯度方向移动当等值线即将离开可行例2 求下列线性规划的解12121212max 2..284300z x x s t x x x x x x =+⎧⎪+≤⎪⎪≤⎨⎪≤⎪≥≥⎪⎩，解（1）画可行域c A B D C 2x 1x O （2）画出目标函数的梯度向量：（3）作目标函数的一条等值线,1202x x z +=将等值线沿梯度方向移动当等值线即将离开可行域时与可行域“最后的交点点为问题的最优解例3 求下列线性规划的解12121212max ..2200z x x s t x x x x x x =+⎧⎪-≤⎪⎨-≥-⎪⎪≥≥⎩，c2x 1x O无解例4 求下列线性规划的解12121212min 3..123600z x x s t x x x x x x =-⎧⎪≤⎪⎨≥⎪⎪≥≥⎩++，2x 1x O线性规划问题的性质：（1）线性规划的可行域为凸集，顶点个数有限．若可行域非空有界，则可行域为凸多边形．（2）线性规划可能有唯一最优解，可能有无数多个最优解，也可能无解最优解．无最优解可能是目标函数在可行域上无界，也可能可行域为空集．（３）若线性规划有最优解，则最优解必可在可行域的某个顶点达到．若两个顶点都为最优解，那么这两点连线上的所有点都是线性规划的最优解．§3 线性规划解的概念及其性质1 线性规划解的概念考虑线性规划问题max ..()Tz s t ⎧=⎪=≥⎨⎪≥⎩c x Ax b b x 00定义.1 矩阵A 中任何一组m 个线性无关的列向量构成的可逆矩阵B 称为线性规划的一个基矩阵与这些列向量对应的变量称为基变量(basis variable ）其余变量称为基对应的非基变量(nonbasis variable ）B 若设一个基为12(,,)m B p p p = ，12,,,m x x x ——为基B 对应的基变量1,,m n x x + ——为基B 对应的非基变量1B m x x x ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦1m N n x x x +⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦12(,,,)m m n ++= N p p p (,)=A B N 从而令=Ax b 则(,)N x ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦B x B N b11B Nx B b B Nx --=-B N Bx Nx b+=令0N x =则1B x B b-=10B b -⎡⎤⎢⎥⎣⎦——基本解（basis solution ）满足10B b -⎡⎤≥⎢⎥⎣⎦,=≥0Ax b x 的基本解——基本可行解（basis feasible solution ）对应的基称为可行基（feasible basis ）．B 可以写成即:定义4 若基本可行解中所有基变量都为正，这样的基本可行解称为非退化解（non-degenerate solution）．若基本可行解中某基变量为零，这样的基本可行解称为退化解（degenerate solution）．例1212112max ..28400z x x s t x x x x x =-⎧⎪+≤⎪⎨≤⎪⎪≥≥⎩，标准化得：12123141234max ..28400,00z x x s t x x x x x x x x x =-⎧⎪++=⎪⎨+=⎪⎪≥≥≥≥⎩，，12341210(,,,)1001⎡⎤==⎢⎥⎣⎦A p p p p 子阵是否为基基变量非基变量基本解目标函数值134(,)=B p p 34,x x 12,x x (0,0,8,4)是231(,)=B p p 31,x x 24,x x (4,0,4,0)312(,)=B p p 12,x x 34,x x (4,2,0,0)424(,)=B p p 24,x x 13,x x (0,4,0,4)-4514(,)=B p p 14,x x 23,x x (8,0,0,4)-是是是是042基本可行解1x O(4,0)(4,2)(0,4)(8,0)2x 顶点2 解的判别定理定理1 最优解的判别准则设B 为线性规划LP 的一个基，1(1)0-≥B b 1(2)T T--≥0Bc B A c 则基对应的基本可行解1-⎡⎤⎢⎥⎣⎦0B b 是LP 的最优解．1(1,2,,)σ--== TBj j j c B p c j n 为变量对应的检验数j x 112[0,,0,,,]σσσ-++-= ，T TBm m n c B A c 显然基变量对应得检验数为零．定理2 无穷多个最优解的判别定理在线性规划的最优解中，某个非基变量对应的检验数为零，则线性规划有无数多最优解．定理3 无界解的判别定理设B 为线性规划的一个可行基，若基本可行解中s x 对应的检验数0σ<s ，且1-≤0s B p 则线性规划具有无界解（或称无解）．某非基变量§3.4 单纯形表设B 为线性规划的一个基，x 为对应的可行解，则=Ax b两边同乘得1-B 11--=B Ax B b两边同乘得T Bc 11T T --=BBc B Ax c B b T z =c xTz -=c x 11T T --+-=TBBz c B Ax c x c B b 11(T T --+-=)TBBz c B A c x c B b1111()T TT z ----⎧+-=⎨=⎩BBc B A c x c B b B Ax B b 11111T T Tz ----⎡⎤⎡⎤-⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦0BBc B b c B A c x B A B b 定义矩阵1111TT----⎡⎤-⎢⎥⎣⎦T BBc B b c B A c B bB A 为基B 对应的单纯形表（table of simplex ）,记为()T B1111()T T----⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦T BBc B b c B A c T B B bB A 检验数函数值基变量的值各变量的系数100T b -=Bc B b 101020(,,,)--= T TBn c B A c b b b 10201-⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥ b b B b则单纯形表可写成000101011102()⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦B n n m m mn b b b b b b T b b b 1112121222111112(,,)---⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦n n n m m mn b b b b b b B A B p B p bb b上例中1212112max ..28400z x x s t x x x x x =-⎧⎪+≤⎪⎨≤⎪⎪≥≥⎩，标准化得：121231412max ..28400z x x s t x x x x x x x =-⎧⎪++=⎪⎨+=⎪⎪≥≥⎩，12341210(,,,)1001⎡⎤==⎢⎥⎣⎦A p p p p 子阵是否为基基变量非基变量基本解目标函数值134(,)=B p p 34,x x 12,x x (0,0,8,4)是231(,)=B p p 31,x x 24,x x (4,0,4,0)312(,)=B p p 12,x x 34,x x (4,2,0,0)424(,)=B p p 24,x x 13,x x (0,4,0,4)-4514(,)=B p p 14,x x 23,x x (8,0,0,4)-是是是是042基本可行解1x O(4,0)(4,2)(0,4)(8,0)2x 顶点13410(,)01⎡⎤==⎢⎥⎣⎦B p p 231(,)=B p p 12341210(,,,)1001⎡⎤==⎢⎥⎣⎦A p p p p T(0,0)=B C 10()T⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦c T B b A 34011008121041001z x x -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦23140101()4021141001x x ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥z T B 121101--⎡⎤=⎢⎥⎣⎦B 31401014021141001z x x ⎡⎤⎢⎥−−→-⎢⎥⎢⎥⎣⎦T(0,1)=B C单纯形表的特点：1、基变量对应的检验数为零2、基变量的系数构成单位阵§5旋转变换（基变换）设已知12(,,,,,)= r m j j j j B p p p p T()=B 1 r m j j j z x x x 1sn x x x 0001001011110102⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦sn s n r r rs rn m m ms mn b b b b b b b b b b b b b b b b为了将s x 变为基变量，而将r j x 变为非基变量，必须使表中的第s 列向量变为单位向量，变换按下列步骤进行：（1）将()T B 中第r 行，第s 列的元素化为1．01(,,,,,1,,) rj r rnr rs rs rs rsb b b b b b b b （2）将()T B 中第s 列的的其余元素化为0．0101(,,,,,0,,)---- is rn is rj is r is r i i ij in rs rs rs rsb b b b b b b b b b b b b b b b由此得出变换后矩阵中各元素的变换关系式如下，其中,01== ，，，rjrj rsb b j nb ,,01,01=-≠== ，，，，，，is rjij ij rsb b b b i r i m j nb 变换式称为旋转变换rs b 称为旋转元，r称为旋转行称为旋转列，s s x 称为入基变量，称为出基变量，r j x {,}r s定理3.5.1,01== ，，，rj rj rsb b j n b ,,0,01=-≠== ，，，，，is rj ij ij rsb b b b i r i m j n b 在变换之下，将基12(,,,,,)= r m j j j j B p p p p 的单纯形表变为基12(,,,,,)= m j s j j B p p p p 的单纯形表第6节单纯形法基本思路是：线性规划(通常是求最小值的形式)若有最优解，其必定在可行域(在相应几何空间中是一个凸多面体)的顶点达到，故从某一个顶点出发，沿着凸多面体的棱向另一顶点迭代，使得目标函数的值增加,经过有限次迭代，将达到最优解点.1.入基变量及出基变量的确定入基变量的确定由上面可知，目标函数用非基变量表示的形式为01n j jj m z z x σ=+=-∑若某检验数0j σ<则j x 的系数大于零，将j x 由零变为非零，目标函数值增大．所以，为了使的取值目标函数值增加，可以将某检验数0j σ<对应的非基变量j x 中的某个变为基变量．{}min 0j s j σ=<则s x 可选作为入基变量．即：在负检验数中，列标最小的检验数对应的非基变量入基．２．出基变量的确定在确定出基变量时应满足两个原则：（1）目标函数值不减；（2）保证新的基本解为基本可行解．0min 0,0i is is b b i m b θ⎧⎫=>≤≤⎨⎬⎩⎭min ,00i is is b r i b i m b θ⎧⎫==>≤≤⎨⎬⎩⎭，2 单纯形法设已知一个初始可行基及B T()B 基变量指标集合为{}1,,B m J j j = 非基变量的指标集合为{}1,2,,\N BJ n J =单纯形法若所有()00j N b j J ≥∈，则停止，最优解为0,1,,0,ij i j N x b i m x j J **⎧==⎪⎨=∈⎪⎩否则转（2）．（1）最优性检验（2）选入基变量{}0min 0,j N s j b j J =<∈若()01~is b i m ≤=,则停止,(LP)无最优解，否则转(3)（3）选出基变量0min 0,0i is is b b i m b θ⎧⎫=>≤≤⎨⎬⎩⎭0min ,00i is is b r i b i m b θ⎧⎫==>≤≤⎨⎬⎩⎭，（4）作{},r s 旋转运算,01rj rj rsb b j n b == ，，，,,01,01is rj ij ij rsb b b b i r i m j n b =-≠== ，，，，，，得B 的单纯形表()()ijT B b =，以ij b 代替ij b ，转(1)例1 求线性规划问题的解解标准型为:121231425max 2328416.412,,,,0z x x x x x x x s t x x x x x x x =+++=⎧⎪+=⎪⎨+=⎪⎪≥12121212max 2328416.412,0z x x x x x s t x x x =++≤⎧⎪≤⎪⎨≤⎪⎪≥⎩12123142512345max 2328416.412,,,,0z x x x x x x x s t x x x x x x x =+++=⎧⎪+=⎪⎨+=⎪⎪≥⎩-20-381612121004001004001345z x x x 12345x x x x x 000⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢0T()B =0345[,,]B p p p =00T()T c B bA ⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦-20-381612121004001004001345z x x x 12345x x x x x 000⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣0T()B =8/116/408-3441202101001/400400135z x x 12345x x x x x 01/20⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢1/4-41x08-3441202101001/400400135z x x 12345x x x x x 01/20⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣1/4-1x 4/212/40140244011/201001/40002-15z x 12345x x x x x 3/21/80⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣1/8-1x 32x 1/2例2求线性规划问题的解解标准型为:121231425max 228416.412,,,,0z x x x x x x x s t x x x x x x x =+++=⎧⎪+=⎪⎨+=⎪⎪≥12121212max 228416.412,0z x x x x x s t x x x =++≤⎧⎪≤⎪⎨≤⎪⎪≥⎩12123142512345max 228416.412,,,,0z x x x x x x x s t x x x x x x x =+++=⎧⎪+=⎪⎨+=⎪⎪≥⎩-10-281612121004001004001345z x x x 12345x x x x x 000⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢0T()B =0345[,,]B p p p =00T()T c B bA ⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦-10-281612121004001004001345z x x x 12345x x x x x 000⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣0T()B =8/116/404-2441202101001/400400135z x x 12345x x x x x 01/40⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢1/4-41x0-2441202101001/400400135z x x 12345x x x x x 00⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣1/4-1x 4/212/4080244011/201001/400015z x 12345x x x x x 100⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣1/8-1x 32x 41/42-1/2080244011/201001/400015z x 12345x x x x x 100⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣1/8-1x 2x 2T 0803280101/410101/2-004-12z 12345x x x x x 00⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣01x 2x 42-1/25x 11212x k x k x =+12120,1,1k k k k ≤≤+=全部最优解为§7 两阶段法第二阶段从初始可行基开始，用单纯形法求解原问题．（LP ）max ..(0)0T z c x s t Ax b b x ⎧=⎪=≥⎨⎪≥⎩（ALP ）max ..0()T w s t z ⎧=-⎪-=⎪⎨+≥⎪⎪≥⎩00T e y c x A =b b x y x 第一阶段引入人工变量，构造辅助问题，求辅助问题的最优解，得出原问题的初始可行基及对应的基本可行解．（ALP）12112211112211121122222211212312max..0 ,,,,0mn nn nn nm m mn n m mn mw y y ys t z c x c x c xa x a x a x y ba x a x a x y ba x a x a x y bx x x x y y y=----⎧⎪----=⎪⎪++++=⎪++++=⎨⎪⎪++++=⎪⎪≥⎩，，，，，121111211112122122212000000100()010001m m m m i i i in i=1i i i n n n m m m mn b a a a c c c b a a a T B b a a a b a a a ===⎡⎤----⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦∑∑∑∑。
运筹学第五章
A 原材料（kg) 设备（台时） 2 1 B 1 2 限量 11 10
单位利润
8
10
minZ=P1 d1+ +P2 (d2-+ d2+) +P3 d3OR2 4
例2的解法
解：问题分析：找差别、定概念（与单目标规划相 比） 1）绝对约束：必须严格满足的等式约束和不 等式约束，称之为绝对约束。 2x1+1.5x2≤50 (1) (2) 2）目标约束：那些不必严格满足的等式约束和 不等式约束，称之为目标约束（软约束）。目标 约束是目标规划特有的，这些约束不一定要求严 格完全满足，允许发生正或负偏差，因此在这些 约束中可以加入正负偏差变量。
16
例4：min Z
x1 x1 s .t . x 1 x2 x1
OR2
p d p d p (2 d d x d d 40 x d d 50 d d 24 d d 30 , x ,d ,d 0 ( i 1, 2 , 3 ,4 )
OPERATIONS RESEARCH
运筹学
徐 玲
OR2
1
第五章
目标规划
要求 1、理解概念 2、掌握建模 3、掌握图解法和单纯形解法 4、理解目标规划的灵敏度分析
OR2
2
5.1目标规划的概念及数学模型1
多目标问题 多目标线性规划 产品 例1
资源 原材料（kg) 设备（台时） 单位利润
OR2 8
7）目标规划的目标函数： 目标规划的目标函数是按各约束的正、负偏 差变量和赋予相应的优先因子而构造的。 目标函数的基本形式有三种： 1、要求恰好达到目标值，即正负偏差变量都要尽 可能地小，这时， minZ＝f(d+＋d-). 2、要求不超过目标值，即允许达不到目标值但正 偏差变量要尽可能地小，这时， minZ＝f(d+). 3、要求超过目标值，即超过量不限但负偏差变量 要尽可能的小，这时， minZ＝f(d-) 显然，本题目标函数表示为：
高中生数学线性规划教案
高中生数学线性规划教案教学内容：1. 了解线性规划的基本概念和应用领域。
2. 掌握线性规划的解题思路和方法。
3. 在实际问题中运用线性规划进行分析和解决。
教学目标：1. 理解线性规划的定义和特点。
2. 能够根据具体问题建立线性规划模型。
3. 能够运用线性规划解决实际生活中的问题。
教学重点：1. 线性规划的基本概念和特点。
2. 线性规划模型的建立和求解方法。
3. 实际问题中线性规划的应用。
教学难点：1. 将实际问题抽象成线性规划模型。
2. 运用线性规划方法解决问题的能力。
教学过程及教学方法：1. 导入（5分钟）通过介绍一个生活中的实际问题，引出线性规划的概念和应用场景。
2. 理论讲解（15分钟）讲解线性规划的定义、目标函数、约束条件等基本概念，并介绍线性规划的解题思路和方法。
3. 示例分析（20分钟）通过具体的例题演示，引导学生理解如何建立线性规划模型，并运用线性规划方法解决问题。
4. 练习与讨论（15分钟）组织学生进行练习题目，引导学生思考问题的建模和解决方法，并开展讨论分享。
5. 拓展应用（10分钟）介绍线性规划在实际生活中的广泛应用领域，启发学生深入思考线性规划的实际意义。
6. 总结归纳（5分钟）对本节课的内容进行总结归纳，梳理线性规划的重点和难点，强调学生需要掌握的知识点。
教学资源：1. PPT课件；2. 课堂练习题目；3. 实际问题案例。
教学评估：1. 课堂练习成绩；2. 参与讨论的表现；3. 课后作业完成情况。
教学反馈：及时对学生在课堂练习和课后作业中存在的问题进行指导和辅导，帮助他们提高线性规划解题能力。
运筹学(第四版)清华大学出版社《运筹学》教材编写组-第章
满足非负条件（1-6）的基解，称为基可行解. 基可行解的非 零分量的数目不大于m，并且都是非负的。
例4 例4的标准型
max z' x1 2x2 3(x4 x5 ) 0x6 0x7
x1 x2 (x4 x5 ) x6 7
x1 x2 (x4 x5 )
x7 2
3x1 x2 2(x4 x5 )
5
x1, x2 , x4 , x5, x6 , x7 0
决策变量及各类系数之间的对应关系
决策变量
资源
x1 x2 xn
1
活
a11
a12 a1n
b1
2 a21 a22 a2n b2
动
m am1 am2 amn bm
价值系数 c1 c2 cn
12
清华大学出版社
2.1.1 问题的提出
线性规划模型的一般形式
目标函数
max(min) z c1x1 c2x2 cn xn 约束条件
每天200万立方米的支流。
图1-1
化工厂1每天排放含有某种有害物质的工业污水2万立方米，化工厂2每天 排放的工业污水为1.4万立方米。从化工厂1排出的污水流到化工厂2前， 有20%可自然净化。根据环保要求，河流中工业污水的含量应不大于 0.2%。因此两个工厂都需处理一部分工业污水。化工厂1处理污水的成本 是1000元/万立方米,化工厂2处理污水的成本是800元/万立方米。问:
x1 , x2 0
10
清华大学出版社
2.1.1 问题的提出
上述两个问题具有的共同特征： 每一个线性规划问题都用一组决策变量 x1 ,x2 , xn
线性规划教案
线性规划教案
引言概述：
线性规划是一种数学优化方法，用于解决线性约束条件下的最优化问题。
它在各个领域都有广泛的应用，如生产调度、资源分配和投资决策等。
本文将介绍线性规划的基本概念、模型建立、求解方法以及应用案例等内容。
正文内容：
一、线性规划的基本概念
1.1 线性规划的定义
1.2 线性规划的基本元素
1.3 线性规划的约束条件
1.4 线性规划的目标函数
二、线性规划的模型建立
2.1 确定决策变量
2.2 建立约束条件
2.3 构建目标函数
2.4 确定问题类型（最大化或者最小化）
三、线性规划的求解方法
3.1 图形法
3.2 单纯形法
3.3 整数规划方法
3.4 网络流方法
3.5 内点法
四、线性规划的应用案例
4.1 生产调度问题
4.2 资源分配问题
4.3 投资决策问题
4.4 运输问题
4.5 供应链优化问题
五、线性规划的优缺点
5.1 优点：高效、灵便、可靠
5.2 缺点：对问题的建模要求较高、复杂问题求解难点
总结：
综上所述，线性规划是一种重要的数学优化方法，通过建立数学模型、确定决策变量和约束条件，求解最优解以支持决策。
它在各个领域都有广泛的应用，如生产调度、资源分配和投资决策等。
然而，线性规划也存在一些局限性，对问题的建模要求较高，复杂问题的求解可能存在难点。
尽管如此，线性规划仍然是解决实际问题的有效工具，为决策者提供了重要的参考依据。
初中 线性规划教案
初中线性规划教案课程目标：1. 了解线性规划的概念和意义；2. 学会建立线性规划模型；3. 掌握简单的线性规划解法；4. 能够应用线性规划解决实际问题。
教学重点：1. 线性规划的概念和意义；2. 线性规划模型的建立；3. 线性规划的解法。
教学难点：1. 线性规划模型的建立；2. 线性规划的解法。
教学准备：1. 教师准备PPT或者黑板，展示线性规划的相关概念和例题；2. 准备一些实际问题，用于引导学生应用线性规划解决。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入话题：介绍线性规划在实际生活中的应用，如物流配送、生产计划等；2. 提问：什么是线性规划？为什么需要线性规划？二、新课讲解（15分钟）1. 讲解线性规划的定义和意义；2. 讲解线性规划模型的建立方法，如目标函数、约束条件等；3. 讲解线性规划的解法，如图解法、代数法等。
三、例题讲解（15分钟）1. 讲解一个简单的线性规划例题，引导学生跟随解题过程；2. 让学生分组讨论，尝试解决其他线性规划问题。
四、应用练习（15分钟）1. 给出几个实际问题，让学生应用线性规划解决；2. 引导学生思考如何将实际问题转化为线性规划模型；3. 引导学生思考如何选择合适的解法求解。
五、总结（5分钟）1. 回顾本节课所学内容，让学生总结线性规划的概念、模型建立和解法；2. 强调线性规划在实际生活中的应用价值。
教学反思：本节课通过讲解线性规划的概念、模型建立和解法，让学生了解线性规划的基本知识，并能够应用线性规划解决实际问题。
在教学过程中，要注意引导学生思考实际问题与线性规划之间的联系，培养学生的应用能力。
同时，也要注意让学生掌握线性规划的解法，提高他们的解决问题的能力。
机械优化设计第5章线性规划
值1万元；需占用一车间工作日5天，
6 x1 2x2 24
二车间工作日2天。现一车间可用于
x1 0 x2 0
生产A、B产品的时间15天，二车间
可用于生产A、B产品的时间24天。
试求出生产组织者安排A、B两种产
品的合理投资产数，以获得最大的总
产值。
例5-2：生产甲种产品每件需使用材料9kg、3个工时、4kw电，获 利润60元。生产乙种产品每件需用材料4kg、10个工时、5kw电， 可获利120元。若每天能供应材料360kg，有300个工时，能供 200kw电。试确定两种产品每天的产量，使每天可能获得的利润 最大？
分析：每天生产的甲、乙两种产品分别为 x1, x2 件
f (x1, x2 ) 60x1 120x2 max (利润最大) g1( X ) 9x1 4x2 360 （材料约束）
g2 ( X ) 3x1 10x2 300 （工时约束）
g3( X ) 4x1 5x2 200 （电力约束）
在年度计划按月分配时一般要考虑:1）从数量和品种上保 证年度计划的完成；2）成批的产品尽可能在各个月内均衡生 产或集中在几个月内生产；3）由于生产技术准备等方面原因， 某些产品要在某个月后才能投产；4）根据合同要求，某些产 品要求在年初交货；5）批量小的产品尽可能集中在一个月或 几个月内生产出来，以便减少各个月的品种数量等等。如何在 满足上述条件的基础上，使设备均衡负荷且最大负荷。
获利 物资 地区
甲 乙 丙
钢材
260 210 180
铝材
300 250 400
铜材
400 550 350
B_第五章 线性规划
练习: 将下列线性规划问题化成标准型 1、 min Z= 5x1+ x2 + x3 3x1+ x2 - x3≤7 -3x1+ x2 ≤6 s.t x1+ 2x2≤4 x2≥-3, x1无限制
2、
max Z= -x1+4 x2 s.t x1- 2x2+4x3≥-6 x2+3x3 =3 x1 ,x2≥0, x3无限制
2.1、图解法:
§2 线性规划图解法
图解法不是解线性规划的主要方法,只是用于说明线性规 划解的性质和特点。只能解两个变量问题。 （用图解法求解,线性规划不需要化成标准型） 图解法的步骤： 1、约束区域的确定 2、目标函数等值线 3、平移目标函数等值线求最优值
线性规划解的几种可能情况
1、唯一最优解 2、无穷多最优解 3、无可行解 4、无有限最优解(无界解)
A—系数矩阵
b—资源向量
线性规划问题模型的标准型 分量形式：线性规划（LP）的标准型： 目标函数： max z=c1 x1+ c2 x2+ …+ cn xn 约束条件： a11 x1 + a12 x2+ …+ a1n xn=b1 s.t a21 x1 + a22 x2+ …+ a2n xn=b2 … … … am1 x1 + am2 x2+ …+ amn xn=bm x1≥0，x2≥0，…，xn≥0 且bi≥0，若 bi<0，则乘(-1) 注: 有些书中以min型目标函数为标准型
第五章 线性规划
第一节
线性规划问题
（Linear Programming ）
§1 线性规划问题及其数学模型
问题1：某工厂计划生产甲、乙两种产品。所需的设备台 时及A、B两种原材料消耗，详见下表
第5章 python 线性规划
第5章
第5章 线性规划
第3页
目标函数是决策者希望对其进行优化的那个指标，它是决策变量的线 性函数，描述决策变量与预定目标之间的关系；约束条件是决策者在现实世 界中所受到的限制，或者说决策变量在这些限制范围之内才有意义。
目录 CONTENTS
01 线性规划的概念和理论 02 线性规划的Python求解 03 灵敏度分析 04 投资的收益和风险
第5章
5.1线性规划的概念和理论
第8页
从上面的模型可以看出，线性规划的目标函数可以是最大化问题，也可 以是最小化问题；约束条件有的是“ ”，有的是“ ”，也可以是“ ”。
第5章
5.1线性规划的概念和理论
第9页
在一些实际问题中决策变量可以是非负的，也可以是非正的，甚至可以
是无约束（即可以取任何值）。为了便于研究，在数学理论上规定线性规划
第5章
5.1线性规划的概念和理论
第 14 页
美国数学家 G. B. Dantzig 于 1947 年提出了求解线性规划的单纯形法， 给出了一个在凸多面体的顶点中有效地寻求最优解的迭代策略。
如果将凸多面体顶点所对应的可行解称为基本可行解，单纯形法的基 本思想就是：先找出一个基本可行解，对它进行鉴别，看是否是最优解；若 不是，则按照一定法则转换到另一改进的基本可行解，再鉴别；若仍不是， 则再转换，按此重复进行。因基本可行解的个数有限，故经有限次转换必能 得出问题的最优解。即使问题无最优解也可用此法判别。
max(min) z cT x,
s.t.
Ax x
(, 0.
)b,
max(min) z cT x,
n
s.t.
j1
pj x j
(, )b,
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
获利 物资 地区
甲 乙 丙
钢材
260 210 180
铝材
300 250 400
铜材
400 550 350
2020年9月30日8时42分
机械优化设计
建模例2： 某工厂生产A、B、C三种产品，现根据订货合同以及生产 状况制定5月份的生产计划，已知合同甲为：A产品1000件，单件价 格为500元，违约金为100元/件；合同乙为：B产品500件，单件价格 为400元，违约金为120元/件；合同丙为：B产品600件，单件价格为 420元，违约金为130元/件；C产品600件，单件价格为400元，违约 金为90元/件；有关各产品生产过程所需工时以及原材料的情况见下 表。试以利润为目标，建立该工厂的生产计划线性规划模型 。
机械优化设计
例5-3：某厂生产甲、乙两种产品，已知：①两种产品分别由两 条生产线生产。第一条生产甲，每天最多生产9件，第二条生产 乙，每天最多生产7件；②该厂仅有工人24名，生产甲每件用2工 日，生产乙每件用3工日；③产品甲、乙的单件利润分别为40元 和80元。问工厂如何组织生产才能获得最大利润？
2分
机械优化设计
将其化成线性规划标准形式：
求 x [x1x2 ]T 使 min f (x) 60x1 120x2 且满足 9x1 4x2 x3 360
3x1 10x2 x4 300
4x1 5x2 x5 200
xi 0(i 1, 2,3, 4,5)
2020年9月30日8时42分
2020年9月30日8时42分
机械优化设计
二、线性规划的标准形式
线性规划数学模型的一般形式：求 x [x1x2 xn ]T
使 且满足
说明： 1）m=n,唯一解 2）m>n,无解 3）m<n,无穷解
f (x) c1x1 c2 x2 cn xn min
a11x1 a12 x2 a1n xn b1 a21x1 a22 x2 a2n xn b2 am1x1 am2 x2 amn xn bm
2020年9月30日8时42分
机械优化设计
§第一节 线性规划的标准形式与基本性质
一、线性规划实例
解：设生产A、B两产品分别
例每生5-1产：一某台工产厂品要A生可产获A产、值B2两万种元产；品，为数x学1,模x型2台为，：则该问题的优化
需占用一车间工作日3天，二车间工 作日6天；每生产一台产品B 可获产
品的合理投资产数，以获得最大的总
产值。
2020年9月30日8时42分
机械优化设计
例5-2：生产甲种产品每件需使用材料9kg、3个工时、4kw电，获 利润60元。生产乙种产品每件需用材料4kg、10个工时、5kw电， 可获利120元。若每天能供应材料360kg，有300个工时，能供 200kw电。试确定两种产品每天的产量，使每天可能获得的利润 最大？
max z 2x1 x2 s.t. 3 x1 5x2 15
值1万元；需占用一车间工作日5天，
6 x1 2x2 24
二车间工作日2天。现一车间可用于
x1 0 x2 0
生产A、B产品的时间15天，二车间
可用于生产A、B产品的时间24天。
试求出生产组织者安排A、B两种产
在年度计划按月分配时一般要考虑:1）从数量和品种上保 证年度计划的完成；2）成批的产品尽可能在各个月内均衡生 产或集中在几个月内生产；3）由于生产技术准备等方面原因， 某些产品要在某个月后才能投产；4）根据合同要求，某些产 品要求在年初交货；5）批量小的产品尽可能集中在一个月或 几个月内生产出来，以便减少各个月的品种数量等等。如何在 满足上述条件的基础上，使设备均衡负荷且最大负荷。
机械优化设计
×
第五章 线性规划
第五章 线性规划
第一节线性规划的标准形式与基本性质 第二节基本可行解的转换 第三节单纯形方法 第四节单纯形法应用举例 第五节修正单纯形法
2020年9月30日8时42分
机械优化设计
第五章
线性规划
目标函数和约束条件都是线性的，像这类约束 函数和目标函数都是为线性函数的优化问题，称作 线性规划问题。它的解法在理论和方法上都很成熟， 实际应用也很广泛。虽然大多数工程设计是非线性 的，但是也有采用线性逼近方法求解非线性问题的。 此外，线性规划方法还常被用作解决非线性问题的 子问题的工具，如在可行方向法中可行方向的寻求 就是采用线性规划方法。当然，对于真正的线性优 化问题，线性规划方法就更有用了。
分析：每天生产的甲、乙两种产品分别为 x1, x2 件
f (x1, x2 ) 60x1 120x2 max (利润最大) g1( X ) 9x1 4x2 360 （材料约束）
g2 ( X ) 3x1 10x2 300 （工时约束）
g3( X ) 4x1 5x2 200 （电力约束）
工序1 工序2 工序3 原材料1 原材料2 其他成本
产品A /件
2
3
2
3
4
10
产品B /件
1
1
3
2
3
10
产品C /件
2
1
2
4
2
10
总工时或原材料 4600 4000 6000 10000 8000
工时或原材料成本
（元）
15 10 10
20
40
2020年9月30日8时42分
机械优化设计
建模例3： 成批生产企业年度生产计划的按月分配 。 在成批生产的机械制造企业中，不同产品劳动量的结构上可能 有很大差别。如：某种产品要求较多的车床加工时间，另一种 产品的劳动量可能集中在铣床和其他机床上。因此，企业在按 月分配年度计划任务时，应考虑到各种设备的均衡且最大负荷。
机械优化设计
解: 设甲、乙两种产品的日产件数分别为 x1, x2.
max F ( X ) 40x1 80x2 X D R2 s.t. x1 9 x2 7 2x1 3x2 24 x1, x2 0
日利润最大
生产能力限制 劳动力限制 变量非负
2020年9月30日8时42分
机械优化设计
建模例1： 某公司有钢材、铝材、铜材1200t，800t和650t，拟调往 物资紧张的地区甲、乙、丙。已知甲、乙、丙对上述物资的总需求分 别为：900t，800t和1000t。各种物资在各地销售每吨的获利如下表 所示。试问公司应如何安排调运计划，才能获利最大？建立该问题的 数学模型。