高一同步优化训练数学第三章数列卷附答案

A.Sn＞na1＞nan
B.Sn＞nan＞na1
C.na1＞Sn＞nan 解析：由 Sn=3n－2n2 可求得 an=－4n+5, ∴a1＞an(n≥2). Sn=a1+a2+…+an＜na1, Sn=a1+a2+…+an＞nan, ∴nan＜Sn＜na1. 答案：C
D.nan＞Sn＞na1
10.依市场调查结果预测某种家用商品以年初开始的 n 个月内累积的需求量为 Sn(万件),
n
2
1
.∴an=
n
2
1
.
答案：D
7.若{an}是等差数列，首项 a1>0,a2003+a2004>0,a2003·a2004<0,则使前 n 项和 Sn>0 成立的最 大自然数 n 是
A.4005
B.4006
C.4007
D.4008
解析：∵a1>0,a2003+a2004>0,a2003·a2004<0, ∴a2003>0,a2004<0.
∴bn= a1
a2
an n
n(3 4n 2n
1)
=2n+1.
显然数列{bn}是等差数列，且 b1=2+1=3,
它的前
n
项和
Sn=b1+b2+…+bn=
n(3
2n 2
1)
=n(n+2).
答案：B
6.数列{an}中，a1=1,a2=
2 3
,且 n≥2 时，有 1 an1
1 an1
2
=
an
,则
S4006=
a1
a4006 2
4006
a2003 2
a2004
×4006>0,
S4007=
a1
a4007 2
×4007=4007×a2004<0.
∴使前 n 项和 Sn>0 成立的最大自然数 n 是 4006.故选 B.
答案：B
8.已知数列｛an｝的通项公式为 an=(－1) n－1·(4n－3),则它的前 100 项之和为
解：(1)由 1 =a·b4,1=a·b5,得 b=4,a= 1 ,故 f(x)= 4 x .
4
1024
1024
(2)由题意知
an=log2(
1 1024
·4n)=2n－10，
Sn=
n 2
(a1+an)=n(n－9),
anSn=2n(n－5)(n－9).
由 anSn≤0,得(n－5)(n－9)≤0,即 5≤n≤9.
2)
,
1 an－1=an－2+ (n 1)(n 1) ,
1 an－2=an－3+ (n 2) n ,
……
1 a2=a1+ 2 4 .
相加得
an=a1+
2
1
4
1 3
5
1 n(n
2)
=－ 5 1 ［( 1 1 )+( 1 1 )+…+( 1 1 )］
12 2 2 4 3 5
n n2
a10=60－0.5×9=55.5(元), an=60－0.5(n－1)(1≤n≤20). ∴付款数{an}组成等差数列，公差 d=－0.5,全部货款付清后付款总数为
20 S20+150= 2 (a1+a20)+150
=(2a1+19d)×10+150 =(2×60－19×0.5)×10+150 =1255(元). 答：第十个月该交付 55.5 元，全部货款付清后，买这件家电实际花了 1255 元.
A.1
B.2
C.3
D.4
解析：{pan}、{pan+q}的公差为 pd(设{an}公差为 d),而{nan}、{an2}不符合等差数列定义.
答案：B
3.在等差数列{an}中，a1>0,且 3a8=5a13,则 Sn 中最大的是
A.S21
B.S20
C.S11
D.S10
解析：3a8=5a13
d=－
2 39
A.an=(
2 3
)n
2 C.an= n 2
B.an=( 2 )n－1 3 2
D.an= n 1
解析：∵ 1 1 2 ,n≥2, an1 an1 an
∴数列{ 1 }是等差数列. an
∵a1=1,a2=
2 3
,
∴首项
1
=1,公差 d=
1
1
3 1
1
.
a1
a2 a1 2
2
∴1 an
1 1 (n 1) 2
∴b2c2+a2b2+(2ac)2－4a2bc－4abc2+2ab2c=0.
∴(ab+bc－2ac)2=0.
∴ab+bc－2ac=0.
∴b(a+c)=2ac.
∴2 =1 +1. bac
∴ 1 , 1 , 1 成等差数列. abc
注：本题也可这样做：∵x=1 是方程的根，
∴x1=x2=1.
∴x1x2=
近似地满足 Sn= n (21n－n2－5)(n=1,2,…,12),则按此预测在本年度内，需求量超过 1.5 万件 90
的月份是
A.5 月、6 月
B.6 月、7 月
C.7 月、8 月
D.8 月、9 月
解析：第
n
个月需求量
an=Sn－Sn－1=
1 30
(－n2+15n+9),an>1.5，得
1 30
A.200ຫໍສະໝຸດ B.－200C.400
D.－400
解析：S100=a1+a2+…+a100
=1－5+9－13+17－…+(4×99－1)－(4×100－1)
=(1－5)+(9－13)+…+［(4×99－1)－(4×100－1)］
=－4×50=－200.
答案：B
9.数列｛an｝的前 n 项和 Sn=3n－2n2(n∈N*)，则当 n≥2 时，下列不等式中成立的是
3 2
,a3=f(x).
(1)求 x 的值;
(2)求 a2+a5+a8+…+a26 的值. 解：(1)∵f(x+1)=(x+1－1)2－4=［(x+1)－1］2－4，
∴f(x)=(x－1)2－4.
∴a1=(x－2)2－4,a3=(x－1)2－4.
又 a1+a3=2a2,解得 x=0 或 x=3.
(2)∵a1、a2、a3
c(a a(b
b) c)
=1.
∴2ac=ab+bc.∵abc≠0,
∴2 =1 +1. bac
∴ 1 , 1 , 1 成等差数列. abc
17.(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)=abx 的图象过点 A(4, 1 )和 B(5,1). 4
(1)求函数 f(x)的解析式. (2)记 an=log2f(n),n 是正整数，Sn 是数列{an}的前 n 项和，解关于 n 的不等式 anSn≤0. (3)对于(2)中的 an 与 Sn，整数 96 是否为数列{anSn}中的项？若是，则求出相应的项数； 若不是，则说明理由.
=－ 2n 3 . 2(n 1)(n 2)
答案：－ 2n 3 2(n 1)(n 2)
三、解答题(本大题共 5 小题，共 54 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(本小题满分 8 分)在等差数列{an}中，a1=－60,a17=－12. (1)求通项 an; (2)求此数列前 30 项的绝对值的和.
_________.
2b a c,
解析：由题意得
2b
2
a2
c2
① ②
由①得 c=2b－a,代入②整理得 a2－2ab+b2=0. ∴a=b. 答案：a=b=c
14.已知
a1=－
5 12
,an=an－1+
1 n(n
2)
(n∈N*,n≥2),则
an=_________.
解析：an=an－1+
1 n(n
故 n=5,6,7,8,9.
(3)a1S1=64,a2S2=84,a3S3=72,a4S4=40.
当 5≤n≤9 时，anSn≤0.
当 n≥10 时，anSn≥a10S10=100.
因此，96 不是数列{anSn}中的项.
18.(本小题满分
12
分)已知
f(x+1)=x2－4,等差数列{an}中，a1=f(x－1),a2=－
(3
60) 2
×20+
(3
27) 2
×9=765.
16.(本小题满分 10 分)已知一元二次方程 a(b－c)x2+b(c－a)x+c(a－b)=0 有两个相等的实
根，求证： 1 ， 1 ， 1 成等差数列. abc
证明：∵二次方程有等根,
∴Δ =b2(c－a)2－4ac(b－c)(a－b)=0.
A.0
B.37
C.100
D.－37
解析：∵{an}、{bn}为等差数列，∴{an+bn}也为等差数列.设 cn=an+bn,则 c1=a1+b1=100,
而 c2=a2+b2=100,故 d=c2－c1=0.∴c37=100.
答案：C
2.设{an}为等差数列，则下列数列中，成等差数列的个数为 ①{an2} ②{pan} ③{pan+q} ④{nan}(p、q 为非零常数)