工程流体力学第八章--粘性流体绕物体的流动

流动分类
根据工程的实际情况， 流动可分为：内流和外流。 内流 ：如右上图。 外流： 如右下图。
一、实际流体的性质
二、作用在一平面上某点的表面应力
三、通过任一点在三个互相垂直的作用面上的 表面应力
共有九个分量 三个是法向应力 六个是切向应力
第一节 不可压缩粘性流体的运动微分方程
一、微元体的受力分析和运动微分方程的推导
vr v
(r, ) (r, ) p(r, )
v cos (1
v sin (1
p
3 2
3 r0
2r 3 r0
4r r0v r2
1 2
r03 r3
1 4
r03 r3
cos
) )
圆球以很小的速度在静止流体中作等速运动时，在 流场中通过x轴的平面上的流谱如图所示。
前驻点 后驻点
pA
p
3 2
v
2vz z 2
)
如果流动是不可压缩流体，则连续性方程为
vx v y vz 0 x y z
将式（8－6）依次求 2 、p 、2 p ，然2 p后相加，
x 2 y 2 z 2
并结合连续性方程，即得
2 p x 2
2 p y 2
2 p z 2
2
p
0
即蠕动流动的压力场满足拉普拉斯方程。
二、绕球的蠕动流动
广义牛顿定律 定义
p
1 3
x
y
z
三、纳维－斯托克斯方程（简称N－S方程）
dvx dt
fx
1
p x
2vx x 2
2vx y 2
2vx z 2
1 3
x
vx x
v y y
vz z
dvy dt
fy
1
p y
2vy x2
2vy y 2
2vy z 2
1 3
y
vx x
vy y
vz z
作用于微元体各面上的x轴方向的应力
把作用于控制体上x方向的力叠加起来，得到作用 在微元体上的表面力在x方向的分量为：
x dxdydz yx dydxdz zx dzdxdy
x
y
z
x yx zx dxdydz
x y z
作用于微元体各面上的Y、Z轴方向的应力
• 同理，表面力在y方向的分量为：
对于中等雷诺数情况，惯性力 和粘性力都必须保留，此时只能通 过其它途径简化问题，或者利用数 值计算方法求N-S方程的数值解。
对于不可压流体，其连续方程为：
vx v y vz 0 x y z 其运动微分方程为
dvx dt
fx
1
p x
2vx x 2
2vx y 2
2vx z 2
dvy dt
fy
力为理想流体的压强 x y z p
二、本构方程
• 牛顿流体的本构方程：
xy
yx
v y x
vx y
xz
zx
vx
z
vz x
zy
yz
v z y
v y z
x
p
2 3
v 2
v x x
y
p
2 v 2
3
v y y
z
p
2 v 2
3
v z z
据有关文献介绍，能查到的精确解至 今为止只有十几个，而且其中的大部分不 能够直接应用到实际问题中去。
近似解：
小雷诺数情况，此时粘性力较惯性 力大得多。可以全部或部分地忽略惯性 力得到简化的线性方程。
大雷诺数情况，若将粘性力全部略 去，只在贴近物面很薄的一层“边界层” 中考虑粘性的影响，且根据问题的特性， 略去粘性力中的某些项，从而得到简化 的边界层方程（仍的非线性的）。
特点：流动的尺度很小； 流动的速度很小，雷诺数很低。
一、蠕动流动的微分方程
• 对于定常流动，忽略惯性力和质量力，在直角坐标系下， 可把纳维尔―斯托克斯方程组简化成：
p x
(2vx
x 2
2vx y 2
2vx z 2
)
p y
(2vy
x 2
2vy y 2
2vy z 2
)
p z
(2vz
x 2
2vz y 2
p x
fy
1
p y
1 p
f z z
N-S方程的求解条件
初始条件
px,
y,
z,t t 0
p0 x,
y,
z,t
定常流动则无初始条件
流体和固体的交接面 边界条件
流体和流体的交接面
第二节 蠕流
• 蠕流：雷诺数很低的流动。 如：热电厂锅炉炉膛气流中绕煤粉颗粒、油滴 等的流动；滑动轴承间隙中的流动，等等。
1
p y
Baidu Nhomakorabea
2vy x 2
2vy y 2
2vy z 2
dvz dt
fz
1
p z
2vz x 2
2vz y 2
2vz z 2
考虑到拉普拉斯算子：2 2 2 2
x2 y 2 z 2
不可压缩粘性流体的运动方程还可写为：
dvx dt
fx
1
p x
2vx
dvy dt
fy
1
p y
2v
y
dvz dt
fz
1
p z
2vz
写成矢量形式为
dv f 1 p 2 v
dt
• 对理想流动，认为流体无粘性， ，0 这时运动方程简化为
欧拉运动微分方程：
fx
1
p x
dvx dt
fy
1
p y
dvy dt
fz
1
p z
dvz dt
• 当流体静止不动时，V ，0 则运动方程简化为欧拉平衡微分
方程：
fx
1
r0
pB
p
3 2
v
r0
切应力的最大值，发生在C点
c 3v / 2r0
• 球面上的压强和剪切应力也可根据速度分布公式算出，为：
( prr )rr0
( ) r rr0
p 2
vr r
p
(1 vr v0 v ) r r r
3 v
2 r0
3 v
2 r0
cos s in
y zy xy dxdydz
y z x
• 表面力在z方向的分量为：
z xz yz dxdydz
z x y
作用于微元体上的力，除表面力，还有什么力？
质量力
把表面力和质量力应用于牛顿第二定律，化简后移
项有
dvx dt
fx
1
x
x
yx
y
zx
z
dvy dt
fy
1
y
y
zy
dvz dt
fz
1
p z
2vz x 2
2vz y 2
2vz z 2
1 3
z
vx x
vy y
vz z
上式称纳维－斯托克斯（Naver-Stokes）方程，是粘性流 体运动微分方程的又一种形式。
精确解：
N-S方程中的加速度对流项是非线性 项，这使得方程的求解非常困难。对于某 些简单的流动，非线性对流项消失，N-S 方程变为线性方程，用解析的方法求出其 解，这类解称为精确解。
z
xy
x
dvz dt
fz
1
z
z
xz
x
yz
y
这就是微分形式的运动方程。
二、本构方程
本构方程是确立应力和应变率之间关系的方程式。
斯托克斯根据牛顿内摩擦定律，提出了建立 牛顿流体本构方程的三条假定：
1 流体是各向同性的 2 应力分量与变形速度成线性关系 3 当变形速度为零时，切向应力为零，法向应