算法-分治法演示课件

i=1
2
因此，时间复杂度为O(n2)。
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平均情况：设基准记录的关键码第k小(1≤k≤n)，则有：
T (n )=1 n(T (n k)+ T (k 1 )+ )n=2 nT (k)+ n
nk= 1
nk= 1
这是快速排序的平均时间性能，可以用归纳 法证明，其数量级也为O(nlog2n)。
当序列中所有整数均为负整数时，其最大子段和为0。 如，序列(-20, 11, -4, 13, -5, -2)的最大子段和为：4 ak = 20
k=2
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先考虑最大子段和问题的简单算法
最大子段和问题的分治策略是： （1）划分：按照平衡子问题的原则，将序列(a1, a2, …, an)划分成长度相同的两个子序列(a1, …, a n 2 )和(a n 2 ＋1, …, an)，则：
//对应情况①，递归求解 rightsum=MaxSum(a, center+1, right);
//对应情况②，递归求解
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s1=0; lefts=0;
//以下对应情况③，先求解s1
for (i=center; i>=left; i--)
{
lefts+=a[i];
if (lefts>s1) s1=lefts;
13
27
38 50
55
65 49
i
j
i
j
13 27 38 49 50 55 65
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算法4.6——快速排序
void QuickSort(int r[ ], int first, int end)
{ if (first<end) { pivot=Partition(r, first, end); //问题分解，pivot是轴值在序列中的位置 QuickSort(r, first, pivot-1); //递归地对左侧子序列进行快速排序 QuickSort(r, pivot+1, end); //递归地对右侧子序列进行快速排序
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[ r1 … … ri-1 ] ri [ ri+1 … … rn ] 均≤ri 轴值 均≥ri 位于最终位置
❖归并排序按照记录在序列中的位置对序列进行划分， ❖快速排序按照记录的值对序列进行划分。
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以第一个记录作为轴值，对待排序序列进行划分的过程为： （1）初始化：取第一个记录作为基准，设置两个参数i，j；
}
s2=0; rights=0;
//再求解s2
for (j=center+1; j<=right; j++)
{
rights+=a[j];
if (rights>s2) s2=rights;
}
sum=s1+s2;
//计算情况③的最大子段和
if (sum<leftsum) sum=leftsum;
//合并，在sum、leftsum和rightsum中取较大者
快速排序的空间复杂性如何?
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4.3 组合问题中的分治法
4.3.1 最大子段和问题 4.3.2 棋盘覆盖问题 补充： 循环赛日程安排问题
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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 4.3.1 最大子段和问题
子段和给问定题由要n个求整该数序组列成形的如序j列a k 的(a1最, a大2,值…(,1≤ani)≤，j最≤大n)。 k =i
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算法4.5——一次划分
int Partition(int r[ ], int first, int end)
{ i=first; j=end; //初始化 while (i<j)
{
while (i<j && r[i]<= r[j]) j--； //右侧扫描
if (i<j) {
r[i]←→r[j];
分析时 间性能
an
a
=
a
n
2
´ a n 2
34
如果 n = 1 如果 n > 1
32
32
分解问题
31
31
31
31
求解每个子问题
3
3
3
3
9
9
合并子问题的解
81
❖ 不是所有的分治法都比简单的蛮力法更有效。
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4.1.2 数字旋转方阵
问题：输出NN(1N10)数字旋转方阵。
1 20 19 18 17 16 2 21 32 31 30 15 3 22 33 36 29 14 4 23 34 35 28 13 5 24 25 26 27 12 6 7 8 9 10 11
（2）右侧扫描过程：
（3）左侧扫描过程：
（4）重复（2）（3）步，直到i与j指向同一位置，即基准记 录最终的位置。
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一次划分示例
38
55 27
50 13 49
65
i
jj
j
13 27 55 50 38 49 65
i
ii
j
13 27 38 50 55 49 65
ij j j
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r1 … … rn/2 rn/2＋1 … … rn r‘1<… …<r’n/2 r’n/2＋1<… …<r’n
划分 递归处理
r''1<……<r''n/2<r''n/2＋1 <……<r ''n
合并解
举例：8 3 2 6 7 1 5 4
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算法4.3——归并排序
//将较小记录交换到前面
i++;
}
while (i<j && r[i]<= r[j]) i++； //左侧扫描
if (i<j) {
r[j]←→r[i];
//将较大记录交换到后面
j--;
}
} retutn i; // i为轴值记录的最终位置
}
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以轴值为基准将待排序序列划分为两个子序 列后，对每一个子序列分别递归进行排序。
如果子问题的规模仍然不够小，可继续分解下去。
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分治法的求解过程：分-治-合
（1）划分：把规模为n的原问题划分为k个规模较 小的子问题，并尽量使这k个子问题的规模大致相同。
（2）求解子问题：各子问题的解法与原问题的解 法通常是相同的，可以用递归的方法求解各个子问题。
（3）合并：把各个子问题的解合并起来，分治算 法的有效性很大程度上依赖于合并的实现。
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启发式规则：
1. 平衡子问题：最好使子问题的规模大 致相同。 2. 独立子问题：各子问题之间相互独立。
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分治法的典型情况
原问题 的规模是n
子问题1 的规模是n/2
子问题1的解
子问题2 的规模是n/2
子问题2的解
原问题的解
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例：计算an，应用分治技术得到如下计算方法：
r1[k++]=r[j++]; }
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4.3.2 快速排序
快速排序的分治策略是： （1）划分：选定一个记录作为轴值，以轴值为基准 将整个序列划分为两个子序列；
（2）求解子问题：分别对划分后的每一个子序列 递归处理； （3）合并：由于对子序列r1 … ri-1和ri+1 … rn的排序 是就地进行的，所以合并不需要执行任何操作。
}
}
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最好情况:每次划分后把待划分区间划分为长度相等的两个 子序列。 在具有n个记录的序列中，一次划分需要对整个待划分序列 扫描一遍，则所需时间为O(n)。 设T(n)是对n个记录的序列进行排序的时间，则有： T(n)=2 T(n/2)＋n
=2(2T(n/4)＋n/2)＋n＝4T(n/4)＋2n =4(2T(n/8)＋n/4)＋2n＝8T(n/8)＋3n
if (sum<rightsum) sum=rightsum;
}
return sum;
}
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算法的时间性能：对应划分得到的情况①和
②，需要分别递归求解，对应情况③，两个并列 for循环的时间复杂性是O(n)，所以，存在如下递 推式：
T(n)= 2T(n2)1+n
n=1 n>1
从而可得算法4.7的时间复杂性为 O(nlog2n)。
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① a1, …, an的最大子段和＝a1, …,an 2的最大子段和； ② a1, …, an的最大子段和＝an 2＋1, …, an的最大子段和；
j
③ a1, …, an的最大子段和＝ a k ，且 k =i
1 i n 2 ,n 2 + 1 j n
（2）求解子问题：对于划分阶段的情况①和②可递归求解，
sum=0; if (left= =right) { //如果序列长度为1，直接求解
if (a[left]>0) sum=a[left]; else sum=0; } else { center=(left+right)/2; //划分 leftsum=MaxSum(a, left, center);