算法设计与分析答案

1． 按分治策略求解棋盘覆盖问题时，对于如图所示的24×24

的特殊棋盘，共需要多少个L 型骨

牌；并在棋盘上填写L 型骨牌的覆盖情况。

2． 假设有7个物品，给出重量和价值。若这些物品均不能被分割，且背包容量M ＝140，使用回

溯方法求解此0-1背包问题。请画出状态空间搜索树。

3． 假设有7个物品，它们的重量和价值如下表所示。若这些物品均可以被分割，且背包容量M

＝140，使用贪心算法求解此背包问题。请写出求解策略和求解过程。 W （35,30,50,60,40,10,25）p （10,40,30,50,35,40,30）

4． 在给出的电路板中，阴影部分是已作了封锁标记的方格，请按照队列式分支限界法在图中确定

a 到

b 的最短布线方案，要求布线时只能沿直线或直角进行，在图中标出求得最优解时各方格情况。

5． 画出字符表的哈夫曼编码对应的二叉树。

6． 已知1

()*()i

i k k ij r r A a +=，k =1，2，3，4，5，6，r 1=5，r 2=10，r 3=3，r 4=8，r 5=5，r 6=20，r 7=6，求

矩阵链积A 1×A 2×A 3×A 4×A 5×A 6的最佳求积顺序。

7． 给出城市网络图，售货员要从城市1出发，经过所有城市回到城市1，画出该问题的解空间树，

描述出用优先队列式分支限界法求解时的搜索情况。表示出优先队列、当前扩展结点等的变化情况。

8． 依据优先队列式分支限界法，求从s 点到t 点的单源最短路径，画出求得最优解的解空间树。

一、假设有7个物品，它们的重量和价值如下表所示。若这些物品均不能被分割，且背包容量M

＝150，使用回溯方法求解此背包问题。请写出状态空间搜索树（20分）。

答：按照单位效益从大到小依次排列这7个物品为：FBGDECA 。将它们的序号分别记为1～7。则可生产如下的状态空间搜索树。其中各个节点处的限界函数值通过如下方式求得：【排序1分】

x 5x =6x =7x =17分，

每个节点1分】

a ．150115

4040305035190.625

40

-++++⨯=

7(1,1,1,1,

,0,0)

8

b.

150115

4040305030177.560

-++++⨯

=7

(1,1,1,1,0,

,0)12

c ．4040305010170++++= (1,1,1,1,0,0,1)

d. 150105

4040303530167.560-++++⨯

=

3(1,1,1,0,1,

,0)

4

e. 150130

404050353017560

-++++⨯

=

1(1,1,0,1,1,,0)

3

f.

150130

4040503510170.7135

-++++⨯

=

4(1,1,0,1,1,0,)

7

g. 40405030160+++= (1,1,0,1,0,1,0)

h.

150140

4040353010146.8535

-++++⨯

=2(1,1,0,0,1,1,)7

i.150125

4030

503530167.5

60

-++++⨯

=5

(1,0,1,1,1,

,0)12

j. 150145

4030503530157.5

60

-++++⨯

=1(0,1,1,1,1,,0)

12

在Q 1处获得该问题的最优解为(1,1,1,1,0,0,1)，背包效益为170。即在背包中装入物品F 、B 、G 、D 、A 时达到最大效益，为170，重量为150。【结论2分】

一、

已知1

()*()i

i k k ij r r A a +=，k =1，2，3，4，5，6，r 1=5，r 2=10，r 3=3，r 4=12，r 5=5，r 6=50，r 7=6，

求矩阵链积A 1×A 2×A 3×A 4×A 5×A 6的最佳求积顺序。（要求：给出计算步骤）（20分）

答：使用动态规划算法进行求解。 求解矩阵为：【每个矩阵18分】

因此，最佳乘积序列为（A 1A 2）（（A 3A 4）（A 5A 6）），共执行乘法2010次。【结论2分】 二、

假设有7个物品，它们的重量和价值如下表所示。若这些物品均可以被分割，且背包容

量M ＝150，如果使用贪心方法求解此背包问题，请回答：（20分）。

（1） 对各个物品进行排序时，依据的标准都有哪些？

（2） 使用上述标准分别对7个物品进行排序，并给出利用各个顺序进行贪心求解时获得解。 （3） 上述解中哪个是最优的？

答：

（1）标准：重量、价值和单位价值。【3分，每个1分】

（2）使用重量从小到大：FGBAEDC。得到贪心解为：FGBAE全部放入，而D放入20%，得到价值为165。【5分】

使用价值从大到小：DFBEGCA，得到贪心解为：DFBE全部放入，而G放入80%，得到价值为：189。【5分】

使用单位价值从大到小：FBGDECA，得到贪心解为：FBGD全部放入，而E放入87.5%，得到价值为190.625。【5分】

（3）显然使用单位价值作为标准得到的是最优解。【2分】

三、对于下图使用Dijkstra算法求由顶点a到其他各个顶点的最短路径。并给出求各个顶点对之间的最短路径的算法思想。（20分）。

答：三、用V1表示已经找到最短路径的顶点，V2表示与V1中某个顶点相邻接且不在V1中的顶点；E1表示加入到最短路径中的边，E2为与V1中的顶点相邻接且距离最短的路径。【1分】

步骤V1V2E1E2

1.{a} {b} {} {ab}

2.{a,b} {d} {ab} {bd}

3.{a,b,d} {c,f} {ab,bd} {dc,df}

4.{a,b,d,c} {f} {ab,bd} {df}

5.{a,b,c,d,f} {e} {ab,bd,dc,df} {fe}

6.{a,b,c,d,e,f} {g} {ab,bd,dc,df,fe} {eg}

7.{a,b,c,d,e,f,g} {h} {ab,bd,dc,df,fe,eg} {gh}

8.{a,b,c,d,e,f,g,h} {} {ab,bd,de,df,fe,eg,gh} {} 【以上每步2分】

结果：从a到h的最短路径为a b d f e g h

→→→→→→，权值为18。【1分】求所有顶点对之间的最短路径可以使用Dijkstra算法，使其起始节点从a循环到h，每次求起始节点到其他节点的最短路径，最终可以求得所有顶点对之间的最短路径。【2分】