沪教版八年级数学下知识点总结
沪教版 八年级(下)数学 全册知识点复习总结汇编大全
第二十章一次函数一、一次函数的概念（1）一般地，解析式形如y kx b =+（k ，b 是常数，且0k ≠）的函数叫做一次函数；（2）一次函数y kx b =+的定义域是一切实数；（3）当0b =时，解析式y kx b =+就成为y kx =（k 是常数，且0k ≠）这时，y 是x的正比例函数，所以正比例函数是一次函数的特例；（4）一般地，我们把函数y c =（c 为常数）叫做常值函数．它的自变量由所讨论的问题确定．二、一次函数的图像：一般地，一次函数y kx b =+（k ，b 是常数，且0k ≠）的图像是一条直线．一次函数y kx b =+的图像也称为直线y kx b =+，这时，我们把一次函数的解析式y kx b =+称为这一直线的表达式．画一次函数y kx b =+的图像时，只需描出图像上的两个点，然后过这两点作一条直线．三、一次函数的截距：一条直线与y 轴的交点的纵坐标叫做这条直线在y 轴上的截距，简称直线的截距，一般地，直线y kx b =+（0k ≠）与y 轴的交点坐标是(0)b ，，直线y kx b =+（0k ≠）的截距是b ．四、一次函数图像的平移：一般地，一次函数y kx b =+（0b ≠）的图像可由正比例函数y kx =的图像平移得到．当0b >时，向上平移b 个单位；当0b <时，向下平移b 个单位．（函数平移口诀简记为：“上加下减，左加右减”）五、直线位置关系：如果12b b ≠，那么直线1y kx b =+与直线2y kx b =+平行．反过来，如果直线11y k x b =+与直线22y k x b =+平行，那么12k k =，12b b ≠．六、一次函数的增减性：一般地，一次函数y kx b =+（,k b 为常数，0k ≠）具有以下性质：当0k >时，函数值y 随自变量x 的值增大而增大，图像为上升；当0k <时，函数值y 随自变量x 的值增大而减小，图像为下降．七、一次函数图像的位置情况：直线y kx b =+（0k ≠，0b ≠）过(0,)b 且与直线y kx =平行，由直线y kx =在平面直角坐标系内的位置情况可知：（要用图像的平移推导可得）当0k >，且0b >时，直线y kx b =+经过一、二、三象限；当0k >，且0b <时，直线y kx b =+经过一、三、四象限；当0k <，且0b >时，直线y kx b =+经过一、二、四象限；当0k <，且0b <时，直线y kx b =+经过二、三、四象限．八、一元一次方程与一次函数（1）对于一次函数y kx b =+，由它的函数值0y =就得到关于x 的一元一次方程0kx b +=，解这个方程得b x k=-，于是可以知道一次函数y kx b =+的图像与x 轴的交点坐标为(0)b k-，．（2）若已知一次函数y kx b =+的图像与x 轴的交点坐标，也可以知道这个交点的横坐标b x k=-，其就是一元一次方程0kx b +=的根．九、一元一次不等式与一次函数（1）由一次函数y kx b =+的函数值y 大于0（或小于0），就得到关于x 的一元一次不等式0kx b +>（或0kx b +<）的解集．（2）在一次函数m 的图像上且位于x 轴上方（或下方）的所有点，它们的横坐标的取值范围就是不等式0kx b +>（或0kx b +<）的解集．第二十一章代数方程一、二项方程如果一元n 次方程的一边只有含未知数的一项和非零的常数项，另一边是零，那么这样的方程就叫做二项方程，关于x 的一元n 次二项方程的一般形式为：0(00n ax b a b n +=≠≠，，是正整数)．n 为奇数时，方程有且只有一个实数根；n 为偶数时，若0ab <，方程有两个实数根，且这两个根互为相反数；若0ab >，那么方程没有实数根．二、双二次方程（1）一般地，只含有偶数次项的一元四次方程，叫做双二次方程．关于x 的双二次方程的一般形式为420ax bx c ++=（0a ≠，0b ≠，0c ≠）．（2）了解关于x 的双二次方程420ax bx c ++=（0a ≠，0b ≠，0c ≠），可以用新未知数y 代替方程中的2x ，同时用2y 代替4x ，将这个方程转化为关于y 的一元二次方程．20ay by c ++=这种解方程的方法是换元法．（3）整式方程和分式方程统称为有理方程．三、无理方程1、方程中含有根式，且被开方数是含有未知数的代数式，这样的方程叫做无理方程．有理方程和无理方程统称为初等代数方程，简称代数方程．2、解无理方程的一般步骤是去根号，方法是两边同时平方，注意要检验增根的情况．检验方程的增根从两方面出发：（1）根号有意义的条件；（2）方程左右是否相等．四、二元二次方程组1、仅含有两个未知数，各方程是整式方程，并且含有未知数的项的最高次数为2，像这样的方程组叫做二元二次方程组．2、能使二元二次方程左右两边的值相等的一对未知数的值，叫做二元二次方程的解．3、方程组中所含各方程的公共解叫做这个方程组的解．第二十二章四边形一、多边形的概念1、由平面内不在同一直线上的一些线段首尾顺次联结所组成的封闭图形叫做多边形．2、组成多边形的每一条线段叫做多边形的边；相邻的两条线段的公共端点叫做多边形的顶点．3、多边形相邻两边所在的射线组成的角叫做多边形的内角．4、联结多边形的两个不相邻顶点的线段，叫做多边形的对角线．5、对于一个多边形，画出它的任意一边所在的直线，如果其余各边都在这条直线的一侧，那么这个多边形叫做凸多边形；否则叫做凹多边形．6、多边形内角和定理：n边形的内角和等于(2)180n-⋅︒．7、由多边形的一个内角的一边和另一边的反向延长线组成的角，叫做多边形的外角．8、对多边形的每一个内角，从与它相邻的两个外角中取一个，这样取得的所有外角的和，叫做多边形的外角和．9、多边形的外角和等于360°．二、平行四边形1、平行四边形的概念两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．平行四边形用符号“ ”表示，如： ABCD．2、平行四边形性质定理：①如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两组对边分别相等．简述为：平行四边形的对边相等．②如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两组对角分别相等．简述为：平行四边形的对角相等．③如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两条对角线互相平分．简述为：平行四边形的两条对角线互相平分．④平行四边形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点．⑤推论：夹在两条平行线间的平行线段相等．3、平行四边形判定定理：①如果一个四边形的两组对边分别相等，那么这个四边形是平行四边形．简述为：两组对边分别相等的四边形是平行四边形．②如果一个四边形的一组对边平行且相等，那么这个四边形是平行四边形．简述为：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．③如果一个四边形的两条对角线互相平分，那么这个四边形是平行四边形．简述为：对角线互相平分的四边形是平行四边形．④如果一个四边形的两组对角分别相等，那么这个四边形是平行四边形．简述为：两组对角分别相等的四边形是平行四边形．三、矩形1.定义：有一个内角是直角的平行四边形叫做矩形．注意：矩形的定义既是矩形的基本性质，也是判定矩形的基本方法．2.矩形的性质：矩形除具有平行四边形的一切性质外，还有一些特殊性质．(1)矩形的四个角都是直角；(2)矩形的两条对角线相等．注意：(1)矩形是特殊的平行四边形，因而也是中心对称图形．过对称中心的任意直线可将矩形分成完全全等的两部分．(2)矩形也是轴对称图形，有两条对称轴(分别是通过对边中点的直线)．对称轴的交点就是对角线的交点(即对称中心)．3.矩形的判定：矩形的判定定理1：有三个内角是直角的四边形是矩形．矩形的判定定理2：对角线相等的平行四边形是矩形．四、菱形1.定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．2.菱形的性质：菱形除具有平行四边形的一切性质外，还有一些特殊性质：(1)菱形的四条边都相等；(2)菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．注意：(1)菱形是特殊的平行四边形，是中心对称图形，过中心的任意直线可将菱形分成完全全等的两部分；(2)菱形也是轴对称图形，有两条对称轴(对角线所在的直线)，对称轴的交点就是对称中心；(3)菱形的面积有两种计算方法：一种是平行四边形的面积公式：=S 底×高；另一种是两条对角线乘积的一半(即四个小直角三角形面积之和)．实际上，任何一个对角线互相垂直的四边形的面积都是两条对角线乘积的一半．3.菱形的判定：菱形的判定定理1：四条边都相等的四边形是菱形．菱形的判定定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．五、正方形1.定义：有一组邻边相等并且有一个内角是直角的平行四边形叫做正方形．2.正方形与矩形、菱形的关系：矩形邻边相等正方形菱形一个角是直角正方形3.正方形的性质定理：正方形即是矩形又是菱形，因而它具备两者所有的性质．性质定理1：正方形的四个角都是直角；正方形的四条边都相等．性质定理2：正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角．4.正方形的判定定理：判定定理1：有一组邻边相等的矩形是正方形．判定定理2：有一个内角是直角的菱形是正方形．六、梯形及梯形的有关概念（1）梯形：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形．底：平行的两边叫做底，其中较长的是下底，较短的叫上底．腰：不平行的两边叫做腰．高：梯形两底之间的距离叫做高．（2）特殊梯形:⎩⎨⎧梯形叫做等腰梯形．等腰梯形：两腰．底的梯形叫做直角梯形直角梯形：一腰垂直于特殊梯形相等的思考讨论：若上面两个条件同时成立是否是梯形?交流：如果同时具备直角梯形和等腰梯形的特征，那么该图形是矩形．（3）等腰梯形性质等腰梯形性质定理1：等腰梯形在同一底上的两个内角相等．等腰梯形性质定理2：等腰梯形的两条对角线相等．另外：等腰梯形是轴对称图形；（4）等腰梯形判定等腰梯形判定定理1：在同一底边上的两个内角相等的梯形是等腰梯形．等腰梯形判定定理2：对角线相等的梯形是等腰梯形．（5）解决梯形问题常用的方法:①作高法：使两腰在两个直角三角形中；②移腰法：使两腰在同一个三角形中，梯形两个下底角是互余的，那么一般会用到这种添辅助线的方式，构造直角三角形；③延腰法：构造具有公共角的两个等腰三角形；④等积变形法：联结梯形上底一端点和另一腰中点，并延长与下底延长线交于一点，构成三角形；⑤移对角线法：平移对角线，构造特殊的图形，如平行四边形，如果是对角线互相垂直的等腰梯形，那么在平移的过程中，还可构造等腰直角三角形，结合三线合一，求梯形的高等．七、梯形及三角形中位线1.三角形的中位线定义：联结三角形两边中点的线段，(强调它与三角形的中线不同)；2.三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半.3.梯形中位线定理：梯形的中位线平行于底边，并且等于两底和的一半.【要点点拨】经过三角形的一边中点作另一边的平行线，也可以证明得到的平行线段为中位线.同样地，从梯形的一腰中点作底的平行线，可以证明得到的平行线段为中位线.如果把三角形看成是一个上底长度是一个上底长度为零的特殊的梯形的话，那么三角形中位线定理就成为梯形中位线定理的特例了．八、平面向量的概念1、规定了有方向又有长度的线段叫做有向线段．2、向量：既有大小又有方向的量叫做向量．向量的大小也叫做向量的长度．（或向量的模）3、向量的表示：（1）向量可以用有向线段直观表示：①有向线段的长度表示向量的长度；②有向线段的方向表示向量的方向．（2）常见的表示方法：①向量AB ，长度记为AB ；②向量a 、b 、c ，长度记为a 、b 、c ．4、相等的向量：方向相同且长度相等的两个向量叫做相等的向量．5、相反的向量：方向相反且长度相等的两个向量叫做互为相反的向量．6、平行向量：方向相同或相反的两个向量叫做平行向量．十、平面向量的加法1、向量的加法：求两个向量的和向量的运算叫做向量的加法．2、零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作0 ．规定0 的方向可以是任意的（或者说不确定）；00= ．因此，两个相反向量的和向量是零向量，即：()0a a +-= ．对于任意向量，都有0a a += ，0a a += ．3、向量的加法满足交换律：a b b a +=+ ．4、向量的加法满足结合律：()()a b c a b c ++=++ ．5、向量加法的三角形法则求不平行的两个向量的和向量时，只要把第二个向量与第一个向量首尾相接，那么以第一个向量的起点为起点、第二个向量的终点为终点的向量就是和向量．6、向量加法的多边形法则几个向量相加，可把这几个向量首尾顺次相接，那么以第一个向量的起点为起点、最后一个向量的终点为终点的向量，就是这几个向量的和向量．十一、平面向量的减法1、向量的减法已知两个向量的和及其中一个向量，求另一个向量的运算叫做向量的减法．减去一个向量等于加上这个向量的相反向量，即：()a b a b -=+- ．2、向量减法的三角形法则在平面内取一点，以这个点为公共起点作出这两个向量，那么它们的差向量是以减向量的终点为起点，被减向量的终点为终点的向量．3、向量加法的平行四边形法则如果a ，b 是两个不平行的向量，那么求它们的和向量时，可以在平面内任取一点为公共起点作两个向量与a ，b 相等，以这两个向量为邻边作平行四边形，然后以所取的公共起点为起点，作这个平行四边形的对角线向量，则这一对角线向量就是a ，b 的和向量，这个法则叫做向量加法的平行四边形法则．4、另外一个对角线向量，即是a ，b 的差向量，这个差向量与被减向量共终点．第二十三章概率初步一、事件的分类1、事件分为确定事件和随机事件2、其中确定事件包括必然事件和不可能事件（1）必然事件：在一定条件下，必定出现的现象叫做必然事件．例如，在标准大气压下，水加热到100℃就要沸腾是必然事件．（2）不可能事件：在一定条件下，必定不出现的现象叫做不可能事件．例如，同性电互相吸引就是不可能事件．必然事件的反面是不可能事件．必然事件和不可能事件统称为确定事件．（3）随机事件：在一定条件下，可能出现也可能不出现的现象叫做随机事件，也称为不确定事件．例如，“掷一枚硬币出现正面”，“某人射击一次中靶”，“检查某件产品合格”等都是随机事件．一个事件中描述的现象“出现”，就说这个事件“发生”．一个确定事件是发生还是不发生，答案是确定的；而一个随机事件是发生还是不发生，具有不确定性．3、区分必然事件、不可能事件、随机事件的要点：“必定”发生——每次一定发生，不可能不发生．“必定”不发生——每次都完全没有机会发生．“可能”发生——有时会发生，有时不会发生．注意：①随机事件发生的可能性有大小差别，我们可以根据事件发生的条件或有关经验、资料等，对事件发生的可能性大小作出大致的判断，并进行定性的描述．②各种事件发生的可能性大小有不同，可以根据我们的经验来判断一些随机事件发生的可能性的大小并排出大小顺序．一般，我们常用“一定发生”、“很有可能发生”、“可能发生”、“不太可能发生”、“一定不会发生”等词语来表述事件发生的可能性大小．二、事件的概率概率是概率论中最基本的概念．在大量重复地进行同一试验时，事件A发生的频率总是接近于某个常数，在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件A的概率，记做()P A．它可以看作是频率在理论上的期望值．不同的随机事件发生的可能性大小是不相同的，概率是用来表示随机事件发生的可能性大小的一个量．等可能事件的概率一般可以通过大量重复试验求得其近似值．随机事件在一次试验中是否发生虽然不能事先确定，但在大量重复试验的情况下，它的发生却能呈现出一定的规律性．-11-但对于某些随机事件，也可以不通过重复试验，只通过一次试验中可能出现的结果的分析来计算其概率．对于某些随机试验来说，每次试验后可能产生若干不同的试验结果，而出现所有这些不同结果的可能性是相等的．一般说来，如果一次试验中共有n 种等可能出现的结果，其中事件A 包含的结果有k 种，那么事件A 的概率()=k P A n=事件A包含的可能结果数所有的可能结果总数．用来表示某事件发生的可能性大小的数叫做这个事件的概率．用符号P 来表示．概率从数量上刻画了一个随机事件发生的可能性的大小．不可能事件必定不发生，规定用“0”作为不可能事件的概率；而必然事件必定发生，就规定用“1”作为必然事件的概率．这样随机事件的概率，就是大于0且小于1的一个数，通常可以写成纯小数、百分数或真分数.由于任何事件A 发生的次数k 总不能大于试验的次数n ，因此随机事件的概率()P A 满足0()1P A ≤≤．概率越大，表明事件发生的可能性越大；概率越小，表明事件发生的可能性越小．人们通常对随机事件进行大量的反复试验来研究概率，一般地，次数大的试验，事件发生的频率才接近概率．。
沪教版八年级下册数学 第二十一章 《代数方程》全章复习与巩固 知识讲解(提高)
《代数方程》全章复习与巩固知识讲解（提高）【学习目标】1．知道一元整式方程与高次方程的有关概念，知道一元整式方程的一般形式. 理解含字母系数的一元一次方程、一元二次方程的概念，掌握它们的基本解法.2．理解和掌握二项方程的意义以及二项方程的解法,理解双二次方程的意义，了解高次方程求解的基本方法是降次，会用换元法把双二次方程转化为一元二次方程；学会判断双二次方程的根的个数.3．会用“换元法”解特殊的分式方程（组）.4．理解无理方程的概念，会识别无理方程，知道有理方程及代数方程的概念，领会无理方程“有理化”的化归思想. 会解简单的无理方程（方程中只含一个或两个关于未知数的二次根式）.5．知道二元二次方程的概念和二元二次方程组的概念.6．掌握由“代入法”解由一个二元一次方程和二元二次方程组成的方程组；掌握用“因式分解法”解由两个二元二次方程组成的方程组.7．能熟练地列出方程组解应用题.并能根据具体问题的实际意义，检查结果是否合理.通过将实际生活中的问题抽象为方程模型，让学生形成良好思维习惯，学会从数学角度提出问题、理解问题.运用所学知识解决问题，发展应用意识，体会数学的情感与价值.【知识网络】【要点梳理】要点一、整式方程1. 一元整式方程：如果方程中只有一个未知数且两边都是关于未知数的整式,这个方程叫做一元整式方程;2.一元n次方程：一元整式方程中含未知数的项的最高次数是n(n是正整数),这个方程叫做一元n次方程.3.一元高次方程：一元整式方程中含有未知数的项的最高次数是n，若次数n是大于2的正整数，这样的方程统称为一元高次方程.要点诠释：一元高次方程应具备：整式方程;只含一个未知数;含未知数的项最高次数大于2次.4.二项方程概念：如果一元n次方程的一边只有含未知数的一项和非零的常数项，另一边是零，那么这样的方程就叫做二项方程.要点诠释：注：①nax=0（a≠0）是非常特殊的n次方程，它的根是0.②这里所涉及的二项方程的次数不超过6次.5.解的情况：当n为奇数时，方程有且只有一个实数根，x=；当n为偶数时，如果ab<0，那么方程有两个实数根，且这两个根互为相反数；如果ab>0，那么方程没有实数根.6.双二次方程概念：只含有偶数次项的一元四次方程.要点诠释：当常数项不是0时，规定它的次数为0.7.解双二次方程的常用方法：因式分解法与换元法（目的是降次，使它转化为一元一次方程或一元二次方程）通过换元，把双二次方程转化为一元方程体现了“降次”的策略.要点诠释：解高于一次的方程，基本思想就是“降次”，对有些高次方程，可以用因式分解的方法降次.用因式分解的方法时要注意：一定要使方程的一边为零，另一边可以因式分解.要点二、分式方程1.分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程.要点诠释：（1）分式方程的重要特征：①是等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知数.（2）分式方程和整式方程的区别就在于分母中是否有未知数（不是一般的字母系数）.分母中含有未知数的方程是分式方程，分母中不含有未知数的方程是整式方程.（3）分式方程和整式方程看联系：分式方程可以转化为整式方程.2.分式方程的解法1、解分式的基本思想：将分式方程转化为整式方程.转化方法是方程两边都乘以最简公分母，去掉分母.在去分母这一步变形时，有时可能产生使最简公分母为零的根，这种根叫做原方程的增根.因为解分式方程时可能产生增根，所以解分式方程时必须验根.2、解分式方程的一般步骤：（1）方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：当分母是多项式时，先分解因式，再找出最简公分母）；（2）解这个整式方程，求出整式方程的解；（3）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解.要点诠释：1、熟练掌握用“去分母”法求解分式方程的方法.2、了解用“换元法”解特殊的分式方程（组）.3、领会分式方程“整式化”的化归思想和方法.3.解分式方程产生增根的原因方程变形时，可能产生不适合原方程的根，这种根叫做原方程的增根.产生增根的原因：去分母时，方程两边同乘最简公分母是含有字母的式子，这个式子有可能为零，对于整式方程来说，求出的根成立，而对于原分式方程来说，分式无意义，所以这个根是原分式方程的增根. 要点诠释：（1）增根是在解分式方程的第一步“去分母”时产生的.根据方程的同解原理，方程的两边都乘以（或除以）同一个不为0的数，所得方程是原方程的同解方程.如果方程的两边都乘以的数是0，那么所得方程与原方程不是同解方程，这时求得的根就是原方程的增根.（2）解分式方程一定要检验根，这种检验与整式方程不同，不是检查解方程过程中是否有错误，而是检验是否出现增根，它是在解方程的过程中没有错误的前提下进行的.要点三、无理方程1.无理方程：方程中含有根式，且被开方数是含有未知数的代数式，这样的方程叫做无理方程.要点诠释：简单说，根号下含有未知数的方程，就是无理方程．2.有理方程：整式方程和分式方程统称为有理方程.3.代数方程：有理方程和无理方程统称为代数方程.要点诠释：代数方程的共同点是：其中对未知数所涉及的运算是加、减、乘、除、乘方、开方等基本运算.4.含有一个根式（根式内有未知数的）的无理方程的解题步骤：①移项，使方程左边是含未知数的根式，其余都移到另一边；②两边同时乘方（若二次根式就平方，三次根式就立方）得整式方程；③解整式方程；④验根；⑤写答案.要点诠释：解简单无理方程的一般步骤，用流程图表示为：5.含有两个根式（根式内含有未知数）的无理方程的解题步骤：①移项，使方程等式的左边只含一个根式，其余移到另一边；②两边同时平方，得到只含有一个根式的无理方程；以下与1步骤相同.要点诠释：解无理方程的关键在于把它转化为有理方程，转化的基本方法是对方程两边同时乘方从而去掉根号，对于简单的无理方程，可通过“方程两边平方”来实施.要点四、二元二次方程组1. 二元二次方程定义：仅含有两个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫做二元二次方程.要点诠释：22ax bxy cy dx ey f o +++++=（a 、b 、c 、d 、e 、f 都是常数，且a 、b 、c 中至少有一个不为零），其中22,,ax bxy cy 叫做这个方程的二次项，a 、b 、c 分别叫做二次项系数，,dx ey 叫做这个方程的一次项，d 、e 分别叫做一次项系数，f 叫做这个方程的常数项.2.二元二次方程的解能使二元二次方程左右两边的值相等的一对未知数的值，叫做二元二次方程的解.要点诠释：二元二次方程有无数个解；二元二次方程的实数解的个数有多种情况.3.二元二次方程组概念：仅含有两个未知数，各方程都是整式方程，并且含有未知数的项的最高次数为2，这样的方程组叫做二元二次方程组.要点诠释：不能认为由两个二元二次方程组成的方程组才叫二元二次方程组，由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组，也是二元二次方程组.4. 二元二次方程组的解:方程组中所含各方程的公共解叫做这个方程组的解.1. 代入消元法代入消元法解“二·一”型二元二次方程组的一般步骤：①把二元一次方程中的一个未知数用另一个未知数的代数式表示；②把这个代数式代入二元二次方程，得到一个一元二次方程；③解这个一元二次方程，求得未知数的值；④把所求得的未知数的值分别代入二元一次方程，求得另一个未知数的值；⑤所得的一个未知数的值和相应的另一个未知数的值分别组在一起，就是原方程组的解； ⑥写出原方程组的解.要点诠释：（1）解一元二次方程、分式方程和无理方程的知识都可以运用于解“二·一”型方程组；（2）“二·一”型方程组最多有两个解，要防止漏解和增解的错误.2. 因式分解法(1) 当方程组中只有一个可分解为两个二元一次方程的方程时，可将分解得到的两个二元一次方程分别与原方程组中的另一个二元二次方程组成两个“二·一”型方程组，解得这两个“二·一”型方程组，所得的解都是原方程组的解.(2) 当方程组中两个二元二次方程都可以分解为两个二元一次方程时，将第一个二元二次方程分解所得到的每一个二元一次方程与第二个二元二次方程分解所得的每一个二元一次方程组成新的方程组，可得到四个二元一次方程组，解这四个二元一次方程组，所得的解都是原方程组的解.5.方程（组）的应用应用二元二次方程组解应用题的一般步骤：（1）审题；（2）设未知数（2个）；（3）列二元二次方程组；（4）解方程组；（5）检验是否是方程的解以及是否符合实际；（6）写出答案.要点诠释：一定要检验一下结果是否符合实际问题的要求.【典型例题】类型一、方程的判断1．下列方程中，哪些是二元二次方程？是二元二次方程的请指出它的二次项、一次项和常数项.2222(1) 1 ; (2)320;1(3)20 ; (4)3 1.x y y y y x x y xy+=-+=+-=++= 【思路点拨】该题主要依据二元二次方程的定义.【答案与解析】（1）是，二次项2x 、一次项y ，常数项-1.（2）不是，因为只含一个未知数.（3）不是，因为不是整式方程.（4）不是，因为不含二次项.【总结升华】对于二元二次方程的定义要加深全面的理解．举一反三：【变式】（2015秋•黄浦区期中）在方程2x 2﹣3x=4，xy=1，x 2﹣4y 2=9，中，是二元二次方程的共有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个【答案】B.解：2x 2﹣3x=4是一元二次方程；xy=1，x 2﹣4y 2=9是二元二次方程；是分式方程．故是二元二次方程的只有：xy=1，x 2﹣4y 2=9．故选B ．2．（2016春•上海校级月考）下列关于x 的方程中，无理方程是（ ）A ．B ．C ．D ．+2x=7 【思路点拨】根号下含有未知数的方程是无理方程，依据定义即可作出判断．【答案】C ．【解析】解：A 、x 2+x+1=0是一元二次方程，选项错误；B 、x+1=0是一元一次方程，选项错误；C 、+=0是无理方程，选项正确；D 、+2x=7是关于x 的一元一次方程，选项错误．故选C ．【总结升华】本题考查了无理方程的定义，无理方程与整式方程的区别在于被开方数中是否含有未知数，理解定义是关键．举一反三：【变式】（2015春•闵行区期末）已知下列关于x 的方程：①；②+1=0；③+2x=7；④﹣7=0；⑤+=2；⑥﹣=．其中，是无理方程的有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】B.解：①根号内不含未知数，所以，不是无理方程；故本项不符合题意；②根号内含未知数，所以，是无理方程；故本项符合题意；③根号内不含未知数，所以，不是无理方程；故本项不符合题意；④根号内含未知数，所以，是无理方程；故本项符合题意；⑤根号内含未知数，所以，是无理方程；故本项符合题意；⑥根号内不含未知数，所以，不是无理方程；故本项不符合题意；所以，②④⑤是无理方程；故选B．类型二、判断方程解的情况3．（2016春•上海校级月考）下列关于x的方程中，一定有实数根的是（）A． B．x2+x+1=0 C． D．【思路点拨】根据表示a的算术平方根，一定是非负数，以及一元二次方程根的判别式即可作出判断．【答案】C．【解析】解：A、≥0，4＞0，则原式一定不成立，则方程没有实数根，选项错误；B、a=1，b=1，c=1，则△=b2﹣4ac=1﹣4=﹣3＜0，则方程无实数根，选项错误；C、当x=0时，=﹣x一定成立，即方程有实数根0，选项正确；D、≥0，≥0，则+≥0，因而+=﹣1一定不成立，没有实数根，选项错误．故选C．【总结升华】本题考查了算术平方根的定义以及一元二次方程根的判别式，理解任何非负数的算术平方根是非负数是关键．举一反三：【变式】（2016春•南京校级月考）下列方程中，有实数根的是（）A．x2﹣3x+5=0 B．C． D．【答案】C．解：A、△=9﹣20=﹣11＜0，方程没有实数解，所以A选项错误；B、方程=﹣1没有实数解，所以B选项错误；C 、解得x=﹣1，正确；D 、去分母得x=1，经检验x=1是不是原方程的解，所以D 选项错误；故选C ．类型三、解方程4. 解关于x 的方程：1mx nx -=【思路点拨】解含字母系数的方程时，先化为最简形式ax b =，再考虑有解、无解、无穷多解的模式.然后进行分类讨论．【答案与解析】原方程可化为：()1m n x -=当0m n -≠，即m n ≠时，方程有唯一解为：1x m n=-； 当0m n -=，即m n =时，方程无解．【总结升华】解含字母系数的方程时，先化为最简形式ax b =，再根据x 系数a 是否为零进行分类讨论． 举一反三：【变式】若关于x 的方程(k-4)x =6有正整数解，求自然数k 的值.【答案】解：∵原方程有解，∴ 40k -≠原方程的解为：64x k =-为正整数，∴4k -应为6的正约数，即4k -可为：1，2，3，6 ∴k 为：5，6，7，10答：自然数k 的值为：5，6，7，105.（2016春•长宁区期末）解方程：2220383x x x x +-=+． 【思路点拨】根据换元法，设213u x x=+，可得关于u 的分式方程，根据解方程，可得答案． 【答案与解析】解：设213u x x =+，则原方程化为：1208u u-=， 解得：1211102u ,u ==-， 当110u =时，2310x x +=，解得：1252x ,x =-=，经检验1252x ,x =-=是原分式方程的解； 当12u =-时，232x x +=-，解得：12317317x -+--==，经检验12317317x ,x -+--==是原分式方程的解； 所以原方程的解为：1252x ,x =-=，3431731722x ,x -+-==．【总结升华】本题考查了解分式方程的应用，能正确换元是解此题的关键，难度适中．6. 解方程 223152512x x x x ++++=【答案与解析】 251x x y ++=，则2222513153(1)x x y x x y ++=⇒+=-原方程可化为：23(1)22y y -+=，即23250y y +-=，解得：1y =或53y =-．(1)当1y =225115010x x x x x x ++=⇒+=⇒=-=或；(2)当53y =-2510x x y ++=≥，所以方程无解．检验：把1,0x x =-=分别代入原方程，都适合． 所以，原方程的解是1,0x x =-=．【总结升华】本题若直接平方，会得到一个一元四次方程，难度较大．注意观察方程中含未知数的二次根式与其余有理式的关系，可以发现：2231533(51)x x x x ++=++．因此，251x x y ++=，这样就可将原方程先转化为关于y 的一元二次方程进行处理．举一反三： 【变式】解方程()223323532x x x x +-+=+ 【答案】解：原方程变形为，22352354022x x x x -++-+=， 2235x x -+，则23522x x -+=22y ， 则方程可化为，22y +y-4=0, 整理得，2280y y +-=，解得，122,4,y y ==-当y=22235x x -+，解得，1211,2x x ==； 当y=-42235x x -+=-4，无解. 经检验，1211,2x x ==都是原方程的解，所以原方程的解为1211,2x x ==. 7、解方程49324492x x x x +-=+. 【答案与解析】解：设494x y x +=，则214+9x x y=， 原方程可化为，y-1y =32, 整理得，22320y y --=，解得，12,y =21,2y =-当y=2时，492,4x x +=解得，x=34； 当y=－12时，491,42x x +=-无解； 经检验，x=34是原方程的解， 所以原方程的解为x=34. 【总结升华】本题中494x x +与24+9x x 之间互为倒数，采用倒数换元法是本题的最佳选择. 举一反三：【变式】（杨浦区校级期中）解方程：4x 2﹣10x+=17． 【答案】解：方程变形为2（2x 2﹣5x+2）﹣﹣21=0 设=t ，则原方程转化为2t 2+t ﹣21=0，（t ﹣3）（2t+7）=0，解得t 1=3，t2=﹣，当t=3时，=3，则2x 2﹣5x+2=9， 整理得2x 2﹣5x ﹣7=0，解得x 1=，x 2=﹣1；当t=﹣时，=﹣，则方程无解，经检验原方程的解为x 1=，x 2=﹣1．类型四、解方程组 8. 解方程组【答案与解析】解：设1=+u x y ，1=-v x y，则原方程组可化为 80+42=7,40+70=7.u v u v ⎧⎨⎩解得 1=,201=.14u v ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩ 于是，得 11=,+2011=.-14x y x y ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩ 因此 +=20,-=14.x y x y ⎧⎨⎩解得 =17,=3.x y ⎧⎨⎩检验：把x=17，y=3代入原方程组中所含各分式的分母，各分母的值都不为零. 所以，原方程组的解是=17,=3.x y ⎧⎨⎩【总结升华】本题中直接去分母解比较麻烦，通过观察发现两个方程所含的分式的分母分别是x+y 和x-y ，所以想到“换元”，设1=+u x y ，1=-v x y，则原方程得以简化. 【变式】解方程组11 (1)28 (2)x y xy +=⎧⎨=⎩【答案与解析】根据一元二次方程的根与系数的关系，把x 、y 看成是方程211280z z -+=的两根，解方程得：4z =或z=7．∴ 原方程组的解是：1147x y =⎧⎨=⎩或2274x y =⎧⎨=⎩．【总结升华】本题可以用代入消元法解方程组，但注意到方程组的特点，可以把x 、y 看成是方程211280z z -+=的两根，则更容易求解． (1) 对于这种对称性的方程组x y a xy b+=⎧⎨=⎩，利用一元二次方程的根与系数的关系构造方程时，未知数要换成异于x 、y 的字母，如z ． (2) 对称形方程组的解也应是对称的，即有解47x y =⎧⎨=⎩，则必有解74x y =⎧⎨=⎩． 9.（2016•黄浦区二模）解方程式：．【答案与解析】解：由②可得，（x+y ）（x ﹣5y ）=0，即x+y=0或x ﹣5y=0，∴x=﹣y 或x=5y ，当x=﹣y 时，把x=﹣y 代入①，得：2y 2=26， 解得：y=±， 故方程组的解为：或； 当x=5y 时，把x=5y 代入①，得：25y 2+y 2=26，解得：y=±1， 故方程组的解为：或； 综上，该方程组的解为：或或或．【总结升华】本题主要考查解高次方程的能力，解高次方程的根本思想是化归思想，次数较高可通过因式分解再代入等方法降幂求解即可．类型五、应用10.（2016•黄埔区模拟）甲乙两人各加工30个零件，甲比乙少用1小时完成任务；乙改进操作方法，使生产效率提高了一倍，结果乙完成30个零件的时间比甲完成24个零件所用的时间少1小时．问甲乙两人原来每小时各加工多少个零件．【思路点拨】设甲乙两人原来每小时各加工零件分别为x 个、y 个，根据各加工30个零件甲比乙少用1小时完成任务，改进操作方法之后，乙完成30个零件的时间比甲完成24个零件所用的时间少1小时，列方程组求解．【答案与解析】解：设甲乙两人原来每小时各加工零件分别为x个、y个，由题意得，，解得：．经检验它是原方程的组解，且符合题意．答：甲乙两人原来每小时各加工零件分别为6个、5个．【总结升华】本题考查了二元一次方程组和分式方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组求解，注意检验．举一反三：【变式】甲、乙二人同时从张庄出发，步行15千米到李庄．甲比乙每小时多走1千米，结果比乙早到半小时．二人每小时各走几千米？【答案与解析】解：设乙每小时走x千米，那么甲每小时走（x+1）千米，根据题意，得去分母，整理，得 x2+x-30=0．解这个方程，得 x1=5，x2=-6．经检验，x1=5，x2=-6都是原方程的根．但速度为负数不合题意，所以只取x=5，这时x+1=6．答：甲每小时走6千米，乙每小时走5千米．【总结升华】本题当中要特别注意理解“甲结果比乙早到半小时”这句话，说明乙用的时间长，要在乙的时间上减去12小时，才和甲所用的时间相等.11.k为何值时，方程组.（1）有两组相等的实数解；（2）有两组不相等的实数解；（3）没有实数解.【答案与解析】解：将(2)代入(1)，整理得k2x2+(2k-4)x+1=0 (3)（1）当时，方程(3)有两个相等的实数根.即解得：，∴k=1.∴当k=1时，原方程组有两组相等的实数根.（2）当时，方程(3)有两个不相等的实数根.即解得：，∴k<1且k ≠0.∴当k<1且k ≠0时，原方程组有两组不等实根.（3）①若方程(3)是一元二次方程，无解条件是 ，即解得：， ∴k ＞1.②若方程(3)不是二次方程，则k=0，此时方程(3)为-4x+1=0，它有实数根x=. 综合①和②两种情况可知，当k>1时，原方程组没有实数根.【总结升华】因为在（1）、（2）中已知方程组有两组解，可以确定方程(3)是一元二次方程，但在（3）问中不能确定方程(3)是否是二次方程，所以需要分两种情况讨论.使用判别式“Δ”的前提条件是能确定方程为一元二次方程，不是一元二次方程不能使用Δ.12. 求直角坐标平面内到()()0,15,0,9P Q -的距离都等于15的点的坐标．【答案与解析】解：设满足题意的点为A(x,y)，由题意得，2222(15)15(9)15x y x y ⎧+-=⎪⎨++=⎪⎩， 解得，93x y =⎧⎨=⎩或93x y =-⎧⎨=⎩， 经检验，两组都是方程组的解，所以A （9,3）或A （-9,3）.答：直角坐标平面内到()()0,15,0,9P Q -的距离都等于15的点的坐标为（9,3）或（-9,3）.。
沪教版八年级数学下知识点总结
沪科版八年级数学下知识点总结二次根式知识点：知识点一：二次根式的概念形如（）的式子叫做二次根式。
注：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以是为二次根式的前提条件，如，，等是二次根式，而，等都不是二次根式。
知识点二：取值范围1. 二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a≧0时，有意义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。
2. 二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a﹤0时，没有意义。
知识点三：二次根式（）的非负性（）表示a的算术平方根，也就是说，（）是一个非负数，即0（）。
注：因为二次根式（）表示a的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0，所以非负数（）的算术平方根是非负数，即0（），这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。
这个性质在解答题目时应用较多，如若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0。
知识点四：二次根式（）的性质（）文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。
注：二次根式的性质公式（）是逆用平方根的定义得出的结论。
上面的公式也可以反过来应用：若，则，如：，.知识点五：二次根式的性质文字语言叙述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。
注：1、化简时，一定要弄明白被开方数的底数a是正数还是负数，若是正数或0，则等于a本身，即；若a是负数，则等于a的相反数-a,即；2、中的a的取值范围可以是任意实数，即不论a取何值，一定有意义；3、化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简。
知识点六：与的异同点1、不同点：与表示的意义是不同的，表示一个正数a的算术平方根的平方，而表示一个实数a的平方的算术平方根；在中，而中a可以是正实数，0，负实数。
但与都是非负数，即，。
因而它的运算的结果是有差别的，，而2、相同点：当被开方数都是非负数，即时，=；时，无意义，而.知识点七：二次根式的性质和最简二次根式如：不含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有√2、√3、√a（a≥0）、√x+y 等；含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有√4、√9、√a^2、√（x+y）^2、√x^2+2xy+y^2等（3）最终结果分母不含根号。
上海沪教版八年级数学上下册知识点梳理完整版
上海沪教版八年级数学上下册知识点梳理 HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】上海市沪教版八年级数学上下册知识点梳理第十六章 二次根式第一节 二次根式的概念和性质二次根式1．二次根式的概念: 式子)0(≥a a 叫做二次根式．注意被开方数只能是正数或0。
2．二次根式的性质 ①⎩⎨⎧≤-≥==)0()0(2a a a a a a ； ②)0()(2≥=a a a ③)0,0(≥≥⋅=b a b a ab ； ④)0,0(>≥=b a ba b a 最简二次根式与同类二次根式1. 被开方数所含因数是整数，因式是整式，不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．2.化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式，叫做同类二次根式二次根式的运算1.二次根式的加减:先把各个二次根式化成最简二次根式，再把同类三次根式分别合并．2.二次根式的乘法:等于各个因式的被开方数的积的算术平方根，即 ).0,0(≥≥=⋅b a ab b a3.二次根式的和相乘，可参照多项式的乘法进行．两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，那么这两个三次根式互为有理化因式．4.二次根式相除，通常先写成分式的形式，然后分子、分母都乘以分母的有理化因式，把分母的根号化去(或分子、分母约分)．把分母的根号化去，叫做分母有理化．二次根式的运算法则：(c ≥0)=a ≥0,b>0）n =≥0)第十七章 一元二次方程一元二次方程的概念1．只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程2．一般形式y=ax2+bx+c （a ≠0），称为一元二次方程的一般式，ax 叫做二次项,a 是二次项系数；bx 叫做一次项，b 是一次项系数；c 叫做常数项一元二次方程的解法1．特殊的一元二次方程的解法：开平方法，分解因式法2．一般的一元二次方程的解法：配方法、求根公式法3．求根公式2b x a -±=：1222b b x x a a-+--= , = ； △=24b ac -≥0一元二次方程的判别式1．一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠：△＞0时，方程有两个不相等的实数根△＝0时，方程有两个相等的实数根△＜0时，方程没有实数根2．反过来说也是成立的一元二次方程的应用1．一般来说，如果二次三项式2ax bx c ++（0a ≠）通过因式分解得2ax bx c ++=12()()a x x x x --；1x 、2x 是一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根2．把二次三项式分解因式时；如果24b ac -≥0，那么先用公式法求出方程的两个实数根，再写出分解式如果24b ac -＜0，那么方程没有实数根，那此二次三项式在实数范围内不能分解因式3．实际问题：设，列，解，答第十八章 正比例函数和反比例函数．函数的概念1．在问题研究过程中，可以取不同数值的量叫做变量；保持数值不变的量叫做常量2．在某个变化过程中有两个变量，设为x 和y ，如果在变量x 的允许取之范围内，变量y 随变量x 的变化而变化，他们之间存在确定的依赖关系，那么变量y 叫做变量x 的函数，x 叫做自变量3．表达两个变量之间依赖关系的数学是自称为函数解析式()y f x =4．函数的自变量允许取之的范围，叫做这个函数的定义域；如果变量y 是自变量x 的函数，那么对于x 在定义域内去顶的一个值a ，变量y 的对应值叫做当x=a 时的函数值正比例函数1． 如果两个变量每一组对应值的比是一个不等于零的常数，那么就说这两个变量成正比例2．正比例函数:解析式形如y=kx （k 是不等于零的常数）的函数叫做正比例函数，气质常数k 叫做比例系数；正比例函数的定义域是一切实数3．对于一个函数()y f x =，如果一个图形上任意一点的坐标都满足关系式()y f x =，同时以这个函数解析式所确定的x 与y 的任意一组对应值为坐标的点都在图形上，那么这个图形叫做函数()y f x =的图像4．一般地，正比例函数y kx =(0)k k ≠是常数且的图像时经过原点O （0,0）和点（1，k ）的一条直线，我们把正比例函数y kx =的图像叫做直线y kx =5． 正比例函数y kx =(0)k k ≠是常数且有如下性质：（1）当k ＜0时，正比例函数的图像经过一、三象限，自变量x 的值逐渐增大时，y 的值也随着逐渐增大（2）当k ＜0时 ，正比例函数的图像经过二、四象限，自变量x 的值逐渐增大时，y 的值则随着逐渐减小反比例函数1．如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于零的常数，那么就说这两个变量成反比例2．解析式形如(0)k y k k x=≠是常数,的函数叫做反比例函数，其中k 也叫做反比例系数反比例函数的定义域是不等于零的一切实数3．反比例函数(0)k y k k x=≠是常数,有如下性质： （1）当k ＞0时，函数图像的两支分别在第一、三象限，在每一个象限内，当自变量x 的值逐渐增大时，y 的值则随着逐渐减小（2）当k ＜0时 ，函数图像的两支分别在第二、四象限，在每一个象限内。
第二十章-一次函数-3一次函数的性质(下)沪教版八年级第二学期数学
知识回顾
两k≠0，且k，b为常数），当k相同，且b不相等，图象平行；
当k不同，且b相等，图象相交；当k，b都相同时，两条线段重合．
b
（1）两条直线的交点问题
k
两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二
元一次方程组的解．
（2）两条直线的平行问题
若两条直线是平行的关系，那么他们的自变量系数相同，即k值相同．
例如：若直线y1=k1x+b1与直线y2=k2x+b2平行，那么k1=k2．
di
er
bu fen
第二部 分
技能点拨
一次函数与一元一次方程
例1.(易)一次函数y=kx+b（k，b为常数，且k≠0）的图象如图 所示，根据图象信息可求得关于x的方程kx+b=0的解为（ ） A．x=-1 B．x=2 C．x=0 D．x=3
解得：． ∴当x≤-1时，y=max{x+3，-x+1}=-x+1≥2；当x＞-1时， y=max{x+3，-x+1}=x+3＞2． ∴函数y=max{x+3，-x+1}最小值为2． 故答案为：2．
课堂检测
5.(难)如图，在平面直角坐标系中，点P（ 1 ，a）在直线 2
y=2x+2与直线y=2x+4之间，则a的取值范围是（ ） A．2＜a＜4 B．1＜a＜3 C．1＜a＜2 D．0＜a＜2
技能点拨
两直线相交或平行问题
例4.(易)考察下列函数的图象，其中与直线y=2x+1平行的是 （） A．y=2x-3 B．y=-2x+1 C．y=x+1 D．y=-3x
技能点拨
【答案】A 【解析】解： 与直线y=2x+1平行的直线解析式为y=2x+m（m≠1）． 故选A．
沪教版数学八年级下册知识点归纳--四边形
平行四边形【定义】两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
【性质】1.根据定义得，平行四边形的两组对边分别平行2.平行四边形的对边相等3.平行四边形的对角相等4.夹在两条平行线间的平行线段相等5.平行四边形的两条对角线相互平分6.平行四边形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点【平行四边形的判定】1.根据定义来判定2.两组对边分别相等的四边形是平行四边形3.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形4.对角线相互平分的四边形是平行四边形5.两组对角分别相等的四边形是平行四边形矩形【定义】有一个内角是直角的平行四边形叫做矩形【性质】1.矩形的四个角都是直角2.矩形的两条对角线相等3.矩形是中心对称图形，也是轴对称图形【判定】1.根据定义来判定2.有三个内角是直角的四边形是矩形3.对角线相等的平行四边形是矩形菱形【定义】有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形【性质】1.菱形的四条边都相等2.菱形的对角线相互垂直，并且每一条对角线平分一组对角3.菱形是中心对称图形，也是轴对称图形4.菱形的面积等于两条对角线长的乘积的一半【判定】1.根据定义来判定2.四条边都相等的四边形是菱形3.对角线相互垂直的平行四边形是菱形正方形（是特殊的矩形，亦为特殊的菱形——具备两者所有的性质）【定义】有一组邻边相等并且有一个内角是直角的平行四边形叫做正方形。
【性质】1.正方形的四个角都是直角，四条边都相等2.正方形的两条对角线相等，并且互相垂直，每条对角线平分一组对角【判定】1.根据定义来判定2.有一组邻边相等的矩形是正方形3.有一个内角是直角的菱形是正方形梯形【定义】一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形。
特别地，有一个角是直角的梯形叫做直角梯形，两腰相等的梯形叫做等腰梯形。
【等腰梯形的性质】1.等腰梯形在同一底上的两个内角相等2.等腰梯形的两条对角线相等【等腰梯形的判定】1.在同一底上的两个内角相等的梯形是等腰梯形2.对角线相等的梯形是等腰梯形三角形、梯形的中位线【定义】联结三角形两边的中点的线段叫做三角形的中位线；联结梯形两腰的中点的线段叫做梯形的中位线。
沪科版八年级数学下册知识总结
沪科版八年级数学下册知识总结一、整式的加减1. 整式的定义•由多个单项式相加或相减而成的式子称为整式。
•整式的每个单项式是一个系数和若干个字母的乘积。
2. 整式的加减•同类项加减法原理：同类项的系数相加减，字母部分不变。
•常数项和不同类项的系数不能相加减。
二、一元二次方程1. 一元二次方程的定义•形如ax2+bx+c=0的方程，其中a eq0，称为一元二次方程。
2. 一元二次方程的基本性质•一元二次方程的解的个数为 0、1、2 三种情况。
•一元二次方程的解可以通过求根公式计算。
•一元二次方程的解可以通过配方法化为标准形式。
3. 一元二次方程的解法•因数分解法：当一元二次方程为两个一次式的乘积时，可通过因式分解得到解。
•公式法：当一元二次方程为标准形式时，可通过求根公式得到解。
•完全平方式：当一元二次方程的解为有理数时，可以通过完全平方式求得解。
三、二次根式1. 二次根式的定义•形如 $\\sqrt{a}$ 的式子称为二次根式，其中 $a\\geq 0$。
2. 二次根式的化简•化简二次根式的方法包括消去根号下的因数、合并同类项、分解因数等。
•二次根式与有理数相加减的方法是先化简二次根式，再进行加减运算。
3. 二次根式的乘除•二次根式的乘法可以使用分配律和根号下乘法法则进行计算。
•二次根式的除法可以通过有理化分母的方法进行计算。
四、几何变换1. 平移•平移是指图形在平面上沿着某个方向移动一定距离的变换。
•平移的基本性质为保持图形内部的任意角度大小、方向和距离。
2. 旋转•旋转是指图形在平面上绕着某个点旋转一定角度的变换。
•旋转的基本性质为保持图形内部的任意角度大小、方向和距离不变。
3. 对称•对称是指图形关于某条直线或点镜像对称的变换。
•对称的基本性质为保持图形内部任意角度大小和距离不变，但方向可能发生改变。
五、统计1. 统计基本概念•统计是研究收集、整理、分析和解释数据的学科。
•数值统计是一种量化分析方法，包括众数、中位数、平均数等概念。
沪教版数学八年级下册四边形定理小报
沪教版数学八年级下册四边形定理小报
《沪教版数学八年级下册四边形定理小报》
四边形是我们生活中常见的几何形状之一，而在学习数学时，我们也需要了解四边形的定理和性质。
在沪教版数学八年级下册中，有关于四边形的定理内容，今天我们就来分享一下这些知识。
首先，我们需要了解什么是四边形。
四边形是指有四条边的多边形，其中包括矩形、菱形、平行四边形等各种形状。
在数学中，我们学习了一些关于四边形的定理，这些定理可以帮助我们更好地理解四边形的性质和特点。
首先是四边形的对角线定理，这个定理告诉我们，在平行四边形中，对角线相等；在菱形中，对角线垂直且相等；而在矩形中，对角线相等且互相垂直。
这个定理的理解和运用可以帮助我们更好地理解四边形的特点。
其次是四边形的边角和定理，这个定理告诉我们，在任意一个四边形中，相对边相等，相对角相等，相邻边互相垂直。
通过这个定理，我们可以更好地理解四边形的各种性质，从而更好地解答相关的问题。
总而言之，了解四边形的定理可以帮助我们更好地理解和掌握几何知识，对于我们的数学学习也有着重要的帮助。
希望大家能够认真学习四边形的定理，从中找到乐趣并取得更好的成绩。
沪教版八年级数学下知识点总结
一、三角形的性质：1.三角形内角和定理：任意三角形的三个内角之和等于180°。
2.三角形的分类：根据三边的长度及角的大小，可以将三角形分为等边三角形、等腰三角形、直角三角形和普通三角形等四类。
3.相似三角形的性质：具有相等对应角的两个三角形称为相似三角形，它们的对应边的比相等。
相似三角形的性质有边比例、角度比例、高度比例等。
二、圆的性质：1.弧度制：圆心角所对的弧长等于半径的长度，该弧所对的角度为1弧度。
2.周长和面积的计算：圆周长的计算公式为2πr，圆的面积计算公式为πr²。
3.弦的性质：在圆内，弦的中点与圆心连线垂直，并且相等长的弦对应的弧长度也相等。
4.切线和切点：切线与圆相切于一点，且垂直于半径，并且切点到圆心的距离等于半径的长度。
三、统计与概率：1.平均数的计算：求一组数据的平均数，先将所有数据相加，然后除以数据个数。
2.中位数的计算：将一组数据按照大小的顺序排列，当数据个数为奇数时，中位数是中间的数；当数据个数为偶数时，中位数是中间两个数的平均数。
3.众数的计算：一组数据中出现次数最多的数。
4.抽样调查：通过对部分样本的调查来推断总体的特性。
5.事件的概率：事件发生的可能性大小，用0到1之间的数表示。
四、函数与方程：1.函数的概念：函数是一个或多个自变量与因变量间的关系式，其中每一个自变量对应且只对应一个因变量。
2.函数的图象：函数的图象是自变量与因变量的对应关系的图形表示，可以用直角坐标系表示。
3.方程的解：使得方程两边相等的数称为方程的解，方程的解集是使方程成立的所有解的集合。
4. 一元一次方程：形如ax+b=0的方程称为一元一次方程，其中a和b是已知数，x是未知数。
5.一元一次方程的解法：可以通过逆运算、平衡法、消元法等方法求解。
以上是沪教版八年级数学下册的主要知识点总结，通过深入学习这些知识点，可以更好地理解数学概念、提高问题解决能力。
八年级沪教版数学知识点
八年级沪教版数学知识点一、代数1.1 一元一次方程式一元一次方程式的形式为ax+b=c，其中a、b、c为已知数，x 为未知数。
求解一元一次方程式的方法可以通过移项、消元等多种方法。
1.2 二元一次方程组二元一次方程组是两个含有两个未知数x、y的方程体现的形式。
使用消元等方法求解二元一次方程组。
1.3 计算公式一些数学运算法则的总结，如乘方公式、加减同项式、因式分解等等。
二、几何2.1 四边形四边形包含几种形态，如平行四边形、矩形、菱形等。
每种四边形的性质和特点需要掌握。
2.2 三角形三角形的角度及边长定理，诸如勾股定理、正弦定理、余弦定理等需要掌握。
2.3 圆圆的相关概念，如圆心角、弧、弦等，需要掌握。
三、概率与统计3.1 概率概率的基本概念、概率公式、事件的独立性、全概率公式等需要掌握。
3.2 统计统计的数据收集、数据整理、数据分析等，常用的统计量有平均数、中位数、众数、方差等。
四、函数4.1 函数概念函数的定义、图像、性质等需要熟练掌握。
4.2 函数的应用函数在现实生活中的应用，例如利润、成本、收益、折扣等需要掌握。
五、图像与变换5.1 基本平移、旋转和翻转变换平移、旋转和翻转的基本概念和变换方法需要掌握。
5.2 图形的投影图形的投影及相关概念需要理解。
总之，八年级沪教版数学知识点包括代数、几何、概率与统计、函数、图像与变换。
学生需要熟练理解每个知识点的基本概念和方法，然后通过大量的习题来巩固提高。
通过系统地掌握这些知识点，学生可以为进一步学习高中数学打好坚实的基础。
沪教版初二下册数学复习知识点
沪教版初二下册数学复习知识点人不可以够只想着不劳而获，应该努力奋斗，用自己的勤奋汗水为自己争取一片天空。
下边本文库为您介绍沪教版初二下册数学复习知识点。
第一章一元一次不等式和一元一次不等式组一、一般地，用符号（或），（或）连结的式子叫做不等式.能使不等式建立的未知数的值，叫做不等式的解 . 不等式的解不，把全部知足不等式的解会合在一同，构成不等式的解集 . 求不等式解集的过程叫解不等式 .由几个一元一次不等式组所构成的不等式组叫做一元一次不等式组不等式组的解集: 一元一次不等式组各个不等式的解集的公共部分.等式基天性质 1：在等式的两边都加上（或减去）同一个数或整式，所得的结果还是等式 .基天性质 2：在等式的两边都乘以或除以同一个数（除数不为 0），所得的结果还是等式 .二、不等式的基天性质 1：不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变 . （注：移项要变号，但不等号不变 . ）性质 2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变.性质 3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.不等式的基天性质1、若 ab，则 a+cb+c；2 、若 ab， c0则acbc若c0，则ac不等式的其余性质：反射性：若ab，则 bb，且 bc，则 ac三、解不等式的步骤 :1、去分母；2、去括号；3、移项归并同类项；4、系数化为 1.四、解不等式组的步骤 :1、解出不等式的解集2、在同一数轴表示不等式的解集 .五、列一元一次不等式组解实质问题的一般步骤：（1）审题；（2）设未知数，找（不等量）关系式；（3）设元，（依据不等量）关系式列不等式（组）（4）解不等式组；查验并作答.六、常考题型：1、求 4x-6 7x-12 的非负数解 .2、已知 3（ x-a ）=x-a+1r 的解合适 2（ x-5 ） 8a ，求 a 的范围 .3、当 m取何值时， 3x+m-2（m+2） =3m+x的解在 -5 和 5 之间 .第二章分解因式一、公式：1、 ma+mb+mc=m（a+b+c）2、a2-b2=（a+b）（a-b ）3、a22ab+b2=（ab） 2二、把一个多项式化成几个整式的积的形式，这类变形叫做把这个多项式分解因式 .1 、把几个整式的积化成一个多项式的形式，是乘法运算.2 、把一个多项式化成几个整式的积的形式，是因式分解.3、ma+mb+mc （ma+b+c）4、因式分解与整式乘法是相反方向的变形 .三、把多项式的各项都含有的同样因式，叫做这个多项式的各项的公因式.提公因式法分解因式就是把一个多项式化成单项式与多项式相乘的形式.找公因式的一般步骤：（1）若各项系数是整系数，取系数的条约数；（2）取同样的字母，字母的指数取较低的；（3）取同样的多项式，多项式的指数取较低的.（4）全部这些因式的乘积即为公因式.四、分解因式的一般步骤为:（1）如有 - 先提取 - ，若多项式各项有公因式，则再提取公因式.（2）若多项式各项没有公因式，则依据多项式特色，采纳平方差公式或完整平方公式 .（3）每一个多项式都要分解到不可以再分解为止.五、形如 a2+2ab+b2 或 a2-2ab+b2 的式子称为完整平方式 .分解因式的方法：1、提公因式法 .2、运用公式法 .第三章分式注： 1 关于随意一个分式，分母都不可以为零 .2分式与整式不一样的是：分式的分母中含有字母，整式的分母中不含字母.3分式的值为零含两层意思：分母不等于零；分子等于零.（中 B0时，分式存心义；分式中，当 B=0 分式无心义；当 A=0 且 B0 时，分式的值为零 . ）常考知识点：1、分式的意义，分式的化简 .2、分式的加减乘除运算 .3、分式方程的解法及其利用分式方程解应用题 .第四章相像图形一、定义表示两个比相等的式子叫比率. 假如 a 与 b 的比值和 c 与 d 的比值相等，那么或 a∶b=c∶d，这时构成比率的四个数a，b，c，d 叫做比率的项，两头的两项叫做外项，中间的两项叫做内项. 即 a、d 为外项， c、 b 为内项 .假如采纳同一个长度单位量得两条线段 AB、CD的长度分别是 m、n，那么就说这两条线段的比（ ratio ）AB∶CD=m∶ n，或写成 = ，此中，线段 AB、CD分别叫做这两个线段比的前项和后项 . 假如把表示成比值 k，则 =k 或 AB=kCD. 四条线段 a，b，c，d 中，假如 a 与 b 的比等于 c 与 d 的比，即，那么这四条线段 a，b，c，d 叫做成比率线段，简称比率线段 .黄金切割的定义：在线段 AB上，点 C 把线段 AB分红两条线段 AC和 BC，假如，那么称线段 AB被点 C 黄金切割（ golden section ），点 C叫做线段 AB的黄金切割点， AC与 AB的比叫做黄金比 . 此中 0.618.引理：平行于三角形的一边，并且和其余两边订交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比率.相像多边形：对应角相等，对应边成比率的两个多边形叫做相像多边形.相像多边形 : 各角对应相等、各边对应成比率的两个多边形叫做相像多边形.相像比：相像多边形对应边的比叫做相像比.二、比率的基天性质：1、若 ad=bc（a，b，c，d 都不等于 0），那么 . 假如（ b，d 都不为 0），那么 ad=bc.2、合比性质：假如，那么 .3、等比性质：假如 == （b+d++n0），那么 .4、更比性质：若那么 .5、反比性质：若那么三、求两条线段的比时要注意的问题：（1）两条线段的长度一定用同一长度单位表示，假如单位长度不一样，应先化成同一单位，再求它们的比；（2）两条线段的比，没有长度单位，它与所采纳的长度单位没关；（3）两条线段的长度都是正数，因此两条线段的比值老是正数 .四、相像三角形（多边形）的性质：相像三角形对应角相等，对应边成比率，相像三角形对应高的比、对应角均分线的比和对应中线的比都等于相像比 . 相像多边形的周长比等于相像比，面积比等于相像比的平方 .五、全等三角形的判断方法有：ASA，AAS，SAS，SSS，直角三角形除此以外再加 HL六、相像三角形的判断方法，判断方法有：1.三边对应成比率的两个三角形相像；2.两角对应相等的两个三角形相像；3.两边对应成比率且夹角相等；4.定义法 : 对应角相等，对应边成比率的两个三角形相像 .5、定理：平行于三角形一边的直线和其余两边（或两边的延伸线）订交，所构成的三角形与原三角形相像 .在特别的三角形中，有的相像，有的不相像.1、两个全等三角形必定相像 .2、两个等腰直角三角形必定相像 .3、两个等边三角形必定相像 .4、两个直角三角形和两个等腰三角形不必定相像 .七、位似图形上随意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比 . 假如两个图形不单是相像图形，并且每组对应点所在的直线都经过同一个点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫位似中心，这时的相像比又称为位似比.八、常考知识点：1 、比率的基天性质，黄金切割比，位似图形的性质.2、相像三角形的性质及判断 . 相像多边形的性质 .第五章数据的采集与办理（1）普查的定义：这类为了必定目的而对观察对象进行的全面检查，称为普查 .（2）整体：此中所要观察对象的全体称为整体.（3）个体：构成整体的每个观察对象称为个体（4）抽样检查：（sampling investigation ）：从整体中抽取部分个体进行检查，这类检查称为抽样检查 .（5）样本（sample）：此中从整体中抽取的一部分个体叫做整体的一个样本.（6）当整体中的个体数量许多时，为了节俭时间、人力、物力，可采纳抽样检查 . 为了获取较为正确的检查结果，抽样时要注意样本的代表性和宽泛性.还要注意关注样本的大小.（7）我们称每个对象出现的次数为频数 . 而每个对象出现的次数与总次数的比值为频次 .数据颠簸的统计量：极差：指一组数据中数据与最小数据的差 . 方差：是各个数据与均匀数之差的平方的均匀数 . 标准差：方差的算术平方根 . 识记其计算公式 . 一组数据的极差，方差或标准差越小，这组数据就越稳固 . 还要知均匀数，众数，中位数的定义 .刻画均匀水平用：均匀数，众数，中位数 . 刻画失散程度用：极差，方差，标准差 .常考知识点：1 、作频数散布表，作频数散布直方图.2 、利用方差比较数据的稳固性.3 、均匀数，中位数，众数，极差，方差，标准差的求法.3 、频次，样本的定义第六章证明一、对事情作出判断的句子，就叫做命题 .即：命题是判断一件事情的句子.一般状况下：疑问句不是命题. 图形的作法不是命题.每个命题都有条件（condition ）和结论（ conclusion ）两部分构成 . 条件是已知的事项，结论是由已知事项推测出的事项 . 一般地，命题都能够写成假如，那么的形式 . 此中假如引出的部分是条件，那么引出的部分是结论 . 要说明一个命题是一个假命题，往常能够举出一个例子，使它具备命题的条件，而不拥有命题的结论 . 这类例子称为反例 .二、三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180 度 .1、证明三角形内角和定理的思路是将原三角形中的三个角凑到一同构成一个平角 . 一般需要作协助线 . 既能够作平行线，也能够作一个角等于三角形中的一个角 .2、三角形的外角与它相邻的内角是互为补角 .三、三角形的外角与它不相邻的内角关系是：（1）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 .（2）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 . 四、证明一个命题是真命题的基本步骤是：（1）依据题意，画出图形 .（2）依据条件、结论，联合图形，写出已知、求证.（3）经过剖析，找出由已知推出求证的门路，写出证明过程 . 在证明时需注意：（1）在一般状况下，剖析的过程不要求写出来.（2）证明中的每一步推理都要有依据 . 假如两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 .30. 所对的直角边是斜边的一半 . 斜边上的高是斜边6的一半 .常考知识点：1 、三角形的内角和定理，及三角形外角定理.2 两直线平行的性质及判断. 命题及其条件和结论，真假命题的定义.。
2上海沪教版八年级数学下册代数方程专题复习
代数方程专题复习学员姓名 辅导科目 数学 教师 年 级 八升九授课日期课次数2课 题 代数方程专题复习教学目标一、 能成功解答整式方程二、 通过讲课能找出分式方程的分类用对应方法解题； 三、 能找出对应无理方程的解法并作答。
重、难点较复杂的解方程题目。
教 学 内 容知识点及例题精讲重点提示与记录 一、知识要点 1、整式方程的解法 跟的判别式、韦达定理2、可化为一元二次方程的分式方程的解法 注意：3、无理方程的解法 注意：4、方程组的解法 整式方程组 分式方程组 无理方程组5、方程（组）的应用 解题思想 二、专题讲解【一元一次方程和一元二次方程的解法】 例题 用适当的方法解下列方程：（1）（2x+1）2=25 （2）01422=--x x （3）3x 2+8x-1=0 (4) x 2-9x=0【含字母系数的整式方程的解法】例题解下列关于x的方程（1）(3a-2)x=2（3-x）（2）bx2-1=1-x2（b≠-1）【特殊的高次方程的解法】（1）二项方程)0+babax n的解法=,0(0≠≠二项方程的根的情况：对于二项方程)0aax n，b+b,0(0≠≠=当n为奇数时，方程只有且只有一个实数根。
当n为偶数时，如果0ab，那么方程有两个实数根，且这两个实数根互<为相反数；如果0ab，那么方程没有实数根。
>例题判断下列方程是不是二项方程，如果是二项方程，求出它的根。
（1）x3-64=0 （2）x4+x=0（3）x5= -9 （4）x3+x=1（2）双二次方程的解法例题判断下列方程是不是双二次方程，如果是，求出它的根：(1)x4-9x2+14=0 (2）x4+10x+25=0 （3）2x4-7x3-4=0 (4）x4+9x2+20=0（3）因式分解法解高次方程例题解下列方程：（1）2x3+7x2-4x=0 （2）x3-2x2+x-2=0【可化为一元二次方程的分式方程的解法】 1．适宜用“去分母”的方法的分式方程 例题 解下列方程601745123542+--=--+-x x x x x2.适宜用“换元法”的分式方程 例题 解下列方程：（1）061512=+⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x x x ； （2）112)1(31)2(82222=+-+-+x x x x x x .【无理方程的解法】1．只有一个含未知数根式的无理方程 例题 解下列方程：(1)632-=-x x （2）x x =--3232.有两个含未知数根式的无理方程 例题 解下列方程：（1）01222=+--x x （2）12=-+x x3.适宜用换元法解的无理方程例题 解方程 46342222+-=+-x x x x【二元二次方程的解法】常见分类⎪⎩⎪⎨⎧⋅⋅::二型二一型二“二·一”型方程组的解法 （1）代入消元法（即代入法）形如⎩⎨⎧=++=+0022ey dxy cx by ax 的方程组 （2）逆用根与系数的关系形如⎩⎨⎧==+b xy ay x 的方程组“二·二”型方程组的解法形如⎪⎩⎪⎨⎧=++=++0022f ex dx c bx ax例题分析：例1．解方程组例2．例3．例4． k为何值时，方程组。
专题02代数方程(考点串讲)-八年级数学下学期期中考点大串讲(沪教版)
速度．
【解析】解：设汽车原计划的速度为x千米/时，则汽车实际行驶的速度为(x+20)千
米/时，
根据题意得：
2
-
+
=3，
整理得：x +20x-2400=0，
解得：x1=40，x2=-60，
经检验，x1=40，x2=-60均为所列方程的解，x1=40符合题意，x2=-60不符合题意，舍
去分母
因式分解
换元
低次方程
整式方程
求解
原方程的根
无理方程
去根号
由两个二元二次方
程组成的方程组
有理方程
因式分解
求解
求解
检验
检验
舍去增根
原方程的根
特殊的二元
二次方程组
舍去增根
原方程的根
含一次方程的
二元二次方程组
代入消元求出一
个未知数的值
回代求出另一
个未知数的值
原方程组的解
典例剖析
1、字母系数方程的讨论
x 1
解得y1 3, y2 5
x
3
当y= 3时,
3, 解得x =
x 1
4
x
5
当y=5时，
5，解得x =
x 1
4
3
5
经检验:x1 = ，x2 = 是原方程的根
4
4
题型二：倒数换元
例题2
解方程：
x2 3
x
1
解：设
y, 则 2
x
x 3 y
3 13
原方程变为：y+ =
八年级下册沪教版数学知识点总结
八年级下册沪教版数学知识点总结第二十章一次函数20.1一次函数的概念1.一般地，解析式形如(0)y kx b k b k=+⋅≠是常数,的函数叫做一次函数；一次函数的定义域是一切实数2.一般地，我们把函数y c=（c为常数）叫做常值函数20.2一次函数的图像1.列表、描点、连线2.一条直线与y轴的交点的纵坐标叫做这条直线在y轴上的截距，简称直线的截距3.一般地，直线(0)y kx b k b k=+⋅≠是常数,与y轴的交点坐标是（0，b），直线的截距是b4.一次函数y kx b=+（b≠0）的图像可以由正比例函数y kx=的图像平移得到，当b＞0时，向上平移b个单位，当b＜0时，向下平移b的绝对值个单位5.一元一次不等式与一次函数之间的关系（看图）20.3一次函数的性质1.一次函数(0)y kx b k b k=+⋅≠是常数,具有以下性质：当k＞0时，函数值y随自变量x的值增大而增大当k＜0时，函数值y随自变量x的值增大而减小2.一次函数()0 y kx b k=+≠b>0b=0b<0 k>0 k<①如图所示，当k＞0，b＞0时，直线经过第一、二、三象限（直线不经过第四象限）；②如图所示，当k＞0，b﹥O 时，直线经过第一、三、四象限（直线不经过第二象限）；③如图所示，当k﹤O，b＞0时，直线经过第一、二、四象限（直线不经过第三象限）；④如图所示，当k﹤O，b﹤O 时，直线经过第二、三、四象限（直线不经过第一象限）．20.4一次函数的应用1.利用一次函数及图像解决实际问题第二十一章代数方程21.1一元整式方程1.12ax =（a 是正整数），x 是未知数，a 是用字母表示的已知数。
于是，在项ax 中，字母a 是项的系数，我们把a 叫做字母系数，我们把a 叫做字母系数，这个方程是含字母系数的一元一次方程2.如果方程中只有一个未知数且两边都是关于未知数的整式，那么这个方程叫做一元整式方程3.如果经过整理的一元整式方程中含未知数的项的最高次数是n （n 是正整数），那么这方程就叫做一元n 次方程；其中次数n 大于2的方程统称为一元高次方程，本章简称高次方程21.2二项方程1.如果一元n 次方程的一边只有含未知数的一项和非零的常数项，另一边是零，那么这样的方程就叫做二项方程；一般形式为0n ax b +=（0,0a b ≠≠，n 是正整数）2.解一元n （n ＞2）次二项方程，可转化为求一个已知数的n 次方根3.对于二项方程0n ax b +=（0,0a b ≠≠）当n 为奇数时，方程有且只有一个实数根当n 为偶数时，如果ab ＜0，那么方程有两个实数根，且这两个根互为相反数；如果ab ＞0，那么方程没有实数根21.3可化为一元二次方程的分式方程1.解分式方程，可以通过方程两边同乘以方程中各分式的最简公分母，约去分母，转化为正式方程来解2.注意将所得的根带入最简公分母中检验是否为增根（也可带入方程中）3.换元法可将某些特殊的方程化繁为简，并且在解分式方程的过程中，避免了出现解高次方程的问题，起到降次的作用21.4无理方程1.方程中含有根式，且被开方数是含有未知数的代数式，这样的方程叫做无理方程2.整式方程和分式方程统称为有理方程3.有理方程和无理方程统称为初等代数方程，简称代数方程4.解简单的无理方程，可以通过去根号转化为有理方程来解，解简单无理方程的一般步骤5.注意无理方程的检验必须带入原方程中检验是否为增根21.5二元二次方程和方程组1.仅含有两个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫二元二次方程2．关于x、y的二元二次方程的一般形式是：220+++++=ax bxy cy dx ey f（a、b、c、d、e、f都是常数，且a、b、c中至少有一个不是零；当b为零时，a与d以及c与e分别不全为零）3.仅含有两个未知数，各方程是整式方程，并且含有未知数的项的最高次数为2。
沪教版初二下数学知识点归纳总结
沪教版初二下数学知识点归纳总结初二下学期数学知识点繁多，但是只要我们按照章节进行总结和分类，就能够更好地理解和掌握这些知识。
下面是对初二下数学知识点的一个归纳总结。
第一章：图形的认识与绘制在这一章中，我们学习了各种基本图形的性质和绘制方法。
包括点、线、线段、射线、角、平行线、垂直线等概念的理解和运用。
我们需要掌握图形的命名方法和图形之间的关系，以及如何正确地使用尺规进行绘图。
第二章：平面直角坐标系这一章主要介绍了平面直角坐标系的建立和使用。
我们学习了如何根据图形的坐标来判断图形的位置和性质，并且学会了如何计算两点之间的距离和斜率。
同时，我们还需要掌握如何在平面直角坐标系中绘制和分析线性函数的图像。
第三章：方程与不等式在这一章中，我们学习了一元一次方程、一元一次不等式和二元一次方程的解法和运用。
我们需要掌握通过加减消元、代入法和图解法来解方程和不等式的方法。
此外，我们还需要了解方程的应用领域，比如生活中的应用问题和几何问题。
第四章：比例与相似比例与相似是初中数学的重要内容，主要涉及到比例的计算和相似三角形的性质。
我们需要掌握如何求解两个量的比例、如何利用比例关系解决实际问题，并且了解相似三角形的判定和运用方法。
第五章：数与式这一章主要介绍了数的分类、数的运算和一元一次方程的应用。
我们需要掌握整数、分数、小数的性质和运算法则，以及如何利用数式解决实际问题。
第六章：实数与有理数在这一章中，我们学习了实数与有理数的概念和性质。
需要了解有理数的分类、有理数的四则运算、开方及其性质，并且学习如何利用有理数解决实际问题。
第七章：平面与立体图形这一章主要介绍了平面图形和立体图形的性质和计算方法。
需要掌握各种平面图形的面积和周长的计算方法，以及立体图形的体积和表面积的计算方法。
同时，我们还需要掌握如何运用平面与立体图形的性质解决实际问题。
第八章：统计与概率统计与概率是数学中的实际应用领域，主要涉及到数据的收集和整理以及概率的计算与应用。
沪教版初二数学知识点总结轴对称知识点
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轴对称
一．知识框架
二．知识概念
1.对称轴：如果一个图形沿某条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形；这条直线叫做对称轴。
2.性质： （1）轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
（2）角平分线上的点到角两边距离相等。
（3）线段垂直平分线上的任意一点到线段两个端点的距离相等。
（4）与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
（5）轴对称图形上对应线段相等、对应角相等。
3.等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等，（等边对等角）
4.等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合，简称为“三线合一”。
5.等腰三角形的判定：等角对等边。
6.等边三角形角的特点：三个内角相等，等于60°，
7.等边三角形的判定： 三个角都相等的三角形是等腰三角形。
有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形
有两个角是60°的三角形是等边三角形。
8.直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。
9．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
本章内容要求学生在建立在轴对称概念的基础上，能够对生活中的图形进行分析鉴赏，亲身经历数学美，正确理解等腰三角形、等边三角形等的性质和判定，并利用这些性质来解决一些数学问题。
沪教版(上海市) 初中数学思维导图 八年级数学全册章节思维导图集
-3Math 实验室
你现在的努力要对得起别人对你的好！
第二十章 一次函数的章节知识点结构思维导图
第二十一章 代数方程的章节知识点结构思维导图
-4Math 实验室
你现在的努力要对得起别人对你的好！
第二十二章 四边形的章节知识点结构思维导图
第二十三章 概率初步的章节知识点结构思维导图
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上海市（沪教版）八年级数学全册章节思维导图 共八个章节
第十六章 二次根式的章节知识点结构思维导图
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பைடு நூலகம்
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第十七章 一元二次方程的章节知识点结构思维导图
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第十八章 正比例函数和反比例函数的章节知识点结构思维导图
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上海市沪教版八年级数学上下册知识点梳理
上海市沪教版八年级数学上下册知识点梳理第十六章 二次根式第一节 二次根式的概念与性质16、1 二次根式1． 二次根式的概念: 式子)0(≥a a 叫做二次根式.注意被开方数只能就是正数或0。
2． 二次根式的性质 ①⎩⎨⎧≤-≥==)0()0(2a a a a a a ; ②)0()(2≥=a a a ③)0,0(≥≥⋅=b a b a ab ; ④)0,0(>≥=b a ba b a 16、2 最简二次根式与同类二次根式1、 被开方数所含因数就是整数,因式就是整式,不含能开得尽方的因数或因式的二次根式,叫做最简二次根式.2、化成最简二次根式后,被开方数相同的二次根式,叫做同类二次根式16、3 二次根式的运算1、二次根式的加减:先把各个二次根式化成最简二次根式,再把同类三次根式分别合并.2、二次根式的乘法:等于各个因式的被开方数的积的算术平方根,即 ).0,0(≥≥=⋅b a ab b a3、二次根式的与相乘,可参照多项式的乘法进行.两个含有二次根式的代数式相乘,如果它们的积不含有二次根式,那么这两个三次根式互为有理化因式.4、二次根式相除,通常先写成分式的形式,然后分子、分母都乘以分母的有理化因式,把分母的根号化去(或分子、分母约分).把分母的根号化去,叫做分母有理化.二次根式的运算法则:≥0)).0,0(≥≥=⋅b a ab b a=≥0,b>0)n =≥0)第十七章 一元二次方程17、1 一元二次方程的概念1.只含有一个未知数,且未知数的最高次数就是2的整式方程叫做一元二次方程2.一般形式y=ax ²+bx+c(a ≠0),称为一元二次方程的一般式,ax 叫做二次项,a 就是二次项系数;bx 叫做一次项,b 就是一次项系数;c 叫做常数项17、2 一元二次方程的解法1.特殊的一元二次方程的解法:开平方法,分解因式法2.一般的一元二次方程的解法:配方法、求根公式法3.求根公式2b x a -±=:1222b b x x a a--= , = ; △=24b ac -≥017、3 一元二次方程的判别式1.一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠:△＞0时,方程有两个不相等的实数根△＝0时,方程有两个相等的实数根△＜0时,方程没有实数根2.反过来说也就是成立的17、4 一元二次方程的应用1.一般来说,如果二次三项式2ax bx c ++(0a ≠)通过因式分解得2ax bx c ++=12()()a x x x x --;1x 、2x 就是一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根2.把二次三项式分解因式时;如果24b ac -≥0,那么先用公式法求出方程的两个实数根,再写出分解式如果24b ac -＜0,那么方程没有实数根,那此二次三项式在实数范围内不能分解因式3． 实际问题:设,列,解,答 第十八章 正比例函数与反比例函数18、1.函数的概念1.在问题研究过程中,可以取不同数值的量叫做变量;保持数值不变的量叫做常量2.在某个变化过程中有两个变量,设为x 与y,如果在变量x 的允许取之范围内,变量y 随变量x 的变化而变化,她们之间存在确定的依赖关系,那么变量y 叫做变量x 的函数,x 叫做自变量3.表达两个变量之间依赖关系的数学就是自称为函数解析式()y f x =4.函数的自变量允许取之的范围,叫做这个函数的定义域;如果变量y 就是自变量x 的函数,那么对于x 在定义域内去顶的一个值a,变量y 的对应值叫做当x=a 时的函数值18、2 正比例函数1. 如果两个变量每一组对应值的比就是一个不等于零的常数,那么就说这两个变量成正比例2.正比例函数:解析式形如y=kx(k 就是不等于零的常数)的函数叫做正比例函数,气质常数k 叫做比例系数;正比例函数的定义域就是一切实数3.对于一个函数()y f x =,如果一个图形上任意一点的坐标都满足关系式()y f x =,同时以这个函数解析式所确定的x 与y 的任意一组对应值为坐标的点都在图形上,那么这个图形叫做函数()y f x =的图像4.一般地,正比例函数y kx =(0)k k ≠是常数且的图像时经过原点O(0,0)与点(1,k)的一条直线,我们把正比例函数y kx =的图像叫做直线y kx =5. 正比例函数y kx =(0)k k ≠是常数且有如下性质:(1)当k ＜0时,正比例函数的图像经过一、三象限,自变量x 的值逐渐增大时,y 的值也随着逐渐增大(2)当k ＜0时 ,正比例函数的图像经过二、四象限,自变量x 的值逐渐增大时,y 的值则随着逐渐减小18、3 反比例函数1.如果两个变量的每一组对应值的乘积就是一个不等于零的常数,那么就说这两个变量成反比例2.解析式形如(0)k y k k x=≠是常数,的函数叫做反比例函数,其中k 也叫做反比例系数 反比例函数的定义域就是不等于零的一切实数 3.反比例函数(0)k y k k x =≠是常数,有如下性质: (1)当k ＞0时,函数图像的两支分别在第一、三象限,在每一个象限内,当自变量x 的值逐渐增大时,y 的值则随着逐渐减小(2)当k ＜0时 ,函数图像的两支分别在第二、四象限,在每一个象限内。
八年级数学下册沪教版电子课本目录
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一、数的基本概念
1. 数是用来表示物体数量的符号。
2. 数的分类：自然数、整数、分数、有理数、无理数和混合数。
3. 自然数是从1开始，无限往后排列的数，它们可以用来表示物体的数量。
4. 整数是正整数、负整数和零的总称，它们可以用来表示物体的数量，也可以表示物体的多少。
5. 分数是由分子和分母组成的数，它们可以用来表示物体的比例。
6. 有理数是由整数和分数组成的数，它们可以用来表示物体的数量和比例。
7. 无理数是无法用有理数表示的数，它们可以用来表示物体的数量和比例。
8. 混合数是由整数和分数组成的数，它们可以用来表示物体的数量和比例。
二、数的运算
1. 加法是把两个数相加，得到一个新的数。
2. 减法是把一个数减去另一个数，得到一个新的数。
3. 乘法是把两个数相乘，得到一个新的数。
4. 除法是把一个数除以另一个数，得到一个新的数。
5. 幂运算是把一个数的乘方运算，得到一个新的数。
6. 根号运算是把一个数开根号，得到一个新的数。
7. 绝对值运算是把一个数的绝对值，得到一个新的数。
8. 因式分解是把一个数分解成若干个因式的乘积，得到一个新的数。
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沪科版八年级数学下知识点总结
二次根式知识点：
知识点一：二次根式的概念
形如（）的式子叫做二次根式。
注：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但
必须注意：因为负数没有平方根，所以是为二次根式的前提条件，如，，等是二次根式，而，等都不是二次根式。
知识点二：取值范围
1. 二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a≧0时，有意义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。
2. 二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a﹤0时，没有意义。
知识点三：二次根式（）的非负性
（）表示a的算术平方根，也就是说，（）是一个非负数，即0（）。
注：因为二次根式（）表示a的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0，所以非负数（）的算术平方根是非负数，即0（），这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。
这个性质在解答题目时
应用较多，如若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0。
知识点四：二次根式（）的性质
（）
文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。
注：二次根式的性质公式（）是逆用平方根的定义得出的结论。
上面的公式
也可以反过来应用：若，则，如：，.
知识点五：二次根式的性质
文字语言叙述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。
注：
1、化简时，一定要弄明白被开方数的底数a是正数还是负数，若是正数或0，则等于a本身，即；若a是负数，则等于a的相反数-a,即；
2、中的a的取值范围可以是任意实数，即不论a取何值，一定有意义；
3、化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简。
知识点六：与的异同点
1、不同点：与表示的意义是不同的，表示一个正数a的算术平方根的平方，而表示一个实数a的平方的算术平方根；在中，而中a可以是正实数，
0，负实数。
但与都是非负数，即，。
因而它的运算的结果是有
差别的，，而
2、相同点：当被开方数都是非负数，即时，=；时，无意义，而
.
知识点七：二次根式的性质和最简二次根式
如：不含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有√2、√3、√a（a≥0）、√x+y 等；
含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有√4、√9、√a^2、√（x+y）^2、√x^2+2xy+y^2等
（3）最终结果分母不含根号。
知识点八：二次根式的乘法和除法
1.积的算数平方根的性质
√ab=√a·√b（a≥0，b≥0）
2. 乘法法则
√a·√b=√ab（a≥0，b≥0）
二次根式的乘法运算法则，用语言叙述为：两个因式的算术平方根的积，等于
这两个因式积的算术平方根。
3.除法法则
√a÷√b=√a÷b（a≥0，b>0）
二次根式的除法运算法则，用语言叙述为：两个数的算数平方根的商，等于这
两个数商的算数平方根。
4.有理化根式。
如果两个含有根式的代数式的积不再含有根式，那么这两个代数式叫做有理化
根式,也称有理化因式。
知识点九：二次根式的加法和减法
1 同类二次根式
一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就
把这几个二次根式叫做同类二次根式。
2 合并同类二次根式
把几个同类二次根式合并为一个二次根式就叫做合并同类二次根式。
3二次根式加减时，可以先将二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的进行合并。
知识点十：二次根式的混合运算
1确定运算顺序
2灵活运用运算定律
3正确使用乘法公式
4大多数分母有理化要及时
5在有些简便运算中也许可以约分，不要盲目有理化
知识点十一：分母有理化
分母有理化有两种方法
I.分母是单项式
如:√a/√b=√a×√b/√b×√b=√ab/b
II.分母是多项式。