结构切面球体—201705011
山东省潍坊市一中化学第五章 抛体运动 知识点及练习题及答案
山东省潍坊市一中化学第五章抛体运动知识点及练习题及答案一、选择题1．图示为足球球门，球门宽为L，一个球员在球门中心正前方距离球门s处高高跃起，将足球顶入球门的左下方死角（图中P点）．若球员顶球点的高度为h．足球被顶出后做平抛运动（足球可看做质点），重力加速度为g．则下列说法正确的是A．足球在空中运动的时间222s h tg+ =B．足球位移大小224Lx s =+C．足球初速度的方向与球门线夹角的正切值2 tansLθ=D．足球初速度的大小22 02()4g Lv sh=+2．如图所示，一小钢球从平台上的A处以速度V0水平飞出．经t0时间落在山坡上B处，此时速度方向恰好沿斜坡向下，接着小钢球从B处沿直线自由滑下，又经t0时间到达坡上的C处．斜坡BC与水平面夹角为30°，不计摩擦阻力和空气阻力，则小钢球从A到C的过程中水平、竖直两方向的分速度V x、V y随时间变化的图像是()A．B．C．D ．3．如图所示，若质点以初速度v 0正对倾角为θ＝37°的斜面水平抛出，要求质点到达斜面时位移最小，则质点的飞行时间为 ( )．A ．034v gB ．038v gC ．083v gD ．043v g 4．江中某轮渡站两岸的码头A 和B 正对，如图所示，水流速度恒定且小于船速.若要使渡船直线往返于两码头之间，则船在航行时应（ ）A ．往返时均使船垂直河岸航行B ．往返时均使船头适当偏向上游一侧C ．往返时均使船头适当偏向下游一侧D ．从A 码头驶往B 码头，应使船头适当偏向上游一侧，返回时应使船头适当偏向下游一侧5．如图物体正沿一条曲线运动，此时物体受到的合力方向，下面四个图中一定错误的是 （ ）A ．B ．C ．D ．6．在美国拉斯维加斯当地时间2011年10月16日进行的印地车世界锦标赛的比赛中，发生15辆赛车连环撞车事故，两届印第安纳波利斯500赛冠军、英国车手丹·威尔顿因伤势过重去世．在比赛进行到第11圈时，77号赛车在弯道处强行顺时针加速超越是酿成这起事故的根本原因，下面四幅俯视图中画出了77号赛车转弯时所受合力的可能情况，你认为正确的是( )A．B．C．D．7．竖直放置两端封闭的玻璃管内注满清水和一个用红蜡做成的圆柱体，玻璃管倒置时圆柱体能匀速运动，已知圆柱体运动的速度是5cm/s， =60°，如图所示，则玻璃管水平运动的速度是：（）A．5cm/s B．4.33cm/s C．2.5cm/s D．无法确定8．如图所示，水平抛出的物体，抵达斜面上端P处，其速度方向恰好沿斜面方向，然后沿斜面无摩擦滑下，下列选项中的图象是描述物体沿x方向和y方向运动的速度-时间图象，其中正确的是（）A．B．C．D．9．质量为2kg的质点在x-y平面上做曲线运动，在x方向的速度图象和y方向的位移图象如图所示，下列说法正确的是（）A．质点的初速度为3 m/sB．2s末质点速度大小为6 m/sC．质点做曲线运动的加速度为3m/s2D．质点所受的合外力为3 N10．如所示为物体做平抛运动的x-y图像，此曲线上任一点P(x,y)的速度方向的反向延长线交于x轴上的A点，则A点的横坐标为A．0.6x B．0.5x C．0.3x D．无法确定11．不可伸长的轻绳通过定滑轮，两端分别与甲、乙两物体连接，两物体分别套在水平、竖直杆上。
第三课形的空间及质感
根据球体的特征可以：一、正方形 ； 二、定点 （等长）；三、切圆。
要பைடு நூலகம்注 意 每 一 个 切 点
根据各切点得到的圆形轮廓
作业：用八开素 描纸进行写生
素描课：石膏球体构图
中方一中 龙丽萍
球体
一、球体的概念
空间中到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做球。
二、球体的特点
1、 球心和截面圆心的连线垂直于截面。 2、 球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆，被不经过球心的截面截 得的圆叫做小圆。 3、在球面上，两点之间的最短连线的长度，就是经过这两点的大圆在 这两点间的一段劣弧的长度，我们把这个弧长叫做两点的球面距离。
欧拉公式和球(整理2019年11月)
二、球的概念和性质
（1）球的概念 定义：半圆以它的直径为旋转轴旋转所 成的曲面叫做球面，球面所围成的几何 体叫球体，简称球。
（2）球的元素
球心：球中形成球的半圆的圆心叫做球心， 一个球用表示它的球心的字母来表示，如球O，
O R
球的半径 ：
连接球心和球面上的任意一点的线段 叫做球的半径，如半径OA、OB等
球的直径：
连接球面上的两点并
A
且经过球心的线段叫
做球的直径。如直径
AB
B
球面仅仅指球的表面，而球体不仅包括球的表面，同时 还包括球面所包围的空间。
用一个平面去截一个球，截面是圆面， 球的截面有如下性质：
性质1：球心和截面圆心的连线垂直于截面。
离与球的半径R及 截面的半径，有如下关系式：
多面体欧拉公式、球
一、多面体欧拉公式
１、欧拉公式V+F－E=2，是描述简单多面 体的顶点数、面数、棱数之间特有规律的一 个公式，这个规律是简单多面体的一种拓扑 不变性。
V是顶点数，F是面数，E是棱数。
多面体和正多面体：
棱柱和棱锥都是一些平面多边形围成的几 何体，若干个平面多边形围成的几何体， 叫做多面体。围成多面体的各个多边形叫 做多面体的面。两个面的公共边叫做多面 体的棱。若干个面的公共顶点叫做多面体 的顶点。
把多面体的任何一个面伸展为平面，如果所有其他 各面都在这个平面的同侧，这样的多面体叫做凸多 面体．否则叫非凸多面体．
一个多面体至少有四个面，多面体依照 它的面数分别叫做四面体、五面体、六 面体。（三棱锥是四面体、三棱柱是五 面体，正方体是六面体。）
一般的，每个面都是有相同边数的正多 边形，且以每个顶点为其一端都有相同 数目的棱的凸多面体，叫正多面体。例 如，正方体就是一种正多面体。
高三数学复习---球的切、接、截面问题(有答案)
1．正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（）A．B．16πC．9πD．4．三棱锥S﹣ABC的顶点都在同一球面上，且，则该球的体积为（）A．B．C．16πD．64π5．三棱锥P﹣ABC的四个顶点均在同一球面上，其中△ABC是正三角形，PA⊥平面ABC，PA=2AB=6，则该球的体积为（）A．16πB．32πC．48πD．64π6．四个顶点都在球O上的四面体ABCD所有棱长都为12，点E、F分别为棱AB、AC的中点，则球O截直线EF所得弦长为（）A．6B．12C．6D．67．已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB=3，AC=4，AB⊥AC，AA1=12，则球O的半径为（）A．B．C．D．8．将长宽分别为3和4的长方形ABCD沿对角线AC折起直二面角，得到四面体A﹣BCD，则四面体A﹣BCD的外接球的表面积为（）A．25πB．50πC．5πD．10π9．已知半径为5的球O被互相垂直的两个平面所截，得到的两个圆的公共弦为4，若其中的一圆的半径为4，则另一圆的半径为（）A．B．C．D．10．在三棱锥A﹣BCD中，侧棱AB、AC、AD两两垂直，△ABC、△ACD、△ADB 的面积分别为、、，则该三棱锥外接球的表面积为（）A．2πB．4πC．6πD．24π11．一个四面体A﹣BCD中，AC=BD=3，AD=BC=4，AB=CD=5，那么这个四面体的外接球的表面积为（）12．已知Rt△ABC的顶点都在半径为4的球O面上，且AB=3，BC=2，∠ABC=，则棱锥O﹣ABC的体积为（）A．B．C．D．13．在正四棱锥S﹣ABCD中，侧面与底面所成角为，则它的外接球的半径R与内径球半径r的比值为（）A．5B．C．10D．14．已知球O的表面积为20π，SC是球O的直径，A、B两点在球面上，且AB=BC=2，，则三棱锥S﹣AOB 的高为（）A．B．C．D．115．如图，平面四边形ABCD中，AB=AD=CD=1，，将其沿对角线BD折成四面体A′﹣BCD，使平面A′BD⊥平面BCD，若四面体A′﹣BCD顶点在同一个球面上，则该球的体积为（）A．B．3πC．D．2π16．已知正六棱柱的12个顶点都在一个半径为3的球面上，当正六棱柱的体积最大（柱体体积=底面积×高）时，其高的值为（）A．B．C．D．17．直三棱柱ABC﹣A1B1C1的各顶点都在同一球面上，若AB=AC=AA1=2，∠BAC=120°，则此球的表面积等于_________ ．18．正四面体ABCD的棱长为4，E为棱BC的中点，过E作其外接球的截面，则截面面积的最小值为_________ ．19．设A、B、C、D是半径为2的球面上的四点，且满足AB⊥AC，AD⊥AC，AB⊥AD，则S△ABC+S△ABD+S△ACD的最大值是_________ ．20．已知四棱锥P﹣ABCD的底面是边长为a的正方形，所有侧棱长相等且等于a，若其外接球的半径为R，则等于_________ ．21．已知正三棱锥P﹣ABC，点P，A，B，C都在半径为的球面上，若PA，PB，PC两两垂直，则球心到截面ABC 的距离为_________ ．22．在半径为13的球面上有A，B，C 三点，AB=6，BC=8，CA=10，则（1）球心到平面ABC的距离为_________ ；（2）过A，B两点的大圆面与平面ABC所成二面角为（锐角）的正切值为_________ ．23．正三棱锥P﹣ABC的四个顶点同在一个半径为2的球面上，若正三棱锥的侧棱长为2，则正三棱锥的底面边长是_________ ．24．与四面体的一个面及另外三个面的延长面都相切的球称为该四面体的旁切球，则棱长为1的正四面体的旁切球的半径r= _________ ．截面问题一．填空题（共8小题）1．过正三棱锥一侧棱及其半径为R的外接球的球心O所作截面如图，则它的侧面三角形的面积是__ ．2．一正方体内接于一个球，经过球心作一个截面，则截面的可能图形为_________ （只填写序号）．3．棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如图，则图中三角形（正四面体的截面）的面积是_________ ．4．已知正三棱锥S﹣ABC内接于半径为6的球，过侧棱SA及球心O的平面截三棱锥及球面所得截面如右图，则此三棱锥的侧面积为_________ ．5．如图，已知球O是棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的内切球，则平面ACD1截球O的截面面积为_________ ．6．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1内有一个球与正方体的各个面都相切，经过DD1和BB1作一个截面，正确的截面图是_________ ．7．已知空间中动平面α，β与半径为5的定球相交所得的截面的面积为4π与9π，其截面圆心分别为M，N，则线段|MN|的长度最大值为_________ ．8．球O的球面上有三点A，B，C，且BC=3，∠BAC=30°，过A，B，C三点作球O的截面，球心O到截面的距离为4，则该球的体积为_________ ．9．设倒圆锥形容器的轴截面为一个等边三角形，在此容器内注入水，并浸入半径为r的一个实心球，使球与水面恰好相切，试求取出球后水面高为多少1．正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（）2．一个空间几何体的三视图如图所示，且这个空间几何体的所有顶点都在一个球面上，则这个球的表面积是（）3．一个三棱锥的三视图是三个直角三角形，如图所示，则该三棱锥的外接球的表面积为（）4．三棱锥S﹣ABC的顶点都在同一球面上，且，则该球的体积为（）A．B．C．16πD．64π5．三棱锥P﹣ABC的四个顶点均在同一球面上，其中△ABC是正三角形，PA⊥平面ABC，PA=2AB=6，则该球的体积为（）6．四个顶点都在球O上的四面体ABCD所有棱长都为12，点E、F分别为棱AB、AC的中点，则球O截直线EF所得弦长为（）点评：本题是基础题，考查空间想象能力，正四面体的外接球转化为正方体外接球，使得问题的难度得到降低，问题得到解决，注意正方体的对角线就是球的直径，也是比较重要的．7．已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB=3，AC=4，AB⊥AC，AA1=12，则球O的半径为（）8．将长宽分别为3和4的长方形ABCD沿对角线AC折起直二面角，得到四面体A﹣BCD，则四面体A﹣BCD的外接球的表面积为（）9．已知半径为5的球O被互相垂直的两个平面所截，得到的两个圆的公共弦为4，若其中的一圆的半径为4，则另一圆的半径为（）10．在三棱锥A﹣BCD中，侧棱AB、AC、AD两两垂直，△ABC、△ACD、△ADB 的面积分别为、、，则该三棱锥外接球的表面积为（）11．一个四面体A﹣BCD中，AC=BD=3，AD=BC=4，AB=CD=5，那么这个四面体的外接球的表面积为（）A．50πB．25πC．D．考点：球内接多面体；球的体积和表面积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：由四面体A﹣BCD相对的棱长度相等，将其放置于长方体中，如图所示．由题意得该长方体的外接球就是四面体A﹣BCD的外接球，因此算出长方体的对角线长得到外接球的直径，利用球的表面积公式加以计算，可得四面体A﹣BCD的外接球的表面积．解答：解：将四面体A﹣BCD放置于长方体中，如图所示．∵四面体A﹣BCD的顶点为长方体八个顶点中的四个，∴长方体的外接球就是四面体A﹣BCD的外接球，∵AC=BD=3，AD=BC=4，AB=CD=5，∴长方体的对角线长为=5，可得外接球的直径2R=5，所以R=因此，外接球的表面积为S=4πR2=25π．故选：B点评：本题给出相对棱长相等的四面体，求它的外接球的表面积．着重考查了长方体的性质、长方体的对角线长公式和球的表面积公式等知识，属于中档题．12．已知Rt△ABC的顶点都在半径为4的球O面上，且AB=3，BC=2，∠ABC=，则棱锥O﹣ABC的体积为（）A．B．C．D．考点：球内接多面体；棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：先求AC的值，利用△ABC外接圆是球O的截面圆，球心O在平面ABC的射影点为AC的中点O′，求出OO′，即可求得棱锥O﹣ABC的体积．解答：解：∵AB=3，BC=2，∠ABC=，∴AC=△ABC外接圆是球O的截面圆，球心O在平面ABC的射影点为AC的中点O′，此时OO′==∴棱锥O﹣ABC的体积为=故选A．点评：本题考查棱锥体积的计算，考查球的截面圆，属于基础题．13．在正四棱锥S﹣ABCD中，侧面与底面所成角为，则它的外接球的半径R与内径球半径r的比值为（）A．5B．C．10D．考点：球内接多面体．专题：计算题；压轴题．分析：由题意通过侧面与底面所成角为，设出正四棱锥的底面边长，求出斜高，侧棱长，求出内切球的半径与正四棱锥底面边长的关系；利用外接球的球心与正四棱锥的高在同一条直线，结合勾股定理求出，外接球的半径与底面边长的关系，即可得到比值．解答：解：由于侧面与底面所成角为，可知底面边长与两个对面斜高构成正三角形，设底面边长为a，则斜高也为a，进而可得侧棱长为，高为四棱锥的内切球半径就是上述正三角形的内切圆半径为，其外接球球心必在顶点与底面中心连线上，半径为R，球心为O，顶点为P，底面中心为O1，底面一个顶点为B，则OB=OP，于是就有：（﹣R）2+（）2=R2解得R=．所以两者的比为：．故选D点评：本题是中档题，考查学生的空间想象能力，计算能力推理能力．求出球的半径与正三棱柱的底面边长的关系，是本题的关键．14．已知球O的表面积为20π，SC是球O的直径，A、B两点在球面上，且AB=BC=2，，则三棱锥S﹣AOB 的高为（）A．B．C．D．1考点：球内接多面体；棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题；压轴题；空间位置关系与距离．分析：将三棱锥S﹣AOB的高，转化为C到平面AOB的距离，利用等体积法，即可求得结论．解答：解：∵球O的表面积为20π，∴球O的半径为，∵SC是球O的直径，∴三棱锥S﹣AOB的高等于C到平面AOB的距离，设为h∵AB=BC=2，，∴cosA==∴sinA=∴△ABC外接圆半径为=2∴O到平面ABC的距离为1∵，∴∴h=故选C．点评：本题考查三棱锥的高，考查三棱锥的体积公式，考查学生的转化能力，属于中档题．15．如图，平面四边形ABCD中，AB=AD=CD=1，，将其沿对角线BD折成四面体A′﹣BCD，使平面A′BD⊥平面BCD，若四面体A′﹣BCD顶点在同一个球面上，则该球的体积为（）A．B．3πC．D．2π考点：球内接多面体；球的体积和表面积．专题：计算题；压轴题．分析：说明折叠后几何体的特征，求出三棱锥的外接球的半径，然后求出球的体积．解答：解：由题意平面四边形ABCD中，AB=AD=CD=1，，将其沿对角线BD折成四面体A′﹣BCD，使平面A′BD⊥平面BCD，若四面体A′﹣BCD顶点在同一个球面上，可知A′B⊥A′C，所以BC 是外接球的直径，所以BC=，球的半径为：；所以球的体积为：=．故选A点评：本题是基础题，考查折叠问题，三棱锥的外接球的体积的求法，考查计算能力，正确球的外接球的半径是解题的关键．16．已知正六棱柱的12个顶点都在一个半径为3的球面上，当正六棱柱的体积最大（柱体体积=底面积×高）时，其高的值为（）A．B．C．D．考点：球内接多面体．专题：计算题；压轴题．分析：根据正六棱柱和球的对称性，球心O必然是正六棱柱上下底面中心连线的中点，作出过正六棱柱的对角面的轴截面即可得到正六棱柱的底面边长、高和球的半径的关系，在这个关系下求函数取得最值的条件即可求出所要求的量．解答：解：以正六棱柱的最大对角面作截面，如图．设球心为O，正六棱柱的上下底面中心分别为O，O2，则O是1 O1，O2的中点．设正六棱柱的底面边长为a，高为2h，则a2+h2=9．正六棱柱的体积为，即，则，得极值点，不难知道这个极值点是极大值点，也是最大值点．故当正六棱柱的体积最大，其高为．故选B点评：本题是在空间几何体、导数的应用交汇处命制，解题的关键是建立正六棱柱体积的函数关系式．考生如果对选修系列四的《不等式选讲》较为熟悉的话，求函数的条件可以使用三个正数的均值不等式进行．17．直三棱柱ABC﹣A1B1C1的各顶点都在同一球面上，若AB=AC=AA1=2，∠BAC=120°，则此球的表面积等于20π．考点：球内接多面体．专题：计算题；压轴题．分析：通过已知体积求出底面外接圆的半径，设此圆圆心为O'，球心为O，在RT△OBO'中，求出球的半径，然后求出球的表面积．解答：解：在△ABC中AB=AC=2，∠BAC=120°，可得，由正弦定理，可得△ABC外接圆半径r=2，设此圆圆心为O'，球心为O，在RT△OBO'中，易得球半径，故此球的表面积为4πR2=20π故答案为：20π点评：本题是基础题，解题思路是：先求底面外接圆的半径，转化为直角三角形，求出球的半径，这是三棱柱外接球的常用方法；本题考查空间想象能力，计算能力．18．正四面体ABCD的棱长为4，E为棱BC的中点，过E作其外接球的截面，则截面面积的最小值为4π．考点：球内接多面体．专题：计算题；空间位置关系与距离；球．分析：根据题意，将四面体ABCD放置于如图所示的正方体中，则正方体的外接球就是四面体ABCD的外接球．因此利用题中数据算出外接球半径R=，过E点的截面到球心的最大距离为，再利用球的截面圆性质可算出截面面积的最小值．解答：解：将四面体ABCD放置于正方体中，如图所示可得正方体的外接球就是四面体ABCD的外接球，∵正四面体ABCD的棱长为4，∴正方体的棱长为，可得外接球半径R满足，解得R=E为棱BC的中点，过E作其外接球的截面，当截面到球心O的距离最大时，截面圆的面积达最小值，此时球心O到截面的距离等于正方体棱长的一半，可得截面圆的半径为r==2，得到截面圆的面积最小值为S=πr2=4π．故答案为：4π点评：本题给出正四面体的外接球，求截面圆的面积最小值．着重考查了正方体的性质、球内接多面体和球的截面圆性质等知识，属于中档题．19．设A、B、C、D是半径为2的球面上的四点，且满足AB⊥AC，AD⊥AC，AB⊥AD，则S△ABC+S△ABD+S△ACD的最大值是8 ．考点：球内接多面体．分析：根据题意，以AB、AC、AD为长、宽、高作长方体，可得长方体与三棱锥D﹣ABC有相同的外接球．从而算出长方体的对角线长为4，得AB2+AC2+AD2=16．再利用基本不等式求最值即可算出S△ABC+S△ABD+S△ACD的最大值．解答：解：∵AB⊥AC，AD⊥AC，AB⊥AD，∴以AB、AC、AD为长、宽、高，作长方体如图所示可得长方体的外接球就是三棱锥D﹣ABC的外接球∵球的半径为2，可得直径为4∴长方体的对角线长为4，得AB2+AC2+AD2=16∵S△ABC=AB?AC，S△ABD=AB?AD，S△ACD=AC?AD∴S△ABC+S△ABD+S△ACD=（AB?AC+AB?AD+AC?AD）∵AB?AC+AB?AD+AC?AD≤AB2+AC2+AD2=16当且仅当AB=AC=AD时，等号成立∴当且仅当AB=AC=AD时，S△ABC+S△ABD+S△ACD的最大值为8故答案为：8点评：本题求内接于球的三棱锥的侧面积的最大值，着重考查了球内接多面体、长方体的性质和基本不等式求最值等知识，属于中档题．20．已知四棱锥P﹣ABCD的底面是边长为a的正方形，所有侧棱长相等且等于a，若其外接球的半径为R，则等于．考点：球内接多面体．专题：空间位置关系与距离．分析：画出图形，求出外接球的半径即可求出结果．解答：解：底面ABCD外接圆的半径是，即AO=．则PO===，∴四棱锥的外接球的半径为：，即R=，∴=．故答案为：．点评：本题考查几何体的外接球的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．21．已知正三棱锥P﹣ABC，点P，A，B，C都在半径为的球面上，若PA，PB，PC两两垂直，则球心到截面ABC 的距离为．考点：球内接多面体．专题：计算题；压轴题．分析：先利用正三棱锥的特点，将球的内接三棱锥问题转化为球的内接正方体问题，从而将所求距离转化为正方体中，中心到截面的距离问题，利用等体积法可实现此计算解答：解：∵正三棱锥P﹣ABC，PA，PB，PC两两垂直，∴此正三棱锥的外接球即以PA，PB，PC为三边的正方体的外接圆O，∵圆O的半径为，∴正方体的边长为2，即PA=PB=PC=2球心到截面ABC的距离即正方体中心到截面ABC的距离设P到截面ABC的距离为h，则正三棱锥P﹣ABC的体积V=S△ABC×h=S△PAB×PC=××2×2×2=2△ABC为边长为2的正三角形，S△ABC=×∴h==∴正方体中心O到截面ABC的距离为﹣=故答案为点评：本题主要考球的内接三棱锥和内接正方体间的关系及其相互转化，棱柱的几何特征，球的几何特征，点到面的距离问题的解决技巧，有一定难度，属中档题22．在半径为13的球面上有A，B，C 三点，AB=6，BC=8，CA=10，则（1）球心到平面ABC的距离为12 ；（2）过A，B两点的大圆面与平面ABC所成二面角为（锐角）的正切值为 3 ．考点：球内接多面体．专题：计算题；压轴题．分析：（1）由题意说明△ABC是直角三角形，平面ABC是小圆，圆心在AC的中点，利用勾股定理直接求出球心到平面ABC的距离．（2）如图作出过A，B两点的大圆面与平面ABC所成二面角，直接求出它的正切值即可．解答：解：（1）AB=6，BC=8，CA=10，△ABC是直角三角形，平面ABC是小圆，圆心在AC的中点D，AO=13，AD=5，球心到圆心的距离就是球心到平面ABC的距离，即：OD=12（2）过D作DE垂直AB于E，连接OE则∠OED就是过A，B两点的大圆面与平面ABC所成二面角．易得DE=4所以tan∠OED==3故答案为：（1）12；（2）3．点评：本题是基础题，考查球的截面问题，二面角的求法，考查空间想象能力，计算能力，能够正确作出图形是解好本题个前提，也是空间想象能力的具体体现．23．正三棱锥P﹣ABC的四个顶点同在一个半径为2的球面上，若正三棱锥的侧棱长为2，则正三棱锥的底面边长是3 ．考点：球内接多面体；棱锥的结构特征．专题：计算题；作图题；压轴题．分析：画出正三棱锥的图形，设出底面边长，利用三角形相似求出AE，求出底面三角形的高，设出底面边长，然后求出正三棱锥的底面边长．解答：解：由题意画出正三棱锥的图形如图，三角形ABC的中心为E，连接PE，球的球心O，在PE上，连接OA，取PA的中点F连接OF，则PO=2=OA，PF=，OF=1△PFO∽△PAE所以，AE=，底面三角形的高为：底面三角形的边长为：aa=3故答案为：3点评：本题考查球内接多面体，棱锥的结构特征，考查作图能力，计算能力，是基础题．24．与四面体的一个面及另外三个面的延长面都相切的球称为该四面体的旁切球，则棱长为1的正四面体的旁切球的半径r= ．考点：球内接多面体．专题：计算题；压轴题；新定义．分析：先根据题意作出图形，如图所示，圆O是棱长为1的正四面体ABCD的旁切球的大圆，AF是正四面体ABCD 的高，F是底面三角形BCD的中心，AG是大圆O的切线，G为切点，设大圆的半径为R，在三角形ABC中，求出AE，在直角三角形AEF中，求出AF，再利用△AOG∽△AEF，得出关于R的方程即可求出答案．解答：解：根据题意作出图形，如图所示，圆O是棱长为1的正四面体ABCD的旁切球的大圆，AF是正四面体A﹣BCD的高，F是底面三角形BCD的中心，AE是侧面上的中线，AG是大圆O的切线，G为切点，设大圆的半径为R，在三角形ABC中，AE==ED，在直角三角形AEF中，EF=ED=×=，∴AF==，在三角形AOG和三角形AEF中，∵∠OAG=∠EAF，∠AGO=∠AFE=90°，∴△AOG∽△AEF，∴即，∴R=．故答案为：．点评：本小题主要考查球内接多面体、棱锥的几何特征、三角形相似等基础知识，考查运算求解能力，考查空间想象能力．属于基础题．参考答案与试题解析一．填空题（共8小题）1．过正三棱锥一侧棱及其半径为R的外接球的球心O所作截面如图，则它的侧面三角形的面积是．考点：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：底面正三角形在球的大圆上，且圆心是正三角形的中心，从而求出底和高．解答：解：由图可知，底面正三角形在球的大圆上，则正三角形的高为，边长为=R．正三棱锥的高为R．则侧面三角形的底边长为R，高为=；则S=?R?R=．点评：考查了学生的空间想象力，及组合体中面积，体积的求法．2．一正方体内接于一个球，经过球心作一个截面，则截面的可能图形为①②③（只填写序号）．考点：简单空间图形的三视图．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：当截面的角度和方向不同时，球的截面不相同，应分情况考虑．解答：解：当截面与正方体的一面平行时，截面图形如③，当截面不与正方体的一面平行，截面图形如①②．故答案为：①②③．点评：截面的形状既与被截的几何体有关，还与截面的角度和方向有关．3．棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如图，则图中三角形（正四面体的截面）的面积是．考点：球内接多面体；棱锥的结构特征．专题：作图题；证明题．分析：将截面图转化为立体图，求三角形面积就是求正四面体中的△ABD的面积．解答：解：如图球的截面图就是正四面体中的△ABD，已知正四面体棱长为2所以AD=，AC=1所以CD=截面面积是：故答案为：点评：本题考查球内接多面体以及棱锥的特征，考查空间想象能力，是中档题．4．已知正三棱锥S﹣ABC内接于半径为6的球，过侧棱SA及球心O的平面截三棱锥及球面所得截面如右图，则此三棱锥的侧面积为．考点：球的体积和表面积；棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．专题：计算题；压轴题．分析：根据图示，这个截面三角形图由原正三棱锥的一条棱，一个侧面三角形的中线和底面正三角形的中线围成，正三棱锥的外接球的球心在底面正三角形的重心上，从而可求得侧面的底边长与高，故可求．解答：解：根据图示，这个截面三角形图由原正三棱锥的一条棱，一个侧面三角形的中线和底面正三角形的中线围成，正三棱锥的外接球的球心在底面正三角形的重心上，于是有半径R=底面中线长设BC的中点为D，连接SO∵R=6∴AD=9，∴OD=3，SD==，BC=，∴三棱锥的侧面积=×=．故答案为：点评：本题考查空间想象能力，关键是要抓住这个截面三角形图由原正三棱锥的一条棱，一个侧面三角形的中线和底面正三角形的中线围成，正三棱锥的外接球的球心在底面正三角形的重心上．5．（2012?桂林模拟）如图，已知球O是棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的内切球，则平面ACD1截球O的截面面积为．考点：球的体积和表面积．专题：计算题；数形结合．分析：根据正方体和球的结构特征，判断出平面ACD是正三角形，求出它的边长，再通过图求出它的内切圆的半1径，最后求出内切圆的面积解答：解：根据题意知，平面ACD是边长为的正三角形，且球与以点D为公共点的三个面的切点恰为三角形1ACD1三边的中点，故所求截面的面积是该正三角形的内切圆的面积，则由图得，△ACD1内切圆的半径是×tan30°=，则所求的截面圆的面积是π××=．故选A．点评：本题考查了正方体和它的内接球的几何结构特征，关键是想象出截面图的形状，考查了空间想象能力，数形结合的思想6．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1内有一个球与正方体的各个面都相切，经过DD1和BB1作一个截面，正确的截面图是（2）．考点：棱柱的结构特征．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：由正方体ABCD﹣AB1C1D1内有一个球与正方体的各个面都相切，知经过DD1和BB1作一个截面，得到的截面1是一个长方形，里面包含一个圆，且这个圆的直径与长方形的宽相等，圆心是长方形的对角线的交点．解答：解：∵正方体ABCD﹣AB1C1D1内有一个球与正方体的各个面都相切，1经过DD1和BB1作一个截面，∴得到的截面是一个长方形，里面包含一个圆，且这个圆的直径与长方形的宽相等，圆心是长方形的对角线的交点，∴正确的截面图是（2）．故答案为：（2）．点评：本题考查棱柱的结构特征及其应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．7．已知空间中动平面α，β与半径为5的定球相交所得的截面的面积为4π与9π，其截面圆心分别为M，N，则线段|MN|的长度最大值为．考点：球的体积和表面积．专题：计算题；空间位置关系与距离；球．分析：画出图形，利用两个截面圆的圆心距与截面圆的圆心与球的球心的距离的关系，判断MN的距离的最大值的位置，求出距离即可．解答：解：由题意可知几何体的图形如图，截面圆的圆心与球的球心三点中，MO，NO是定值，当三点共线时，MN 距离最大，空间中动平面α，β与半径为5的定球相交所得的截面的面积为4π与9π，OM==，ON==4，MN的最大距离为：．故答案为：．点评：本题考查球的截面圆的位置关系，考查空间想象能力以及计算能力．8．球O的球面上有三点A，B，C，且BC=3，∠BAC=30°，过A，B，C三点作球O的截面，球心O到截面的距离为4，则该球的体积为．考点：球的体积和表面积．专题：空间位置关系与距离．分析：根据正弦定理，求出△ABC的外接圆半径r，进而根据球心O到截面的距离d=4，结合R=求出球的半径，代入球的体积公式，可得答案．解答：解：∵△ABC中BC=3，∠BAC=30°，∴△ABC的外接圆半径r满足：2r==6．故r=3．又∵球心O到截面的距离d=4，∴球的半径R==5．故球的体积V==，故答案为：点评：本题主要考查球的球面面积，涉及到截面圆圆心与球心的连垂直于截面，这是求得相关量的关键．二．解答题（共1小题）9．（2014?上海二模）设倒圆锥形容器的轴截面为一个等边三角形，在此容器内注入水，并浸入半径为r的一个实心球，使球与水面恰好相切，试求取出球后水面高为多少。
高中数学新学案同步 必修2苏教版 第一章 立体几何初步 1.3.2
(2)求几何体体积时需注意的问题
柱、锥、台体的体积的计算，一般要找出相应的底面和高，要充分利用
截面、轴截面，求出所需要的量，最后代入公式计算.
跟踪训练1
(1) 如 图 所 示 ， 在 长 方 体 ABCD －
A′B′C′D′中，用截面截下一个棱锥C－A′DD′， 求棱锥C－A′DD′的体＝b，AA′＝c，
第1章 1.3
空间几何体的表面积和体积
1.3.2 空间几何体的体积
学习目标
1.掌握柱体、锥体、台体的体积公式，会利用它们求有关几何
体的体积.
2.了解球的表面积与体积公式，并能应用它们求球的表面积及
体积.
3.会求简单组合体的体积及表面积.
内容索引
问题导学
题型探究
达标检测
问题导学
知识点一
柱体、锥体、台体的体积公式
(4)正方体的外接球 正方体棱长 a 与外接球半径 R 的关系为 2R＝ 3a. (5)正四面体的外接球 6 正四面体的棱长 a 与外接球半径 R 的关系为 2R＝ 2 a.
跟踪训练2
(1)将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则该球 4π 3 的体积为________. 解析 由题意知，此球是正方体的内切球.根据其几何特征知，
1 1 1 1 ∴VC－A′D′D＝3CD· S△A′D′D＝3a· 2bc＝6abc，
1 5 ∴剩余部分的体积为 VABCD－A′B′C′D′－VC－A′D′D＝abc－6abc＝6abc，
∴棱锥C－A′DD′的体积与剩余部分的体积之比为1∶5.
解答
(2)已知一个三棱台上、下底面分别是边长为20 cm和30 cm的正三角形，
如图，P为三棱柱上底面的中心，O为球心，
g3.1071球
g3.1071球一. 知识回顾:球：⑴球的截面是一个圆面.①球的表面积公式：24R S π=. ②球的体积公式：334R V π=. ⑵纬度、经度：①纬度：地球上一点P 的纬度是指经过P 点的球半径与赤道面所成的角的度数.②经度：地球上B A ,两点的经度差，是指分别经过这两点的经线与地轴所确定的二个半平面的二面角的度数，特别地，当经过点A 的经线是本初子午线时，这个二面角的度数就是B 点的经度. 附：①圆柱体积：h r V 2π=（r 为半径，h 为高）②圆锥体积：h r V 231π=（r 为半径，h 为高）③锥形体积：Sh V 31=（S 为底面积，h 为高） (3). ①内切球：当四面体为正四面体时，设边长为a ，a h 36=，243a S =底，243a S =侧 得a a a R R a R a a a 46342334/424331433643222=⋅==⇒⋅⋅+⋅=⋅. 注：球内切于四面体：h S R S 313R S 31V 底底侧ACD B ⋅=⋅+⋅⋅⋅=- ②外接球：球外接于正四面体，可如图建立关系式.二. 基础训练:1、（2002年北京高考题）64个直径都为4a的球，记它们的体积之和为甲V ，表面积之和为甲S ；一个直径OrOR为a 的球，记其体积为乙V ，表面积为乙S ，则（ C ）（A ）乙甲乙甲且S S V V >> （B ）乙甲乙甲且S S V V << （C ）乙甲乙甲且S S V V >= （D ）乙甲乙甲且S S V V ==2、一个圆锥的底面直径和高都同一个球的直径相等，那么圆锥与球的体积之比是（ C ）（A ）31 （B ）32 （C ）21 （D ）923、（1998年全国高考题）球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的61，经过这三个点的小圆的周长为4π，那么这个球的半径为（ B ）（A ）34 （B ） 32 （C ）2 （D ）34、长方体的过一个顶点的三条棱长分别为3，4，5，且它的八个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积为（ D ）（A ）π22 （B ）π225 （C ）π50 （D ）π2005、在北纬045圈上有甲、已两地，甲地位于东径0120，乙地位于西径0150，则地球（半径为R ）表面上甲、乙两地的最短距离为（ D ） （A ）R π （B ）R 2π （C ）R 23π （D ）R 3π三.例题讲解:例1．已知三棱锥P ABC -内接于球, 三条侧棱两两垂直且长都为1, 求球的表面积与体积.例2．在北纬60圈上有甲、乙两地，它们的纬度圆上的弧长等于2R π(R 为地球半径)，求甲，乙两地间的球面距离。
球体的切平面与剖面解析
球体的切平面与剖面解析球体作为一种常见的几何形体，在许多领域都有重要的应用。
本文将探讨球体的切平面与剖面解析，展示其独特的几何特性。
一、球体的基本概念和性质在开始讨论切平面和剖面之前，我们先来回顾一下球体的基本概念和性质。
球体是由所有和球心距离小于等于半径的点构成的立体，其表面由无数个相互垂直的小圆面构成。
一个球体由三个主要元素描述：球心、半径和球面。
二、球体的切平面在球体上切下一个平面，我们可以得到一个横截面。
横截面通常表现为一个曲线，这条曲线也被称为球体的圆截曲线。
球体的圆截曲线具有一些特殊性质。
首先，该曲线的任意一点都在球体的表面上。
其次，对于所有的切平面，圆截曲线的长度等于球体的周长。
最后，无论切平面的位置如何变化，该圆截曲线的形状不会改变，只有大小和位置发生变化。
三、球体的剖面与切平面不同，球体的剖面是通过将球体分割而得到的。
球体的剖面通常表现为一个二维形状，取决于剖面的位置和方向。
球体的剖面可以是一个圆，当剖面通过球体的中心时，剖面将成为一个直径。
如果剖面通过球体的表面，剖面将成为一个切点和切线。
四、切平面和剖面的应用球体的切平面和剖面在科学、工程和艺术等领域有广泛的应用。
在科学研究中，它们可以用于描述物体的几何特性和物质的分布情况。
在工程中，切平面和剖面可以用来设计和制造球体零件，并确定其性能和适用范围。
在艺术领域，球体的切平面和剖面可以用来创建视觉效果和艺术作品。
结论通过对球体的切平面和剖面进行解析，我们可以更好地理解和应用球体的几何特性。
切平面和剖面作为球体的重要性质，具有广泛的应用范围，并在科学、工程和艺术等领域发挥着重要的作用。
通过深入研究和应用切平面和剖面的理论，我们可以不断拓展对球体的认识，并为相关领域的发展做出贡献。
总结：本文对球体的切平面和剖面进行了解析，并介绍了它们的基本概念和性质。
切平面和剖面的研究对于深入理解球体的几何特性以及在科学、工程和艺术中的应用具有重要意义。
球体切面课件ppt
地球物理学中的球体切面
总结词
地球物理学中，球体切面用于研究地 球内部结构和地质活动。
详细描述
在地球物理学中，球体切面常被用来 表示地球内部的结构和地质活动。通 过球体切面图，科学家可以更直观地 了解地球的圈层结构、板块运动以及 地震活动的分布等。
物理学实验中的球体切面
总结词
物理学实验中，球体切面用于研究物体在旋 转状态下的受力情况和稳定性。
描述物体在重力场中的运动轨迹，特 别是自由落体运动和抛物线运动。
总结词
详细描述
通过球体切面，我们可以直观地理解 物体在重力作用下的运动轨迹，这对 于理解物理概念和解决实际问题非常 重要。
重力场中球体切面是研究物体运动轨 迹的重要工具。
电场中的球体切面
电场中的球体切面
描述带电粒子在电场中的运动轨 迹，特别是电场力对粒子运动的
总结词
当球体被一个与球心重合的平面切割时，切面为抛物线。
详细描述
当球体被一个与球心重合的平面切割时，形成的切面是一个抛物线。这个抛物线的形状取决于切割的 角度和方向。在某些特定的情况下，这种抛物线形状可以在一些自然现象中找到，比如火山喷发时的 抛物线轨迹等。
球体切面形成的双曲线
总结词
当球体被两个平行的平面切割时，如果 这两个平面既不与球心平行也不与球心 重合，则切面为双曲线。
球体切面课件
目录
• 球体切面的基本概念 • 球体切面的几何形状 • 球体切面的物理意义 • 球体切面的实际应用
01
球体切面的基本概念
球体的定义与性质
定义
球体是一个三维几何体，其所有 点与固定点（称为球心）的距离 相等。
性质
球体具有对称性，其表面是连续 且光滑的，没有棱角或平面。
§1.1简单旋转体
第一章 立体几何初步
§1.1 简单旋转体
高一数学备课组
新课导入 在我们周围存在着各种各样的物体，它们 都占据着空间的一部分，如果我们只考虑这 些物体的形状和大小，而不考虑其它因素， 那么由这些抽象出来的空间图形就称为空间 几何体。
探究:观察下面几何体，说说它们有何共同特征？
题型二 圆柱、圆台与圆锥的概念 例2 下列叙述中正确的个数是( A ) ①以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转 体是圆锥；②以直角梯形的一腰为轴旋转一周所 得的旋转体是圆台；③圆柱、圆锥、圆台的底面 都是圆；④用一个平面去截圆锥，得到一个圆锥 和一个圆台． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3
CD＝
CE 10 o 1 ＝20， cos 60 2
故圆台的母线长为20.
变式训练3 已知一个圆台上、下两底面 面积分别为π和4π，其轴截面的面积为 3 ． 9，则该圆台的高为________
题型三 简单几何体的综合运用 例4.已知ABCD为正方形，分别以AB，AC所在的直 线为旋转轴，将正方形绕旋转轴所在的直线旋转 一周，判断所形成的几何体的形状．
组成几何体的每个面不都是平面图形。 像这样的几何体称为旋转体。
研探新 知 1.旋转体 一条平面曲线绕它所在平面内的一条
定直线旋转所形成的曲面称为旋转面。
封闭的旋转面围成 的几何体称为旋转 体。 绕之旋转的定直线 称为旋转体的轴， 如图直线OO′。
轴
简单的旋转体 1.球
（1）定义 以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆旋转所 形成的曲面称为球面。球面所围成的几何体称为 球体，简称球。半圆的圆心称为球心。连接球心 和球面上任意一点的线段称为球的半径。 连接球面上两点且过球心的线段 A 称为球的直径。 半径 （2）表示 O 球用表示球心的字母表示， 球心 右图中球表示为球O。
专题：外接球
A. 64
B. 16
C. 12
D. 4
O
O
16 3
O O1
课堂小结：
1. 正方体，长方体，正棱柱，正棱锥的外接球球心位置 2. 棱长为a的正四面体外接球半径为
6 a 4
3. 求三棱锥的外
例1、三条侧棱两两垂直的三棱锥 例 2 、一条侧棱垂直于底面，底面是直角 三角形的三棱锥
例3、正四面体 例4、对棱相等的三棱锥
二、确定球心位置法
若点A、B、C是球面上的三点，点O′是ΔABC的外 心，则球心O在过O′与平面ABC垂直的直线上。
例5. 在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，沿AC将矩形ABCD折成一个直 二面角B-AC-D，则四面体ABCD的外接球的体积为 125
2 2 2
A
长方体的外接球
对角面
2 R a 2 b2 c 2
a 2 b2
设长方体的长、宽、高分别为a、b、c
长方体外接球的直径等于长方体体对角线
一、构造法
构造正方体或长方体
例1、若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为 3 ， 则其外接球的表面积是 9
例2. 已知三棱锥A BCD的顶点都在球O的球面上，且AB 面BCD，
简单多面体的外接球、内切球问题
北京师范大学贵阳附属中学 童加林
球的性质
1. 用一个平面去截球，截面是圆面；用一个平面去
截球面， 截线是圆。 大圆--截面过球心,半径等于球半径; 小圆--截面不过球心
2. 球心和截面圆心的连线垂直于截面
3. 球心到截面的距离d 与球的半径R 及截面圆的半径r的关系： R r d
多面体与球体的切接问题课件(共23张PPT)
基本知识回顾：
一、 球体的体积与表面积
①
V球
4
3
R3
二、球与多面体的接、切
② S球面 4 R2
定义外1：接若球一个球多心面体到的各各顶顶点点都在的一距个球离的相球面等上(，R)
则称这个多面体是这个球的内接多面体， 这个球是这个多面体的外接球 。
定义内2：切若一球个球多面心体到的各各面面都与的一距个球离的相球面等相(切r)，
3.直棱柱的外接球半径 （1）先找外接球的球心：
它的球心是连接上下两个多边形的外心的 线段的中点；
（2） 再构造直角三角形，勾股定理求解
二、棱锥与球
正四面体ABCD的棱长为a，求其内 切球半径r与外接球半径R.
R 6a 4
r 6a 12
难点突破：如何求正四面体的外接球半径
法1.补成正方体
A B
（2）勾股定理法 （通法）
关键是找球心，球心一定在过底面的外心与底 面垂直的直线上，画出截面图，构造与R有关 的直角三角形。
求棱锥内切球半径的方法：等体积法
A B
O
O
D
C 正四面体外接球的半径
D C
正方体外接球的半径
难点突破：如何求正四面体的外接球半径
法2.勾股定理法
P
P
O
A
C
A
M
DBBiblioteka •OD ME
求棱锥外接球半径的方法： （1）补形法（适用特殊棱锥）
三条侧棱两两垂直的三棱锥常补成长方体； 三组对棱分别相等的三棱锥可补成长方体； 侧棱垂直底面的棱锥可补成直棱柱
则称这个多面体是这个球的外切多面体， 这个球是这个多面体的内切球 。
1.若正方体的棱长为a，则
人教版中职数学9.5.3球
(1)定义：半圆以它的直径为旋转轴，旋转一周所形成的
曲面叫做球面．球面所围成的几何体，叫做球体，简称球．
(2) 球的元素
① 球心； ② 球的半径； ③ 球的直径；
球心 O
半径
直径
球的表示方法： 用表示球心的字母表示，如 球 O．
(2) 球的元素
球心 O
半径
直径
球面可以看作空间中与定点（球心）距离等于定长 （半径）的点的全体构成的集合（轨迹）；
同样，球体也可以看作空间中与定点距离等于或小
于定长的点的全体构成的集合．
(3)球的截面
用一个平面去截一个球, 截面是什么图形？
用一个平面去截一个球，截面是圆面． ① 球心和截面圆心的连线垂直于截面；
② 球心到截面的距离 d
与球的半径 r , 有下面的关系:
R
2
O d r O
d
R r
2
a
P
（4）大圆 球面被经过球心的平面 截得的圆叫做大圆．
A
R
R
O
B
（5）小圆 被不经过球心的平面 截得的圆叫做小圆．
(1) 经线和纬线的规定：
过南北极的半个大圆是经线，平行于赤道的小圆是纬 线．
(2)经度和纬度的规定：
北极 经线 O 赤道
纬线 南极
假如你要乘坐从济南直飞广州的飞机,设想一下， 它需要沿着怎样的航线飞行呢？航程大约是多少呢？ (1) 济南和广州间的距离是一条线段的长吗？ 不是，是一段圆弧的长. (2) 经过球面上的这两点有多少条弧呢？ 无数条 (3) 这无数条弧长哪条最短？
(1)若球的表面积变为原来的 2 倍， 则半径变为原来的
2
倍.
(2)若球半径变为原来的 2 倍， 则表面积变为原来的
第02章 基本体及其表面交线的投影 2
第二章基本体及其表面交线的投影§2.4.3 圆球面的截交线
P
V 1、当截平面为投影面平行面时，2
、当截平面为投影面垂直面时，
一、平面与圆球相交所得截交线形状R H
二、圆球截交线的求法
纬圆法
圆球面截交线求共有点的方法：
例1. 完成半球切槽的水平投影和侧面投影。
分析：
作图：
(1)求截交线的水平投影；
(2)求截交线的侧面投影；
例1. 完成半球切槽的水平投影和侧面投影。
注意：侧面投影图中，水平面以上的球面轮廓线已不存在。
(3)完成作图。
作图：
(1)求截交线的水平投影；
(2)
求截交线的侧面投影；
例1. 完成半球切槽的水平投影和侧面投影。
三、圆球截交线例题
小结：
圆球面截交线的形状
圆球面截交线的求法
圆球面截交线的例题。
高中数学搞定空间几何体的外接球与内切球学生版资料全
八个有趣模型——搞定空间几何体的外接球与切球当讲到付雨楼老师于2018年1月14日总第539期微文章，我如获至宝.为有了教学的实施，我以付老师的文章主基石、框架，增加了我个人的理解与例题，形成此文，仍用文原名，与各位同行分享.不当之处，敬请大家批评指正.一、有关定义1．球的定义：空间中到定点的距离等于定长的点的集合（轨迹）叫球面，简称球.2．外接球的定义：若一个多面体的各个顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的接多面体，这个球是这个多面体的外接球.3．切球的定义：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的切球.二、外接球的有关知识与方法1．性质：性质1：过球心的平面截球面所得圆是大圆，大圆的半径与球的半径相等；性质2：经过小圆的直径与小圆面垂直的平面必过球心，该平面截球所得圆是大圆；性质3：过球心与小圆圆心的直线垂直于小圆所在的平面（类比：圆的垂径定理）；性质4：球心在大圆面和小圆面上的射影是相应圆的圆心；性质5：在同一球中，过两相交圆的圆心垂直于相应的圆面的直线相交，交点是球心（类比：在同圆中，两相交弦的中垂线交点是圆心）.初图1初图22．结论：结论1：长方体的外接球的球心在体对角线的交点处，即长方体的体对角线的中点是球心；结论2：若由长方体切得的多面体的所有顶点是原长方体的顶点，则所得多面体与原长方体的外接球一样；结论3：长方体的外接球直径就是面对角线与与此面垂直的棱构成的直角三角形的外接圆圆心，换言之，就是：底面的一条对角线与一条高（棱）构成的直角三角形的外接圆是大圆；结论4：圆柱体的外接球球心在上下两底面圆的圆心连一段中点处；结论5：圆柱体轴截面矩形的外接圆是大圆，该矩形的对角线（外接圆直径）是球的直径；结论6：直棱柱的外接球与该棱柱外接圆柱体有一样的外接球；结论7：圆锥体的外接球球心在圆锥的高所在的直线上；结论8：圆锥体轴截面等腰三角形的外接圆是大圆，该三角形的外接圆直径是球的直径；结论9：侧棱相等的棱锥的外接球与该棱锥外接圆锥有一样的外接球.3．终极利器：勾股定理、正定理与余弦定理（解三角形求线段长度）；三、切球的有关知识与方法1．若球与平面相切，则切点与球心连线与切面垂直.（与直线切圆的结论有一致性）.2．切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等.（类比：与多边形的切圆）.3．正多面体的切球和外接球的球心重合.4．正棱锥的切球和外接球球心都在高线上，但不一定重合.5．基本方法：（1）构造三角形利用相似比和勾股定理；（2）体积分割是求切球半径的通用做法（等体积法）.四、与台体相关的，此略.五、八大模型第一讲 柱体背景的模型类型一、墙角模型（三条棱两两垂直，不找球心的位置即可求出球半径）图1-1图1-2图1-3方法：找三条两两垂直的线段，直接用公式2222)2(c b a R ++=，即2222c b a R ++=，求出R 例1 （1）已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是（ ）A ．π16B ．π20C ．π24D ．π32（2）若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是（3）在正三棱锥S ABC -中，M N 、分别是棱SC BC 、的中点，且MN AM ⊥,若侧棱SA =,则正三棱锥ABC S -外接球的表面积是.解：引理：正三棱锥的对棱互相垂直.证明如下：如图（3）-1，取BC AB ,的中点E D ,，连接CD AE ,，CD AE ,交于H ，连接SH ，则H 是底面正三角形ABC 的中心，∴⊥SH 平面ABC ，∴AB SH ⊥，BC AC =，BD AD =，∴AB CD ⊥，∴⊥AB 平面SCD ，∴SC AB ⊥，同理：SA BC ⊥，SB AC ⊥，即正三棱锥的对棱互垂直，本题图如图（3）-2， MN AM ⊥，MN SB //，∴SB AM ⊥， SB AC ⊥，∴⊥SB 平面SAC ， ∴SA SB ⊥，SC SB ⊥， SA SB ⊥，SA BC ⊥， ∴⊥SA 平面SBC ，∴SC SA ⊥，故三棱锥ABC S -的三棱条侧棱两两互相垂直，∴36)32()32()32()2(2222=++=R ，即3642=R ，∴正三棱锥ABC S -外接球的表面积是π36.（4）在四面体S ABC -中，ABC SA 平面⊥，,1,2,120====∠︒AB AC SA BAC 则该四面体的外接球的表面积为（ ）π11.A π7.B π310.C π340.D （5）如果三棱锥的三个侧面两两垂直，它们的面积分别为6、4、3，那么它的外接球的表面积是(3)题-1(引理）AC(3)题-2（解答图）AC（6）已知某几何体的三视图如图所示，三视图是腰长为1的等腰直角三角形和边长为1的正方形，则该几何体外接球的体积为类型二、对棱相等模型（补形为长方体）题设：三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相等，求外接球半径（CD AB =，BC AD =，BD AC =）第一步：画出一个长方体，标出三组互为异面直线的对棱；第二步：设出长方体的长宽高分别为c b a ,,，x BC AD ==，y CD AB ==，z BD AC ==，列方程组，(6)题图图2-1⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+222222222z a c y c b x b a ⇒2)2(2222222z y x c b a R ++=++=， 补充：图2-1中，abc abc abc V BCD A 31461=⨯-=-. 第三步：根据墙角模型，22222222z y x c b a R ++=++=，82222z y x R ++=，8222z y x R ++=，求出R .例2（1）如下图所示三棱锥A BCD -，其中5,6,7,AB CD AC BD AD BC ======则该三棱锥外接球的表面积为.(1)题图B（2）在三棱锥BCD A -中，2==CD AB ，3==BC AD ，4==BD AC ，则三棱锥BCD A -外接球的表面积为.（3）正四面体的各条棱长都为2，则该正面体外接球的体积为（4）棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如下图，则图中三角形(正四面体的截面)的面积是.(4)题类型三、汉堡模型（直棱柱的外接球、圆柱的外接球）图3-1图3-2图3-3题设：如图3-1，图3-2，图3-3,直三棱柱接于球（同时直棱柱也接于圆柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形）第一步：确定球心O 的位置，1O 是ABC ∆的外心，则⊥1OO 平面ABC ； 第二步：算出小圆1O 的半径r AO =1，h AA OO 212111==（h AA =1也是圆柱的高）； 第三步：勾股定理：21212O O A O OA +=⇒222)2(r hR +=⇒22)2(hr R +=，解出R .例3（1）一个正六棱柱的底面上正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为89，底面周长为3，则这个球的体积为 （2）直三棱柱111ABC A B C -的各顶点都在同一球面上，若12AB AC AA ===,120BAC ∠=︒，则此球的表面积等于.（3）已知EAB ∆所在的平面与矩形ABCD 所在的平面互相垂直，︒=∠===60,2,3AEB AD EB EA ，则多面体ABCD E -的外接球的表面积为.（4）在直三棱柱111C B A ABC -中，4,3,6,41====AA A AC AB π，则直三棱柱111C B A ABC -的外接球的表面积为.第二讲 锥体背景的模型类型四、切瓜模型（两个大小圆面互相垂直且交于小圆直径——正弦定理求大圆直径是通法）图4-1图4-2图4-3图4-41．如图4-1，平面⊥PAC 平面ABC ，且BC AB ⊥（即AC 为小圆的直径），且P 的射影是ABC ∆的外心⇔三棱锥ABC P -的三条侧棱相等⇔三棱ABC P -的底面ABC ∆在圆锥的底上，顶点P 点也是圆锥的顶点.解题步骤：第一步：确定球心O 的位置，取ABC ∆的外心1O ，则1,,O O P 三点共线；第二步：先算出小圆1O 的半径r AO =1，再算出棱锥的高h PO =1（也是圆锥的高）； 第三步：勾股定理：21212O O A O OA +=⇒222)(r R h R +-=，解出R ； 事实上，ACP ∆的外接圆就是大圆，直接用正弦定理也可求解出R .2．如图4-2，平面⊥PAC 平面ABC ，且BC AB ⊥（即AC 为小圆的直径），且AC PA ⊥，则利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：①222)2()2(r PA R +=⇔22)2(2r PA R +=；②2122OO r R +=⇔212OO r R +=3．如图4-3，平面⊥PAC 平面ABC ，且BC AB ⊥（即AC 为小圆的直径）21212O O C O OC +=⇔2122O O r R +=⇔2122O O R AC -=4．题设：如图4-4，平面⊥PAC 平面ABC ，且BC AB ⊥（即AC 为小圆的直径）第一步：易知球心O 必是PAC ∆的外心，即PAC ∆的外接圆是大圆，先求出小圆的直径r AC 2=；第二步：在PAC ∆中，可根据正弦定理R CcB b A a 2sin sin sin ===，求出R . 例4 （1）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为1，底面边长为32，则该球的表面积为.（2）正四棱锥ABCD S -的底面边长和各侧棱长都为2，各顶点都在同一球面上，则此球体积为 （3）一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是（ ）A ．433 B ．33 C ．43 D ．123（4）在三棱锥ABC P -中，3===PC PB PA ,侧棱PA 与底面ABC 所成的角为60，则该三棱锥外接球的体积为（ ）A ．π B.3πC. 4πD.43π（5）已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的求面上,ABC ∆是边长为1的正三角形,SC 为球O 的直径,且2SC =，则此棱锥的体积为（ ）A ．6B ．6 C ．3D ．2类型五、垂面模型（一条直线垂直于一个平面）1．题设：如图5，⊥PA 平面ABC ，求外接球半径.解题步骤：第一步：将ABC ∆画在小圆面上，A 为小圆直径的一个端点，作小圆的直径AD ，连接PD ，则PD 必过球心O ；第二步：1O 为ABC ∆的外心，所以⊥1OO 平面ABC ，算出小圆1O 的半径r D O =1（三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得r C c B b A a 2sin sin sin ===），PA OO 211=； 第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：①222)2()2(r PA R +=⇔22)2(2r PA R +=；②2122OO r R +=⇔212OO r R +=.2．题设：如图5-1至5-8这七个图形，P 的射影是ABC ∆的外心⇔三棱锥ABC P -的三条侧棱相等⇔三棱锥ABC P -的底面ABC ∆在圆锥的底上，顶点P 点也是圆锥的顶点.图5-1图5-2图5-3图5-4图5-6图5-7图5-8解题步骤：第一步：确定球心O 的位置，取ABC ∆的外心1O ，则1,,O O P 三点共线；第二步：先算出小圆1O 的半径r AO =1，再算出棱锥的高h PO =1（也是圆锥的高）； 第三步：勾股定理：21212O O A O OA +=⇒222)(r R h R +-=，解出R 方法二：小圆直径参与构造大圆，用正弦定理求大圆直径得球的直径.例5 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为( )A ．π3B ．π2C ．316πD ．以上都不对俯视图侧视图正视图第三讲 二面角背景的模型类型六、折叠模型题设：两个全等三角形或等腰三角形拼在一起，或菱形折叠(如图6)图6第一步：先画出如图6所示的图形，将BCD ∆画在小圆上，找出BCD ∆和BD A '∆的外心1H 和2H ； 第二步：过1H 和2H 分别作平面BCD 和平面BD A '的垂线，两垂线的交点即为球心O ，连接OC OE ,； 第三步：解1OEH ∆，算出1OH ，在1OCH Rt ∆中，勾股定理：22121OC CH OH =+ 注：易知21,,,H E H O 四点共面且四点共圆，证略.例6（1）三棱锥ABC P -中，平面⊥PAC 平面ABC ，△PAC 和△ABC 均为边长为2的正三角形，则三棱锥ABC P -外接球的半径为.（2）在直角梯形ABCD 中，CD AB //， 90=∠A ，45=∠C ，1==AD AB ，沿对角线BD 折成四面体BCD A -'，使平面⊥'BD A 平面BCD ，若四面体BCD A -'的顶点在同一个球面上，则该项球的表面积为（3）在四面体ABC S -中，BC AB ⊥，2==BC AB ，二面角B AC S --的余弦值为33-，则四面体ABC S -的外接球表面积为（4）在边长为32的菱形ABCD 中， 60=∠BAD ，沿对角线BD 折成二面角C BD A --为120的四面体ABCD ，则此四面体的外接球表面积为（5）在四棱锥ABCD 中， 120=∠BDA ， 150=∠BDC ，2==BD AD ，3=CD ，二面角C BD A -- 的平面角的大小为120，则此四面体的外接球的体积为类型七、两直角三角形拼接在一起(斜边一样,也可看作矩形沿对角线折起所得三棱锥)模型图7题设：如图7，90=∠=∠ACB APB ，求三棱锥ABC P -外接球半径（分析：取公共的斜边的中点O ，连接OC OP ,，则AB OP OC OB OA 21====，∴O 为三棱锥ABC P -外接球球心，然后在OCP 中求出半径），当看作矩形沿对角线折起所得三棱锥时与折起成的二面角大小无关，只要不是平角球半径都为定值.例7（1）在矩形ABCD 中，4=AB ，3=BC ，沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角D AC B --，则四面体ABCD 的外接球的体积为（ ）A ．π12125B ．π9125C ．π6125D ．π3125（2）在矩形ABCD 中，2=AB ，3=BC ，沿BD 将矩形ABCD 折叠，连接AC ，所得三棱锥BCDA -的外接球的表面积为．第四讲 多面体的切球问题模型类型八、锥体的切球问题1．题设：如图8-1，三棱锥ABC P -上正三棱锥，求其切球的半径.第一步：先现出切球的截面图，H E ,分别是两个三角形的外心；第二步：求BD DH 31=，r PH PO -=，PD 是侧面ABP ∆的高； 第三步：由POE ∆相似于PDH ∆，建立等式：PDPODH OE =，解出r 2．题设：如图8-2，四棱锥ABC P -是正四棱锥，求其切球的半径第一步：先现出切球的截面图，H O P ,,三点共线；第二步：求BC FH 21=，r PH PO -=，PF 是侧面PCD ∆的高； 第三步：由POG ∆相似于PFH ∆，建立等式：PFPOHF OG =，解出3．题设：三棱锥ABC P -是任意三棱锥，求其的切球半径方法：等体积法，即切球球心与四个面构成的四个三棱锥的体积之和相等图8-1A图8-2第一步：先画出四个表面的面积和整个锥体体积；第二步：设切球的半径为r ，建立等式：PBC O PAC O PAB O ABC O ABC P V V V V V -----+++=⇒r S S S S r S r S r S r S V PBC PAC PAB ABC PBC PAC PAB ABC ABC P ⋅+++=⋅+⋅+⋅+⋅=∆∆∆∆-)(3131313131第三步：解出PBCO PAC O PAB O ABC O ABCP S S S S V r -----+++=3例8 （1）棱长为a 的正四面体的切球表面积是（2）正四棱锥ABCD S -的底面边长为2，侧棱长为3，则其切球的半径为（3）三棱锥ABC P -中，底面ABC ∆是边长为2的正三角形，⊥PA 底面ABC ，2=PA ，则该三棱锥的切球半径为习题：1．若三棱锥ABC S -的三条侧棱两两垂直，且2=SA ，4==SC SB ，则该三棱锥的外接球半径为（）A.3B.6C.36D.92． 三棱锥ABC S -中，侧棱⊥SA 平面ABC ，底面ABC 是边长为3的正三角形，32=SA ，则该三棱锥的外接球体积等于.3．正三棱锥ABC S -中，底面ABC 是边长为3的正三角形，侧棱长为2，则该三棱锥的外接球体积等于.4．三棱锥ABC P -中，平面⊥PAC 平面ABC ，△PAC 边长为2的正三角形，BC AB ⊥，则三棱锥ABC P -外接球的半径为.5． 三棱锥ABC P -中，平面⊥PAC 平面ABC ，2=AC ，3==PC PA ，BC AB ⊥，则三棱锥ABC P -外接球的半径为.6． 三棱锥ABC P -中，平面⊥PAC 平面ABC ，2=AC ，PC PA ⊥，BC AB ⊥，则三棱锥ABCP -外接球的半径为.。
《球的内接与外接》
52 13 R 13, S 52 ,V 3
与正方体有关的三个球
D A O D1 A1 C1 C
A
C
B
O
A1
B1
C1
A
C
外接球
O
A1
O
C1
内切球
棱切球
球与多面体的接、切
定义1：若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上， 则称这个多面体是这个球的内接多面体， 这个球是这个多面体的外接球。
100 36
3
练习2
体积变成原来的 2 2倍；
(1)若球的表面积变为原来的2倍,则半径变为原来的 2倍.
(2)若球半径变为原来的2倍，则表面积变为原来的 4 倍. 体积变成原来的 8 倍； (3)若两球表面积之比为1:2，则其体积之比是 1: 2 2 .
半径之比为
1:
2
．
3 1: 4 . (4)若两球体积之比是1:2，则其表面积之比是
过正四棱锥的相对侧棱作截面α
则α截球得大圆，截正四棱锥得 △PAC，
且 △PAC 内接于圆 O，如图所示 P ∵ PA = PC = a
P AC
2a
∴ △ PAC 是等腰 Rt △
A
O
C
即 AC 为球的直径 C D O 2 球半径R a A 2 B
2 3 V球 a 3
小结：
C
A O
O
A1
C1
C
3
2.
3 a S 3 a ,V 2
2
P
B
练2 半球内有一个内接正方体，正方体的一个面在半球的底 面圆内，若正方体的一边长为 6 ，求半球的体积。
A1