概率论第三章部分习题解答

若X 为离散型随机变量，则有
DX xi EX 2 pi i 1
若X 为连续型随机变量，则有 DX
x
EX
2
f
( x)dx
方差的计算公式: DX E X 2 EX 2
有关方差的定理： 定理1 DaX b a2DX
推论：Db 0; DX b DX; D(aX ) a2DX.
定理2 EX Y EX EY
推论： E n Xi n EXi .
i1 i1
定理3 若X、Y 独立，则有： EXY EX EY
推论
若X1 ,
X2 ,
,
X
相互独立，则
n
E
n
Xi
n
EXi .
i1 i1
5
六、方差与标准差
定义 X 的方差： DX EX EX 2
定义 X 的标准差： X DX
机变量函数Y gX 的数学期望为：
EY
EgX
gx
f
xdx
3
四、二维随机变量的函数的数学期望
（1）设二维离散随机变量(X,Y)的联合概率函数为p(xi , yj)，则
随机变量函数g(X,Y)的数学期望如下：
EgX ,Y gxi , y j pxi , y j ,
ij
假定这个级数是绝对收敛的.
ydxdy.
定理1 cov(X ,Y ) E( XY ) E( X )E(Y )
定理2 若X与Y 独立，则：covX ,Y 0. 逆命题不成立。
注 设X与Y是任两个随机变量，
D( X Y ) D( X ) D(Y ) 2cov(X ,Y )
10
2、X与Y 的相关系数
定义 R( X ,Y ) cov( X ,Y )
j
ij
连续型随机变量X ,Y ,
DX
x
EX
2
fX
xdx
x
EX
2
f
x,
y dxdy,
DY
y
EY
2
fY
ydy
y
EY
2
f
x,
y dxdy.
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八、原点矩与中心矩
定义1： 随机变量X 的 k 阶原点矩： k X E X k
其中k为正整数。特别的，1 EX
对于离散随机变量： k ( X ) xik p( xi )
2
三、一维随机变量函数的数学期望
（1）设离散型随机变量X 的概率分布为：
X
x1
x2
xn
P( X xi ) p( x1 ) p( x2 ) p( xn )
则定义随机变量函数 Y gX 的数学期望为：
EY EgX gxi pxi
i
（2）若X为连续型随机变量，其概率密度为 f x, 则定义随
i
对于连续随机变量： k ( X )
xk f ( x)dx
定义2： X 的k 阶中心矩：k X E X EX k
特别的，1 0; 2 DX
对于离散随机变量：k ( X ) [xi E( X )]k p( xi )
i
对于连续随机变量：k ( X )
x
E( X
)k
f
(
x)dx
9
九、协方差与相关系数
1、X与Y 的协方差（或相关矩）：
定义 cov( X ,Y ) E{[ X E( X )][Y E(Y )]}.
注 ⑴ 离散型随机变量：
covX ,Y xi EX yj EY pxi , yj .
ij
⑵ 连续型随机变量：
cov X
,Y
x
EX
y
EY
f
x,
（2）设二维连续随机变量(X,Y)的联合概率密度为f(x, y)，则
随机变量g(X,Y)的数学期望如下：
Eg
X
,Y
g
x,
y
Fra Baidu bibliotek
f
x,
y
dxdy,
假定这个积分是绝对收敛的.
4
五、关于数学期望的定理
定理1 Ea bX a bEX
推论 （1）Ea a （2）Ea X a EX
（3）EbX bEX
均匀分布: EX a b , DX (b a)2
2
12
指数分布: EX 1 ,
DX
1
2
7
二维随机变量的方差：
离散型随机变量X ,Y ,
DX xi EX 2 pX xi xi EX 2 p xi , yj ,
i
ij
DY yi EY 2 pY yj
y j EY 2 p xi , y j .
6
定理2： 若X与Y 独立， DX Y DX DY
推论：D
n
X i
n
DXi
i1 i1
七、某些常用分布的数学期望及方差
0 -1分布：EX p, DX pq 二项分布：EX np, DX npq
Poisson分布 EX , DX 几何分布: EX 1 ,
p
q DX p2
第三章 随机变量的数字特征
（一）基本内容 一、一维随机变量的数学期望
定义1：设X是一离散型随机变量，其分布列为：
X x1 x2 xi
P p( x1 ) p( x2 ) p( xi )
则随机变量X 的数学期望为: EX xi pxi
i
定义2：设X是一连续型随机变量，其分布密度为 f x,
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十、切比雪夫不等式与大数定律
1、切比雪夫不等式
P
X
E(X
)
D( X 2
)
2、切比雪夫大数定律 若方差一致有上界
lim
n
P
1 n
n i 1
Xi
1 n
n i 1
E(Xi )
1
3、辛钦大数定律 独立同分布 4、伯努利大数定律
R( X ,Y ) cov( X ,Y ) D( X ) D(Y )
定理3 RX ,Y 1
定理4 R( X ,Y ) 1
Y
a
bX ,
且
R( X ,Y )
1, 1,
b 0; b 0.
定理5 如果 X 与Y 独立，则 R( X ,Y ) 0, 反之不成立。
即: X 与 Y相互独立
X与 Y 不相关
则随机变量X的数学期望为
EX
xf
xdx
1
二、二维随机变量的数学期望
（1）设二维离散随机变量(X,Y)的联合概率函数为p(xi , yj)，则
随机变量X及Y 的数学期望分别定义如下：
EX xi p xi , y j , EY y j p xi , y j .
i j
ji
即： EX xi pX xi , EY y j pY y j .
i
j
假定级数是绝对收敛的.
（2）设二维连续随机变量(X,Y)的联合概率密度为f(x, y)，则
随机变量X及Y 的数学期望分别定义如下：
EX
xf
x,
ydxdy,
EY
yf x, ydxdy.
即：EX
xf X x dx,
EY
yfY y dy.
假定积分是绝对收敛的.