概率论第一章习题课
概率论第一章习题课
P AB P A P B P BC P B P C P AC P A P C P ABC P A P B P C
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第一章
习题课
2 、三个事件的独立性
设A、B、C是三个随机事件，如果
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第一章
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例3（续） 2）由全概率公式和条件概率公式，有
P ( A1 A2 ) P ( A1 A2 B1 ) P ( B1 ) P ( A1 A2 B2 ) P ( B2 ) 2 2 P10 1 P18 1 ( 9 51 ) ( 2 2 ) 10 49 29 2 P P
“A，B，C中至少有一发生” ： “A，B，C中最多有一发生” ：
AB C A BC A B C A B C AB BC AC
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第一章
习题课
2 给出了随机事件的频率及概率的含义和基本性 质。要求熟练掌握概率的基本性质：
（1） 概率的（公理化）定义
1
30
0
0 P ( A) ;
（1）第一次取到的零件是一等品的概率；P ( A1 ) ? （2）第一次取到的零件是一等品的条件下 ， 第二次取到的也是一等品的概率；P ( A2 A1 ) ? （3）已知第一次取到的零件是一等品，求它 是第一箱的零件的概率；
P ( B2 A1 ) ?
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第一章
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全概率公式和贝叶斯公式
nA
,事件AB所含样本
n AB P ( B A) nA
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第一章
习题课
（2） 乘法公式
10
20
P A1 A2 An P A1 P A2 A1 P A3 A1 A2 P An A1 A2 An 1
概率论第一章习题
且 P(5 i 0 A i ) 1
根据概率的有限可加性，所求概率为
5 0 4 1 C C C 113 5 5 5 C5 P(5 A ) 1 P ( A ) P ( A ) 1 i 2 i 0 1 5 C10 C150 126
空集
P( AB BA) P( AB ) P( BA) P( AB BA)
P( A) P( B) 2P( AB)
8
第1章 概率论的基本概念
习题4(2)
4. 设A,B是两个事件. (2) 验证事件A和事件B恰有一个发生的概率为 P(A) + P(B)－2P(AB) 方法二 AB A B AB A B “事件A，B都发生” = AB “ 事件A,B都不发生” = A B
16
第1章 概率论的基本概念
习题22
22. 一学生接连参加同一课程的两次考试. 第一次及格的 概率为p, 若第一次及格则第二次及格的概率也为p; 若第 一次不及格则第二次及格的概率为p/2. (1) 若至少有一次及格则他能取得某种资格，求他取得该 资格的概率. (2) 若已知他第二次已经及格，求他第一次及格的概率. 解： 令Ai=“第i次考试及格”，i=1,2 由题给条件可知 P( A1 ) p, P( A2 | A1 ) p, P( A2 | A1 ) p / 2 可得 P( A1 ) 1 p ， P( A1 A2 ) P( A2 | A1 ) P( A1 ) p 2
或利用条件概率的乘法定理可得
P( A B C) P(C | A B ) P( A B ) [1 P(C | A B )]P( A B ) P( A B ) P( A B C ) 7 / 60
1概率ACH1-习题课
C
(1)最小号码为5,即从6、7、8、9、10里选两个, 所求概率为:
C C
2 5 3 10
1 12
(2)最大号码为5，即从1，2，3，4里选两个，
2 所求概率为： 4 3 10
1 C = 20 C
8、从一批由1100件正品，400件次品组成的产品中
任取200件.求： (1)恰有90件次品的概率;(2)至少有2件次品的概率。
解： P( AB) P( A) P( AB ) =0.7-0.5=0.2
P ( AB) P( AB) P( B A B ) P ( A B ) P( A) P ( B ) P( AB )
0.2 0.25. 0.7 0.6 0.5
16、根据以往资料表明，某一3口之家，患某种传染病的概率
贝叶斯公式
P ( Bi A) P ( Bi | A) P ( A) P ( A | Bi ) P ( Bi )
P( A | B )P( B )
j 1 j j
n
i 1,2,, n
事件的独立性
P ( A1 An ) P ( A1 ) P ( An ) P ( A1 An ) 1 P ( A1 An ) 1 P ( A1 An ) 1 P ( A1 ) P ( An )
配成一双”（事件A）的概率是多少？
4 解： 样本空间总数:C10 210
1
3
5
7
9
事件A:4只恰成1双或恰成2双.
2 4只恰成2双的取法: C5 10
2 4 2 61 8 10 1 1 2 1 1 ） 4只恰成1双的取法:C5 C4 C2C2 120 或C（C8 - C4 120 5
概率论第一章习题详解
第一章 概率论的基本概念习题一 随机试验、随机事件一、判断题下列各题中的A 、B 、C 均表示事件，∅表示不可能事件 1、()A B B A -= （ 否 ）解：()A B B A B -=,只有当 ()B A A B B A ⊂⇒-=时2、ABC ABC = （ 否 ）解：ABC A B C =3、()AB AB =∅ （ 是 ） 解：()()()AB AB AA BB A ==∅=∅ 4、若,AC B C A B ==则 （ 否 ）显然,A C C B C A B ==≠但5、若,A B A AB ⊂=则 （ 是 ）6、若,,AB C A BC =∅⊂=∅则 （ 是 ）7、袋中有1个白球，3个红球，今随机取出3个，则（1）事件“含有红球”为必然事件； （ 是 ） （2）事件“不含白球”为不可能事件； （ 否 ） （3）事件“含有白球”为随机事件。
（ 是 ） 8、互斥事件必为互逆事件 （ 否 ） 解： 互斥事件：A B =∅ 互逆事件：AB A B =∅=Ω且二、填空题1、一次掷两颗骰子，（1）若观察两颗骰子各自出现的点数搭配情况，这个随机试验的样本空间为(){},,1,2,3,4,5,6m n m n Ω== ；（2）若观察两颗骰子的点数之和，则这个随机试验的样本空间为{}2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12Ω= .2、化简事件()()()A B A B A B =AB .解：()()()()()()()()()()()()()()()()() AB AB A B A B AB AA B B A B AABA AB BB A B BA AB AB BA AB A B BAA B A B B ⎡⎤=⎣⎦⎡⎤=⎣⎦⎡⎤=∅∅=⎣⎦==()()()() A A B A B BA AB⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦=∅= 3、设A ，B ，C 为三事件，用A ，B ，C 表示下列事件：（1） A 不发生，B 与C 都发生可表示为 ABC ； （2） A 与B 都不发生，而C 发生可表示为 ABC ；（3） A 发生，但B 与C 可能发生也可能不发生可表示为 A ； （4） A ，B ，C 都发生或都不发生可表示为 ABC ABC ；（5） A ，B ，C 中至少有一个发生可表示为 AB C ；（6） A ，B ，C 中至多有一个发生可表示为 ABC ABC ABC ABC ；（7） A ，B ，C 中恰有一个发生可表示为 ABC ABCABC ；（8） A ，B ，C 中至少有两个发生可表示为 ABAC BC ；（9） A ，B ，C 中至多有两个发生可表示为 ABC ； （10） A ，B ，C 中恰有两个发生可表示为 ABCABC ABC .三、选择题1、对飞机进行两次射击，每次射一弹，设A 表示“恰有一弹击中飞机”，B 表示“至少有一弹击中飞机”，C 表示“两弹都击中飞机”，D 表示“两弹都没击中飞机”，则下列说法中错误的是（ B ）A 、A 与D 是互不相容的B 、A 与C 是相容的C 、B 与C 是相容的D 、B 与D 是相互对立的事件 2、下列关系中能导出“A 发生则B 与C 同时发生”的有（ A ）A 、ABC A =B 、AB C A = C 、BC A ⊂ D 、A B C ⊂解：ABC A A BC =⇒⊂⇒ A 发生则B 与C 同时发生 四、写出下列随机试验的样本空间1、记录一个小班一次数学考试的平均分数（设以百分制记分）；2、一个口袋中有5个外形相同的球，编号为1，2，3，4，5，从中同时取出3个球；3、某人射击一个目标，若击中目标，射击就停止，记录射击的次数；4、在单位圆内任意取一点，记录它的坐标。
《概率论与数理统计教程》课后习题解答
第一章 事件与概率1.2 在数学系的学生中任选一名学生，令事件A 表示被选学生是男生，事件B 表示被选学生是三年级学生，事件C 表示该生是运动员。
(1) 叙述C AB 的意义。
(2)在什么条件下C ABC =成立？ (3)什么时候关系式B C ⊂是正确的？(4) 什么时候B A =成立？解 (1)事件C AB 表示该是三年级男生，但不是运动员。
(2)C ABC = 等价于AB C ⊂，表示全系运动员都有是三年级的男生。
(3)当全系运动员都是三年级学生时。
(4)当全系女生都在三年级并且三年级学生都是女生时`。
1.3 一个工人生产了n 个零件，以事件i A 表示他生产的第i 个零件是合格品（n i ≤≤1）。
用i A 表示下列事件：(1)没有一个零件是不合格品； (2)至少有一个零件是不合格品； (3)仅仅只有一个零件是不合格品； (4)至少有两个零件是不合格品。
解 (1)n i iA 1=; (2) n i i n i i A A 11===; (3) n i nij j ji A A 11)]([=≠=;(4)原事件即“至少有两个零件是合格品”，可表示为nji j i jiAA ≠=1,；1.5 在分别写有2、4、6、7、8、11、12、13的八张卡片中任取两张，把卡片上的两个数字组成一个分数，求所得分数为既约分数的概率。
解 样本点总数为7828⨯=A 。
所得分数为既约分数必须分子分母或为7、11、13中的两个，或为2、4、6、8、12中的一个和7、11、13中的一个组合，所以事件A “所得分数为既约分数”包含6322151323⨯⨯=⨯+A A A 个样本点。
于是14978632)(=⨯⨯⨯=A P 。
1.8 在中国象棋的棋盘上任意地放上一只红“车”及一只黑“车”，求它们正好可以相互吃掉的概率。
解 任意固定红“车”的位置，黑“车”可处于891109=-⨯个不同位置，当它处于和红“车”同行或同列的1789=+个位置之一时正好相互“吃掉”。
概率第一章习题答案.doc演示教学
学习资料仅供学习与参考 第一章随机事件及其概率14、一种用来检验50岁以上的人是否患有关节炎的检验法，对于确实患关节炎的患者有85%给出了正确结果；而对于已知未患关节炎的人有4%会认为他患关节炎.已知人群中有10%的人患有关节炎。
问一名被检验者经检验，认为他没有患关节炎，而他却患有关节炎的概率.解 设“一名被检验者经检验认为患有关节炎”记为事件A ，“一名被检验者确实患有关节炎”记为事件B 。
根据全概率公式有 ()()(|)()(|)10%85%90%4%12.1%P A P B P A B P B P A B =+=⨯+⨯=，所以，根据条件概率得到所要求的概率为()()(|)10%(185%)(|) 1.706%()1()112.1%P BA P B P A B P B A P A P A -====-- 即一名被检验者经检验认为没有关节炎而实际却有关节炎的概率为1.706%.15、计算机中心有三台打字机A,B,C ，程序交与各台打字机打字的概率依次为0.6,0.3,0.1，打字机发生故障的概率依次为0.01,0.05,0.04。
已知一程序因打字机发生故障而被破坏了，求该程序是在A,B,C 上打字的概率分别为多少？解 设A=“程序因打字机发生故障而被破坏”，1B =“程序在A 打字机上打字”，2B =“程序在B 打字机上打字”，3B =“程序在C 打字机上打字”根据全概率公式有()()()()()()()112233|||=0.010.60.050.30.040.10.025 P A P A B P B P A B P B P A B P B =++⨯+⨯+⨯=根据贝叶斯公式,该程序是在A,B,C 上打字的概率分别为()()()()111|0.010.6|0.240.025P A B P B P B A P A ⨯=== ()()()()222|0.050.3|0.600.025P A B P B P B A P A ⨯=== ()()()()333|0.040.1|0.160.025P A B P B P B A P A ⨯===。
概率论第一章习题课
概率论与数理统计第一章习题课1. 掷3枚硬币, 求出现3个正面的概率. 解: 设事件A ={出现3个正面}基本事件总数n =23, 有利于A 的基本事件数n A =1, 即A 为一基本事件,则125.08121)(3====n n A P A .2. 10把钥匙中有3把能打开门, 今任取两把, 求能打开门的概率. 解: 设事件A ={能打开门}, 则A 为不能打开门基本事件总数210C n =, 有利于A 的基本事件数27C n A =, 467.0157910212167)(21027==⨯⨯⋅⨯⨯==C C A P因此, 533.0467.01)(1)(=-=-=A P A P .3. 100个产品中有3个次品,任取5个, 求其次品数分别为0,1,2,3的概率.解: 设A i 为取到i 个次品, i =0,1,2,3,基本事件总数5100C n =, 有利于A i 的基本事件数为3,2,1,0,5973==-i C C n i i i则138.09833209495432194959697396979899100543213)(856.0334920314719969798991009394959697)(510049711510059700=⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⋅⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⨯===⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯===C C n n A P C C n n A P00006.09833512196979697989910054321)(006.0983359532195969739697989910054321)(51002973351003972322=⨯⨯==⨯⨯⋅⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯====⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⋅⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯===C C n n A P C C C n n A P4. 一个袋内有5个红球, 3个白球, 2个黑球, 计算任取3个球恰为一红, 一白, 一黑的概率.解: 设A 为任取三个球恰为一红一白一黑的事件,则基本事件总数310C n =, 有利于A 的基本事件数为121315C C C n A =, 则25.0412358910321)(310121315==⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯===C C C C n n A P A5. 两封信随机地投入四个邮筒, 求前两个邮筒内没有信的概率以及第一个邮筒内只有一封信的概率.解: 设A 为前两个邮筒没有信的事件, B 为第一个邮筒内只有一封信的事件,则基本事件总数1644=⨯=n , 有利于A 的基本事件数422=⨯=A n , 有利于B 的基本事件数632=⨯=B n , 则25.041164)(====n n A P A 375.083166)(====n n B P B . 6. 为防止意外, 在矿内同时设有两种报警系统A 与B , 每种系统单独使用时, 其有效的概率系统A 为0.92, 系统B 为0.93, 在A 失灵的条件下, B 有效的概率为0.85, 求(1) 发生意外时, 这两个报警系统至少有一个有效的概率 (2) B 失灵的条件下, A 有效的概率解: 设A 为系统A 有效, B 为系统B 有效, 则根据题意有P (A )=0.92, P (B )=0.93, 85.0)|(=A B P(1) 两个系统至少一个有效的事件为A ∪B , 其对立事件为两个系统都失效, 即B A B A = , 而15.085.01)|(1)|(=-=-=A B P A B P , 则988.0012.01)(1)(012.015.008.015.0)92.01()|()()(=-=-==⨯=⨯-==B A P B A P A B P A P B A P(2) B 失灵条件下A 有效的概率为)|(B A P , 则829.093.01012.01)()(1)|(1)|(=--=-=-=B P B A P B A P B A P 7. 用3个机床加工同一种零件, 零件由各机床加工的概率分别为0.5, 0.3, 0.2, 各机床加工的零件为合格品的概率分别等于0.94, 0.9, 0.95, 求全部产品中的合格率.解: 设A 1,A 2,A 3零件由第1,2,3个机床加工, B 为产品合格,A 1,A 2,A 3构成完备事件组.则根据题意有P (A 1)=0.5, P (A 2)=0.3, P (A 3)=0.2, P (B |A 1)=0.94, P (B |A 2)=0.9, P (B |A 3)=0.95,由全概率公式得全部产品的合格率P (B )为93.095.02.09.03.094.05.0)|()()(31=⨯+⨯+⨯==∑=i i i A B P A P B P8. 12个乒乓球中有9个新的3个旧的, 第一次比赛取出了3个, 用完后放回去, 第二次比赛又取出3个, 求第二次取到的3个球中有2个新球的概率.解: 设A 0,A 1,A 2,A 3为第一次比赛取到了0,1,2,3个新球, A 0,A 1,A 2,A 3构成完备事件组.设B 为第二次取到的3个球中有2个新球. 则有22962156101112321)|(,552132101112789321)(,442152167101112321)|(,55272101112389321)(,552842178101112321)|(,2202710111239321)(,552732189101112321)|(,2201101112321)(312162633123933121527231213292312142813122319131213290312330=⋅⨯⨯⋅⨯⨯⨯⨯===⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯===⋅⨯⨯⋅⨯⨯⨯⨯===⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯===⋅⨯⨯⋅⨯⨯⨯⨯===⨯⨯⨯⨯⨯⨯===⋅⨯⨯⋅⨯⨯⨯⨯===⨯⨯⨯⨯==C C C A B P C C A P C C C A B P C C C A P C C C A B P C C C A P C C C A B P C C A P根据全概率公式有455.01562.02341.00625.00022.022955214421552755282202755272201)|()()(30=+++=⋅+⋅+⋅+⋅==∑=i i i A B P A P B P9. 某商店收进甲厂生产的产品30箱, 乙厂生产的同种产品20箱, 甲厂每箱100个, 废品率为0.06, 乙厂每箱装120个, 废品率是0.05, 求:(1)任取一箱, 从中任取一个为废品的概率;(2)若将所有产品开箱混放, 求任取一个为废品的概率. 解: (1) 设B 为任取一箱, 从中任取一个为废品的事件. 设A 为取到甲厂的箱, 则A 与A 构成完备事件组4.05020)(,6.05030)(====A P A P 05.0)|(,06.0)|(==AB P A B P 056.005.04.006.06.0)|()()|()()(=⨯+⨯=+=A B P A P A B P A P B P(2) 设B 为开箱混放后任取一个为废品的事件.则甲厂产品的总数为30×100=3000个, 其中废品总数为3000×0.06=180个,乙厂产品的总数为20×120=2400个, 其中废品总数为2400×0.05=120个, 因此...055555555.0540030024003000120180)(==++=B P10. 有两个口袋, 甲袋中盛有两个白球, 一个黑球, 乙袋中盛有一个白球两个黑球. 由甲袋中任取一个球放入乙袋, 再从乙袋中取出一个球, 求取到白球的概率.解: 设事件A 为从甲袋中取出的是白球, 则A 为从甲袋中取出的是黑球, A 与A 构成完备事件组. 设事件B 为从乙袋中取到的是白球. 则P (A )=2/3, P (A )=1/3, P (B |A )=2/4=1/2, P (B |A )=1/4, 则根据全概率公式有417.012541312132)|()()|()()(==⨯+⨯=+=A B P A P A B P A P B P11. 上题中若发现从乙袋中取出的是白球, 问从甲袋中取出放入乙袋的球, 黑白哪种颜色可能性大?解: 事件假设如上题, 而现在要求的是在事件B 已经发生条件下, 事件A 和A 发生的条件概率P (A |B )和P (A |B )哪个大, 可以套用贝叶斯公式进行计算, 而计算时分母为P (B )已上题算出为0.417, 因此2.0417.04131)()|()()|(8.0417.02132)()|()()|(=⨯===⨯==B P A B P A P B A P B P A B P A P B A PP (A |B )>P (A |B ), 因此在乙袋取出的是白球的情况下, 甲袋放入乙袋的球是白球的可能性大.12. 假设有3箱同种型号的零件, 里面分别装有50件, 30件和40件, 而一等品分别有20件, 12件及24件. 现在任选一箱从中随机地先后各抽取一个零件(第一次取到的零件不放回). 试求先取出的零件是一等品的概率; 并计算两次都取出一等品的概率.解: 称这三箱分别为甲,乙,丙箱, 假设A 1,A 2,A 3分别为取到甲,乙,丙箱的事件, 则A 1,A 2,A 3构成完备事件组. 易知P (A 1)=P (A 2)=P (A 3)=1/3. 设B 为先取出的是一等品的事件. 则6.04024)|(,4.03012)|(,4.05020)|(321======A B P A B P A B P 根据全概率公式有467.036.04.04.0)|()()(31=++==∑=i i i A B P A P B P 设C 为两次都取到一等品的事件, 则38.039402324)|(1517.029301112)|(1551.049501920)|(240224323021222502201=⨯⨯===⨯⨯===⨯⨯==C C A C P C C A C P C C A C P根据全概率公式有22.033538.01517.01551.0)|()()(31=++==∑=i i i A C P A P C P13. 发报台分别以概率0.6和0.4发出信号“·”和“—”。
概率论第一章习题详解
第一章 概率论的基本概念习题一 随机试验、随机事件一、判断题下列各题中的A 、B 、C 均表示事件，∅表示不可能事件 1、()A B B A -= （ 否 ）解：()A B B A B -=,只有当 ()B A A B B A ⊂⇒-=时2、ABC ABC = （ 否 ）解：ABC A B C =3、()AB AB =∅ （ 是 ） 解：()()()AB AB AA BB A ==∅=∅ 4、若,AC B C A B ==则 （ 否 ）显然,A C C B C A B ==≠但5、若,A B A AB ⊂=则 （ 是 ）6、若,,AB C A BC =∅⊂=∅则 （ 是 ）7、袋中有1个白球，3个红球，今随机取出3个，则（1）事件“含有红球”为必然事件； （ 是 ） （2）事件“不含白球”为不可能事件； （ 否 ） （3）事件“含有白球”为随机事件。
（ 是 ） 8、互斥事件必为互逆事件 （ 否 ） 解： 互斥事件：A B =∅ 互逆事件：AB A B =∅=Ω且二、填空题1、一次掷两颗骰子，（1）若观察两颗骰子各自出现的点数搭配情况，这个随机试验的样本空间为(){},,1,2,3,4,5,6m n m n Ω== ；（2）若观察两颗骰子的点数之和，则这个随机试验的样本空间为{}2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12Ω= .2、化简事件()()()A B A B A B =AB .解：()()()()()()()()()()()()()()()()() AB AB A B A B AB AA B B A B AABA AB BB A B BA AB AB BA AB A B BAA B A B B ⎡⎤=⎣⎦⎡⎤=⎣⎦⎡⎤=∅∅=⎣⎦==()()()() A A B A B BA AB⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦=∅= 3、设A ，B ，C 为三事件，用A ，B ，C 表示下列事件：（1） A 不发生，B 与C 都发生可表示为 ABC ； （2） A 与B 都不发生，而C 发生可表示为 ABC ；（3） A 发生，但B 与C 可能发生也可能不发生可表示为 A ； （4） A ，B ，C 都发生或都不发生可表示为 ABC ABC ；（5） A ，B ，C 中至少有一个发生可表示为 AB C ；（6） A ，B ，C 中至多有一个发生可表示为 ABC ABC ABC ABC ；（7） A ，B ，C 中恰有一个发生可表示为 ABC ABCABC ；（8） A ，B ，C 中至少有两个发生可表示为 ABAC BC ；（9） A ，B ，C 中至多有两个发生可表示为 ABC ； （10） A ，B ，C 中恰有两个发生可表示为 ABCABC ABC .三、选择题1、对飞机进行两次射击，每次射一弹，设A 表示“恰有一弹击中飞机”，B 表示“至少有一弹击中飞机”，C 表示“两弹都击中飞机”，D 表示“两弹都没击中飞机”，则下列说法中错误的是（ B ）A 、A 与D 是互不相容的B 、A 与C 是相容的C 、B 与C 是相容的D 、B 与D 是相互对立的事件 2、下列关系中能导出“A 发生则B 与C 同时发生”的有（ A ）A 、ABC A =B 、AB C A = C 、BC A ⊂ D 、A B C ⊂解：ABC A A BC =⇒⊂⇒ A 发生则B 与C 同时发生 四、写出下列随机试验的样本空间1、记录一个小班一次数学考试的平均分数（设以百分制记分）；2、一个口袋中有5个外形相同的球，编号为1，2，3，4，5，从中同时取出3个球；3、某人射击一个目标，若击中目标，射击就停止，记录射击的次数；4、在单位圆内任意取一点，记录它的坐标。
概率论第一章习题ppt课件
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1 (07,4分）
在 区 0， 间 1中 随 机 地 取这 两两 个个 数数 ，之 则
的 绝 对1值 的小 概于 _率 __为 ____
2
y
分 析 ： 设 所 取 两（个x, 数 y）为， 则 1
为 正 方形{(x, y)/0 x1,0 y1}, 1 A1
事 件A为 区 A域的 所 有:点
求A，B，C三个事件至少发生一个的概率。
解：P (A B C ) 1 P (A )P (B )P (C )
P(AB)1P(A)P(B)1
P(A)P(B)2 3
同理
P(A)P(C) 2 3
3 P(B)P(C)
1
3
(P (A )P (B )P (C)2)2214 333 27
P (A B C ) 1 P (A )P (B )P (C ) 1 2
2
A
A2
A{(x, y)/0 x1,0 y1, y x 1} 0 1
2
2
1x
S1,SASSA1
SA2
1113 884
P(A)SA 3
S 4
ppt精选版
2
2 (97数一，3分）
袋中有50个乒乓球，其中20个是黄球，30个是白球，今 有2个人依次随机地从袋中各取一球，取后不放回，则第二个 人取得黄球的概率是_______
由全概率公式： P ( A 2 ) P ( A 2 A 1 A 2 A 1 ) P ( A 2 A 1 ) P ( A 2 A 1 )
P ( A 2 ) P ( A 1 ) P ( A 2 / A 1 ) P ( A 1 ) P ( A 2 / A 1 )
5 20 01 49 95 30 0 ppt精2 4选版0 95 2.
概率论与数理统计习题课1
（2）机床因无人照管而停工的概率.
解：设 A 机床甲不需要工人照顾， B 机床乙不需要工人照顾， C 机床丙不需要工人照顾，
依题意，A、B、C 相互独立。
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第1章 习 题 课
（1） P( A B C ) P( ABC )
)
1
29 90
61 90
.
3
P(B1B2 ) P( Ai )P(B1B2 | Ai )
i 1
1 ( 3 7 7 8 5 20) 2 . 3 10 9 15 14 25 24 9
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第1章 习 题 课
从而
P ( B1
|
B2 )
P(B1B2 ) P(B2 )
于是 P( A) p 0.25(1 p) p [0.25(1 p)]2 p .
这是一个几何级数求和问题。由于公比
0 0.25(1 p) 1，该级数收敛。
P( A)
p
.
1 0.25(1 p)
若甲乙胜率相同，则
p
0.5 p 3 .
1 0.25(1 p)
i 1,2,3,.
A 甲获胜，
B 乙获胜，
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第1章 习 题 课
则 A A1 A1B2B3 A4 A1B2B3 A4B5B6 A7 ;
P( A1 ) p ; P( A1B2B3 A4 ) 0.25(1 p) p ; P( A1B2B3 A4B5B6 A7 ) [0.25(1 p)]2 p ;
概率论第一章习题课.
11 1 P( A) 33 9 22 4 P( B) 33 9 22 5 P( D) 1 33 9
例5. 某教研室共有11 名教师, 其中男教师7 人, 现 在要选 3 名优秀教师, 问其中至少有一女教师概率 解: (方法一) 设 A = “ 3 名优秀教师中至少有一名女教师”
有2只成双的情形；
若成双则与5双中任取的一双就出现4只恰有2双的情形， 后者多算了
C 种 ，因此有利于A的基本事件总数
1 5 2 8 2 5
2 5
C C C
1 5 2 8
2 5
故所求概率为 P( A) C C C 13 4 21 C10
方法一： A=表示“4只鞋子中至少有2只配成一双”
它的对立事件
A 为“4只鞋子均不成双”
故第一只鞋子是从5双（10只）中任取一只，有10种 取法，第二只鞋子从剩下的4双（8只）中任取一只，有 8种取法种取法，第三只鞋子从再剩下的3双（6只）中取
一只，有6种取法，
第四只鞋子有4种取法，
可知 A 的样本点数为
10 8 6 4
故所求概率为
10 8 6 4 13 P( A) 1 P( A ) 1 10 9 8 7 21
第一章 习题课
（一）、事件的关系
1、运算关系
包含： A 则 B
相等： A = B
A B A B 且 B A
A B S 和：至少有一个发 生 A+B AB A、B不相容 积：同时发生 AB
AB
A、B 对立 记为
差： A－B B =S－A
2、运算法则 除与一般代数式运算相同的法则以外，注意
1 2 3 城市
概率论与数理统计第一章课后习题及参考答案
概率论与数理统计第一章课后习题及参考答案1．写出下列随机试验的样本空间．(1)记录一个小班一次数学考试的平均分数(以百分制记分)；(2)一个口袋中有5个外形相同的球，编号分别为1，2，3，4，5，从中同时取出3个球；(3)某人射击一个目标，若击中目标，射击就停止，记录射击的次数；(4)在单位圆内任意取一点，记录它的坐标．解：(1)}100,,2,1{ =Ω；(2)}345,235,234,145,135,134,125,124,123{=Ω；(3)},2,1{ =Ω；(4)}|),{(22y x y x +=Ω．2．在}10,,2,1{ =Ω，}432{，，=A ，}5,4,3{=B ，}7,6,5{=C ，具体写出下列各式：(1)B A ；(2)B A ；(3)B A ；(4)BC A ；(5)C B A ．解：(1),9,10}{1,5,6,7,8=A ，}5{=B A ；(2)}10,9,8,7,6,5,4,3,1{=B A ；(3)法1：}10,9,8,7,6,2,1{=B ，}10,9,8,7,6,1{=B A ，}5,4,3,2{=B A ；法2：}5,4,3,2{===B A B A B A ；(4)}5{=BC ，}10,9,8,7,6,4,3,2,1{=BC ，}4,3,2{=BC A ，}10,9,8,7,6,5,1{=BC A ；(5)}7,6,5,4,3,2{=C B A ，{1,8,9,10}=C B A ．3．设}20|{≤≤=Ωx x ，}121|{≤<=x x A ，}2341|{≤≤=x x B ，具体写出下列各式：(1)B A ；(2)B A ；(3)AB ；(4)B A ．解：(1)B B A = ，}223,410|{≤<<≤==x x x B B A ；(2)=B A ∅；(3)A AB =，}21,210|{≤<≤≤==x x x A AB ；(4)}231,2141|{<<<≤=x x x B A ．4．化简下列各式：(1)))((B A B A ；(2)))((C B B A ；(3)))((B A B A B A ．解：(1)A B B A B A B A ==)())(( ；(2)AC B C A B C B B A ==)())((；(3))())()((B A B B A B A B A B A =AB AB A A B A A === )(．5．A ，B ，C 表示3个事件，用文字解释下列事件的概率意义：(1)C B A C A C B A ；(2)BC AC AB ；(3)(C B A ；(4)BC AC AB ．解：(1)A ，B ，C 恰有一个发生；(2)A ，B ，C 中至少有一个发生；(3)A 发生且B 与C 至少有一个不发生；(4)A ，B ，C 中不多于一个发生．6．对于任意事件A ，B ，证明：Ω=-A B A AB )(．证：A B B A A B A AB A B A AB )()(==-Ω==Ω=A A A A ．7．把事件C B A 表示为互不相容事件的和事件．解：)()[(C A B A A A C B A C B A =-=)(B A A A A C A B A A ==CB A BC A B A A )(=C B A B A A =．8．设0)(>A P ，0)(>B P ，将下列5个数)(A P ，)()(B P A P -，)(B A P -，)()(B P A P +，)(B A P 按有小到大的顺序排列，用符号“≤”联结它们，并指出在什么情况下可能有等式成立．解：因为0)(>A P ，0)(>B P ，)()(B P AB P ≤，故)()()()()()()()()(B P A P B A P A P B A P AB P A P B P A P +≤≤≤-=-≤- ，所以)()()()()()()(B P A P B A P A P B A P B P A P +≤≤≤-≤- ．(1)若A B ⊂，则有)()()(B A P B P A P -=-，)()(B A P A P =；(2)若=AB ∅，则有)()(A P B A P =-，)()()(B P A P B A P += ．9．已知B A ⊂，3.0)(=A P ，5.0)(=B P ，求)(A P ，)(AB P ，)(B A P 和)(B A P ．解：(1)7.0)(1(=-=A P A P ；(2)B A ⊂ ，A AB =∴，则3.0)()(==A P AB P ；(3)2.0)()()()(=-=-=AB P B P A B P B A P ；(4))(1()(B A P B A P B A P -==5.0)]()()([1=-+-=AB P B P A P ．10．设有10件产品，其中6件正品，4件次品，从中任取3件，求下列事件的概率．(1)只有1件次品；(2)最多1件次品；(3)至少一件次品．解：从10件产品中任取3件，共有310C 种取法，(1)记=A {从10件产品中任取3件，只有1件次品}，只有1件次品，可从4件次品中任取1件次品，共14C 中取法，另外的两件为正品，从6件正品中取得，共26C 种取法．则事件A 共包含2614C C 个样本点，21)(3102614==C C C A P ．(2)记=B {从10件产品中任取3件，最多有1件次品}，=C {从10件产品中任取3件，没有次品}，则C A B =，且A 与C 互不相容．没有次品，即取出的3件产品全是正品，共有36C 种取法，则61)(31036==C C C P ，32)()()()(=+==C P A P C A P B P ．(3)易知=C {从10件产品中任取3件，至少有1件次品}，则65)(1(=-=C P C P ．11．盒子里有10个球，分别标有从1到10的标号，任选3球，记录其号码，求：(1)最小号码为5的概率；(2)最大号码为5的概率．解：从10个球中任选3球，共有310C 种选法，(1)记=A {从10个球中任选3球，最小标号为5}，事件A 发生，则选出球的最小标号为5，另外两个球的标号只可从6，7，8，9，10这5个数中任选，共有25C 种选法，则121)(31025==C C A P ．(2)记=B {从10个球中任选3球，最大标号为5}，事件B 发生，则选出球的最大标号为5，另外两个球的标号只可从1，2，3，4这4个数中任选，共有24C 种选法，则201)(31024==C C B P ．12．设在口袋中有a 个白球，b 个黑球，从中一个一个不放回地摸球，直至留在在口袋中的球都是同一种颜色为止．求最后是白球留在口袋中的概率．解：设=A {最后是白球留在口袋中}，事件A 即把b a +个球不放回地一个一个摸出来，最后摸到的是白球，此概率显然为ba a A P +=)(．13．一间学生寝室中住有6位同学，假定每个人的生日在各个月份的可能性相同，求下列事件的概率：(1)6个人中至少有1人的生日在10月份；(2)6个人中有4人的生日在10月份；(3)6个人中有4人的生日在同一月份．解：设=i B {生日在i 月份}，则=i B {生日不在i 月份}，12,,2,1 =i ，易知121)(=i B P ，1211)(=i B P ，12,,2,1 =i ．(1)设=A {6个人中至少有1人的生日在10月份}，则=A {6个人中没有一个人的生日在10月份}，66101211(1)]([1)(1)(-=-=-=B P A P A P ；(2)设=C {6个人中有4人的生日在10月份}，则62244621041046121115)1211()121()]([)]([)(⋅===C B P B P C C P ；(3)设=D {6个人中有4人的生日在同一月份}，则52112121115)()(⋅==C P C D P ．14．在半径为R 的圆内画平行弦，如果这些弦与垂直于弦的直径的交点在该直径上的位置是等可能的，即交点在这一直径上一个区间内的可能性与此区间的长度成正比，求任意画的弦的长度大于R 的概率．解：设弦与该直径的交点到圆心的距离为x ，已知，当R x 23<，弦长大于半径R ，从而所求的概率为232232=⋅=R R P ．15．甲乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头停泊，它们在同一昼夜内到达的时刻是等可能的，如果甲船的停泊时间是1h ，乙船的停泊时间是2h ，求它们中的任何一艘都不需要等候码头空出的概率．解：设=A {两艘中的任何一艘都不需要等候码头空出}，则=A {一艘船到达泊位时必须等待}，分别用x 和y 表示第一、第二艘船到达泊位的时间，则}10,20|),{(≤-≤≤-≤=x y y x y x A ，从而1207.0242221232124)()()(2222≈⋅-⋅-=Ω=μμA A P ；8993.0)(1)(≈-=A P A P ．16．甲、乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被击中，问由甲射中的概率为多少？解：设=A {甲击中目标}，=B {乙击中目标}，=C {目标被击中}，则B A C =，由题设知A 与B 相互独立，且6.0)(=A P ，5.0)(=B P ，所以)()()()()(AB P B P A P B A P C P -+== 8.0)()()()(=-+=B P A P B P A P ，从而43)()()()()|(===C P A P C P AC P C A P ．17．某地区位于河流甲与河流乙的汇合点，当任一河流泛滥时，该地区即被淹没，设在某时期内河流甲泛滥的概率是0.1，河流乙泛滥的概率是0.2，又当河流甲泛滥时引起河流乙泛滥的概率为0.3，求在该时期内这个地区被淹没的概率，又当河流乙泛滥时，引起河流甲泛滥的概率是多少？解：=A {甲河流泛滥}，=B {乙河流泛滥}，=C {该地区被淹没}，则B A C =，由题设知1.0)(=A P ，2.0)(=B P ，3.0)|(=A B P ，从而)()()()()(AB P B P A P B A P C P -+== 27.0)|()()()(=-+=A B P A P B P A P ，15.0)()|()()()()|(===B P A B P A P B P AB P B A P ．18．设n 件产品中有m 件不合格品，从中任取两件，已知两件中有一件不合格品，求另一件也是不合格品的概率．解：设=A {有一件产品是不合格品}，=B {另一件产品也是不合格品}，=i D {取出的两件产品中有i 件不合格品}，2,1,0=i ，显然，21D D A =，=21D D ∅，2D B AB ==．=Ω{从n 件产品种任取两件}，共有2nC 种取法；若1D 发生，即取出的两件产品中有1件不合格品，则该不合格品只能从m 件不合格品中取得，共有1m C 种取法；另一件为合格品，只能从m n -件合格品中取得，共有1m n C -种取法，则事件1D 中共有11m n m C C -个样本点，)1()(2)(2111--==-n n m n m C C C D P n m n m ，类似地，)1()1()(222--==n n m m C C D P n m ，所以)1()1()(2)()()()(2121--+-=+==n n m m m n m D P D P D D P A P ，)1()1()()(2--==n n m m D P AB P ，于是所求概率为121)()()|(---==m n m A P AB P A B P ．19．10件产品中有3件次品，每次从其中任取一件，取出的产品不再放回去，求第三次才取得合格品的概率．解：设=i A {第i 次取得合格品}，3,2,1=i ，则所求概率为12878792103)|()|()()(213121321=⋅⋅==A A A P A A P A P A A A P ．20．设事件A 与B 互不相容，且1)(0<<B P ，证明：)(1)(|(B P A P B A P -=．证： 事件A 与B 互不相容，则0)(=AB P ，)(1)()(1)()()(1)()(()|(B P A P B P AB P A P B P B A P B P B A P B A P -=--=--==．21．设事件A 与B 相互独立，3.0)(=A P ，45.0)(=B P ，求下列各式的值：(1))|(A B P ；(2))(B A P ；(3)(B A P ；(4)|(B A P ．解： 事件A 与相互独立，∴事件A 与B 也相互独立，(1)45.0)()|(==B P A B P ；(2))()()()(AB P B P A P B A P -+= )()()()(B P A P B P A P -+=615.0=；(3)385.0)](1)][(1[)(()(=--==B P A P B P A P B A P ；(4)7.0()|(==A P B A P ．22．某种动物活到10岁的概率为0.92，活到15岁的概率为0.67，现有一只10岁的该种动物，求其能活到15岁的概率．解：设=A {该种动物能活到10岁}，=B {该种动物能活到15岁}，显然A B ⊂，由题设可知92.0)(=A P ，67.0)(=B P ，所以9267)()()()()|(===A P B P A P AB P A B P ．23．某商店出售的电灯泡由甲、乙两厂生产，其中甲厂的产品占60%，乙厂的产品占40%，已知甲厂产品的次品率为4%，乙厂的次品率为5%．一位顾客随机地取出一个电灯泡，求它是合格品的概率．解：设=A {电灯泡是次品}，=1B {电灯泡由甲厂生产}，=2B {电灯泡由乙厂生产}，则=A {电灯泡是合格品}．由题设可知6.0)(1=B P ，4.0)(2=B P ，04.0)|(1=B A P ，05.0)|(2=B A P ，044.0)|()()|()()(2211=+=B A P B P B A P B P A P ，所以956.0)(1)(=-=A P A P ．24．已知男子有5%是色盲患者，女子有0.25%是色盲患者．今从男女人数相等的人群中随机地挑选一人，恰好是色盲患者，问此人是男性的概率是多少？解：设=A {选出的人是色盲患者}，=B {选出的人是男性}，=B {选出的人是女性}，由题设可知21()(==B P B P ，05.0)|(=B A P ，0025.0)|(=B A P ，则2120)|()()|()()|()()|(=+=B A P B P B A P B P B A P B P A B P ．25．甲、乙、丙三人独立地向一敌机射击，设甲、乙、丙命中率分别为0.4，0.5和0.7，又设敌机被击中1次、2次、3次而坠毁的概率分别为0.2，0.6和1．现三人向敌机各射击一次，求敌机坠毁的概率．解：设1A ，2A ，3A 分别表示甲、乙、丙射击击中敌机，=i B {敌机被击中i 次}，3,2,1=i ，=C {敌机坠毁}，则3213213211A A A A A A A A A B =，3213213212A A A A A A A A A B =，3213A A A B =，由题设可知4.0)(1=A P ，5.0)(2=A P ，7.0)(3=A P ，2.0)|(1=B C P ，6.0)|(2=B C P ，1)|(3=B C P ，则)()()()(3213213211A A A P A A A P A A A P B P ++=)()()()()()()()()(321321321A P A P A P A P A P A P A P A P A P ++=36.0=，类似地，51.0)(2=B P ，14.0)(3=B P ，由全概率公式得458.0)|()()(31==∑=i i i B C P B P C P ．26．三人独立地破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为51，31和41．问三人中至少有一人能将此密码译出的概率是多少？解：分别设事件A ，B ，C 为甲、乙、丙破译密码，则三人中至少有一人能将此密码译出可表示为C B A ，有)()()()()()()()(ABC P BC P AC P AB P C P B P A P C B A P +---++= )()()()()()()()()()()()(C P B P A P C P B P C P A P B P A P C P B P A P +---++=53=．27．甲袋中装有n 只白球、m 只红球，乙袋中装有N 只白球、M 只红球．今从甲袋中任意取一只球放入乙袋中，再从乙袋中任意取一只球，问取到白球的概率是多少？解：设=A {从甲袋中取出白球}，=B {从乙袋中取出白球}，则由题设可知m n n A P +=)(，m n m A P +=(，11)|(+++=M N N A B P ，1|(++=M N N A B P ，由全概率公式，得)|(()|()()(A B P A P A B P A P B P +=)1)(()1(+++++=N M n m mN N n ．28．从区间)1,0(内任取两个数，求这两个数的和小于1.2的概率．解：设x 和y 分别为所取的两个数，显然10≤≤x ，10≤≤y ，即试验的样本空间为边长为1的单位正方形，记}2.1|),{(<+=y x y x A ，由几何概型，有68.0118.08.02111)(=⨯⨯⨯-⨯=A P ．29．一个系统由4个元件联结而成(如图)，每个元件的可靠性(即元件能正常工作的概率)为r (10<<r )，假设各个元件独立地工作，求系统的可靠性．解：设=i A {第i 个元件能正常工作}，4,3,2,1=i ，=B {系统能正常工作}，则4314214321)(A A A A A A A A A A B ==，由题知r A P i =)(，i A 相互独立，4,3,2,1=i ，所以)()(431421A A A A A A P B P =)()()(4321431421A A A A P A A A P A A A P -+=)(()()()()()()()()(4321431421A P A P A P A P A P A P A P A P A P A P -+=3)2(r r -=．30．某篮球运动员投篮命中的概率为0.8，求他在5次独立投篮中至少命中2次的概率．解：设=A {该篮球运动员5次独立投篮中至少命中2次}，=i B {该篮球运动员5次独立投篮中命中的次数}，5,,1,0 =i ，则由题可知5432B B B B A =，10B B A =，i B 互不相容，5,,1,0 =i ，所以)()(1)(1)(10B P B P A P A P --=-=9933.02.08.02.08.0141155005=⋅⋅-⋅⋅-=C C ．31．设概率统计课的重修率为5%，若某个班至少一人重修的概率不小于0.95，1324问这个班至少有多少名同学？解：设该班有n 名同学，=A {该班每名同学概率统计课重修}，=i B {该班n 名同学中有i 名同学概率统计课重修}，=C {该班n 名同学中至少有1名同学概率统计课重修}，则 ni i n B B B B C 121===，0B C =，由题可知05.0)(=A P ，n n n C B P C P C P 95.0195.005.01)(1)(1)(000-=⋅⋅-=-=-=，由题意，应有95.095.01=-n ，解得59=n ．32．某种灯泡使用时数在1000h 以上的概率为0.6，求3个灯泡在使用1000h 以后最多有1个损坏的概率．解：设=A {该种灯泡使用时数在h 1000以上}，=i B {3个灯泡在使用h 1000以后有i 个损坏}，3,2,1,0=i ，=C {3个灯泡在使用h 1000以后最多有1个损坏}，则10B B C =，由题知6.0)(=A P ，i B 互不相容，3,2,1,0=i ，所以648.06.04.06.04.0)()()(2113300310=⋅⋅+⋅⋅=+=C C B P B P C P ．33．甲、乙两名篮球运动员投篮的命中率分别为0.7和0.6，每人投篮3次，求：(1)二人进球数相等的概率；(2)甲比乙进球数多的概率．解：设=A {甲篮球运动员投篮命中}，=B {乙篮球运动员投篮命中}，=i A {甲篮球运动员投篮命中i 次}，3,2,1,0=i ，=i B {乙篮球运动员投篮命中i 次}，3,2,1,0=i ，=C {甲、乙进球数相等}，=D {甲比乙进球数多}，由题可知A 与B 相互独立，i A 相互独立，i B 相互独立，i A 与i B 相互独立，7.0)(=A P ，6.0)(=B P ，i i i i C A P -⋅⋅=333.07.0)(，i i i i C B P -⋅⋅=334.06.0)(，3,2,1,0=i ，(1) 30==i i i B A C ∑∑======303030)()()()()(i i i i i i i i i B P A P B A P B A P C P 3208.0=；(2)3310201)(B A B B A B A D =，从而有))(()(3310201B A B B A B A P D P =)(]([)(3310201B A P B B A P B A P ++= )()()()(33120201B A P B A P B A P B A P +++=)()()()()()()()(33120201B P A P B P A P B P A P B P A P +++=4362.0=．34．若三事件A ，B ，C 相互独立，证明：B A 及B A -都与C 相互独立．证：(1))())((BC AC P C B A P =)()()(ACBC P BC P AC P -+=)()()(ABC P BC P AC P -+=)()()()()()()(C P B P A P C P B P C P A P -+=)()]()()()([C P B P A P B P A P -+=)()]()()([C P AB P B P A P -+=)()(C P B A P =所以B A 与C 相互独立．(2))())((BC AC P C B A P -=-)()(ABC P AC P -=)()()()()(C P B P A P C P A P -=)()]()()([C P B P A P A P -=)()]()([C P AB P A P -=)()(C P B A P -=，所以B A -与C 相互独立．35．设袋中有1个黑球和1-n 个白球，每次从袋中随机摸出一球，并放入一个白球，连续进行，问第k 次摸到白球的概率是多少？解：设=A {第k 次摸到白球}，=A {第k 次摸到黑球}，A 发生表示前1-k 次摸球摸到的都是白球，第k 次摸到的是黑球．前1-k 次摸球，每次摸到白球的概率均为n n 1-，第k 次摸到黑球的概率为n1，每次摸球相互独立，可知n n n A P k 1)1()(1⋅-=-，则n n n A P A P k 11(1)(1)(1⋅--=-=-．。
概率论第一章习题课
（1）甲中奖的概率；（2）已知甲中奖的条件下 乙中奖的概率；（3）甲乙都中奖的概率。
2）若甲随机抽取2张观察后放回乙再抽取2张， 求：
（1）乙中奖的概率；（2）甲、乙至少有一人中 奖的概率。
解 设 A ={甲中奖}， B ={乙中奖}
1）（1）
4. 传输编码为A、B、C的三类信息。已知输入 为A、B、C之一时输出仍是输入编码的概率是 0.8，输出错为其他编码的概率都是0.1，且传 输各个编码的工作相互独立。若输入AAA、 BBB、CCC的概率分别为0.3、0.4、0.3，求：
（1）输出为ABA的概率； （2）输出为ABA时输入为AAA的概率。
答案
设 D1 = { 输入AAA }，D2 = { 输入BBB }，
D3 = { 输入CCC }
则 P(D1) 0.3, P(D2 ) 0.4, P(D3) 0.3
D1, D2, D3 构成完备事件组。又设F={输出ABA}，
则
P(F D1) 0.82 0.1 0.064,
P(F D2 ) 0.8 0.12 0.008,
P(B A5 ) 5 28
有 5 P( Ai )P(B Ai ) 1 15 10 12
i 1
45 28 45 28
6 10 10 9 3 5 5 45 28 45 28 45 28 21
综上可以得到
5
P(B) P( A)P(B A) P( Ai )P(B Ai )
i 1
P( ABC) 1 , P( A B C) 41
4
48
3）设 A, B,C 相互独立，且 P(A B C) 0.9, P(A B) 0.8, P(A) 0.5
概率论 王松桂 第一章 课后习题解答
第一章 随机事件1.1 写出下列随机试验的样本空间：(1) 某篮球运动员投篮时, 连续5 次都命中, 观察其投篮次数;解：连续5 次都命中，至少要投5次以上，故}{ ,7,6,51=Ω；(2) 掷一颗匀称的骰子两次, 观察前后两次出现的点数之和;解：}{22,3,4,,12Ω= ；(3) 观察某医院一天内前来就诊的人数;解：医院一天内前来就诊的人数理论上可以从0到无穷，所以}{,2,1,03=Ω； (4) 从编号为1，2，3，4，5 的5 件产品中任意取出两件, 观察取出哪两件产品; 解：属于不放回抽样，故两件产品不会相同，编号必是一大一小，故：()}{4,15, ,1,2,3,4,5.;i j i j i j Ω=≤<≤=(5) 检查两件产品是否合格;解：用0 表示合格, 1 表示不合格，则()()()()}{1,1,0,1,1,0,0,05=Ω；(6) 观察某地一天内的最高气温和最低气温(假设最低气温不低于T 1, 最高气温不高于T 2); 解：用x 表示最低气温, 表示最高气温;考虑到这是一个二维的样本空间，故： y ()}{61,x y T x y T Ω=≤<≤2； (7) 在单位圆内任取两点, 观察这两点的距离;解：}{702x x Ω=<<；(8) 在长为l 的线段上任取一点, 该点将线段分成两段, 观察两线段的长度.解：()}{8,0,0,x y x y x y l Ω=>>+=。
1.2 设A ，B ，C 为三事件, 用A;B;C 的运算关系表示下列各事件：(1) A 与B 都发生, 但C 不发生; C AB ；(2) A 发生, 且B 与C 至少有一个发生;)(C B ；A ⋃(3) A,B,C 中至少有一个发生; CB ；A ⋃⋃(4) A,B,C 中恰有一个发生;CB AC B A C B A ⋃⋃；(5) A,B,C 中至少有两个发生; BC ；AC AB ⋃⋃(6) A,B,C 中至多有一个发生;C B C A B A ⋃⋃或AB AC BC ⋃⋃；(7) A,B,C 中至多有两个发生;ABC ； (8)A,B,C 中恰有两个发生.C AB C B A A ⋃⋃ ； 注意：此类题目答案一般不唯一，有不同的表示方式。
概率论与数理统计(经管类)课后习题_第一章
P (A3|B) =
PB
%% .
通过计算得出第二产成产的概率最大.
0.2319
习题 1.4
1. 设 P(A)=0.4, P A B (1) A 与 B 互不相容; (2) A 与 B 相互独立;
(3) A B. 解: (1) P(B)= P A B
0.7,求在下列条件下分别求 P(B): P A 0.7 0.4 0.3;
(2)P A B (3) P A B
1 P A P B ,P B 1
PA B PA
P A P B P AB P A P B
1 0.5 0.5; P A =0.7.
2. 甲乙两人独立地各向同一目标射击一次,其中命中率分别为 0.6 和 0.7,求目标被命中的概率.若已知
目标被命中,求它是甲射中的概率.
P =
AB
=P
A
P AB = .
.
0.4
PA
PA
.
3.设 P(A)= ,P(B|A)= , P(A|B)= ,求 P A B
解:P(AB)= P(A)* (B|A)=
,
P AB
P(B)=
P A|B
PA B
PA
PB
P AB
11 1 4 6 12
1 3
4.设P A 0.3, P B
解: P B|A B
0.4, P AB 0.5, 求 P B|A B .
11.设 P(A)=0.7,P(B)=0.6,P(A‐B)=0.3,求P AB , P A B , P AB . 解: P AB 1 P AB 1 P A P A B 1 0.4 0.6 P A B P A P B P AB P A P B P A P A B P AB 1 P A B 1 0.9 0.1
第一、二章习题课(概率论)
第二章 随机变量及其分布
♦1. 基本概念：随机变量，离散型随机变量，连续型随 基本概念：随机变量，离散型随机变量，
机变量 ♦2.离散型随机变量及其分布律 离散型随机变量及其分布律 （1）如何求解 ） 设离散型随机变量X的可能取值为 的可能取值为x 设离散型随机变量 的可能取值为 k (k=1,2,…),事 事 件 发生的概率为 pk ,
P ( A) = 0.3, P ( B ) = 0.8, P (C ) = 0.6, P ( A U B ) = 0.9,
n−1
P ( AC ) = 0.1, P ( BC ) = 0.6, P ( ABC ) = 0.1.
试求： 试求：（1） P ( AB ) ） (2) P ( A U B U C )
1.若事件 若事件A,B是互不相容的 且 P ( A) > 0, P ( B ) > 0 是互不相容的,且 若事件 是互不相容的 则事件A,B一定不相互独立 一定不相互独立. 则事件 一定不相互独立 2. 若事件 若事件A,B相互独立 且 P ( A) > 0, P ( B ) > 0 相互独立,且 相互独立 则事件A,B一定相容 一定相容. 则事件 一定相容
事件A发生但事件 不发生 称为事件A与事件 与事件B的 事件 发生但事件B不发生 称为事件 与事件 的 发生但事件 不发生, 差事件。 差事件。 A B
S
显然有： 显然有：
A− B −
对于任意两事件A， 总有如下分解 总有如下分解： 对于任意两事件 ，B总有如下分解：
5 AI B =∅
0
则称A和 是互不相容的或互斥的 指事件A与 不 是互不相容的或互斥的,指事件 则称 和B是互不相容的或互斥的 指事件 与B不 可能同时发生。 可能同时发生。
概率论第一章习题课
第一章随机事件及其概率一、填空题1. 设A、B为两个事件,P(A)=0.7，P(B)=0.3，P(AB)=0.6，则P(A+B)= 。
2.设A、B是两个互不相容的事件，且P(A)= 0.24 ，P(B)= 0.41，则P(A－B)= 。
3.已知A、B是两个相互独立的事件P(A)=0.2，P(B)=0.4，则P(A+B)= 。
4.某市有50%住户订日报，有65%住户订晚报，有85%的住户至少订这两份报纸中的一种。
则同时订这两种报纸的住户百分比是。
5.设A、B为两事件，P(A)=0.7，P(A B)=0.3，则P(A B+)= 。
6.甲、乙两人投篮，命中率分别为0.7，0.6。
每人投三次，则甲比乙进球数多的概率是。
7.已知P(A)=P(B)=P(C)=14，P(AB)=0，P(AC)=P(BC)=16，则A、B、C全不发生的概率是。
8.设P(A)=0.4，P(A+B)=0.7。
若A、B互不相容，则P(B)= ；若A、B相互独立，则P(B)= 。
9.设A、B为两个事件，P(A)=0.9，P(AB)=0.36，则P(A B)= 。
10.设A、B、C为某一样本空间的一个划分，且P(A)=0.5，P(B)=0.7，则P(C)= ，P(AB)= 。
二、选择题1. 设A、B为任意两个事件，则下列关系成立的是。
⑴()A B B A-=⑵()A B B A-⑶()A B B A-⑷()A B B A-=2. 设P(A)=0.5，P(B)=0.6，P(B A)=0.8，则P(A B)= 。
⑴0.6 ⑵0.7 ⑶0.8 ⑷0.93. 设事件A与B的概率均大于零，且A与B为对立事件，则下列中不成立是。
⑴A与B互不相容；⑵A与B相互独立；⑶A与B互不独立；⑷A与B互不相容；4.设P(AB)=0,则。
⑴A与B互不相容；⑵A与B相互对立；⑶P(A)=0 或P(B)=0；⑷P(A－B)=P(A)；5.设A 、B 为任意两个事件，则下列结论正确的是 。
概率论第一章习题解答(全)
10 9 8 120 ； 3 2 1
事件 A 所包含基本事件数（即 5 固定，再从 6，7，8，9，10 这 5 个数中任选 2 个） ：
C52
5 4 10 2
事件 B 所包含的基本事件数（即 5 固定，再从 1,2，3,4 这 4 个数中任选 2 个） ：
故
43 6 2 10 1 6 1 P ( A) ； P( B) 120 12 120 20
1 1 1 1 1 1 1 17 ； 2 3 5 10 15 20 30 20 17 3 (ⅳ) P ( ABC ) P ( A B C ) 1 P ( A B C ) 1 ； 20 20
(ⅴ) 且 因为 ABC ( A B )C ( s ( A B ))C C ( AC BC )
P ( ABC ) P (( A B )C ) P (C ) P ( AC ) P ( BC ) 1 1 1 7 5 15 20 60
(ⅵ)
因为
P ( AB C ) P ( AB ) P (C ) P ( ABC )
已知 P ( AB )
4 7 ， P ( ABC ) ，故 15 60
而 故
ABC AB ， P ( AB ) 0 ，所以
P ( ABC ) 0
P ( A B C ) P ( A) P ( B ) P (C ) P ( AB ) P ( AC ) P ( BC ) P ( ABC ) 1 1 1 1 5互不相容，所以 AB ， AB A ， P ( AB ) P ( A) （ⅱ）因为 A A( B B ) AB AB ，且 AB AB ， 所以
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它的对立事件
A 为“4只鞋子均不成双”
故第一只鞋子是从5双（10只）中任取一只，有10种 取法，第二只鞋子从剩下的4双（8只）中任取一只，有 8种取法种取法，第三只鞋子从再剩下的3双（6只）中取
一只，有6种取法，
第四只鞋子有4种取法，
可知 A 的样本点数为
10 8 6 4
故所求概率为
10 8 6 4 13 P( A) 1 P( A ) 1 10 9 8 7 21
格率为 30% 。每天早上机器开动时，机器调整良好的
概率为 75% 。已知某天早上第一件产品是合格品，试 求机器调整得良好的概率是多少？
机器调整得良好
P( A| B) 90%
P( A| B ) 30%
2、 A、B 有包含关系
解
P A PB
A B
P( A B) P( ) 0
PB A PB P A 0.3
有放回地抽取 例4 袋中有红、黄、白色的球各一个。
两次，每次抽取一个球。 求下列事件的概率
1、A: 全红。 2、B:无红。 3、 D :白出现。
由全概率公式，有 4 PB P An P B An n 1
0.5275
2 6 9 3 0.85 0.64 0.45 0.32 20 20 20 20
例 14 对以往的数据分析结果表明当机器调整得良好时，
产品的合格率为 90% , 而当机器发生某一故障时，其合
P( A1 A3 ) P ( A3 )
A1 A3 A1 A1 A3 A1
A1 A3
0 .6 2 1 P( A3 ) 0.9 3
P( A1 )
一批零件共100件, 其中有10 件次品, 每次从 例9. 其中任取一个零件，取后不放回。试求： 1) 若依次抽取3 次, 求第3 次才抽到合格品的概率
第一章 习题课
（一）、事件的关系
1、运算关系
包含： A 则 B
相等： A = B
A B A B 且 B A
A B S 和：至少有一个发 生 A+B AB A、B不相容 积：同时发生 AB
AB
A、B 对立 记为
差： A－B B =S－A
2、运算法则 除与一般代数式运算相同的法则以外，注意
2
A2所包含的样本点的总数为从5双中任取2双的取法数， 2 C52 1 即有 C 5 种取法，从而 P( A )
2
故
13 P( A) P( A1 ) P( A2 ) 21
4 C10
21
例7 设有一枚深水炸弹击沉一潜水艇的概率的概率为 1/3，击伤的概率为1/2，击不中的概率为1/6，并且 击伤两次也会导致潜水艇下沉。求施放4枚深水炸弹
pB pA1 A2 p A1 p A2 P A1 A2 1
例2 某城市的供水系统由甲、乙两个水源与三部分 管道 1，2，3 组成。 每个水源都可以供应城市的用水。 设事件 Ak 表示第 k 号管道正常工作，k=1，2，3。
B表示“城市断水”。 B 表示“城市能正常供水”， 甲
2) 如果取到一个合格品就不再取下去，求在3 次
内取到合格品的概率 解: 设
Ai “第 i次抽到合格品”
90 9 10 0.0083 98 99 100
1) P( A1 A2 A3 ) P( A3 | A1 A2 ) P( A2 | A1 ) P( A1 )
2) 设 A “三次内取到合格品”
则 A A1 A1 A2 A1 A2 A3 且互斥
P(A) P( A1 ) P( A1 A2 ) P( A1 A2 A3 )
P( A1 ) P( A1 ) P( A2 | A1 )
P( A1 ) P( A2 | A1 ) P( A3 | A1 A2 ) 0.9993
有2只成双的情形；
若成双则与5双中任取的一双就出现4只恰有2双的情形， 后者多算了
C 种 ，因此有利于A的基本事件总数
1 5 2 8 2 5
2 5
C C C
1 5 2 8
2 5
故所求概率为 P( A) C C C 13 4 21 C10
方法一： A=表示“4只鞋子中至少有2只配成一双”
6 C 74 C 7 4 1 [ P( A | C )] P( B | C ) P( A B | C )] 1 [ 4 6 ] 5 C10 C10
（2）
8 4 32 P( ABC ) P(C ) P( AB | C ) 11 5 55
例13 某小组有20名射手，其中一、二、三、四级射 手分别为2、6、9、3名．又若选一、二、三、四级 射手参加比赛，则在比赛中射中目标的概率分别为 0.85、0.64、0.45、0.32，今随机选一人参加比赛， 试求该小组在比赛中射中目标的概率． 解： 设 B 该小组在比赛中射中目 标
1 从5双中任取一双有 C5 种取法，
2 然后在余下的8只中任取2只共有 C 8 种取法，
由乘法原理
可知有利于A的总数为
1 C 5 C82
1 C5 C82 14 2 故所求概率为 P( A) 4 21 3 C
（分析） C
2 8
中的两只鞋有“成双”或“不成双”两种情
若不成双，则与5双中任取的一双就出现4只鞋中恰
i 1
(i 1, 2 , , n )
例1
如图：
K1 K2
K1 合上的概率为 0.8 K 2 合上的概率为 0.7
B
K1 K 2 同时合上的概率为 0.5
求灯亮的概率。
解 设
pA1 0.8
A1 : K1 合上
pA2 0.7
A 2 : K 2 合上 B: 灯亮。
pA1 A2 0.5
方法二 设 A = “ 3 名优秀教师全是男教师”
P(A ) 1 P( A)
1 C C 3 0.788 11
3 7
例6．从5双不同号码的鞋子中任取4只，求4只鞋 子中至少有2只配成一双的概率。 解：（错解）基本事件总数：5双鞋子共有10只，
任取4只的取法总数为
C
4 10
A=表示“4只鞋子中至少有2只配成一双”于是有利于A 的基本事件总数可这样计算：
方法二：
A
中包含的样本点总数是从5双不同的鞋子中任取4双，
4 再从每双中任取一只的不同取法的种数，共有 C 5 2 4
种取法， 故
13 P( A) 1 P( A ) 1 C 2 / C 21
4 5 4 4 10
方法三： A1=表示“4只鞋子中恰有2只配成一双”
A2=表示“4只鞋子恰好配成两双” 则
1、一般概率 古典概型
2） 利用事件的运算
化为事件的和 一般情况
利用对立事件
化为事件的积
分解到完备组中： 全概公式
一般情况 A、B相互独立
是完备组，
2、条件概率
1） 在缩减完备组中计算，方法同 1。 2） 用乘法公式
3） 用逆概公式
P( AB) P( B / A) P( A)
P ( ABi ) P( A | Bi ) P( Bi ) n P( Bi | A) P ( A) P( A | Bi ) P( Bi )
A B A B : AB A B A A A A AA AS 2）其他 A ( BC ) ( A B)( A C ) 3）独立性 事件的独立性是由概率定义的；
1）对偶律 n个事件的独立性要求 2n n 1 个等式成立。 （三） 解题方法
A A1 A2 且 A1 A2
A1所包含的样本点总数为从5双鞋子中任取一双，再从 另外4双中取不能配对的两只，共有 种取法，从而
C (C C ) 12 P( A1 ) 4 21 C10
1 5 2 8 1 4
C (C C )
1 5
或 C C 2
2 4
2 8 1 5
1 4
Ai 选i级射手参加比赛 i 1， 2， 3 4
2 6 9 3 已知：PA1 , PA 2 , PA 3 , PA 4 20 20 20 20
P B A 0.45, PB A 0.32, 4 3
P B A 0.85, P B A 0.64, 1 2
能击沉潜水艇的概率。
解 记 A={击不沉}， B={4枚中都击不中}，
C={4枚中只有一枚击伤其它三枚击不中}
击沉的概率为
P( A) P( B C ) 4 3 13 1 1 1 1 P( B) P(C ) C4 4 2 6 6 6
6 13 P( A ) 1 P( A) 64
例 10 设某光学仪器厂制造的透镜，第一次落 下时打破的
概率为 1/2 ，若第一次落下未打破，第二次落下打破的概率
为 7/10 ,若前两次落下未打破，第三次落下打破的概率为
9/10 。求透镜落下三次而未打破的概率。
解：以 Ai ( i=1,2,3 ) 表示事件“透镜第 i 次落下打破”， 以 B 表示事件“透镜落下三次而未打破”， 由题意, 可知
例11 11只水果其中一级品8个，二级品3个，随机地分
给甲4个，乙6个，丙1个。
1) 已知丙未拿到二级品，求甲，乙均拿到二级品的概率
2) 求甲、乙均拿到二级品而丙未拿到二级品的概率。
解记 A（B，C）={甲（乙，丙）拿到二级品｝
（1） P( AB | C ) 1 P( AB | C ) 1 P( A B | C )