概率论第一章习题课
概率论第一章习题课
P AB P A P B P BC P B P C P AC P A P C P ABC P A P B P C
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第一章
习题课
2 、三个事件的独立性
设A、B、C是三个随机事件，如果
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第一章
习题课
例3（续） 2）由全概率公式和条件概率公式，有
P ( A1 A2 ) P ( A1 A2 B1 ) P ( B1 ) P ( A1 A2 B2 ) P ( B2 ) 2 2 P10 1 P18 1 ( 9 51 ) ( 2 2 ) 10 49 29 2 P P
“A，B，C中至少有一发生” ： “A，B，C中最多有一发生” ：
AB C A BC A B C A B C AB BC AC
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第一章
习题课
2 给出了随机事件的频率及概率的含义和基本性 质。要求熟练掌握概率的基本性质：
（1） 概率的（公理化）定义
1
30
0
0 P ( A) ;
（1）第一次取到的零件是一等品的概率；P ( A1 ) ? （2）第一次取到的零件是一等品的条件下 ， 第二次取到的也是一等品的概率；P ( A2 A1 ) ? （3）已知第一次取到的零件是一等品，求它 是第一箱的零件的概率；
P ( B2 A1 ) ?
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第一章
习题课
全概率公式和贝叶斯公式
nA
,事件AB所含样本
n AB P ( B A) nA
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第一章
习题课
（2） 乘法公式
10
20
P A1 A2 An P A1 P A2 A1 P A3 A1 A2 P An A1 A2 An 1
概率论第一章习题
且 P(5 i 0 A i ) 1
根据概率的有限可加性，所求概率为
5 0 4 1 C C C 113 5 5 5 C5 P(5 A ) 1 P ( A ) P ( A ) 1 i 2 i 0 1 5 C10 C150 126
空集
P( AB BA) P( AB ) P( BA) P( AB BA)
P( A) P( B) 2P( AB)
8
第1章 概率论的基本概念
习题4(2)
4. 设A,B是两个事件. (2) 验证事件A和事件B恰有一个发生的概率为 P(A) + P(B)－2P(AB) 方法二 AB A B AB A B “事件A，B都发生” = AB “ 事件A,B都不发生” = A B
16
第1章 概率论的基本概念
习题22
22. 一学生接连参加同一课程的两次考试. 第一次及格的 概率为p, 若第一次及格则第二次及格的概率也为p; 若第 一次不及格则第二次及格的概率为p/2. (1) 若至少有一次及格则他能取得某种资格，求他取得该 资格的概率. (2) 若已知他第二次已经及格，求他第一次及格的概率. 解： 令Ai=“第i次考试及格”，i=1,2 由题给条件可知 P( A1 ) p, P( A2 | A1 ) p, P( A2 | A1 ) p / 2 可得 P( A1 ) 1 p ， P( A1 A2 ) P( A2 | A1 ) P( A1 ) p 2
或利用条件概率的乘法定理可得
P( A B C) P(C | A B ) P( A B ) [1 P(C | A B )]P( A B ) P( A B ) P( A B C ) 7 / 60
1概率ACH1-习题课
C
(1)最小号码为5,即从6、7、8、9、10里选两个, 所求概率为:
C C
2 5 3 10
1 12
(2)最大号码为5，即从1，2，3，4里选两个，
2 所求概率为： 4 3 10
1 C = 20 C
8、从一批由1100件正品，400件次品组成的产品中
任取200件.求： (1)恰有90件次品的概率;(2)至少有2件次品的概率。
解： P( AB) P( A) P( AB ) =0.7-0.5=0.2
P ( AB) P( AB) P( B A B ) P ( A B ) P( A) P ( B ) P( AB )
0.2 0.25. 0.7 0.6 0.5
16、根据以往资料表明，某一3口之家，患某种传染病的概率
贝叶斯公式
P ( Bi A) P ( Bi | A) P ( A) P ( A | Bi ) P ( Bi )
P( A | B )P( B )
j 1 j j
n
i 1,2,, n
事件的独立性
P ( A1 An ) P ( A1 ) P ( An ) P ( A1 An ) 1 P ( A1 An ) 1 P ( A1 An ) 1 P ( A1 ) P ( An )
配成一双”（事件A）的概率是多少？
4 解： 样本空间总数:C10 210
1
3
5
7
9
事件A:4只恰成1双或恰成2双.
2 4只恰成2双的取法: C5 10
2 4 2 61 8 10 1 1 2 1 1 ） 4只恰成1双的取法:C5 C4 C2C2 120 或C（C8 - C4 120 5
概率论第一章习题详解
第一章 概率论的基本概念习题一 随机试验、随机事件一、判断题下列各题中的A 、B 、C 均表示事件，∅表示不可能事件 1、()A B B A -= （ 否 ）解：()A B B A B -=,只有当 ()B A A B B A ⊂⇒-=时2、ABC ABC = （ 否 ）解：ABC A B C =3、()AB AB =∅ （ 是 ） 解：()()()AB AB AA BB A ==∅=∅ 4、若,AC B C A B ==则 （ 否 ）显然,A C C B C A B ==≠但5、若,A B A AB ⊂=则 （ 是 ）6、若,,AB C A BC =∅⊂=∅则 （ 是 ）7、袋中有1个白球，3个红球，今随机取出3个，则（1）事件“含有红球”为必然事件； （ 是 ） （2）事件“不含白球”为不可能事件； （ 否 ） （3）事件“含有白球”为随机事件。
（ 是 ） 8、互斥事件必为互逆事件 （ 否 ） 解： 互斥事件：A B =∅ 互逆事件：AB A B =∅=Ω且二、填空题1、一次掷两颗骰子，（1）若观察两颗骰子各自出现的点数搭配情况，这个随机试验的样本空间为(){},,1,2,3,4,5,6m n m n Ω== ；（2）若观察两颗骰子的点数之和，则这个随机试验的样本空间为{}2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12Ω= .2、化简事件()()()A B A B A B =AB .解：()()()()()()()()()()()()()()()()() AB AB A B A B AB AA B B A B AABA AB BB A B BA AB AB BA AB A B BAA B A B B ⎡⎤=⎣⎦⎡⎤=⎣⎦⎡⎤=∅∅=⎣⎦==()()()() A A B A B BA AB⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦=∅= 3、设A ，B ，C 为三事件，用A ，B ，C 表示下列事件：（1） A 不发生，B 与C 都发生可表示为 ABC ； （2） A 与B 都不发生，而C 发生可表示为 ABC ；（3） A 发生，但B 与C 可能发生也可能不发生可表示为 A ； （4） A ，B ，C 都发生或都不发生可表示为 ABC ABC ；（5） A ，B ，C 中至少有一个发生可表示为 AB C ；（6） A ，B ，C 中至多有一个发生可表示为 ABC ABC ABC ABC ；（7） A ，B ，C 中恰有一个发生可表示为 ABC ABCABC ；（8） A ，B ，C 中至少有两个发生可表示为 ABAC BC ；（9） A ，B ，C 中至多有两个发生可表示为 ABC ； （10） A ，B ，C 中恰有两个发生可表示为 ABCABC ABC .三、选择题1、对飞机进行两次射击，每次射一弹，设A 表示“恰有一弹击中飞机”，B 表示“至少有一弹击中飞机”，C 表示“两弹都击中飞机”，D 表示“两弹都没击中飞机”，则下列说法中错误的是（ B ）A 、A 与D 是互不相容的B 、A 与C 是相容的C 、B 与C 是相容的D 、B 与D 是相互对立的事件 2、下列关系中能导出“A 发生则B 与C 同时发生”的有（ A ）A 、ABC A =B 、AB C A = C 、BC A ⊂ D 、A B C ⊂解：ABC A A BC =⇒⊂⇒ A 发生则B 与C 同时发生 四、写出下列随机试验的样本空间1、记录一个小班一次数学考试的平均分数（设以百分制记分）；2、一个口袋中有5个外形相同的球，编号为1，2，3，4，5，从中同时取出3个球；3、某人射击一个目标，若击中目标，射击就停止，记录射击的次数；4、在单位圆内任意取一点，记录它的坐标。
《概率论与数理统计教程》课后习题解答
第一章 事件与概率1.2 在数学系的学生中任选一名学生，令事件A 表示被选学生是男生，事件B 表示被选学生是三年级学生，事件C 表示该生是运动员。
(1) 叙述C AB 的意义。
(2)在什么条件下C ABC =成立？ (3)什么时候关系式B C ⊂是正确的？(4) 什么时候B A =成立？解 (1)事件C AB 表示该是三年级男生，但不是运动员。
(2)C ABC = 等价于AB C ⊂，表示全系运动员都有是三年级的男生。
(3)当全系运动员都是三年级学生时。
(4)当全系女生都在三年级并且三年级学生都是女生时`。
1.3 一个工人生产了n 个零件，以事件i A 表示他生产的第i 个零件是合格品（n i ≤≤1）。
用i A 表示下列事件：(1)没有一个零件是不合格品； (2)至少有一个零件是不合格品； (3)仅仅只有一个零件是不合格品； (4)至少有两个零件是不合格品。
解 (1)n i iA 1=; (2) n i i n i i A A 11===; (3) n i nij j ji A A 11)]([=≠=;(4)原事件即“至少有两个零件是合格品”，可表示为nji j i jiAA ≠=1,；1.5 在分别写有2、4、6、7、8、11、12、13的八张卡片中任取两张，把卡片上的两个数字组成一个分数，求所得分数为既约分数的概率。
解 样本点总数为7828⨯=A 。
所得分数为既约分数必须分子分母或为7、11、13中的两个，或为2、4、6、8、12中的一个和7、11、13中的一个组合，所以事件A “所得分数为既约分数”包含6322151323⨯⨯=⨯+A A A 个样本点。
于是14978632)(=⨯⨯⨯=A P 。
1.8 在中国象棋的棋盘上任意地放上一只红“车”及一只黑“车”，求它们正好可以相互吃掉的概率。
解 任意固定红“车”的位置，黑“车”可处于891109=-⨯个不同位置，当它处于和红“车”同行或同列的1789=+个位置之一时正好相互“吃掉”。
概率第一章习题答案.doc演示教学
学习资料仅供学习与参考 第一章随机事件及其概率14、一种用来检验50岁以上的人是否患有关节炎的检验法，对于确实患关节炎的患者有85%给出了正确结果；而对于已知未患关节炎的人有4%会认为他患关节炎.已知人群中有10%的人患有关节炎。
问一名被检验者经检验，认为他没有患关节炎，而他却患有关节炎的概率.解 设“一名被检验者经检验认为患有关节炎”记为事件A ，“一名被检验者确实患有关节炎”记为事件B 。
根据全概率公式有 ()()(|)()(|)10%85%90%4%12.1%P A P B P A B P B P A B =+=⨯+⨯=，所以，根据条件概率得到所要求的概率为()()(|)10%(185%)(|) 1.706%()1()112.1%P BA P B P A B P B A P A P A -====-- 即一名被检验者经检验认为没有关节炎而实际却有关节炎的概率为1.706%.15、计算机中心有三台打字机A,B,C ，程序交与各台打字机打字的概率依次为0.6,0.3,0.1，打字机发生故障的概率依次为0.01,0.05,0.04。
已知一程序因打字机发生故障而被破坏了，求该程序是在A,B,C 上打字的概率分别为多少？解 设A=“程序因打字机发生故障而被破坏”，1B =“程序在A 打字机上打字”，2B =“程序在B 打字机上打字”，3B =“程序在C 打字机上打字”根据全概率公式有()()()()()()()112233|||=0.010.60.050.30.040.10.025 P A P A B P B P A B P B P A B P B =++⨯+⨯+⨯=根据贝叶斯公式,该程序是在A,B,C 上打字的概率分别为()()()()111|0.010.6|0.240.025P A B P B P B A P A ⨯=== ()()()()222|0.050.3|0.600.025P A B P B P B A P A ⨯=== ()()()()333|0.040.1|0.160.025P A B P B P B A P A ⨯===。
概率论第一章习题课
概率论与数理统计第一章习题课1. 掷3枚硬币, 求出现3个正面的概率. 解: 设事件A ={出现3个正面}基本事件总数n =23, 有利于A 的基本事件数n A =1, 即A 为一基本事件,则125.08121)(3====n n A P A .2. 10把钥匙中有3把能打开门, 今任取两把, 求能打开门的概率. 解: 设事件A ={能打开门}, 则A 为不能打开门基本事件总数210C n =, 有利于A 的基本事件数27C n A =, 467.0157910212167)(21027==⨯⨯⋅⨯⨯==C C A P因此, 533.0467.01)(1)(=-=-=A P A P .3. 100个产品中有3个次品,任取5个, 求其次品数分别为0,1,2,3的概率.解: 设A i 为取到i 个次品, i =0,1,2,3,基本事件总数5100C n =, 有利于A i 的基本事件数为3,2,1,0,5973==-i C C n i i i则138.09833209495432194959697396979899100543213)(856.0334920314719969798991009394959697)(510049711510059700=⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⋅⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⨯===⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯===C C n n A P C C n n A P00006.09833512196979697989910054321)(006.0983359532195969739697989910054321)(51002973351003972322=⨯⨯==⨯⨯⋅⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯====⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⋅⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯===C C n n A P C C C n n A P4. 一个袋内有5个红球, 3个白球, 2个黑球, 计算任取3个球恰为一红, 一白, 一黑的概率.解: 设A 为任取三个球恰为一红一白一黑的事件,则基本事件总数310C n =, 有利于A 的基本事件数为121315C C C n A =, 则25.0412358910321)(310121315==⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯===C C C C n n A P A5. 两封信随机地投入四个邮筒, 求前两个邮筒内没有信的概率以及第一个邮筒内只有一封信的概率.解: 设A 为前两个邮筒没有信的事件, B 为第一个邮筒内只有一封信的事件,则基本事件总数1644=⨯=n , 有利于A 的基本事件数422=⨯=A n , 有利于B 的基本事件数632=⨯=B n , 则25.041164)(====n n A P A 375.083166)(====n n B P B . 6. 为防止意外, 在矿内同时设有两种报警系统A 与B , 每种系统单独使用时, 其有效的概率系统A 为0.92, 系统B 为0.93, 在A 失灵的条件下, B 有效的概率为0.85, 求(1) 发生意外时, 这两个报警系统至少有一个有效的概率 (2) B 失灵的条件下, A 有效的概率解: 设A 为系统A 有效, B 为系统B 有效, 则根据题意有P (A )=0.92, P (B )=0.93, 85.0)|(=A B P(1) 两个系统至少一个有效的事件为A ∪B , 其对立事件为两个系统都失效, 即B A B A = , 而15.085.01)|(1)|(=-=-=A B P A B P , 则988.0012.01)(1)(012.015.008.015.0)92.01()|()()(=-=-==⨯=⨯-==B A P B A P A B P A P B A P(2) B 失灵条件下A 有效的概率为)|(B A P , 则829.093.01012.01)()(1)|(1)|(=--=-=-=B P B A P B A P B A P 7. 用3个机床加工同一种零件, 零件由各机床加工的概率分别为0.5, 0.3, 0.2, 各机床加工的零件为合格品的概率分别等于0.94, 0.9, 0.95, 求全部产品中的合格率.解: 设A 1,A 2,A 3零件由第1,2,3个机床加工, B 为产品合格,A 1,A 2,A 3构成完备事件组.则根据题意有P (A 1)=0.5, P (A 2)=0.3, P (A 3)=0.2, P (B |A 1)=0.94, P (B |A 2)=0.9, P (B |A 3)=0.95,由全概率公式得全部产品的合格率P (B )为93.095.02.09.03.094.05.0)|()()(31=⨯+⨯+⨯==∑=i i i A B P A P B P8. 12个乒乓球中有9个新的3个旧的, 第一次比赛取出了3个, 用完后放回去, 第二次比赛又取出3个, 求第二次取到的3个球中有2个新球的概率.解: 设A 0,A 1,A 2,A 3为第一次比赛取到了0,1,2,3个新球, A 0,A 1,A 2,A 3构成完备事件组.设B 为第二次取到的3个球中有2个新球. 则有22962156101112321)|(,552132101112789321)(,442152167101112321)|(,55272101112389321)(,552842178101112321)|(,2202710111239321)(,552732189101112321)|(,2201101112321)(312162633123933121527231213292312142813122319131213290312330=⋅⨯⨯⋅⨯⨯⨯⨯===⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯===⋅⨯⨯⋅⨯⨯⨯⨯===⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯===⋅⨯⨯⋅⨯⨯⨯⨯===⨯⨯⨯⨯⨯⨯===⋅⨯⨯⋅⨯⨯⨯⨯===⨯⨯⨯⨯==C C C A B P C C A P C C C A B P C C C A P C C C A B P C C C A P C C C A B P C C A P根据全概率公式有455.01562.02341.00625.00022.022955214421552755282202755272201)|()()(30=+++=⋅+⋅+⋅+⋅==∑=i i i A B P A P B P9. 某商店收进甲厂生产的产品30箱, 乙厂生产的同种产品20箱, 甲厂每箱100个, 废品率为0.06, 乙厂每箱装120个, 废品率是0.05, 求:(1)任取一箱, 从中任取一个为废品的概率;(2)若将所有产品开箱混放, 求任取一个为废品的概率. 解: (1) 设B 为任取一箱, 从中任取一个为废品的事件. 设A 为取到甲厂的箱, 则A 与A 构成完备事件组4.05020)(,6.05030)(====A P A P 05.0)|(,06.0)|(==AB P A B P 056.005.04.006.06.0)|()()|()()(=⨯+⨯=+=A B P A P A B P A P B P(2) 设B 为开箱混放后任取一个为废品的事件.则甲厂产品的总数为30×100=3000个, 其中废品总数为3000×0.06=180个,乙厂产品的总数为20×120=2400个, 其中废品总数为2400×0.05=120个, 因此...055555555.0540030024003000120180)(==++=B P10. 有两个口袋, 甲袋中盛有两个白球, 一个黑球, 乙袋中盛有一个白球两个黑球. 由甲袋中任取一个球放入乙袋, 再从乙袋中取出一个球, 求取到白球的概率.解: 设事件A 为从甲袋中取出的是白球, 则A 为从甲袋中取出的是黑球, A 与A 构成完备事件组. 设事件B 为从乙袋中取到的是白球. 则P (A )=2/3, P (A )=1/3, P (B |A )=2/4=1/2, P (B |A )=1/4, 则根据全概率公式有417.012541312132)|()()|()()(==⨯+⨯=+=A B P A P A B P A P B P11. 上题中若发现从乙袋中取出的是白球, 问从甲袋中取出放入乙袋的球, 黑白哪种颜色可能性大?解: 事件假设如上题, 而现在要求的是在事件B 已经发生条件下, 事件A 和A 发生的条件概率P (A |B )和P (A |B )哪个大, 可以套用贝叶斯公式进行计算, 而计算时分母为P (B )已上题算出为0.417, 因此2.0417.04131)()|()()|(8.0417.02132)()|()()|(=⨯===⨯==B P A B P A P B A P B P A B P A P B A PP (A |B )>P (A |B ), 因此在乙袋取出的是白球的情况下, 甲袋放入乙袋的球是白球的可能性大.12. 假设有3箱同种型号的零件, 里面分别装有50件, 30件和40件, 而一等品分别有20件, 12件及24件. 现在任选一箱从中随机地先后各抽取一个零件(第一次取到的零件不放回). 试求先取出的零件是一等品的概率; 并计算两次都取出一等品的概率.解: 称这三箱分别为甲,乙,丙箱, 假设A 1,A 2,A 3分别为取到甲,乙,丙箱的事件, 则A 1,A 2,A 3构成完备事件组. 易知P (A 1)=P (A 2)=P (A 3)=1/3. 设B 为先取出的是一等品的事件. 则6.04024)|(,4.03012)|(,4.05020)|(321======A B P A B P A B P 根据全概率公式有467.036.04.04.0)|()()(31=++==∑=i i i A B P A P B P 设C 为两次都取到一等品的事件, 则38.039402324)|(1517.029301112)|(1551.049501920)|(240224323021222502201=⨯⨯===⨯⨯===⨯⨯==C C A C P C C A C P C C A C P根据全概率公式有22.033538.01517.01551.0)|()()(31=++==∑=i i i A C P A P C P13. 发报台分别以概率0.6和0.4发出信号“·”和“—”。
概率论第一章习题详解
第一章 概率论的基本概念习题一 随机试验、随机事件一、判断题下列各题中的A 、B 、C 均表示事件，∅表示不可能事件 1、()A B B A -= （ 否 ）解：()A B B A B -=,只有当 ()B A A B B A ⊂⇒-=时2、ABC ABC = （ 否 ）解：ABC A B C =3、()AB AB =∅ （ 是 ） 解：()()()AB AB AA BB A ==∅=∅ 4、若,AC B C A B ==则 （ 否 ）显然,A C C B C A B ==≠但5、若,A B A AB ⊂=则 （ 是 ）6、若,,AB C A BC =∅⊂=∅则 （ 是 ）7、袋中有1个白球，3个红球，今随机取出3个，则（1）事件“含有红球”为必然事件； （ 是 ） （2）事件“不含白球”为不可能事件； （ 否 ） （3）事件“含有白球”为随机事件。
（ 是 ） 8、互斥事件必为互逆事件 （ 否 ） 解： 互斥事件：A B =∅ 互逆事件：AB A B =∅=Ω且二、填空题1、一次掷两颗骰子，（1）若观察两颗骰子各自出现的点数搭配情况，这个随机试验的样本空间为(){},,1,2,3,4,5,6m n m n Ω== ；（2）若观察两颗骰子的点数之和，则这个随机试验的样本空间为{}2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12Ω= .2、化简事件()()()A B A B A B =AB .解：()()()()()()()()()()()()()()()()() AB AB A B A B AB AA B B A B AABA AB BB A B BA AB AB BA AB A B BAA B A B B ⎡⎤=⎣⎦⎡⎤=⎣⎦⎡⎤=∅∅=⎣⎦==()()()() A A B A B BA AB⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦=∅= 3、设A ，B ，C 为三事件，用A ，B ，C 表示下列事件：（1） A 不发生，B 与C 都发生可表示为 ABC ； （2） A 与B 都不发生，而C 发生可表示为 ABC ；（3） A 发生，但B 与C 可能发生也可能不发生可表示为 A ； （4） A ，B ，C 都发生或都不发生可表示为 ABC ABC ；（5） A ，B ，C 中至少有一个发生可表示为 AB C ；（6） A ，B ，C 中至多有一个发生可表示为 ABC ABC ABC ABC ；（7） A ，B ，C 中恰有一个发生可表示为 ABC ABCABC ；（8） A ，B ，C 中至少有两个发生可表示为 ABAC BC ；（9） A ，B ，C 中至多有两个发生可表示为 ABC ； （10） A ，B ，C 中恰有两个发生可表示为 ABCABC ABC .三、选择题1、对飞机进行两次射击，每次射一弹，设A 表示“恰有一弹击中飞机”，B 表示“至少有一弹击中飞机”，C 表示“两弹都击中飞机”，D 表示“两弹都没击中飞机”，则下列说法中错误的是（ B ）A 、A 与D 是互不相容的B 、A 与C 是相容的C 、B 与C 是相容的D 、B 与D 是相互对立的事件 2、下列关系中能导出“A 发生则B 与C 同时发生”的有（ A ）A 、ABC A =B 、AB C A = C 、BC A ⊂ D 、A B C ⊂解：ABC A A BC =⇒⊂⇒ A 发生则B 与C 同时发生 四、写出下列随机试验的样本空间1、记录一个小班一次数学考试的平均分数（设以百分制记分）；2、一个口袋中有5个外形相同的球，编号为1，2，3，4，5，从中同时取出3个球；3、某人射击一个目标，若击中目标，射击就停止，记录射击的次数；4、在单位圆内任意取一点，记录它的坐标。
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它的对立事件
A 为“4只鞋子均不成双”
故第一只鞋子是从5双（10只）中任取一只，有10种 取法，第二只鞋子从剩下的4双（8只）中任取一只，有 8种取法种取法，第三只鞋子从再剩下的3双（6只）中取
一只，有6种取法，
第四只鞋子有4种取法，
可知 A 的样本点数为
10 8 6 4
故所求概率为
10 8 6 4 13 P( A) 1 P( A ) 1 10 9 8 7 21
格率为 30% 。每天早上机器开动时，机器调整良好的
概率为 75% 。已知某天早上第一件产品是合格品，试 求机器调整得良好的概率是多少？
机器调整得良好
P( A| B) 90%
P( A| B ) 30%
2、 A、B 有包含关系
解
P A PB
A B
P( A B) P( ) 0
PB A PB P A 0.3
有放回地抽取 例4 袋中有红、黄、白色的球各一个。
两次，每次抽取一个球。 求下列事件的概率
1、A: 全红。 2、B:无红。 3、 D :白出现。
由全概率公式，有 4 PB P An P B An n 1
0.5275
2 6 9 3 0.85 0.64 0.45 0.32 20 20 20 20
例 14 对以往的数据分析结果表明当机器调整得良好时，
产品的合格率为 90% , 而当机器发生某一故障时，其合
P( A1 A3 ) P ( A3 )
A1 A3 A1 A1 A3 A1
A1 A3
0 .6 2 1 P( A3 ) 0.9 3
P( A1 )
一批零件共100件, 其中有10 件次品, 每次从 例9. 其中任取一个零件，取后不放回。试求： 1) 若依次抽取3 次, 求第3 次才抽到合格品的概率
第一章 习题课
（一）、事件的关系
1、运算关系
包含： A 则 B
相等： A = B
A B A B 且 B A
A B S 和：至少有一个发 生 A+B AB A、B不相容 积：同时发生 AB
AB
A、B 对立 记为
差： A－B B =S－A
2、运算法则 除与一般代数式运算相同的法则以外，注意
2
A2所包含的样本点的总数为从5双中任取2双的取法数， 2 C52 1 即有 C 5 种取法，从而 P( A )
2
故
13 P( A) P( A1 ) P( A2 ) 21
4 C10
21
例7 设有一枚深水炸弹击沉一潜水艇的概率的概率为 1/3，击伤的概率为1/2，击不中的概率为1/6，并且 击伤两次也会导致潜水艇下沉。求施放4枚深水炸弹
pB pA1 A2 p A1 p A2 P A1 A2 1
例2 某城市的供水系统由甲、乙两个水源与三部分 管道 1，2，3 组成。 每个水源都可以供应城市的用水。 设事件 Ak 表示第 k 号管道正常工作，k=1，2，3。
B表示“城市断水”。 B 表示“城市能正常供水”， 甲
2) 如果取到一个合格品就不再取下去，求在3 次
内取到合格品的概率 解: 设
Ai “第 i次抽到合格品”
90 9 10 0.0083 98 99 100
1) P( A1 A2 A3 ) P( A3 | A1 A2 ) P( A2 | A1 ) P( A1 )
2) 设 A “三次内取到合格品”
则 A A1 A1 A2 A1 A2 A3 且互斥
P(A) P( A1 ) P( A1 A2 ) P( A1 A2 A3 )
P( A1 ) P( A1 ) P( A2 | A1 )
P( A1 ) P( A2 | A1 ) P( A3 | A1 A2 ) 0.9993
有2只成双的情形；
若成双则与5双中任取的一双就出现4只恰有2双的情形， 后者多算了
C 种 ，因此有利于A的基本事件总数
1 5 2 8 2 5
2 5
C C C
1 5 2 8
2 5
故所求概率为 P( A) C C C 13 4 21 C10
方法一： A=表示“4只鞋子中至少有2只配成一双”
6 C 74 C 7 4 1 [ P( A | C )] P( B | C ) P( A B | C )] 1 [ 4 6 ] 5 C10 C10
（2）
8 4 32 P( ABC ) P(C ) P( AB | C ) 11 5 55
例13 某小组有20名射手，其中一、二、三、四级射 手分别为2、6、9、3名．又若选一、二、三、四级 射手参加比赛，则在比赛中射中目标的概率分别为 0.85、0.64、0.45、0.32，今随机选一人参加比赛， 试求该小组在比赛中射中目标的概率． 解： 设 B 该小组在比赛中射中目 标
1 从5双中任取一双有 C5 种取法，
2 然后在余下的8只中任取2只共有 C 8 种取法，
由乘法原理
可知有利于A的总数为
1 C 5 C82
1 C5 C82 14 2 故所求概率为 P( A) 4 21 3 C
（分析） C
2 8
中的两只鞋有“成双”或“不成双”两种情
若不成双，则与5双中任取的一双就出现4只鞋中恰
i 1
(i 1, 2 , , n )
例1
如图：
K1 K2
K1 合上的概率为 0.8 K 2 合上的概率为 0.7
B
K1 K 2 同时合上的概率为 0.5
求灯亮的概率。
解 设
pA1 0.8
A1 : K1 合上
pA2 0.7
A 2 : K 2 合上 B: 灯亮。
pA1 A2 0.5
方法二 设 A = “ 3 名优秀教师全是男教师”
P(A ) 1 P( A)
1 C C 3 0.788 11
3 7
例6．从5双不同号码的鞋子中任取4只，求4只鞋 子中至少有2只配成一双的概率。 解：（错解）基本事件总数：5双鞋子共有10只，
任取4只的取法总数为
C
4 10
A=表示“4只鞋子中至少有2只配成一双”于是有利于A 的基本事件总数可这样计算：
方法二：
A
中包含的样本点总数是从5双不同的鞋子中任取4双，
4 再从每双中任取一只的不同取法的种数，共有 C 5 2 4
种取法， 故
13 P( A) 1 P( A ) 1 C 2 / C 21
4 5 4 4 10
方法三： A1=表示“4只鞋子中恰有2只配成一双”
A2=表示“4只鞋子恰好配成两双” 则
1、一般概率 古典概型
2） 利用事件的运算
化为事件的和 一般情况
利用对立事件
化为事件的积
分解到完备组中： 全概公式
一般情况 A、B相互独立
是完备组，
2、条件概率
1） 在缩减完备组中计算，方法同 1。 2） 用乘法公式
3） 用逆概公式
P( AB) P( B / A) P( A)
P ( ABi ) P( A | Bi ) P( Bi ) n P( Bi | A) P ( A) P( A | Bi ) P( Bi )
A B A B : AB A B A A A A AA AS 2）其他 A ( BC ) ( A B)( A C ) 3）独立性 事件的独立性是由概率定义的；
1）对偶律 n个事件的独立性要求 2n n 1 个等式成立。 （三） 解题方法
A A1 A2 且 A1 A2
A1所包含的样本点总数为从5双鞋子中任取一双，再从 另外4双中取不能配对的两只，共有 种取法，从而
C (C C ) 12 P( A1 ) 4 21 C10
1 5 2 8 1 4
C (C C )
1 5
或 C C 2
2 4
2 8 1 5
1 4
Ai 选i级射手参加比赛 i 1， 2， 3 4
2 6 9 3 已知：PA1 , PA 2 , PA 3 , PA 4 20 20 20 20
P B A 0.45, PB A 0.32, 4 3
P B A 0.85, P B A 0.64, 1 2
能击沉潜水艇的概率。
解 记 A={击不沉}， B={4枚中都击不中}，
C={4枚中只有一枚击伤其它三枚击不中}
击沉的概率为
P( A) P( B C ) 4 3 13 1 1 1 1 P( B) P(C ) C4 4 2 6 6 6
6 13 P( A ) 1 P( A) 64
例 10 设某光学仪器厂制造的透镜，第一次落 下时打破的
概率为 1/2 ，若第一次落下未打破，第二次落下打破的概率
为 7/10 ,若前两次落下未打破，第三次落下打破的概率为
9/10 。求透镜落下三次而未打破的概率。
解：以 Ai ( i=1,2,3 ) 表示事件“透镜第 i 次落下打破”， 以 B 表示事件“透镜落下三次而未打破”， 由题意, 可知
例11 11只水果其中一级品8个，二级品3个，随机地分
给甲4个，乙6个，丙1个。
1) 已知丙未拿到二级品，求甲，乙均拿到二级品的概率
2) 求甲、乙均拿到二级品而丙未拿到二级品的概率。
解记 A（B，C）={甲（乙，丙）拿到二级品｝
（1） P( AB | C ) 1 P( AB | C ) 1 P( A B | C )