第7章图1

有向图 G1
V1
V2
顶点 弧 弧尾 弧头
无向图 G2
V1 V3
V2
顶点 边
V4
V5
有向网、无向网
弧或边带权的图分别称为有向网或无向网。
子图
设有两个图 G=(V,{E}) 和 G'=(V',{E'})，如果V'V 且 E' E，则称 G'为G的子图(subgraph)。 完全图、稀疏图、稠密图 假设图中含有n 个顶点和 e 条边，
描述如下无向图的数组存储结构：
0 1 G.arcs = 0 0 1 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0
B A F
C D E
G. vexnum=6 G. arcnum=7 G. kind=AG
算法实现：P162
7.2.2 邻接表—— 链式存储结构
以顶点v为弧尾的弧的数目定义为顶点的出度， V1
以顶点v为弧头的弧的数目定义为顶点的入度。 V3
V2
V4
路径、路径长度、简单路径、简单回路 • • • • 路径：两个顶点之间的顶点序列。 路径长度：路径上边（或弧）的数目。 简单路径： 在序列中，顶点不重复出现的路径。 回路（环）：第一顶点和最后顶点相同的路径。
#define MAX_VERTEX_NUM 20 typedef struct ArcNode{ int adjvex; struct ArcNode *nextarc; 表结点 VRType weight; adjvex weight info nextarc InfoType *info; }ArcNode; 头结点 typedef struct VNode{ VertexType data; data firstarc ArcNode *firstarc; } VNode, AdjList [MAX_VERTEX_NUM ]; typedef struct { AdjList vertices; int vexnum, arcnum; int kind; }ALGraph;
名词和术语
弧尾、弧头、有向图 图由一个顶点集和弧集构成， 通常写作：Graph=(V,VR)。 若 <v,w>∈ VR，则 <v,w>表示从顶点 v 到顶点 w 的一 条弧，其中顶点 v 被称为弧尾，顶 点 w 被称作弧头。由于弧是有方向 的，故称有向图。 边、无向图 若<v,w>∈R 必有<w,v>∈R，则 称 (v,w) 为顶点 v 和顶点 w 之间 存在一条边。由顶点集和边集构 成的图称作无向图。 V3 V4
网及其邻接矩阵
V1 3 V6 1 V5 6 5 (a) 网 V4 5 8 7 9 V3 5
V2
4
8 3
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ5
7 4 9 5 6 5 1
(b) 邻接矩阵
#define INFINITY INT_MAX #define MAX_VERTEX_NUM 20 typedef enum{DG, DN, AG, AN} GraphKind; typedef struct ArcCell{ VRType adj; InfoType *info; }ArcCell, AdjMatrix[MAX_VERTEX_NUM ][MAX_VERTEX_NUM ] typedef struct { VertexType vexs[MAX_VERTEX_NUM ]; AdjMatrix arcs; int vexnum, arcnum; GraphKind kind; }MGraph;
if (G.kind==DN || G.kind==AN) input(w, p); // 输入权值和其它信息存储地址 else { w=0; p=NULL; } pi->weight = w; pi->info = p; pi -> nextarc = G.vertices[i].firstarc; G.vertices[i].firstarc = pi; // 插入链表G.vertices[i]
V1
V2
G1的逆邻接表
V3
V4
0 1 2 3
V1 V2 V3 V4
3 0 0 2
^ ^ ^ ^
逆邻接表： 求入度容易，求出度难
void CreateGraph(ALGraph &G) {// 生成图G的存储结构-邻接表
input( G.vexnum, G.arcnum, G.kind);// 输入顶点数、边数和图类型 for (i=0; i<G.vexnum; ++i) { // 构造顶点数组 input(G.vertices[i].data); // 输入顶点 G.vertices[i].firstarc = NULL; // 初始化链表头指针为"空" }// for for (k=0; k<G.arcnum; ++k) { // 输入各边并构造邻接表 input(sv, tv); // 输入一条弧的始点和终点 i = LocateVex(G, sv); j = LocateVex(G, tv); // 确定sv和tv在G中位置，即顶点在G.vertices中的序号 pi = (ArcNode *)malloc (sizeof(ArcNode)); if (!pi) exit(1); // 存储分配失败 pi -> adjvex = j; // 对弧结点赋邻接点"位置"
• 非强连通的有向图中的极大强连通子图称作有向图的强 连通分量。
B A B A F E C F D E B E C D B A A D C
C
D
生成树、生成森林
一个含 n 个顶点的连通图的生成树是该图中的一 个极小连通子图，它包含图中 n 个顶点和足以构成一 棵树的 n-1 条边。 对于非连通图，则称由各个连通分量的生成树的集 合为此非连通图的生成森林。
有向图 G1
V1
V2
V3
无向图 G2
V4 V2
0 0 G1.arcs = 0 1
1 1 0 0 0 0 0 0
0 0 1 0
V1
V4
0 1 V3 G2.arcs = 0 1 V5 0
1 0 1 0 1
0 1 0 1 1
1 0 1 0 0
0 1 1 0 0
邻接矩阵需要 n2的存储量。无 向图的邻接矩阵 总是对称的，可 以采用压缩存储。
B A F
C A D F E
B
C D E
7.2 图的存储结构
7.2.1 数组表示法
假设图中顶点数为n，则邻接矩阵A(ai,j)n*n,定义为：
A[i][j]=1 边或弧存在
0 反之 网的邻接矩阵的定义为： A[i][j]= 权值 有邻接时 反之
将图的顶点信息存储在一个一维数组中，并将它 的邻接矩阵存储在一个二维数组中即构成图的数组表 示。
A
B E A B C D
F
C D
E
ABFCD是一条路径长度为4的无向路径。 ABCD是一条路径长度为3的简单路径。
ABCDA是一条路径长度为4的简单回路。
连通图和连通分量、强连通图和强连通分量 • 若无向图中任意两个顶点之间都存在一条无向路径，则 称该无向图为连通图，否则称为非连通图。 • 若有向图中任意两个顶点之间都存在一条有向路径，则 称该有向图为强连通图，否则称为非强连通图。 • 非连通图中各个极大连通子图称作该图的连通分量。
if (G.kind==AG || G.kind==AN) { // 对无向图或无向网尚需建立tv的邻接点 pj = (ArcNode *)malloc (sizeof(ArcNode)); if (!pi) exit(1); // 存储分配失败 pj -> adjvex = i; // 对弧结点赋邻接点"位置" pj -> weight = w; pj->info = p; pj -> nextarc = G.vertices[j].firstarc; G.vertices[j].firstarc = pj; // 插入链表G.vertices[j] } // if } // for } // CreateGraph
ADT Graph { 数据对象V：V是具有相同特性的数据元素的集
合，称为顶点集。
数据关系R：
R ＝ {VR} VR ＝ {<v,w>| v,w∈V且P(v,w)， <v,w>表示从v到w的弧， 谓词P(v,w)定义了弧<v,w>的意义或信息 } 基本操作P:p156 }ADT Graph
基本操作P： {结构初始化} CreateGraph(&G, V, VR); 初始条件：V 是图的顶点集，VR 是图中弧的集合。 操作结果：按 V 和 VR 的定义构造图 G。
{销毁结构} DestroyGraph(&G); 初始条件：图 G 存在。 操作结果：销毁图 G。 {引用型操作} LocateVex(G, u); 初始条件：图 G 存在，u 和 G 中顶点有相同特征。 操作结果：若 G 中存在和 u 相同的顶点，则返回该顶点在图中位置；否 则返回其它信息。 GetVex(G, v); 初始条件：图 G 存在，v 是 G 中某个顶点。 操作结果：返回 v 的值。
有向图 G1
V1
V2
V3
无向图 G2
V4
0 0 G1.arcs = 0 1
1 1 0 0 0 0 0 0
0 0 1 0
V1 V3
V2
V4
V5
0 1 G2.arcs = 0 1 0
1 0 1 0 1