圆与圆的位置关系(初三复习)

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考点3
相切两圆的性质
如果两圆相切，那么两圆的连心线 切点 经过________ 相切两 圆的性 质
两圆相切时的图形是轴对称图形， 通过两圆圆心的连线(连心线)是它 的对称轴
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探究一 圆和圆的位置关系的判别
命题角度： 1. 根据两圆的公共点的个数确定； 2. 根据两圆的圆心距与半径的数量关系确定． 例1 [2012· 南充] 如图30－1，平面直角坐标系中，⊙O半径长 为1，点P(a，0)，⊙P的半径长为2，把⊙P向左平移，当⊙P 与⊙O相切时，a的值为( D ) A．3 B．1 C．1，3 D．±1，±3 图30－1
题角度： 两圆相切的简单命应用． 例3 (1)计算：如图30－3①，直径为a的三等圆⊙O1 ， ⊙O2 ，⊙O3 两两外切，切点分别为A，B，C ，求O1 A的 长(用含a的代数式表示)； (2)探索：若干个直径为a的圆圈分别按如图30－3②所示的方 案一和如图30－3③所示的方案二的方式排放，探索并求出这 两种方案中n层圆圈的高度hn和h′n(用含n，a的代数式表示)；
圆与圆的位置关系
考 点 聚 焦
考点1 圆和圆的位置关系 d>R＋r 外离⇔________
设⊙O1，⊙O2的半径 分别为R，r(R>r)，圆 心之间的距离为d，那 么⊙O1和⊙O2
d＝R＋r 外切⇔________ R－r<d<R＋r 相交⇔________ d＝R－r 内切⇔________ 两圆内含⇔________ d<R－r
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解
(1)∵⊙O1 ，⊙O2 ，⊙O3 两两外切， ∴O1 O2 ＝O2 O3 ＝O1 O3 ＝a. 又∵O2 A＝ O3 A， ∴O1 A⊥O2 O3 ， 1 2 3 2 ∴O1 A＝ a － a ＝ a. 4 2 3 (2)hn＝na，h′n＝ (n－1)a＋a. 2
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解
析
应分两个圆相内切和相外切两种情况进行讨论，
求得P到O的距离，即可得到a的值．当两个圆外切时，
圆心距d＝1＋2＝3，即P到O的距离是3，则a＝±3.
当两圆相内切时，圆心距d＝2－1＝1，即P到O的距离 是1，则a＝±1.故a＝±1或±3. 故选D.
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百度文库 解
析
设O1C＝x，则O2C＝10－x，
∴62－x2＝82－(10－x)2，
解得x＝3.6，
∴AC2＝62－x2＝36－3.62＝23.04， ∴AC＝4.8 cm， ∴弦AB的长为9.6 cm. 故选B.
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探究三
和相切两圆有关的计算
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解
(3)方案二装运钢管最多． 即： 按题图③的方式排 放钢管，放置根数最多．根据题意，第一层排放 31 根，第二层排放 30 根，…，设钢管的放置层数为 n， 3 可得 (n－1)× 0.1＋0.1≤3.1，解得 n≤35.7. 2 ∵ n 为正整数， ∴n＝35. ∴ 钢 管 放 置 的 最 多 根 数 为 31× ＋ 30× ＝ 18 17 1068(根)．
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考点2
相交两圆的性质 (1)相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦 (2)两圆相交时的图形是轴对称图形
性质
点拨
解有关两圆相交问题时，常常要作出连心线， 公共弦，或者连接交点与圆心，从而把两圆的 半径，公共弦长的一半，圆心距等集中在同一 个三角形中，利用三角形的知识加以解决
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①
图 30－3 (3)应用：现有长方体集装箱，其内空长为 5 米，宽为 3.1 米，高为 3.1 米．用这样的集装箱装运长为 5 米，底面直径(横 截面的外圆直径)为 0.1 米的圆柱形钢管， 你认为采用(2)中的哪 种方案在该集装箱中装运钢管数最多？并求出一个这样的集 装箱最多能装运多少根钢管．( 3≈1.73)
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在判断圆和圆的位置关系的时候，可以根据两圆的 公共点的个数确定，也可以结合圆心距和半径的关系 来判定．
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探究二
和相交两圆有关的计算
命题角度： 和勾股定理有关的计算． 例2 [2013²娄底] 如图30－2，⊙O1，⊙O2相交于A， B两点，两圆的半径分别为6 cm和8 cm，两圆的连心线 O1O2的长为10 cm，则弦AB的长为( ) B
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中 考 预 测
已知图30－5中各圆两两相切，⊙O的半径为2R，⊙O1、 ⊙O2的半径为R，求⊙O3的半径r.
图30－5
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解
连接 O2O3、OO3， 则∠O2OO3＝90° ，OO3＝2R－r，O2O3＝R＋r， OO2＝R. ∴(R＋r)2＝(2R－r)2＋R2. 2 ∴r＝ R. 3
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等圆中的角度问题
北师大版九下P133例题 两个同样大小的肥皂泡粘在一起，其剖面如图30－4所示(点O， O′是圆心)，分隔两个肥皂泡的肥皂膜PQ成一条直线，TP，NP分 别为两圆的切线，求∠TPN的大小．
图30－4
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解：∵PO＝OO′＝PO′， ∴△PO′O是一个等边三角形． ∴∠OPO′＝60°. 又∵TP与NP分别为两圆的切线， ∴∠TPO＝90°，∠NPO′＝90°. ∴∠TPN＝360°－2³90°－60°＝120°.
A．4.8 cm
C．5.6 cm
B．9.6 cm
D．9.4 cm
图30－2
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解 析 如图，连接 AO1，AO2，设 AB 与 O1O2 交于点 C.
∵⊙O1， 2 相交于 A， 两点， ⊙O B 两圆半径分别为 6 cm 和 8 cm，两圆的连心线 O1O2 的长为 10 cm， ∴O1O2⊥AB， 1 ∴AC＝ AB. 2