FIR数字滤波器的设计与matlab实现

W
(e
j
)

{0.5WR
()

0.25[WR
(

2 )
N 1
WR
(

2
)]}e N 1
j(
N 1) 2
W ()e ja
W
()

0.5WR
()

0.25[WR
(

2 )
N 1
WR
(

2 )]
N 1
(6-2-12b)
W () 是三项矩形窗的幅度响应 WR() 的移位加权和，
n0
即
H (z) z(N1)H (z1)
则有
H (z) 1 [H (z) z(N1)H (z1)] 2

1
N 1
h(n)[ z n

z (N 1) z n ]
2 n0

z ( N 1) / 2
N 1
h(n)
1
(n N 1)
[z 2

(n N 1)
❖ 滤波器设计任务的中心就是求得系统函数。 数字滤波器的系统函数最主要的特征有三个： 幅度平方响应、相位响应和群延迟。
❖ IIR滤波器可以用较少的阶数获得较好的幅度响应， 但由于其结构存在反馈，可能造成系统的不稳定， 其优异幅度响应一般是以相位的非线性为代价的， 非线性相位会引起频率色散。
❖ FIR系统的最主要特性之一就是可以构成具有线性 相位特性的滤波器。所谓线性相位特性是指滤波 器对不同频率的正弦波所产生的相移和正弦波的 频率成直线关系。因此，在滤波器通带内的信号 通过滤波器后，除了由相频特性的斜率决定的延 迟外，可以不失真地保留通带以内的全部信号。
❖ FIR数字滤波器严格的线性相位特性对于语音信号 处理和数据传输是很重要的。
FIR数字滤波器的定义
FIR DF的单位脉冲响应h(n)仅含有有限 个(N个)非零值，是因果的有限长序列，该 序列h(n)的Z变换为：
N 1
H (z) h(n)z n n0
H(z)是Z-1的N-1阶多项式，在Z平面上有N-1 个零点，在z=0处有N-1个重极点。
，则有
H () h( N 1) (N1)/2 2h( N 1 m) cos m
2
m1
2
将上式记为
(N 3)/ 2
H () a(n) cos n n0
（6-1-14）
其中
a(0) h( N 1) 2
（6-1-15）
a(n) 2h( N 1 n),n 1,2, N 1 （6-1-16）
hd
(n)

1
2
c e jae jnd
c


c
(n

a)

na na
是一个以a为对称中心的偶对称的无限长 （6-2-5）
的非因果序列。
要得到有限长的h(n),最简单的方法是用一长为 N的矩形窗w(n)=RN(n)截断hd(n)。
按照线性相位滤波器的要求，h(n)必须是偶对
若增加截取长度N，则在主瓣附近的窗的频率响应为
WR ()

si n(N / 2) si n( / 2)

si n(N / 2) /2

N si n x x
该函数的性质：随着x加大（即N加大），函数曲线波动的 频率加快，主瓣幅度加高，旁瓣幅度也同 样加高，主瓣与旁瓣的相对比例保持不变。
这个相对比例是由sinx/x决定的, 也就是说是由矩形窗 函数的形状决定的。
H d (e j ) H d ( )e j
则
H
d
(
)

1 0
c
(6-2-9)
c
将(6-2-8)式和(6-2-9)式代入(6-2-7)式，得
H (e j ) 1
2

H d ( )e jWR ( )e j( ) d
使旁瓣相互抵消，能量更集中在主瓣，但主瓣宽度比矩
形窗的主瓣加宽了一倍，为( 8 / N ).
3. 汉明(Hamming)窗，又称改进 的升余弦窗
w(n)

[0.54

0.46
c
2n
os( N
1)]RN
(n)
其幅度响应为
(6-2-13a)
W ()

0.54WR ()

0.23[WR (

由式 h(n) hd (n)(n)
按复卷积定理有
H (e j ) 1
2

Hd (e j )W (e j( ) )d
设矩形窗的频率响应为 WR (e j )
N 1
WR (e j ) RN (n)e jn
n0
பைடு நூலகம்

1 e jN 1 e j
z 2]
n0
2
频响：
H (e j ) H (z) |ze j

j ( N 1)
e2
N 1
h(n) cos[(n

N
1)]
n0
2
其求和项全为实数
将H (e j )表示成相位函数()和 幅度函数H ()的形式,即
H (e j ) H ()e j()
则
称的，如上图所示。对称中心必须等于滤波器的
延时常数，即 a (N 1) / 2
故有
h(n) hd (n)RN (n)
a (N 1) / 2
（6-2-6）
图6-2-1 理想低通滤波器的单位脉冲响应及矩形窗截取
2. 吉布斯（Gibbs）效应
因频率响应是单位脉冲响应的傅立叶变换，
故可求得矩形窗截取后滤波器的频率响应为
N 1
H (e j ) hd (n)e jn n0
上式为有限项，N越大，所设计DF与理想DF差别越 小，误差就越小。但对于矩形窗截取还存在所谓吉 布斯（Gibbs）效应，使得滤波器的特性很差，不 能满足实际的需要。
下面从频域卷积的角度来分析由矩形窗所求得的 滤波器的频率响应。
窗函数设计法 频率取样设计法 FIR DF的计算机辅助设计（优化设计）
FIR滤波器的设计问题在于寻求一系
N 1
统函数 H (z) h(n)z n ，使其频率
n0
响应
H
(e
j
)

H
(
z)
|
ze
j
逼近滤波器要求的
理想频率响应 H d (e j ) 。
如果要求FIR滤波器具有线性相位特性， 则h(n)必须满足上节所述的对称条件。
(6-2-3)
所以选择窗口函数的形状和长度是窗口函数 法的关键。
下面以理想低通滤波器为例说明其设计过程
设理想低通滤波器的频率响应H d (e j )为，
Hd
(e
j
)

e 0
ja
c
c
（6-2-4）
ωc为滤波器的截止频率；a为延时常数
相应的单位脉冲响应为
sin[c (n a)]
2
中的各项相对于 (N 1) / 2对称的项相等。
将相等项合并，因N为奇数，余中间项 h( N 1)
2
故
H
()

N 1
h(n)
cos[(n

N
1)]
n0
2
h( N 1) (N3)/2 2h(n) cos[(n N 1)]
2
n0
2
令
m

N 1 n 2
其频率响应为
W (e j ) 2 [sin(N / 4)] N sin(N / 4)
主瓣宽度为( 8 / N).
(6-2-11a) (6-2-11b)
2. 汉宁(Hanning)窗，又称升余弦窗
1
2n
w(n)

[1 2
c os ( N
1)]RN
(n)
(6-2-12a)
其频率响应 W (e j )和幅度响应 W ()分别为
为了消除吉布斯效应，取得较好频率特性，一般采用 其他类型的窗函数 w(n)，对 hd (n) 进行加窗处理。
2、常用的窗函数
1. 三角形窗(Bartlett Window)
w(n)

2
2n , N 1 2n
,
N 1
0 n N 1 2
N 1 n N 1 2
理想DF的频响是逐段恒定的，且在频带边界处有不连 续点。因而所求得的 hd (n) 一般是无限长的，且是非 因果的。
要想得到一个因果的有限长的滤波器h(n)， 最直接的方法是截断 hd (n) ，或者说用一个 窗口函数 w(n) 对 hd (n) 进行加窗处理，即
h(n) hd (n)w(n)
2
2
由于cos n 对 0,，2 皆为偶对称，所以 幅度函数 H () 对 0,，2 也是偶对称。
因此该滤波器适合于设计任何关于 0,，2
为偶对称特性频率的滤波器。
下表给出了上述4种类型的线性相位滤 波器的相位响应、时域幅度响应和频域幅 度响应的示意图。
第三部分：线性相位FIR DF的设计方法
H
()

N 1
h(n)
cos[(n

N
1)]
n0
2
() ( N 1)
2
其中 幅度函数是标量函数，可正可负；
相位函数是的线性函数，且通过原点，即：具有严 格的线性相位特性。
如图所示
2.线性相位FIR滤波器的幅频特性
对于
H
()