考点10 圆锥曲线(考点专练)解析版

考点10 圆锥曲线

椭圆

一、单选题

1．（2020·上海高三专题练习）已知曲线

22

1

x y

a b

+=和直线10

ax by

++=(,a b为非零实数)在同一坐标系

中，它们的图形可能是（）

A．B．

C．D．

【答案】C

【详解】考点：直线与圆锥曲线的关系．

分析：可以以直线的方程为主进行讨论，根据直线的位置关系得出参数a，b的符号，再由此关系判断曲线的形状，不出现矛盾者即是所求的正确选项

解：A选项中，直线的斜率大于0，故系数a，b的符号相反，此时曲线应是双曲线，故不对；

B选项中直线的斜率小于0，故系数a，b的符号相同且都为负，此时曲线不存在，故不对；

C选项中，直线斜率为正，故系数a，b的符号相反，且a正，b负，此时曲线应是焦点在x轴上的双曲线，图形符合结论，可选；

选项中不正确，由C 选项的判断可知D 不正确．故选C

二、填空题

2．（2021·上海高三专题练习）已知F 1，F 2是椭圆C ：22

221(0)x y a b a b

+=>>的两个焦点，P 为椭圆C 上的

一点，且12PF PF ⊥，若12PF F △的面积为9，则b =________． 【答案】3

【分析】设1122,PF r PF r ==，由椭圆的定义得到1

22r r a +=，根据12PF PF ⊥，得到222124r r c +=， 进而求得2

122r r b =，结合三角形的面积公式，即可求解.

【详解】设1122,PF r PF r ==，由椭圆的定义可得12122PF PF r r a +=+=，

又由12PF PF ⊥，可得222

124r r c +=，

可得222222

1212122()()444r r r r r r a c b =+-+=-=，即2

122r r b =，

所以12PF F △的面积为12

221211

222

PF F S

r r b b =

=⨯=， 又因为12PF F △的面积为9，即29b =，解得3b =.故答案为：3

3．（2020·上海青浦区·复旦附中青浦分校高三开学考试）在在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，M 、N 是

椭圆22

124

x y +

=上的两个动点，动点P 满足2OP OM ON =-，直线OM 与直线ON 斜率之积为-2，已知平面内存在两定点1F 、2F ，使得12PF PF +为定值，则该定值为_______________.

【答案】【分析】先设P （x ，y ），M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），利用坐标表示求动点P 轨迹方程，最后根据椭圆定义求结果.

【详解】设P （x ，y ），M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），

则由2OP OM ON =-，得（x ，y ）=2（x 1，y 1）-（x 2，y 2），即x=2x 1-x 2，y=2y 1-y 2，

∵点M ，N 在椭圆22

124x y +=上，所以2211241x y +=，2

22224

1x y +=，

故2x 2+y 2=（8x 12+2x 22-8x 1x 2）+（4y 12+y 22-4y 1y 2）=20-4（2x 1x 2+y 1y 2）， 设k 0M ，k ON 分别为直线OM ，ON 的斜率，根据题意可知k 0M k ON =-2，

∴y 1y 2+2 x 1x 2=0，∴2x 2+y 2=20，所以P 在椭圆2x 2+y 2=20上； 设该椭圆的左，右焦点为F 1，F 2，

由椭圆的定义可推断出12PF PF +为定值，该定值为 22045=。故答案为：45

【点睛】本题主要考查了椭圆定义及简单的几何性质．充分考查了用代数的方法来处理平面几何问题的手段．

4．（2020·上海浦东新区·华师大二附中高三月考）已知点F 为椭圆22

:143

x y Γ+=的左焦点，点P 为椭圆Γ

上任意一点，点O 为坐标原点，则OP FP ⋅的最大值为________ 【答案】6

【分析】设点P 的坐标为(),x y ，则22x -≤≤，可得出2

2

334

y x =-

，利用平面向量数量积的坐标运算结合二次函数的基本性质可求得OP FP ⋅的最大值.

【详解】设点P 的坐标为(),x y ，则22x -≤≤，则22143

x y +=，可得2

2334y x =-，

椭圆Γ的左焦点为()1,0F -，(),OP x y =，()1,FP x y =+， 则()()2

2

2

2231113322444

OP FP x x y x x x x x x ⋅=++=++-

=++=++， 二次函数()()2

1224

f x x =++在区间[]22-,

上单调递增， 所以，()()2max

1

24264

f x f ==⨯+=.因此，OP FP ⋅的最大值为6.故答案为：6.

【点睛】本题考查椭圆中向量数量积最值的求解，考查了椭圆有界性以及二次函数基本性质的应用，考查计算能力，属于中等题.

双曲线

一、单选题

1．（2020·上海高三专题练习）方程

22

1||12x y m m

+=--表示双曲线，则实数m 的取值范围为( ) A ．2m > B ．1m <或2m > C ．12m -<< D ．11m -<<或2m >

【答案】D