因式分解的常用方法及练习题
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因式分解的常用方法
第一部分:方法介绍
多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一,它被广泛地应用于初等数学之中,是我们解决许多数学问题的有力工具.因式分解方法灵活,技巧性强,学习这些方法与技巧,不仅是掌握因式分解内容所必需的,而且对于培养学生的解题技能,发展学生的思维能力,都有着十分独特的作用.初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法.本讲及下一讲在中学数学教材基础上,对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍.
一、提公因式法.:ma+mb+mc=m(a+b+c)
二、运用公式法.
在整式的乘、除中,我们学过若干个乘法公式,现将其反向使用,即为因式分解中常用的公式,例如:
(1)平方差公式:(a+b)(a -b) = a 2-b 2
(2) 完全平方公式:(a ±b)2 = a 2±2ab+b 2
(3) 立方和公式:a 3+b 3=(a+b)(a 2-ab+b 2)
(4) 立方差公式:a 3-b 3=(a -b)(a 2+ab+b 2)
(5)完全立方公式:(a±b)³=a ³±3a ²b +3ab ²±b ³
下面再补充两个常用的公式:
(6)a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2;
(7)a 3+b 3+c 3-3abc=(a+b+c)(a 2+b 2+c 2-ab -bc -ca);
三、分组分解法.
(一)分组后能直接提公因式
例1、分解因式:bn bm an am +++
分析:从“整体”看,这个多项式的各项既没有公因式可提,也不能运用公式分解,但从“局部”看,这个多项式前两项都含有a ,后两项都含有b ,因此可以考虑将前两项分为一组,后两项分为一组先分解,然后再考虑两组之间的联系。
解:原式=)()(bn bm an am +++
=)()(n m b n m a +++ 每组之间还有公因式!
=))((b a n m ++
例2、分解因式:bx by ay ax -+-5102
解法一:第一、二项为一组; 解法二:第一、四项为一组;
第三、四项为一组。 第二、三项为一组。
解:原式=)5()102(bx by ay ax -+- 原式=)510()2(by ay bx ax +-+-
=)5()5(2y x b y x a --- =)2(5)2(b a y b a x ---
=)2)(5(b a y x -- =)5)(2(y x b a --
练习:分解因式1、bc ac ab a -+-2 2、1+--y x xy
(二)分组后能直接运用公式
例3、分解因式:ay ax y x ++-22
分析:若将第一、三项分为一组,第二、四项分为一组,虽然可以提公因式,但提完后就能继续分解,所以只能另外分组。 例4、分解因式:2222c b ab a -+-
解:原式=)()(22ay ax y x ++- 解:原式=222)2(c b ab a -+-
练习:分解因式3、y y x x 3922--- 4、yz z y x 2222---
综合练习:(1)3223y xy y x x --+ (2)b a ax bx bx ax -+-+-22
(3)181696222-+-++a a y xy x (4)a b b ab a 4912622-++-
(5)92234-+-a a a (6)y b x b y a x a 222244+--
(7)222y yz xz xy x ++-- (8)122222++-+-ab b b a a
(9))1)(1()2(+---m m y y (10))2())((a b b c a c a -+-+
(2)常数项是两个数的乘积;
(3)一次项系数是常数项的两因数的和。
思考:十字相乘有什么基本规律?
例.已知0<a ≤5,且a 为整数,若223x x a ++能用十字相乘法分解因式,求符合条件的a .
解析:凡是能十字相乘的二次三项 式ax 2+bx+c ,都要求24b ac ∆=- >0而且是一个完全平方数。 于是98a ∆=-为完全平方数,1a =
例5、分解因式:652++x x
分析:将6分成两个数相乘,且这两个数的和要等于5。
由于6=2×3=(-2)×(-3)=1×6=(-1)×(-6),从中可以发现只有2×3的分解适合,即2+3=5。 652++x x
1 2 解:652++x x =32)32(2⨯+++x x 1 3
=)3)(2(++x x 1×2+1×3=5
用此方法进行分解的关键:将常数项分解成两个因数的积,且这两个因数的代数和要等于一次项的系数。
例6、分解因式:672+-x x 672+-x x
解:原式=)6)(1()]6()1[(2--+-+-+x x 1 -1
=)6)(1(--x x 1 -6
(-1)+(-6)= -7
练习5、分解因式(1)24142++x x (2)36152+-a a (3)542-+x x
练习6、分解因式(1)22-+x x (2)1522--y y (3)24102--x x
(二)二次项系数不为1的二次三项式——c bx ax ++2
条件:(1)21a a a = 1a 1c
(2)21c c c = 2a 2c
(3)1221c a c a b += 1221c a c a b +=
分解结果:c bx ax ++2=))((2211c x a c x a ++
例7、分解因式:101132+-x x
分析: 1 -2
3 -5
(-6)+(-5)= -11
解:101132+-x x =)53)(2(--x x
练习7、分解因式:(1)6752-+x x (2)2732+-x x