2013全国卷1文科数学高考真题及答案

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2013年高考数学(文科)试题word文档含答案(全国1卷)

2013年普通高等学校招生全国统一考试文科数学注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页。

2. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。

3. 全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。

4. 考试结束，将本试题和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题。

每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。

（B ）错误！未找到引用源。

（C ）14 错误！未找到引用源。

（D ）16错误！未找到引用源。

（4）已知双曲线2222:1x y C a b-=(0,0)a b >>的离心率为错误！未找到引用源。

，则C 的渐近线方程为（）（A ）14y x =±（B ）13y x =± （C ）12y x =± （D ）y x =±（5）已知命题:p x R ∀∈，23x x <；命题:q x R ∃∈，321x x =-，则下列命题中为真命题的是：（）（A ）p q ∧（B ）p q ⌝∧ （C ）p q ∧⌝ （D ）p q ⌝∧⌝（6）设首项为1，公比为错误！未找到引用源。

的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则（）（A ）21n n S a =- （B ）32n n S a =- （C ）43n n S a =- （D ）32n n S a =-（7）执行右面的程序框图，如果输入的[1,3]t ∈-，则输出的S属于（A ）[3,4]-（B ）[5,2]-（C ）[4,3]-（D ）[2,5]-（8）O 为坐标原点，F 为抛物线2:C y =的焦点，P 为C 上一点，若||PF =，则POF ∆的面积为（）（A ）2（B ）（C ）（D ）4（9）函数()(1cos )sin f x x x =-在[,]ππ-的图像大致为（）（10）已知锐角ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，223cos cos 20A A +=，7a =，6c =，则b =（）（A ）10 （B ）9（C ）8 （D ）5（11）某几何函数的三视图如图所示，则该几何的体积为（）（A ）168π+ （B ）88π+（C ）1616π+ （D ）816π+（12）已知函数22,0,()ln(1),0x x x f x x x ⎧-+≤=⎨+>⎩，若|()|f x ax ≥，则a 的取值范围是（）（A ）(,0]-∞ （B ）(,1]-∞ (C) [2,1]- (D) [2,0]-第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两个部分。

2013年高考文科数学真题及答案全国卷1

2013年高考文科数学真题及答案全国卷1本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的． 1．(2013课标全国Ⅰ，文1)已知集合A ＝{1,2，3,4},B ＝｛x ｜x ＝n 2，n ∈A },则A ∩B ＝（）．A ．{1，4｝B ．｛2,3｝C ．｛9,16}D ．{1，2} 【答案】A【考点】本题主要考查集合的基本知识。

【解析】∵B ＝{x ｜x ＝n 2，n ∈A ｝＝{1,4,9,16｝， ∴A ∩B ＝{1，4｝．2．(2013课标全国Ⅰ，文2）212i1i +(-)＝（）．A.B ．11+i 2- C ． D ．【答案】B【考点】本题主要考查复数的基本运算。

【解析】212i 12i 12i i 2i 1i 2i 22++(+)-+===(-)-＝11+i 2-。

3．(2013课标全国Ⅰ，文3）从1，2，3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是( ）．A ．12B ．13C ．14D ．16【答案】B【考点】本题主要考查列举法解古典概型问题的基本能力。

【解析】由题意知总事件数为6，且分别为(1，2），（1，3),（1，4)，(2，3)，（2，4)，（3,4），满足条件的事件数是2，所以所求的概率为13。

4．(2013课标全国Ⅰ,文4)已知双曲线C :2222=1x y a b -(a ＞0，b ＞0）的离心率为52,则C 的渐近线方程为（ )．A ．B ．C ．12y x =±D ．【答案】C【考点】本题主要考查双曲线的离心率、渐近线方程。

【解析】∵5e =5c a =，即2254c a =。

∵c 2＝a 2＋b 2，∴2214b a =.∴12b a =。

∵双曲线的渐近线方程为by x a=±，∴渐近线方程为12y x =±.故选C 。

2013年高考(新课标I卷)文科数学试卷(word版含答案)

2013年普通高等学校招生全国统一考试文科数学注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。

2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在本试卷上无效。

3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I 卷一．选择题：本大题共12小题，第小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）已知集合}3,3,2,1{=A ，},|{2A n n x xB ∈==，则=⋂B A（A ）}4,1{ （B ）}3,2{ （C ） }16,9{ （D ）}2,1{（2）2)1(21i i-+＝（A ）i 211-- （B ）i 211+- （C ）i 211+ （D ）i 211- （3）从1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是（A ）21 （B ）31 （C ）41 （D ）61 (4) 已知双曲线C ：)0,0(12222>>=-b a by a x 的离心率为25，则C 的渐近线方程为（A ）x y 41±= （B ）x y 31±= （C ）x y 21±= （D ）x y ±= （5）已知命题;32,:xxR x p <∈∀命题231,:x x R x q -=∈∃，则下列命题中为真命题的是（A ）q p ∧ （B ）q p ∧⌝ （C ）q p ⌝∧ （D ）q p ⌝∧⌝（6）设首项为1，公比为32的等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，则（A ）12-=n n a S （B ）23-=n n a S （C ）n n a S 34-= （D ）n n a S 23-=（7）执行右边的程序框图，如果输入的]3,1[-∈t ，则输出的s 属于(A) ]4,3[- (B) ]2,5[- (C) ]3,4[- (D) ]5,2[-（8）O 为坐标原点，F 为抛物线x y C 24:2=的焦点，P 为C 上一点，若24||=PF ，则POF ∆的面积为(A) 2 (B) 22 (C) 32 (D) 4 （9）函数x x x f sin )cos 1()(-=在],[ππ-的图像大致为（10）已知锐角△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为c b a ,,，,7,02cos cos 232==+a A A 6=c ，则=b（A ）10 （B ）9（C ）8（D ）5（11）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（A ）16+8π（B ）8+8π （C ）16+16π （D ）8+16π(12) 已知函数=)(x f ⎩⎨⎧>+≤+-.0),1ln(,0,22x x x x x 若|)(|x f ≥ax ，则a 的取值范围是(A) ]0,(-∞ (B) ]1,(-∞ (C) ]1,2[-(D) ]0,2[-第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

2013年高考真题——数学文(全国卷大纲版)解析版

绝密★启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试数学（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）设集合{}{}1,2,3,4,5,1,2,u U A A ===集合则ð（A ）{}1,2 （B ）{}3,4,5 （C ）{}1,2,3,4,5 （D ）∅（2）已知a 是第二象限角，5sin ,cos 13a a ==则（A ）1213- （B ）513- （C ）513 （D ）1213（3）已知向量()()()()1,1,2,2,,=m n m n m n λλλ=+=++⊥-若则（A ）4- （B ）3- （C ）-2 （D ）-1（4）不等式222x -<的解集是（A ）()-1,1 （B ）()-2,2 （C ）()()-1,00,1U （D ）()()-2,00,2U（5）()862x x +的展开式中的系数是（A ）28 （B ）56 （C ）112 （D ）224（6）函数()()()-121log 10=f x x f x x ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的反函数（A ）()1021x x >- （B ）()1021xx ≠- （C ）()21x x R -∈ （D ）()210xx ->（7）已知数列{}n a 满足{}12430,,103n n n a a a a ++==-则的前项和等于（A ）()-10-61-3 （B ）()-1011-39（C ）()-1031-3 （D ）()-1031+3（8）已知()()1221,0,1,0,F F C F x -是椭圆的两个焦点过且垂直于轴的直线交于 A B 、两点，且3AB =，则C 的方程为（A ）2212x y += （B ）22132x y += （C ）22143x y += （D ）22154x y +=（9）若函数()()sin 0=y x ωϕωω=+>的部分图像如图，则（A ）5 （B ）4 （C ）3 （D ）2（10）已知曲线()421-128=y x ax a a =+++在点，处切线的斜率为，（A ）9 （B ）6 （C ）-9 （D ）-6（11）已知正四棱锥1111112,ABCD A B C D AA AB CD BDC -=中，则与平面所成角的正弦值等于（A ）23 （B ）33 （C ）23 （D ）13（12）已知抛物线()2:82,2,C C y x M k C =-与点过的焦点，且斜率为的直线与交于,0,A B MA MB k ==u u u r u u u rg 两点,若则（A ）12（B ）22 （C 2 （D ）2二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.（13）设()[)()21,3=f x x f x ∈是以为周期的函数，且当时， .（14）从进入决赛的6名选手中决出1名一等奖，2名二等奖，3名三等奖，则可能的决赛结果共有种.（用数字作答）（15）若x y 、满足约束条件0,34,34,x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩则z x y =-+的最小值为.（16）已知圆O 和圆K 是球O 的大圆和小圆，其公共弦长等于球O 的半径，3602OK O K =o ，且圆与圆所在的平面所成角为，则球O 的表面积等于 .三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（本小题满分10分）等差数列{}n a 中，71994,2,a a a ==（I ）求{}n a 的通项公式；（II ）设{}1,.n n n nb b n S na =求数列的前项和18．（本小题满分12分）设()(),,,,,.ABC A B C a b c a b c a b c ac ∆++-+=的内角的对边分别为（I ）求;B（II ）若31sin sin , C.4A C -=求19．（本小题满分12分）如图，四棱锥902,P ABCD ABC BAD BC AD PAB PAD -∠=∠==∆∆o中，，与都是边长为2的等边三角形.（I ）证明：;PB CD ⊥（II ）求点.A PCD 到平面的距离20．（本小题满分12分）甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，设各局中双方获胜的概率均为1,2各局比赛的结果都相互独立，第1局甲当裁判.（I）求第4局甲当裁判的概率；（II）求前4局中乙恰好当1次裁判概率.21．（本小题满分12分）已知函数()32=33 1.f x x ax x +++（I ）求()2f ;a x =时，讨论的单调性；（II ）若[)()2,0,.x f x a ∈+∞≥时，求的取值范围22．（本小题满分12分）已知双曲线()221222:10,0x y C a b F F a b-=>>的左、右焦点分别为，，离心率为3，直线2 6.y C =与的两个交点间的距离为（I ）求,;a b ；（II ）2F l C A B 设过的直线与的左、右两支分别相交于、两点，且 11,AF BF -证明：22.AF AB BF 、、成等比数列。

2013年全国各地高考文科数学试卷及答案

2013年普通高等学校招生统一考试（上海卷）数学（文科）考生注意：1.答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号，并将核对后的条形码贴在指定位置上，在答题纸反面清楚地填写姓名.2.本试卷共有23道试题，满分150分，考试时间120分钟.一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分. 1.不等式12-x x ＜0的解为 )21,0( . 【答案】 )21,0(【解析】)21,0(0)12(∈⇒<-x x x2.在等差数列{}n a 中，若a 1+ a 2+ a 3+ a 4=30，则a 2+ a 3= 15 . 【答案】 15【解析】 1530)(232324321=+⇒=+=+++a a a a a a a a3.设m ∈R,m 2+m-2+( m 2-1)i 是纯虚数，其中i 是虚数单位，则m= . 【答案】 -2【解析】 20102)1(22222-=⇒⎪⎩⎪⎨⎧≠-=-+⇒-+-+m m m m i m m m 是纯虚数4.已知1x 12=0，1x 1y=1，则y= 1 .【答案】 1 【解析】111 2021 12 =-==⇒=-=y x yx x x x ，又已知,1,2==y x 联立上式，解得5. 已知∆ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c.若a 2+ab+b 2-c 2=0，则角C 的大小是π32. 【答案】 π32【解析】π32212- cos 0- 222222=⇒-=+=⇒=++C ab c b a C c b ab a6. 某学校高一年级男生人数占该年级学生人数的40%.在一次考试中，男、女生平均分数分别是75、80，则这次考试该年级学生平均分数为 78 . 【答案】 78【解析】 7880100607510040=⋅+⋅=平均成绩7. 设常数a ∈R.若52x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+x a 的二项展开式中x 7项的系数为-10，则a= -2 .【答案】 -2 【解析】10,110)()()(15752552-==⇒-=⇒+-a C r x xa x C x a x r r r 2,105-=-=⇒a a 8. 方程x 31139x=+-的实数解为 4log 3 . 【答案】 4log 3 【解析】⇒>+±=⇒±=-⇒-=-⇒=+-01333131313931139x x x xxx 4log 433=⇒=x x9. 若cosxcosy+sinxsiny=31，则cos(2x-2y)= 97- . 【答案】 97- 【解析】971)(cos 2)(2cos 31)cos(sin sin cos cos 2-=--=-⇒=-=+y x y x y x y x y x10. 已知圆柱Ω的母线长为l ，底面半径为r,O 是上底面圆心，A 、B 是下底面圆周上的两个不同的点，BC 是母线，如图，若直线OA 与BC 所成角的大小为6π，则r l3 .【答案】3【解析】 3336tan =⇒==rll r π由题知，11. 盒子中装有编号为1，2，3，4，5，6，7的七个球，从中任意取出两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是75（结果用最简分数表示）.【答案】75 【解析】考查排列组合；概率计算策略：正难则反。

2013年高考数学全国卷1(完整版试题+答案+解析)

2013 年高考数学全国卷1(完整版试题 +答案 +解析 )2013 年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷）理科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 6 页．考试时间120 分钟．满分150 分．答题前，考生务必用0.5 毫米的黑色签字笔将自己的姓名、座号、考号填写在第Ⅰ 卷答题卡和第Ⅱ 卷答题纸规定的位置．参考公式：样本数据x1 , x2 ,x n的标准差( x1x) 2(x2x) 2( x n x)2s n其中 x 为样本平均数球的面积公式S 4 R2第Ⅰ卷（选择题共 60 分）注意事项：1．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上．2．第Ⅰ卷只有选择题一道大题．一、选择题：本大题共12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 复数12i（i是虚数单位）的虚部是1 iA ．31C．3 D ．1 B．222. 已知R是实数集，M x 21 , N y y x 1 1 ，则N C R M xA．(1,2)B．0,2 C.D．1,23.现有 10 个数，其平均数是 4 ，且这 10 个数的平方和是 200 ，那么这个数组的标准差是A．1B．2C．3D．44.设 S n为等比数列 { a n } 的前 n 项和， 8a2a50，则S4 S2A．5B．8C．8D． 155.已知函数 f ( x)sin(2x) ，若存在a(0,) ，使得 f (x a) f (x a) 恒成立，则 a6的值是A ．B ．3C ．4 D ．626. 已知 m 、 n 表示直线， , , 表示平面，给出下列四个命题，其中真命题为（ 1） m,n , nm, 则（ 2） , m,n,则 nm（ 3） m , m , 则 ∥（ 4） m, n, mn,则A ．（ 1）、（2）B ．（3）、（ 4）C ．（2）、（ 3）D ．（2）、（ 4）7. 已知平面上不共线的四点O, A, B, C ，若 OA 3OB2OC,则| AB |等于|BC |A ． 1B ． 2C ． 3D ． 48. 已知三角形ABC 的三边长成公差为 2 的等差数列，且最大角的正弦值为3，则这个三2角形的周长是A ． 18B ． 21C ． 24D ． 159. 函数 f ( x)lg x1的零点所在的区间是xA ． 0,1B ． 1,10C ． 10,100D ． (100, )10. 过直线 yx 上一点 P 引圆 x 2y 26x 7 0 的切线，则切线长的最小值为23210 D ． 2A ．B ．2C ．2211. 已知函数 f ( x)x 2 ax 2b . 若 a,b 都是区间 0,4 内的数，则使 f (1)0 成立的概率是3B ．13 5A ．4C ．D ．48812. 已知双曲线的标准方程为x 2 y 2 1 ，F 为其右焦点， A 1 , A 2 是实轴的两端点，设 P 为9 16双曲线上不同于A 1 , A 2 的任意一点，直线 A 1 P, A 2 P 与直线 xa 分别交于两点 M , N , 若FM FN0 , 则 a 的值为16B ．925 16A ．5C ．D ．995第Ⅱ卷（非选择题共90分）注意事项：1．请用 0.5 毫米的黑色签字笔将每题的答案填写在第Ⅱ 卷答题纸的指定位置．书写的答案如需改动，要先划掉原来的答案，然后再写上新答案．2．不在指定答题位置答题或超出答题区域书写的答案无效．在试题卷上答题无效．3．第Ⅱ 卷共包括填空题和解答题两道大题．二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分．开始13. 如图所示的程序框图输出的结果为__________.a2, i 1 否14. 若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如下图所示，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为__________.i 10是1a1输出 aa111第14 题图i i1结束第13题图15. 地震的震级 R 与地震释放的能量 E 的关系为R 2(lg E 11.4)．2011 年 3 月 11日，日3本东海岸发生了9.0 级特大地震， 2008 年中国汶川的地震级别为8.0 级，那么 2011年地震的能量是 2008年地震能量的倍．16.给出下列命题：①已知都是正数，且a1a，则a b；1bb②已知 f ( x) 是 f ( x) 的导函数，若x R , f (x) 0 ，则 f (1) f (2)一定成立；③命题“x R ，使得x2 2 x 1 0 ”的否定是真命题；④“ x1, 且 y 1 ”是“ x y 2 ”的充要条件.其中正确命题的序号是.(把你认为正确命题的序号都填上)三、解答题：本大题共６小题，共 74 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分 12 分）已知向量 a(1, cos x ) 与 b ( 3 sin x cos x, y) 共线，且有函数 yf ( x) ．2 2 2（Ⅰ）若 f ( x) 1，求 cos(22x) 的值；3（Ⅱ）在ABC 中，角 A, B, C ,的对边分别是 a, b, c ，且满足 2a cosC c 2b ，求函数f ( B) 的取值范围 .18．（本小题满分 12 分）已知等差数列a n的前 n 项和为n ，公差d 0,且3 5 1413 成等比数列．SS S50, a , a , a（Ⅰ）求数列a n 的通项公式；（Ⅱ）设b n 是首项为 1，公比为 3 的等比数列，求数列b n 的前 n 项和 T n .a n19.（本小题满分 12 分）已知四棱锥A BCDE ，其中AB BC AC，2，CD面ABC ，BE 1CD BE∥CD，F 为 AD的中点.D（Ⅰ）求证：EF ∥面 ABC ；（Ⅱ）求证：面ADE面ACD ；F（ III）求四棱锥 A BCDE 的体积.EC AB20. （本小题满分 12 分）在某种产品表面进行腐蚀性检验，得到腐蚀深度y 与腐蚀时间x之间对应的一组数据：时间 x （秒）51015203040深度 y （微米）61010131617现确定的研究方案是：先从这 6 组数据中选取 2 组，用剩下的 4 组数据求线性回归方程，再对被选取的 2 组数据进行检验．（Ⅰ）求选取的 2 组数据恰好不相邻的概率；（Ⅱ）若选取的是第 2 组和第 5 组数据，根据其它 4 组数据，求得y 关于x的线性回归方程 y?4 x 139，规定由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误1326差均不超过 2 微米，则认为得到的线性回归方程是可靠的，判断该线性回归方程是否可靠．21.（本小题满分 12 分）已知函数ax b1, f ( 1)) 的切线方程为x y 3 0 .f (x)2在点 (x1（Ⅰ）求函数 f ( x) 的解析式；（Ⅱ）设 g ( x) ln x ，求证： g (x) f ( x) 在 x [1, ) 上恒成立.22. （本小题满分14 分）实轴长为 4 3 的椭圆的中心在原点，其焦点F1,, F2在x轴上.抛物线的顶点在原点O ，对称轴为 y 轴，两曲线在第一象限内相交于点 A ,且AF1AF2，△ AF1 F2的面积为3.（Ⅰ）求椭圆和抛物线的标准方程；（Ⅱ）过点 A 作直线 l 分别与抛物线和椭圆交于B,C ,若 AC 2 AB ,求直线l的斜率k.yAF1 B o F2xC参考答案及评分标准一．选择题（本大题共12 小题，每小题 5 分，共 60 分．）BDBADBBDBC CB二．填空题（本大题共4 小题，每小题 4 分，共 16 分．）313． 214.1915. 10216. ①③3三．解答题17．（本小题满分 12 分）解：（Ⅰ）∵ a 与 b 共线1cos x∴xy 23 sin x cos2 2y3 sin x cosxcos 2x3sin x1(1 cos x) sin( x) 1 ⋯⋯⋯⋯ 3 分22 2226 2∴ f ( x)sin( x ) 1 1 ，即 sin(x) 1 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分62 2 cos(26 12x) cos2( x) 2cos 2 ( x) 1 2sin 2 ( x ) 1 33 3 62⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6 分（Ⅱ）已知2a cosC c2b由正弦定理得：2sin A cosC sin C2sin B 2 sin( A C )2sin A cosC sin C2sin A cosC2 cos Asin C∴ cosA1 ，∴在ABC 中 ∠ A231f (B)sin(B)26 25 ∵∠ A∴ 0 B ,B3 3 666∴1sin(B) 1, 1 f ( B) 32623∴函数f (B) 的取值范围为 (1, ]⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8 分10 分12 分2013 年高考数学全国卷1(完整版试题 +答案 +解析 )18．（本小题满分12 分）解：（Ⅰ）依题意得3a132d5a1455022d⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2 分( a13d ) 2a1 ( a112d )解得 a13，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分d2a n a1，即2n 1． 6 分⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯( Ⅱ) bn3n1， bn a n3n1(2n 1) 3n 1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7 分a nT n353732(2n 1) 3n 13T n 3 3 5327 33(2n 1) 3n 1(2n 1) 3n⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9分2T n 3 2 3 2 32 2 3n 1(2n1)3n32 3(13n 1 )( 2n 1)3n132n 3n∴ T n n 3n⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 12 分19．（本小题满分12 分）解：（Ⅰ）取AC 中点 G,连结 FG、 BG，∵F,G分别是 AD,AC的中点D1∴FG∥ CD,且 FG= DC=1 ．2∵ BE∥ CD ∴ FG 与 BE 平行且相等F∴ EF∥ BG．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分EEF 面 ABC, BG面 ABC GC ∴ EF ∥面 ABC A⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分（Ⅱ）∵△ ABC 为等边三角形∴ BG⊥ AC B 又∵ DC⊥面 ABC,BG面 ABC∴ DC⊥ BG2013 年高考数学全国卷1(完整版试题 +答案 +解析 )∴ BG 垂直于面 ADC 的两条相交直线AC,DC，∴ BG⊥面 ADC．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分∵EF∥ BG∴EF⊥面 ADC∵ EF面 ADE，∴面 ADE⊥面 ADC ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 8 分（Ⅲ）连结 EC,该四棱锥分为两个三棱锥E－ABC和 E－ ADC ．V A BCDE V E ABC V E ACD131113333．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 12 分34321264另法：取 BC 的中点为 O ，连结AO ，则 AO BC ，又 CD平面ABC ,∴CD AO, BC CD C , ∴AO平面，∴AO为V A BCDE的高，BCDEAO 3, S BCDE(12)1 3 ,V A BCDE1333．222322420．（本小题满分12 分）解：（Ⅰ）设 6 组数据的编号分别为1,2,3,4,5,6.设抽到不相邻的两组数据为事件A，从 6组数据中选取 2 组数据共有15 种情况：（ 1,2 ）（ 1,3 ）（1,4 ）（ 1,5 ）（ 1,6 ）（ 2,3 ）（ 2,4 ）（ 2,5 ）（ 2,6 ）（ 3,4 ）（ 3,5 ）（ 3,6 ）（ 4,5）（ 4,6）（ 5,6），其中事件A包含的基本事件有10种．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 3 分所以P( A)102．所以选取的 2 组数据恰好不相邻的概率是2．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分1533( Ⅱ )当 x10时， ?413921921910 |2;⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9 分26261326当x30时， ?413937937916 |2;2626132612 分所以，该研究所得到的回归方程是可靠的．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯21．（本小题满分12 分）解：（Ⅰ）将 x 1 代入切线方程得y2∴ f ( 1)b a2 ，化简得 b a 4 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分11f ( x)a( x21)(ax b) 2 x(1x 2 ) 22013 年高考数学全国卷1(完整版试题 +答案 +解析 )f ( 1)2a2(b a)2b b1 ．442解得： a2, b2∴ f ( x)2x2x 2．12x2（Ⅱ）由已知得ln x在 [1,) 上恒成立x21化简得 ( x21) ln x2x2即 x2 ln x ln x 2 x20在 [1,) 上恒成立．设 h(x)x 2 ln x ln x 2x 2 ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分6分8分h (x)2xln x x 12x1∵ x 1∴ 2x ln x0,2，即 h ( x) 0 ．10 分x⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯x∴ h(x) 在 [1,) 上单调递增， h( x)h(1) 0∴ g(x) f (x) 在 x[1,) 上恒成立．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12 分22．（本小题满分 14分）解（ 1）设椭圆方程为x2y21 (a b 0) ， AF1 m, AF2 n a2b2m 2n24c2由题意知m n 4 3⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分mn 6解得 c 29 ，∴ b 212 9 3 ．∴椭圆的方程为x 2y2⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分1213∵ y A c3，∴ y A1,代入椭圆的方程得x A 2 2 ，将点 A 坐标代入得抛物线方程为x 28 y ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分（ 2）设直线l的方程为y 1 k ( x 2 2 ) ， B(x1, y1 ), C (x2 , y2 )---2013 年高考数学全国卷1(完整版试题 +答案 +解析 )由 AC 2AB得 x22 22( x 2 2)，1化简得 2x1x222⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8 分联立直线与抛物线的方程y1k( x 2 2)，x 28 y得 x28kx162k80∴ x1 2 28k ①⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分联立直线与椭圆的方程y1k( x2 2 )x 24y 212得2)2(8 1622)32216 28 0k x k x k kk∴ x2 2 2162k 28k②⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12 分14k2∴ 2x1x22(8k2 2 )162k 28k2 2 2 214k 2整理得： (16k42)(112k)0 4k 2∴ k2，所以直线 l的斜率为2．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 14 分44-11-/11。

2013年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题(新课标1卷,含答案)

绝密★启封并使用完毕前2013年普通高等学校招生全国统一考试文科数学注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页。

2. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。

3. 全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。

4. 考试结束，将本试题和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题。

每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。

（1）已知集合{1,2,3,4}A =，2{|,}B x x n n A ==∈,则AB =（）（A ）｛0｝（B ）｛-1，,0｝（C ）{0，1} （D ）｛-1，,0，1}（2）212(1)i i +=-（）（A ）112i -- （B ）112i -+ （C ）112i + （D ）112i - （3）从1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是（）（A ）12 （B ）13 （C ）14 （D ）16（4）已知双曲线2222:1x y C a b-=(0,0)a b >>的离心率为2，则C 的渐近线方程为（）（A ）14y x =± （B ）13y x =± （C ）12y x =± （D ）y x =± （5）已知命题:p x R ∀∈，23x x <；命题:q x R ∃∈，321x x =-，则下列命题中为真命题的是：（）（A ）p q ∧ （B ）p q ⌝∧ （C ）p q ∧⌝ （D ）p q ⌝∧⌝（6）设首项为1，公比为23的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则（）（A ）21n n S a =- （B ）32n n S a =- （C ）43n n S a =- （D ）32n n S a =-（7）执行右面的程序框图，如果输入的[1,3]t ∈-，则输出的S属于（A ）[3,4]-（B ）[5,2]-（C ）[4,3]-（D ）[2,5]-（8）O 为坐标原点，F 为抛物线2:C y =的焦点，P 为C上一点，若||PF =POF ∆的面积为（）（A ）2 （B ）（C ）（D ）4（9）函数()(1cos )sin f x x x =-在[,]ππ-的图像大致为（）（10）已知锐角ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，223cos cos 20A A +=，7a =，6c =，则b =（）（A ）10 （B ）9（C ）8 （D ）5（11）某几何函数的三视图如图所示，则该几何的体积为（）（A ）168π+ （B ）88π+（C ）1616π+（D ）816π+（12）已知函数22,0,()ln(1),0x x x f x x x ⎧-+≤=⎨+>⎩，若|()|f x ax ≥，则a 的取值范围是（）（A ）(,0]-∞ （B ）(,1]-∞ (C) [2,1]- (D) [2,0]-第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两个部分。

2013年高考真题——文科数学(全国卷大纲版)解析版

绝密★启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试数学（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）设集合{}{}1,2,3,4,5,1,2,u U A A ===集合则ð（A ）{}1,2 （B ）{}3,4,5 （C ）{}1,2,3,4,5 （D ）∅（2）已知a 是第二象限角，5sin ,cos 13a a ==则（A ）1213-（B ）513-（C ）513（D ）1213（3）已知向量()()()()1,1,2,2,,=m n m n m n λλλ=+=++⊥-若则（A ）4- （B ）3- （C ）-2 （D ）-1（4）不等式222x -<的解集是（A ）()-1,1 （B ）()-2,2 （C ）()()-1,00,1 （D ）()()-2,00,2（5）()862x x +的展开式中的系数是（A ）28 （B ）56 （C ）112 （D ）224（6）函数()()()-121log 10=f x x f x x ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的反函数（A ）()1021xx >- （B ）()1021xx ≠- （C ）()21xx R -∈ （D ）()210xx ->（7）已知数列{}n a 满足{}12430,,103n n n a a a a ++==-则的前项和等于（A ）()-10-61-3 （B ）()-1011-39（C ）()-1031-3 （D ）()-1031+3（8）已知()()1221,0,1,0,F F C F x -是椭圆的两个焦点过且垂直于轴的直线交于 A B 、两点，且3AB =，则C 的方程为（A ）2212xy += （B ）22132xy+= （C ）22143xy+= （D ）22154xy+=（9）若函数()()sin 0=y x ωϕωω=+>的部分图像如图，则（A ）5 （B ）4 （C ）3 （D ）2（10）已知曲线()421-128=y x ax a a =+++在点，处切线的斜率为，（A ）9 （B ）6 （C ）-9 （D ）-6（11）已知正四棱锥1111112,ABCD A B C D AA AB CD BDC -=中，则与平面所成角的正弦值等于（A ）23（B （C （D ）13（12）已知抛物线()2:82,2,C C y x M k C =-与点过的焦点，且斜率为的直线与交于,0,A B MA MB k ==两点,若则（A ）12（B （C （D ）2二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.（13）设()[)()∈是以为周期的函数，且当时，.f x x f x21,3=（14）从进入决赛的6名选手中决出1名一等奖，2名二等奖，3名三等奖，则可能的决赛结果共有种.（用数字作答）（15）若x y 、满足约束条件0,34,34,x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩则z x y =-+的最小值为.（16）已知圆O 和圆K 是球O 的大圆和小圆，其公共弦长等于球O 的半径，3602OK O K =，且圆与圆所在的平面所成角为，则球O 的表面积等于.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（本小题满分10分）等差数列{}n a 中，71994,2,a a a ==（I ）求{}n a 的通项公式；（II ）设{}1,.nn n nb b n S na =求数列的前项和18．（本小题满分12分）设()(),,,,,.ABC A B C a b c a b c a b c ac ∆++-+=的内角的对边分别为（I ）求;B（II ）若sin sin C.A C =求19．（本小题满分12分）如图，四棱锥902,P ABCD ABC BAD BC AD PAB PAD -∠=∠==∆∆中，，与都是边长为2的等边三角形.（I ）证明：;PB CD ⊥（II ）求点.A PCD 到平面的距离20．（本小题满分12分）甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，设各局中双方获胜的概率均为1,各局比赛的2结果都相互独立，第1局甲当裁判.（I）求第4局甲当裁判的概率；（II）求前4局中乙恰好当1次裁判概率.21．（本小题满分12分）已知函数()32+++f x x ax x=33 1.（I）求()f;=的单调性；a x（II）若[)()时，求的取值范围∈+∞≥2,0,.x f x a22．（本小题满分12分）已知双曲线()221222:10,0xy C a b F F a b -=>>的左、右焦点分别为，，离心率为3，直线2y C =与（I ）求,;a b ；（II ）2F l C A B 设过的直线与的左、右两支分别相交于、两点，且11,AF BF -证明：22.AF AB BF 、、成等比数列。

2013年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题(新课标1卷,含答案)

绝密★启封并使用完毕前2013年普通高等学校招生全国统一考试文科数学注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页。

2. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。

3. 全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。

4. 考试结束，将本试题和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题。

每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。

（1）已知集合{1,2,3,4}A =，2{|,}B x x n n A ==∈,则AB =（）（A ）｛0｝（B ）｛-1，,0｝（C ）{0，1} （D ）｛-1，,0，1}（2）212(1)i i +=-（）（A ）112i -- （B ）112i -+ （C ）112i + （D ）112i - （3）从1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是（）（A ）12 （B ）13 （C ）14（D ）16（4）已知双曲线2222:1x y C a b -=(0,0)a b >>的离心率为则C 的渐近线方程为（）（A ）14y x =± （B ）13y x =± （C ）12y x =± （D ）y x =±（5）已知命题:p x R ∀∈，23x x <；命题:q x R ∃∈，321x x =-，则下列命题中为真命题的是：（）（A ）p q ∧ （B ）p q ⌝∧ （C ）p q ∧⌝ （D ）p q ⌝∧⌝（6）设首项为1，公比为23的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则（）（A ）21n n S a =- （B ）32n n S a =- （C ）43n n S a =- （D ）32n n S a =-（7）执行右面的程序框图，如果输入的[1,3]t ∈-，则输出的S属于（A ）[3,4]-（B ）[5,2]-（C ）[4,3]-（D ）[2,5]-（8）O 为坐标原点，F 为抛物线2:C y =的焦点，P 为C 上一点，若||PF =则POF ∆的面积为（）（A ）2 （B ）（C ）（D ）4（9）函数()(1cos )sin f x x x =-在[,]ππ-的图像大致为（）（10）已知锐角ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，223cos cos 20A A +=，7a =，6c =，则b =（）（A ）10 （B ）9 （C ）8 （D ）5（11）某几何函数的三视图如图所示，则该几何的体积为（）（A ）168π+ （B ）88π+（C ）1616π+ （D ）816π+（12）已知函数22,0,()ln(1),0x x x f x x x ⎧-+≤=⎨+>⎩，若|()|f x ax ≥，则a 的取值范围是（）（A ）(,0]-∞ （B ）(,1]-∞ (C) [2,1]- (D) [2,0]-第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两个部分。

2013年高考新课标1数学文科试题及答案

绝密★启封并使用完毕前2013年普通高等学校招生全国统一考试文科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页。

全卷满分150分。

考试时间120分钟。

注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页。

2. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。

3. 全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。

4. 考试结束，将本试题和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷一、选择题共12小题。

每小题5分，共60分。

在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。

（1）已知集合A=｛1，2，3，4｝，B=｛x |x =n 2，n ∈A｝，则A∩B= ( ) （A ）｛1，4｝（B ）｛2，3｝（C ）{9，16} （D ）｛1，2} （2）1＋2i(1－i)2＝( ) （A ）－1－12i（B ）－1＋12i（C ）1＋12i（D ）1－12i（3）从1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是（）（A ）12（B ）13（C ）14（D ）16（4）已知双曲线C:x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为52，则C 的渐近线方程为（）（A ）y =±14x （B ）y =±13x（C ）y =±12x（D ）y =±x（5）已知命题p ：∀x ∈R,2x＞＜3x；命题q ：∃x ∈R ，x 3=1－x 2，则下列命题中为真命题的是：（）（A ） p∧q（B ）￢p∧q（C ）p∧￢q（D ）￢p∧￢q（6）设首项为1，公比为23的等比数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，则（）（A ）S n =2a n －1 （B ）S n =3a n －2 （C ）S n =4－3a n （D ）S n =3－2a n（7）执行右面的程序框图，如果输入的t ∈[－1，3]，则输出的s 属于 ( ) （A ）[－3,4] （B ）[－5,2] （C ）[－4,3] （D ）[－2,5]（8）O 为坐标原点，F 为抛物线C ：y ²=42x 的焦点，P 为C 上一点，若|PF|=42，则△POF 的面积为( )（A ）2 （B ）2 2 （C ）2 3 （D ）4 （9）函数f (x )=(1－cos x )sin x 在[－π，π]的图像大致为( )ππO1y xππO1y xππO1y xππO1y xA B C D（10）已知锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，23cos²A+cos2A=0，a=7，c=6，则b=( )（A ）10 （B ）9 （C ）8 （D ）5（11）某几何函数的三视图如图所示，则该几何的体积为（A ）18+8π （B ）8+8π （C ）16+16π （D ）8+16π开始输入t t <1s =3t s = 4t －t 2输出s 结束是否（12）已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x x ≤0ln(x ＋1) x ＞0，若| f (x )|≥ax ，则a 的取值范围是( )（A ）（－∞，0] （B ）（－∞，1] (C)[－2，1] (D)[－2，0]第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两个部分。

2013年高考全国1卷文科数学试题及答案(详细解析版,精校版)

2013年普通高等学校招生全国统一考试（全国I 卷）文科数学一、选择题，本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A ={1,2,3,4}，B ={x |x =n 2,n ∈A }，则A ∩B =A ．{1,4}B ．{2,3}C ．{9,16}D ．{1,2}2．212i 1i +(-)= A ．1-1-i 2 B ．1-1+i 2 C ．11+i 2 D ．11-i 23．从1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是A ．12B ．13C ．14D ．164．已知双曲线C ：2222=1x y a b-(a >0,b >0)的离心率为2，则C 的渐近线方程为 A ．y=14x ± B ．y=13x ± C ．y=12x ± D ．y=±x 5．已知命题p ：∀x ∈R,2x <3x ；命题q ：∃x ∈R ，x 3=1-x 2，则下列命题中为真命题的是A ．p ∧qB ．﹁p ∧qC ．p ∧﹁qD ．﹁ p ∧﹁q6．设首项为1，公比为23的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则A ．S n =2a n -1B ．S n =3a n -2C ．S n =4-3a nD ．S n =3-2a n7．执行下面的程序框图，如果输入的t ∈[-1,3]，则输出的S 属于A ．[-3,4]B ．[-5,2]C ．[-4,3]D ．[-2,5]8．O 为坐标原点，F 为抛物线C ：y 2=的焦点，P 为C 上一点，若|PF |=POF 的面积为A ．2B ．C ．D ．49．函数f (x )=(1-cos x )sin x 在[-π,π]的图像大致为10．已知锐角ΔABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c ， 23cos 2A +cos2A =0， a =7，c =6，则b =A ．10B ．9C ．8D ．511．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A ．16＋8πB ．8＋8πC ．16＋16πD ．8＋16π12．已知函数f (x )=22,0,ln(1),0.x x x x x ⎧-+≤⎨+>⎩若|f (x )|≥ax ，则a 的取值范围是A ．(-∞,0]B ．(-∞,1]C ．[-2,1]D ．[-2,0]二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在横线上．13．已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，c =t a +(1-t )b . 若b ·c =0，则t =____.14．设x ，y 满足约束条件13,10,x x y ≤≤⎧⎨-≤-≤⎩则z =2x -y 的最大值为______. 15．已知H 是球O 的直径AB 上一点，AH :HB =1:2，AB ⊥平面α，H 为垂足，α截球O 所得截面的面积为π，则球O 的表面积为______.16．设当x =θ时，函数f (x )=sin x -2cos x 取得最大值，则cos θ=______.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.只做6题，共70分.17．(本小题满分12分)已知等差数列{a n }的前n 项和S n 满足S 3=0，S 5=－5.(1)求{a n }的通项公式； (2)求数列21211{}n n a a -+的前n 项和．18．(本小题满分12分)为了比较两种治疗失眠症的药(分别称为A 药,B 药)的疗效，随机地选取20位患者服用A 药，20位患者服用B 药，这40位患者在服用一段时间后，记录他们日平均增加的睡眠时间(单位:h)．试验的观测结果如下：服用A 药的20位患者日平均增加的睡眠时间：0.6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2 3.52.5 2.6 1.2 2.7 1.5 2.93.0 3.1 2.3 2.4服用B 药的20位患者日平均增加的睡眠时间：3.2 1.7 1.9 0.8 0.9 2.4 1.2 2.6 1.3 1.41.6 0.5 1.8 0.62.1 1.1 2.5 1.2 2.7 0.5(1)分别计算两组数据的平均数，从计算结果看，哪种药的疗效更好？(2)19．(本小题满分12分)如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，CA=CB，AB=AA1，∠BAA1=60°.(1)证明：AB⊥A1C；(2)若AB=CB=2，A1C，求三棱柱ABC-A1B1C1的体积．20．(本小题满分12分)已知函数f(x)=e x(ax+b)-x2-4x，曲线y=f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y=4x+4.(1)求a，b的值；(2)讨论f(x)的单调性，并求f(x)的极大值．21．(本小题满分12分)已知圆M：(x+1)2+y2=1，圆N：(x-1)2+y2=9，动圆P与圆M外切并且与圆N 内切，圆心P的轨迹为曲线C.(1)求C的方程；(2)l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A,B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|.请考生在第22、23、24三题中任选一题做答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分．22．(本小题满分10分)选修4-1：几何证明选讲如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于点D.(1)证明：DB=DC；(2)设圆的半径为1，BC，延长CE交AB于点F，求ΔBCF外接圆的半径.23 ．(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线C1的参数方程为45cos,55sinx ty t=+⎧⎨=+⎩(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=2sin θ.(1)把C1的参数方程化为极坐标方程；(2)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π)．24．(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲已知函数f(x)=|2x-1|+|2x+a|，g(x)=x+3.(1)当a=-2时，求不等式f(x)<g(x)的解集；(2)设a>-1，且当x∈1[,)22a-时，f(x)≤g(x)，求a的取值范围．2013年高考全国1卷文科数学参考答案12．解：212i 12i 12i i 2i 1i 2i 22++(+)-+===(-)-=11+i 2- 3．解：依题所有基本事件为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)共6种，满足条件的事件数是2种，所以所求的概率为13. 4．解：依题2254c a =. ∵c 2=a 2＋b 2，∴2214b a =，∴12b a =. ∴渐近线方程为12y x =± 5．解：由20=30知，p 为假命题．令h (x )=x 3-1+x 2，∵h (0)=-1<0，h (1)=1>0， ∴h (x )=0在(0,1)内有解．∴∃x ∈R ，x 3=1-x 2，即命题q 为真命题．由此可知只有⌝p ∧q 为真命题．6．解：121(1)/133n n n a a q S a q -==--=3-2a n 7．解：当－1≤t <1时，s =3t ，则s ∈[-3,3)．当1≤t ≤3时，s =4t -t 2. ∵该函数的对称轴为t =2，∴s max =4，s min =3. ∴s ∈[3,4]．综上知s ∈[-3,4]8．解：利用|PF |=P x =x P =∴y P =±∴S △POF =12|OF |·|y P |=9．解：由f (x )=(1-cos x )sin x 知其为奇函数．可排除B ．当x ∈π(0,)2时，f (x )>0，排除A. 当x ∈(0,π)时，f ′(x )=sin 2x +cos x (1-cos x )=-2cos 2x +cos x +1.令f ′(x )=0，可得2π3x =. 故极值点为2π3x =，可排除D ，故选C. 10．解：由23cos 2A +cos 2A =0，得cos 2A =125. ∵A ∈π(0,)2，∴cos A =15. ∵cos A =236491265b b +-=⨯，解得b =5或135b =-(舍)．故选D. 11．解：该几何体为一个半圆柱的上面后方放一个长方体组成的一个组合体．V 半圆柱=12π×22×4=8π，V 长方体=4×2×2=16. 所以体积为16＋8π. 故选A 12．解：可画出|f (x )|的图象如图所示．当a >0时，y =ax 与y =|f (x )|恒有公共点，所以排除B,C;当a ≤0时，若x >0，则|f (x )|≥ax 恒成立；若x ≤0，则以y =ax 与y =x 2-2x 相切为界限，联立y =ax 与y =x 2-2消去y 得x 2-(a +2)x =0. ∵Δ=(a +2)2=0，∴a =-2. ∴a ∈[-2,0]．故选D.二、填空题：13．2 1 4．3 15．9π216．5- 13．解：依题a ·b =111122⨯⨯=，b ·c = t a ·b +(1-t )b 2 =0，∴12t +1-t =0. ∴t =2. 14．解：作出可行域如图所示．画出初始直线l 0:2x -y =0，l 0平移到l ，当直线l 经过点A (3,3)时z 取最大值，z =2×3-3=3.15．解：如图，π·EH 2=π，∴EH =1，设球O 的半径为R ，则AH =23R ， OH =3R . 在RtΔOEH 中，R 2=22()+13R ， ∴R 2=98. ∴S 球=4πR 2=9π2. 16．解：∵f (x )=sin x -2cos x x +φ)，其中tan φ=-2，φ是第四象限角.当x +φ=2k π+π2(k ∈Z )时，f (x )取最大值．即θ=2k π+π2-φ(k ∈Z )， ∴cos θ=πcos()2ϕ-=sin φ=5-. 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.只做6题，共70分.17．解：(1)设{a n }的公差为d ，则S n =1(1)2n n na d -+. 则11330,5105,a d a d +=⎧⎨+=⎩ …2分解得a 1=1，d =-1. …4分故{a n }的通项公式为a n =2-n . …6分(2)由(1)知21211n n a a -+=1111()321222321n n n n =-(-)(-)--， …8分从而新数列的前n 项和为111111[(11)(1)()][1]23232122112n n T n n n n =--+-++-=--=---- …12分 18．解： (1)设A 药数据的平均数为x B 药观测数据的平均数为y . x =(0.6+1.2+1.2+1.5+1.5+1.8+2.2+2.3 +2.3+2.4+2.5+2.6+2.7+2.7+2.8+2.9 +3.0+3.1+3.2+3.5)/20=2.3，…3分 y ＝+1.6+1.7+1.8+1.9+2.1+2.4+2.5+2.6+2.7+3.2)/20=1.6. …6分由以上计算结果可得x >y ，因此可看出A 药的疗效更好．(2)绘制茎叶图如图： … 9分从茎叶图可以看出，A 药疗效数据有710的叶集中在茎“2.”，“3.”上，而B 药疗效数据有710的叶集中在茎“0.”，“1.”上，由此可看出A 药的疗效更好．… 12分19． (1)证：取AB 的中点O ，连结OC ，OA 1，A 1B .由于AB =AA 1，∠BAA 1=60°，故ΔAA 1B 为等边三角形，所以OA 1⊥AB . 又CA =CB ，所以OC ⊥AB . …3分因为OC ∩OA 1=O ，所以 AB ⊥平面OA 1C .又A 1C ⊂平面OA 1C ，所以AB ⊥A 1C . …6分(2)解：依题ΔABC 与ΔAA 1B 都是边长为2的等边三角形，所以OC =OA 1又A 1C，则A 1C 2=OC 2+OA 12，故OA 1⊥OC ，又OA 1⊥AB ，OC ∩AB =O ，所以OA 1⊥平面ABC ， …9分OA 1为三棱柱ABC -A 1B 1C 1的高．又ΔABC 的面积S △ABC故三棱柱ABC -A 1B 1C 1的体积V =S △ABC ×OA 1=3. …12分20．解：(1)f ′(x )=e x (ax +a +b )-2x -4. 依题f (0)=4，f ′(0)=4. …3分故b =4，a +b =8. 从而a =4，b =4. …6分(2)由(1)知，f (x )=4e x (x +1)-x 2-4x ，f ′(x )=4e x (x +2)-2x -4=2(x +2)·(2e x -1).令f ′(x )=0得，x =-ln 2或x =-2. …8 分所以在(-∞，-2)与(-ln2，+∞)上，f ′(x )>0；f (x )单调递增．在(-2，-ln 2) 上，f ′(x )<0. f (x )单调递减． …10 分当x =-2时，函数f (x )取得极大值，极大值为f (-2)=-4e －2+4． …12 分21．解：(1)由已知得圆M 的圆心为M (-1,0)，半径r 1=1；圆N 的圆心为N (1,0)，半径r 2=3. 设圆P 的圆心为P (x ,y )，半径为R .依题， |PM |=R +1. |PN |=3-R . 所以|PM |+|PN |=4. …3 分由椭圆的定义可知，曲线C 是以M ，N 为左、右焦点的椭圆(左顶点除外)，且a =2，c =1，∴b∴C 的方程为22=143x y +(x ≠-2)． …6 分 (2)对于曲线C 上任意一点P (x ,y )，由于|PM |-|PN |=2R -2≤2，所以R ≤2，当且仅当圆P 的圆心为(2,0)时，R =2.所以当圆P 的半径最长时，其方程为(x -2)2+y 2=4. …7 分若l 的倾斜角为90°，则l 与y 轴重合，可得|AB|= …8 分若l 的倾斜角不为90°，由r 1≠R 知l 不平行于x 轴，可设l 与x 轴的交点为Q (m ,0)，由1||222||1QP R m QM r m-===--即，解得m =-4. 所以Q (-4,0)，故可设l ：y =k (x ＋4)．由l 与圆M=1，解得k=4±.当k=4时，将4y x =代入22=143x y +，并整理得7x 2+8x -8=0，解得x=47-±，所以|AB|x 2-x 1|=187. …10分当k=4-时，由图形的对称性可知|AB |=187. 综上，|AB|=|AB |=187. …12 分 22．(1)证明：连结DE ，交BC 于点G . 由弦切角定理得，∠ABE =∠BCE . 而∠ABE =∠CBE ，故∠CBE =∠BCE ，所以BE =CE . 又因为DB ⊥BE ，所以DE 为直径，所以∠DCE =90°，由勾股定理可得DB =DC . …5分(2)解：由(1)知，∠CDE =∠BDE ，DB =DC ，故DG 是BC 的中垂线，所以BG. 设DE 的中点为O ，连结BO ，则∠BOG =60°. 从而∠ABE =∠BCE =∠CBE =30°，所以CF ⊥BF ，故RtΔBCF. …10分 23．解：(1)将45cos ,55sin x t y t=+⎧⎨=+⎩消去参数t ，化为普通方程(x -4)2+(y -5)2=25，将x=ρcos θ, y=ρsin θ代入整理得C 1的极坐标方程为ρ2-8ρcos θ-10ρsin θ+16=0. …5分(2)C 2的普通方程为x 2+y 2-2y =0. 联立C 1的方程x 2+y 2 -8x -10y +16=0，解得交点为(1,1)与(0,2)，其极坐标分别为π)(2,)42π与. …10分 24．解：(1)当a =-2时，不等式f (x )>g (x )化为|2x -1|+|2x -2|-x -3<0. 设函数y =|2x -1|+|2x -2|-x -3，则y =15,,212,1,236, 1.x x x x x x ⎧-<⎪⎪⎪--≤≤⎨⎪->⎪⎪⎩其图像如图所示．从图像可知，当且仅当x ∈(0,2)时，y <0.所以原不等式的解集是{x |0<x <2}． …5分(2)当a >-1，且x ∈1[,)22a -时，f (x )=1+a . 不等式f (x )≤g (x )化为1+a ≤x +3. 所以x ≥a -2对x ∈1[,)22a -都成立．故2a -≥a -2，即a ≤43. 从而a 的取值范围是4(1,]3-. …10分。

2013年高考数学(文科)(课标I)真题及答案

2013年高考数学（文科）（课标I ）真题及答案本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页。

全卷满分150分。

考试时间120分钟。

注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页。

2. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。

3. 全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。

4. 考试结束，将本试题和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷一、选择题共12小题。

每小题5分，共60分。

在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。

（1）已知集合A=｛1，2，3，4｝，B=｛x |x =n 2，n ∈A｝，则A∩B=（）（A ）｛1，4｝（B ）｛2，3｝（C ）{9，16} （D ）｛1，2} （2） 1＋2i (1－i)2＝（）（A ）－1－12i （B ）－1＋12i （C ）1＋12i （D ）1－12i（3）从1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是（）（A ）12 （B ）13（C ）14 （D ）16（4）已知双曲线C:x 2a 2－y 2b 2＝1（a ＞0，b ＞0）的离心率为52，则C 的渐近线方程为（）（A ）y =±14x （B ）y =±13x （C ）y =±12x （D ）y =±x（5）已知命题p ：∀x ∈R,2x ＞＜3x ；命题q ：∃x ∈R ，x 3=1－x 2，则下列命题中为真命题的是（）（A ） p∧q （B ）￢p∧q （C ）p∧￢q （D ）￢p∧￢q （6）设首项为1，公比为23的等比数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，则（）（A ）S n =2a n －1 （B ）S n =3a n －2 （C ）S n =4－（7）执行右面的程序框图，如果输入的 t ∈[－1，3]，则输出的s 属于（）（A ）[－3,4] （B ）[－5,2] （C ）[－4,3] （D ）[－2,5]（8）O 为坐标原点，F 为抛物线C ：y ²=42x 的焦点，P 为C 上一点，若|PF|=42，则△POF 的面积为（）（A ）2 （B ）2 2 （C ）2 3 （D ）4（9）函数f （x ）=（1－cos x ）sin x 在[－π，π]的图像大致为（）（A ）（B ）（C ）（D ）（10）已知锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，23cos²A+cos2A=0，a=7，c=6，则b=（）（A ）10 （B ）9 （C ）8 （D ）5 （11（A ）16+8π （B ）8+8π （C ）16+16π （D ）8+16π（12）已知函数f （x ）＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x x ≤0ln(x ＋1) x ＞0，若| f （x ）|≥ax ，则a 的取值范围是（）（A ）（－∞，0] （B ）（－∞，1] （C ）[－2，1] （D ）[－2，0]第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两个部分。

2013年高考文科数学全国新课标卷1试题与答案word解析版 (2)

2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类(全国卷I 新课标)第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A ＝{1,2,3,4}}4,3,2,1{=A ，},|{2A n n x x B ∈==，则=B A I ( )．A ．}4,1{B ．}3,2{C ．}16,9{D ．}2,1{ 2．=-+2)1(21i i( )． A ．i 211-- B ．i 211+- C ．i 211+ D ．i 211-3．从1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是( )．A ．21B ． 31C ．41D ．614．已知双曲线C ：2222=1x y a b-)0,0(>>b a 的离心率为5，则C 的渐近线方程为( )．A ．x y 41±=B ．x y 31±=C ．x y 21±= D ．x y ±=5．已知命题x x R x P 32,:<∈∀；命题231,:x x R x q -=∈∃，则下列命题中为真命题的是( )．A ．p ∧qB ．⌝p ∧qC ．p ∧⌝qD ．⌝p ∧⌝q 6．设首项为1，公比为23的等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，则( )． A ．12-=n n a S B ．23-=n n a S C ．n n a S 34-= D ．n n a S 23-= 7．执行下面的程序框图，如果输入的]3,1[-∈t ，则输出的s 属于( )．A ．]4,3[-B ．]2,5[-C ．]3,4[-D ．]5,2[-8．O 为坐标原点，F 为抛物线x y C 24:2=的焦点，P 为C 上一点，若24||=PF ，则POF ∆的面积为( )．A ．2B ．22C ．32D ．4 9．函数x x x f sin )cos 1()(-=在],[ππ-的图像大致为( )．10．已知锐角ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,,6,7,02cos cos 232===+c a A A ,则b ＝( )．A ．10B ．9C ．8D ．5 11．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )．A ．π816+B ．π88+C ．π1616+D ．π168+12．已知函数=)(x f 22,0,ln(1),0.x x x x x ⎧-+≤⎨+>⎩若ax x f ≥|)(|，则a 的取值范围是( )．A ．]0,(-∞B ．]1,(-∞C ．]1,2[-D ．]0,2[-第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知两个单位向量a ，b 的夹角为060，c t =a )1(t -+b .若b ·c 0=，则=t .14．设y x ,满足约束条件13,10,x x y ≤≤⎧⎨-≤-≤⎩则y x z -=2的最大值为．15．已知H 是球O 的直径AB 上一点，2:1:=HB AH ，⊥AB 平面α，H 为垂足，α截球O 所得截面的面积为π，则球O 的表面积为．16．设当θ=x 时，函数x x x f cos 2sin )(-=取得最大值，则=θcos . 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．(本小题满分12分)已知等差数列}{n a 的前n 项和n S 满足5,053-==S S . (1)求}{n a 的通项公式； (2)求数列}1{1212+-n n a a 的前n 项和．18．(本小题满分12分)为了比较两种治疗失眠症的药(分别称为A 药，B 药)的疗效，随机地选取20位患者服用A 药，20位患者服用B 药，这40位患者在服用一段时间后，记录他们日平均增加的睡眠时间(单位：h)．试验的观测结果如下：服用A 药的20位患者日平均增加的睡眠时间：0.6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2 3.5 2.5 2.6 1.2 2.7 1.5 2.9 3.0 3.1 2.3 2.4服用B 药的20位患者日平均增加的睡眠时间：3.2 1.7 1.9 0.8 0.9 2.4 1.2 2.6 1.3 1.4 1.6 0.5 1.8 0.6 2.1 1.1 2.5 1.2 2.7 0.5(1)分别计算两组数据的平均数，从计算结果看，哪种药的疗效更好？ (2)根据两组数据完成下面茎叶图，从茎叶图看，哪种药的疗效更好？19．(本小题满分12分)如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，CA ＝CB ，AB ＝AA 1，∠BAA 1＝60°. (1)证明：AB ⊥A 1C ；(2)若AB ＝CB ＝2，A 1C ＝6，求三棱柱ABC －A 1B 1C 1的体积．20．(本小题满分12分)已知函数x x b ax e x f x 4)()(2--+=,曲线)(x f y =在点))0(,0(f 处的切线方程为44+=x y . (1)求b a ,的值；(2)讨论)(x f 的单调性，并求)(x f 的极大值．21．(本小题满分12分)已知圆1)1(:22=++y x M ，圆9)1(:22=+-y x N ，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C . (1)求C 的方程；(2)l 是与圆P ，圆M 都相切的一条直线，l 与曲线C 交于B A ,两点，当圆P 的半径最长时，求||AB .请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题做答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分，做答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑． 22．(本小题满分10分)选修4—1：几何证明选讲如图，直线AB 为圆的切线，切点为B ，点C 在圆上，∠ABC 的角平分线BE 交圆于点E ，DB 垂直BE 交圆于点D .23．(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程已知曲线C 1的参数方程为45cos ,55sin x t y t =+⎧⎨=+⎩(t为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.(1)把C 1的参数方程化为极坐标方程； (2)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π)．24．(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲已知函数f (x )＝|2x －1|＋|2x ＋a |，g (x )＝x ＋3. (1)当a ＝－2时，求不等式f (x )＜g (x )的解集；(2)设a ＞－1，且当x ∈1,22a ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭时，f (x )≤g (x )，求a 的取值范围．2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类(全国卷I 新课标)第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．答案：A解析：∵B ＝{x |x ＝n 2，n ∈A }＝{1,4,9,16}， ∴A ∩B ＝{1,4}． 2．答案：B 解析：212i 12i 12i i 2i 1i 2i 22++(+)-+===(-)-＝11+i 2-. 3．答案：B解析：由题意知总事件数为6，且分别为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，满足条件的事件数是2，所以所求的概率为13.4．答案：C解析：∵e =c a =2254c a =.∵c 2＝a 2＋b 2，∴2214b a =.∴12b a =.∵双曲线的渐近线方程为by x a=±， ∴渐近线方程为12y x =±.故选C.5．答案：B解析：由20＝30知，p 为假命题．令h (x )＝x 3－1＋x 2， ∵h (0)＝－1＜0，h (1)＝1＞0， ∴x 3－1＋x 2＝0在(0,1)内有解．∴∃x ∈R ，x 3＝1－x 2，即命题q 为真命题．由此可知只有⌝p ∧q 为真命题．故选B. 6．答案：D解析：11211321113nnn n a a a q a q S q q --(-)===---＝3－2a n，故选D. 7．答案：A解析：当－1≤t ＜1时，s ＝3t ，则s ∈[－3,3)．当1≤t ≤3时，s ＝4t －t 2. ∵该函数的对称轴为t ＝2，∴该函数在[1,2]上单调递增，在[2,3]上单调递减． ∴s max ＝4，s min ＝3. ∴s ∈[3,4]．综上知s ∈[－3,4]．故选A. 8．答案：C解析：利用|PF |＝P x =x P＝∴y P＝±∴S △POF ＝12|OF |·|y P |＝故选C.9．答案：C解析：由f (x )＝(1－cos x )sin x 知其为奇函数．可排除B ．当x ∈π0,2⎛⎤⎥⎝⎦时，f (x )＞0，排除A.当x ∈(0，π)时，f ′(x )＝sin 2x ＋cos x (1－cos x )＝－2cos 2x ＋cos x ＋1.令f ′(x )＝0，得2π3x =. 故极值点为2π3x =，可排除D ，故选C. 10．答案：D解析：由23cos 2A ＋cos 2A ＝0，得cos 2A ＝125. ∵A ∈π0,2⎛⎫⎪⎝⎭，∴cos A ＝15.∵cos A ＝2364926b b +-⨯，∴b ＝5或135b =-(舍)．故选D. 11．答案：A解析：该几何体为一个半圆柱与一个长方体组成的一个组合体．V 半圆柱＝12π×22×4＝8π， V 长方体＝4×2×2＝16.所以所求体积为16＋8π.故选A. 12．答案：D解析：可画出|f (x )|的图象如图所示．当a ＞0时，y ＝ax 与y ＝|f (x )|恒有公共点，所以排除B ，C ；当a ≤0时，若x ＞0，则|f (x )|≥ax 恒成立．若x ≤0，则以y ＝ax 与y ＝|－x 2＋2x |相切为界限，由2,2,y ax y x x =⎧⎨=-⎩得x 2－(a ＋2)x ＝0. ∵Δ＝(a ＋2)2＝0，∴a ＝－2. ∴a ∈[－2,0]．故选D.第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．答案：2解析：∵b ·c ＝0，|a |＝|b |＝1，〈a ，b 〉＝60°，∴a ·b ＝111122⨯⨯=.∴b ·c ＝[t a ＋(1－t )b ]·b ＝0，即t a ·b ＋(1－t )b 2＝0.∴12t ＋1－t ＝0. ∴t ＝2. 14．答案：3解析：画出可行域如图所示．画出直线2x －y ＝0，并平移，当直线经过点A (3,3)时，z 取最大值，且最大值为z ＝2×3－3＝3.15．答案：9π2解析：如图，设球O 的半径为R ，则AH ＝23R ， OH ＝3R . 又∵π·EH 2＝π，∴EH ＝1.∵在Rt △OEH 中，R 2＝22+13R ⎛⎫⎪⎝⎭，∴R 2＝98.∴S 球＝4πR 2＝9π2. 16．答案：5-解析：∵f (x )＝sin x －2cos xx －φ)，其中sin φ，cos φ当x －φ＝2k π＋π2(k ∈Z )时，f (x )取最大值．即θ－φ＝2k π＋π2(k ∈Z )，θ＝2k π＋π2＋φ(k ∈Z )．∴cos θ＝πcos 2ϕ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝－sin φ＝5-.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．解：(1)设{a n }的公差为d ，则S n ＝1(1)2n n na d -+. 由已知可得11330,5105,a d a d +=⎧⎨+=⎩解得a 1＝1，d ＝－1.故{a n }的通项公式为a n ＝2－n . (2)由(1)知21211n n a a -+＝1111321222321n n n n ⎛⎫=- ⎪(-)(-)--⎝⎭，从而数列21211n n a a -+⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为1111111211132321n n ⎛⎫-+-++- ⎪---⎝⎭L ＝12nn-. 18．解：(1)设A 药观测数据的平均数为x ，B 药观测数据的平均数为y . 由观测结果可得x＝120(0.6＋1.2＋1.2＋1.5＋1.5＋1.8＋2.2＋2.3＋2.3＋2.4＋2.5＋2.6＋2.7＋2.7＋2.8＋2.9＋3.0＋3.1＋3.2＋3.5) ＝2.3，y＝120(0.5＋0.5＋0.6＋0.8＋0.9＋1.1＋1.2＋1.2＋1.3＋1.4＋1.6＋1.7＋1.8＋1.9＋2.1＋2.4＋2.5＋2.6＋2.7＋3.2)＝1.6.由以上计算结果可得x＞y，因此可看出A药的疗效更好．(2)由观测结果可绘制如下茎叶图：从以上茎叶图可以看出，A药疗效的试验结果有710的叶集中在茎2,3上，而B药疗效的试验结果有710的叶集中在茎0,1上，由此可看出A药的疗效更好．19．(1)证明：取AB的中点O，连结OC，OA1，A1B.因为CA＝CB，所以OC⊥AB.由于AB＝AA1，∠BAA1＝60°，故△AA1B为等边三角形，所以OA1⊥AB.因为OC∩OA1＝O，所以AB⊥平面OA1C.又A1C⊂平面OA1C，故AB⊥A1C.(2)解：由题设知△ABC与△AA1B都是边长为2的等边三角形，所以OC ＝OA 1.又A 1C ，则A 1C 2＝OC 2＋21OA ，故OA 1⊥OC .因为OC ∩AB ＝O ，所以OA 1⊥平面ABC ，OA 1为三棱柱ABC －A 1B 1C 1的高．又△ABC 的面积S △ABC ，故三棱柱ABC －A 1B 1C 1的体积V ＝S △ABC ×OA 1＝3.20．解：(1)f ′(x )＝e x (ax ＋a ＋b )－2x －4.由已知得f (0)＝4，f ′(0)＝4.故b ＝4，a ＋b ＝8.从而a ＝4，b ＝4.(2)由(1)知，f (x )＝4e x (x ＋1)－x 2－4x ，f ′(x )＝4e x (x ＋2)－2x －4＝4(x ＋2)·1e 2x ⎛⎫- ⎪⎝⎭. 令f ′(x )＝0得，x ＝－ln 2或x ＝－2.从而当x ∈(－∞，－2)∪(－ln 2，＋∞)时，f ′(x )＞0；当x ∈(－2，－ln 2)时，f ′(x )＜0.故f (x )在(－∞，－2)，(－ln 2，＋∞)上单调递增，在(－2，－ln 2)上单调递减．当x ＝－2时，函数f (x )取得极大值，极大值为f (－2)＝4(1－e －2)．21．解：由已知得圆M 的圆心为M (－1,0)，半径r 1＝1；圆N 的圆心为N (1,0)，半径r 2＝3.设圆P 的圆心为P (x ，y )，半径为R .(1)因为圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，所以|PM |＋|PN |＝(R ＋r 1)＋(r 2－R )＝r 1＋r 2＝4.由椭圆的定义可知，曲线C 是以M ，N 为左、右焦点，长半轴长为2(左顶点除外)，其方程为22=143x y +(x ≠－2)． (2)对于曲线C 上任意一点P (x ，y )，由于|PM |－|PN |＝2R －2≤2，所以R ≤2，当且仅当圆P 的圆心为(2,0)时，R ＝2.所以当圆P 的半径最长时，其方程为(x －2)2＋y 2＝4.若l 的倾斜角为90°，则l 与y 轴重合，可得|AB |＝若l 的倾斜角不为90°，由r 1≠R 知l 不平行于x 轴，设l 与x 轴的交点为Q ，则1||||QP R QM r =，可求得Q (－4,0)，所以可设l ：y ＝k (x ＋4)．由l 与圆M＝1，解得k＝当k＝4时，将4y x =+22=143x y +，并整理得7x 2＋8x －8＝0，解得x 1,2＝47-±，所以|AB |x 2－x 1|＝187. 当k＝4-时，由图形的对称性可知|AB |＝187. 综上，|AB |＝|AB |＝187. 请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题做答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分，做答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑． 22．(1)证明：连结DE ，交BC 于点G .由弦切角定理得，∠ABE ＝∠BCE .而∠ABE ＝∠CBE ，故∠CBE ＝∠BCE ，BE ＝CE .又因为DB ⊥BE ，所以DE 为直径，∠DCE ＝90°，由勾股定理可得DB ＝DC .(2)解：由(1)知，∠CDE ＝∠BDE ，DB ＝DC ，故DG 是BC 的中垂线，所以BG设DE的中点为O，连结BO，则∠BOG＝60°. 从而∠ABE＝∠BCE＝∠CBE＝30°，所以CF⊥BF，故Rt△BCF外接圆的半径等于2.23．解：(1)将45cos,55sinx ty t=+⎧⎨=+⎩消去参数t，化为普通方程(x－4)2＋(y－5)2＝25，即C1：x2＋y2－8x－10y＋16＝0.将cos,sinxyρθρθ=⎧⎨=⎩代入x2＋y2－8x－10y＋16＝0得ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.所以C1的极坐标方程为ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0. (2)C2的普通方程为x2＋y2－2y＝0.由2222810160,20x y x yx y y⎧+--+=⎨+-=⎩解得1,1xy=⎧⎨=⎩或0,2.xy=⎧⎨=⎩所以C1与C2交点的极坐标分别为π4⎫⎪⎭，π2,2⎛⎫⎪⎝⎭.24．解：(1)当a＝－2时，不等式f(x)＜g(x)化为|2x－1|＋|2x－2|－x－3＜0. 设函数y＝|2x－1|＋|2x－2|－x－3，则y＝1 5,,212,1,236, 1.x xx xx x⎧-<⎪⎪⎪--≤≤⎨⎪->⎪⎪⎩其图像如图所示．从图像可知，当且仅当x∈(0,2)时，y＜0.所以原不等式的解集是{x |0＜x ＜2}．(2)当x ∈1,22a ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭时，f (x )＝1＋a . 不等式f (x )≤g (x )化为1＋a ≤x ＋3.所以x ≥a －2对x ∈1,22a ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭都成立．故2a -≥a －2，即a ≤43. 从而a 的取值范围是41,3⎛⎤- ⎥⎝⎦.。

2013年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标I)逐题详解_(纯word解析版)

2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类(全国卷I 新课标)第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A ＝{1,2,3,4}}4,3,2,1{=A ，},|{2A n n x x B ∈==，则=B A ( )．A ．}4,1{B ．}3,2{C ．}16,9{D ．}2,1{1．答案：A解析：≧B ＝{x |x ＝n 2，n ∈A }＝{1,4,9,16}，≨A ∩B ＝{1,4}．2．=-+2)1(21i i ( )． A ．i 211-- B ．i 211+- C ．i 211+ D ．i 211- 2．答案：B 解析：212i 12i 12i i 2i 1i 2i 22++(+)-+===(-)-＝11+i 2-.3．从1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是( )．A ．21 B ． 31 C ．41 D ．61 3．答案：B解析：由题意知总事件数为6，且分别为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，满足条件的事件数是2，所以所求的概率为13.4．已知双曲线C ：2222=1x y a b -)0,0(>>b a 的离心率为C 的渐近线方程为( )．A ．x y 41±= B ．x y 31±= C ．x y 21±= D ．x y ±=4．答案：C解析：≧e =ca =2254c a =.≧c 2＝a 2＋b 2，≨2214b a =.≨12b a =. ≧双曲线的渐近线方程为by x a =±， ≨渐近线方程为12y x =±.故选C.5．已知命题x x R x P 32,:<∈∀；命题231,:x x R x q -=∈∃，则下列命题中为真命题的是()．A ．p ∧qB ．⌝p ∧qC ．p ∧⌝qD ．⌝p ∧⌝q5．答案：B解析：由20＝30知，p 为假命题．令h (x )＝x 3－1＋x 2，≧h (0)＝－1＜0，h (1)＝1＞0，≨x 3－1＋x 2＝0在(0,1)内有解．≨∃x ∈R ，x 3＝1－x 2，即命题q 为真命题．由此可知只有⌝p ∧q 为真命题．故选B.6．设首项为1，公比为23的等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，则( )．A ．12-=n n a SB ．23-=n n a SC ．n n a S 34-=D ．n n a S 23-=6．答案：D 解析：11211321113n nn n aa a q a q S q q --(-)===---＝3－2a n ，故选D.7．执行下面的程序框图，如果输入的]3,1[-∈t ，则输出的s 属于( )．A ．]4,3[-B ．]2,5[-C ．]3,4[-D ．]5,2[-7．答案：A解析：当－1≤t ＜1时，s ＝3t ，则s ∈[－3,3)．当1≤t ≤3时，s ＝4t －t 2.≧该函数的对称轴为t ＝2，≨该函数在[1,2]上单调递增，在[2,3]上单调递减．≨s max ＝4，s min ＝3.≨s ∈[3,4]．综上知s ∈[－3,4]．故选A.8．O 为坐标原点，F 为抛物线x y C 24:2=的焦点，P 为C 上一点，若24||=PF ，则POF ∆的面积为( )．A ．2B ．22C ．32D ．48．答案：C解析：利用|PF |＝P x =x P ＝≨y P ＝±≨S △POF ＝12|OF |·|y P |＝故选C.9．函数x x x f sin )cos 1()(-=在],[ππ-的图像大致为( )．9．答案：C解析：由f (x )＝(1－cos x )sin x 知其为奇函数．可排除B ．当x ∈π0,2⎛⎤ ⎥⎝⎦时，f (x )＞0，排除A.当x ∈(0，π)时，f ′(x )＝sin 2x ＋cos x (1－cos x )＝－2cos 2x ＋cos x ＋1.令f ′(x )＝0，得2π3x =. 故极值点为2π3x =，可排除D ，故选C.10．已知锐角ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,,6,7,02cos cos 232===+c a A A ,则b ＝()．A ．10B ．9C ．8D ．510．答案：D解析：由23cos 2A ＋cos 2A ＝0，得cos 2A ＝125.≧A ∈π0,2⎛⎫⎪⎝⎭，≨cos A ＝15.≧cos A ＝2364926b b +-⨯，≨b ＝5或135b =-(舍)．故选D.11．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )．A ．π816+B ．π88+C ．π1616+D ．π168+11．答案：A解析：该几何体为一个半圆柱与一个长方体组成的一个组合体．V 半圆柱＝12π×22×4＝8π，V 长方体＝4×2×2＝16.所以所求体积为16＋8π.故选A.12．已知函数=)(x f 22,0,ln(1),0.x x x x x ⎧-+≤⎨+>⎩若ax x f ≥|)(|，则a 的取值范围是( )．A ．]0,(-∞B ．]1,(-∞C ．]1,2[-D ．]0,2[-12．答案：D解析：可画出|f (x )|的图象如图所示．当a ＞0时，y ＝ax 与y ＝|f (x )|恒有公共点，所以排除B ，C ；当a ≤0时，若x ＞0，则|f (x )|≥ax 恒成立．若x ≤0，则以y ＝ax 与y ＝|－x 2＋2x |相切为界限，由2,2,y ax y x x =⎧⎨=-⎩得x 2－(a ＋2)x ＝0. ≧Δ＝(a ＋2)2＝0，≨a ＝－2.≨a ∈[－2,0]．故选D.第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知两个单位向量a ，b 的夹角为060，c t =a )1(t -+b .若b ·c 0=，则=t .13．答案：2解析：≧b ·c ＝0，|a |＝|b |＝1，〈a ，b 〉＝60°，≨a ·b ＝111122⨯⨯=. ≨b ·c ＝[t a ＋(1－t )b ]·b ＝0，即t a ·b ＋(1－t )b 2＝0. ≨12t ＋1－t ＝0. ≨t ＝2.14．设y x ,满足约束条件13,10,x x y ≤≤⎧⎨-≤-≤⎩则y x z -=2的最大值为．14．答案：3解析：画出可行域如图所示．画出直线2x －y ＝0，并平移，当直线经过点A (3,3)时，z 取最大值，且最大值为z ＝2×3－3＝3.15．已知H 是球O 的直径AB 上一点，2:1:=HB AH ，⊥AB 平面α，H 为垂足，α截球O 所得截面的面积为π，则球O 的表面积为．15．答案：9π2解析：如图，设球O 的半径为R ，则AH ＝23R ， OH ＝3R . 又≧π·EH 2＝π，≨EH ＝1.≧在Rt △OEH 中，R 2＝22+13R ⎛⎫ ⎪⎝⎭，≨R 2＝98. ≨S 球＝4πR 2＝9π2.16．设当θ=x 时，函数x x x f cos 2sin )(-=取得最大值，则=θcos .16．答案：解析：≧f (x )＝sin x －2cos x x －φ)，其中sin φcos φ当x －φ＝2k π＋π2(k ∈Z )时，f (x )取最大值．即θ－φ＝2k π＋π2(k ∈Z )，θ＝2k π＋π2＋φ(k ∈Z )． ≨cos θ＝πcos 2ϕ⎛⎫+⎪⎝⎭＝－sin φ＝. 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．(本小题满分12分)已知等差数列}{n a 的前n 项和n S 满足5,053-==S S .(1)求}{n a 的通项公式；(2)求数列}1{1212+-n n a a 的前n 项和． 17．解：(1)设{a n }的公差为d ，则S n ＝1(1)2n n na d -+. 由已知可得11330,5105,a d a d +=⎧⎨+=⎩ 解得a 1＝1，d ＝－1.故{a n }的通项公式为a n ＝2－n .(2)由(1)知21211n n a a -+＝1111321222321n n n n ⎛⎫=- ⎪(-)(-)--⎝⎭，从而数列21211n n a a -+⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为1111111211132321n n ⎛⎫-+-++- ⎪---⎝⎭＝12n n-.18．(本小题满分12分)为了比较两种治疗失眠症的药(分别称为A 药，B 药)的疗效，随机地选取20位患者服用A 药，20位患者服用B 药，这40位患者在服用一段时间后，记录他们日平均增加的睡眠时间(单位：h)．试验的观测结果如下：服用A 药的20位患者日平均增加的睡眠时间：0.6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2 3.5 2.5 2.6 1.2 2.7 1.5 2.9 3.0 3.1 2.3 2.4 服用B 药的20位患者日平均增加的睡眠时间：3.2 1.7 1.9 0.8 0.9 2.4 1.2 2.6 1.3 1.4 1.6 0.5 1.8 0.6 2.1 1.1 2.5 1.2 2.7 0.5(1)分别计算两组数据的平均数，从计算结果看，哪种药的疗效更好？(2)根据两组数据完成下面茎叶图，从茎叶图看，哪种药的疗效更好？18．解：(1)设A 药观测数据的平均数为x ，B 药观测数据的平均数为y .由观测结果可得x ＝120(0.6＋1.2＋1.2＋1.5＋1.5＋1.8＋2.2＋2.3＋2.3＋2.4＋2.5＋2.6＋2.7＋2.7＋2.8＋2.9＋3.0＋3.1＋3.2＋3.5) ＝2.3，y ＝120(0.5＋0.5＋0.6＋0.8＋0.9＋1.1＋1.2＋1.2＋1.3＋1.4＋1.6＋1.7＋1.8＋1.9＋2.1＋2.4＋2.5＋2.6＋2.7＋3.2) ＝1.6. 由以上计算结果可得x ＞y ，因此可看出A 药的疗效更好．(2)由观测结果可绘制如下茎叶图：从以上茎叶图可以看出，A 药疗效的试验结果有710的叶集中在茎2,3上，而B 药疗效的试验结果有710的叶集中在茎0,1上，由此可看出A 药的疗效更好．19．(本小题满分12分)如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，CA ＝CB ，AB ＝AA 1，∠BAA 1＝60°.(1)证明：AB ⊥A 1C ；(2)若AB ＝CB ＝2，A 1C ABC －A 1B 1C 1的体积．19．(1)证明：取AB 的中点O ，连结OC ，OA 1，A 1B .因为CA ＝CB ，所以OC ⊥AB .由于AB ＝AA 1，∠BAA 1＝60°，故△AA 1B 为等边三角形，所以OA 1⊥AB .因为OC ∩OA 1＝O ，所以 AB ⊥平面OA 1C .又A 1C ⊂平面OA 1C ，故AB ⊥A 1C .(2)解：由题设知△ABC 与△AA 1B 都是边长为2的等边三角形，所以OC ＝OA 1又A 1C ，则A 1C 2＝OC 2＋21OA ，故OA 1⊥OC .因为OC ∩AB ＝O ，所以OA 1⊥平面ABC ，OA 1为三棱柱ABC －A 1B 1C 1的高．又△ABC 的面积S △ABC ABC －A 1B 1C 1的体积V ＝S △ABC ×OA 1＝3.20. (本小题满分12分)已知函数x x b ax e x f x 4)()(2--+=,曲线)(x f y =在点))0(,0(f 处的切线方程为44+=x y .(1)求b a ,的值；(2)讨论)(x f 的单调性，并求)(x f 的极大值．20．解：(1)f ′(x )＝e x (ax ＋a ＋b )－2x －4.由已知得f (0)＝4，f ′(0)＝4.故b ＝4，a ＋b ＝8.从而a ＝4，b ＝4.(2)由(1)知，f (x )＝4e x (x ＋1)－x 2－4x ，f ′(x )＝4e x (x ＋2)－2x －4＝4(x ＋2)·1e 2x ⎛⎫-⎪⎝⎭. 令f ′(x )＝0得，x ＝－ln 2或x ＝－2. 从而当x ∈(－≦，－2)∪(－ln 2，＋≦)时，f ′(x )＞0；当x ∈(－2，－ln 2)时，f ′(x )＜0.故f (x )在(－≦，－2)，(－ln 2，＋≦)上单调递增，在(－2，－ln 2)上单调递减．当x ＝－2时，函数f (x )取得极大值，极大值为f (－2)＝4(1－e －2)．21．(本小题满分12分)已知圆1)1(:22=++y x M ，圆9)1(:22=+-y x N ，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C .(1)求C 的方程；(2)l 是与圆P ，圆M 都相切的一条直线，l 与曲线C 交于B A ,两点，当圆P 的半径最长时，求||AB . 21．解：由已知得圆M 的圆心为M (－1,0)，半径r 1＝1；圆N 的圆心为N (1,0)，半径r 2＝3.设圆P 的圆心为P (x ，y )，半径为R .(1)因为圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，所以|PM |＋|PN |＝(R ＋r 1)＋(r 2－R )＝r 1＋r 2＝4.由椭圆的定义可知，曲线C 是以M ，N 为左、右焦点，长半轴长为2，(左顶点除外)，其方程为22=143x y +(x ≠－2)． (2)对于曲线C 上任意一点P (x ，y )，由于|PM |－|PN |＝2R －2≤2，所以R ≤2，当且仅当圆P 的圆心为(2,0)时，R ＝2.所以当圆P 的半径最长时，其方程为(x －2)2＋y 2＝4.若l 的倾斜角为90°，则l 与y 轴重合，可得|AB |＝若l 的倾斜角不为90°，由r 1≠R 知l 不平行于x 轴，设l 与x 轴的交点为Q ，则1||||QP R QM r =，可求得Q (－4,0)，所以可设l ：y ＝k (x ＋4)．由l 与圆M＝1，解得k＝4±当k ＝4时，将4y x =22=143x y +，并整理得7x 2＋8x －8＝0，解得x 1,2＝47-±，所以|AB ||x 2－x 1|＝187.当k ＝4-时，由图形的对称性可知|AB |＝187.综上，|AB |＝|AB |＝187. 请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题做答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分，做答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题做答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分，做答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．22．(本小题满分10分)选修4—1：几何证明选讲如图，直线AB 为圆的切线，切点为B ，点C 在圆上，∠ABC 的角平分线BE 交圆于点E ，DB 垂直BE 交圆于点D .22．(1)证明：连结DE ，交BC 于点G .由弦切角定理得，∠ABE ＝∠BCE .而∠ABE ＝∠CBE ，故∠CBE ＝∠BCE ，BE ＝CE .又因为DB ⊥BE ，所以DE 为直径，∠DCE ＝90°，由勾股定理可得DB ＝DC .(2)解：由(1)知，∠CDE ＝∠BDE ，DB ＝DC ，故DG 是BC 的中垂线，所以BG.设DE的中点为O，连结BO，则∠BOG＝60°. 从而∠ABE＝∠BCE＝∠CBE＝30°，所以CF⊥BF，故Rt△BCF外接圆的半径等于2.23．(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程已知曲线C1的参数方程为45cos,55sinx ty t=+⎧⎨=+⎩(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.(1)把C1的参数方程化为极坐标方程；(2)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π)．23．解：(1)将45cos,55sinx ty t=+⎧⎨=+⎩消去参数t，化为普通方程(x－4)2＋(y－5)2＝25，即C1：x2＋y2－8x－10y＋16＝0.将cos,sinxyρθρθ=⎧⎨=⎩代入x2＋y2－8x－10y＋16＝0得ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.所以C1的极坐标方程为ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0. (2)C2的普通方程为x2＋y2－2y＝0.由2222810160,20x y x yx y y⎧+--+=⎨+-=⎩解得1,1xy=⎧⎨=⎩或0,2.xy=⎧⎨=⎩所以C1与C2交点的极坐标分别为π4⎫⎪⎭，π2,2⎛⎫⎪⎝⎭.24．(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲已知函数f (x )＝|2x －1|＋|2x ＋a |，g (x )＝x ＋3.(1)当a ＝－2时，求不等式f (x )＜g (x )的解集；(2)设a ＞－1，且当x ∈1,22a ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭时，f (x )≤g (x )，求a 的取值范围． 24．解：(1)当a ＝－2时，不等式f (x )＜g (x )化为|2x －1|＋|2x －2|－x －3＜0. 设函数y ＝|2x －1|＋|2x －2|－x －3，则y ＝15,,212,1,236, 1.x x x x x x ⎧-<⎪⎪⎪--≤≤⎨⎪->⎪⎪⎩其图像如图所示．从图像可知，当且仅当x ∈(0,2)时，y ＜0.所以原不等式的解集是{x |0＜x ＜2}．(2)当x ∈1,22a⎡⎫-⎪⎢⎣⎭时，f (x )＝1＋a .不等式f (x )≤g (x )化为1＋a ≤x ＋3.所以x ≥a －2对x ∈1,22a ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭都成立．故2a-≥a －2，即a ≤43.从而a 的取值范围是41,3⎛⎤- ⎥⎝⎦.。

2013年高考文科数学全国卷1(含详细答案)

数学试卷第1页（共33页）数学试卷第2页（共33页）数学试卷第3页（共33页）绝密★启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试(全国新课标卷1)文科数学使用地区：河南、山西、河北注意事项：1.本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分,第Ⅰ卷1至3页,第Ⅱ卷3至6页.2.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置.3.全部答案在答题卡上完成,答在本试题上无效.4.考试结束后,将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题,每小题5分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{1,2,3,4}A =,2{|,}B x x n n A ==∈,则A B = ( )A .{1,4}B .{2,3}C .{9,16}D .{1,2} 2.212i (1i)+=-( )A .11i 2--B .11i 2-+C .11i 2+D .11i 2-3.从1,2,3,4中任取2个不同的数,则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是 ( )A .12B .13C .14D .164.已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为52,则C 的渐近线方程为 ( )A .14y x =±B .13y x =±C .12y x =±D .y x =± 5.已知命题p ：x ∀∈R ,23x x<；命题q ：x ∃∈R ,321x x =-,则下列命题中为真命题的是( )A .p q ∧B .p q ⌝∧C .p q ∧⌝D .p q ⌝∧⌝ 6.设首项为1,公比为23的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,则( )A .21n n S a =-B .32n n S a =-C .43n n S a =-D .32n n S a =-7.执行如图的程序框图,如果输入的[1,3]t ∈-,则输出的s 属于( )A .[3,4]-B .[5,2]-C .[4,3]-D .[2,5]-8.O 为坐标原点,F 为抛物线C :242y x =的焦点,P 为C 上一点,若||42PF =,则POF △的面积为( )A .2B .22C .23D .49.函数()(1cos )sin f x x x =-在[π,π]-上的图象大致为( )10.已知锐角ABC △的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,223cos cos20A A +=,7a =,6c =,则b =( )A .10B .9C .8D .5 11.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )A .168π+B .88π+C .1616π+D .816π+12.已知函数22,0()ln(1),0.x x x f x x x ⎧-+=⎨+⎩≤，＞若|()|f x ax ≥,则a 的取值范围是( )A .(,0]-∞B .(,1]-∞C .[2,1]-D .[2,0]-第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题～第21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22题～第24题为选考题,考生根据要求作答. 二、填空题：本大题共4小题,每小题5分.13.已知两个单位向量a ,b 的夹角为60,(1)t t =+-c a b ,若0=b c ,则t =________.14.设x ,y 满足约束条件13,10,x x y ⎧⎨--⎩≤≤≤≤,则2z x y =-的最大值为________.15.已知H 是球O 的直径AB 上一点,:1:2AH HB =,AB ⊥平面α,H 为垂足,α截球O 所得截面的面积为π,则球O 的表面积为________.16.设当x θ=时,函数()sin 2cos f x x x =-取得最大值,则cos θ=________. 三、解答题：解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的前n 项和n S 满足30S =,55S =-. （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）求数列21211{}n n a a -+的前n 项和.--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------姓名________________ 准考证号_____________数学试卷第4页（共33页）数学试卷第5页（共33页）数学试卷第6页（共33页）18.（本小题满分12分）为了比较两种治疗失眠症的药(分别称为A 药,B 药)的疗效,随机地选取20位患者服用A 药,20位患者服用B 药,这40位患者服用一段时间后,记录他们日平均增加的睡眠时间(单位:h ).试验的观测结果如下：服用A 药的20位患者日平均增加的睡眠时间： 0.6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2 3.5 2.52.61.22.71.52.93.03.12.32.4服用B 药的20位患者日平均增加的睡眠时间： 3.2 1.7 1.9 0.8 0.9 2.4 1.2 2.6 1.3 1.4 1.60.51.80.62.11.12.51.22.70.5（Ⅰ）分别计算两组数据的平均数,从计算结果看,哪种药的疗效更好？（Ⅱ）根据两组数据完成下面茎叶图,从茎叶图看,哪种药的疗效更好？A 药B 药0. 1. 2.3.19.（本小题满分12分）如图,三棱柱111ABC A B C -中,CA CB =,1AB AA =,160BAA ∠=. （Ⅰ）证明：1AB AC ⊥；（Ⅱ）若2AB CB ==,16A C =,求三棱柱111ABC A B C -的体积.20.（本小题满分12分）已知函数2()e ()4x f x ax b x x =+--,曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为44y x =+.（Ⅰ）求a ,b 的值；（Ⅱ）讨论()f x 的单调性,并求()f x 的极大值.21.（本小题满分12分）已知圆M :22(1)1x y ++=,圆N :22(1)9x y -+=,动圆P 与圆M 外切并且与圆N内切,圆心P 的轨迹为曲线C . （Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）l 是与圆P ,圆M 都相切的一条直线,l 与曲线C 交于A ,B 两点,当圆P 的半径最长时,求||AB .请考生在第22、23、24三题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做,则按所做的第一个题目计分,作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑. 22.（本小题满分10分）选修4—1:几何证明选讲如图,直线AB 为圆的切线,切点为B ,点C 在圆上,ABC ∠的角平分线BE 交圆于点E ,DB 垂直BE 交圆于点D .（Ⅰ）证明：DB DC =；（Ⅱ）设圆的半径为1,3BC =,延长CE 交AB 于点F ,求BCF △外接圆的半径.23.（本小题满分10分）选修4—4:坐标系与参数方程已知曲线1C 的参数方程为45cos ,55sin ,x t y t =+⎧⎨=+⎩（t 为参数）,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线2C 的极坐标方程为2sin ρθ=. （Ⅰ）把1C 的参数方程化为极坐标方程；（Ⅱ）求1C 与2C 交点的极坐标(0,02π)ρθ≥≤＜.24.（本小题满分10分）选修4—5:不等式选讲已知函数()|21||2|f x x x a =-++,()3g x x =+. （Ⅰ）当2a =-时,求不等式()()f x g x ＜的解集；（Ⅱ）设1a -＞,且当1[,)22a x ∈-时,()()f x g x ≤,求a 的取值范围.2013年普通高等学校招生全国统一考试(全国新课标卷1)文科数学答案解析第Ⅰ卷3/ 114当0a ＞时，y ax ＝与()y f x ＝恒有公共点，所以排除()5 / 11由2,2,y ax y x x =⎧⎨=-⎩得22()0x a x －＋＝． ∵22()0a ∆＝＋＝，∴2a ＝－． ∴,0[]2a ∈－；故选D ．第Ⅱ卷0=b c ，a 1112⨯⨯＝a b 1(0[)]t t ＝＋－＝b c a b b ，即1()t ＋－a b b 1120t t ＋－＝；∴2t ＝．【答案】3【解析】画出可行域如图所示。

2013年高考新课标1数学(文科)试题带答案

绝密★启封并使用完毕前2013年普通高等学校招生全国统一考试文科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页。

全卷满分150分。

考试时间120分钟。

注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页。

2. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。

3. 全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。

4. 考试结束，将本试题和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷一、选择题共12小题。

每小题5分。

在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。

（1）已知集合A=｛1，2，3，4｝，B=｛x|x=n2，n∈A｝,则A∩B= ( ) （A）｛0｝（B）｛-1，,0｝（C）{0，1} （D）｛-1，,0，1}（2） = ( ) （A）-1 - i （B）-1 + i （C）1 + i （D）1 - i（3）从1，2，3，4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是（）（A）（B）（C）（D）（4）已知双曲线C： = 1（a>0,b>0）的离心率为，则C的渐近线方程为（）（A）y=±x （B）y=±x （C）y=±x （D）y=±x（5）已知命题p：，则下列命题中为真命题的是：（）（A） p∧q （B）￢p∧q （C）p∧￢q （D）￢p∧￢q（6）设首项为1，公比为的等比数列｛an ｝的前n项和为Sn，则（）（A）Sn =2an-1 （B）Sn=3an-2 （C）Sn=4-3an（D）Sn=3-2an（7）执行右面的程序框图，如果输入的t∈[-1，3]，则输出的s属于（A）[-3,4]（B）[-5,2]（C）[-4,3]（D）[-2,5]（8）O为坐标原点，F为抛物线C：y²=4x的焦点，P为C上一点，若丨PF丨=4，则△POF的面积为（A）2 （B）2（C）2（D）4（9）函数f（x）=（1-cosx）sinx在[-π，π]的图像大致为（10）已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，23cos²A+cos2A=0，a=7，c=6，则b=（A）10 （B）9 （C）8 （D）5（11）某几何函数的三视图如图所示，则该几何的体积为（A）18+8π（B）8+8π（C）16+16π（D）8+16π（12）已知函数f（x）= 若|f（x）|≥ax，则a的取值范围是（A）（-∞] （B）（-∞] (C)[-2,1] (D)[-2,0]第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两个部分。