2013年高考数学全国卷1(理科)

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2013年高考全国新课标1卷数学试卷(理科)word版

2013年高考全国新课标1卷数学试卷(理科)word版

2013年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅰ卷)数学(理科)注意事项:1. 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

答卷前考生将自己的姓名\准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置。

2. 回答第Ⅰ卷时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号标黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。

写在本试卷上无效。

3. 答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。

4. 考试结束,将试题卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷(选择题共50分)一、选择题:本大题共10小题。

每小题5分,共50分。

在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

(1)已知集合M={x|(x+1)2 < 4,x∈R},N={-1,0,1,2,3},则M∩N= ()(A){0,1,2}(B){-1,0,1,2}(C){-1,0,2,3} (D){0,1,2,3}(2)设复数z满足(1-i)z=2 i,则z= ()(A)-1+i (B)-1-i (C)1+i (D)1-i(3)等比数列{a n}的前n项和为S n,已知S3 = a2 +10a1 ,a5 = 9,则a1= ()(A)(B)- (C)(D)-(4)已知m,n为异面直线,m⊥平面α,n⊥平面β。

直线l满足l ⊥m,l ⊥n,l⊄α,l⊄β,则()(A)α∥β且l ∥α(B)α⊥β且l⊥β(C)α与β相交,且交线垂直于l(D)α与β相交,且交线平行于l(5)已知(1+ax)(1+x)5的展开式中x2的系数为5,则a = ( )(A)-4 (B)-3(C)-2 (D)-1(6)执行右面的程序框图,如果输入的N=10,那么输出的s=( )(A)1+ + +…+ (B)1+ + +…+(C)1+++…+ (D)1+++…+(7)一个四面体的顶点在空间直角坐标系O-xyz中的坐标分别是(1,0,1),(1,1,0),(1,1,1),(0,0,0),画该四面体三视图中的正视图时,以zOx平面为投影面,则得到正视图可以为()(A) (B) (C) (D)(8)设a=log36, b=log510, c=log714,则(A)c>b>a (B)b>c>a (C)a>c>b (D)a>b>c(9)已知a>0,x,y满足约束条件,若z=2x+y的最小值为1,则a=( )(A)(B) (C)1 (D)2(10)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c,下列结论中错误的是( ) (A)∃xα∈R,f(xα)=0(B)函数y=f(x)的图像是中心对称图形(C)若xα是f(x)的极小值点,则f(x)在区间(-∞,xα)单调递减(D)若xα是f(x)的极值点,则f1(xα)=0(11)设抛物线y2=3px(p≥0)的焦点为F,点M在C上,|MF|=5. 若以MF为直径的圆过点(0,3),则C的方程为( )(A)y2=4x或y2=8x (B)y2=2x或y2=8x(C)y2=4x或y2=16x (D)y2=2x或y2=16x(12)已知点A(-1,0);B(1,0);C(0,1),直线y=ax+b(a>0)将△ABC分割为面积相等的两部分,则b的取值范围是(A)(0,1)(B)(22-1,21)(C)(22-1,31)(D)[31,21)第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题,每个试题考生都必修作答。

2013年全国高考数学理科试卷新课标全国卷Ⅰ(word版)

2013年全国高考数学理科试卷新课标全国卷Ⅰ(word版)

绝密★启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅰ卷)数学(理科)注意事项:1. 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

答卷前考生将自己的姓名\准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置。

2. 回答第Ⅰ卷时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号标黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。

写在本试卷上无效。

3. 答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。

4. 考试结束,将试题卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷(选择题共50分)一、选择题:本大题共10小题。

每小题5分,共50分。

在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

(1)已知集合M={x|(x+1)2 < 4,x∈R},N={-1,0,1,2,3},则M∩N= ()(A){0,1,2}(B){-1,0,1,2}(C){-1,0,2,3} (D){0,1,2,3}(2)设复数z满足(1-i)z=2 i,则z= ()(A)-1+i (B)-1-i (C)1+i (D)1-i(3)等比数列{a n}的前n项和为S n,已知S3 = a2 +10a1 ,a5 = 9,则a1= ()(A)错误!未找到引用源。

(B)- 错误!未找到引用源。

(C)错误!未找到引用源。

(D)- 错误!未找到引用源。

(4)已知m,n为异面直线,m⊥平面α,n⊥平面β。

直线l满足l ⊥m,l ⊥n,l⊄α,l⊄β,则()(A)α∥β且l ∥α(B)α⊥β且l⊥β(C)α与β相交,且交线垂直于l(D)α与β相交,且交线平行于l(5)已知(1+ax)(1+x)5的展开式中x2的系数为5,则a = ( )(A)-4 (B)-3(C)-2 (D)-1(6)执行右面的程序框图,如果输入的N=10,那么输出的s=( )(A)1+ 错误!未找到引用源。

+ 错误!未找到引用源。

+…+ 错误!未找到引用源。

(B)1+ 错误!未找到引用源。

2013年高考数学(全国卷)理科及答案

2013年高考数学(全国卷)理科及答案

2013年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅱ卷)数学(理科)注意事项:1. 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

答卷前考生将自己的姓名\准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置。

2. 回答第Ⅰ卷时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号标黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。

写在本试卷上无效。

3. 答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。

4. 考试结束,将试题卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷(选择题共50分)一、选择题:本大题共10小题。

每小题5分,共50分。

在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

(1)已知集合M={x|(x+1)2 < 4,x∈R},N={-1,0,1,2,3},则M∩N=()(A){0,1,2}(B){-1,0,1,2}(C){-1,0,2,3} (D){0,1,2,3}(2)设复数z满足(1-i)z=2 i,则z= ()(A)-1+i (B)-1-i (C)1+i (D)1-i(3)等比数列{a n}的前n项和为S n,已知S3 = a2 +10a1 ,a5 = 9,则a1= ()(A)(B)-(C)(D)-(4)已知m,n为异面直线,m⊥平面α,n⊥平面β。

直线l满足l ⊥m,l ⊥n,l β,则()(A)α∥β且l ∥α(B)α⊥β且l⊥β(C)α与β相交,且交线垂直于l (D)α与β相交,且交线平行于l(5)已知(1+ɑx)(1+x)5的展开式中x2的系数为5,则ɑ=(A)-4 (B)-3 (C)-2 (D)-1(6)执行右面的程序框图,如果输入的N=10,那么输出的s=(A)1+ + +…+(B )1++ +…+(C )1+ + +…+(D )1++ +…+(7)一个四面体的顶点在空间直角坐标系O-xyz 中的坐标分别是(1,0,1),(1,1,0),(1,1,1),(0,0,0),画该四面体三视图中的正视图时,以zOx 平面为搞影面,则得到正视图可以为(A) (B) (C) (D)(8)设ɑ=log 36,b=log 510,c=log 714,则(A )c >b >a (B )b >c >a(C )a >c >b (D)a >b >c(9)已知a >0,x ,y 满足约束条件 ,若z=2x+y 的最小值为1,则a=(A)(B) (C)1 (D)2(10)已知函数f(x)=x2+αx2+bx+,下列结论中错误的是(A )∑x α∈R f(x α)=0(B )函数y=f(x)的图像是中心对称图形(C )若x α是f(x)的极小值点,则f(x)在区间(-∞,x α)单调递减(D )若xn 是f (x )的极值点,则f 1(x α)=0(11)设抛物线y2=3px(p ≥0)的焦点为F ,点M 在C 上,|MF|=5若以MF 为直径的园过点(0,3),则C 的方程为(A )y2=4x 或y2=8x (B )y2=2x 或y2=8x(C )y2=4x 或y2=16x (D )y2=2x 或y2=16x(12)已知点A (-1,0);B (1,0);C (0,1),直线y=ax+b(a>0)将△ABC 分割为面积相等的两部分,则b 的取值范围是x ≥1, x+y ≤3, y ≥a(x-3). {(A)(0,1)(B)(1-,1/2)( C)(1-,1/3)(D)[ 1/3, 1/2)第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题,每个试题考生都必修作答。

2013年高考全国新课标1卷数学试卷(理科)word版

2013年高考全国新课标1卷数学试卷(理科)word版

2013年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅰ卷)数学(理科)注意事项:1. 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

答卷前考生将自己的姓名\准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置。

2. 回答第Ⅰ卷时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号标黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。

写在本试卷上无效。

3. 答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。

4. 考试结束,将试题卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷(选择题共50分)一、选择题:本大题共10小题。

每小题5分,共50分。

在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

(1)已知集合M={x|(x+1)2 < 4,x∈R},N={-1,0,1,2,3},则M∩N= ()(A){0,1,2}(B){-1,0,1,2}(C){-1,0,2,3} (D){0,1,2,3}(2)设复数z满足(1-i)z=2 i,则z= ()(A)-1+i (B)-1-i (C)1+i (D)1-i(3)等比数列{a n}的前n项和为S n,已知S3 = a2 +10a1 ,a5 = 9,则a1= ()(A)(B)- (C)(D)-(4)已知m,n为异面直线,m⊥平面α,n⊥平面β。

直线l满足l ⊥m,l ⊥n,l⊄α,l⊄β,则()(A)α∥β且l ∥α(B)α⊥β且l⊥β(C)α与β相交,且交线垂直于l(D)α与β相交,且交线平行于l(5)已知(1+ax)(1+x)5的展开式中x2的系数为5,则a = ( )(A)-4 (B)-3(C)-2 (D)-1(6)执行右面的程序框图,如果输入的N=10,那么输出的s=( )(A)1+ + +…+ (B)1+ + +…+(C)1+++…+ (D)1+++…+(7)一个四面体的顶点在空间直角坐标系O-xyz中的坐标分别是(1,0,1),(1,1,0),(1,1,1),(0,0,0),画该四面体三视图中的正视图时,以zOx平面为投影面,则得到正视图可以为()(A) (B) (C) (D)(8)设a=log36, b=log510, c=log714,则(A)c>b>a (B)b>c>a (C)a>c>b (D)a>b>c(9)已知a>0,x,y满足约束条件,若z=2x+y的最小值为1,则a=( )(A)(B) (C)1 (D)2(10)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c,下列结论中错误的是( ) (A)∃xα∈R,f(xα)=0(B)函数y=f(x)的图像是中心对称图形(C)若xα是f(x)的极小值点,则f(x)在区间(-∞,xα)单调递减(D)若xα是f(x)的极值点,则f1(xα)=0(11)设抛物线y2=3px(p≥0)的焦点为F,点M在C上,|MF|=5. 若以MF为直径的圆过点(0,3),则C的方程为( )(A)y2=4x或y2=8x (B)y2=2x或y2=8x(C)y2=4x或y2=16x (D)y2=2x或y2=16x(12)已知点A(-1,0);B(1,0);C(0,1),直线y=ax+b(a>0)将△ABC分割为面积相等的两部分,则b的取值范围是(A)(0,1)(B)(22-1,21)(C)(22-1,31)(D)[31,21)第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题,每个试题考生都必修作答。

2013年高考理科数学全国新课标卷1试题与答案word解析版

2013年高考理科数学全国新课标卷1试题与答案word解析版

2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(全国新课标卷I)第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2013课标全国Ⅰ,理1)已知集合A ={x |x 2-2x >0},B ={x |-5<x <5},则( ). A .A ∩B = B .A ∪B =R C .B ⊆A D .A ⊆B2.(2013课标全国Ⅰ,理2)若复数z 满足(3-4i)z =|4+3i|,则z 的虚部为( ).A .-4B .45-C .4D .45 3.(2013课标全国Ⅰ,理3)为了解某地区的中小学生的视力情况,拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查,事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异,而男女生视力情况差异不大.在下面的抽样方法中,最合理的抽样方法是( ).A .简单随机抽样B .按性别分层抽样C .按学段分层抽样D .系统抽样4.(2013课标全国Ⅰ,理4)已知双曲线C :2222=1x y a b-(a >0,b >0)的离心率为52,则C 的渐近线方程为( ).A .y =14x ±B .y =13x ±C .y =12x± D .y =±x5.(2013课标全国Ⅰ,理5)执行下面的程序框图,如果输入的t ∈[-1,3],则输出的s 属于( ).A .[-3,4]B .[-5,2]C .[-4,3]D .[-2,5]6.(2013课标全国Ⅰ,理6)如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高8 cm ,将一个球放在容器口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm ,如果不计容器的厚度,则球的体积为( ).A .500π3cm3B .866π3cm3C .1372π3cm3D .2048π3cm37.(2013课标全国Ⅰ,理7)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若S m -1=-2,S m =0,S m +1=3,则m =( ).A .3B .4C .5D .68.(2013课标全国Ⅰ,理8)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( ).A .16+8πB .8+8πC .16+16πD .8+16π9.(2013课标全国Ⅰ,理9)设m 为正整数,(x +y )2m 展开式的二项式系数的最大值为a ,(x +y )2m +1展开式的二项式系数的最大值为b .若13a =7b ,则m =( ).A .5B .6C .7D .8 10.(2013课标全国Ⅰ,理10)已知椭圆E :2222=1x y a b+(a >b >0)的右焦点为F (3,0),过点F 的直线交E 于A ,B 两点.若AB 的中点坐标为(1,-1),则E 的方程为( ).A .22=14536x y +B .22=13627x y +C .22=12718x y + D .22=1189x y +11.(2013课标全国Ⅰ,理11)已知函数f (x )=220ln(1)0.x x x x x ⎧-+≤⎨+>⎩,,,若|f (x )|≥ax ,则a 的取值范围是( ).A .(-∞,0]B .(-∞,1]C .[-2,1]D .[-2,0]12.(2013课标全国Ⅰ,理12)设△A n B n C n 的三边长分别为a n ,b n ,c n ,△A n B n C n 的面积为S n ,n =1,2,3,….若b 1>c 1,b 1+c 1=2a 1,a n +1=a n ,b n +1=2n n c a +,c n +1=2n n b a +,则( ). A .{Sn}为递减数列 B .{Sn}为递增数列C .{S2n -1}为递增数列,{S2n}为递减数列D .{S2n -1}为递减数列,{S2n}为递增数列第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题,每个试题考生都必须做答.第(22)题~第(24)题为选考题,考生根据要求做答.二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.13.(2013课标全国Ⅰ,理13)已知两个单位向量a ,b 的夹角为60°,c =ta +(1-t )b .若b ·c =0,则t =__________.14.(2013课标全国Ⅰ,理14)若数列{an}的前n 项和2133n n S a =+,则{an}的通项公式是an =_______.15.(2013课标全国Ⅰ,理15)设当x =θ时,函数f(x)=sin x -2cos x 取得最大值,则cos θ=__________.16.(2013课标全国Ⅰ,理16)若函数f(x)=(1-x2)(x2+ax +b)的图像关于直线x =-2对称,则f(x)的最大值为__________.三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.(2013课标全国Ⅰ,理17)(本小题满分12分)如图,在△ABC 中,∠ABC =90°,ABBC =1,P 为△ABC 内一点,∠BPC =90°.(1)若PB =12,求PA ; (2)若∠APB =150°,求tan ∠PBA.18.(2013课标全国Ⅰ,理18)(本小题满分12分)如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB,AB=AA1,∠BAA1=60°.(1)证明:AB⊥A1C;(2)若平面ABC⊥平面AA1B1B,AB=CB,求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值.19.(2013课标全国Ⅰ,理19)(本小题满分12分)一批产品需要进行质量检验,检验方案是:先从这批产品中任取4件作检验,这4件产品中优质品的件数记为n.如果n=3,再从这批产品中任取4件作检验,若都为优质品,则这批产品通过检验;如果n=4,再从这批产品中任取1件作检验,若为优质品,则这批产品通过检验;其他情况下,这批产品都不能通过检验.假设这批产品的优质品率为50%,即取出的每件产品是优质品的概率都为12,且各件产品是否为优质品相互独立.(1)求这批产品通过检验的概率;(2)已知每件产品的检验费用为100元,且抽取的每件产品都需要检验,对这批产品作质量检验所需的费用记为X(单位:元),求X的分布列及数学期望.20.(2013课标全国Ⅰ,理20)(本小题满分12分)已知圆M:(x+1)2+y2=1,圆N:(x-1)2+y2=9,动圆P与圆M外切并且与圆N内切,圆心P的轨迹为曲线C.(1)求C的方程;(2)l是与圆P,圆M都相切的一条直线,l与曲线C交于A,B两点,当圆P的半径最长时,求|AB|. 21.(2013课标全国Ⅰ,理21)(本小题满分12分)设函数f(x)=x2+ax+b,g(x)=e x(cx+d).若曲线y =f(x)和曲线y=g(x)都过点P(0,2),且在点P处有相同的切线y=4x+2.(1)求a,b,c,d的值;(2)若x≥-2时,f(x)≤kg(x),求k的取值范围.请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题做答.注意:只能做所选定的题目.如果多做,则按所做的第一个题目计分,做答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.22.(2013课标全国Ⅰ,理22)(本小题满分10分)选修4—1:几何证明选讲如图,直线AB为圆的切线,切点为B,点C在圆上,∠ABC的角平分线BE交圆于点E,DB垂直BE交圆于点D.(1)证明:DB=DC;(2)设圆的半径为1,BC,延长CE交AB于点F,求△BCF外接圆的半径.23.(2013课标全国Ⅰ,理23)(本小题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程已知曲线C1的参数方程为45cos,55sinx ty t=+⎧⎨=+⎩(t为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ=2sin θ.(1)把C1的参数方程化为极坐标方程;(2)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π).24.(2013课标全国Ⅰ,理24)(本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲:已知函数f(x)=|2x-1|+|2x +a|,g(x)=x+3.(1)当a=-2时,求不等式f(x)<g(x)的解集;(2)设a>-1,且当x∈1,22a⎡⎫-⎪⎢⎣⎭时,f(x)≤g(x),求a的取值范围.2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(全国卷I 新课标)第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.答案:B解析:∵x (x -2)>0,∴x <0或x >2.∴集合A 与B 可用图象表示为:由图象可以看出A ∪B =R ,故选B.2.答案:D解析:∵(3-4i)z =|4+3i|, ∴55(34i)34i 34i (34i)(34i)55z +===+--+. 故z 的虚部为45,选D. 3.答案:C解析:因为学段层次差异较大,所以在不同学段中抽取宜用分层抽样.4.答案:C解析:∵c e a ==,∴22222254c a b e a a +===. ∴a 2=4b 2,1=2b a ±. ∴渐近线方程为12b y x x a =±±.5.答案:A解析:若t ∈[-1,1),则执行s =3t ,故s ∈[-3,3).若t ∈[1,3],则执行s =4t -t 2,其对称轴为t =2.故当t =2时,s 取得最大值4.当t =1或3时,s 取得最小值3,则s ∈[3,4].综上可知,输出的s ∈[-3,4].故选A.6.答案:A解析:设球半径为R ,由题可知R ,R -2,正方体棱长一半可构成直角三角形,即△OBA 为直角三角形,如图.BC =2,BA =4,OB =R -2,OA =R ,由R 2=(R -2)2+42,得R =5, 所以球的体积为34500π5π33=(cm 3),故选A. 7.答案:C解析:∵S m -1=-2,S m =0,S m +1=3,∴a m =S m -S m -1=0-(-2)=2,a m +1=S m +1-S m =3-0=3.∴d =a m +1-a m =3-2=1.∵S m =ma 1+12m m (-)×1=0,∴112m a -=-. 又∵a m +1=a 1+m ×1=3,∴132m m --+=. ∴m =5.故选C.8.答案:A解析:由三视图可知该几何体为半圆柱上放一个长方体,由图中数据可知圆柱底面半径r =2,长为4,在长方体中,长为4,宽为2,高为2,所以几何体的体积为πr 2×4×12+4×2×2=8π+16.故选A. 9.答案:B解析:由题意可知,a =2C m m ,b =21C m m +,又∵13a =7b ,∴2!21!13=7!!!1!m m m m m m ()(+)⋅⋅(+), 即132171m m +=+.解得m =6.故选B. 10.答案:D解析:设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),∵A ,B 在椭圆上, ∴2211222222221,1,x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩①② ①-②,得1212121222=0x x x x y y y y a b(+)(-)(+)(-)+, 即2121221212=y y y y b a x x x x (+)(-)-(+)(-), ∵AB 的中点为(1,-1),∴y 1+y 2=-2,x 1+x 2=2, 而1212y y x x --=k AB =011=312-(-)-,∴221=2b a . 又∵a 2-b 2=9,∴a 2=18,b 2=9. ∴椭圆E 的方程为22=1189x y +.故选D. 11.答案:D解析:由y =|f (x )|的图象知:①当x >0时,y =ax 只有a ≤0时,才能满足|f (x )|≥ax ,可排除B ,C.②当x ≤0时,y =|f (x )|=|-x 2+2x |=x 2-2x .故由|f (x )|≥ax 得x 2-2x ≥ax .当x =0时,不等式为0≥0成立.当x <0时,不等式等价于x -2≤a .∵x -2<-2,∴a ≥-2.综上可知:a ∈[-2,0].12.答案:B第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题,每个试题考生都必须做答.第(22)题~第(24)题为选考题,考生根据要求做答.二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.13.答案:2解析:∵c =t a +(1-t )b ,∴b ·c =t a ·b +(1-t )|b |2.又∵|a |=|b |=1,且a 与b 夹角为60°,b ⊥c ,∴0=t |a ||b |cos 60°+(1-t ),0=12t +1-t . ∴t =2.14.答案:(-2)n -1解析:∵2133n n S a =+,① ∴当n ≥2时,112133n n S a --=+.② ①-②,得12233n n n a a a -=-, 即1n n a a -=-2. ∵a 1=S 1=12133a +, ∴a 1=1.∴{a n }是以1为首项,-2为公比的等比数列,a n =(-2)n -1.15.答案:5- 解析:f (x )=sin x -2cos xx x ⎫⎪⎭, 令cos αsin α=- 则f (x )α+x ),当x =2k π+π2-α(k ∈Z )时,sin(α+x )有最大值1,f (x )即θ=2k π+π2-α(k ∈Z ), 所以cos θ=πcos 2π+2k α⎛⎫- ⎪⎝⎭=πcos 2α⎛⎫- ⎪⎝⎭=sin α==. 16.答案:16解析:∵函数f (x )的图像关于直线x =-2对称,∴f (x )满足f (0)=f (-4),f (-1)=f (-3),即15164,0893,b a b a b =-(-+)⎧⎨=-(-+)⎩解得8,15.a b =⎧⎨=⎩∴f (x )=-x 4-8x 3-14x 2+8x +15.由f ′(x )=-4x 3-24x 2-28x +8=0,得x 1=-2x 2=-2,x 3=-2易知,f (x )在(-∞,-2)上为增函数,在(-22)上为减函数,在(-2,-2上为增函数,在(-2∴f (-2=[1-(-22][(-22+8(-2)+15]=(-8--=80-64=16.f (-2)=[1-(-2)2][(-2)2+8×(-2)+15]=-3(4-16+15)=-9.f (-2)=[1-(-22][(-22+8(-2+15]=(-8++=80-64=16.故f (x )的最大值为16.三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.解:(1)由已知得∠PBC =60°,所以∠PBA =30°.在△PBA 中,由余弦定理得PA 2=11732cos 30424+-︒=.故PA . (2)设∠PBA =α,由已知得PB =sin α.在△PBA 中,由正弦定理得sin sin150sin(30)αα=︒︒-,cos α=4sin α.所以tan α=4,即tan ∠PBA =4. 18.(1)证明:取AB 的中点O ,连结OC ,OA 1,A 1B .因为CA =CB ,所以OC ⊥AB .由于AB =AA 1,∠BAA 1=60°,故△AA 1B 为等边三角形,所以OA 1⊥AB .因为OC ∩OA 1=O ,所以AB ⊥平面OA 1C .又A 1C ⊂平面OA 1C ,故AB ⊥A 1C .(2)解:由(1)知OC ⊥AB ,OA 1⊥AB .又平面ABC ⊥平面AA 1B 1B ,交线为AB ,所以OC ⊥平面AA 1B 1B ,故OA ,OA 1,OC 两两相互垂直.以O 为坐标原点,OA 的方向为x 轴的正方向,|OA |为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系O -xyz .由题设知A (1,0,0),A 1(0,3,0),C (0,0,B (-1,0,0).则BC =(1,0,1BB =1AA =(-1,0),1AC =(0,. 设n =(x ,y ,z )是平面BB 1C 1C 的法向量,2013 全国新课标卷1理科数学 第11页 则10,0,BC BB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n即0,30.x x y ⎧=⎪⎨-+=⎪⎩可取n =1,-1).故cos 〈n ,1AC 〉=11A CA C ⋅n n =5-. 所以A 1C 与平面BB 1C 1C 所成角的正弦值为5. 19.解:(1)设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A 1,第一次取出的4件产品全是优质品为事件A 2,第二次取出的4件产品都是优质品为事件B 1,第二次取出的1件产品是优质品为事件B 2,这批产品通过检验为事件A ,依题意有A =(A 1B 1)∪(A 2B 2),且A 1B 1与A 2B 2互斥,所以 P (A )=P (A 1B 1)+P (A 2B 2)=P (A 1)P (B 1|A 1)+P (A 2)P (B 2|A 2) =41113161616264⨯+⨯=. (2)X 可能的取值为400,500,800,并且 P (X =400)=41111161616--=,P (X =500)=116,P (X =800)=14. 所以X 的分布列为EX =1111400+500+80016164⨯⨯⨯=506.25. 20.解:由已知得圆M 的圆心为M (-1,0),半径r 1=1;圆N 的圆心为N (1,0),半径r 2=3.设圆P 的圆心为P (x,y ),半径为R .(1)因为圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切,所以|PM |+|PN |=(R +r 1)+(r 2-R )=r 1+r 2=4.由椭圆的定义可知,曲线C 是以M ,N 为左、右焦点,长半轴长为2的椭圆(左顶点除外),其方程为22=143x y +(x ≠-2). (2)对于曲线C上任意一点P (x ,y ),由于|PM |-|PN |=2R -2≤2,所以R ≤2,当且仅当圆P 的圆心为(2,0)时,R =2.所以当圆P 的半径最长时,其方程为(x -2)2+y 2=4.若l 的倾斜角为90°,则l 与y 轴重合,可得|AB |=若l的倾斜角不为90°,由r 1≠R 知l 不平行于x 轴,设l 与x 轴的交点为Q ,则1||||QP R QM r =,可求得Q (-4,0),所以可设l :y=k (x +4).由l 与圆M , 解得k =当k y x =代入22=143x y +, 并整理得7x 2+8x -8=0,解得x1,2=47-±.所以|AB|2118|7x x-=.当k=|AB|=187.综上,|AB|=|AB|=187.21.解:(1)由已知得f(0)=2,g(0)=2,f′(0)=4,g′(0)=4.而f′(x)=2x+a,g′(x)=e x(cx+d+c),故b=2,d=2,a=4,d+c=4.从而a=4,b=2,c=2,d=2.(2)由(1)知,f(x)=x2+4x+2,g(x)=2e x(x+1).设函数F(x)=kg(x)-f(x)=2k e x(x+1)-x2-4x-2,则F′(x)=2k e x(x+2)-2x-4=2(x+2)(k e x-1).由题设可得F(0)≥0,即k≥1.令F′(x)=0得x1=-ln k,x2=-2.①若1≤k<e2,则-2<x1≤0.从而当x∈(-2,x1)时,F′(x)<0;当x∈(x1,+∞)时,F′(x)>0.即F(x)在(-2,x1)单调递减,在(x1,+∞)单调递增.故F(x)在[-2,+∞)的最小值为F(x1).而F(x1)=2x1+2-21x-4x1-2=-x1(x1+2)≥0.故当x≥-2时,F(x)≥0,即f(x)≤kg(x)恒成立.②若k=e2,则F′(x)=2e2(x+2)(e x-e-2).从而当x>-2时,F′(x)>0,即F(x)在(-2,+∞)单调递增.而F(-2)=0,故当x≥-2时,F(x)≥0,即f(x)≤kg(x)恒成立.③若k>e2,则F(-2)=-2k e-2+2=-2e-2(k-e2)<0.从而当x≥-2时,f(x)≤kg(x)不可能恒成立.综上,k的取值范围是[1,e2].请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题做答.注意:只能做所选定的题目.如果多做,则按所做的第一个题目计分,做答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.22.(1)证明:连结DE,交BC于点G.由弦切角定理得,∠ABE=∠BCE.而∠ABE=∠CBE,故∠CBE=∠BCE,BE=CE.又因为DB⊥BE,所以DE为直径,∠DCE=90°,由勾股定理可得DB=DC.(2)解:由(1)知,∠CDE=∠BDE,DB=DC,故DG是BC的中垂线,所以BG设DE的中点为O,连结BO,则∠BOG=60°.从而∠ABE=∠BCE=∠CBE=30°,所以CF⊥BF,故Rt△BCF.23.解:(1)将45cos,55sinx ty t=+⎧⎨=+⎩消去参数t,化为普通方程(x-4)2+(y-5)2=25,即C1:x2+y2-8x-10y+16=0.2013 全国新课标卷1理科数学第12页2013 全国新课标卷1理科数学 第13页 将cos ,sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入x 2+y 2-8x -10y +16=0得ρ2-8ρcos θ-10ρsin θ+16=0.所以C 1的极坐标方程为ρ2-8ρcos θ-10ρsin θ+16=0.(2)C 2的普通方程为x 2+y 2-2y =0.由2222810160,20x y x y x y y ⎧+--+=⎨+-=⎩ 解得1,1x y =⎧⎨=⎩或0,2.x y =⎧⎨=⎩ 所以C 1与C 2交点的极坐标分别为π4⎫⎪⎭,π2,2⎛⎫ ⎪⎝⎭. 24.解:(1)当a =-2时,不等式f (x )<g (x )化为|2x -1|+|2x -2|-x -3<0. 设函数y =|2x -1|+|2x -2|-x -3,则y =15,,212,1,236, 1.x x x x x x ⎧-<⎪⎪⎪--≤≤⎨⎪->⎪⎪⎩其图像如图所示.从图像可知,当且仅当x ∈(0,2)时,y <0.所以原不等式的解集是{x |0<x <2}.(2)当x ∈1,22a ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭时,f (x )=1+a . 不等式f (x )≤g (x )化为1+a ≤x +3.所以x ≥a -2对x ∈1,22a ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭都成立. 故2a -≥a -2,即43a ≤. 从而a 的取值范围是41,3⎛⎤- ⎥⎝⎦.。

2013全国高考1卷理科数学试题及答案解析

2013全国高考1卷理科数学试题及答案解析
得: ,直线
切点
直线
坐标原点到 距离的比值为 。
(21)【解析】(1)
例:瓶子里的水渐渐升高了。令 得:
得:
六、看图写话
在 上单调递增
红火——红红火火许多——许许多多来往——来来往往
9、区分以下形近字或音近字:得: 的解析式为
三、词语。且单调递增区间为 ,单调递减区间为
金黄的秋天大大的公园绿色的小伞(2) 得
(8)等轴双曲线 的中心在原点,焦点在 轴上, 与抛物线 的准线交于 两点, ,则 的
实轴长为
(A) (B) (C)4(D)8
(9)已知 ,函数 在 单调递减,则 的取值范围
(A) (B) (C) (D)
(10)已知函数 ,则 的图像大致为
(11)已知三棱锥 的所有顶点都在球 的球面上, 是边长为 的正三角形, 为 的直径,且 ,则此棱锥的体积为
(1)【解析】选
, , , 共10个
(2)【解析】选
甲地由 名教师和 名学生: 种
(3)【解析】选
, , 的共轭复数为 , 的虚部为
(4)【解析】选
是底角为 的等腰三角形
(5)【解析】选
, 或
(6)【解析】选
(7)【解析】选
该几何体是三棱锥,底面是俯视图,高为
此几何体的体积为
(8)【解析】选
设 交 的准线 于
(14)设 满足约束条件 则 的取值范围为__________.
(15)某一部件由三个电子元件按下图方式连接而成,元件1或元件2正常工作,且元件正常工作,则部件正常工作。设三个电子元件的使用寿命(单位:小时)均服从正态分布 ,且各个元件能否正常工作互相独立,那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为_________________.

2013年全国高考数学(理科)试题及答案-新课标1卷(解析版)

2013年全国高考数学(理科)试题及答案-新课标1卷(解析版)

绝密★启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试(新课标I 卷)数学(理科)注意事项:1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分。

答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。

2.回答第Ⅰ卷时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。

写在本试卷上无效。

3.回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。

4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

第I 卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的.(1)已知集合{}022>-=x x x A ,{}55B <<-=x x ,则 (A )A B =ΦI (B )A B =R U (C )A B ⊆ (D )B A ⊆(2)若复数z 满足()i 34i 43+=-z(A )4- (B )54- (C )4 (D )54 (3)为了解某地区中小学生的视力情况,拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查,事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异,而男女生视力情况差异不大.在下面的抽样方法中,最合理的抽样方法是(A )简单的随机抽样 (B )按性别分层抽样(C )按学段分层抽样 (D )系统抽样(4)已知双曲线C :)0,0(12222>>=-b a b y a x 的离心率为25,则C 的渐近线方程为 (A )x y 41±= (B )x y 31±= (C ) x y 21±= (D )x y ±= (5)执行右面的程序框图,如果输入的[]31t ,-∈,则输出的s 属于(A )[]43,- (B )[]25,- (C )[]34,- (D )[]52,-(6)如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高8 cm ,将一个球放在容器口,再向容器注水,当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm ,如不计容器的厚度,则球的体积为(A )3cm 3500π (B )3cm 3866π (C )3cm 31372π (D )3cm 32048π(7)设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若21-=-m S ,0=m S ,31=+m S ,则=m(A )3 (B )4 (C )5 (D )6(8)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为(A )8π16+(B )8π8+(C )π6116+(D )16π8+(9)设m 为正整数,()m y x 2+展开式的二项式系数的最大值为a ,()12++m y x 展开式的二项式系数的最大值为b ,若b a 713=,则m =(A )5 (B )6 (C )7 (D )8(10)已知椭圆E :)0(12222>>=+b a by a x 的右焦点为)03(,F ,过点F 的直线交椭圆E 于A 、B 两点。

2013年高考理科数学全国卷1(含详细答案)

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数学试卷 第1页(共48页)数学试卷 第2页(共48页)数学试卷 第3页(共48页)绝密★启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试(全国新课标卷1)理科数学使用地区:河南、山西、河北注意事项:1.本试题分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,第Ⅰ卷1至3页,第Ⅱ卷3至6页.2.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置.3.全部答案在答题卡上完成,答在本试题上无效.4.考试结束后,将本试题卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合20{}|2A x x x =->,{|55}B x x <<=-,则( )A .AB =R B .A B =∅C .B A ⊆D .A B ⊆ 2.若复数z 满足(34i)|43i|z -=+,则z 的虚部为( )A .4-B .45-C .4D .453.为了解某地区的中小学生视力情况,拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查,事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异,而男女生视力情况差异不大.在下面的抽样方法中,最合理的抽样方法是( )A .简单随机抽样B .按性别分层抽样C .按学段分层抽样D .系统抽样4.已知双曲线C :22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为5,则C 的渐近线方程为 ( )A .14y x =±B .13y x =±C .12y x =±D .y x =±5.执行如图的程序框图,如果输入的[1,3]t ∈-,则输出的s 属于 ( )A .[3,4]-B .[5,2]-C .[4,3]-D .[2,5]-6.如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高8cm ,将一个球放在容器口,再向容器内注水,当球 面恰好接触水面时测得水深为6cm ,如果不计容器的 厚度,则球的体积为( )A .3866πcm 3 B .3500πcm 3 C .31372πcm 3D .32048πcm 37.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,12m S -=-,0m S =,13m S +=,则m =( )A .3B .4C .5D .68.某几何体的三视图如图所示,则该几何的体积为 ( ) A .168π+ B .88π+ C .1616π+ D .816π+9.设m 为正整数,2()m x y +展开式的二项式系数的最大值为a ,21()m x y ++展开式的二项式系数的最大值为b .若137a b =,则m =( )A .5B .6C .7D .810.已知椭圆E :22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点为(3,0)F ,过点F 的直线交E 于A ,B 两点.若AB 的中点坐标为(1,1)-,则E 的方程为( )A .2214536x y += B .2213627x y += C .2212718x y += D .221189x y += 11.已知函数22,0,()ln(1),0.x x x f x x x ⎧-+=⎨+>⎩≤若|()|f x ax ≥,则a 的取值范围是 ( )A .(,1]-∞B .(,0]-∞C .[2,1]-D .[2,0]-12.设n n n A B C △的三边长分别为n a ,n b ,n c ,n n n A B C △的面积为n S ,1,2,3,n =.若11b c >,1112b c a +=,1n n a a +=,12n n n c a b ++=,12n nn b a c ++=,则( )A .{}n S 为递增数列B .{}n S 为递减数列C .21{}n S -为递增数列,2{}n S 为递减数列D .21{}n S -为递减数列,2{}n S 为递增数列第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22题~第24题为选考题,考生根据要求作答. 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.13.已知两个单位向量a ,b 的夹角为60,(1)t t =+-c a b .若0=b c ,则t =________.14.若数列{}n a 的前n 项和2133n n S a =+,则{}n a 的通项公式是n a =________. 15.设当x θ=时,函数()sin 2cos f x x x =-取得最大值,则cos θ=________.16.设函数22()(1)()f x x x ax b =-++的图象关于直线2x =-对称,则()f x 的最大值为________.三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分12分)如图,在ABC △中,90ABC ∠=,3AB =,1BC =,P 为ABC △内一点,90BPC ∠=.(Ⅰ)若12PB =,求PA ; (Ⅱ)若150APB ∠=,求tan PBA ∠.--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------姓名________________ 准考证号_____________数学试卷 第4页(共48页)数学试卷 第5页(共48页) 数学试卷 第6页(共48页)18.(本小题满分12分)如图,三棱柱111ABC A B C -中,CA CB =,1AB AA =,160BAA ∠=. (Ⅰ)证明:1AB AC ⊥; (Ⅱ)若平面ABC ⊥平面11AA B B ,AB CB =,求直线1A C 与平面11BB C C 所成角的正弦值.19.(本小题满分12分)一批产品需要进行质量检验,检验方案是:先从这批产品中任取4件作检验,这4件产品中优质品的件数记为n .如果3n =,再从这批产品中任取4件作检验,若都为优质品,则这批产品通过检验;如果4n =,再从这批产品中任取1件作检验,若为优质品,则这批产品通过检验;其他情况下,这批产品都不能通过检验.假设这批产品的优质品率为50%,即取出的每件产品是优质品的概率都为12,且各件产品是否为优质品相互独立. (Ⅰ)求这批产品通过检验的概率;(Ⅱ)已知每件产品检验费用为100元,且抽取的每件产品都需要检验,对这批产品作质量检验所需的费用记为X (单位:元),求X 的分布列及数学期望.20.(本小题满分12分)已知圆M :22(1)1x y ++=,圆N :22(1)9x y -+=,动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切,圆心P 的轨迹为曲线C . (Ⅰ)求C 的方程;(Ⅱ)l 是与圆P ,圆M 都相切的一条直线,l 与曲线C 交于A ,B 两点,当圆P 的半径最长时,求||AB .21.(本小题满分12分)设函数2()f x x ax b =++,()e ()xg x cx d =+.若曲线()y f x =和曲线()y g x =都过点(0,2)P ,且在点P 处有相同的切线42y x =+.(Ⅰ)求a ,b ,c ,d 的值;(Ⅱ)若2x -≥时,()()f x kg x ≤,求k 的取值范围.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答.注意:只能做所选定的题目.如果多做,则按所做的第一个题目计分,作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑. 22.(本小题满分10分)选修4—1:几何证明选讲如图,直线AB 为圆的切线,切点为B ,点C 在圆上,ABC ∠的角平分线BE 交圆于点E ,DB 垂直BE 交圆于点D .(Ⅰ)证明:DB DC =;(Ⅱ)设圆的半径为1,3BC =,延长CE 交AB 于点F ,求BCF △外接圆的半径.23.(本小题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程已知曲线1C 的参数方程为45cos ,55sin x t y t =+⎧⎨=+⎩(t 为参数),以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线2C 的极坐标方程为2sin ρθ=. (Ⅰ)把1C 的参数方程化为极坐标方程; (Ⅱ)求1C 与2C 交点的极坐标(0,02π)ρθ≥≤<.24.(本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲已知函数()|21||2|f x x x a =-++,()3g x x =+. (Ⅰ)当2a =-时,求不等式()()f x g x <的解集;(Ⅱ)设1a ->,且当1[,)22a x ∈-时,()()f x g x ≤,求a 的取值范围.=|2A B x{A B=R,故选【提示】根据一元二次不等式的解法,求出集合,再根据的定义求出A B和A B.【考点】并集及其运算,一元二次不等式的解法【答案】D4i)34=+,故z的虚部等于i553/ 16故选A.=,解得1)1245 / 16故选A .(2)(2+1)7!!!(+1)!m m m m m m =⨯,即13,再利用组合数的计算公式,解方程综上可知:[,0]2a∈-.(步骤4)67 / 16【提示】由1n n a a +=可知n n n A B C △的边n n B C 为定值1a ,由111112(2)2n n n n b c a b c a +++=+--及1112b c a +=得12n n b c a +=,则在n n n A B C △中边长1n n B C a =为定值,另两边n n n n A C A B 、的长度之和12n n b c a +=为定值,由此可知顶点n A 在以n n B C 、为焦点的椭圆上,根据111()2n n n n b c b c ++=---,得1111()2n n n b c b c -⎛⎫=- ⎪⎝⎭-,可知n →+∞时n n b c →,据此可判断n n n A B C △的边n n B C 的高n h 随着n 的增大而增大,再由三角形面积公式可得到答案. 【答案】2t =【解析】∵(1)c ta t b =-+,∴2(+1)||b t b ab t =-.(步骤又∵||||1a b ==,且a 与b 夹角为60,b c ⊥,∴0|cos6|||0+t a b =︒2【提示】由于0b c =,对式子(1)c ta t b =-+两边与b 作数量积可得|cos6|||0+a b ︒【考点】平面向量的数量积.85)(22,--+)(25,-+5)单调递增,在5)2-+单调递增,在9 / 161OCOA O =,所以1OAC 平面两两相互垂直.为坐标原点,OA的方向为|OA|为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系则(1,0,BC=,11(1,BB AA==-,(0,3,AC=-设,,()n x y z=10,0,n BCn BB⎧=⎪⎨=⎪⎩即可取,1(3,n=-10cos,5||||n ACn ACn AC=-〈〉=BB1C1C所成角的正弦值为51111得1AB AC⊥;(Ⅱ)易证OA,1OA,OC两两垂直.以O为坐标原点,OA的方向为x轴的正向,||OA为单位长,建立坐标系,可得BC,1BB,AC的坐标,设,,()n x y z=10,0,n BCn BB⎧=⎪⎨=⎪⎩,可解得,1(3,n=-,n AC〈〉,即为所求正弦值.1011 / 1622)()A B ,411161616⨯+1【提示】(Ⅰ)设动圆的半径为R ,由已知动圆P 与圆M 外切并与圆N 内切,可得1212()()|+|+++4PM PN R r r R r r ==-=||,而||2NM =,由椭圆的定义可知:动点P 的轨迹是以M ,N 为焦点,4为长轴长的椭圆,求出即可;(Ⅱ)设曲线C 上任意一点,()P x y ,由于||2222PM PN R ≤|-|=-,所以2R ≤,当且仅当圆P 的圆心为所以可设l :4)+(y k x =,与椭圆的方程联立,得到根与系数的关系利用弦长公式即可得出.【考点】圆的标准方程及其性质,椭圆的的定义及其几何性质,直线与双曲线的位置关系.21.【答案】(Ⅰ)4a =2b =2c =2d =(Ⅱ)2[1,]e【解析】(Ⅰ)由已知得(0)2f =,(0)2g =,(0)4f '=,(0)4g '=.(步骤1)而+()2f x x a =',((+))+x g x e cx d c '=,故2b =,2d =,4a =,+4d c =.(步骤2)从而4a =,2b =,2c =,2d =.(步骤3)13 / 16(Ⅱ)由(Ⅰ)知,2()+4+2f x x x =,()21)+(x g x e x =.设函数2()()()2()+142x F x kg x f x ke x x x =-=---,则()2+()2242+1(2())x x F x ke x x x ke '=--=-.由题设可得(0)0F ≥,即1k ≥(步骤4)令()0F x '=得1ln x k =-,22x -=.(步骤5)①若21k e ≤<,则120x <≤-.从而当12(),x x ∈-时,()0F x '<;当1(),+x x ∈∞时,()0F x '>.即()F x 在1()2,x -单调递减,在1(),+x ∞单调递增.故()F x 在[)2,+-∞的最小值为1()F x .(步骤6)而1111211()2+24+0)22(F x x x x x x =--=-≥-.故当2x ≥-时,()0F x ≥,即()()f kg x x ≤恒成立.(步骤7)②若2k e =,则2222+()()()2x F e x e e x -'=-.从而当2x >-时,)0(F x '>,即F (x )在()2,+-∞单调递增.而()20F -=,故当2x ≥-时,()0F x ≥,即()()f kg x x ≤恒成立.(步骤8)③若2k e >,则22222+220()()F ke e k e ---=-=-<-.从而当2x ≥-时,()()f kg x x ≤不可能恒成立.综上,k 的取值范围是2[1,]e .(步骤9)【提示】(Ⅰ)对()f x ,()g x 进行求导,已知在交点处有相同的切线及曲线()y f x =和曲线()y g x =都过点(0,2)P ,从而解出a ,b ,c ,d 的值;(Ⅱ)由(Ⅰ)得出()f x ,()g x 的解析式,再求出()F x 及它的导函数,通过对k 的讨论,判断出()F x 的90,由勾股定理可得,故DG 60.30,所以CF ⊥BF ,故60.从而30.得到15 / 16【提示】(Ⅰ)对于曲线1C 利用三角函数的平方关系式22sin cos 1t t +=即可得到圆1C 的普通方程;再利用极坐标与直角坐标的互化公式即可得到1C 的极坐标方程;(Ⅱ)先求出曲线2C 的极坐标方程;再将两圆的方程联立求出其交点坐标,最后再利用极坐标与直角坐标3⎝⎦21||23|2|x x y x +-=---,画出函数y 的图象,数形结合可得结论.。

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绝密★启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅰ卷)数 学(理科)一、 选择题共12小题。

每小题5分,共60分。

在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的一项。

1、已知集合A={x |x 2-2x >0},B={x |-5<x <5},则 ( ) A 、A∩B=∅B 、A ∪B=RC 、B ⊆AD 、A ⊆B【命题意图】本题主要考查一元二次不等式解法、集合运算及集合间关系,是容易题. 【解析】A=(-∞,0)∪(2,+∞), ∴A ∪B=R,故选B.2、若复数z 满足错误!未找到引用源。

(3-4i)z =|4+3i |,则z 的虚部为()A 、-4(B )-45错误!未找到引用源。

(C )4(D )45【命题意图】本题主要考查复数的概念、运算及复数模的计算,是容易题.【解析】由题知z =|43|34i i +-==3455i+,故z 的虚部为45,故选D.3、为了解某地区的中小学生视力情况,拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查,事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异,而男女生视力情况差异不大,在下面的抽样方法中,最合理的抽样方法是 ( )A 、简单随机抽样B 、按性别分层抽样错误!未找到引用源。

C 、按学段分层抽样D 、系统抽样【命题意图】本题主要考查分层抽样方法,是容易题.【解析】因该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异,故最合理的抽样方法是按学段分层抽样,故选C.4、已知双曲线C :22221x y a b -=(0,0a b >>)的离心率为2,则C 的渐近线方程为A .14y x =± B .13y x =± C .12y x=± D .y x =± 【命题意图】本题主要考查双曲线的几何性质,是简单题.【解析】由题知,52c a=,即54=22c a =222a b a +,∴22b a =14,∴b a =12±,∴C 的渐近线方程为12y x=±,故选C . 5、运行如下程序框图,如果输入的[1,3]t ∈-,则输出s 属于A .[-3,4]B .[-5,2]C .[-4,3]D .[-2,5]【命题意图】本题主要考查程序框图及分段函数值域求法,是简单题.【解析】有题意知,当[1,1)t ∈-时,3s t =[3,3)∈-,当[1,3]t ∈时,24s t t =-[3,4]∈,∴输出s 属于[-3,4],故选A .6、如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高8cm ,将一个球放在容器口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为6cm ,如果不计容器的厚度,则球的体积为 ( ) A 、500π3cm3B 、866π3cm3错误!未找到引用源。

C 、1372π3cm3D 、2048π3cm3【命题意图】本题主要考查球的截面圆性质、球的体积公式,是容易题.【解析】设球的半径为R ,则由题知球被正方体上面截得圆的半径为4,球心到截面圆的距离为R-2,则222(2)4R R =-+,解得R=5,∴球的体积为3453π⨯=500π33cm ,故选A. 7、设等差数列{an}的前n 项和为Sn ,1m S -=-2,mS =0,1m S +=3,则m = ( )A 、3B 、4错误!未找到引用源。

C 、5D 、6【命题意图】本题主要考查等差数列的前n 项和公式及通项公式,考查方程思想,是容易题.【解析】有题意知m S =1()2m m a a +=0,∴1a =-m a =-(m S -1m S -)=-2,1m a +=1m S +-mS =3,∴公差d =1m a +-ma =1,∴3=1m a +=-2m +,∴m =5,故选C.8、某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为A .168π+B .88π+C .1616π+D .816π+【命题意图】本题主要考查简单组合体的三视图及简单组合体体积公式,是中档题.【解析】由三视图知,该几何体为放到的半个圆柱底面半径为2高为4,上边放一个长为4宽为2高为2长方体,故其体积为21244222π⨯⨯+⨯⨯ =168π+,故选A .9、设m 为正整数,2()m x y +展开式的二项式系数的最大值为a ,21()m x y ++展开式的二项式系数的最大值为b ,若13a =7b ,则m = ( ) A 、5B 、6错误!未找到引用源。

C 、7D 、8【命题意图】本题主要考查二项式系数最大值及组合数公式,考查方程思想,是容易题.【解析】由题知a =2m m C ,b =121m m C ++,∴132m m C =7121m m C ++,即13(2)!!!m m m ⨯=7(21)!(1)!!m m m ⨯++, 解得m =6,故选B.10、已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F(3,0),过点F 的直线交椭圆于A 、B 两点。

若AB 的中点坐标为(1,-1),则E 的方程为 ( )A 、x245+y236=1B 、x236+y227=1错误!未找到引用源。

C 、x227+y218=1D 、x218+y29=1 【命题意图】本题主要考查椭圆中点弦的问题,是中档题. 【解析】设1122(,),(,)A x yB x y ,则12x x +=2,12y y +=-2,2211221x y a b += ① 2222221x y a b += ②①-②得1212121222()()()()0x x x x y y y y a b +-+-+=,∴AB k =1212y y x x --=212212()()b x x a y y +-+=22b a ,又AB k =0131+-=12,∴22b a =12,又9=2c =22a b -,解得2b =9,2a =18,∴椭圆方程为221189x y +=,故选D.11、已知函数()f x =22,0ln(1),0x x x x x ⎧-+≤⎨+>⎩,若|()f x |≥ax ,则a 的取值范围是 A .(,0]-∞ B .(,1]-∞ C .[-2,1] D .[-2,0]【命题意图】本题主要考查函数不等式恒成立求参数范围问题的解法,是难题。

【解析】∵|()f x |=22,0ln(1),0x x x x x ⎧-≤⎨+>⎩,∴由|()f x |≥ax 得,202x x x ax ≤⎧⎨-≥⎩且0ln(1)x x ax >⎧⎨+≥⎩, 由22x x x ax ≤⎧⎨-≥⎩可得2a x ≥-,则a ≥-2,排除A,B, 当a =1时,易证ln(1)x x +<对0x >恒成立,故a =1不适合,排除C ,故选D. 12、设△AnBnCn 的三边长分别为an,bn,cn ,△AnBnCn 的面积为Sn ,n=1,2,3,… 若b1>c1,b1+c1=2a1,an +1=an ,bn +1=cn +an 2,cn +1=bn +an2,则( )A 、{Sn}为递减数列B 、{Sn}为递增数列错误!未找到引用源。

C 、{S2n -1}为递增数列,{S2n}为递减数列D 、{S2n -1}为递减数列,{S2n}为递增数列 【命题意图】 【解析】B第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两个部分。

第(13)题-第(21)题为必考题,每个考生都必须作答。

第(22)题-第(24)题为选考题,考生根据要求作答。

二.填空题:本大题共四小题,每小题5分。

13、已知两个单位向量a ,b 的夹角为60°,c =t a +(1-t)b ,若b ·c =0,则t =_____. 【命题意图】本题主要考查平面向量的数量积,是容易题. 【解析】b c =[(1)]t t •+-b a b =2(1)t t •+-a b b =112t t +-=112t -=0,解得t =2. 14、若数列{n a }的前n 项和为S n =2133n a +,则数列{n a }的通项公式是n a =______. 【命题意图】本题主要考查等比数列定义、通项公式及数列第n 项与其前n 项和的关系,是容易题.【解析】当n =1时,1a =1S =12133a +,解得1a =1, 当n ≥2时,n a =1n n S S --=2133n a +-(12133n a -+)=12233n n a a --,即n a =12n a --,∴{n a }是首项为1,公比为-2的等比数列,∴n a =1(2)n --.15、设当x =θ时,函数f (x )=sin x -2cos x 取得最大值,则cosθ=______【命题意图】本题主要考查逆用两角和与差公式、诱导公式、及简单三角函数的最值问题,是难题.【解析】∵()f x =sin 2cos x x -=5255(sin cos )55x x - 令cos ϕ=55,25sin 5ϕ=-,则()f x =5(sin cos sin cos )x x ϕϕ+=5sin()x ϕ+, 当x ϕ+=2,2k k z ππ+∈,即x =2,2k k z ππϕ+-∈时,()f x 取最大值,此时θ=2,2k k z ππϕ+-∈,∴cos θ=cos(2)2k ππϕ+-=sin ϕ=255-. 16、若函数()f x =22(1)()x x ax b -++的图像关于直线x =-2对称,则()f x 的最大值是______.【命题意图】本题主要考查函数的对称性及利用导数求函数最值,是难题. 【解析】由()f x 图像关于直线x =-2对称,则 0=(1)(3)f f -=-=22[1(3)][(3)3]a b ----+,0=(1)(5)f f =-=22[1(5)][(5)5]a b ----+,解得a =8,b =15, ∴()f x =22(1)(815)x x x -++,∴()f x '=222(815)(1)(28)x x x x x -+++-+=324(672)x x x -++-=4(2)(25)(25)x x x -++++-当x ∈(-∞,25--)∪(-2, 25-+)时,()f x '>0, 当x ∈(25--,-2)∪(25-+,+∞)时,()f x '<0,∴()f x 在(-∞,25--)单调递增,在(25--,-2)单调递减,在(-2,25-+)单调递增,在(25-+,+∞)单调递减,故当x =25--和x =25-+时取极大值,(25)f --=(25)f -+=16.三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。

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