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]. 一定可以把 ， 作这样的分解：
=， =，
使得
(,) =1, = .
由性质5-7知
m(a)=， m(b)=.
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这样, 由性质5-8推出
m(a b)=m(a)m(b)== . 因此， 取c =a b就满足了要求，证毕.
根,简称m的原根。 例：当m = 1时，所有整数的指数均为1，且 均为原根。 当m = 7时，因为 21 2，22 4，23 1 (mod 7)，
所以7(2) = 3。
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又因为31 3，32 2，33 6，34 4， 35 5，36 1 (mod 7)，
g0, g1, …, g(m) 1构成模m的简化剩余系。
性质5-6 设a -1是a 对模m的逆，即a -1 a 1 (mod m). 我们有
m(a -1) =m(a).
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证明：这由a d 1 (mod m)成立的充要条件是 (a -1)d 1 (mod m)立即推出.
(5-5)
解答 记 = mn(a)， = [m(a), n(a)]，
由例5-3有
m(a)，n(a) 。
(5-6)
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又由
a 1 (mod m)，a 1 (mod n)
得到
a 1 (mod mn)。 因此，由性质5-1及性质5-4，有 。由此及
因而由性质5-2推出
m1m2(a) | *. 所以式(5-4)成立. 证毕.
性质5-10 设(m1, m2) =1. 那末, 对任意的a1, a2 , 必有a使得
m1m2(a)=[ m1(a1), m2(a2) ].
证明：考虑同余方程组 x a1 (mod m1), x a2 (mod m2). 由孙子定理知，这同余方程组有唯一解：
因而由性质5-2得
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| k * , *| .
由第一式得
= / (, k) | k * / (, k), 因而 | *, 所以, *| , 即式(5-3)成立. 当(k, m(a) )=1时, m(a k)= m(a), 由此及性质
式(5-6)推出式(5-5)。 例题5-5 若(m, n) = 1，a1，a2是任意整数， (a1, m) = (a2, n) = 1，则存在整数a，(a, mn) = 1，使得
mn(a) = [m(a1), n(a2)]。
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解答：设方程组 的解是x a (mod mn)，则(a, mn) = 1， 并且由例5-4可知
例题5-1 求1，2，3，4，5，6对模7的指数。
解答： 根据定义5-1直接计算，得到
7(1) = 1，7(2) = 3，7(3) = 6， 7(4) = 3，7(5) = 6，7(6) = 2。
例5-1中的结果可列表如下： a 123456
7(a) 1 3 6 3 6 2
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即可得出。
例题5-3 若nm，则n(a)m(a)。
解答 由nm及性质5-1及性质5-4有
1 (mod m) 1 (mod n) n(a)m(a)。
例题5-4 若(m, n) = 1，(a, mn) = 1，则
mn(a) = [m(a), n(a)]。
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x a (mod m1m2).
显然有m1 (a)= m1 (a1), m2 (a)= m2
(a2). 由此从性质5-9就推出所要结论. 对于模m来说，不一定有
m (ab)=[ m(a), m(b) ] 成立.
例如：
10 (33) = 2 [ 10(3), 10(3) ] = 4， 10 (37) = 1 [ 10(3), 10(7) ] = 4.
这样的表称为指数表。这个表就是模7的指数 表。 下面是模10的指数表：
a
1379
10(a) 1 4 4 2
例题5-2 若(a, m) = 1，aa 1 (mod m)， 则
m(a) = m(a )。
解答：显然(a , m) = 1。要证明的结论由 a d 1 (mod m) (a ) d 1 (mod m)
必要性 我们有
(ab) 1 (mod m)，
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所以 | . 另一方面显然有 | . 由此及 =就推出=, 即 ( , )=1. 证毕.
性质5-9 (1) 若n | m，则n(a) |m(a)；
(2) 若(m1, m2) =1，则有
5-5就证明了后一部分结论.
性质5-8 m(ab)= m(a) m(b)的充要条件是 (m (a), m(b) )=1.
证明：设 = m(a)， =m(b)， =m(a b), = [ , ].
充分性 我们有
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1(ab) (ab) a (mod m), 所以， |，由此及( , )=1，推出|.
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§5.1指数及其基本性质
知识回顾：
1、 设m > 1，(a, m) = 1，那末，必存在正整 数d使得
ad 1 (mod m).
(5-1)
若d0是使式(5-1)成立的最小正整数d，则对任
意的使(5-1)成立的正整数d，必有
d0 |d 即 d 0 (mod m).
2、对任意的 (a, m) = 1，当d = (m)时式(5-1)
m1m2(a)=[ m1(a), m2(a) ].
证明：(1) 可由性质5-2直接推出.
由(1)即得 *|m1m2(a), 这里 *=[ m1(a), m2(a) ]. 另一方面，显然有a * 1 (mod mj)，j=1,2.
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由此及(m1, m2) =1推出a * 1 (mod m1 m2).
所以7(3) = 6 = (7)，3是模7的原根。
注：以后，在谈到a对模m的指数时，总 假定m > 1，(a, m) = 1。
原根是否存在，以及模的原根有多少个这 两个问题，留待以下几节讨论。这里我们 先讨论指数的基本性质。
性质5-1 若b a(mod m)，(a, m) = 1,
则 m(b) = m(a).
（或阶），记为m(a)，在不致误会的情况下，
简记为(a)。
由Euler定理，当r = (m)时式(2)成立，因
此，恒有m(a) (m)。
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若a b (mod m)，(a, m) = 1，则显然有m(a) = m(b)。
定义5-2 若m(a) = (m)，则称a是模m的原
但有
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10 (39) = 4 = [ 10(3), 10(9) ] = 4， 10 (79) = 4 = [ 10(7), 10(9) ] = 4.
性质5-11 对任意的a, b, 一定存在c, 使得
m (c)=[ m(a), m(b) ].
证明：设 = m(a)， =m(b), = [ ,
mn(a) = [m(a), n(a)] = [m(a1), n(a2)]。
证明 ： 我们用反证法证明。假定有两个整 数 k, l满足下列条件：
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a l a k (mod m)，0 k < l < ,
因为 (a, m) = 1，故得
al-k 1 (mod m)，0 < l - k <. 这与 是a对模m的指数矛盾，所以定理成立。
证毕。 性质5-5说明：若g是模m的原根，则
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性质5-2 若式(1)成立，则有m(a) | d 即 d 0 (mod m(a)).
性质5-3 m(a) | (m), 2l(a) | 2l-2, l≥3.
性质5-4 若(a, m) = 1, ak ah (mod m), 则
k h(mod m(a)). 性质5-5 若a对模m的指数是，则1=a0, a1, … , a 1对模m两两不同余。
性质5-7 设k是非负整数，则有
a), k )
(5-3)
此外，在模m的一个既约剩余系中，至少有 (m(a))个数对模m的指数等于 m(a). 证明：记 = m(a)， = / (, k)， *=m(a
k) 。 由定义知
a k * 1 (mod m), a k 1 (mod m).
必成立。
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对给定的模m，d0 =m(a)是由a唯一确定
的，是a的函数，d0 =m(a)是刻画(与m既约的)
a关于模m的性质的一个十分重要的量。
定义5-1 设m > 1，(a, m) = 1，则使
a r 1 (mod m)
(5-2)
成立的最小的正整数r，称为a对模m的指数
同样，有
1(ab) (ab) b (mod m), 所以，| ，由此及( , )=1，推出|. 进而，由|，|，及 ( , )=1推出 |. 此外，显然有 (ab) 1(mod m), 所以， | . 因此 =.