阶段质量检测(一) 导数及其应用

阶段质量检测（一） 导数及其应用

(时间： 120分钟 满分：150分)

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．若f (x )＝sin α－cos x ，则f ′(x )等于( ) A ．sin x B ．cos x C ．cos α＋sin x

D ．2sin α＋cos x

解析：选A 函数是关于x 的函数，因此sin α是一个常数．

2．以正弦曲线y ＝sin x 上一点P 为切点的切线为直线l ，则直线l 的倾斜角的范围是( )

A.⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎣⎡⎭⎫3π

4，π B ．[0，π) C.⎣⎡⎦⎤π4，3π4

D.⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎝⎛⎦

⎤π2，3π

4 解析：选A y ′＝cos x ，∵cos x ∈[－1,1]，∴切线的斜率范围是[－1,1]，∴倾斜角的范围是⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎣⎡⎭

⎫3π

4，π. 3．函数f (x )的定义域为开区间(a ，b )，导函数f ′(x )在(a ，b )内的图象如图所示，则函数f (x )在开区间(a ，b )内有极小值点( )

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个

解析：选A 设极值点依次为x 1，x 2，x 3且a ＜x 1＜x 2＜x 3＜b ，则f (x )在(a ，x 1)，(x 2，x 3)上递增，在(x 1，x 2)，(x 3，b )上递减，因此，x 1，x 3是极大值点，只有x 2是极小值点．

4．函数f (x )＝x 2－ln x 的单调递减区间是( ) A. ⎝⎛⎦

⎤0， 22 B.

⎣⎡⎭⎫22，＋∞ C. ⎝

⎛⎦⎤－∞，－22，⎝⎛⎭

⎫0， 22 D.⎣⎡

⎭⎫－

22， 0，⎝

⎛⎦⎤0， 22

解析：选A ∵f ′(x )＝2x －1x ＝2x 2－1x ，当0＜x ≤2

2时，f ′(x )≤0，故f (x )的单调递

减区间为⎝⎛

⎦

⎤0，

22. 5．函数f (x )＝3x －4x 3(x ∈[0,1])的最大值是( ) A ．1 B.12 C ．0

D ．－1

解析：选A f ′(x )＝3－12x 2，令f ′(x )＝0， 则x ＝－12(舍去)或x ＝1

2，f (0)＝0，f (1)＝－1，

f ⎝⎛⎭⎫12＝32－1

2＝1，∴f (x )在[0,1]上的最大值为1.

6．函数f (x )＝x 3＋ax 2＋3x －9，已知f (x )在x ＝－3处取得极值，则a ＝( ) A ．2 B ．3 C ．4

D ．5

解析：选D f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋3，∵f ′(－3)＝0. ∴3×(－3)2＋2a ×(－3)＋3＝0，∴a ＝5.

7．函数f (x )＝13ax 3＋12ax 2－2ax ＋1的图象经过四个象限，则实数a 的取值范围是( )

A.⎝⎛⎭⎫－310，6

7 B.⎝⎛⎭⎫－85，－316 C.⎝⎛⎭⎫－83

，－116 D.⎝⎛⎭⎫－∞，－310∪⎝⎛⎭

⎫6

7，＋∞ 解析：选D f ′(x )＝ax 2＋ax －2a ＝a (x ＋2)(x －1)，

要使函数f (x )的图象经过四个象限，则f (－2)f (1)<0，即⎝⎛⎭⎫103a ＋1⎝⎛⎭⎫－7

6a ＋1<0，解得a <－310或a >6

7

. 故选D.

8.已知函数f (x )的导函数f ′(x )＝a (x －b )2＋c 的图象如图所示，则函数f (x )的图象可能是( )

解析：选D 由导函数图象可知，当x <0时，函数f (x )递减，排除A 、B ；当0

时，f ′(x )>0，函数f (x )递增．因此，当x ＝0时，f (x )取得极小值，故选D.

9．定义域为R 的函数f (x )满足f (1)＝1，且f (x )的导函数f ′(x )>1

2，则满足2f (x )

的x 的集合为( )

A ．{x |－1

B ．{x |x <1}

C ．{x |x <－1或x >1}

D ．{x |x >1}

解析：选B 令g (x )＝2f (x )－x －1，∵f ′(x )>1

2，

∴g ′(x )＝2f ′(x )－1>0，∴g (x )为单调增函数， ∵f (1)＝1，∴g (1)＝2f (1)－1－1＝0，∴当x <1时， g (x )<0，即2f (x )

10．某产品的销售收入y 1(万元)是产量x (千台)的函数：y 1＝17x 2，生产成本y 2(万元)是产量x (千台)的函数：y 2＝2x 3－x 2(x ＞0)，为使利润最大，应生产( )

A ．6千台

B ．7千台

C ．8千台

D ．9千台

解析：选A 设利润为y ，则y ＝y 1－y 2＝17x 2－(2x 3－x 2)＝18x 2－2x 3，y ′＝36x －6x 2，令y ′＝0得x ＝6或x ＝0(舍)，f (x )在(0,6)上是增函数，在(6，＋∞)上是减函数，∴x ＝6时y 取得最大值．

11．已知定义在R 上的函数f (x )，f (x )＋x ·f ′(x )＜0，若a ＜b ，则一定有( ) A ．af (a )＜bf (b ) B ．af (b )＜bf (a ) C ．af (a )＞bf (b )

D ．af (b )＞bf (a )

解析：选C [x ·f (x )]′＝x ′f (x )＋x ·f ′(x )＝f (x )＋x ·f ′(x )＜0， ∴函数x ·f (x )是R 上的减函数， ∵a ＜b ，∴af (a )＞bf (b )．

12．若函数f (x )＝sin x x ，且0

，则a ，b 的大小关系是

( )

A ．a >b

B ．a

C ．a ＝b

D ．a ，b 的大小不能确定

解析：选A f ′(x )＝x cos x －sin x

x 2

，令g (x )＝x cos x －sin x ，则g ′(x )＝－x sin x ＋cos x

－cos x ＝－x sin x .

∵0b ，故选A.

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分．把答案填在题中的横线上)