高等代数之二次型习题

2) 若上式右边的两个一次式系数不成比例，设
a1 a2 b1 b2
.
y a x a x a x 1 1 2 2 n n 1 y 2 b1 x1 b2 x 2 bn x n y x ( i 3, , n ) i i
二次型化为 f ( x1 , x 2 , , x n ) y1 y 2
d 1 D1
0 d 2 0 , D 2 0
0 0 , , Dr 0 dr 0 0 0
.
5.证明：一个实二次型可以分解成两个实系数的 一次齐次多项式的乘积的充分必要条件是，它的 秩等于2且符号差等于0，或者秩等于1. 证: 必要性 设 f ( x1 , x 2 ,, x n ) (a1 x1 a 2 x 2 a n x n )(b1 x1 b2 x 2 bn x n ) 1) 若上式右边的两个一次式系数成比例，即
它的k级顺序主子式
.
t a11 k (t ) a21 ak 1
a12 ak 2

a1k a2 k
t a22
t akk
当t充分大时， k (t ) 为严格主对角占优的行列式，且
t a ii
a
ji
ij
, ( i 1,2, , n),
k ( t ) 0( k 1,2,, n), 从而tE A正定的 .
y z z 1 2 1 y 2 z1 z 2 y z ( i 3, , n ) i i
.
2 f ( x1 , x 2 , , x n ) y1 y 2 z12 z 2 二次型化为
f ( x1 , x 2 , , x n )
秩为2，且符号差为0.
存在可逆矩阵T与C使
.
d 1 T ' BT C ' AC
d2 dr
D 0 0
考虑对角矩阵D的相应二次型的合同分类情况，
共计r+1个合同类.但秩r又分别取n，n-1，…，2,1,0， 故共有
1 2 3 n ( n 1) ( n 1)( n 2) 个合同类 2
充分性
1） f ( x1 , x 2 , , x n ) 秩为1，
f ( x1 , x 2 , , x n ) ky12 则可经线性替换X=CY，二次型化为
其中 y1 a1 x1 a 2 x 2 a n x n
.
f ( x1 , x 2 , , x n ) k (a1 x1 a 2 x 2 a n x n ) 2 ( ka1 x1 ka2 x 2 kan x n )( a1 x1 a 2 x 2 a n x n )
A A' , 则 X ' AX ( X ' AX )' X ' ( A) X X ' AX 即X ' AX 0
充分性 取 X i (0,,1,,0)
i A i a ii 0
取 X i j (i j )
X AX a ii a ij a ji a jj 0
i, j i, j i, j
则 | X ' AX | a | xi || x j |
i, j
.
可得
| X ' AX | a
i, j
x i2 x 2 j 2
an x i2 cX ' X .
i
其中 c=an.
.
f ( x 1 , x 2 , , x n ) (a i 1 x1 a i 2 x 2 a in x n ) 2 2.设实二次型
i 1
s
证明： f ( x 1 , x2 ,, xn ) 的秩等于矩阵
a11 A a 21 a s 1
a a a
从而 aij a ji ( i j ).
可知 A 反对称.
2）
X AX 0, X
则由1）知 A 反对称，
A A A
从而 A 0
4.如果把实n级对称矩阵按合同分类，即两个实n 级对称矩阵属于同一类当且仅当它们合同，问共 有几类？ 解:
实对称矩阵A与B合同充要条件是
总之， f ( x1 , x 2 , , x n ) 可表成两个一次齐次式的乘积.
.
6.设A是实对称矩阵.证明：当实数t充分大之后，
tE+A是正定矩阵.
证:
t a11 a12 a 11 t a 22 tE A a n1 a n1 a 1n a 2n t a nn
12 22

a a

s2
2n a sn
1n
的秩.
证:
ai 1 x1 a x s s 2 i 2 (a , , a ) 2 f (ai 1 x1 ain xn ) ( x1 , , xn ) in i1 i 1 i 1 ain xn
二次型习题
2.证明：秩等于r的对称矩阵可以表成r个秩等于
1的对称矩阵之和. 证: 由题设 A A' , r ( A) r ，存在可逆矩阵C使
C' AC D ( D为对角阵 )
C ' , C 1 , (C 1 )' (C ' )1 均为可逆矩阵， 又因为
所以有C ' AC D1 D2 Dr
ai 1 x1 s a i 2 x2 ( x1 , , xn ) (ai 1 , , ain ) X ' A' AX i 1 x ain n
bi kai ( i 1,2,, n)
.
y1 a 1 x 1 a 2 x 2 a n x n y x (i 2,, n) i i
2 f ( x 1 , x 2 , , x n ) ky1 二次型化为
f ( x1 , x 2 , , x n ) 秩为1.
' , 有 ( A A) A A 可知，f 的矩阵为
' ' '
r ( B ) r ( ' ) r ( ).
.
3.设A是n级实对称矩阵，
证明：存在一正实数c使对任一实n维向量X都有
| X ' AX | cX ' X .
证:
| X ' AX || aij xi x j | | aij || xi || x j | 令a max | aij |,
于是
A (C 1 )' D1 C 1 (C 1 )' D2 C 1 (C 1 )' Dr C 1
3.设A是一个n级矩阵，证明： 1) A是反对称矩阵当且仅当对任一个n维向量X， 有X’AX=0； 2)如果A是对称矩阵，且对任一个n维向量X有X’AX=0， 那么A=0. 证: 1）必要性
f 2） ( x1 , x2 ,, xn ) 秩为2，且符号差为0，
则可经线性替换X=CY，二次型化为
2 2 f ( x1 , x 2 , , x n ) y1 y2 ( y1 yBiblioteka Baidu2 )( y1 y2 )
(a1 x1 a 2 x 2 a n x n )( b1 x1 b2 x 2 bn x n )
.
8.设A为一个n级实对称矩阵，且|A|<0,
证明：必存在实n维向量 X 0使X ' AX 0.
证: 假设任意实n维向量X，有 X ' AX 0,
则f ( X 1 , , X n ) X ' AX半正定，
从而A的所有主子式大于或等于0，
故|A|≥0这与|A|< 0矛盾，故假设不成立，原命题成立.