离散数学试题(2006)_A(答案)

一、填空题（每小题3分，共15分）

1.设F(x)：x是苹果，H(x，y)：x与y完全相同，L(x，y)：x=y，

则命题“没有完全相同的苹果”的符号化（利用全称量词）为∀x∀y(F(x)∧F(y)∧⌝L(x，y)→⌝H(x，y))．

2.命题“设L是有补格，在L中求补元运算‘′’是L中的一元

运算”的真值是0．

3.设G={e，a，b，c}是Klein四元群，H=〈a〉是G的子群，则商

群G/H={〈a〉，{b，c}}={{e，a}，{b，c}}．

4.设群G=〈P({a，b，c})，⊕〉，其中⊕为集合的对称差运算，则

由集合{a，b}生成的子群〈{a，b}〉 ={∅，{a，b}}．

5.已知n阶无向简单图G有m条边，则G的补图有n(n-1)/2-m

条边．

二、选择题（每小题3分，共15分）

1.命题“只要别人有困难(p)，小王就会帮助他(q)，除非困难已

经解决了(r)”的符号化为【B】A．⌝(p∧r)→q．B．(⌝r∧p)→q．

C．⌝r→(p∧q)．D．⌝r→(q→ p)．

2.设N为自然数集合，“≤”为通常意义上的小于等于关系，则

偏序集〈N，≤〉是【C】

A．有界格．B．有补格．

C．分配格．D．布尔代数．

3.设n (n≥3) 阶无向图G=〈V，E〉是哈密尔顿图，则下列结论中

不成立的是【D】A．∀V1⊂V，p(G-V1)≤|V1|．B．|E|≥n．

C．无1度顶点．D．δ(G)≥n/2．

4.设A={a，b，c}，在A上可以定义个二元运算，其

中有个是可交换的，有个是幂等的．【A】A．39，36，36．B．39，36，33．

C．36，36，33．D．39，36，39．

5.下列图中是欧拉图的有【C】

A．K4，3．B．K6．

C．K5．D．K3，3．

三、计算与简答题（每小题8分，共40分）

1.利用等值演算方法求命题公式(p∨q) → (q→p)的主合取范式；

利用该主合取范式求公式的主析取范式，并指出该公式的成真赋值和成假赋值．

(p∨q) → (q→p)

⇔⌝(p∨q)∨(⌝q∨p)

⇔(⌝p∧⌝q)∨(⌝q∨p)

⇔(⌝p∨⌝q∨p)∧(⌝q∨⌝q∨p)

⇔⌝q∨p⇔p∨⌝q

⇔M1

此为公式的主合取范式．

该公式的主析取范式是m0∨m2∨m3．

公式的成真赋值为00，10，11．

公式的成假赋值为01．

哈尔滨工程大学试卷

考试科目：离散数学（041121，041131-32）

考试时间：14:00-16:30

1

2. 求群〈Z 18，⊕18〉的所有生成元和子群，画出〈Z 18，⊕18〉的子群格，指出该子群格的全下界、全上界和有补元，并求其补元． 与18互质的数有1，5，7，11，13，17，因此，1，5，7，11，13，17是群〈Z 18，⊕18〉的生成元．

18的因数有1，2，3，6，9，18，因此，群〈Z 18，⊕18〉的子群有 〈1〉=〈Z 18，⊕18〉，

〈2〉=〈{0，2，4，6，8，10，12，14，16}，⊕18〉， 〈3〉=〈{0，3，6，9，12，15}，⊕18〉，

〈6〉=〈{0，6，12}，⊕18〉， 〈9〉=〈{0，9}，⊕18〉，

〈18〉=〈{0}，⊕18〉． 〈Z 18，⊕18〉的子群格为〈{〈18〉，〈9〉，〈6〉，〈3〉，〈2〉，〈1〉}，⊆〉，其哈斯图为 全下界为〈18〉，全上界为〈1〉， 〈18〉’=〈1〉，〈1〉’=〈18〉，

〈2〉’=〈9〉，〈9〉’=〈2〉，〈3〉和〈6〉没有补元． 3. 若R 1，R 2均是非空集合A 上的等价关系，那么R 1，R 2的交R 1∩R 2、并R 1∪R 2和复合R 1○ R 2也是A 上的等价关系吗？若是，证明你的结论．

R 1∩R 2是A 上的等价关系．事实上， (1) 因R 1，R 2是A 上的自反关系，有I A ⊆R 1，I A ⊆R 2，因此，I A ⊆R 1

∩R 2，即R 1∩R 2是A 上的自反关系．

(2) 因R 1，R 2是A 上的对称关系，有R 1＝R 1-1，R 2＝R 2-1，而(R 1

∩R 2)-1=R 1-1∩R 2-1=R 1∩R 2，因此，R 1∩R 2是A 上的对称关系．

(3) 因R 1，R 2是A 上的传递关系，有R 12⊆R 1，R 22⊆R 2，而(R 1∩

R 2)2=(R 1∩R 2)ο(R 1∩R 2)=R 12∩R 22∩R 1οR 2∩R 2οR 1⊆R 12∩R 22⊆R 1∩R 2，因此，R 1∩R 2是A 上的传递关系．

4. 设无向连通图G 如下图，求其最小生成树T 及T 的权W (T )，写出G 的对应于T 的基本回

路系统和基本割集系统．

G 的最小生成树T 如图（以实

线表示），权W (T )=11． G 的对应于T 的基本回路系统为{C bd ，C cd ，C de }，其中 C bd =bdab ，C cd =cdabc ， C de =dead ．

G 的对应于T 的基本割集系统为{S ab ，S ad ，S ae ，S bc }，其中 S ab ={ab ，bd ，cd }，S ad ={ad ，bd ，cd ，de }， S ae ={ae ，de }，S bc ={bc ，cd }．

5. 设〈Ｂ，∧，∨，′，0，1〉是布尔代数，a ，b ，c ∈B ，化简公式 (a ∧b )∨(a ∧(b ∧c )’ )∨c ．

(a ∧b )∨(a ∧(b ∧c )’ )∨c =(a ∧b )∨(a ∧(b’∨c’ ))∨c =(a ∧b )∨((a ∧(b’∨c’ ))∨c ) =(a ∧b )∨((a ∨c )∧(b’ ∨c’ ∨c )) =(a ∧b )∨(a ∨c ) =(a ∨(a ∨c ))∧(b ∨a ∨c ) =(a ∨c )∧(a ∨c ∨b ) =a ∨c

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