全等三角形中的动态问题1

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全等三角形之动点问题

全等三角形之动点问题（一）1、已知:如图,在△ABC中,AB=AC=18,BC=12,点D为AB的中点.点P在线段BC上以每秒3个单位的速度由B点向C点运动,同时点Q在线段CA上由C点向A点以每秒a个单位的速度匀速运动.设运动时间为t秒,若某一时刻△BPD与△CQP全等,求t的值与相应的点Q的运动速度a2、如图，在等边ABC∆的顶点A、C处各有一只蜗牛，它们同时出发，分别以每分钟1各单位的速度油A向B和由C向A爬行，其中一只蜗牛爬到终点时，另一只也停止运动，经过t分钟后，它们分别爬行到D,E处，请问（1）在爬行过程中，CD和BE始终相等吗？（2）若蜗牛沿着AB和CA的延长线爬行，EB与CD交于点Q，其他条件不变，如图（2）所示，，求证：︒CQE=∠60（3）如果将原题中“由C向A爬行”改为“沿着BC的延长线爬行，连接DE交AC于F”，其他条件不变，则爬行过程中，DF始终等于EF是否正确3、在△ABC中，,∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E(1)当直线MN绕点C旋转到图①的位置时，求证：DE=AD+BE(2)当直线MN绕点C旋转到图②的位置时，求证：DE=AD-BE(3)当直线MN绕点C旋转到图③的位置时，试问：DE、AD、BE有怎样的等量关系?请写出这个等量关系，并加以证BA O DC E图84. 如下图，已知正方形ABCD 中，边长为10厘米，点E 在AB 边上，BE=6厘米．（1）如果点P 在线段BC 上以4厘米/秒的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CD 上由C 点向D 点运动． ①若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，经过1秒后，△BPE 与△CQP 是否全等，请说明理由； ②若点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，当点Q 的运动速度为多少时，能够使△BPE 与△CQP 全等？（2）若点Q 以②中的运动速度从点C 出发，点P 以原来的运动速度从点B 同时出发，都逆时针沿正方形ABCD 四边运动，求经过多长时间点P 与点Q 第一次在正方形ABCD 边上的何处相遇？5、如图7，点O 是线段AD 的中点，分别以AO 和DO 为边在线段AD 的同侧作等边三角形OAB 和等边三角形OCD ，连结AC 和BD ，相交于点E ，连结BC ．求∠AEB 的大小；6、ΔOAB 固定不动，保持ΔOCD 的形状和大小不变，将ΔOCD 绕着点O 旋转（ΔOAB 和ΔOCD 不能重叠），求∠AEB 的大小.C B OD图7AE全等构造角平分线类1如图，在ABC ∆中，2B C ∠=∠，BAC ∠的平分线AD 交BC 与D ．求证：AB BD AC +=．DC B A2如图，在ABC ∆中，AB BD AC +=，BAC ∠的平分线AD 交BC 与D ．求证：2B C ∠=∠．DC B A3如图，ABC ∆中，AB=2AC ，AD 平分BAC ∠，且AD=BD ，求证：CD ⊥AC4如图，在四边形ABCD 中，BC ＞BA,AD ＝CD ，BD 平分ABC ∠，求证： 0180=∠+∠C A5已知ABC ∆中，60A ∠=，BD 、CE 分别平分ABC ∠和ACB ∠，BD 、 CE 交于点O ，试判断BE 、CD 、BC 的数量关系，并加以证明．OED CBA6如图，在ABC ∆中，60B ∠=︒，AD 、CE 分别平分BAC ∠、BCA ∠，且AD 与CE 的交点为F ．求证：FE FD =．CDBACBAFBEDCA7如图，已知在ABC 内，060BAC ∠=，040C ∠=，P ，Q 分别在BC ，CA 上，并且AP ，BQ 分别是BAC ∠，ABC ∠的角平分线。

2022中考数学技巧《全等三角形中的动态问题》专题讲解附练习及答案

难点探究专题：全等三角形中的动态问题◆类型一全等三角形中的动点问题1．如图，在△MAB中，MA＝MB，过M点作直线MN交AB于N点．P是直线MN 上的一个动点，在点P移动的过程中，假设NA＝NB，那么∠PAM与∠PBM是否相等？说明理由．2．如图①，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC(∠ABC＝∠ACB＝45°)，点D为直线BC上一动点(点D不与B，C重合)，以AD为边在AD右侧作正方形ADEF，连接CF.(1)观察猜想：如图①，当点D在线段BC上时，①BC与CF的位置关系为________；②线段BC，CD，CF之间的数量关系为______________ (将结论直接写在横线上)；(2)数学思考：如图②，当点D在线段CB的延长线上时，结论①，②是否仍然成立？假设成立，请给予证明；假设不成立，请你写出正确结论再给予证明．◆类型二全等三角形中的动图问题3．等边三角形的三条边相等、三个角都等于60°.如图，△ABC与△CDE都是等边三角形，连接AD，BE.(1)如果点B，C，D在同一条直线上，如图①所示，试说明：AD＝BE；(2)如果△ABC绕C点转过一个角度，如图②所示，(1)中的结论还能否成立？请说明理由．◆类型三全等三角形中的翻折问题4．如图，将Rt △ABC 沿斜边翻折得到△ADC ，E ，F 分别为DC ，BC 边上的点，且∠EAF ＝12∠DAB.试猜想DE ，BF ，EF 之间有何数量关系，并说明理由．参考答案与解析1．解：∠P AM ＝∠PBM .理由如下：∵NA ＝NB ，MA ＝MB ，MN 是公共边，∴△AMN ≌△BMN (SSS)，∴∠MAN ＝∠MBN ，∠MNA ＝∠MNB .又∵NA ＝NB ，PN 是公共边，∴△P AN ≌△PBN (SAS)，∴∠P AN ＝∠PBN .∴∠P AM ＝∠PBM .2．解：(1)①垂直 ②BC ＝CD ＋CF(2)CF ⊥BC 成立；BC ＝CD ＋CF 不成立，正确结论：CD ＝CF ＋BC .证明如下：∵正方形ADEF 中，AD ＝AF ，∠DAF ＝∠BAC ＝90°，∴∠BAD ＝∠CAF .在△DAB 与△F AC 中，⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝AF ，∠BAD ＝∠CAF ，AB ＝AC ，∴△DAB ≌△F AC (SAS)，∴∠ABD ＝∠ACF ，DB ＝CF .∵∠ACB ＝∠ABC ＝45°，∴∠ABD ＝180°－45°＝135°，∴∠BCF ＝∠ACF －∠ACB ＝∠ABD －∠ACB ＝90°，∴CF ⊥BC .∵CD ＝DB ＋BC ，DB ＝CF ，∴CD ＝CF ＋BC .3．解：(1)∵△ABC ，△CDE 都是等边三角形，∴AC ＝BC ，CD ＝DE ，∠ACB ＝∠DCE ＝60°.∵点B ，C ，D 在同一条直线上，∴∠ACE ＝60°，∴∠BCE ＝∠ACD ＝120°.在△ACD与△BCE 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AC ＝BC ，∠ACD ＝∠BCE ，CD ＝CE ，∴△ACD ≌△BCE (SAS)．∴AD ＝BE .(2)成立．理由如下：∵∠ACB ＝∠DCE ＝60°，∴∠ACB ＋∠ACE ＝∠DCE ＋∠ACE ，即∠BCE ＝∠ACD .又∵AC ＝BC ，CD ＝CE ，∴△ACD ≌△BCE ，∴AD ＝BE .4．解：DE ＋BF ＝EF .理由如下：延长CB 至G ，作∠5＝∠1，如以下列图．∵将Rt △ABC沿斜边翻折得到△ADC ，∠EAF ＝12∠DAB ，∴AB ＝AD ，∠ABC ＝∠ADE ＝90°，∠2＋∠3＝∠1＋∠4，∴∠ABG ＝90°＝ADE .∵∠5＝∠1，∴∠2＋∠3＝∠4＋∠5，∴∠GAF ＝∠EAF .在△AGB 和△AED 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠GAB ＝∠EAD ，AB ＝AD ，∠ABG ＝∠ADE ，∴△AGB ≌△AED (ASA)，∴AG ＝AE ，BG ＝DE .在△AGF 和△AEF 中，⎩⎪⎨⎪⎧AG ＝AE ，∠GAF ＝∠EAF ，AF ＝AF ，∴△AGF ≌△AEF (SAS)，∴GF ＝EF ，∴BG ＋BF＝EF ，∴DE ＋BF ＝EF .。

全等三角形中的动态性问题

全等三角形中的动态性问题动态性几何问题是中考数学题型中的热点题型，这类试题常以运动的点、线段、变化的图形等为基本条件，给出一个或多个变量，要求确定变量与其它量之间的关系，或变量在一定条件为定值时，进行相关的几何计算和综合解答。

解答这类题目，一般要根据点的运动和图形的变化过程，对其不同情况进行分类求解，要始终把握住“动静结合找界点、分类讨论细演算” 。

一、图形的全等图形经过“轴对称”、“平移”、“旋转” 后，位置发生了变化，但形状和大小不变，变换后的图形和变换前的图形能完全重合，这样的两个图形就全等。

1、全等三角形的性质：对应角相等，对应边相等。

2、全等三角形的判定：SSS , SAS , ASA , AAS , HL 。

二、试题探究例题1、已知:AB⊥BD, ED⊥BD, AC=CE, BC=DE。

例题1图（1）（1）试猜想线段AC与CE的位置关系，并证明你的结论.结论：AC⊥CE （证明略）（2）若将△ECD沿CB方向平移，其余条件不变, 结论：AC⊥C1E 还成立吗?请说明理由。

例题1图（2）结论：AC⊥C1E （证明略）例题2、已知:AB⊥BD, ED⊥BD, AC=CE, BC=DE。

（1）线段BD、AB、DE之间有怎样的数量关系，并说明理由。

例题2图（1）结论：BD=AB+DE （证明略）（2）若将两个三角形绕点C 旋转到如图所示的位置，则线段BD、AB、DE之间数量关系还成立吗？并说明理由。

例题2图（2）结论：BD = AB - ED （证明略）总结：图形变换，全等不变；遇到变式，先找不变。

三、典型例题例题3、如图，点P是正方形ABCD内的一点，连接CP，将线段CP绕点C顺时针旋转90°，得到线段CQ，连接BP，DQ 。

（1）如图a，求证：△BCP≌△DCQ；（2）如图，延长BP交直线DQ于点E，如图b，求证：BE⊥DQ 。

例题3图（a）例题3图（b）证明：略。

例题4、已知,如图1,E、F为线段AC上的两个动点,且DE⊥AC于E点,BF ⊥AC于F点,若AB=CD,AF=CE,BD交AC于M点；（1）求证：MB=MD，ME=MF；（2）当E、F两点移至如图2所示的位置时，其它条件不变，上述结论能否成立？若成立，请说明你的理由。

专题全等三角形中的动点运动问题(30题)(原卷版)

（苏科版）八年级上册数学《第1章全等三角形》专题全等三角形中的动点运动问题（30题）1．（2023春•横山区期末）如图，AB＝8cm，∠A＝∠B，AC＝BD＝6cm，点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上以xcm/s的速度由点B向点D运动．它们运动的时间为t （s）．当△ACP与△BPQ全等时，x的值为．2．（2022春•普宁市期末）如图，∠A＝∠B＝90°，AB＝60，E，F分别为线段AB和射线BD上的一点，若点E从点B出发向点A运动，同时点F从点B出发向点D运动，二者速度之比为3：7，运动到某时刻同时停止，在射线AC上取一点G，使△AEG与△BEF全等，则AG的长为．1、全等三角形中的动点运动问题，通过点的运动，用代数式表示线段的大小，从而寻找线段间的等量关系，建立方程，进而快速解题.2、解题策略：①明晰点的运动方向和速度；②根据已知和求证的目标，寻找线段或角之间的数量关系，进而解决问题；③有时要用到分类讨论的思想.典型题训练3．（2022秋•攸县期末）如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠ABC，AB＝5cm，AD＝BC＝3cm，点E在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点F在线段BC上由点B向点C运动．设运动时间为t（s），当△ADE与以B，E，F为顶点的三角形全等时，则点F的运动速度为cm/s．4．（2023春•吴江区期末）如图，已知长方形ABCD中，AB＝8cm，AD＝12cm，点E在AB边上，BE＝3cm，点F在线段BC上以3cm/s的速度由B点向C点运动，到达点C后马上折返，向点B运动，点G在线段CD上以vcm/s的速度由C点向D点运动．点F，G同时出发，当一个点到达终点停止运动时，另一个点也随之停止运动，设运动的时间为t秒．若以E，B，F为顶点的三角形和以F，C，G为顶点的三角形全等，则t＝秒．5．如图，△ABC中，AB＝AC＝24cm，BC＝16cm，AD＝BD．如果点P在线段BC上以2cm/s的速度由B 点向C点运动，同时，点Q在线段CA上以vcm/s的速度由C点向A点运动，那么当△BPD与△CQP 全等时，v＝（）A．3B．4C．2或4D．2或36．（2022秋•高邑县期中）如图，在Rt△ABC中，AC＝6，BC＝8，AB＝10．点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线A﹣C﹣B向终点B运动，同时点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿折线B﹣C﹣A向终点A运动，点P，Q都运动到各自的终点时停止．设运动时间为t（秒），直线l经过点C，且l∥AB，过点P，Q分别作直线l的垂线段，垂足为E，F．当△CPE与△CQF全等时，t的值不可能是（）A．2B．2.8C．3D．67．（2022秋•浠水县校级期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，BC＝6cm，直线CM⊥BC，动点D从点C开始沿射线CB方向以每秒2cm的速度运动，动点E也同时从点C开始在直线CM上以每秒1cm的速度运动，连接AD、AE，设运动时间为t秒．当△ABD≌△ACE时，t的值为（）A．2B．4C．6D．2或68．（2023春•和平区校级期中）如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，满足AC＝7，BC＝12，点P从A 点出发沿A→C→B路径向终点B运动：点Q从B出发沿B→C→A路径向终点A运动；点P，Q的速度分别以每秒1个单位长度和每秒3个单位长度的速度同时开始运动，两个点都要到达相应的终点时才能停止运动，分别过P，Q作PE⊥l于E，QF⊥l于F．设运动时间为t秒，当以P，E，C为顶点的三角形与以Q，F，C为顶点的三角形全等时，t的值为（不考虑两三角形重合的情况）．9．如图，在△ABC中，BC＝8cm，AG∥BC，AG＝8cm，点F从点B出发，沿线段BC以4cm/s的速度连续做往返运动，点E从点A出发沿线段AG以2cm/s的速度运动至点G，E、F两点同时出发，当点E到达点G时，E、F两点同时停止运动，EF与直线AC交于点D，设点E的运动时间为t（秒）（1）分别写出当0＜t＜2和2＜t＜4时段BF的长度（用含t的代数式表示）（2）当BF＝AE时，求t的值；（3）当△ADE≌△CDF时，直接写出所有满足条件的t值．10．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝10cm，BC＝5cm，P，Q两点分别在AC上和过点A且垂直于AC的射线AM上运动，且PQ＝AB，问P点运动到AC上什么位置时△ABC才能和△QP A全等．11．（2022秋•昭阳区期中）如图，已知在△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝8cm，点D为AB的中点，如果点P在线段BC上以3cm/s的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段CA上由点C向点A运动．（1）若点Q与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等？请说明理由；（2）若点Q与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能使△BPD与△CQP全等？12．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝12，BC＝16．点P从A点出发沿A﹣C﹣B路径向终点运动，终点为B点；点Q从B点出发沿B﹣C﹣A路径向终点运动，终点为A点．点P和Q分别以2和6的运动速度同时开始运动，两点都要到相应的终点时才能停止运动，在某时刻，分别过P和Q作PE⊥l于E，QF⊥l于F．问：点P运动多少时间时，△PEC与QFC全等？请说明理由．13．（2022秋•苍溪县期末）如图，AE与BD相交于点C，AC＝EC，BC＝DC，AB＝8cm，点P从点出发，沿A→B→A方向以2cm/s的速度运动，点Q从点D出发，沿D→E方向以lcm/s的速度运动，P、Q两点同时出发，当点P到达点A时，P、Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为t（s）．（1）求证：AB∥DE．（2）写出线段AP的长（用含t的式子表示）．（3）连接PQ，当线段PQ经过点C时，求t的值．14．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝6cm，BC＝10cm，点P从点B出发，以2cm/s的速度沿BC向点C 运动，设点P的运动时间为ts．（1）PC＝cm．（用t的代数式表示）（2）当点P从点B开始运动，同时，点Q从点C出发，以vcm/s的速度沿CA向点A运动，是否存在这样v的值，使得△ABP与△PQC全等？若存在，请求出v的值；若不存在，请说明理由．15．如图，已知△ABC中，AB＝AC＝6cm，∠B＝∠C，BC＝4cm，点D为AB的中点．（1）如果点P在线段BC上以1cm/s的速度由点B向C运动，同时，点Q在线段CA上由点C向A运动，①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等？请说明理由；②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？（2）若点Q以（1）②中的运动速度从点C出发，点P以1cm/s的运动速度从B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，则经过秒后，点P与点Q第一次在△ABC上相遇．（在横线上直接写出答案，不必书写解题过程）16．（2022秋•南召县期末）如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠C，AB＝20cm，BC＝15cm，E为AB的中点，若点P在线段BC上以5cm/s的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段CD上由点C向点D运动．（1）若点Q运动的速度是5cm/s，经过1秒后，△BPE与△CQP是否全等，请说明理由；（2）若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当△BPE与△CQP全等时，求出点Q的运动速度．17．（2022春•二七区校级期中）如图，点E在线段CD上，EA，EB分别平分∠DAB和∠CBA，点F在线段AB上运动，AD＝4cm，BC＝3cm，且AD∥BC．（1）当点F运动到离点A多少厘米时，△ADE和△AFE全等？为什么？（2）在（1）的情况下，此时BF＝BC吗？为什么？求出AB的长．18．如图，在长方形ABCD中，AD＝6cm，AB＝4cm，点E为AD的中点．若点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BC上由点B向点C运动．（注：长方形中，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝CD，AD＝BC）（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等：①经过1秒后，△AEP与△BPQ是否全等，请说明理由，并判断此时线段PE和线段PQ的位置关系；②设运动时间为t秒时，△PEQ的面积为Scm2，请用t的代数式表示S．（2）若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为cm/s时，能够使△AEP与△BPQ全等．19．（2023春•碑林区校级期末）如图，△ABC的两条高AD与BE交于点O，AD＝BD，AC＝6．（1）求BO的长；（2）F是射线BC上一点，且CF＝AO，动点P从点O出发，沿线段OB以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，同时动点Q从点A出发，沿射线AC以每秒4个单位长度的速度运动，当点P到达点B时，P，Q两点同时停止运动，设运动时间为t秒，当△AOP与△FCQ全等时，求t的值．20．如图1，长方形ABCD中，AB＝CD＝7cm，AD＝BC＝5cm，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，点E在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，与此同时点F在线段BC上由点B向点C运动，设运动的时间均为ts．（1）若点F的运动速度与点E的运动速度相等，当t＝2时：①判断△BEF与△ADE是否全等？并说明理由；②求∠EDF的度数．（2）如图2，将图1中的“长方形ABCD”改为“梯形ABCD”，且∠A＝∠B＝70°，AB＝7cm，AD＝BC＝5cm，其他条件不变．设点F的运动速度为xcm/s．是否存在x的值，使得△BEF与△ADE全等？若存在，直接写出相应的x及t的值；若不存在，请说明理由．21．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，点D在AC上，且AD＝6cm，过点A作射线AE⊥AC（AE与BC在AC同侧），若动点P从点A出发，沿射线AE匀速运动，运动速度为1cm/s，设点P运动时间为t秒．连接PD、BD．（1）如图①，当PD⊥BD时，求证：△PDA≌△DBC；（2）如图②，当PD⊥AB于点F时，求此时t的值．22．如图，在四边形ABCD中，AD＝BC＝10，AB＝CD，BD＝14，点E从点D出发，以每秒2个单位的速度沿DA向点A匀速移动，点F从点C出发，以每秒5个单位的速度，沿C→B→C做匀速移动，点G 从点B出发沿BD向点D匀速移动，三个点同时出发，当有一个点到达终点时，其余两点也随之停止运动，假设移动时间为t秒，G点的移动距离为y．（1）请用含t的代数式表示以下线段：ED＝，当0＜t≤2时，BF＝，当2＜t≤4时，BF＝；（2）请猜想AD与BC的位置关系，并说明理由；（3）在移动过程中，请你探究当t取何值时，△DEG与△BFG全等？并求出此时G点的移动距离y．23．（2023春•渭滨区期末）如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝9cm，AC＝12cm，AB＝15cm，现有一动点P，从点A出发，沿着三角形的边AC→CB→BA运动，回到点A停止，速度为3cm/s，设运动时间为ts．（1）如图（1），当t＝时，△APC的面积等于△ABC面积的一半；（2）如图（2），在△DEF中，∠E＝90°，DE＝4cm，DF＝5cm，∠D＝∠A．在△ABC的边上，若另外有一个动点Q，与点P同时从点A出发，沿着边AB→BC→CA运动，回到点A停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好△APQ≌△DEF，求点Q的运动速度．24．（2022春•华容县期中）如图，已知正方形ABCD的边长为10cm，点E在AB边上，BE＝6cm．（1）如果点P在线段BC上以4cm/s的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CD上由C点向D 点运动．①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPE与△CQP是否全等．请说明理由．②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPE与△CQP全等？（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿正方形ABCD四边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在正方形ABCD边上的何处相遇？相遇点在何处？25．（2022秋•红花岗区期中）如图1，直线AM⊥AN，AB平分∠MAN，过点B作BC⊥BA交AN于点C；动点E、D同时从A点出发，其中动点E以2cm/s的速度沿射线AN方向运动，动点D以1cm/s的速度运动；已知AC＝6cm，设动点D，E的运动时间为t．（1）当点D在射线AM上运动时满足S△ADB：S△BEC＝2：1，试求点D，E的运动时间t的值；（2）当动点D在直线AM上运动，E在射线AN运动过程中，是否存在某个时间t，使得△ADB与△BEC 全等？若存在，请求出时间t的值；若不存在，请说出理由．26．如图，AB＝4cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC＝BD＝3cm．点P在射线AB上以1cm/s的速度由点A出发沿射线AB方向运动，同时，点Q在射线DB上由点D出发沿射线DB方向运动．它们运动的时间为t （s）．（1）若点Q的运动速度是点P的运动速度的2倍，当t＝1时，△ACP与△BPQ是否全等，请说明理由，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系；（2）设点Q的运动速度为xcm/s（x≠2），是否存在实数x，使△ACP与△BPQ全等？若存在，请画出示意图，将全等的三角形用符号表示出来，并直接写出相应的x，t的值；若不存在，请说明理由．27.（2022秋•沭阳县校级月考）如图①，线段BC＝6，过点B、C分别作垂线，在其同侧取AB＝4，另一条垂线上任取一点D．动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC向终点C运动；同时动点Q从点C出发，以每秒a个单位的速度沿射线CD运动，当点P停止时，点Q也随之停止运动．设点P的运动的时间为t（s）．（1）当t＝1，CP＝，用含a的代数式表示CQ的长为；（2）当a＝2，t＝1时，①求证：△ABP≌△PCQ；②求证：AP⊥PQ；（3）如图②，将“过点B、C分别作垂线”改为“在线段BC的同侧作∠ABC＝∠DCB”，其它条件不变．若△ABP与△PCQ全等，直接写出对应的a的值．28．在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，直线l过点C．（1）当AC＝BC时，①如图1，分别过点A和B作AD⊥直线l于点D，BE⊥直线l于点E．求证：△ACD≌△CBE；②如图2，过点A作AD⊥直线l于点D，点B与点F关于直线l对称，连接BF交直线l于E，连接CF．求证：DE＝AD+EF．（2）当AC＝8cm，BC＝6cm时，如图3，点B与点F关于直线l对称，连接BF、CF．点M从A点出发，以每秒1cm的速度沿A→C路径运动，终点为C，点N以每秒3cm的速度沿F→C→B→C→F路径运动，终点为F，分别过点M、N作MD⊥直线l于点D，NE⊥直线l于点E，点M、N同时开始运动，各自达到相应的终点时停止运动，设运动时间为t秒．当△MDC与△CEN全等时，求t的值．29．（2022秋•浠水县期中）已知，在△ABC中，AB＝AC，D，A，E三点都在直线m上，且DE＝9cm，∠BDA＝∠AEC＝∠BAC（1）如图①，若AB⊥AC，则BD与AE的数量关系为，CE与AD的数量关系为；（2）如图②，判断并说明线段BD，CE与DE的数量关系；（3）如图③，若只保持∠BDA＝∠AEC，BD＝EF＝7cm，点A在线段DE上以2cm/s的速度由点D向点E运动，同时，点C在线段EF上以xcm/s的速度由点E向点F运动，它们运动的时间为t（s）．是否存在x，使得△ABD与△EAC全等？若存在，求出相应的t的值；若不存在，请说明理由．30．（2022秋•原平市校级期中）如图，在△ABC中，BC＝5，高AD、BE相交于点O，BD=23CD，且AE＝BE．（1）求线段AO的长；（2）动点P从点O出发，沿线段OA以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，动点Q从点B出发沿射线BC以每秒4个单位长度的速度运动，P、Q两点同时出发，当点P到达A点时，P、Q两点同时停止运动．设点P的运动时间为t秒，△POQ的面积为S，请用含t的式子表示S；（3）在（2）的条件下，点F是直线AC上的一点且CF＝BO．是否存在t值，使以点B、O、P为顶点的三角形与以点F、C、Q为顶点的三角形全等？若存在，请直接写出符合条件的t值，若不存在，请说明理由．。

初中数学全等三角形中的动态问题(知识点例题解析)

初中数学全等三角形中的动态问题（知识点+例题解析）初中数学中，动点问题是学习的重、难点，在三角形、矩形等一些几何图形上，设计一个或多个动点，探究全等三角形存在性问题，该类题目具有较强的综合性。

解决动点问题常见的答题思路是：1.注意分类讨论；2.仔细探究全等三角形对应边与对应角的变化；3.利用时间表示出相应线段或边的长度，列出方程求解.【典例解析】【例1－1】（2020·周口市月考）如图，CA⊥AB，垂足为点A，AB=8，AC=4，射线BM⊥AB，垂足为点B，一动点E从A点出发以2厘米/秒的速度沿射线AN运动，点D为射线BM上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持ED=CB，当点E离开点A后，运动______秒时，△DEB与△BCA全等．【例1－2】（2020·江阴市月考）已知：如图，在长方形ABCD中，AB=4，AD=6．延长BC到点E，使CE=2，连接DE，动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC－CD－DA向终点A运动，设点P的运动时间为t秒，当t的值为_____秒时，△ABP和△DCE全等．A．1B．1或3C．1或7D．3或7【变式1－1】（2020·无锡市月考）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝7cm，BC＝3cm，CD为AB边上的高．点E从点B出发沿直线BC以2cm/s的速度移动，过点E作BC的垂线交直线CD于点F.(1)试说明：∠A＝∠BCD；(2)当点E运动多长时间时，CF＝AB.请说明理由．【变式1－2】（2020·河北灵寿期末）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A、B两点的坐标分别为A(0，m)、B(n，0)，且|m﹣n﹣0，点P从A出发，以每秒1个单位的速度沿射线AO匀速运动，设点P的运动时间为t秒．(1)求OA、OB的长；(2)连接PB，设△POB的面积为S，用t的式子表示S；(3)过点P作直线AB的垂线，垂足为D，直线PD与x轴交于点E，在点P运动的过程中，是否存在这样的点P，使△EOP≌△AOB？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．【例2】（2020·惠州市月考）如图，点C在线段BD上，AB⊥BD于B，ED⊥BD于D．∠ACE＝90°，且AC ＝5cm，CE＝6cm，点P以2cm/s的速度沿A→C→E向终点E运动，同时点Q以3cm/s的速度从E开始，在线段EC上往返运动（即沿E→C→E→C→…运动），当点P到达终点时，P，Q同时停止运动．过P，Q分别作BD的垂线，垂足为M，N．设运动时间为ts，当以P，C，M为顶点的三角形与△QCN全等时，t的值为_____．【变式2－1】（2020·江阴市月考）如图，在四边形ABCD中，AD＝BC＝4，AB＝CD，BD＝6，点E从D 点出发，以每秒1个单位的速度沿DA向点A匀速移动，点F从点C出发，以每秒3个单位的速度沿C→B→C 作匀速移动，点G从点B出发沿BD向点D匀速移动，三个点同时出发，当有一个点到达终点时，其余两点也随之停止运动．（1）试证明：AD∥BC．（2）在移动过程中，小芹发现当点G的运动速度取某个值时，有△DEG与△BFG全等的情况出现，请你探究当点G的运动速度取哪些值时，△DEG与△BFG全等．【变式2－2】（2020·重庆巴南月考）如图（1），AB＝4cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC＝BD＝3cm．点P在cm s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动．它线段AB上以1/们运动的时间为t（s）．（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝1时，△ACP与△BPQ是否全等，请说明理由，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系；（2）如图（2），将图（1）中的“AC⊥AB，BD⊥AB”为改“∠CAB＝∠DBA＝60°”，其他条件不变．设点Q的cm s，是否存在实数x，使得△ACP与△BPQ全等？若存在，求出相应的x、t的值；若运动速度为x/不存在，请说明理由．【变式2－3】（2020·江苏兴化月考）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8．点P从点A出发，沿折线AC—CB以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，点Q从点B出发沿折线BC—CA以每秒3个单位长度的速度向终点A运动，P、Q两点同时出发．分别过P、Q两点作PE⊥l于E，QF⊥l于F．设点P的运动时间为t（秒）：（1）当P、Q两点相遇时，求t的值；（2）在整个运动过程中，求CP的长（用含t的代数式表示）；（3）当△PEC与△QFC全等时，直接写出所有满足条件的CQ的长．【例3】（2020·惠州市月考）如图，在△ABC中，AB＝AC＝18cm，BC＝10cm，∠B=∠C，AD＝2BD．如果点P在线段BC上以2cm/s的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过2s后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；（2）若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP 全等？（3）若点Q以（2）中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC 三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？【变式3－1】（2019·山西太原月考）如图1，在长方形ABCD中，AB=CD=5cm，BC=12cm，点P从点B 出发，以2cm/s的速度沿BC向点C运动，设点P的运动时间为ts．（1）PC=___cm；(用含t的式子表示)（2）当t为何值时，△ABP≌△DCP？．（3）如图2，当点P从点B开始运动，此时点Q从点C出发，以vcm/s的速度沿CD向点D运动，是否存在这样的v值，使得某时刻△ABP与以P，Q，C为顶点的直角三角形全等？若存在，请求出v的值；若不存在，请说明理由．【变式3－2】（2020·四川成都）如图，已知四边形ABCD中，AB＝12厘米，BC＝8厘米，CD＝14厘米，∠B＝∠C，点E为线段AB的中点．如果点P在线段BC上以3厘米秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CD上由C点向D点运动．当点Q的运动速度为_____厘米/秒时，能够使△BPE与以C、P、Q 三点所构成的三角形全等．【习题精练】=，BC6=，线段PQ=AB，1．（2020·江苏东台月考）如图，有一个直角三角形ABC，∠C＝90°，AC10点Q在过点A且垂直于AC的射线AX上来回运动，点P从C点出发，沿射线CA以2cm/s的速度运动，问>，才能使△ABC≌△QPA全等．P点运动___________秒时(t0)2.（2020·江苏泰州月考）如图，AB =12，CA ⊥AB 于A ，DB ⊥AB 于B ，且AC =4m ，P 点从B 向A 运动，每分钟走1m ，Q 点从B 向D 运动，每分钟走2m ，P 、Q 两点同时出发，运动_______分钟后△CAP 与△PQB 全等．3．（2020·常州市月考）如图， ADC 中．∠C ＝90°，AC ＝10cm ，BC ＝5cm ．AD ⊥AC ，AB ＝PQ ，P 、Q 两点分别在AC 、AD 上运动，当AQ ＝_____时，△ABC 才能和△APQ 全等．4.（2020·江西新余期末）如图，ABC ∆中，90ACB ∠=︒，8cm AC =，15cm BC =，点M 从A 点出发沿A C B →→路径向终点运动，终点为B 点，点N 从B 点出发沿B C A →→路径向终点运动，终点为A 点，点M 和N 分别以每秒2cm 和3cm 的运动速度同时开始运动，两点都要到达相应的终点时才能停止运动，分别过M 和N 作ME l ⊥于E ，NF l ⊥于F .设运动时间为t 秒，要使以点M ，E ，C 为顶点的三角形与以点N ，F ，C 为顶点的三角形全等，则t 的值为______.5.（2020·武城县月考）如图，已知四边形ABCD中，AB＝12厘米，BC＝8厘米，CD＝14厘米，∠B＝∠C，点E为线段AB的中点．如果点P在线段BC上以3厘米秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CD上由C点向D点运动．当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPE与以C、P、Q三点所构成的三角形全等？6.（2020·盐城市盐都区月考）如图，有一个直角△ABC，∠C=90°，AC=6，BC=3，一条线段PQ=AB，P、Q两点分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AX上运动，问：当AP=________时，才能使以点P、A、Q 为顶点的三角形与△ABC全等．7.（2020·四川青羊期中）如图，在△ABC中，已知AB＝AC，∠BAC＝90°，AH是△ABC的高，AH＝4cm，BC＝8cm，直线CM⊥BC，动点D从点C开始沿射线CB方向以每秒3厘米的速度运动，动点E也同时从点C开始在直线CM上以每秒1厘米的速度向远离C点的方向运动，连接AD、AE，设运动时间为t（t＞0）秒．（1）请直接写出CD、CE的长度（用含有t的代数式表示）：CD＝cm，CE＝cm；（2）当t为多少时，△ABD的面积为12cm2？（3）请利用备用图探究，当t为多少时，△ABD≌△ACE？并简要说明理由．8．（2020·郑州市月考）如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点A 、B 两点的坐标分别A （m ，0），B（0，n ），且|m -n -3|=0，点P 从A 出发，以每秒1个单位的速度沿射线AO 匀速运动，设点P 运动时间为t 秒．（1）求OA 、OB 的长；（2）连接PB ，若△POB 的面积不大于3且不等于0，求t 的范围；（3）过P 作直线AB 的垂线，垂足为D ，直线PD 与y 轴交于点E ，在点P 运动的过程中，是否存在这样的点P ，使△EOP ≌△AOB ?若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由．9.（2020·宜兴市月考）如图，在△ABC 中，∠BAD ＝∠DAC ，DF ⊥AB ，DM ⊥AC ，AF ＝10cm ，AC ＝14cm ，动点E 以2cm /s 的速度从A 点向F 点运动，动点G 以1cm /s 的速度从C 点向A 点运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，设运动时间为t ．（1）求证：AF ＝AM ；（2）当t 取何值时，△DFE 与△DMG 全等；（3）求证：在运动过程中，不管t 取何值，都有2AED DGC S S =△△．10.（2020·江苏工业园区期末）如图①，将长方形纸片沿对角线剪成两个全等的直角三角形ABC、EDF，其中AB＝8cm，BC＝6cm，AC＝10cm．现将△ABC和△EDF按如图②的方式摆放（点A与点D、点B与点E 分别重合）．动点P从点A出发，沿AC以2cm/s的速度向点C匀速移动；同时，动点Q从点E出发，沿射线ED以acm/s（0＜a＜3）的速度匀速移动，连接PQ、CQ、FQ，设移动时间为ts（0≤t≤5）．＝3S△BQC，则a＝；（1）当t＝2时，S△AQF（2）当以P、C、Q为顶点的三角形与△BQC全等时，求a的值；（3）如图③，在动点P、Q出发的同时，△ABC也以3cm/s的速度沿射线ED匀速移动，当以A、P、Q为顶点的三角形与△EFQ全等时，求a与t的值．11.（2019·江苏期末）如图①，在ABC ∆中，12AB =cm ，20BC =cm ，过点C 作射线//CD AB ．点M 从点B 出发，以3cm /s 的速度沿BC 匀速移动；点N 从点C 出发，以a cm /s 的速度沿CD 匀速移动．点M 、N 同时出发，当点M 到达点C 时，点M 、N 同时停止移动．连接AM 、MN ，设移动时间为t (s )．(1)点M 、N 从移动开始到停止，所用时间为s ；(2)当ABM ∆与MCN ∆全等时，①若点M 、N 的移动速度相同，求t 的值；②若点M 、N 的移动速度不同，求a 的值；(3)如图②，当点M 、N 开始移动时，点P 同时从点A 出发，以2cm /s 的速度沿AB 向点B 匀速移动，到达点B 后立刻以原速度沿BA 返回．当点M 到达点C 时，点M 、N 、P 同时停止移动．在移动的过程中，是否存在PBM ∆与MCN ∆全等的情形?若存在，求出t 的值；若不存在，说明理由．图①图②12.如图，ABC 中，90ACB ∠=︒，8AC cm =，15BC cm =，点M 从A 点出发沿A →C →B 路径向终点运动，终点为B 点，点N 从B 点出发沿B →C →A 路径向终点运动，终点为A 点，点M 和N 分别以每秒2cm 和3cm 的运动速度同时开始运动，两点都要到达相应的终点时才能停止运动，分别过M 和N 作ME l ⊥于E ，NF l ⊥于F 设运动时间为t 秒，要使以点M ，E ，C 为顶点的三角形与以点N ，F ，C 为顶点的三角形全等，则t 的值为________．13.（2019·湖北襄州）在平面直角坐标系中，点A（0，5），B（12，0），在y轴负半轴上取点E，使OA＝EO，作∠CEF＝∠AEB，直线CO交BA的延长线于点D．（1）根据题意，可求得OE＝；（2）求证：△ADO≌△ECO；（3）动点P从E出发沿E﹣O﹣B路线运动速度为每秒1个单位，到B点处停止运动；动点Q从B出发沿B﹣O﹣E运动速度为每秒3个单位，到E点处停止运动．二者同时开始运动，都要到达相应的终点才能停止．在某时刻，作PM⊥CD于点M，QN⊥CD于点N．问两动点运动多长时间△OPM与△OQN全等？14.（2019·福建省惠安期中）如图，在△ABC中，BC＝8cm，AG∥BC，AG＝8cm，点F从点B出发，沿线段BC以4cm/s的速度连续做往返运动，同时点E从点A出发沿线段AG以2cm/s的速度向终点G运动，当点E到达点G时，E、F两点同时停止运动，EF与AC交于点D，设点E的运动时间为t（秒）（1）分别写出当0≤t≤2和2＜t≤4时线段BF的长度（用含t的代数式表示）；（2）当BF＝AE时，求t的值；（3）若△ADE≌△CDF，求所有满足条件的t值．15.（2020·无锡市月考）△ABC中，AB=AC=12厘米，∠B=∠C，BC=8厘米，点D为AB的中点．如果点P 在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．若点Q 的运动速度为_____厘米/秒，△BPD与△CQP全等.16.（2020·广东龙岗期末）直角三角形ABC中，∠ACB=90°，直线l过点C．（1）当AC=BC时，如图①，分别过点A、B作AD⊥l于点D，BE⊥l于点E．求证：△ACD≌△CBE．（2）当AC=8，BC=6时，如图②，点B与点F关于直线l对称，连接BF，CF，动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿AC边向终点C运动，同时动点N从点F出发，以每秒3个单位的速度沿F→C→B→C→F向终点F运动，点M、N到达相应的终点时停止运动，过点M作MD⊥l于点D，过点N 作NE⊥l于点E，设运动时间为t秒．①CM=，当N在F→C路径上时，CN=．（用含t的代数式表示）②直接写出当△MDC与△CEN全等时t的值．17.（2020·青岛市黄岛区月考）如图1，直线AM AN ⊥，AB 平分MAN ∠，过点B 作BC BA ⊥交AN 于点C ；动点E 、D 同时从A 点出发，其中动点E 以2/m s 的速度沿射线AN 方向运动，动点D 以1/m s 的速度运动；已知6AC cm =，设动点D ，E 的运动时间为t ．图1备用图（1）试求∠ACB 的度数；（2）当点D 在射线AM 上运动时满足ADB S ：2BEC S = ：3，试求点D ，E 的运动时间t 的值；（3）当动点D 在直线AM 上运动，E 在射线AN 运动过程中，是否存在某个时间t ，使得ADB 与BEC 全等？若存在，请求出时间t 的值；若不存在，请说出理由．参考答案及解析初中数学中，动点问题是学习的重、难点，在三角形、矩形等一些几何图形上，设计一个或多个动点，探究全等三角形存在性问题，该类题目具有较强的综合性。

全等三角形动点问题

ABCDEF全等三角形动点问题一）、知识回顾动态几何题，是指以几何知识和几何图形为背景，渗透运动变化观点的一类试题；而通过对几何图形运动变化，使同学们经历由观察、想象、推理等发现、探索的过程，是中考数学试题中，考查创新意识、创新能力的重要题型；解决这类问题，要善于探索图形的运动特点和规律，抓住变化中图形的性质与特征，化动为静，以静制动．热身练习：1、如图，在等腰△ACB 中，AC ＝BC ＝5，AB ＝8，D 为底边AB 上一动点（不与点A ，B 重合），DE ⊥AC ，DF ⊥BC ，垂足分别为E ，F ，则DE ＋DF ＝．二）、例题辨析例1、如图，在等腰Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=CB ，AC=8，F 是AB 边上的中点，点D 、E 分别在AC 、BC 边上运动，且始终保持AD=CE ，连接DE 、DF 、EF. （1）、求证：△ADF ≌△CEF.（2）、试证明△DFE 是等腰直角三角形.（3）、在此运动变化的过程中，四边形CDFE 的面积是否保持不变？试说明理由．（4）、求△CDE 面积的最大值．例2如图，△ABC 的边BC 在直线上，AC ⊥BC ，且AC ＝BC ，△EFP 的边FP 也在直线上，边EF 与边AC 重合，且EF ＝FP 。

（1）在图1中，请你通过观察、测量，猜想并写出AB与AP所满足的数量关系和位置关系；（2）将△EFP沿直线向左平移到图2的位置时，EP交AC于点Q，连结AP、BQ。

猜想并写出BQ与AP所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想。

练习：1、如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，F是AB边上的中点，点D、E 分别在AC、BC边上运动，且保持AD=CE．连接DE、DF、EF．在此运动变化的过程中，下列结论：①△DFE是等腰直角三角形；②DE长度的最小值为4；③四边形CDFE的面积保持不变；④△CDE 面积的最大值为8．其中正确的结论是（） A ．①②③ B ．①③ C ．①③④ D ．②③④2、（2011随州，18，7分）在等腰三角形ABC 中，∠ABC=90°，D 为AC 边上中点，过D 点作DE ⊥DF ，交AB 于E ，交BC 于F ，若AE=4，FC=3，求EF 长．例2：在ABC ∆中，AB AC =，CG BA ⊥交BA 的延长线于点G ．一等腰直角三角尺按如图1所示的位置摆放，该三角尺的直角顶点为F ，一条直角边与AC 边在一条直线上，另一条直角边恰好经过点B ．（1）在图1中请你通过观察、测量BF 与CG 的长度，猜想并写出BF 与CG 满足的数量关系，然后证明你的猜想；（2）当三角尺沿AC 方向平移到图2所示的位置时，一条直角边仍与AC 边在同一直线上，另一条直角边交BC 边于点D ，过点D 作DE BA ⊥于点E ．此时请你通过观察、测量DE 、DF 与CG 的长度，猜想并写出DE DF +与CG 之间满足的数量关系，然后证明你的猜想；（3）当三角尺在⑵的基础上沿AC 方向继续平移到图3所示的位置(点F 在线段AC 上，且点F 与点C 不重合)时，⑵中的猜想是否仍然成立？(不用说明理由)例3、如图，在等边△ABC 中，AB=9cm ，点P 从点C 出发沿CB 边向点B 点以2cm/s 的速度移动，点Q 点从B 点出发沿BA 边向A 点以5cm/s 速度移动．P 、Q 两点同时出发，它们移动的时间为t 秒钟．（1）你能用t 表示BP 和BQ 的长度吗？请你表示出来．（2）请问几秒钟后，△PBQ 为等边三角形？ABE G图3BC GC G图1（3）若P、Q两点分别从C、B两点同时出发，并且都按顺时针方向沿△ABC三边运动，请问经过几秒钟后点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？三）、归纳总结动点一般在中考都是压轴题，步骤不重要，重要的是思路。

全等三角形经典动态几何问题1

1．在△ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC ，直线MN 经过点C ，且AD ⊥MN 于D ，BE ⊥MN 于E ．（1）当直线MN 绕点C 旋转到图1的位置时，求证：①△ADC ≌△CEB ；②DE =AD ＋BE ；（2）当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时，求证：DE =AD －BE ；（3）当直线MN 绕点C 旋转到图3的位置时，试问DE 、AD 、BE 具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．2、如图，已知∠AOB=120°，OM 平分∠AOB ，将等边三角形的一个顶点P 放在射线OM 上，两边分别与OA 、OB （或其所在直线）交于点C 、D ．（1）如图①，当三角形绕点P 旋转到PC ⊥OA 时，证明：PC=PD ．（2）如图②，当三角形绕点P 旋转到PC 与OA 不垂直时，线段PC 和PD 相等吗？请说明理由．（3）如图③，当三角形绕点P 旋转到PC 与OA 所在直线相交的位置时，线段PC 和PD 相等吗？直接写出你的结论，不需证明．C B A ED 图1 N M A B C DE M N 图2 A C B ED N M 图33、用两个全等的等边三角形△ABC和△ACD拼成菱形ABCD.把一个含60°角的三角尺与这个菱形叠合，使三角尺的60°角的顶点与点A重合，两边分别与AB，AC重合.将三角尺绕点A按逆时针方向旋转.（1）当三角尺的两边分别与菱形的两边BC，CD相交于点E，F时，（如图13—1），通过观察或测量BE，CF的长度，你能得出什么结论？并证明你的结论；（2）当三角尺的两边分别与菱形的两边BC，CD的延长线相交于点E，F时（如图13—2），你在（1）中得到的结论还成立吗？简要说明理由.4、如图(1)，已知AB⊥BD，ED⊥BD，AB＝CD，BC＝DE，求证：AC⊥CE．若将CD沿CB方向平移得到图(2)(3)(4)(5)的情形，其余条件不变，结论AC1⊥C2E还成立吗？请说明理由．5、如图1，若△ABC 和△ADE 为等边三角形，M ，N 分别EB ，CD 的中点，易证：CD=BE ，△AMN是等边三角形．（1）当把△ADE 绕A 点旋转到图2的位置时，CD=BE 是否仍然成立？若成立请证明，若不成立请说明理由；（2）当△ADE 绕A 点旋转到图3的位置时，△AMN 是否还是等边三角形？若是，请给出证明，并求出当AB =2AD 时，△ADE 与△ABC 及△AMN 的面积之比；若不是，请说明理由．6、将一副三角板中的两块三角板重合放置，其中45°和30°的两个角顶点重合在一起．(1)如图1所示，边OA 与OC 重合，此时，AB ∥CD ，则∠BOD______；(2)三角板△COD 的位置保持不动，将三角板△AOD 绕点O 顺时针方向旋转，如图2，此时OA ∥CD ，求出∠BOD 的大小；(3)在图2中，若将三角板△AOB 绕点O 按顺时针方向继续旋转，在转回到图1的过程中，还存在△AOB 中的一边与CD 平行的情况，请针对其中一种情况，画出图形，并直接写出∠BOD 的大小．图1 图2 图3。

全等三角形中的动点问题(教师版)

全等三角形中的动点问题全等三角形的判断与定义1.定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形，“全等”用符号“≌”表示，读作“全等于”。

当两个三角形完全重合时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角。

由此，可以得出：全等三角形的对应边相等，对应角相等。

2.判定：(1)三组对应边分别相等的两个三角形全等(简称SSS或“边边边”)，这一条也说明了三角形具有稳定性的原因。

(2)有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS或“边角边”)。

(3)有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA或“角边角”)。

(4)有两角及一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS或“角角边”)(5)直角三角形全等条件有：斜边及一直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL或“斜边，直角边”) 所以，SSS,SAS,ASA,AAS,HL均为判定三角形全等的定理。

注意：在全等的判定中，没有AAA和SSA，这两种情况都不能唯一确定三角形的形状。

3.性质：(1)全等三角形的对应角相等。

(2)全等三角形的对应边相等。

(3)全等三角形的对应边上的高对应相等。

(4)全等三角形的对应角的角平分线相等。

(5)全等三角形的对应边上的中线相等。

(6)全等三角形面积相等。

(7)全等三角形周长相等。

(8)全等三角形的对应角的三角函数值相等。

1、如图，在△ABC中，∠BAD=∠DAC，DF⊥AB，DM⊥AC，AF=10cm，AC=14cm，动点E以2cm/s的速度从A点向F点运动，动点G以1cm/s的速度从C点向A点运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，设运动时间为．(1)求证：在运动过程中，不管取何值，都有S△AED=2S△DGC；(2)当取何值时，△DFE与△DMG全等；(3)在(2)的前提下，若，，求S△BFD．（1）证明：∵∠BAD=∠DAC，DF⊥AB，DM⊥AC，∴DF=DM，∵S△AED=AE•DF，S△DGC=CG•DM，∴=，∵点E以2cm/s的速度从A点向F点运动，动点G以1cm/s的速度从C点向A点运动，∴AE=2tcm，CG=tcm，∴=2，即=2，∴在运动过程中，不管取何值，都有S△AED=2S△DGC．（2）解：设时间为t时，△DFE与△DMG全等，则EF=MG，①当M在线段CG的延长线上时，∵点E以2cm/s的速度从A点向F点运动，动点G以1cm/s的速度从C点向A点运动，∴EF=AF-AE=10-2t，MG=AC-CG-AM=4-t，即10-2t=4-t，解得：t=6，当t=6时，MG=-2，所以舍去；②当M在线段CG上时，∵点E以2cm/s的速度从A点向F点运动，动点G以1cm/s的速度从C点向A点运动，∴EF=AF-AE=10-2t（cm），MG=AM-（AC-CG）=t-4（cm），即10-2t=t-4，解得：t=，综上所述当t=时，△DFE与△DMG全等．（3）∵t=，∴AE=2t=（cm），∵DF=DM，∴S△ABD：S△ACD=AB：AC=BD：CD=119：126，∵AC=14cm，∴AB=（cm），∴BF=AB-AF=-10=（cm），∵S△ADE：S△BDF=AE：BF=：，S△AED=28cm2，∴S△BDF=（cm2）．解析：（1）由角平分线的性质可知DF=DM，所以△AED和△DEG的面积转化为底AE和CG的比值，根据路程=速度×时间求出AE和CG的长度即可证明在运动过程中，不管取何值，都有S△AED=2S△DGC．（2）若△DFE与△DMG全等，则EF=MG，利用已知条件求出EF和MG的长度，建立方程解方程即可求出运动的时间．（3）利用等高三角形的面积比等于对应底的比，即可求得答案．2、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，AC=8cm，点P从A出发向C以1cm/s的速度运动、点Q同时从C出发向B以1cm/s的速度运动，当一个点运动到终点时，该点停止运动，另一个点继续运动，当两个点都到达终点时也停止运动．(1)几秒后，△CPQ的面积为Rt△ABC的面积的？(2)填空：①点经过_____秒，点P在线段AB的垂直平分线上．②点Q经过_____秒，点Q在∠BAC的平分线上．（1）设经过x秒，首先求得线段BC的长，然后分x≤6和6＜x≤8两种情况列方程求解即可；（2）①点P在线段AB的垂直平分线上，即可得到PA=PB，从而求得时间；②点Q在∠BAC的平分线上，则Q点到AC和AB的距离相等．解；（1）设经过x秒．在Rt△ABC中，根据题意得；当x≤6时，（8-x）x=××8×6解得：当6＜x≤8时，（8-x）×6=37解得：x=7答：经过7秒或秒．（2）当点P在线段AB的垂直平分线上时，PA=PB，∵设经过x秒后点P在线段AB的垂直平分线上，∴x2=（8-x）2+62解得：x=，∴经过秒，点P在线段AB的垂直平分线上②如图，作QD⊥AB于点D，∵点Q在∠BAC的平分线上，∴QD=QC，设经过x秒，则CQ=x，则QD=（6-x），∴x=（6-x），解得：x=，∴点Q经过秒，点Q在∠BAC的平分线上．3、如图，△ABC是直角三角形，∠A=90°，AB=8cm，AC=6cm点P从点A出发，沿AB方向以2cm/s的速度向点B运动；同时点Q从点A出发，沿AC方向以1cm/s的速度向点C运动，其中一个动点到达终点，则另一个动点也停止运动，则三角形APQ的最大面积是()A.8cm2B.16cm2C.24cm2D.32cm2解：根据题意沿AB方向以2cm/s的速度向点B运动；同时点Q从点A出发，沿AC方向以1cm/s的速度向点C运动，∴AP=2t，AQ=t，S△APQ=t2，∵0＜t≤4，∴三角形APQ的最大面积是16．故选B．4、如图，直线AC∥BD，连接AB，直线AC，BD及线段AB把平面分成①、②、③、④四个部分，规定：线上各点不属于任何部分．当动点P落在某个部分时，连接PA，PB，构成∠PAC，∠APB，∠PBD三个角．(提示：有公共端点的两条重合的射线所组成的角是0°角)(1)当动点P落在第①部分时，求证：∠APB=∠PAC+∠PBD；(2)当动点P落在第②部分时，∠APB=∠PAC+∠PBD是否成立？(直接回答成立或不成立)(3)当动点P落在第③部分时，全面探究∠PAC，∠APB，∠PBD之间的关系，并写出动点P的具体位置和相应的结论．选择其中一种结论加以证明．解：（1）解法一：如图1延长BP交直线AC于点E．∵AC∥BD，∴∠PEA=∠PBD．∵∠APB=∠PAE+∠PEA，∴∠APB=∠PAC+∠PBD；解法二：如图2过点P作FP∥AC，∴∠PAC=∠APF．∵AC∥BD，∴FP∥BD．∴∠FPB=∠PBD．∴∠APB=∠APF+∠FPB=∠PAC+∠PBD；解法三：如图3，∵AC∥BD，∴∠CAB+∠ABD=180°，∠PAC+∠PAB+∠PBA+∠PBD=180°．又∠APB+∠PBA+∠PAB=180°，∴∠APB=∠PAC+∠PBD．（2）不成立．（3）（a）当动点P在射线BA的右侧时，结论是∠PBD=∠PAC+∠APB．（b）当动点P在射线BA上，结论是∠PBD=∠PAC+∠APB．或∠PAC=∠PBD+∠APB或∠APB=0°，∠PAC=∠PBD（任写一个即可）．（c）当动点P在射线BA的左侧时，结论是∠PAC=∠APB+∠PBD．选择（a）证明：如图4，连接PA，连接PB交AC于M．∵AC∥BD，∴∠PMC=∠PBD．又∵∠PMC=∠PAM+∠APM（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），∴∠PBD=∠PAC+∠APB．选择（b）证明：如图5∵点P在射线BA上，∴∠APB=0度．∵AC∥BD，∴∠PBD=∠PAC．∴∠PBD=∠PAC+∠APB或∠PAC=∠PBD+∠APB或∠APB=0°，∠PAC=∠PBD．选择（c）证明：如图6，连接PA，连接PB交AC于F∵AC∥BD，∴∠PFA=∠PBD．∵∠PAC=∠APF+∠PFA，∴∠PAC=∠APB+∠PBD．解析：（1）如图1，延长BP交直线AC于点E，由AC∥BD，可知∠PEA=∠PBD．由∠APB=∠PAE+∠PEA，可知∠APB=∠PAC+∠PBD；（2）过点P作AC的平行线，根据平行线的性质解答；（3）根据P的不同位置，分三种情况讨论．6、如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=∠DCB，AB=DC，AE=DF．(1)试说明BF=CE的理由；(2)当E、F相向运动，形成如图2时，BF和CE还相等吗？请说明你的结论和理由．证明：（1）∵AD∥BC，∴∠BAD+∠ABC=180°，∠CDA+∠DCB=180°，∵∠ABC=∠DCB，∴∠BAD=∠CDA，∵AE=DF，∴AE+AD=DF+AD，即AF=DE，在△ABF和△DCE中，，∴△ABt≌△DCE（SAS），∴BF=CE；（2）相等．在△ABC和△DCB中，，∴△ABC≌△DCB（SAS），∴BF=CE．解析：（1）根据两直线平行，同旁内角互明证明∠BAD=∠CDA，根据AE边DF证明AF=DE，再根据边角边定理证明△ABF和△DCE全等，根据全等三角形对应边相等即可证明BF=CE．（2）利用边角边定即证明△ABC和△DCB全等，再根据全等三角形对应边相等即可证明7、如图，已知△ABC中，BC=AC=8厘米，∠C=90°，如果点P在线段AC上以1厘米/秒的速度由A点向C点运动，同时，点Q在线段BC上由C点向B点运动，运动速度与点P的运动速度相等，点M是AB的中点．(1)在点P和点Q运动过程中，△APM与△CQM是否保持全等，请说明理由；(2)在点P和点Q运动过程中，四边形PMQC的面积是否变化？若变化说明理由；若不变，求出这个四边形的面积；(3)线段AP、PQ、BQ之间存在什么数量关系，写出这个关系，并加以证明．解：（1）在点P和点Q运动过程中，△APM与△CQM是否保持全等．理由如下：∵在△ABC中，BC=AC=8厘米，∠C=90°，点M是AB的中点，∴∠A=∠MCQ=45°，AM=CM，∴在△APM与△CQM中，，∴△APM与△CQM（SAS）；（2）在点P和点Q运动过程中，四边形PMQC的面积不变化，其面积是32厘米2，理由如下：由（1）知，△APM与△CQM，∴S△APM=S△CQM，∴S四边形PMQC=S△AMC=S△ABC=AC•BC=×8×8=32（厘米2），即在点P和点Q运动过程中，四边形PMQC的面积不变化，其面积是32厘米2；（3）AP2+BQ2=PQ2．证明如下：∵由（1）知，△APM与△CQM，∴AP=CQ，又AC=BC，∴PC=BQ，∴AP2+BQ2=CQ2+CP2=PQ2．即AP2+BQ2=PQ2．解析：（1）通过SAS证得△APM与△CQM；（2）由（1）中的全等三角形的面积相等可以推知：S四边形PMQC=S△AMC=S△ABC；（3）AP2+BQ2=PQ2．利用（1）中的全等三角形的对应边相等推知AP=CQ，则PC=BQ，所以在直角△PCQ中，利用勾股定理推得AP2+BQ2=PQ2．8、如图，已知△ABC中，AB=AC=10厘米，BC=8厘米，点D为AB的中点．(1)如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？(2)若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？解：（1）①∵t=1秒，∴BP=CQ=3×1=3厘米，∵AB=10厘米，点D为AB的中点，∴BD=5厘米．又∵PC=BC-BP，BC=8厘米，∴PC=8-3=5厘米，∴PC=BD．又∵AB=AC，∴∠B=∠C，在△BPD和△CQP中，∴△BPD≌△CQP．（SAS）②∵v P≠v Q，∴BP≠CQ，又∵△BPD≌△CPQ，∠B=∠C，则BP=PC=4cm，CQ=BD=5cm，∴点P，点Q运动的时间秒，∴厘米/秒；（2）设经过x秒后点P与点Q第一次相遇，由题意，得x=3x+2×10，解得．∴点P共运动了×3=80厘米．∵80=56+24=2×28+24，∴点P、点Q在AB边上相遇，∴经过秒点P与点Q第一次在边AB上相遇．解析：（1）①根据时间和速度分别求得两个三角形中的边的长，根据SAS判定两个三角形全等．②根据全等三角形应满足的条件探求边之间的关系，再根据路程=速度×时间公式，先求得点P运动的时间，再求得点Q的运动速度；（2）根据题意结合图形分析发现：由于点Q的速度快，且在点P的前边，所以要想第一次相遇，则应该比点P多走等腰三角形的两个腰长．9、如图，已知△ABC中，AB=AC=10cm，BC=8cm，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以3cm/s的速度由点B向C点运动，同时，点Q在线段CA上由点C向A点运动．(1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由．(2)若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？分析：（1）经过1秒后，PB=3cm，PC=5cm，CQ=3cm，由已知可得BD=PC，BP=CQ，∠ABC=∠ACB，即据SAS可证得△BPD≌△CQP．（2）可设点Q的运动速度为x（x≠3）cm/s，经过ts△BPD与△CQP全等，则可知PB=3tcm，PC=8-3tcm，CQ=xtcm，据（1）同理可得当BD=PC，BP=CQ或BD=CQ，BP=PC时两三角形全等，求x的解即可．解答：解：（1）经过1秒后，PB=3cm，PC=5cm，CQ=3cm，∵△ABC中，AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，且BD=PC，BP=CQ，∴△BPD≌△CQP（SAS）．（2）设点Q的运动速度为x（x≠3）cm/s，经过ts△BPD与△CQP全等；则可知PB=3tcm，PC=8-3tcm，CQ=xtcm，∵AB=AC，∴∠B=∠C，根据全等三角形的判定定理SAS可知，有两种情况：①当BD=PC，BP=CQ时，②当BD=CQ，BP=PC时，两三角形全等；①当BD=PC且BP=CQ时，8-3t=5且3t=xt，解得x=3，∵x≠3，∴舍去此情况；②BD=CQ，BP=PC时，5=xt且3t=8-3t，解得：x=；故若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为cm/s时，能够使△BPD与△CQP全等．点评：本题主要考查了全等三角形全等的判定，涉及到等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．10、在△ABC中，AB=AC，(1)如图①，若∠BAC=45°，AD和CE是高，它们相交于点H．求证：AH=2BD；(2)如图②，若AB=AC=10厘米，BC=8厘米，点M为AB的中点，点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．如果在运动过程中存在某一时刻使得△BPM与△CQP全等，那么点Q的运动速度为多少？点P、Q运动的时间t为多少？解：（1）证明：在△ABC中，∵∠BAC=45°，CE⊥AB，∴AE=CE，∠EAH=∠ECB，在△AEH和△CEB中，，∴△AEH≌△CEB（ASA），∴AH=BC，∵BC=BD+CD，且BD=CD，∴BC=2BD，∴AH=2BD．（2）∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴△BPM与△CQP全等有两种情况：△BPM≌△CPQ 或△BPM≌△CQP当△BPM≌△CPQ时，BP=PC=4，CQ=BM=5，∴点P，点Q运动的时间秒，∴厘米/秒．当△BPM≌△CQP时，BP=CQ，∴V Q=V P=3厘米/秒．此时PC=BM=5，t=秒．综上所述，点Q的运动速度为厘米/秒，此时t=秒或点Q的运动速度为3厘米/秒，此时t=1秒．解析：（1）证得△BCE≌△HAE，证得AH=BC，证得AH=2BD；（2）根据全等三角形应满足的的件探求边之间的关系，再根据路程=速度×时间公式，先求得点P运动的时间，再求得点Q的运动速度B11、如图所示，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，DE∥BC，如图①，然后将△ADE绕A点顺时针旋转一定角度，得到图②，然后将BD、CE分别延长至M、N，使DM=BD，EN=CE，得到图③，请解答下列问题：(1)若AB=AC，请探究下列数量关系：①在图②中，BD与CE的数量关系是______；②在图③中，猜想AM与AN的数量关系、∠MAN与∠BAC的数量关系，并证明你的猜想；(2)若AB=k•AC(k＞1)，按上述操作方法，得到图④，请继续探究：AM与AN的数量关系、∠MAN与∠BAC的数量关系，直接写出你的猜想，不必证明分析：（1）①根据题意和旋转的性质可知△AEC≌△ADB，所以BD=CE；②根据题意可知∠CAE=BAD，AB=AC，AD=AE，所以得到△BAD≌△CAE，在△ABM和△ACN中，DM=BD，EN=CE，可证△ABM≌△ACN，所以AM=AN，即∠MAN=∠BAC．（2）直接类比（1）中结果可知AM=k•AN，∠MAN=∠BAC．解答：解：（1）①BD=CE；②AM=AN，∠MAN=∠BAC，∵∠DAE=∠BAC，∴∠CAE=∠BAD，在△BAD和△CAE中∵∴△CAE≌△BAD（SAS），∴∠ACE=∠ABD，∵DM=BD，EN=CE，∴BM=CN，在△ABM和△ACN中，∵∴△ABM≌△ACN（SAS），∴AM=AN，∴∠BAM=∠CAN，即∠MAN=∠BAC；（2）AM=k•AN，∠MAN=∠BAC．点评：本题考查三角形全等的判定方法和性质．判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．本题还要会根据所求的结论运用类比的方法求得同类题目．12、已知：如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C分别在坐标轴上，且OA=OB=OC，△ABC的面积为9，点P从C点出发沿y轴负方向以1个单位/秒的速度向下运动，连接PA，PB，D(-m，-m)为AC上的点(m＞0)(1)试分别求出A，B，C三点的坐标；(2)设点P运动的时间为t秒，问：当t为何值时，DP与DB垂直相等？请说明理由；(3)若PA=AB，在第四象限内有一动点Q，连QA，QB，QP，且∠PQA=60°，当Q在第四象限内运动时，下列说法：(i)∠APQ+∠PBQ的度数和不变；(ii)∠BAP+∠BQP的度数和不变，其中有且只有一个说法是正确的，请判断正确的说法，并求这个不变的值．解：（1）∵OA=OB=OC，∠AOC=∠BOC=90°，∴∠OAC=∠OCA=∠OBC=∠OCB=45°，∴∠ACB=90°，又△ABC的面积为9，∴OA=OC=OB=3，∴A（-3，0），B（3，0），C（0，-3）；（2）当t=3秒时，即CP=OC时，DP与DB垂直且相等．理由如下：连接OD，作DM⊥x轴于点M，作DN⊥y轴于点N，∵D（-m，-m），∴DM=DN=OM=ON=m，∴∠DOM=∠DON=45°，而∠ACO=45°，∴DC=DO，∴∠PCD=∠BOD=135°，又CP=OC=OB，∴△PCD≌△BOD （SAS），∴DP=DB，∠PDC=∠BDO，∴∠BDP=∠ODC=90°，即DP⊥DB．（3）解：（i）正确．在QA上截取QS=QP，连接PS．∵∠PQA=60°，∴△QSP是等边三角形，∴PS=PQ，∠SPQ=60°，∵PO是AB的垂直平分线，∴PA=PB 而PA=AB，∴PA=PB=AB，∴∠APB=60°，∴∠APS=∠BPQ，∴△APS≌△BPQ，∴∠PAS=∠PBQ，∴∠APQ+∠PBQ=∠APQ+∠PAS=120°．解析：（1）利用OA=OB=OC，∠AOC=∠BOC=90°得出∠ACB=90°，再利用△ABC的面积为9，得出OA=OC=OB=3 即可得出各点的坐标；（2）作DM⊥x轴于点M，作DN⊥y轴于点N，假设出D点的坐标，进而得出△PCD≌△BOD，进而得到∠BDP=∠ODC=90°，即DP⊥DB；（3）在QA上截取QS=QP，连接PS，利用∠PQA=60°，得出△QSP是等边三角形，进而得出△APS≌△BPQ，从而得出∠APQ+∠PBQ=∠APQ+∠PAS得出答案．13、如图1，已知P为正方形ABCD的对角线AC上一点(不与A、C重合)，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F．(1)求证：BP=DP；(2)如图2，若四边形PECF绕点C按逆时针方向旋转，在旋转过程中是否总有BP=DP？若是，请给予证明；若不是，请用反例加以说明；(3)试选取正方形ABCD的两个顶点，分别与四边形PECF的两个顶点连接，使得到的两条线段在四边形PECF绕点C按逆时针方向旋转的过程中长度始终相等，并证明你的结论．分析：（1）由正方形的性质可证△ABP≌△ADP，即BP=DP；（2）当四边形PECF的点P旋转到BC边上时，DP＞DC＞BP，此时BP=DP不成立；（3）由旋转的性质和正方形的性质可证△BEC≌△DFC，即BE=DF．解答：（1）证明：证法一：在△ABP与△ADP中，∵AB=AD∠BAC=∠DAC，AP=AP，∴△ABP≌△ADP，∴BP=DP．（2分）证法二：利用正方形的轴对称性，可得BP=DP．（2分）（2）解：不是总成立．（3分）当四边形PECF的点P旋转到BC边上时，DP＞DC＞BP，此时BP=DP不成立，（5分）说明：未用举反例的方法说理的不得分．（3）解：连接BE、DF，则BE与DF始终相等，，在图1中，由正方形ABCD可证：AC平分∠BCD，∵PE⊥BC，PF⊥CD，∴PE=PF，∠BCD=90°，∴四边形PECF为正方形．（7分）∴CE=CF，∵∠DCF=∠BCE，BC=CD，∴△BEC≌△DFC，∴BE=DF．（8分）点评：本题考查了旋转的性质和全等三角形的判定，以及正方形的性质．14、如图，在△ABC中，AB=AC=5，∠B=∠C，BC=8，点D从B点出发沿线段BC向C运动(D不与B、C重合)，点E从点C出发沿线段CA向A运动(E不与A、C重合)，它们以相同的速度同时运动，连结AD、DE．若要使△ABD≌△DCE，①请给出确定D、E两点位置的方法(如指明CD长度等)，并说明理由；②此时∠ADE与∠C大小关系怎样？为什么？解：①DC=5，理由是：∵BC=8，CD=AB=5，∴BD=8-5=3，即CE=BD=3，在△ABD和△DCE中，，∴△ABD≌△DCE，即当CD=5时，△ABD≌△DCE．②∠ADE=∠C，理由是：∵△ABD≌△DCE，∴∠BDA=∠DEC，∴∠C=180°-∠DEC-∠EDC=180°-∠ADB-∠EDC，∵∠ADE=180°-∠BDA-∠EDC，∴∠ADE=∠C．解析：①CD=5时，根据SAS推出△ABD≌△DCE即可．②根据全等三角形性质得出∠BDA=∠DEC，根据三角形内角和定理求出∠C=180°-∠ADB-∠EDC，求出∠ADE=180°-∠BDA-∠EDC，即可得出答案．15、如图：△ABC中，AB=AC=5(即有∠B=∠C)，BC=8，点D在线段BC上运动(D不与B、C重合)，点E在线段AC上运动(E不与A、C重合)，连结AD、DE．(1)点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变_____(填“大”或“小”)；(2)若要使△ABD≌△DCE，①请给出确定D、E两点位置的方法(如指明某些线段的长度等)，并说明理由；②此时∠ADE与∠C大小关系怎样？为什么？（1）根据BD边逐渐增长可得∠BAD逐渐增大，又因为∠B的大小固定不变，结合三角形内角和定理∠B+∠BAD+∠ADB=180°可得∠ADB逐渐减小．（2）①根据三角形全等的性质可得DC=AB，DB=CE，进而得到答案；②根据全等三角形的性质可得∠1=∠2，再根据∠1+∠B+∠ADB=180°，∠2+∠ADE+∠BDA=180°，可得∠ADE=∠B，进而得到∠ADE=∠C．解：（1）∵点D从B向C运动时，BD边逐渐变长，∴∠BAD逐渐增大，∵∠B的大小固定不变，∠B+∠BAD+∠ADB=180°，∴∠ADB逐渐减小；（2）①∵△ABD≌△DCE，∴DC=AB=5，CE=DB，∵BC=8，∴CE=DB=8-5=3；②∠ADE=∠C；理由：∵△ABD≌△DCE，∴∠1=∠2，∵∠1+∠B+∠ADB=180°，∠2+∠ADE+∠BDA=180°，∴∠ADE=∠B，∵∠B=∠C，∴∠ADE=∠C．17、如图1，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，AF平分∠BAC，交BD 于点F．(1)求证：EF+AC=AB；(2)点C1从点C出发，沿着线段CB向点B运动(不与点B重合)，同时点A1从点A出发，沿着BA的延长线运动，点C1与A1的运动速度相同，当动点C1停止运动时，另一动点A1也随之停止运动．如图2，A1F1平分∠BA1C1，交BD于点F1，过点F1作F1E1⊥A1C1，垂足为E1，请猜想E1F1，A1C1与AB三者之间的数量关系，并证明你的猜想；(3)在(2)的条件下，当A1E1=3，C1E1=2时，求BD的长．分析：（1）过F作FM⊥AB于点M，首先证明△AMF≌△AEF，求出MF=MB，即可知道EF+AE=AB．（2）连接F1C1，过点F1作F1P⊥A1B于点P，F1Q⊥BC于点Q，证明Rt△A1E1F1≌Rt△A1PF1，Rt△QF1C1≌Rt△E1F1C1后推出A1B+BC1=A1P+PB+QB+C1Q=A1P+C1Q+2E1F1化简为E1F1+A1C1=AB．（3）设PB=x，QB=x，PB=1，E1F1=1，又推出E1F1+A1C1=AB，得出BD=．解答：（1）证明：如图1，过点F作FM⊥AB于点M，在正方形ABCD中，AC⊥BD 于点E．∴AE=AC，∠ABD=∠CBD=45°，∵AF平分∠BAC，∴EF=MF，又∵AF=AF，∴Rt△AMF≌Rt△AEF，∴AE=AM，∵∠MFB=∠ABF=45°，∴MF=MB，MB=EF，∴EF+AC=MB+AE=MB+AM=AB．（2）E1F1，A1C1与AB三者之间的数量关系：E1F1+A1C1=AB证明：如图2，连接F1C1，过点F1作F1P⊥A1B于点P，F1Q⊥BC于点Q，∵A1F1平分∠BA1C1点/sub>，∴E1F1=PF1；同理QF1=PF1，∴E1F1=PF1=QF1，21又∵A1F1=A1F1，∴Rt △A1E1F1≌Rt △A1PF1，∴A1E1=A1P ，同理Rt △QF1C1≌Rt △E1F1C1，∴C1Q=C1E1，由题意：A1A=C1C ，∴A1B+BC1=AB+A1A+BC-C1C=AB+BC=2AB ，∵PB=PF1=QF1=QB ，∴A1B+BC1=A1P+PB+QB+C1Q=A1P+C1Q+2E1F1，即2AB=A1E1+C1E1+2E1F1=A1C1+2E1F1，∴E1F1+A1C1=AB ．（3）解：设PB=x ，则QB=xm∵A1E1=3，QC1=C1E1=2，Rt △A1BC1中，A1B 2+BC12g/sup>=A 1C 12，即（3+x ）2+（2+x ）2=52，∴x 1=1，x 2=-6（舍去）， ∴PB=1，∴E 1F 1=1，又∵A 1C 1=5，由（2）的结论：E 1F 1+A 1C 1=AB ， ∴AB=，∴BD=．点评：本题考查的是勾股定理的应用，全等三角形的判定以及正方形的性质等有关知识．18、如图，在等腰Rt △ABC 中，∠B=90°，AB=BC=8cm ．动点P 从点A 出发沿线段AB 向点B 运动，动点Q 从点C 出发沿射线BC 运动，连接PQ ，交AC 于点D ．作PE ⊥AC 于点E ，若在点P ，Q 运动的过程中，始终保持AP=CQ ，则线段DE 的长度为_____．作PF∥BC交AC于点D，就可以得出△APE是等腰直角三角形，由其性质就可以得出AE=EF，由△PFD≌△QCD就可以得出DC=DF，进而就可以得出DF+FE=CD+AE就可以得出结论．解：作PF∥BC交AC于点D，∴∠APF=∠B=90°，∠AFP=∠ACB．∠FPD=∠Q，∠PFD=∠QCD．∵∠B=90°，AB=BC=8cm，∴∠A=∠ACB=45°，∴∠A=∠ACB=45°，∴PA=AF．∵PE⊥AC，∴AE=EF．∵AP=CQ，∴PF=CQ．在Rt△ABC中，由勾股定理就可以得出AC=8．在△PFD和△QCD中，，∴△PFD≌△QCD（ASA）∴DF=DC，∴DF+EF=DC+AE，∴DE=AC，∴DE=4cm．故答案为：4．19、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm，M在AC上且AM=6cm，过点A(与BC在AC同侧)作射线AN⊥AC，若动点P从点A出发，沿射线AN匀速运动，运动速度为1厘米/秒，设点P运动时间为t秒(1)经过几秒时，Rt△AMP是等腰三角形？(2)又经过几秒时，PM⊥AB？(3)连接BM，在(2)的条件下，求四边形AMBP的面积．（1）解：设经过x秒时，Rt△AMP是等腰三角形，∵∠PAM=90°，∴只能AM=AP，∵AM=6cm，∴AP=6cm，即x=6（秒），答：经过6秒时，Rt△AMP是等腰三角形；（2）解：设经过t秒时，PM⊥AB，∵PM⊥AB，AN⊥AC，∠C=90°∴∠PAM=∠4=∠C=90°，∴∠3+∠2=90°，∠1+∠2=90°，∴∠1=∠3，∴△ACB∽△PAM，∴=，∴=，x=8，8-6=2，答：又经过2秒时，PM⊥AB；23（3）解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，由勾股定理得：AB=10，同理可求PM=10，∵PM⊥AB，∴四边形AMBP的面积S=AB×PM=×10×10=50，答：四边形AMBP的面积是50．解析：（1）得出腰时AM=AP，即可得出答案；（2）证△PAM∽△ACB，得出比例式，代入求出AP，即可得出答案；（3）由勾股定理求出PM、AB，关键三角形的面积公式求出即可．。

难点探究专题：全等三角形中的动态问题(原卷版)八年级数学上册重难点专题提优训练(人教版)

专题07 难点探究专题：全等三角形中的动态问题考点一利用全等三角形中的动点求时间问题（利用分类讨论思想）考点二利用全等三角形中的动点求线段长问题考点三利用全等三角形中的动点求线段长最小值问题考点四利用全等三角形中的动点综合问题考点一利用全等三角形中的动点求时间问题（利用分类讨论思想）例题：（2021·山东临沂·八年级期中）如图，CA AB ⊥，垂足为点A ，射线BM AB ⊥，垂足为点B ，12cm AB =，6cm AC =．动点E 从A 点出发以3cm /s 的速度沿射线AN 运动，动点D 在射线BM 上，随着 E 点运动而运动，始终保持ED CB =．若点E 的运动时间为(0)t t >，则当 t =________ 个秒时，DEB 与BCA 全等．【变式训练】（2021·全国·七年级专题练习）已知：如图，在长方形ABCD 中，6,10AB AD ==延长BC 到点E ，使4CE =，连接DE ，动点F 从点B 出发，以每秒2个单位长度的速度沿BC CD DA --向终点A 运动，设点F 的运动时间为t 秒，当t 的值为_______时，ABF 和DCE 全等．考点二利用全等三角形中的动点求线段长问题例题：（2019·江苏·宜兴市周铁中学八年级阶段练习）已知：如图，∠B =90°AB ∥DF ，AB =3cm ，BD =8cm ，点C 是线段BD 上一动点，点E 是直线DF 上一动点，且始终保持AC ⊥CE ，若AC =CE ,则DE 的长为______.【变式训练】（2020·江苏·泰州中学附属初中八年级阶段练习）如图，△ABC 中，点D 在边BC 上，DE ⊥AB 于E ，DH ⊥AC 于H ，且满足DE =DH ，F 为AE 的中点，G 为直线AC 上一动点，满足DG ＝DF ，若AE =4cm ，则AG = _____cm ．考点三利用全等三角形中的动点求线段长最小值问题例题：（2021·重庆八中八年级开学考试）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =6，BC =8，AB =10，AD 平分∠CAB 交BC 于D 点，E ，F 分别是AD ，AC 上的动点，则CE +EF 的最小值为________．【变式训练】（2019·湖北·武汉大学附属外语学校八年级阶段练习）△ABC 是边长为2的等边三角形，点P 为直线BC 上的动点，把线段AP 绕A 点逆时针旋转60°至AE ，O 为AB 边上一动点，则OE 的最小值为____．考点四利用全等三角形中的动点综合问题例题：（2022·辽宁葫芦岛·八年级期末）如图，在ABC 中，90,BAC AB AC ∠=︒=．点D 是直线BC 上一动点（点D 不与点B ，C 重合），90,DAE AD AE ∠=︒=，连接CE ．(1)如图1，当点D 在线段BC 上时，直接写出,BC CD 与CE 之间的数量关系；(2)如图2，当点D 在边BC 的延长线上时，请探究线段,BC CD 与CE 之间存在怎样的数量关系？并说明理由；(3)如图3，若点D 在边CB 的延长线上，且点A ，E 分别在直线的两侧，其他条件不变，若10,6CD BC ==，直接写出CE 的长度．【变式训练】（2022·辽宁葫芦岛·八年级期末）如图①，点C 在线段AB 上（点C 不与A ，B 重合），分别以AC ，BC 为边在AB 同侧作等边△ACD 和等边△BCE ，连接AE ，BD 交于点P ．(1)观察猜想：1.AE 与BD 的数量关系为______；2.∠APD 的度数为______；(2)数学思考：如图②，当点C 在线段AB 外时，（1）中的结论①，②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明．一、选择题1．（2022·福建漳州·八年级期末）已知点A 为线段BC 上方的一动点，且满足AC -AB =3，BC =8，若AD 平分∠BAC ，且CD ⊥AD 于点D ，则S △BDC 的最大值为（）A ．24B ．12C ．6D ．32．（2020·山东·鲁村中学八年级阶段练习）如图，在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝3，AC ＝4，D 为AC 中点，P 为AB 上的动点，将P 绕点D 逆时针旋转90°得到P ′，连CP′的最小值为（）A．1.6 B ．2.4 C ．2 D ．3．（2022·全国·八年级课时练习）如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，3AC =，4BC =，AD 平分CAB ∠交BC 于D 点，E ，F 分别是AD ，AC 上的动点，则CE EF +的最小值为（）A ．52B ．152C ．3D ．125二、填空题4．（2022·全国·八年级）如图，AB ⊥BC 于B ，DC ⊥BC 于C ，AB =6，BC =8，CD =2，点P 为BC 边上一动点，当BP ＝________时，形成的Rt △ABP 与Rt △PCD 全等．5．（2022·河南漯河·八年级期末）如图，在正方形ABCD 中，3cm AB =，延长BC 到点E ，使1cm CE =，连接DE ，动点P 从点A 出发，以每秒1cm 的速度沿AB BC CD DA →→→向终点A 运动．设点P 的运动时间为t 秒，当PBC ∆和DCE ∆全等时，t 的值为 __．6．（2020·浙江宁波·八年级专题练习）如图所示，在等腰Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，点D 为射线CB 上的动点，AE AD =，且,AE AD BE ⊥与AC 所在的直线交于点P ，若3AC PC =，则BD CD=_______．三、解答题7．（2022·河北·平泉市教育局教研室八年级期末）如图1，E ，F 为线段BC 上的两个动点，AE DF ∥，且AE DF CF BE AD ==，，交EF 于点O ．(1)现有甲、乙、丙、丁四个结论：甲：点O 是AD 的中点；乙：点O 是BC 的中点；丙：点O 是EF 的中点；丁：AB CD ∥正确的结论是____________；请选择一个你认为正确的结论进行证明；(2)当点E ，F 移动至如图2所示的位置时，其余条件不变，（1）中四个结论正确的是__________．8．（2021·河北·石家庄市藁城区第一中学八年级阶段练习）在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =8cm ，BC =6cm ，点D 在AC 上，且AD =6cm ，过点A 作射线AE ⊥AC （AE 与BC 在AC 同侧），若动点P 从点A 出发，沿射线AE 匀速运动，运动速度为1cm /s ，设点P 运动时间为t 秒．连接PD 、BD ．(1)如图①，当PD ⊥BD 时，求证：△PDA ≌△DBC ；(2)如图②，当PD ⊥AB 于点F 时，求此时t 的值．9．（2021·贵州·兴义市万峰林民族学校八年级期中）如图，在长方形ABCD 中，AB =6cm ，BC =8cm ．动点P 从点B 出发，沿BC 方向以2cm /s 的速度向点C 匀速运动；同时动点Q 从点C 出发，沿CD 方向以2cm /s 的速度向点D 匀速运动，当一个点停止运动时，另一个点也停止运动．设运动时间为t （s ）（0<t <3）．解答下列问题：（1）当点C 在线段PQ 的垂直平分线上时，求t 的值；（2）是否存在某一时刻t ，使ABP PCQ ∆∆≌若存在，求出t 的值，并判断此时AP 和PQ 的位置关系；若不存在，请说明理由．10．（2022·全国·八年级课时练习）（1）如图1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD ⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．求证：△ABD≌△CAE；（2）如图2，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA ＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论△ABD≌△CAE是否成立？如成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．（3）拓展应用：如图3，D，E是D，A，E三点所在直线m上的两动点（D，A，E三点互不重合），点F 为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD，CE，若∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，求证：△DEF是等边三角形．。

专题03 全等三角形中的动态问题(解析版)

专题03全等三角形中的动态问题
初中数学中，动点问题是学习的重、难点，在三角形、矩形等一些几何图形上，设计一个或多个动点，探究全等三角形存在性问题，该类题目具有较强的综合性。

全等三角形中的动态问题

全等三角形中的动态问题在学习全等三角形的时候，大家总是皱眉头，眼神恍惚，好像在解一道超级难的题。

三角形这个东西，真没那么复杂。

想象一下，三个小三角形在操场上聚会，嬉戏打闹，大家都挺亲密，根本不分你我。

全等三角形就像是这些小伙伴，它们的边长和角度一模一样，简直就是同一个模子里刻出来的。

听起来是不是很简单呢？你要知道，这个可不是说说而已，真正的乐趣在于如何运用它们。

想想，我们日常生活中也常常用到全等三角形。

比如说，拼图游戏。

拼图就是把不同形状的块组合成一个完整的图案。

你那块拼图，不管怎么换，最终都会和那些相同的块契合。

全等三角形就是这样的存在，它们在某种程度上能让我们快速解决问题，像魔法一样。

我们在设计房屋时，也会用到这些小三角形。

像屋顶的结构，有时候全等三角形的存在，能让我们的设计更加稳固。

这就像是搭积木，底部要稳，才能往上堆得高高的，三角形就给了我们这种力量。

说到三角形，就不得不提到那条著名的“毕达哥拉斯定理”，真是让人又爱又恨的家伙。

它说的是直角三角形的边长关系，有点像调皮的孩子，时不时就跑出来捣蛋。

不过，等你搞懂了，就会发现这玩意儿在全等三角形中简直是个无价之宝。

比如，你在设计一座桥的时候，桥的稳定性就是靠三角形的特性来保证的。

就像高空走钢丝的杂技演员，必须得有坚固的基础，才能一步一步走得稳稳当当。

全等三角形还常常出现在各种比赛中，像篮球赛、足球赛之类的，队员们都是通过精准的配合来获得胜利。

三角形的特性让他们能找到最佳的位置和角度，简直就像是在打游戏，得找准时机出手。

想象一下，一个队员在三角形的顶点，他的传球角度和距离就能让队友更容易得分。

哎呀，这样一想，数学和运动还真是个完美的组合呢。

再说说建筑设计，很多建筑师就是喜欢用全等三角形来增加美感和稳定性。

有时候你会发现，建筑物的外观就像一个个拼在一起的三角形，给人一种和谐又稳定的感觉。

这个设计就像是为建筑加了一层保护壳，让它不轻易倒下。

想象一下，那些高耸入云的摩天大楼，若没有三角形的帮忙，恐怕早就摇摇欲坠了。

专题全等三角形的应用---动点运动问题(30题)(解析版)

八年级上册数学《第十二章全等三角形》专题全等三角形的应用---动点运动问题（30题）1．（2023春•虹口区校级期末）如图，AB ＝8，BC ＝10，CD 为射线，∠B ＝∠C ，点P 从点B 出发沿BC 向点C 运动，速度为1个单位/秒，点Q 从点C 出发沿射线CD 运动，速度为x 个单位/秒；若在某时刻，△ABP 能与△CPQ 全等，则x ＝．【分析】设点P 、Q 的速度为ts ，分两种情形构建方程即可解决问题．【解答】解：设点P 、Q 的速度为ts ，分两种情形讨论：①当AB ＝PC ，BP ＝CQ 时，△ABP ≌△PCQ ，即8＝10﹣t ，解得：t ＝2，∴2x ＝2×1，∴x ＝1；②当BP ＝PC ，AB ＝CQ 时，△ABP ≌△QCP ，即t =12×10＝5，∴5x ＝8，x =85，综上所述，x ＝1或85，故答案为：1或85．【点评】本题考查全等三角形的判定、路程、速度、时间之间的关系等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．2．（2022秋•攸县期末）如图，在四边形ABCD 中，∠DAB ＝∠ABC ，AB ＝5cm ，AD ＝BC ＝3cm ，点E 在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点F在线段BC上由点B向点C运动．设运动时间为t（s），当△ADE与以B，E，F为顶点的三角形全等时，则点F的运动速度为 cm/s．【分析】设点F的运动速度为xcm/s，则AE＝tcm，BE＝（5﹣t）cm，BF＝xtcm，由于∠DAB＝∠ABC，则当AD＝BE，AE＝BF时，根据“SAS”判断△ADE≌△BEF，即5﹣t＝3，t＝xt；当AD＝BF，AE＝BE 时，根据“SAS”判断△ADE≌△BFE，即xt＝3，t＝5﹣t，然后分别解方程求出x即可．【解答】解：设点F的运动速度为xcm/s，则AE＝tcm，BE＝（5﹣t）cm，BF＝xtcm，∵∠DAB＝∠ABC，∴当AD＝BE，AE＝BF时，根据“SAS”判断△ADE≌△BEF，即5﹣t＝3，t＝xt，解得t＝2，x＝1；当AD＝BF，AE＝BE时，根据“SAS”判断△ADE≌△BFE，即xt＝3，t＝5﹣t，解得t＝2.5，x＝1.2，综上所述，点F的运动速度为1或1.2cm/s．故答案为：1或1.2．【点评】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键．选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．3．（2022春•普宁市期末）如图，∠A＝∠B＝90°，AB＝60，E，F分别为线段AB和射线BD上的一点，若点E从点B出发向点A运动，同时点F从点B出发向点D运动，二者速度之比为3：7，运动到某时刻同时停止，在射线AC上取一点G，使△AEG与△BEF全等，则AG的长为．【分析】设BE＝3t，则BF＝7t，使△AEG与△BEF全等，由∠A＝∠B＝90°可知，分两种情况：情况一：当BE＝AG，BF＝AE时，列方程解得t，可得AG；情况二：当BE＝AE，BF＝AG时，列方程解得t，可得AG．【解答】解：设BE＝3t，则BF＝7t，因为∠A＝∠B＝90°，使△AEG与△BEF全等，可分两种情况：情况一：当BE＝AG，BF＝AE时，∵BF＝AE，AB＝60，∴7t＝60﹣3t，解得：t＝6，∴AG＝BE＝3t＝3×6＝18；情况二：当BE＝AE，BF＝AG时，∵BE＝AE，AB＝60，∴3t＝60﹣3t，解得：t＝10，∴AG＝BF＝7t＝7×10＝70，综上所述，AG＝18或AG＝70．故答案为：18或70．【点评】本题主要考查了全等三角形的性质，利用分类讨论思想是解答此题的关键．4．如图，△ABC中，AB＝AC＝24cm，BC＝16cm，AD＝BD．如果点P在线段BC上以2cm/s的速度由B 点向C点运动，同时，点Q在线段CA上以vcm/s的速度由C点向A点运动，那么当△BPD与△CQP 全等时，v＝（）A．3B．4C．2或4D．2或3【分析】表示出BD、BP、PC、CQ，再根据全等三角形对应边相等，分①BD、PC是对应边，②BD 与CQ是对应边两种情况讨论即可．【解答】解：∵AB＝AC＝20cm，BC＝16cm，点D为AB的中点，∴BD=12×24＝12cm，设点P、Q的运动时间为t，则BP＝2t，PC＝（16﹣2t）c①当BD＝PC时，16﹣2t＝12，解得：t＝2，则BP＝CQ＝2t＝4，故点Q的运动速度为：4÷2＝2（厘米/秒）；②当BP＝PC时，∵BC＝16cm，∴BP＝PC＝8cm，∴t＝8÷2＝4（秒），故点Q的运动速度为12÷4＝3（厘米/秒）；故选：D．【点评】本题考查了全等三角形的对应边相等的性质，等边对等角的性质，根据对应角分情况讨论是本题的难点．5．如图，已知长方形ABCD中，AD＝8cm，AB＝6cm，点E为AD的中点．若点P在线段AB上以2cm/s 的速度由点A向点B运动．同时，点Q在线段BC上由点C向点B运动，若△AEP与△BPQ全等，则点Q的运动速度是（）A．2或83B．6或83C．2或6D．1或23【分析】设Q运动的速度为xcm/s，则根据△AEP与△BQP得出AP＝BP、AE＝BQ或AP＝BQ，AE＝BP，从而可列出方程组，解出即可得出答案．【解答】解：∵长方形ABCD，∴∠A＝∠B＝90°，∵点E为AD的中点，AD＝8cm，∴AE＝4cm，设点Q的运动速度为xcm/s，①经过y秒后，△AEP≌△BQP，则AP＝BP，AE＝BQ，2y=6−2y4=8−xy，解得，x=83 y=32，即点Q的运动速度83cm/s时能使两三角形全等．②经过y秒后，△AEP≌△BPQ，则AP＝BQ，AE＝BP，2y=8−xy4=6−2y，解得：x=6 y=1，即点Q的运动速度6cm/s时能使两三角形全等．综上所述，点Q的运动速度83或6cm/s时能使两三角形全等．故选：B．【点评】本题考查全等三角形的判定及性质，涉及了动点的问题使本题的难度加大了，解答此类题目时，要注意将动点的运用时间t和速度的乘积当作线段的长度来看待，这样就能利用几何知识解答代数问题了．6．（2022秋•高邑县期中）如图，在Rt△ABC中，AC＝6，BC＝8，AB＝10．点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线A﹣C﹣B向终点B运动，同时点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿折线B﹣C﹣A向终点A运动，点P，Q都运动到各自的终点时停止．设运动时间为t（秒），直线l经过点C，且l∥AB，过点P，Q分别作直线l的垂线段，垂足为E，F．当△CPE与△CQF全等时，t的值不可能是（）A．2B．2.8C．3D．6【分析】分三种情况讨论得出关于t的方程，解方程求得t的值．【解答】解：当P在AC上，Q在BC上时，如图，过点P，Q，C分别作PE⊥直线l于点E，QF⊥直线l于点F，CD⊥AB于点D，∵∠ACB＝90，∴∠PCE+∠QCF＝90°，∵PE⊥l于E，QF⊥l于F．∴∠EPC+∠PCE＝90°，∠PEC＝∠CFQ＝90°，∴∠EPC＝∠QCF，∵△PCE≌△CQF，∴PC＝CQ，∴6﹣2t＝8﹣3t，解得t＝2；当P在AC上，Q在AC上时，即P、Q重合时，则CQ＝PC，由题意得，6﹣2t＝3t﹣8，解得t＝2.8；当P在BC上，Q在AC上时，即A、Q重合时，则CQ＝AC＝6，由题意得，2t﹣6＝6，解得t＝6．综上，当△CPE与△CQF全等时，t的值为2或2.8或6．∴t的值不可能是3．故选：C．【点评】本题考查了三角形全等的判定和性质、作图﹣基本作图、平行线之间的距离、勾股定理，根据题意得出关于t的方程是解题的关键．7．（2022秋•浠水县校级期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，BC＝6cm，直线CM⊥BC，动点D从点C开始沿射线CB方向以每秒2cm的速度运动，动点E也同时从点C开始在直线CM上以每秒1cm的速度运动，连接AD、AE，设运动时间为t秒．当△ABD≌△ACE时，t的值为（）A．2B．4C．6D．2或6【分析】当点E在射线CM上时，D在CB上，BD＝CE，当点E在CM的反向延长线上时DB＝CE，由全等三角形的性质求出其解即可．【解答】解：∵△ABD≌△ACE，∴AD＝AE，AB＝AC，BD＝CE．如图，当点E在射线CM上时，D在CB上，BD＝CE，∵CE＝t，BD＝6﹣2t，∴6﹣2t＝t，∴t＝2．如图，当点E在CM的反向延长线上时DB＝CE，∵CE＝t，BD＝2t﹣6，∴t＝2t﹣6，∴t＝6．综上所述，当t＝2或6时，△ABD≌△ACE，故选：D．【点评】本题考查了全等三角形的性质的运用，等腰三角形的性质的运用，三角形的面积公式的运用，解答时分类讨论是重点也是难点．8．（2023春•和平区校级期中）如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，满足AC＝7，BC＝12，点P从A 点出发沿A→C→B路径向终点B运动：点Q从B出发沿B→C→A路径向终点A运动；点P，Q的速度分别以每秒1个单位长度和每秒3个单位长度的速度同时开始运动，两个点都要到达相应的终点时才能停止运动，分别过P，Q作PE⊥l于E，QF⊥l于F．设运动时间为t秒，当以P，E，C为顶点的三角形与以Q，F，C为顶点的三角形全等时，t的值为　（不考虑两三角形重合的情况）．【分析】三角形PEC和三角形QFC要全等，P的对应顶点是C，有两种情况：一种是点P在AC上，点P在BC上时；另一种是点Q到达终点，而P在BC上时，先把各线段的长度表示出来，再让对应边相等，即可构造方程解出t．【解答】解：①当点P在线段AC上，点P在线段BC上时；如图：当△PCE≌CQF时，∠QCF＝∠EPC，∴PC＝CQ．由题意知：AP＝t，PC＝7﹣t，BQ＝3t，CQ＝12﹣3t；∴7﹣t＝12﹣3t，解得t＝2.5．②当P在线段BC上，点Q到达终点时，如图：当△PCE≌CQF时，∠QCF＝∠EPC，∴PC＝CQ．由题意知：AP＝t，PC＝t﹣7，CQ＝7，∴t﹣7＝7，解得t＝14．综上所述，t的值为2.5或14．【点评】本题考查全等三角形的性质，找到全等三角形的对应边是解题的关键．9．如图，在△ABC中，BC＝8cm，AG∥BC，AG＝8cm，点F从点B出发，沿线段BC以4cm/s的速度连续做往返运动，点E从点A出发沿线段AG以2cm/s的速度运动至点G，E、F两点同时出发，当点E到达点G时，E、F两点同时停止运动，EF与直线AC交于点D，设点E的运动时间为t（秒）（1）分别写出当0＜t＜2和2＜t＜4时段BF的长度（用含t的代数式表示）（2）当BF＝AE时，求t的值；（3）当△ADE≌△CDF时，直接写出所有满足条件的t值．【分析】（1）根据点F从点B出发、点E从点A出发的速度、结合图形解答；（2）根据题意列出方程，解方程即可；（3）分点E从点A运动至点G、从点G返回两种情况，根据全等三角形的性质列式计算即可．【解答】解：（1）当0＜t≤2时，BF＝4t，当2＜t≤4时，BF＝16﹣4t；（2）由题意得，16﹣4t＝2t，解得t=8 3；（3）当0＜t≤2时，△ADE≌△CDF，则AE＝CF，即8﹣4t＝2t，解得t=4 3，当2＜t≤4时，△ADE≌△CDF，则AE＝CF，即4t﹣8＝2t，解得t＝4，则t=43或4时，△ADE≌△CDF．【点评】本题考查的是全等三角形的性质的应用，根据题意求出函数关系式、掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键．10．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝10cm，BC＝5cm，P，Q两点分别在AC上和过点A且垂直于AC的射线AM上运动，且PQ＝AB，问P点运动到AC上什么位置时△ABC才能和△QPA全等．【分析】本题要分情况讨论：①Rt△APQ≌Rt△CBA，此时AP＝BC＝5cm，可据此求出P点的位置．②Rt△QAP≌Rt△BCA，此时AP＝AC，P、C重合．【解答】解：根据三角形全等的判定方法HL可知：①当P运动到AP＝BC时，∵∠C＝∠QAP＝90°，在Rt△ABC与Rt△QPA中，AP=BCPQ=AB∴Rt△ABC≌Rt△QPA（HL），即AP＝BC＝5cm；②当P运动到与C点重合时，AP＝AC，在Rt△ABC与Rt△QPA中，AP=ACPQ=AB，∴Rt△QAP≌Rt△BCA（HL），即AP＝AC＝10cm，∴当点P与点C重合时，△ABC才能和△APQ全等．综上所述，当P运动到AP＝BC、点P与点C重合时，△ABC才能和△APQ全等．【点评】本题考查三角形全等的判定方法和全等三角形的性质，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．由于本题没有说明全等三角形的对应边和对应角，因此要分类讨论，以免漏解．11．（2023春•吉安县期末）如图，△ABC中，D为AB的中点，AD＝5厘米，∠B＝∠C，BC＝8厘米．（1）若点P在线段BC上以3厘米/秒的速度从点B向终点C运动，同时点Q在线段CA上从点C向终点A运动，若点Q的速度与点P的速度相等，经1秒钟后，请说明△BPD≌△CQP；（2）若点P以3厘米/秒的速度从点B向点C运动，同时点Q以5厘米/秒的速度从点C向点A运动，它们都依次沿△ABC三边运动，则经过多长时间，点Q第一次在△ABC的哪条边上追上点P？【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠B＝∠C，再加上BP＝CQ＝3，PC＝BD＝5，则可判断△BPD 与△CQP全等；（2）设经过x秒后，点Q第一次追上点P，由题意得5x﹣3x＝2×10，解方程得到点P运动的路程为3×10＝30，得到此时点P在BC边上，于是得到结果．【解答】解：（1）∵BP＝3×1＝3，CQ＝3×1＝3，∴BP＝CQ，∵D为AB的中点，∴BD＝AD＝5，∵CP＝BC﹣BP＝5，∴BD＝CP，在△BPD与△CQP中，BD=CP∠B=∠C，BP=CQ∴△BPD≌△CQP（SAS）；（2）设经过x秒后，点Q第一次追上点P，由题意得5x﹣3x＝2×10，解得：x＝10，∴点P运动的路程为3×10＝30，∵30＝28+2，∴此时点P在BC边上，∴经过10秒，点Q第一次在BC边上追上点P．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，找准对应边是解题的关键．12．如图，∠BAC＝90°，AB＝22，AC＝28．点P从B点出发沿B→A→C路径向终点C运动；点Q从C 点出发沿C→A→B路径向终点B运动．点P和Q分别以每秒2和3个单位的速度同时开始运动，只要有一点到达相应的终点时两点同时停止运动；在运动过程中，分别过P和Q作PF⊥l于F，QG⊥l于G．问：点P运动多少秒时，△PFA与△QAG全等？【分析】分类讨论：当点P在BA上，点Q在AC上，如图1，则PB＝2t，CQ＝3t，AP＝22﹣2t，AQ＝28﹣3t，利用三角形全等得PA＝AQ，即22﹣2t＝28﹣3t；当点P、Q都在AB上，即P点和Q点重合时，△PFA与△QAG全等，此时2t+3t﹣28＝22，当点P在AC上，点Q在AB上，如图2，则PA＝2t﹣22，AQ＝3t﹣28，由PA＝AQ，即2t﹣22＝3t﹣28；当点Q停在点B处，点P在AC上，由PA＝QA得2t﹣22＝22，然后分别解方程求出t，再根据题意确定t的值．【解答】解：设P、Q点运动的时间为t，（1）当点P在BA上，点Q在AC上，如图1，则PB＝2t，CQ＝3t，AP＝22﹣2t，AQ＝28﹣3t，∵△PFA与△QAG全等，∴PA＝AQ，即22﹣2t＝28﹣3t，解得t＝6，即P运动6秒时，△PFA与△QAG全等；（2）当点P、Q都在AB上，即P点和Q点重合时，△PFA与△QAG全等，此时2t+3t﹣28＝22，解得t＝10，（3）当点P在AC上，点Q在AB上，如图2，则PA＝2t﹣22，AQ＝3t﹣28，∵△PFA与△QAG全等，∴PA＝AQ，即2t﹣22＝3t﹣28，解得t＝6（舍去）；当点Q停在点B处，点P在AC上，由PA＝QA得2t﹣22＝22，解得t＝22，舍去．综上所述：当t等于6秒或10秒时，△PFA与△QAG全等．【点评】本题考查了全等三角形的判定：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．对于动点问题常利用代数的方法解决．13．（2022秋•苍溪县期末）如图，AE与BD相交于点C，AC＝EC，BC＝DC，AB＝8cm，点P从点出发，沿A→B→A方向以2cm/s的速度运动，点Q从点D出发，沿D→E方向以lcm/s的速度运动，P、Q两点同时出发，当点P到达点A时，P、Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为t（s）．（1）求证：AB∥DE．（2）写出线段AP的长（用含t的式子表示）．（3）连接PQ，当线段PQ经过点C时，求t的值．【分析】（1）证明△ABC≌△EDC（SAS），可得∠A＝∠E，然后根据内错角相等两直线平行即可得出结论；（2）分两种情况讨论：当0≤t≤4时，AP＝2tcm，当4＜t≤8时，BP＝（2t﹣8）cm，可得AP＝8﹣（2t﹣8）＝（16﹣2t）cm，进而可以解决问题；（3）先证△ACP≌△ECQ（ASA），得AP＝EQ，再分两种情况列方程求解即可．【解答】（1）证明：在△ABC和△EDC中，AC=EC∠ACB=∠ECD，BC=DC∴△ABC≌△EDC（SAS），∴∠A＝∠E，∴AB∥DE；（2）解：当0≤t≤4时，AP＝2tcm，当4＜t≤8时，BP＝（2t﹣8）cm，∴AP＝8﹣（2t﹣8）＝（16﹣2t）cm，∴线段AP的长为2tcm或（16﹣2t）cm；（3）解：根据题意得DQ ＝tcm ，则EQ ＝（8﹣t ）cm ，由（1）得：∠A ＝∠E ，ED ＝AB ＝8cm ，在△ACP 和△ECQ 中，∠A =∠E AC =EC ∠ACP =∠ECQ，∴△ACP ≌△ECQ （ASA ），∴AP ＝EQ ，当0≤t ≤4时，2t ＝8﹣t ，解得：t =83；当4＜t ≤8时，16﹣2t ＝8﹣t ，解得：t ＝8；综上所述，当线段PQ 经过点C 时，t 的值为83或8．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，列代数式，一元一次方程的应用，解决本题的关键是得到△ACP ≌△ECQ ．14．如图，在等腰△ABC 中，AB ＝AC ＝6cm ，BC ＝10cm ，点P 从点B 出发，以2cm /s 的速度沿BC 向点C 运动，设点P 的运动时间为ts ．（1）PC ＝ cm ．（用t 的代数式表示）（2）当点P 从点B 开始运动，同时，点Q 从点C 出发，以vcm /s 的速度沿CA 向点A 运动，是否存在这样v 的值，使得△ABP 与△PQC 全等？若存在，请求出v 的值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）根据P 点的运动速度可得BP 的长，再利用BC ﹣BP 即可得到CP 的长；（2）此题主要分两种情况①当BP ＝CQ ，AB ＝PC 时，△ABP ≌△PCQ ；当BA ＝CQ ，PB ＝PC 时，△ABP ≌△QCP ，然后分别计算出t 的值，进而得到v 的值．【解答】解：（1）依题意，得PC＝（10﹣2t）（cm）．故答案为：10﹣2t；（2）①当BP＝CQ，AB＝PC时，△ABP≌△PCQ，∵AB＝6cm，∴PC＝6（cm），∴BP＝10﹣6＝4（cm），2t＝4，解得：t＝2，CQ＝BP＝4（cm），v×2＝4，解得：v＝2；②当BA＝CQ，PB＝PC时，△ABP≌△QCP，∵PB＝PC，∴BP＝PC=12BC＝5（cm），2t＝5，解得：t＝2.5，CQ＝BP＝6（cm），v×2.5＝6，解得：v＝2.4．综上所述：当v＝2.4或2时△ABP与△PQC全等．【点评】此题主要考查了全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形全等的条件，找准对应边．15．如图，已知△ABC中，AB＝AC＝6cm，∠B＝∠C，BC＝4cm，点D为AB的中点．（1）如果点P在线段BC上以1cm/s的速度由点B向C运动，同时，点Q在线段CA上由点C向A运动，①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等？请说明理由；②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？（2）若点Q以（1）②中的运动速度从点C出发，点P以1cm/s的运动速度从B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，则经过　秒后，点P与点Q第一次在△ABC上相遇．（在横线上直接写出答案，不必书写解题过程）【分析】（1）①根据时间和速度分别求得两个三角形中BP、CQ和BD、PC边的长，根据SAS判定两个三角形全等．②根据全等三角形应满足的条件探求边之间的关系，再根据路程＝速度×时间公式，先求得点P运动的时间，再求得点Q的运动速度；（2）根据题意结合图形分析发现：由于点Q的速度快，且在点P的前边，所以要想第一次相遇，则应该比点P多走等腰三角形的两个边长．【解答】解：（1）①△BPD≌△CQP，理由如下：∵t＝1秒，∴BP＝CQ＝1×1＝1cm，∵AB＝6cm，点D为AB的中点，∴BD＝3cm．又∵PC＝BC﹣BP，BC＝4cm，∴PC＝4﹣1＝3cm，∴PC＝BD．又∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴△BPD≌△CQP；②假设△BPD≌△CQP，∵v P≠v Q，∴BP≠CQ，又∵△BPD≌△CQP，∠B＝∠C，则BP＝CP＝2，BD＝CQ＝3，∴点P，点Q运动的时间t=BP1=2秒，∴v Q=CQt=32=1.5cm/s；（2）设经过x秒后点P与点Q第一次相遇，由题意，得 1.5x＝x+2×6，解得x＝24，∴点P共运动了24s×1cm/s＝24cm．∵24×1.5＝36，∴点P、点Q在AC边上相遇，∴经过24秒点P与点Q第一次在边AC上相遇．【点评】此题主要是运用了路程＝速度×时间的公式．熟练运用全等三角形的判定和性质，能够分析出追及相遇的问题中的路程关系．16．（2022秋•聊城月考）如图，已知四边形ABCD中，AB＝10厘米，BC＝8厘米，CD＝12厘米，∠B＝∠C，点E为AB的中点．如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CD上由C点向D点运动．（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPE与△CQP是否全等？请说明理由．（2）当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPE与△CQP全等．【分析】（1）经过1秒后，可得BP＝CQ＝3厘米，则PC＝8﹣3＝5厘米，可证明△BPE≌△CQP；（2）由△BPE与△CQP全等可知有△BEP≌△CQP或△BEP≌△CPQ，全等可得BP＝CP或BP＝CQ，或可求得BP的长，可求得P点运动的时间，由CQ＝BE或CQ＝BP可求得Q点运动的路程，可求得其速度．【解答】解：（1）△BPE与△CQP全等，理由如下：当运动1秒后，则BP＝CQ＝3厘米，∴PC＝BC﹣BP＝8﹣3＝5厘米，∵E为AB中点，且AB＝10厘米∴BE＝5厘米，∴BE＝PC，在△BPE和△CQP中BE=PC∠B=∠CBP=CQ∴△BPE≌△CQP（SAS）；（2）∵△BPE与△CQP全等，∴△BEP≌△CQP或△BEP≌△CPQ，当△BEP≌△CQP时，则BP＝CP，CQ＝BE＝5厘米，设P点运动的时间为t秒，则3t＝8﹣3t，解得t=4 3，∴Q点的运动的速度＝5÷43=154（厘米/秒），当△BEP≌△CPQ时，由（1）可知t＝1（秒），∴BP＝CQ＝3厘米，∴Q点的运动的速度＝3÷1＝3（厘米/秒），即当Q点每秒运动154厘米或3厘米时△BEP≌△CQP．【点评】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定是解题的关键，即SSS、SAS、ASA、AAS和HL17．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，P，Q是边AC，BC上的两个动点，PD⊥AB于点D，QE⊥AB于点E，设点P，Q运动的时间是t秒（t＞0）．（1）若点P，Q分别从A，B两点同时出发，沿AC，BC向点C匀速运动，运动速度都为每秒1个单位，其中一点到达终点C后，另一点也随之停止运动，在运动过程中△APD和△QBE是否保持全等？判断并说明理由；（2）若点P从点C出发沿CA以每秒3个单位的速度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回到点C停止运动；点Q仍从点B出发沿BC以每秒1个单位的速度向点C匀速运动，到达点C后停止运动，当t为何值时，△APD和△QBE全等？【分析】（1）根据∠C＝90°，PD⊥AB，QE⊥AB，于是得到∠A+∠APD＝∠A+∠B＝90°，证得∠APD ＝∠B，∠ADP＝∠QEB＝90°，即可得到结论；（2）分两种情况：①0≤t＜83时，点P从C到A运动，则AP＝AC＝CP＝8﹣3t，BQ＝t，求得t＝2，②t≥83时，点P从A到C运动，则AP＝3t﹣8，BQ＝t，求得t＝4．【解答】解：（1）△ADP≌△QBE，理由：∵∠C＝90°，PD⊥AB，QE⊥AB，∴∠A+∠APD＝∠A+∠B＝90°，∴∠APD＝∠B，∠ADP＝∠QEB＝90°，∵AP＝BQ＝t，在△ADP与△QBE中，∠APD=∠B∠ADP=∠QEB AP=BQ，∴△ADP≌△QBE；（2）①0≤t＜83时，点P从C到A运动，则AP＝AC＝CP＝8﹣3t，BQ＝t，当△ADP≌△QBE时，则AP＝BQ，即8﹣3t＝t，解得：t＝2，②t≥83时，点P从A到C运动，则AP＝3t﹣8，BQ＝t，当△ADP≌△QBE时，则AP＝BQ，即3t﹣8＝t，解得：t＝4，综上所述：当t＝2s或4s时，△ADP≌△QBE．【点评】本题考查了全等三角形的判定，解方程，垂直的定义，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．18．如图，在长方形ABCD中，AD＝6cm，AB＝4cm，点E为AD的中点．若点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BC上由点B向点C运动．（注：长方形中，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝CD，AD＝BC）（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等：①经过1秒后，△AEP与△BPQ是否全等，请说明理由，并判断此时线段PE和线段PQ的位置关系；②设运动时间为t秒时，△PEQ的面积为Scm2，请用t的代数式表示S．（2）若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为 cm/s时，能够使△AEP与△BPQ全等．【分析】（1）①当t＝1时，AP＝BQ，∠A＝∠B，AE＝PB，从而可证明△EAP≌Rt△PBQ；②当t≤4时，AP＝BQ＝t，S＝S梯形AEQB﹣S AEP﹣S PBQ；当4＜t≤6时，点P与点B重合，S＝2t；（2）如图3所示：因为△AEP≌△BQP，所以AP＝PB＝2，AE＝BQ＝3，从而可求得t＝2，点Q运动的速度为＝3÷2＝1.5cm/秒．【解答】解：（1）①当t＝1时，AP＝1，BQ＝1，∴AP＝BQ．∵E是AD的中点，∴AE=12AD＝3．∵PB＝AB＝AP＝4﹣1＝3，∴AE＝PB．在Rt△EAP和Rt△PBQ中，AE=PB ∠A=∠B AP=BQ，∴Rt△EAP≌Rt△PBQ．∴∠APE＝∠BQP，∵∠BQP+∠BPQ＝90°，∴∠APE+∠BPQ＝90°，∴∠EPQ＝90°，∴PE⊥PQ；②如图1所示连接QE．图1Ⅰ、当t≤4时，AP＝BQ＝t，S梯形AEQB =12（AE+BQ）•AB=12×4×（3+t）＝2t+6．S△AEP =12AE•PA=12×3t=32t，S△PBQ=12PB•BQ=12×（4﹣t）t＝2t−12t2．∴S＝2t+6−32t﹣（2t−12t2）．整理得：S=12t2−32t+6，如图2所示：Ⅱ、当4＜t≤6时，点P与点B重合，S=12QB•AB=12×4×t＝2t．∴S与t的函数关系式为S=2−32t+6(0＜t≤4)＜t≤6)；（2）如图3所示：∵△AEP≌△BQP，PA≠BQ，∴AP＝PB＝2，AE＝BQ＝3．∴t＝AP=12AB=12×4＝2．∴点Q运动的速度为＝3÷2＝1.5cm/秒时，△AEP≌△BQP．故答案为：1.5．【点评】此题是四边形综合题，主要考查的是全等三角形的性质和判定、相似三角形的性质和判定、矩形的性质、函数的解析式、一元一次方程的综合应用，根据题意画出符合题意的图形是解题的关键．19．（2023春•碑林区校级期末）如图，△ABC的两条高AD与BE交于点O，AD＝BD，AC＝6．（1）求BO的长；（2）F是射线BC上一点，且CF＝AO，动点P从点O出发，沿线段OB以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，同时动点Q从点A出发，沿射线AC以每秒4个单位长度的速度运动，当点P到达点B时，P，Q两点同时停止运动，设运动时间为t秒，当△AOP与△FCQ全等时，求t的值．【分析】（1）由AAS证明Rt△BDO≌Rt△ADC，根据对应边相等求得BO的长；（2）分情况讨论点F分别在BC延长线上或在BC之间时△AOP≌△FCQ，根据对应边相等求得t值．【解答】解：（1）∵∠BOD＝∠AOE，∠CAD+∠ACD＝∠CAD+∠AOE＝90°，∴∠ACD＝∠AOE，∴∠BOD＝∠ACD．又∵∠BDO＝∠ADC＝90，AD＝BD，∴Rt△BDO≌Rt△ADC（AAS），∴BO＝AC＝6．（2）①当点F在BC延长线上时：设t时刻，P、Q分别运动到如图位置，△AOP≌△FCQ．∵CF＝AO，∠AOP＝∠EOD＝180°﹣∠DCE＝∠FCQ，∴当△AOP≌△FCQ时，OP＝CQ．∵OP＝t，CQ＝6﹣4t，∴t＝6﹣4t，解得t＝1.2．②当点F在BC之间时：设t时刻，P、Q分别运动到如图位置，△AOP≌△FCQ．∵CF＝AO，∠AOP＝∠EOD＝180°﹣∠DCE＝∠FCQ，∴当△AOP≌△FCQ时，OP＝CQ．∵OP＝t，CQ＝4t﹣6，∴t＝4t﹣6，解得t＝2．综上，t＝1.2或2．【点评】本题考查全等三角形的判定．这部分内容是初中几何中非常重要的内容，一定要深刻理解，做到活学活用．20．如图1，长方形ABCD中，AB＝CD＝7cm，AD＝BC＝5cm，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，点E在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，与此同时点F在线段BC上由点B向点C运动，设运动的时间均为ts．（1）若点F的运动速度与点E的运动速度相等，当t＝2时：①判断△BEF与△ADE是否全等？并说明理由；②求∠EDF的度数．（2）如图2，将图1中的“长方形ABCD”改为“梯形ABCD”，且∠A＝∠B＝70°，AB＝7cm，AD＝BC＝5cm，其他条件不变．设点F的运动速度为xcm/s．是否存在x的值，使得△BEF与△ADE全等？若存在，直接写出相应的x及t的值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）①根据SAS证明：△BEF≌△ADE；②由①：△BEF≌△ADE得DE＝EF，∠BEF＝∠ADE，证明△DEF是等腰直角三角形可得结论；（2）分两种情况：①如图2，当△DAE≌△EBF时，②如图3，当△ADE≌△BFE时，分别根据AD＝BE，AE＝BF，列方程组可得结论．【解答】解：（1）①△BEF≌△ADE，理由如：当t＝2时，AE＝BF＝2，∴BE＝AB﹣AD＝7﹣2＝5，∵AD＝5，∴BE＝AD，∵∠A＝∠B＝90°，∴△BEF≌△ADE；②由①得DE＝EF，∠BEF＝∠ADE，∵∠A＝90°，∴∠ADE+∠AED＝90°，∴∠BEF+∠AED＝90°，∴∠DEF＝180°﹣（∠BEF+∠AED）＝90°，∵DE＝EF∴∠EDF＝∠EFD，∵∠EDF+∠EFD＝90°，∴∠EDF＝45°；（说明：用其他方法的，请参照此评分标准给分）（2）存在，①如图2，当△DAE≌△EBF时，∴AD＝BE，AE＝BF，则5=7−t t=xt∴x＝1，t＝2；②如图3，当△ADE≌△BFE时，AE＝BE，AD＝BF，则t=7−t 5=xt，∴x=107，t=72．（说明：每正确写出一对x、t的值，给1分．）【点评】本题考查四边形综合题、矩形的判定和性质、等腰直角三角形的判定、三角形全等的性质和判定及动点运动等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会用方程的思想思考问题，属于中考压轴题．21．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，点D在AC上，且AD＝6cm，过点A作射线AE⊥AC（AE与BC在AC同侧），若动点P从点A出发，沿射线AE匀速运动，运动速度为1cm/s，设点P运动时间为t秒．连接PD、BD．（1）如图①，当PD⊥BD时，求证：△PDA≌△DBC；（2）如图②，当PD⊥AB于点F时，求此时t的值．【分析】（1）由PD⊥BD、∠C＝90°可推出∠PDA＝∠CBD，即可根据ASA判定△PDA≌△DBC；（2）由PD⊥AB，AE⊥AC可推出∠APF＝∠CAB，即可根据AAS判定△APD≌△CAB，再由全等三角形的性质即可得解．【解答】（1）证明：如图①，∵PD⊥BD，∴∠PDB＝90°，∴∠BDC+∠PDA＝90°，又∵∠C＝90°，∴∠BDC+∠CBD＝90°，∴∠PDA＝∠CBD，又∵AE⊥AC，∴∠PAD＝90°，∴∠PAD＝∠C＝90°，又∵BC＝6cm，AD＝6cm，∴AD＝BC，在△PAD和△DCB中，∠PAD=∠CAD=CB，∠PDA=∠CBD∴△PDA≌△DBC（ASA）；（2）解：如图②，∵PD⊥AB，∴∠AFD＝∠AFP＝90°，∴∠PAF+∠APF＝90°，又∵AE⊥AC，∴∠PAF+∠CAB＝90°，∴∠APF＝∠CAB，在△APD和△CAB中，∠APD=∠CAB∠PAD=∠C，AD=CB∴△APD≌△CAB（AAS），∴AP＝AC，∵AC＝8cm，∴AP＝8cm，∴t＝8．【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，根据ASA判定△PDA≌△DBC、根据AAS判定△APD≌△CAB是解题的关键．22．在平面直角坐标系中，点A（0，6），B（8，0），AB＝10，如图作∠DBO＝∠ABO，∠CAy＝∠BAO，BD交y轴于点E，直线DO交AC于点C．（1）①求证：△ACO≌△EDO；②求出线段AC、BD的位置关系和数量关系；（2）动点P从A出发，沿A﹣O﹣B路线运动，速度为1，到B点处停止运动；动点Q从B出发，沿B﹣O﹣A运动，速度为2，到A点处停止运动．二者同时开始运动，都要到达相应的终点才能停止．在某时刻，作PG⊥CD于点G，QF⊥CD于点F．问两动点运动多长时间时△OPG与△OQF全等？【分析】（1）①根据全等三角形的判定定理ASA证得结论；②利用①中全等三角形的性质得到：AC∥BD，AC＝BD﹣10；（2）设运动的时间为t秒，（i）当点P、Q分别在y轴、x轴上时（ii）当点P、Q都在y轴上时，（iii）当点P在x轴上，Q在y轴时若二者都没有提前停止，当点Q提前停止时，列方程即可得到结论．【解答】解：（1）①如图，∵∠DBO＝∠ABO，OB⊥AE，∴∠BAO＝∠BEO，∴AB＝BE，∴AO＝OE，∵∠CAy＝∠BAO，∴∠CAy＝∠BEO，∴∠DEO＝∠CAO在△ACO与△EDO中，∠CAO=∠DEO OA=OE∠AOC=∠DOE，∴△ACO≌△EDO（ASA）；②由①知，△ACO≌△EDO，∴∠C＝∠D，AC＝DE，∴AC∥BD，AC＝BD﹣10；（2）设运动的时间为t秒，（i）当点P、Q分别在y轴、x轴上时PO＝QO得：6﹣t＝8﹣2t，解得t＝2（秒），（ii）当点P、Q都在y轴上时PO＝QO得：6﹣t＝2t﹣8，解得t=143（秒），（iii）当点P在x轴上，Q在y轴时若二者都没有提前停止，则PO＝QO得：t﹣6＝2t﹣8，解得t＝2（秒）不合题意；当点Q提前停止时，有t﹣6＝6，解得t＝12（秒），综上所述：当两动点运动时间为2、143、12秒时，△OPE与△OQF全等【点评】本题考查了全等三角形的判定，坐标与图形的性质，正确的理解题意是解题的关键．23．（2023春•渭滨区期末）如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝9cm，AC＝12cm，AB＝15cm，现有一动点P，从点A出发，沿着三角形的边AC→CB→BA运动，回到点A停止，速度为3cm/s，设运动时间为ts．（1）如图（1），当t＝　时，△APC的面积等于△ABC面积的一半；（2）如图（2），在△DEF中，∠E＝90°，DE＝4cm，DF＝5cm，∠D＝∠A．在△ABC的边上，若另外有一个动点Q，与点P同时从点A出发，沿着边AB→BC→CA运动，回到点A停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好△APQ≌△DEF，求点Q的运动速度．【分析】（1）分两种情况进行解答，①当点P在BC上时，②当点P在BA上时，分别画出图形，利用三角形的面积之间的关系，求出点P移动的距离，从而求出时间即可；（2）由△APQ≌△DEF，可得对应顶点为A与D，P与E，Q与F；于是分两种情况进行解答，①当点P 在AC上，AP＝4，AQ＝5，②当点P在AB上，AP＝4，AQ＝5，分别求出P移动的距离和时间，进而求出Q的移动速度．【解答】解：（1）①当点P在BC上时，如图①﹣1，若△APC的面积等于△ABC面积的一半；则CP=12BC=92cm，此时，点P移动的距离为AC+CP＝12+92=332，移动的时间为：332÷3=112秒，②当点P在BA上时，如图①﹣2若△APC的面积等于△ABC面积的一半；则PD=12AB，即点P为BA中点，此时，点P移动的距离为AC+CB+BP＝12+9+152=572cm，移动的时间为：572÷3=192秒，故答案为：112或192；（2）△APQ≌△DEF，即，对应顶点为A与D，P与E，Q与F；①当点P在AC上，如图②﹣1所示：此时，AP＝4，AQ＝5，∴点Q移动的速度为5÷（4÷3）=154cm/s，②当点P在AB上，如图②﹣2所示：此时，AP＝4，AQ＝5，即，点P移动的距离为9+12+15﹣4＝32cm，点Q移动的距离为9+12+15﹣5＝31cm，∴点Q移动的速度为31÷（32÷3）=9332cm/s，综上所述，两点运动过程中的某一时刻，恰好△APQ≌△DEF，点Q的运动速度为154cm/s或9332cm/s．。

全等三角形的动点问题

全等三角形的动点问题
一、两点同时运动
题1：如图，在△ABC中，AB＝AC＝12cm，∠B＝∠C，BC＝8cm，点D为AB的中点，如果点P在线段BC上以2cm/s的速度由点B向点C运动，同时点Q在线段CA上由点C向点A运动，当一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动，当点Q的速度为多少cm/s时，能够在某一时刻使△BPD与△CQP全等。

二、三点同时运动
题2：如图，在长方形ABCD中，AD＝BC＝8，BD＝10，点E从点D出发，以每秒2个单位长度的速度沿DA向点A匀速移动，点F从点C出发，以每秒1个单位长度的速度沿CB向点B匀速移动，点G从点B出发，沿BD向点D匀速移动，三个点同时出发，当有一个点到达终点时，其余两点也随之停止运动，假设移动时间为t秒，求t为何值时，△DEG和△BFG全等。

如图，AB＝12cm，∠CBA=∠DBA=60°，AC=BD=9cm，点P在线段AB上以3cm/s的速度由点B向点A 匀速运动，同时点Q在线段BD上由点B向点D匀速运动，设点Q的速度为xcm/s，当△BPQ与△ACP 全等时，x的值为多少？。

全等三角形--动点问题

全等三角形的动点问题教学重点难点利用熟悉的知识点解决陌生的问题思路：1.利用图形想到三角形全等2.分析题目，了解有几个动点，动点的路程，速度3.结合图形和题目，得出已知或能间接求出的数据4.分情况讨论，把每种可能情况列出来，不要漏5.动点一般都是压轴题，步骤不重要，重要的是思路6.动点类问题一般都有好几问，前一问大都是后一问的提示，就像几何探究类题一样，如果后面的题难了，可以反过去看看前面问题的结论.【典型例题】例1. 如图1，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一点，连接AD，以AD为一边且在AD 的右侧作正方形ADEF．解答下列问题：（1）如果AB=AC，∠BAC=90°，点D在射线BC上运动时（与点B不重合），如图，线段CF，BD之间的位置关系为_____________，数量关系为______________．请利用图2或图3予以证明（选择一个即可）．例2. 如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=CB，AC=8，F是AB边上的中点，点D、E分别在AC、BC边上运动，且始终保持AD=CE，连接DE、DF、EF.（1）求证：△ADF≌△CEF.（2）试证明△DFE是等腰直角三角形.（3）在此运动变化的过程中，四边形CDFE的面积是否保持不变？试说明理由．（4）求△CDE面积的最大值．变式如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，F是AB边上的中点，点D、E分别在AC、BC边上运动，且保持AD=CE．连接DE、DF、EF．在此运动变化的过程中，下列结论：①△DFE是等腰直角三角形；②DE长度的最小值为4；③四边形CDFE的面积保持不变；④△CDE面积的最大值为8．其中正确的结论是（）A．①②③B．①③C．①③④D．②③④例3. 正方形ABCD和正方形AEFG有一公共点A，点G．E分别在线段AD、AB上（如图（1）所示），连接DF、BF．（1）求证：DF=BF（2）若将正方形AEFG绕点A按顺时针方向旋转，连接DG、BE（如图（2）所示），在旋转过程中，请猜想线段DG、BE始终有什么数量关系和位置关系并证明你的猜想．例4.如图，已知△ABC中，AB=AC=10cm，BC=8cm，点D为AB的中点.（1）如果点P在线段BC上以3cm/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动.①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？（2）若点Q以②中的速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？变式如图，在等边△ABC中，AB=9cm，点P从点C出发沿CB边向点B点以2cm/s的速度移动，点Q 点从B点出发沿BA边向A点以5cm/s速度移动．P、Q两点同时出发，它们移动的时间为t秒钟．（1）你能用t表示BP和BQ的长度吗？请你表示出来．（2）请问几秒钟后，△PBQ为等边三角形？（3）若P、Q两点分别从C、B两点同时出发，并且都按顺时针方向沿△ABC三边运动，请问经过几秒钟后点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？【拓展提高】1..两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，B，C，E在同一条直线上，连结DC．（1）请找出图2中的全等三角形，并给予证明（说明：结论中不得含有未标识的字母）；（2）证明：DC⊥BE2.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AC=2AB，点D是AC的中点，将一块锐角为45°的直角三角板如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与A、D重合，连结BE、EC．试猜想线段BE和EC的数量及位置关系，并证明你的猜想．3. 已知Rt△ABC中，AC=BC，∠C=90°，D为AB边的中点，∠EDF=90°，∠EDF绕D点旋转，它的两边分别交AC、CB（或它们的延长线）于E、F.当∠EDF绕D点旋转到DE⊥AC于E时（如图1），易证12DEF CEF ABCS S S+=△△△．当∠EDF绕D点旋转到DE和AC不垂直时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，S△DEF、S△CEF、S△ABC又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．4. 如图，AC为正方形ABCD的一条对角线，点E为DA边延长线上的一点，连接BE，在BE上取一点F，使BF=BC，过点B做BK⊥BE与B，交AC于点K，连接CF，交AB于点H，交BK于点G.（1）求证：BH=BG；（2）求证：BE=BG+AE.5.正方形四条边都相等，四个角都是90°．如图，已知正方形ABCD在直线MN的上方，BC在直线MN上，点E是直线MN上一点，以AE为边在直线MN的上方作正方形AEFG．（1）如图1，当点E在线段BC上（不与点B、C重合）时：①判断△ADG与△ABE是否全等，并说明理由；②过点F作FH⊥MN，垂足为点H，观察并猜测线段BE与线段CH的数量关系，并说明理由；（2）如图2，当点E在射线CN上（不与点C重合）时：①判断△ADG与△ABE是否全等，不需说明理由；②过点F作FH⊥MN，垂足为点H，已知GD=4，求△CFH的面积．6.如图1，若△ABC和△ADE为等边三角形，M、N分别为EB、CD的中点，易证：CD=BE，△AMN是等边三角形.（1）当把△ADE绕点A旋转到图2的位置时，CD=BE是否依然成立？若成立请证明，若不成立请说明理由；（2）当△ADE绕点A旋转到图3位置时，△AMN是否还是等边三角形？若是，请给出证明，并求出当AB=2AD时，△ADE与△ABC及△AMN的面积之比；若不是，请说明理由.7.在△ABC中，AB=AC，点D是直线BC上一点（不与B、C重合），以AD为一边在AD的右侧做△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，连接CE.（1）如图1，当点D在线段BC上，如果∠BAC=90°，则∠BCE=_________度；（2）设∠BAC=α，∠BCE=β.①如图2，当点D在线段BC上移动，则α，β之间有怎样的数量关系？请说明理由；②当点D在直线BC上移动，则α，β之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论.8.思考与推理如图，在四边形ABCD中，AB=AD=6cm，CB=CD，AB⊥BC，CD⊥AD，∠BCD=120°. ∠PCQ=60°，两边分别交线段AB、AD于点P、Q，把△PBC绕点C顺时针旋转120°得到△MDC.请在图中找出一对全等的三角形并加以证明（△PBC与△MDC除外）.探究与应用在上边的条件下，若∠PCQ绕顶点C在∠BCD内转动，两边始终与线段AB、AD相较于点P、Q，试探究在转动过程中△APQ的周长是否变化，若不变，求它的周长；若变化，请说明理由.9.问题情境：如图1，在直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，可知：∠BAD=∠C（不需要证明）；特例探究：如图2，∠MAN=90°，射线AE在这个角的内部，点B、C在∠MAN的边AM、AN上，且AB=AC，CF⊥AE于点F，BD⊥AE于点D．证明：△ABD≌△CAF；归纳证明：如图3，点B，C在∠MAN的边AM、AN上，点E，F在∠MAN内部的射线AD上，∠1、∠2分别是△ABE、△CAF的外角．已知AB=AC，∠1=∠2=∠BAC．求证：△ABE≌△CAF；拓展应用：如图4，在△ABC中，AB=AC，AB＞BC．点D在边BC上，CD=2BD，点E、F在线段AD上，∠1=∠2=∠BAC．若△ABC的面积为15，则△ACF与△BDE的面积之和为______________.10.如图①，已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，BC=2，AD是BC边上的高．作正方形DEFG，使点A、C分别在DG和DE上，且DE=BC，且连接AE、BG．（1）试猜想线段BG和AE的数量关系，请直接写出你得到的结论；（2）将正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转一定角度后（旋转角度大于0°，或小于90°），DG、DE分别交AB、AC于点M和N（如图②），则（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由．11.如下图，已知正方形ABCD中，边长为10厘米，点E在AB边上，BE=6厘米．（1）如果点P在线段BC上以4厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CD上由C点向D 点运动．①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPE与△CQP是否全等，请说明理由；②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPE与△CQP全等？（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿正方形ABCD四边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在正方形ABCD边上的何处相遇？12.（1）操作发现：如图①，D是等边△ABC边BA上一动点（点D与点B不重合），连接DC，以DC为边在BC上方作等边△DCF，连接AF．你能发现线段AF与BD之间的数量关系吗？并证明你发现的结论．（2）类比猜想：如图②，当动点D运动至等边△ABC边BA的延长线上时，其他作法与（1）相同，猜想AF与BD在（1）中的结论是否仍然成立？（3）深入探究：Ⅰ．如图③，当动点D在等边△ABC边BA上运动时（点D与点B不重合）连接DC，以DC为边在BC 上方、下方分别作等边△DCF和等边△DCF′，连接AF、BF′，探究AF、BF′与AB有何数量关系？并证明你探究的结论．Ⅱ．如图④，当动点D在等边三角形边BA的延长线上运动时，其他作法与图③相同，Ⅰ中的结论是否成立？若不成立，是否有新的结论？并证明你得出的结论．。

人教版数学八年级上册综合专题1——全等三角形的辅助线和动态问题

AF = AB ∠1 =∠2 AE = AE ∴△AEF≌△AEB(SAS).
C
2
A
ED B
∴∠F =∠3，EF = EB.
∵∠3 =∠4，∴∠F =∠4.
∵ AC∥BD，∴∠FCE =∠D. 在△EFC 和△EBD 中，
∠FCE =∠D ∠F =∠4 EF = EB ∴△EFC≌△EBD(AAS). ∴ FC = BD. ∵ AF = AC + FC， ∴ AB = AC + BD.
∴AB－AC＞BD－DC.
3. 如图，已知 AC∥BD，AE、BE 分别平分∠CAB 和∠DBA，CD 过点 E，求证：AB = AC + BD.
解：如图，延长 AC 至点 F，使 AF = AB，连接 EF.
∵ AE，BE 分别平分∠CAB 和∠DBA， ∴∠1 =∠2，∠3 =∠4.
F
在△AEF 和△AEB 中，
∴∠BAC =∠DCE.
在△ABC 和△CDE 中，
B
CD
∴△ABC≌△CDE(AAS).
练一练
4. (福建阶段练习)如图，在△ABC 中，∠ACB = 90°，
AC = BC，点 C 的坐标为(-2，0)，点 A 的坐标为
(-6，3)，求点 B 的坐标 ( D )
A. (3，4)
B. (2，3)
A
F
E
∴△FDE≌△FDG(SAS). ∴ FE＝FG .
B
D
C
G
∵ D 是 BC 中点，∴ BD＝CD. 在△EDB 与△GDC 中
∴△EDB≌△GDC(SAS). ∴ BE＝CG. ∵ CG＋FC＞FG， ∴ BE＋CF＞EF.
A
F E

全等三角形动点问题

例1、如图，已知正方形ABCD中，正方形的四边相等，四个角都是直角．边长为40厘米，点E在AB边上，BE=25厘米．如果点P在线段BC上以7厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CD上由C点向D点运动．若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少厘米/秒时，能够使ΔBPE与ΔCQP全等.练习1、如图，已知正方形ABCD中，正方形的四边相等，四个角都是直角．边长为10厘米，点E 在AB边上，BE=6厘米．如果点P在线段BC上以4厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q 在线段CD上由C点向D点运动．若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使ΔBPE与ΔCQP全等．练习2、如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠BCD=90∘，AB=BC=5cm，CD=4cm.点P从点C出发以1cm/s的速度沿CB向点B匀速移动，点M从点A出发以1.5cm/s的速度沿AB向点B匀速移动，点N从点D出发以a cm/s的速度沿DC向点C匀速移动.点P、NN同时出发，当其中一个点到达终点时，其他两个点也随之停止运动，设移动时间为t s.当a为多少时，ΔPBM与ΔPCN全等.变式1、如图,AB＝6cm，∠CAB＝∠DBA＝60°，AC＝BD＝4cm．点P在线段AB上以2cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动．它们运动的时间为t（s）．求当点Q 的运动速度为多少时，△ACP与△BPQ全等练习1、如图所示，已知ΔABC中，AB=AC=10cm，BC=8cm，∠ABC=∠ACB，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上由B出发向C点运动，同时点Q在线段CA上由C点出发向A点运动．设运动时间为t秒．（1）若点P的速度3cm/s，用含t的式子表示第t秒时，BP=______cm，CP=______cm．若点Q 运动速度与点P的运动速度相等，经过______秒ΔBPD≌ΔCQP；（2）若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，且点P的速度比点Q的速度慢1cm/s时，点Q 的运动速度为______cm/s时，能够使ΔBPD与ΔCPQ全等.练习2、如图，在△ABC的顶点A、C处各有一只蜗牛D、E，它们同时出发，分别以每分钟1米和2米的速度由A向B和由C向A爬行，AB=AC=6米，请问：当ΔABE≅ΔACD时，它们用了______分钟.变式2、如图所示，有一直角三角形△ABC，∠C=90°，AC=10cm，BC=4cm，一条线段PQ=AB，P、Q 两点分别在AC上和过A点且垂直于AC的射线AM上运动，如果点P在线段AC上以2厘米/秒的速度由A点向C点运动，同时，点Q在射线AM上由A点向M点运动．当点Q的运动速度为多少时，能够使△ABC与△APQ全等.练习：如图,AB＝8cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC＝BD＝5cm．点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A 向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动．它们运动的时间为t（s）．当点Q的运动速度为cm/s时，△ACP与△BPQ全等补充练习：1、如图，已知△ABC中，AB=AC=18厘米，∠B=∠C，BC=13厘米，点D为AB的中点．如果点P 在线段BC上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．当点Q的运动速度为______厘米/秒，ΔBPD≌ΔCQP（点B、P、D分别与点C、Q、P对应）2、如图，AB=6，BC=12，AB⊥BC于点B，直线l⊥BC于点C,点P从点B开始沿射线BC以2cm/s的速度移动，过点P作PQ⊥PA，交直线l于点Q。

全等三角形动点问题PPT教学课件

，直线AM⊥AN，AB平分∠MAN，过点B作 BC⊥BA交AN于点C；动点E、D同时从A点出发，其中动点E以2cm/s的速度沿射线AN方向运动，动点D以 1cm/s的速度在直线AM上运动；已知AC=6cm，设动点 D，E的运动时间为t．（1）试求∠ACB的度数；
2020/12/09
全等三角形的动点问题
1.已知:如图,在△ABC中,AB=AC=10cm,BC=8cm,点D 为AB的中点.点P在线段BC2cm的速度由点BC运动,同时点Q在线段CACA运动. 设点P运动时间为t秒,当t为何值时,△BPD与△CQP?
2020/12/09
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2. 在△ABC中,AB=AC,点D是直线BC上一点（不与 BC重合）,以AD为一边在AD的右侧作三角形ADE,使 AD=AE,∠DAE=∠BAC,连接CE. （1）如图1，当点D在线段BC上,如果∠BAC=90°,则 ∠BCE=____ (2)设∠BAC=α,∠BCE=β,如图2，当点D在线段BC上移动, 则α,β之间有怎样的数量关系？请说明理由? (3)当点D在直线BC上移动,则α,β之间有怎样的数量关系？请说明理由。
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2020/12/09
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难点探究专题：全等三角形中的动点问题(3类热点题型讲练)(解析版)--初中数学北师大版7年级下册

第07讲难点探究专题：全等三角形中的动点问题(3类热点题型讲练)目录【题型一利用分类讨论思想求解动点中三角形全等问题】..................................................................................1【题型二利用三角形全等求证线段之间的关系问题】........................................................................................11【题型三利用三角形全等求证角之间的关系问题】.. (21)【题型一利用分类讨论思想求解动点中三角形全等问题】例题：（23-24八年级上·重庆·阶段练习）如图，在长方形ABCD 中，4,6AB AD ==，延长BC 到点E ，使2CE =，连接DE ，动点P 从点B 出发，以每秒2个单位的速度沿BC CD DA →→向终点A 运动，设点P 的运动时间为t 秒，当t 的值为秒时，ABP 与DCE △全等．【答案】1或7【分析】本题考查了全等三角形的判定，判定方法有：ASA,SAS,AAS,SSS,HL ．根据题意，分两种情况进行讨论，根据题意得出22BP t ==和1622AP t =-=即可求得．【详解】解：由题意得：AB CD =，若90,2ABP DCE BP CE ∠=∠=︒==，根据SAS 证得ABP DCE ≌△△，∴22BP t ==，即1t =，若90,2BAP DCE AP CE ∠=∠=︒==，根据SAS 证得BAP DCE ≌ ，∴1622AP t =-=，即7t =．∴当t 的值为1或7秒时．ABP 与DCE △全等．故答案为：1或7．【变式训练】1．（23-24八年级上·山东日照·阶段练习）如图，CA AB ⊥，垂足为点A ，12AB =米，6AC =米，射线BM AB ⊥，垂足为点B ，动点E 从A 点出发以2米/秒沿射线AN 运动，点D 为射线BM 上一动点，随着E 点运动而运动，且始终保持ED CB =，当点E 经过秒时（不包括0秒），由点D E B 、、组成的三角形与BCA V 全等．【答案】3秒或9秒或12【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，分四种情况：当点E 在线段AB 上，AC BE =时，ACB BED ≌；当E 在BN 上，AC BE =时，ACB BED ≌；当E 在线段AB 上，AB EB =时；当E 在BN上，AB EB =时，ACB BDE ≌；分别利用三角形全等的性质进行求解即可，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解此题的关键．【详解】解：当点E 在线段AB 上，AC BE =时，ACB BED ≌，6AC = ，6BE ∴=，1266AE AB BE ∴=-=-=，∴点E 的运动时间为623÷=（秒）；当E 在BN 上，AC BE =时，ACB BED ≌，6AC = ，6BE ∴=，12618AE AB BE ∴=+=+=，∴点E 的运动时间为1829÷=（秒）；当E 在线段AB 上，AB EB =时，此时E 在A 点未动，时间为0秒，不符合题意；当E 在BN 上，AB EB =时，ACB BDE ≌，12AB = ，12BE ∴=，121224AE AB BE ∴=+=+=，∴点E 的运动时间为24212÷=（秒）；综上所述，当点E 经过3秒或9秒或12秒时（不包括0秒），由点D E B 、、组成的三角形与BCA V 全等，故答案为：3秒或9秒或12．2．（23-24八年级上·北京西城·期中）如图，在平面直角坐标系xOy 中，()5,0A ，()0,7B ，动点P ，Q 分别按照A O B --和B O A --的路线同时开始运动，到各自的终点时停止．直线l 经过原点O ，且l AB ∥，过P ，Q 分别作l 的垂线段，垂足分别为F ，E ．若点P 的速度为每秒2个单位长度，点Q 的速度为每秒4个单位长度，运动时间为t 秒，当OPE 与OQF △全等时，t 的值为．【答案】1或2或5【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和一元一次方程的应用，解题的关键是恰当分类并利用全等三角形的性质建立方程．判断出OP OQ =再分三种情况讨论，表示出OP ，OQ 建立一元一次方程求解即可．【详解】解：∵()5,0A ，()0,7B ，∴5OA =，7OB =，由题意，OP 和OQ 是两直角三角形的斜边，当OPE 与OQF △全等时，OP OQ =，①当点P 在OA 上，点Q 在OB 上时，根据题意可得∶s t 时，2AP t =，4BQ t =，∴52OP OA AP t =-=-，74OQ OB BQ t =-=-，∴5274t t -=-，解得∶1t =；②当点P ，Q 都在OA 上时，点P ，Q 重合时，两三角形重合时，P 点行程为2t ，Q 点行程为4t ，∴2457t t +=+，解得2t =；③当点P 在OB 上，点Q 在OA 上且点Q 与点A 重合时，25OP t =-，5OQ =∴255t -=．解得：5t =当OPE 与OQF △全等时，满足题意的t 的值为1或2或5．故答案为：1或2或5．3．（23-24八年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，在长方形ABCD 中，3cm AB DC ==，2cm BC AD ==，现有一动点P 从点A 出发，以1cm /s 的速度沿长方形的边A B C D A →→→→运动，到达点A 时停止；点Q在边DC 上，DQ BC =，连接AQ ．设点P 的运动时间为s t ，则当t =s 时，以长方形的两个顶点及点P 为顶点的三角形与ADQ △全等．（不考虑两个三角形重合的情况）【答案】1或2或7【分析】本题考查了全等三角形的判定和长方形的性质，掌握全等三角形的判定和恰当分类是解题的关键．先确定ADQ △是等腰直角三角形，再分三种情况：点P 在AB 边上，BP BC =或AP AD =，点P 在CD 边上，CP BC =，利用动点运动的路径求解即可．【详解】解：在长方形ABCD 中，90DAB B C D ∠=∠=∠=∠=︒，∵DQ BC =，∴DQ AD =，∴ADQ △是等腰直角三角形，分三种情况：当点P 在AB 边上，BP BC =时，BPC ADQ ≌，则1cm AP AB PB =-=，∴1s t =；当点P 在AB 边上，AP AD =时，DAP ADQ ≌，则2s=t 点P 在CD 边上，CP BC =时，BCP ADQ ≌，则(322)s =7s t =++，综上，当1s t =或2s 或7s 时，以长方形的两个顶点及点P 为顶点的三角形与ADQ △全等．故答案为：1或2或7．4．（23-24八年级上·福建泉州·阶段练习）如图，CA AB ⊥，垂足为点A ，射线BM AB ⊥，垂足为点B ，16cm AB =，8cm AC =．动点E 从A 点出发以4cm/s 的速度沿射线AN 运动，动点D 在射线BM 上，随着E 点运动而运动，始终保持ED CB =．若点E 的运动时间为()0t t >，则当t =秒时，DEB 与BCA V 全等．12cm BC =，现有一动点P 从点A 出发，沿着三角形的边AC CB BA →→运动，回到点A 停止，速度为2cm/s ，设运动时间为s t ．(1)如图1，当t =s 时，12BPC ABC S S =；(2)如图2，在DEF 中，90E ∠=︒，8cm DE =，10cm DF =，D A ∠=∠．在ABC 的边上，若另外有一个动点Q ，与点P 同时从点A 出发，沿着边AB BC CA →→运动，回到点A 停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好APQ △与DEF 全等，求点Q 的运动速度．②点P 在AB 上时，过点∴点P 的运动路程为（2）∵在DEF∴①当点P在AC∴点Q的速度为：②当点P在AB上，点∴点Q的速度为：③当点P在AB上，④当点P 在AC 上，点∴点Q 的速度为：综上所述，两点运动过程中的某一时刻，19cm /s 10cm /s 或8cm 56．（2023·广西南宁·二模）如图，在ABC 中，AD 为高，18AC =．点E 为AC 上的一点，2CE AE =，连接BE ，交AD 于O ，若BDO ADC △≌△．(1)猜想线段BO 与AC 的位置关系，并证明；(2)有一动点Q 从点A 出发沿射线AC 以每秒6个单位长度的速度运动，设点Q 的运动时间为t 秒，是否存在t 的值，使得BOQ △的面积为27？若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由；(3)在（2）条件下，动点P 从点O 出发沿线段OB 以每秒2个单位长度的速度向终点B 运动，P 、Q 两点同时出发，当点P 到达点B 时，P 、Q 两点同时停止运动，设运动时间为t 秒，点F 是直线BC 上一点，且CF AO =，当AOP 与FCQ 全等时，求t 的值．1118(1222BOQ S BO QE ∆=⨯=⨯⨯-解得：32t =（舍去）；当2t >时，Q 在射线EC 上，如图1118(612)22BOQ S BO QE t ∆=⨯=⨯⨯-=解得：52t =，此时Q 与C 重合；综上所述，存在t 的值，使得BOQ △（3）由（1）可知，BDO ADC △≌△BOD ACD \Ð=Ð，当点F 在线段BC 延长线上时，如图BOD ACD Ð=ÐQ ，BOD ACD Ð=ÐQ ，AOP FCQ \Ð=Ð，AO CF =Q ，∴当OP CQ =时，AOP FCQ ≌此时，2618t t =-，解得：92t =；综上所述，当AOP 与FCQ 全等时，【点睛】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、三角形面积、三角形面积和定理、对顶角相等以及分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握全等三角形的判定与性质，进行分类讨论是解题的关键．【题型二利用三角形全等求证线段之间的关系问题】例题：（23-24八年级上·北京海淀·阶段练习）在ABC 中，AC BC =，90ACB ∠=︒，点D 在BC 的延长线上，M 是BD 的中点，E 是射线CA 上一动点，且CE CD =，连接AD ，作DF AD ⊥，DF 交EM 延长线于点F ．(1)如图1，当点E 在CA 上时，填空：AD ________DF （填“=”、“<”或“>”）．(2)如图2，当点E 在CA 的延长线上时，请根据题意将图形补全，判断AD 与DF 的数量关系，并证明你的结论．【答案】(1)=，详见解析；(2)AD DF =，详见解析．【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质的综合应用等知识；（1）连接BE ，先证SAS ACD BCE ≌（），得AD BE EBM DAC =∠=∠，，再证ASA EBM FDM ≌（），得BE DF =，即可得出结论；（2）连接BE ，先证SAS ACD BCE ≌（），得AD BE ADC BEC =∠=∠，，再证ASA BME DMF ≌（），得BE DF =，即可得出结论．证明三角形全等是解题的关键．【详解】（1）AD DF =，理由如下：连接BE ，如图1所示：∵90ACB ∠=︒，∴90DCA ∠=︒，在ACD 和BCE 中，CD CE DCA ECB AC BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴SAS ACD BCE ≌（），∴AD BE EBM DAC =∠=∠，，∵9090DAC ADC FDM ADC ∠+∠=︒∠+∠=︒，，∴DAC FDM ∠=∠，∴EBM FDM ∠=∠，∵M 是BD 的中点，∴BM DM =，在EBM △和FDM 中，EBM FDM BM DM EMB FMD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴ASA EBM FDM ≌（），∴BE DF =，∴AD DF =，故答案为：=；（2）根据题意将图形补全，如图2所示：AD 与DF 的数量关系：AD DF =，证明如下：连接BE ，∵90ACB ∠=︒，点D 在BC 的延长线上，∴90ACD BCE ∠=∠=︒，在ACD 和BCE 中，CD CE DCA ECB AC BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴SAS ACD BCE ≌（），∴AD BE ADC BEC =∠=∠，，∵90ACB DF AD ∠=︒⊥，，∴90BEC MBE ADC MDF ∠+∠=∠+∠=︒，∴MBE MDF ∠=∠，∵M 是BD 的中点，∴MB MD =，在BME 和 DMF 中，MBEMDF MB MD EMB FMD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴ASA BME DMF ≌（），∴BE DF =，∴AD DF =．【变式训练】1．（22-23八年级上·山西大同·阶段练习）如图1，在等腰直角三角形ABC 中，90AB AC BAC =∠=︒，，点P 为BC 边上的一个动点，连接AP ，以AP 为直角边，A 为直角顶点，在AP 右侧作等腰直角三角形PAD ，连接CD ．(1)当点P 在线段BC 上时(不与点B 重合)，求证：BAP CAD ≌V V ．(2)当点P 在线段BC 的延长线上时(如图2)，试猜想线段BP 和CD 的数量关系与位置关系分别是什么？请给予证明．【答案】(1)见解析(2)猜想：BP CD BP CD =⊥，，证明见解析【分析】（1）先证明BAP CAD ∠=∠，再根据三角形全等的判定定理证明BAP CAD ≌V V ，即可；（2）先证明BAP CAD ∠=∠，再根据三角形全等的判定定理证明BAP CAD ≌V V ，由全等三角形的性质，即可得证．【详解】（1）90BAC PAD ∠=∠=︒BAC PAC PAD PAC ∴∠-∠=∠-∠即∶BAP CAD∠=∠在BAP △和CAD 中AB AC BAP CAD PA DA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()BAP CAD SAS ∴ ≌（2）猜想∶,BP CD BP CD=⊥90BAC PAD ∠=∠=︒Q BAC PAC PAD PAC∴∠+∠=∠+∠即∶BAP CAD∠=∠在BAP △和CAD 中ABAC BAP CAD PA DA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()BAP CAD SAS ∴ ≌BP CD ∴=(全等三角形的对应边相等)B ACD ∠=∠(全等三角形的对应角相等)90B ACB ∠+∠=︒90ACD ACB ∴∠+∠=︒即∶BP CD⊥综上所述，,BP CD BP CD =⊥．【点睛】本题主要考场三角形全等的判定定理和性质定理，熟练掌握全等三角形的判定定理和性质定理，是解题的关键．2．（23-24八年级上·河北沧州·期末）问题情境：如图，等腰Rt ABC △，D 是斜边BC 上一点，连接AD ，在AD 右侧作AF AD ⊥，且AF AD =，AE 平分DAF ∠交边BC 于点E ，连接EF 和CF ，请直接写出线段BE CF EF 、、的关系：；猜想验证：若D 是斜边BC 上一动点，且AE 平分DAF ∠交边BC 于点E ，其他条件不变，此时上面的结论是否还成立，请说明理由．拓展延伸：若点D 运动到斜边CB 的延长线上，AE 平分DAF ∠交边BC 于点E ，其他条件不变，请直接写出线段BE CF EF 、、的关系：．【答案】问题情景：BE CF EF =+；猜想验证：成立，见解析；拓展延伸：BE EF CF=-【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识点，灵活运用全等三角形的判定与性质是解题的关键．问题情景：根据作图过程可解决问题情境；猜想验证：根据等腰直角三角形和已知条件可证明()SAS CAF BAD ≌可得=CF BD ，进而证明()SAS EAF EAD ≌可得EF ED =，然后根据BE BD ED =+即可证明结论；拓展延伸：先根据题意画出图形，然后参照猜想验证进行解答即可．【详解】解：问题情境：BE CF EF =+．猜想验证：BE CF EF =+，理由如下：∵ABC 是等腰直角三角形∴,90=∠=︒AC AB BAC ∵AF AD⊥∴90DAF =︒∴DAF CAD BAC CAD ∠-∠=∠-∠，即：CAF BAD∠=∠在CAF V 和BAD 中，AC AB CAF BAD AF AD=∠=∠=，，∴()SAS CAF BAD ≌∴=CF BD ，∵AE 平分DAF ∠，∴EAF EAD∠=∠在EAF △和EAD 中，AF AD EAF EAD AE AE =∠=∠=，，，∴()SAS EAF EAD ≌，∴EF ED =，∴BE BD ED CF EF =+=+，∴BE CF EF =+．拓展延伸：BE EF CF =-，理由如下：∵ABC 是等腰直角三角形∴,90=∠=︒AC AB BAC ∵AF AD⊥∴90DAF =︒∴DAF CAD BAC CAD ∠-∠=∠-∠，即：CAF BAD∠=∠在CAF V 和BAD 中，AC AB CAF BAD AF AD=∠=∠=，，∴()SAS CAF BAD ≌∴=CF BD ，∵AE 平分DAF ∠，∴EAF EAD∠=∠在EAF △和EAD 中，AF AD EAF EAD AE AE =∠=∠=，，，∴()SAS EAF EAD ≌，∴EF ED =，∴BE ED BD EF CF =-=-，∴BE EF CF =-．3．（23-24八年级上·湖北武汉·期末）如图，在等腰Rt ABC △中，90A ∠=︒，AB AC =，点E 为线段AB 上一动点（不与点B 重合），CE CF ⊥且CE CF =．(1)连接BF 交AC 于点M ，设BE m AB =．①当1m =时，如图1，则BM MF =______．②当49m =时，如图2，若18AB =，求MC 的长．(2)如图3，作FP CF ⊥交CA 的延长线于点P ，EQ EC ⊥交BC 于点Q ，连接PQ ，求证：PQ PF EQ =-．∵49BE AB =，AB =∴8,BE AE AB ==∵FCN ACE ∠+∠∴FCN CEA∠=∠∵FNC CAE ∠=∠∵CE CF =，FG EQ =，90CFG CEQ ∠=∠=︒，∴CFG CEQ△≌△∴CG CQ =，FCG ECQ∠=∠∵90ECF FCG ECG ∠=∠+∠=︒，∴90ECQ ECG QCG ∠+∠=∠=︒∵,AB AC AB AC=⊥∴45PCQ PCG∠=︒=∠∵PC PC=∴PCG PCQ△≌△∴PQ PG=∵PG PF FG PF EQ=-=-PQ PF QE∴=-4．（23-24八年级上·广东阳江·期末）如图1，已知：90MCN ∠=︒，点A 、B 在MCN ∠的边CM CN 、上，AC BC =，点D 为直线CN 上一动点，连接AD ，过点A 作AE AD ⊥，且AE AD =，作EF CM ⊥，垂足为F ．(1)当点D 在线段BC 上时，证明：EF BC =；(2)如图2，当点D 在线段BC 延长线上时，（1）的结论是否仍然成立？若成立，请证明，若不成立，请说明理由；(3)如图3，在（2）的条件下，作点E 关于直线CM 的对称点E '，连接FE '、DE '，DE '与直线AB 交于点H ，求证：DH HE '=．【答案】(1)见解析(2)成立，见解析(3)见解析【分析】本题主要考查三角形全等的判定及性质，能熟练应用三角形全等证明线段相等是解题的关键．（1）根据“同角的余角相等”证明EAF ADC ∠=∠，再根据“AAS ”证明ACD EFA △≌△即可；（2）类比（1）的方法证明即可；（3）延长BA 交FE 的延长线于点G ，利用“ASA ”证明'BDH GE H △≌△即可得证．【详解】（1）证明： 90MCN ∠=︒，AE AD ⊥，∴90CAD EAF Ð+Ð=°，90CAD ADC ∠+∠=︒，∴EAF ADC ∠=∠，EF CM ⊥，∴90EFA ∠=︒，90EFA ACD ∴∠=∠=︒，在ACD 和EFA △中C EFA ADC EAF AD AE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ACD EFA△≌△∴EF AC =，AC BC =，∴EF BC =．（2）解：结论成立．90MCN ∠=︒，∴=90ACD ∠︒，AE AD ⊥，∴90CAD EAF Ð+Ð=°，90CAD ADC ∠+∠=︒，∴EAF ADC ∠=∠，EF CM ⊥，∴90EFA ∠=︒，90EFA ACD ∴∠=∠=︒在ACD 和EFA △中C EFA ADC EAF AD AE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ACD EFA △≌△，∴EF AC =，AC BC =，∴EF BC =．（3）证明：如图：如图，延长BA 交FE 的延长线于点G ，90MCN ∠=︒，AC BC =，∴45CAB ∠=︒，45FAG CAB Ð=Ð=°，EF CM ⊥，∴45FAG G Ð=Ð=°，∴FG FA =，又 E 、E '关于直线CM 对称，∴EF E F ='，EF CM ⊥，∴E 、F 、E '三点共线，由（2）可得，ACD EFA△≌△∴AF CD =，EF AC BC ==，∴GF E F CD BC +=+'，即GE BD '=，EF CM ⊥，90MCN ∠=︒，∴'GE BD ∥，∴HDB E ∠=∠'，HBD G Ð=Ð，在BDH △和GE H ' 中'HDB E GE BD HBD G ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩'∴BDH GE H' ≌∴DH HE ='．【题型三利用三角形全等求证角之间的关系问题】例题：（23-24八年级上·湖南永州·期中）在ABC 中，AB AC =，90BAC ∠=︒，点D 为AC 上一动点．(1)如图1，点E 、点F 均是射线BD 上的点并且满足AE AF =，90EAF ∠=︒．求证：ABE ACF ≌ ；(2)在（1）的条件下，求证：CF BD ⊥；(3)由（1）我们知道45AFB ∠=︒，如图2，当点D 的位置发生变化时，过点C 作CF BD ⊥于F ，连接AF ．那么AFB ∠的度数是否发生变化？请证明你的结论．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)45AFB ∠=︒，不变化，理由见解析【分析】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的性质进行推导．（1）根据90BAC BAE EAD ∠=∠+∠=︒，90EAF CAF EAD ∠=∠+∠=︒得出BAE CAF ∠=∠，即可根据SAS 证明ABE ACF ≌ ；（2）易得90ABE BDA ∠+∠=︒，根据ABE ACF ≌ ，得出ABE ACF ∠=∠，则90BDA ACF ∠+∠=︒，进而得出90CDF ACF ∠+∠=︒，则90BFC ∠=︒，即可求证CF BD ⊥；（3）过点A 作AF 的垂线交BM 于点E ，易得90ABD BDA ∠∠+=︒，90ACF CDF ∠∠+=︒，即可得出ABD ACF ∠∠=，通过求证()ASA ABE ACF ≌ 得出AE AF =，则AEF 是等腰直角三角形，即可求出45AFB ∠=︒．【详解】（1）解：∵90BAC BAE EAD ∠=∠+∠=︒，90EAF CAF EAD ∠=∠+∠=︒∴BAE CAF ∠=∠，在ABE 和ACF △中AB AC BAE CAF AE AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()SAS ABE ACF ≌△△；（2）解：∵90BAC ∠=︒，∴90ABE BDA ∠+∠=︒，由（1）得ABE ACF ≌ ，∴ABE ACF ∠=∠，∴90BDA ACF ∠+∠=︒，又∵BDA CDF ∠=∠，∴90CDF ACF ∠+∠=︒，∴90BFC ∠=︒，∴CF BD ⊥；（3）解：45AFB ∠=︒，不变化，理由如下：过点A 作AF 的垂线交BM 于点E∵CF BD⊥∴90BAC ∠=︒∴90ABD BDA ∠∠+=︒同理90ACF CDF ∠∠+=︒∵CDF ADB∠∠=∴ABD ACF∠∠=同（1）理得BAE CAF∠∠=在ABE 和ACF 中BAE CAF AB AC ABD ACF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴()ASA ABE ACF ≌ ∴AE AF=∴AEF 是等腰直角三角形∴45AFB ∠=︒．【变式训练】1．（22-23八年级上·江苏徐州·阶段练习）点P 、Q 分别是边长为4cm 的等边ABC 的边AB 、BC 上的动点，点P 从顶点A ，点Q 从顶点B 同时出发，且它们的速度都是1cm /s ．(1)连接AQ 、CP 交于点M ，则在P 、Q 运动的过程中，CMQ ∠变化吗？若变化，则说明理由；若不变，则求出它的度数；(2)如图2，若点P 、Q 在运动到终点后继续在射线AB 、BC 上运动，直线AQ 、CP 交点为M ，则CMQ ∠变化吗？若变化，则说明理由；若不变，请求出它的度数．【答案】(1)不变，60CMQ ∠=︒(2)不变，120CMQ ∠=︒【分析】（1）因为点P 从顶点A 、点Q 从顶点B 同时出发，且它们的速度都为1cm /s ，所以AB CA =，BQ AP =，60B CAP ∠=∠=︒，因而运用边角边定理可知ABQ CAP ≌△△．再用全等三角形的性质定理及三角形的角间关系、三角形的外角定理，可求得CMQ ∠的度数．（2）首先利用边角边定理证得PBC QCA ≌△△，再利用全等三角形的性质定理得到BPC CQM ∠=∠，再运用三角形角间的关系求得CMQ ∠的度数．【详解】（1）解：60CMQ ∠=︒不变．等边三角形ABC 中，AB CA =，60B CAP ∠=∠=︒，又由条件得BQ AP =，∴()SAS ABQ CAP ≌△△，∴BAQ ACP ∠=∠，∴60CMQ ACP CAM BAQ CAM BAC ∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒；（2）解：120CMQ ∠=︒不变．在等边三角形ABC 中，60ABC CAP ∠=∠=︒，∴120PBC QCA ∠=∠=︒，又由条件得BP CQ =，BC CA =，∴()SAS PBC QCA ≌△△，∴BPC CQM ∠=∠，又 PCB MCQ ∠=∠，∴120CMQ PBC ∠=∠=︒．【点睛】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质，根据题意证明三角形全等是解题的关键．2．（23-24八年级上·贵州遵义·期末）在Rt ABC △中，90ACB AC BC ∠=︒=，，点E 为AC 上一动点，过点A 作AD BE ⊥于D ，连接CD ．(1)【观察发现】如图①，DAC ∠与DBC ∠的数量关系是；(2)【尝试探究】点E 在运动过程中，CDB ∠的大小是否改变，若改变，请说明理由，若不变，求CDB ∠的度数；(3)【深入思考】如图②，若E 为AC 中点，探索BE 与DE 的数量关系．【答案】(1)DAC DBC∠=∠(2)CDB ∠的大小不变，45CDB ∠=︒(3)5BE DE=【分析】此题考查等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识．（1）由90ACB ADB ∠=∠=︒，得9090DAC AED DBC BEC ∠+∠=︒∠+∠=︒，，而AED BEC ∠=∠，所以DAC DBC ∠=∠，于是得到问题的答案；（2）作CF CD ⊥交BD 于点F ，则90ACD BCF ACF ∠=∠=︒-∠，而DAC FBC AC BC ∠=∠=，，即可证明DAC FBC ≌ ，得CD CF =，则45CDB CFD ∠=∠=︒，所以CDB ∠的大小不改变，45CDB ∠=︒；（3）作CG CD ⊥交BD 于点G ，作CH BD ⊥于点H ，可证明CHE ADE ≌ ，得HE DE CH AD ==，，由DAC GBC ≌ ，得AD BG =，则CH BG =，由CG CD CH DG =⊥，，得DH GH =，则CH DH GH ==，所以2BG DH GH DE ===，即可推导出5BE DE =．【详解】（1）∵90ACB AD BE∠=︒⊥，∴90ACB ADB ∠=∠=︒，∴9090DAC AED DBC BEC ∠+∠=︒∠+∠=︒，，∵AED BEC ∠=∠，∴DAC DBC ∠=∠，故答案为：DAC DBC ∠=∠．（2）CDB ∠的大小不改变，如图①，作CF CD ⊥交BD 于点F ，则90DCF ∠=︒，∴90ACD BCF ACF ∠=∠=︒-∠，由（1）得DAC FBC ∠=∠，∵AC BC＝∴()ASA DAC FBC ≌，∴CHE ADE ∠=∠，∵E 为AC 中点，∴CE AE =，∵CEH AED ∠=∠，∴()AAS CHE ADE ≌，合)，以AD 为一边在AD 的右侧作ADE V ，使AD AE =，DAE BAC ∠=∠，连接CE ．(1)如图1，当点D 在线段CB 上时，BD 与CE 有何数量关系，请说明理由．(2)在（1）的条件下，当90BAC ∠=︒时，那么DCE ∠=________度．(3)设BAC DCE ∠α∠β==，．①如图2，当点D 在线段CB 上，90BAC ∠≠︒时，请探究α与β之间的数量关系．并证明你的结论；②如图3，当点D 在线段CB 的延长线上，90BAC ∠≠︒时，请将图3补充完整并直接写出此时α与β之间的数量关系．【答案】(1)BD CE =，理由见解析；(2)90；(3)①180αβ+=︒，证明见解析；②图见解析，αβ=．【分析】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质（1）由题意可得BAD CAE ∠=∠，即可证明BAD CAE ≌，可得BD CE =，ACE B ∠=∠，即可解题；（2）由题意可得BAD CAE ∠=∠，即可证明BAD CAE ≌，可得BD CE =，ACE B ∠=∠，即可解题；（3）①由题意可得BAD CAE ∠=∠，即可证明BAD CAE ≌，可得ACE B ∠=∠，根据180B ACB α∠+∠=︒-即可解题；②由题意可得BAD CAE ∠=∠，即可证明BAD CAE ≌，可得ACE B ∠=∠，根据180ADE AED α∠+∠+=︒，180CDE CED β∠+∠+=︒即可解题；【详解】（1）解：BD CE =，理由：90BAD DAC ∠+∠=︒ ，90DAC CAE ∠+∠=︒，BAD CAE ∴∠=∠，在BAD 和CAE V 中，AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()BAD CAE SAS ∴ ≌，BD CE ∴=；（2）解：BAD CAE △≌△，ACE B ∴∠=∠，90B ACB ∠+∠=︒ ，90DCE ACE ACB ∴∠=∠+∠=︒；故答案为：90；（3）解：①BAD DAC α∠+∠= ，DAC CAE α∠+∠=，BAD CAE ∴∠=∠，在BAD 和CAE V 中，AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()BAD CAE SAS ∴ ≌，ACE B ∴∠=∠，180B ACB α∠+∠=︒- ，180DCE ACE ACB αβ∴∠=∠+∠=︒-=，180αβ∴+=︒；②作出图形，BAD BAE α∠+∠= ，BAE CAE α∠+∠=，BAD CAE ∴∠=∠，在BAD 和CAE V 中，AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()BAD CAE SAS ∴ ≌，AEC ADB ∴∠=∠，180ADE AED α∠+∠+=︒ ，180CDE CED β∠+∠+=︒，CED AEC AED ∠=∠+∠，αβ∴=．。

河北省八年级数学上册拔高练全等三角形中的动态问题新版新人教版

PC 时，△ BPE ≌△ CQP ，
∵ BP ＝ CQ . 点 P ， Q 运动的时间相等，点 P 的运动速度
是3厘米/秒，∴点 Q 的运动速度是3厘米/秒.
1
2
3
②当 CQ ＝ BE ， PB ＝ PC 时，△ BPE ≌△ CPQ . 此时3 t

＝8－3 t ，∴ t ＝，
∵点 E 是 AB 的中点，∴ CQ ＝ BE ＝5厘米.
∠＝∠，
在△ AOB 和△ EOB 中，∵ቐ＝，
∠＝∠ = °，
∴△ AOB ≌△ EOB (ASA)，
∴ AO ＝ EO ，∠ BAO ＝∠ BEO ，∴∠ AHD ＝∠ BEO ，
1
2
3
∴∠ BHA ＝∠ AEC ，
由(1)易得∠ CAE ＝∠ ABH .
∠＝∠，
90°，点 A 、点 B 分别是 x 轴、 y 轴上的两个动点，直角
边 AC 交 x 轴于点 D ，斜边 BC 交 y 轴于点 E .
(2)如图②，在等腰直角三角形 ABC 不断运动的过程中，
若满足 BD 始终是∠ ABC 的平分线，试探究：线段
OA ， OD ， BD 三者之间是否存在
某一固定的数量关系，并说明理由.
(1)如图①，若 A (0，1)， B (2，0)，求点 C 的坐标；
1
2
3
解：(1)过点 C 作 CF ⊥ y 轴于点 F ，
∴∠ AFC ＝90°，∴∠ CAF ＋∠ ACF ＝90°.
∵△ ABC 是等腰直角三角形，∠ BAC ＝90°，
∴ AC ＝ AB ，∠ CAF ＋∠ BAO ＝90°，∴∠ ACF ＝∠ BAO .
∠＝∠ = °，

全等三角形中的动态问题1

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2022中考数学技巧《全等三角形中的动态问题》专题讲解附练习及答案

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专题03 全等三角形中的动态问题(解析版)

全等三角形中的动态问题

专题 全等三角形的应用---动点运动问题(30题)(解析版)

全等三角形的动点问题

全等三角形--动点问题

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全等三角形动点问题

全等三角形动点问题PPT教学课件

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