三角形全等开放性与动态问题专题研讨课

初中部数学学科展示课研学案教学背景：本节课的设计，其背景源于四方面：1、源于《国家中长期教育改革和发展规划纲要（2010-2020年）》，德育·能力·创新·减负——解读义务教育新课程标准：关于突出能力培养方面，我国基础教育有重视“双基”（“基础知识和基本技能”）的传统，但学生的创新精神和实践能力的培养比较薄弱。

为此，此次课程标准修订特别强调能力培养，提出三项要求：一是进一步丰富了能力培养的基本内涵。

如数学课程把传统的“双基”目标发展为“四基”，增加了“基本活动经验、基本思想”的新要求。

二是进一步明确了能力培养的基本要求。

如针对教师反映对“探究学习”指导有困难的问题，提炼了“探究学习”的基本步骤和一般方法，以加强对能力培养的指导。

2、源于“实验与论证相结合的教学思想”，同时受物理、化学这两门以实验为主的学科影响，开展数学“探究问题”活动，也可以先走实验这一步，只不过数学实验的工具可用我们的测量工具刻度尺、度量工具量角器，还有就是数学学科工具----几何画板的度量功能。

从而我的一个构想就是将具有代表性的“动态数学问题”开发改编变成“动态问题实验探究的教学内容”。

3、源于对番禺区“研学后教”理念的解读，尤其是受番禺区“研学后教”课堂教学改革指导意见的影响，其中编写“研学案”的基本原则之二：关注学生原则中提及关注学生课堂思维的深刻度。

4、源于我校数学教研组在“研学后教”课改方面的探索历程与实践做法。

基于对研学后教目标任务的解读，结合数学学科特点，经过近一学期的实践，构想适合我校的“研学后教”数学课堂教学改革模式。

我们的做法是编制好三种课型（新授课、习题课和展示课）的研学稿、每节课抓好自学、展示和反馈三个环节、自学过程落实好独学、对学与群学三种形式；经历一个阶段数学内容的循环学习（新知学习、练习巩固、展示提升）；达到六方面的目标：落实“四基”（基础知识、基本技能、基本活动经验和基本数学思想）、突出对学生“数学语言表达能力”和“探究学习”能力的培养。

我们这样做的想法：其一，要让我们的孩子能象杜郞口中学的学生在课堂上表现出来的那种大方、自信；结合我们学生的实际，得让我们的学生在课堂上逐步做到四说：敢说、能说、会说、愿说；最终实现让每位学生在课堂上达到大方得体地表现、表达和表演。

而要实现这一目标，必须让学生有一个阶段性知识、方法、技能的积累、形成和内化的过程。

因此我们把一周或两周学习内容分为一个阶段，在这个阶段里，学生通过若干课时的新授课与习题课的学习，沉淀了一定的知识和解题方法，形成了一定的解题技能；并整合一个阶段学习内容再开设既巩固双基，又提升能力的展示课。

其二，学生在经历阶段内三种课型的学习后，形成一个阶段数学内容的循环学习体系（知识点的循环出现集中于习题课和展示课），构成一个相对完整的知识链；使知识的巩固、基本技能的形成以及能力的培养成螺旋上升趋势。

其实今天大家听的这一节研讨课，属于展示课类型。

教学课题：三角形全等开放性与动态问题专题研讨课教师版学习目标：1、通过复习回顾，加深对全等三角形性质与判定方法的了解，同时突出应用中常见的两处易错点:“AAA与SSA”；2、通过两道常规问题，训练学生几何语言运用表达与推理能力；3、通过添（去）条件，巩固所学全等三角形的判定方法，同时强化学生思维训练；4、通过探究活动，向学生渗透“观察、猜想与论证”相结合的动态问题解决方法。

学习重点：1、学生几何语言表达、推理能力和数学思维的训练；2、借助动态问题探究活动，向学生渗透此类数学问题的解决方法。

学习难点：数学动态问题一般性与特殊性的探究。

学情预见：1、对较复杂几何图形，如何分离出简单的基本图形是学生的一大难点；2、如何抓住动态数学问题中的不变性与特殊性。

教材分析：1、全等三角形的性质和三角形全等的判定方法以及利用三角形全等进行数学证明，是整个初中数学教学的一个重点内容，为线段及角的相等证明提供了一个证明思想，同时为后续四边形的学习奠定基础。

在教学中，引导学生从问题出发，根据观察、实验的结果，运用归纳、类比的方法得出猜想，然后证明。

从而培养学生几何探究能力，养成严谨的科学素养。

2、“研学后教”突出了数学学科特点。

选择这样一个专题研讨课，尤其是环节四的选材，正是我校数学教研组将要开展的一个研究课题“实验与论证相结合的动态数学问题”校本教材的开发。

这一课题的背景是：走信息技术与教学相结合的“研学后教”课改之路。

《几何画板》是一种适合数学教师和学生进行数学教与学的工具性软件。

它功能强大却又操作简单，在规定了一些数学条件之后所显示出来的数学结论是客观存在的，它提供了一个十分理想的让学生积极探索问题的“做数学”的环境，学生可以利用它来做“数学实验”，在问题解决过程中获得丰富的数学体验，而不仅仅是一些抽象的数学结论。

它可以调动学生积极参与，加深对数学概念的深层理解，拓宽数学能力的培养途径。

同时，在“研学后教”理念下，我们想构建几何课堂（展示课）特色，构想中的要素包括：几何语言表达训练（包括口述与书面表达）、思维训练（正逆向思维、发散思维）、注重逻辑推能力和动态问题探究能力的培养。

尤其是对数学动态问题既要让学生掌握这类问题的解决方法（如实验、观察、猜想、论证），又要渗透数学动态问题中一般性规律（共性）与特殊性规律（个性）的探究。

教学方法：倡导“独立自主、合作探究、大方展示”的“研学后教”教学方式。

教学过程：环节一、复习全等三角形的判定方法与性质。

（请结合图形，完成下面的问题.）1、△ABC≌△A’B’C’，（1）如图1（2）观察下列图形，分别谈你想到了什么？尝试用你的语言概括出来。

图2(1)想到了：AD,A`D`分别是高图2(1)BE,B`E`分别是角平分线图2(2)CF,C`F`分别是中线图2(3)图2(2)想到了： 图2(3)想到了： 2、请回顾三角形全等的判定方法； 结合图3（1）、图3（2），请思考它想 告诉我们什么？图3(1)告诉我们： 图3(2)告诉我们： 环节一的设计意图：1、复习巩固全等三角形的性质与判定方法。

2、第1问题的第（2）小题的设计，一是向学生拓展全等三角形的性质（对应边上的高、对应角的角平分线、对应边上的中线分别相等）；二是培养学生如何进行有效审题（抓两个条件：三角形全等、对应边（角）上的高或中线或角平分线）；三是培养学生的观察、想象与归纳总结能力。

3、第2问题的设计，一是突出学生应用中常见的两处易错点:“AAA 与SSA ”；二是借助几何图形的直观性，将抽象的“AAA 与SSA ”符号形象化，有利于学生的理解；三是通过几何画板拖动图3（1）中的点C ，引导学生“SSA ”在特定的情况下（如直角三角形、钝角三角形），是可以用来判断两个三角形全等的，从而拓展学生的知识面、拓宽学生的视野。

问题1：如图4，AC=AE ，∠C=∠E ，∠1=∠2； 求证：△ABC ≌△ADE.问题2：如图5，已知AB ⊥CF ，DE ⊥CF ， 垂足分别为点B ，E；CE=FB ，AC=DF.求证：AC//DF.环节二的设计意图：1、通过两道常规而又典型（存在角、线段的和差）的问题，训练学生几何语言运用表达与推理能力；2、课堂上，问题2要求学生用“分析法”写出推理过程，然后通过老师的手语动作指挥全体学生一起口述解答过程，这样做的目标是一是向学生渗透“分析法”解决数学问题的方法；二是让学生整体口述过程，营造良好的课堂氛围，更重要的是培养学生的口头表达能力。

图4CB图3(2)图3(1)DE//BC B环节三、全等三角形的判定与性质应用（学生思维训练）： 问题3：如图6, △ABC 的高BE 、CD 交于点O.运用所学知识， 试添加一个条件，使得BE=CD.并简述你的理由。

问题4:如图7,在Rt △ABC 和Rt △DEF 中,AB=DE,BC=EF, ∠B=∠E.欲使 Rt △ABC ≌Rt △DEF ,运用所学知识,你认为题目条件是否有多余,如果有,请 你去掉一个条件,并简述你的理由.环节三的设计意图：1、从问题3与问题4字面上的添加、去掉一个条件来看，就已经隐含着对学生正逆向思维训练的渗透；其次从这两道问题实质是数学的开放性问题，它隐含着训练学生的发散性思维。

2、问题3在课堂实施过程中，我借助几何画板的动态演示功能，将这一较复杂的图形分离成三组最简单的三角形，再让学生去分析每组三角形中已具备的条件是什么，还需添加什么条件？这样处理的目的一是告诉学生学会将复杂问题简单化；二是向学生渗透分类讨论的数学思想方法。

3、问题4的设计，最主要的目的是通过这一活动，让学生熟练掌握两个直角三角形全等的判定方法，从而更加突出了运用“HL ”判定两个Rt △全等的条件。

环节四、探究活动：小明说:“如果将一大一小两个等边三角形放在一起,使它们有一个公共顶点,如下图.记作△ABC 和△ADE ；当△ADE 绕点A 旋转时,能与△ABC 构成不同的图形.在各组图形中分别连结BD 和CE,都能找到全等三角形.”1、请你结合图（1）、（2）、（3）分别找出全等三角形，选其中一个简述理由；2、小明又说：“根据第（1）问，可以说，不论△ADE 绕点A 旋转到任何位置，连结BD 和CE 后一定能找到全等三角形.”你认为小明这个结论对吗？如果不对，请你画出相应的图形。

图6C图7A(2)(1)E E3、请思考：不论△ADE绕点A旋转到任何位置，连结BD和CE；BD与CE有怎样的数量关系？你能谈谈你的证明思路吗？该探究活动的设计意图:此问题源于八上《数学学习与评价》第13页问题探究第1题。

因为这类数学探究问题非常有“研学”价值，故我把它选出来，并增设了第3问。

有了前2问的铺垫，第3问的结论很容易得出，但我加了谈谈你的证明思路，旨再向学生渗透两点：一是分类讨论的数学思想，二是为下面一般性的探讨做证明方法相似的铺垫。

观察与发现问题：1.(特殊情况）等边△ABC和△ADE，当B、A、E三点在一条线上时，随着点A在BE上运动时,BD交AC于M，CE交AD于N.观察下列几组数据，你发现了AM与AN的数量关系吗？如将你的发现与小组同伴一起交流，并说说你是如何证明的。

2.(一般性探讨）将原题中“等边三角形”这一条件改成“顶角相等的两个等腰三角形”，将它们的顶点A重合，随着△ADE绕点A旋转，观察下图中的几组数据，你发现BD和CE 的数量关系了吗？你能证明吗？将你的发现与小组同伴一起交流，并说说你的理由。

环节四两个“观察与发现”的设计意图：1、从两个“观察与发现”的数据呈现方式来看，旨在培养学生的观察能力。

同时，从众多的数据中，如何去发现或提取有用的、有价值的数据信息供我们研究。

2、这两个“观察与发现”在课堂实施时，我借助几何画板参数设置与度量功能，通过角或边的参数变化，引导学生去观察一些线段的变化情况。