4 重复博弈--博弈论

个体理性得益（individual rationality）

不管其它参与人的行为如何，某参与人在博弈中只 要自己采取某种特定策略，最低限度能获得的支付。
可实现得益（Feasible Payoff）

所有纯策略组合得益的加权平均
4.3 无限次重复博弈
得益（支付）
给定贴现系数δ (0<δ<1) ，若无限次重复博弈一路径的某 参与人各阶段得益为π1，π2 ，…，则该参与人在该无限 次重复博弈中的总得益为：

1 2 3 t 1 t
2 t 1
δ=1/(1+r) ，r—以一阶段为期限的市场利率
4.3.1 无限次重复囚徒困境
囚徒B
坦白 坦白 囚徒A 抵赖
-8，-8
0 ,-10
抵赖
-10, 0
-1，-1
可以证明，如果参与人有足够的耐心，（抵赖，抵赖） 是一个子博弈完美NE结果。
考虑第19个，进入者知道第20个市场在位者选择默许。
每一个市场均如此。
结论
若原博弈G有唯一NE，则对任意正整数T，G(T) 有唯一的子博弈完美纳什均衡，即各博弈方在每 个阶段都采用G的NE策略。
唯一性：纯策略NE，子博弈完美NE
Case： OPEC 的困境
石油输出国组织
Organization of Petroleum Exporting Countries
盖 方 反面
-1，1
1，-1
1，-1
-1，1
特点：零和博弈，双方无合作可能
结论
所有以零和博弈为原博弈所构成的重复博 弈，各博弈方的正确策略就是每次重复中 都采用一次性博弈中的NE。
长期利益不会约束短期行为
4.2.3 有限次两企业、两差别市场重复博弈
两个企业同时面临两个市场机会A和B。A市场较大，但 开发程度还很低，只有一家厂商不足以很好开发这个市 场；B市场较小，一家厂商占领可得到可观的利益，如 果两家都挤在这个市场，则大家都会无利可图。 企业2
4.2.2 连锁店悖论
4.2.3 有限次重复猜硬币博弈
4.2.4 ★有限次两企业、两差别市场重复博弈
4.2.5 民间定理
4.2.1 有限次重复的囚徒困境博弈 假设进行两次
囚徒B 坦白 坦白 囚徒A 抵赖 抵赖
-8，-8
-10, 0
0 ,-10
-1，-1
逆推归纳法求解
第二阶段：实现本阶段最大利益 （坦白，坦白）（-8，-8） 第一阶段
平均得益=（99*3+4+1）/101=2.99
触发策略
博弈方之间首先试探合作，一旦发现对方不合作 则也用不合作相报复，利用后续阶段博弈的制约 作用达成均衡的策略。
trigger strategies 冷酷战略 grim strategies
问：能否用两次重复构造冷酷策略？如（A,A）、（A,B）
为什么要研究重复博弈
在形式上，重复博弈是基本博弈的重复进行，但博弈 方的行为和结果却不一定是简单重复。
短期利益
长期利益
例：
• 两家企业在一个市场上的长期竞争 • 企业之间的长期协议（如10年） • 商业中的回头客等
基本概念
有限次与无限次重复博弈

给定一个博弈G，重复T次，各博弈方能观察到以前 的博弈进程，称为G的一个“T次重复博弈”，记为 G(T)。G为原博弈。每次重复称为G(T)的一个阶段。
冷酷战略
（1）开始选择抵赖。 （2）选择抵赖直到有一方选择了坦白，然后永远选 择坦白。（惩罚对方）
注：一旦自己在某阶段选择了坦白，将永远选择坦白。 （惩罚自己）
能否用逆推归纳法呢？ 首先证明它是一个NE； 然后证明它是子博弈完美NE。
证明冷酷战略是一个NE
给定囚徒2选择了冷酷战略
如果囚徒1在某阶段首先选择了坦白，囚徒2将永远坦白， 此时囚徒1总得益为：
不少非OPEC成员国加入市场，使得OPEC的限产作用失 效，白白丧失许多市场份额和利润。 OPEC成员之间地位不平衡，部分成员觉得限额不公平从 而相继突破限额。 有些国家因为政治、经济、军事等方面的原因造成资金、 财政紧张，促使其杀鸡取卵、大量超产。
4.2.3 有限次重复猜硬币博弈
猜方
正面 反面
正面
One-Shot NE
Venezuela
Strategy High Q Med Q Low Q
High Q 5, 3 6, 7 8, 1
Med Q 9,4 12,10 10, 18
Low Q 3, 6 20, 8 18, 15
Saudi Arabia
重复博弈
合理的猜想：
石油生产和出口年年持续进行，OPEC的制约和协调按 理说总是有一定作用的。各国不可能对合作的巨大好处 无动于衷，再加上我们要考虑到成员国中最大的产油国， 如沙特阿拉伯在其中会起一定的积极作用，带头克制自 己的行为。因此OPEC这个是否突破限额的重复博弈的结 果理应比完全没有制约独立决定产量的结果要好得多。
4 重复博弈
4.1 重复博弈引论 4.2 有限次重复博弈 4.3 无限次重复博弈
何为重复博弈？
动态博弈分为两类：
序贯博弈（sequential games)
参与人在前一个阶段的行动选择决定随后的子博弈结 构，即同样结构的子博弈只出现一次。
重复博弈（repeated games)
指同样结构的博弈重复多次。
重复博弈
不幸的结局：
各成员国之间这种有远见、符合群体利益、真正符合个 体利益的有效合作在现实中并没有出现，实际的结果是 所有成员国每年都突破自己的限额，甚至成倍超产，使 油价从30美元一桶降到20美元、10美元一桶的水平。
原因分析
某些成员国的石油资源已趋枯竭，构成有限次重复博弈， 长期利益的制约作用大大减弱。
均衡路径 第一阶段
(A , B)
(B , A) (A , B)
平均（期望）得益 企业1
2.5
2.5 1
第二阶段
(B , A)
(A , B) (A , B)
企业2
2.5
2.5 4
(B , A)
混合策略 (A , B) (B , A) 混合策略
(B , A)
混合策略 混合策略 混合策略 (B , A)
因为博弈重复无限次，从任何一个阶段开始 的子博弈与这个博弈的结构相同，故在每个 子博弈上构成NE。
结论： 如果δ>=1/8（即参与人有足够的耐
心），冷酷战略是无限次囚徒博弈的一个子 博弈完美NE。
囚徒走出困境的原因
A A 企业1 B
B
3， 3 4， 1
1， 4 0， 0
求解原博弈
A A 企业1 B 企业2 B
3， 3 4， 1
1， 4 0， 0
两个纯策略NE， 一个混合策略NE: r1=r2=0.5，期望效用：v1=v2=2
两次重复博弈
A A 企业1 B 企业2 B
3， 3 4， 1
1， 4 0， 0
可能的均衡路径？
策略、子博弈和均衡路径
得益

总得益 / 平均得益 贴现系数 1 2 3
2 2 T 1
T t 1 t
t 1
T
1 2 3 t 1 t
t 1

4.2 有限次重复博弈
4.2.1 有限次重复的囚徒困境博弈
Quantity of Oil
一个静态博弈
每个成员国都意识到在其他成员国不突破限额时自己突 破限额的巨大好处和其他成员国突破限额时自己不突破 限额将白白受损。 加上OPEC的限额又没有足够的强制性约束力。 因此，每个成员国都倾向于突破限额、超额生产，最后 仍然只能实现对每个成员国都并不利的高产、低价、低 利润的NE。
企业2

三次重复
如何证明为一条子博弈完美NE路径？
（A , A ）、 （A , B ） 、 （B , A ）
平均得益=（3+1+4）/3=2.67
A A 企业1 B 企业2 B
3，3 4，1
1，4 0，0
推广到任意有限次
重复101次
企业1的策略是前99次都选A，但一旦发现哪次出现结果 (A,B)，则改选并坚持B到底，最后二次与三次重复的后 两次一样； 企业2的策略是前99次都选A，但一旦发现哪次出现结果 (B,A)，则改选并坚持B到底，最后二次与三次重复的后 两次一样。
policies among Member Countries, in order to secure fair and stable prices for petroleum producers…”
()
通过谈判确定限额
OPEC作为世界石油寡头组织，为了避免成员国独立决策 造成囚徒困境式对大家都不利的局面，维持较高油价以 获取更多的利润，通过谈判确定每个成员国日产石油桶 数的最高限额。
2
那么，给定囚徒2坚持冷酷战略且首先选择了坦白，囚 徒1会不会有积极性坚持冷酷战略以惩罚对方的不合作 行为呢？
3 1首先 类似地，给定给定囚徒2坚持冷酷战略，即使囚徒 选择坦白，坚持冷酷战略也是最优的。
同理，给定囚徒1选择冷酷战略，囚徒2也会坚 持冷酷战略，因此冷酷战略是一个NE
证明这个NE是一个子博弈完美NE
0 (8) 2 (8) ... 8 1
而合作的结果将是：
1 1 (1) (1) ... 1
2
当δ>=1/8时（有足够耐心），囚徒1不会首先选择坦白。
1
δ>=1/8时，给定囚徒2坚持冷酷战略且没有首先坦白， 囚徒1不会选择首先坦白。
囚徒B 坦白 坦白 囚徒A 抵赖 抵赖