2016年高考理科数学山东卷及答案解析
2016年山东理数高考试题文档版(含答案)
绝密★启用前2016年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)理科数学本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共4页。
满分150分。
考试用时120分钟。
考试结束后，将将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1.答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上。
2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号。
答案写在试卷上无效。
3. 第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。
不按以上要求作答的答案无效。
4.填空题直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 参考公式：如果事件A,B 互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B).第Ⅰ卷（共50分）一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的（1）若复数z 满足232i,z z +=-其中i 为虚数单位，则z =（A ）1+2i （B ）1-2i （C ）12i -+ （D ）12i --（2）设集合2{|2,},{|10},x A y y x B x x ==∈=-<R 则A B =（A ）(1,1)- （B ）(0,1) （C ）(1,)-+∞ （D ）(0,)+∞（3）某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5,30]，样本数据分组为[17.5,20),[20,22.5),[22.5,25),[25,27.5),[27.5,30] .根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是（A ）56 （B ）60（C ）120 （D ）140（4）若变量x ，y 满足2,239,0,x y x y x ì+?ïïïï-?íïï锍ïî则22x y +的最大值是（A ）4 （B ）9 （C ）10 （D ）12（5）一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示.则该几何体的体积为（A ）1233+π（B ）1233+π（C ）1236+π（D ）216+π （6）已知直线a ，b 分别在两个不同的平面α，β内.则“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件学.科.网（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件（7）函数f （x ）=（3sin x +cos x ）（3cos x –sin x ）的最小正周期是（A ）2π（B ）π （C ）23π（D ）2π （8）已知非零向量m ，n 满足4│m │=3│n │，cos<m ，n >=13.若n ⊥（t m +n ），则实数t 的值为 （A ）4 （B ）–4 （C ）94（D ）–94（9）已知函数f (x )的定义域为R .当x <0时，3()1f x x =-；当11x -≤≤时，()()f x f x -=-；当12x >时，11()()22f x f x +=- .则f (6)= （A ）−2（B ）−1（C ）0（D ）2（10）若函数y =f (x )的图象上存在两点，学科.网使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y =f (x )具有T 性质.下列函数中具有T 性质的是（A ）y =sin x （B ）y =ln x （C ）y =e x （D ）y =x 3第Ⅱ卷（共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。
数学-2016年高考真题——山东卷(理)(word版含答案)
绝密★启用前2016年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)理科数学本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共4页.满分150分.考试用时120分钟.考试结束后，将将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项：1.答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上.2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号.答案写在试卷上无效.3. 第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带.不按以上要求作答的答案无效.4.填空题直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.参考公式：如果事件A ,B 互斥，那么P (A +B )=P (A )+P (B ).第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的（1）若复数z 满足232i,z +=-其中i 为虚数单位，则z =( )（A ）1+2i（B ）1-2i（C ）12i -+（D ）12i --（2）设集合2{|2,},{|10},x A y y x B x x ==∈=-<R 则AB =( )（A ）(1,1)-（B ）(0,1)（C ）(1,)-+∞ （D ）(0,)+∞（3）某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5，样本数据分组为[17.5,20),[20,22.5),[22.5,25),[25,27.5),[27.5,30] .根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是( )（A ）56（B ）60（C ）120（D ）140（4）若变量x ，y 满足2,239,0,x y x y x ì+?ïïï-?íïï³ïïî则22x y +的最大值是( )（A ）4 （B ）9 （C ）10 （D ）12（5）一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示.则该几何体的体积为( )（A ）12π33+ （B）1π33+ （C）13+（D）1+（6）已知直线a ，b 分别在两个不同的平面α，β内.则“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的( ) （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件（7）函数f （x ）=x +cos x ）x –sin x ）的最小正周期是( )（A ）π2（B ）π （C ）π23 （D ）2π（8）已知非零向量m ，n 满足4│m │=3│n │，cos<m ，n >=13.若n ⊥（t m +n ），则实数t 的值为( ) （A ）4（B ）–4 （C ）94（D ）–94（9）已知函数f (x )的定义域为R .当x <0时，3()1f x x =-；当11x -≤≤时，()()f x f x -=-；当12x >时，11()()22f x f x +=- .则f (6)=( ) （A ）−2（B ）−1（C ）0（D ）2（10）若函数y =f (x )的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y =f (x )具有T 性质.下列函数中具有T 性质的是()（A ）y =sin x （B ）y =ln x（C ）y =e x（D ）y =x 3第Ⅱ卷（共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.（11）执行右边的程序框图，若输入的a ,b 的值分别为0和9，则输出的i 的值为________. (12)若（ax 2）3的展开式中x 3的系数是-80，则实数a =_______.（13）已知双曲线E 1：22221x y a b-=（a ＞0，b ＞0），若矩形ABCD 的四个顶点在E 上，AB ，CD 的中点为E 的两个焦点，且2|AB |=3|BC |，则E 的离心率是_______. （14）在[1,1]-上随机地取一个数k ，则事件“直线y =kx 与圆22(5)9x y -+=相交”发生的概率为 .（15）已知函数2||,()24,x x m f x x mx m x m ≤⎧=⎨-+>⎩其中0m >，若存在实数b ，使得关于x 的方程f （x ）=b 有三个不同的根，则m 的取值范围是________________.三、解答题：本答题共6小题，共75分. （16）（本小题满分12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知tan tan 2(tan tan ).cos cos A BA B B A+=+ （Ⅰ）证明：a +b =2c ; （Ⅱ）求cos C 的最小值.（17）（本小题满分12分）在如图所示的圆台中，AC 是下底面圆O 的直径，EF 是上底面圆O '的直径，FB 是圆台的一条母线.（I ）已知G ,H 分别为EC ，FB 的中点，求证：GH ∥平面ABC ；（II ）已知EF =FB =12AC =AB =BC .求二面角F BC A --的余弦值.（18）（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和S n =3n 2+8n ，{}n b 是等差数列，且1.n n n a b b +=+ （Ⅰ）求数列{}n b 的通项公式；（Ⅱ）另1(1).(2)n n n nn a c b ++=+求数列{}n c 的前n 项和T n .（19）（本小题满分12分）甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一个人猜对，则“星队”得1分；如果两人都没猜对，则“星队”得0分.已知甲每轮猜对的概率是34，乙每轮猜对的概率是23；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响.各轮结果亦互不影响.假设“星队”参加两轮活动，求： （I ）“星队”至少猜对3个成语的概率；（II ）“星队”两轮得分之和为X 的分布列和数学期望E X.(20)(本小题满分13分)已知()221()ln ,x f x a x x a x -=-+∈R . （I ）讨论()f x 的单调性；（II ）当1a =时，证明()3()'2f x f x +＞对于任意的[]1,2x ∈成立.（21）本小题满分14分）平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：()222210x y a b a b+=＞＞的抛物线E ：22x y =的焦点F 是C 的一个顶点. （I ）求椭圆C 的方程；（II ）设P 是E 上的动点，且位于第一象限，E 在点P 处的切线l 与C 交与不同的两点A ，B ，线段AB 的中点为D ，直线OD 与过P 且垂直于x 轴的直线交于点M . （i ）求证：点M 在定直线上;（ii ）直线l 与y 轴交于点G ，记PFG ∆的面积为1S ，PDM ∆的面积为2S ，求12S S 的最大值及取得最大值时点P 的坐标.参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 （1）【答案】B考点：注意共轭复数的概念. （2）【答案】C 【解析】试题分析：，，则，选C. 考点：本题涉及求函数值域、解不等式以及集合的运算. （3）【答案】D考点：频率分布直方图 （4）【答案】C 【解析】试题分析：不等式组表示的可行域是以A (0,-3),B (0,2),C (3,-1)为顶点的三角形区域,表示点（x ,y ）到原点距离的平方,最大值必在顶点处取到,经验证最大值为,故选C. 考点：线性规划求最值 （5）【答案】C考点：根据三视图求几何体的体积. （6）【答案】A 【解析】}0|{>=y y A }11|{<<-=x x B A B =∞（-1，+）22x y +210OC=试题分析：直线a 与直线b 相交,则一定相交,若相交,则a ,b 可能相交，也可能平行,故选A.考点：直线与平面的位置关系；充分、必要条件的判断. （7）【答案】B 【解析】试题分析：,故最小正周期,故选B. 考点：三角函数化简，周期公式 （8）【答案】B考点：平面向量的数量积 （9）【解析】 试题分析：当时，,所以当时，函数是周期为 的周期函数，所以，又函数是奇函数，所以，故选D.考点：本题考查了函数的周期性、奇偶性 （10）【答案】A考点：函数求导，注意本题实质上是检验函数图像上是否存在两点的导数值乘积等于-1. 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. （11）【答案】3 【解析】,αβ,αβ()2sin 2cos 2sin 2663f x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⨯+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭22T ππ==12x >11()()22f x f x +=-12x >()f x 1(6)(1)f f =()f x ()3(1)(1)112f f ⎡⎤=--=---=⎣⎦试题分析：第一次循环：；第二次循环：；第三次循环：；满足条件，结束循环，此时，. 考点：循环结构的程序框图 （12）【答案】-2 【解析】试题分析：因为，所以由，因此考点：二项式定理 （13）【答案】2考点：双曲线的几何性质，把涉及到的两个线段的长度表示出来是做题的关键. （14）【答案】 【解析】试题分析：直线y =kx 与圆相交,需要满足圆心到直线的距离小于半径，即，解得，而，所以所求概率P =.考点：直线与圆位置关系；几何概型 （15）【答案】 【解析】试题分析：由题意画出函数图像如下图所示，要满足存在实数b ，使得关于x 的方程f （x ）=b 有三个不同的根，则，解得，故m 的取值范围是.考点：分段函数，函数图像，能够准确画出函数的图像是解决本题的关键. 三、解答题：本答题共6小题，共75分. （16）（本小题满分12分）a 1,b 8==a 3,b 6==a 6,b 3==i 3=5102552155()rrrrr rr T C ax C ax---+==510522r r -=⇒=252580 2.C a a -=-⇒=-3422(5)9x y -+=d 3=<33k 44-<<[1,1]k ?33224=(3,)+∞24m m m -<m 3>(3,)+∞【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）由知, 所以 ， 当且仅当时，等号成立. 故 的最小值为. 考点：两角和的正弦公式、正切公式、正弦定理、余弦定理及基本不等式. （17）（本小题满分12分） 【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）12()∏()I 2a bc +=2222222cos 22a b a b a b c C ab ab+⎛⎫+- ⎪+-⎝⎭==311842b a a b ⎛⎫=+-≥ ⎪⎝⎭a b =cos C 127（II ）解法一：连接,则平面，又且是圆的直径，所以'OO 'OO ⊥ABC ,AB BC =AC O .BO AC⊥可得平面的一个法向量 因为平面的一个法向量 所以. 所以二面角的余弦值为. 解法二：考点：空间平行判定与性质；异面直线所成角的计算；空间想象能力，推理论证能力（18）（本小题满分12分）【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.BCF (m =-ABC (0,0,1),n =7cos ,7||||m n m n m n ⋅<>==F BC A --713+=n b n 223+⋅=n n n T（Ⅱ）由（Ⅰ）知，又，得，，两式作差，得所以考点：数列前n 项和与第n 项的关系；等差数列定义与通项公式；错位相减法 （19）（本小题满分12分） 【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）分布列见解析，11(66)3(1)2(33)n n n nn c n n +++==+⋅+n n c c c c T +⋅⋅⋅+++=32123413[223242(1)2]n n T n +=⨯⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅++⨯345223[223242(1)2]n n T n +=⨯⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅++⨯234123[22222(1)2]n n n T n ++-=⨯⨯+++⋅⋅⋅+-+⨯224(21)3[4(1)2]2132n n n n n ++-=⨯+-+⨯-=-⋅223+⋅=n n n T 23236=EX(Ⅱ)由题意，随机变量X 的可能取值为0,1,2,3,4,6. 由事件的独立性与互斥性，得,,,,,.可得随机变量X 的分布列为()1111104343144P X ==⨯⨯⨯=()31111211105124343434314472P X ⎛⎫==⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯== ⎪⎝⎭()31313112123112122524343434343434343144P X ==⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=()32111132134343434312P X ==⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=()3231321260542=4343434314412P X ⎛⎫==⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭()32321643434P X ==⨯⨯⨯=所以数学期望.考点：独立事件的概率公式和互斥事件的概率加法公式；分布列和数学期望(20)(本小题满分13分)【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析当，时，，单调递增；，单调递减.当时，.综上所述，01234614472144121246EX=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= 0≤a)1,0(∈x0)(/>xf)(xf/(1,),()0x f x∈+∞<时)(xf>a/3(1)()(a xf x x xx-=当时，函数在内单调递增，在内单调递减；当时，在内单调递增，在内单调递减，在内单调递增；当时，在内单调递增；当，在内单调递增，在内单调递减，在内单调递增. （Ⅱ）由（Ⅰ）知，时，考点：利用导函数判断函数的单调性；分类讨论思想. （21）（本小题满分14分）【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）（i ）见解析；（ii ）的最大值为，此时点的坐标0≤a )(x f )1,0(),1(+∞20<<a )(x f )1,0()2,1(a ),2(+∞a 2=a )(x f ),0(+∞2>a )(x f )2,0(a )1,2(a),1(+∞1=a /22321122()()ln (1)x f x f x x x x x x x --=-+---+1422=+y x 12S S 49P为)41,22(所以， ， 所以， 令，则， 当，即时，取得最大值，此时，满足， 所以点的坐标为，因此的最大值为，此时点的坐标为.考点：椭圆方程；直线和抛物线的关系；二次函数求最值；运算求解能力.)1(41||2121+==m m m GF S )14(8)12(||||2122202++=-⋅=m m m x m PM S 222221)12()1)(14(2+++=m m m S S 122+=m t 211)1)(12(2221++-=+-=t tt t t S S 211=t 2=t 21S S 4922=m 0>∆P )41,22(12S S 49P )41,22(。
(精校版)2016年山东理数高考试题文档版(含答案)
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共 4 页。满分 150 分。考试用时 120 分钟。考试结束后，将将本试
卷和答题卡一并交回。 注意事项：
！
功 1.答卷前，考生务必用 0.5 毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类填写在答题卡和
（14）在[- 1,1] 上随机地取一个数 k，则事件“直线 y=kx 与圆 (x - 5)2 + y2 = 9 相交”发生的概率为 .
！ （15）已知函数
f
(x)
| x x2
|,
2mx
4m,
xm xm
其中
m
0
，学.科网若存在实数
b，使得关于
x
的方程
f（x）
=b 有三个不同的根，则 m 的取值范围是________________.
三、解答题：本答题共 6 小题，共 75 分。
功
（16）（本小题满分 12 分）
成
到 在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 2(tan A tan B) tan A tan B. cos B cos A
（Ⅰ）证明：a+b=2c;
（Ⅱ）求 cosC 的最小值. 17（本小题满分 12 分）
（i）求证：点 M 在定直线上;
（ii）直线 l 与 y 轴交于点 G，记
PFG 的面积为 S1 ，
PDM
的面积为 S2 ，求
S1 S2
的最大值及取得最大值
时点 P 的坐标.
！ 功 成 到 马 考 高 您 祝
2016 年普听高等学校招生全国统一考试(山东卷)
理科数学试题参考答案
2016年高考试题(数学理)山东卷 解析版
绝密★启用前2016年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷） 数学理本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共4页.满分150分.考试用时120分钟.考试结束后，将将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项：1.答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上.2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答案写在试卷上无效.3. 第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带.不按以上要求作答的答案无效.4.填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.参考公式：如果事件A ,B 互斥，那么P (A +B )=P (A )+P (B )；如果事件A ,B 独立，那么P (AB )=P (A )·P (B ).第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的（1）若复数z 满足232i,z z +=- 其中i 为虚数单位，则z = （A ）1+2i（B ）1-2i（C ）12i -+（D ）12i --【答案】B考点：注意共轭复数的概念.（2）设集合2{|2,},{|10},x A y y x B x x ==∈=-<R 则A B = （A ）(1,1)-（B ）(0,1)（C ）(1,)-+∞（D ）(0,)+∞【答案】C 【解析】试题分析：}0|{>=y y A ，}11|{<<-=x x B ，则A B =∞（-1，+），选C.考点：本题涉及求函数值域、解不等式以及集合的运算.（3）某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5,30]，样本数据分组为[17.5,20),[20,22.5),[22.5, 25),[25,27.5),[27.5,30].根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是（A ）56（B ）60（C ）120（D ）140【答案】D考点：频率分布直方图（4）若变量x ，y 满足2,239,0,x y x y x ì+?ïïïï-?íïï锍ïî则22x y +的最大值是 （A ）4 （B ）9 （C ）10 （D ）12【答案】C 【解析】试题分析：不等式组表示的可行域是以A (0,-3),B (0,2),C (3,-1)为顶点的三角形区域,22x y +表示点（x ,y ）到原点距离的平方,最大值必在顶点处取到,经验证最大值为210OC =,故选C. 考点：线性规划求最值（5）一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示.则该几何体的体积为（A ）1233+π （B ）1233+π （C ）1236+π （D ）216+π【答案】C考点：根据三视图求几何体的体积.（6）已知直线a ，b 分别在两个不同的平面α，β内.则“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件 （C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】试题分析：直线a 与直线b 相交,则,αβ一定相交,若,αβ相交,则a ,b 可能相交，也可能平行,故选A.考点：直线与平面的位置关系；充分、必要条件的判断.（7）函数f （x ）=（3sin x +cos x ）（3cos x –sin x ）的最小正周期是（A ）2π（B ）π （C ）23π（D ）2π【答案】B 【解析】试题分析：()2sin 2cos 2sin 2663f x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⨯+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,故最小正周期22T ππ==,故选B.考点：三角函数化简，周期公式（8）已知非零向量m ，n 满足4│m │=3│n │，cos<m ，n >=13.若n ⊥（t m +n ），则实数t 的值为（A ）4 （B ）–4 （C ）94 （D ）–94【答案】B考点：平面向量的数量积（9）已知函数f (x )的定义域为R .当x <0时，3()1f x x =- ；当11x -≤≤ 时，()()f x f x -=-；当12x >时，11()()22f x f x +=- .则f (6)=（A ）?2 （B ）?1 （C ）0 （D ）2【答案】D 【解析】 试题分析：当12x >时，11()()22f x f x +=-,所以当12x >时，函数()f x 是周期为1 的周期函数，所以(6)(1)f f =，又函数()f x 是奇函数，所以()3(1)(1)112f f ⎡⎤=--=---=⎣⎦，故选D.考点：本题考查了函数的周期性、奇偶性（10）若函数y =f (x )的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y =f (x )具有T 性质.下列函数中具有T 性质的是（A ）y =sin x（B ）y =ln x（C ）y =e x（D ）y =x 3【答案】A考点：函数求导，注意本题实质上是检验函数图像上是否存在两点的导数值乘积等于-1.第Ⅱ卷（共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.（11）执行右边的程序框图，若输入的a ,b 的值分别为0和9，则输出的i 的值为________. 【答案】3 【解析】试题分析：第一次循环：a 1,b 8==；第二次循环：a 3,b 6==；第三次循环：a 6,b 3==；满足条件，结束循环，此时，i 3=. 考点：循环结构的程序框图 （12）若（a x 2+1x）5的展开式中x 5的系数是—80，则实数a =_______. 【答案】-2【解析】试题分析：因为51025521551()()r r rr r rr T C ax C a x x---+==，所以由510522r r -=⇒=，因此考点：二项式定理（13）已知双曲线E ：22221x y a b-= （a ＞0，b ＞0），若矩形ABCD 的四个顶点在E 上，AB ，CD的中点为E 的两个焦点，且2|AB |=3|BC |，则E 的离心率是_______.【答案】2考点：双曲线的几何性质，把涉及到的两个线段的长度表示出来是做题的关键.（14）在[1,1]-上随机地取一个数k ，则事件“直线y =kx 与圆22(5)9x y -+=相交”发生的概率为 . 【答案】34【解析】试题分析：直线y =kx 与圆22(5)9x y -+=相交,需要满足圆心到直线的距离小于半径，即2|5k |d 31k =<+，解得33k 44-<<，而[1,1]k ?，所以所求概率P =33224=.考点：直线与圆位置关系；几何概型 （15）已知函数2||,()24,x x m f x x mx m x m ≤⎧=⎨-+>⎩，，其中0m >，若存在实数b ，使得关于x 的方程f （x ）=b有三个不同的根，则m 的取值范围是_________. 【答案】(3,)+∞ 【解析】试题分析：由题意画出函数图像如下图所示，要满足存在实数b ，使得关于x 的方程 f （x ）=b 有三个不同的根，则24m m m -<，解得m 3>，故m 的取值范围是(3,)+∞. 考点：分段函数，函数图像，能够准确画出函数的图像是解决本题的关键. 三、解答题：本答题共6小题，共75分. （16）（本小题满分12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知tan tan 2(tan tan ).cos cos A BA B B A+=+ （Ⅰ）证明：a +b =2c ;学优高考网 （Ⅱ）求cos C 的最小值. 【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）12()∏由()I 知2a bc +=, 所以 2222222cos 22a b a b a b c C ab ab +⎛⎫+- ⎪+-⎝⎭==311842b a a b ⎛⎫=+-≥ ⎪⎝⎭， 当且仅当a b =时，等号成立. 故 cos C 的最小值为12. 考点：两角和的正弦公式、正切公式、正弦定理、余弦定理及基本不等式. （17）（本小题满分12分）在如图所示的圆台中，AC 是下底面圆O 的直径，EF 是上底面圆O '的直径，FB 是圆台的一条母线.（I ）已知G ,H 分别为EC ，FB 的中点，求证：GH ∥平面ABC ； （II ）已知EF =FB =12AC =23，AB =BC .求二面角F BC A --的余弦值.【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）77（II ）解法一：连接'OO ,则'OO ⊥平面ABC ，又,AB BC =且AC 是圆O 的直径，所以.BO AC ⊥ 可得平面BCF 的一个法向量3(1,1,),3m =- 因为平面ABC 的一个法向量(0,0,1),n = 所以7cos ,7||||m n m n m n ⋅<>==. 所以二面角F BC A --的余弦值为77. 解法二：考点：空间平行判定与性质；异面直线所成角的计算；空间想象能力，推理论证能力 （18）（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和S n =3n 2+8n ，{}n b 是等差数列，且1.n n n a b b +=+（Ⅰ）求数列{}n b 的通项公式；（Ⅱ）令1(1).(2)n n n nn a c b ++=+ 求数列{}n c 的前n 项和T n .【答案】（Ⅰ）13+=n b n ；（Ⅱ）223+⋅=n n n T.（Ⅱ）由（Ⅰ）知11(66)3(1)2(33)n n n nn c n n +++==+⋅+， 又n n c c c c T +⋅⋅⋅+++=321，得23413[223242(1)2]n n T n +=⨯⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅++⨯，345223[223242(1)2]n n T n +=⨯⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅++⨯，两式作差，得 所以223+⋅=n n n T考点：数列前n 项和与第n 项的关系；等差数列定义与通项公式；错位相减法 （19）（本小题满分12分）甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一个人猜对，则“星队”得1分；如果两人都没猜对，则“星队”得0分.已知甲每轮猜对的概率是34，乙每轮猜对的概率是23；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响，各轮结果亦互不影响.假设“星队”参加两轮活动，求：（I ）“星队”至少猜对3个成语的概率；学优高考网 （Ⅱ）“星队”两轮得分之和为X 的分布列和数学期望EX . 【答案】（Ⅰ）23（Ⅱ）分布列见解析，236=EX(Ⅱ)由题意，随机变量X 的可能取值为0,1,2,3,4,6. 由事件的独立性与互斥性，得()1111104343144P X ==⨯⨯⨯=, ()31111211105124343434314472P X ⎛⎫==⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯== ⎪⎝⎭,()31313112123112122524343434343434343144P X ==⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=, ()32111132134343434312P X ==⨯⨯⨯+⨯⨯⨯= ,()3231321260542=4343434314412P X ⎛⎫==⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭ ,()32321643434P X ==⨯⨯⨯=.可得随机变量X 的分布列为X 012346P所以数学期望15251512301234614472144121246EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. 考点：独立事件的概率公式和互斥事件的概率加法公式；分布列和数学期望 (20)(本小题满分13分)已知()221()ln ,R x f x a x x a x -=-+∈. （I ）讨论()f x 的单调性；（II ）当1a =时，证明()3()'2f x f x +＞对于任意的[]1,2x ∈成立.【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析当0≤a ， )1,0(∈x 时，0)(/>x f ，)(x f 单调递增；/(1,),()0x f x ∈+∞<时，)(x f 单调递减. 当0>a 时，/3(1)22()()()a x f x x x x a a-=+-. 综上所述，当0≤a 时，函数)(x f 在)1,0(内单调递增，在),1(+∞内单调递减； 当20<<a 时，)(x f 在)1,0(内单调递增，在)2,1(a 内单调递减，在),2(+∞a内单调递增；当2=a 时，)(x f 在),0(+∞内单调递增； 当2>a ，)(x f 在)2,0(a 内单调递增，在)1,2(a 内单调递减，在),1(+∞内单调递增.来源于网络 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，1=a 时，考点：利用导函数判断函数的单调性；分类讨论思想.（21）（本小题满分14分）平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：()222210x y a b a b+=＞＞?的离心率是32，抛物线E ：22x y =的焦点F是C 的一个顶点.（I ）求椭圆C 的方程；（II ）设P 是E 上的动点，且位于第一象限，E 在点P 处的切线l 与C 交与不同的两点A ，B ，线段AB 的中点为D ，直线OD 与过P 且垂直于x 轴的直线交于点M .（i ）求证：点M 在定直线上;（ii ）直线l 与y 轴交于点G ，记PFG △的面积为1S ，PDM △的面积为2S ，求12S S 的最大值及取得最大值时点P 的坐标. 【答案】（Ⅰ）1422=+y x ;（Ⅱ）（i ）见解析；（ii ）12S S 的最大值为49，此时点P 的坐标为)41,22( 所以)1(41||2121+==m m m GF S ， )14(8)12(||||2122202++=-⋅=m m m x m PM S ， 所以222221)12()1)(14(2+++=m m m S S ， 令122+=m t ，则211)1)(12(2221++-=+-=t tt t t S S ， 当211=t ，即2=t 时，21S S 取得最大值49，此时22=m ，满足0>∆， 所以点P 的坐标为)41,22(，因此12S S 的最大值为49，此时点P 的坐标为)41,22(. 考点：椭圆方程；直线和抛物线的关系；二次函数求最值；运算求解能力.。
2016年高考理科数学山东卷(含答案解析)
数学试卷 第1页（共18页）数学试卷 第2页（共18页）数学试卷 第3页（共18页）绝密★启用前2016年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）理科数学本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共6页，满分150分.考试用时120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项：1. 答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号填写在答题卡和试卷规定的位置上.2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效.3. 第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带.不按以上要求作答的答案无效.4. 填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 参考公式：如果事件,A B 互斥，那么P (A+B )=P (A )+P (B )；如果事件,A B 独立，那么P (AB )=P (A )·P (B ).第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若复数z 满足其中i 为虚数单位，则z =（ ）A. 12i +B. 12i -C. 12i -+D. 12i --2. 设集合{}{}22,,10xA y y xB x x ==∈=-<R ，则AB =（ ）A. 1,1-（）B. 0,1（）C. 1,-+∞（）D. 0,+∞（）3. 某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是17.5[,30]，样本数据分组为17.5[,20)，20,2[ 2.5)，22.5[,25)，25,2[7.5)，27.5[,30).根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是（ ）A. 56B. 60C. 120D. 1404. 若变量x ，y 满足+2,2-39,0,x y x y x ⎧⎪⎨⎪⎩≤≤≥则22+x y 的最大值是（ ）A. 4B. 9C. 10D. 125. 一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A.12+33π B.12+33π C.12+36π D. 216π+6. 已知直线a ，b 分别在两个不同的平面αβ,内，则“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件7. 函数()(3sin cos )(3cos sin )f x x x x x =+-的最小正周期是（ ）A.2πB. πC. 32πD. 2π8. 已知非零向量m ，n 满足4|m |=3|n |，cos <m ,n >=13，若n ⊥(t m+n )，则实数t 的值为（ ）A. 4B. 4-C.94 D. 94-9. 已知函数()f x 的定义域为R ．当0x <时，()1f x x -３＝；当x -1≤≤1时，()f x -=()f x -；当12x >时，11(+)()22f x f x -＝.则(6)f = （ ）A. 2-B. 1-C. 0D. 210. 若函数()y f x =的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称()y f x =具有T 性质.下列函数中具有T 性质的是（ ）A. y=sin xB. y=ln xC. x y=eD. 3y=x232i,z z +=--------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------姓名________________ 准考证号_____________数学试卷 第4页（共18页）数学试卷 第5页（共18页） 数学试卷 第6页（共18页）第II 卷（共100分）二、选择题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 执行如图所示的程序框图，若输入的a b ，的值分别为0和9，则输出的i 的值为 .12. 若251)ax x+（的展开式中5x 的系数是80-，则实数a =________.13. 已知双曲线2222y 100E a b a bx =>>-：（，）.矩形ABCD 的四个顶点在E 上，AB ，CD 的中点为E 的两个焦点，且2||3||AB BC =，则E 的离心率是_______.14. 在[]1,1-上随机的取一个数k ，则事件“直线y kx =与圆22(5)9x y -+=相交”发生的概率为_______. 15. 已知函数2|| ()24 x x m x mx m x m f x ⎧⎨-+⎩=，≤，，＞，其中0m >.若存在实数b ，使得关于x 的方程()f x b =有三个不同的根，则m 的取值范围是_______. 三、解答题：本大题共6小题，共75分. 16. （本小题满分12分）在ABC △中，角,,A B C 的对边分别为a,b,c ，已知2(tanA+tanB)=tanA tanB+cosB cosA. (Ⅰ)证明：2a b c +=； (Ⅱ)求cos C 的最小值.17. （本小题满分12分）在如图所示的圆台中，AC 是下底面圆O 的直径，EF 是上底面圆O '的直径，FB 是圆台的一条母线.(Ⅰ)已知G,H 分别为EC,FB 的中点.求证：GH ∥平面ABC ；(Ⅱ)已知1232EF =FB =AC =,AB =BC ，求二面角F -BC -A 的余弦值.18. （本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和238n S n n =+，{}n b 是等差数列，且1n n n a b b +=+. (Ⅰ)求数列{}n b 的通项公式；(Ⅱ)令1(1)(2)n n n nn a c b ++=+，求数列{}n c 的前n 项和n T .19. （本小题满分12分）甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语.在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一人猜对，则“星队”得1分；如果两人都没猜对，则“星队”得0分.已知甲每轮猜对的概率是34，乙每轮猜对的概率是23；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响，各轮结果亦互不影响.假设“星队”参加两轮活动，求：(Ⅰ)“星队”至少猜对3个成语的概率；(Ⅱ)“星队”两轮得分之和X 的分布列和数学期望EX .20. （本小题满分13分)已知221()(ln ),R x f x a x x a x -=-+∈. (Ⅰ)讨论()f x 的单调性； (Ⅱ)当1a =时，证明3()()2f x f x '>+对于任意的[]1,2x ∈成立.21. （本小题满分14分)平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率是32，抛物线2:2E x y =的焦点F 是C 的一个顶点.(Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)设P 是E 上的动点，且位于第一象限，E 在点P 处的切线l 与C 交于不同的两点,A B ，线段AB 的中点为D .直线OD 与过P 且垂直于x 轴的直线交于点M .（ⅰ）求证：点M 在定直线上；（ⅱ）直线l 与y 轴交于点G ,记PFG △的面积为1S ，PDM △的面积为2S ，求12S S 的最大值及取得最大值时点P 的坐标.2016年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）理科数学答案解析(0,A B=+∞【提示】求解指数函数的值域化简案．【考点】并集及其运算【答案】D【答案】B【解析】()n tm n⊥+，()0n tm n∴+=，2||||cos,||0t m n m n n∴<>+=，4||3||m n=，1,3m n<>=，231||||||043t n n n∴+=，104t∴+=，4t∴=-．【提示】若(π)n t n⊥+，则(π)0n t n+=，进而可得实数t的值．【考点】平面向量数量积的运算【答案】D12x>时，1122f x f x⎛⎫⎛⎫+=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，11x-≤≤【解析】输入的数学试卷第7页（共18页）数学试卷第8页（共18页）数学试卷第9页（共18页）数学试卷 第10页（共18页）数学试卷 第11页（共18页）数学试卷 第12页（共18页）22232b c a =，即为a．2b24,x mx m x m-+>⎩x m >时，程()f x b =m ∴的取值范围是【提示】作出函数（Ⅱ）2a b +=22)b a b =+0b >，∴由余弦定理231cos 122c ab -≥sin tan cos A A A =cos cos A B +G 、H 为GQ EF ∴∥又EF BO ∥GQ BO ∴∥且∴平面GQH GH ⊂面GQH GH ∴∥平面（Ⅱ）AB BC =数学试卷 第13页（共18页）数学试卷 第14页（共18页）数学试卷 第15页（共18页），又OO '⊥面OA 为x 轴，建立空间直角坐标系，则(23,0,0)C -，(0,23,0)B 3,0)，(23,3,FC =---(23,23,0)CB =，由题意可知面的法向量为(0,0,3)OO '=，设000(,,)n x y z FCB 的法向量，则00n FC n CB ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即0=⎪⎩，取01x =，则1,2,n ⎛=-- ⎝7cos ,7||||OO n OO n OO n ''∴<>==-'二面角--F BC A 的平面角是锐角，二面角--F BC A 的余弦值为77n n a b =+1n n a b -∴=1n n a a -∴-11a b =+1112b =+14b ∴=，4n b ∴=+（Ⅱ）1)2nn C ，126[2232(1)2]n n T n ∴=++++…①，2316[22322(1)2]n n n n ++++++…②，②可得：231112222(1)2]2(12)6(1)212)232n n n n n n n n n ++++++++-+--+-=-…，232n n +．【提示】（Ⅰ）求出数列{}n a 的通项公式，再求数列（Ⅱ）求出数列{}n c 的通项，利用错位相减法求数列【考点】数列的求和，数列递推式【答案】（Ⅰ）“星队”至少猜对22112233232211443433C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛-+-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝队”两轮得分之和为X 可能为22321143144⎫⎛⎫--=⎪ ⎪⎭⎝⎭，22332322101111443433144⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯--+--=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎥⎦323232323232323225111111114343434343434343144⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+--+--+--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭3232114343144⎛⎫⎛⎫--=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭223322236011443334144⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-=⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎥⎦222363144⎛⎫= ⎪⎝⎭，的分布列如下图所示： 12346572 25144x 1)2x数学试卷 第16页（共18页）数学试卷 第17页（共18页）数学试卷 第18页（共18页）1a =32ln x x =-()F x f =0001122y FG x x =⎛⎫+= ⎪⎝⎭30000000022004441111424148x y x x x y PM x y x x +-⎛⎫-=+= ⎪++⎝⎭220220)(41)(21)x x x ++，令12x +22221(122)(1)(21)2122t t t t t t t t t -⎫++-⎪+-+-⎭===0001212FG x x y ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=00414x y x x -+，整理可得t 的二次方程，进而得到最大值及此时【考点】椭圆的简单性质。
(精校版)2016年山东理数高考试题文档版(含答案)
高中数学学习材料（灿若寒星精心整理制作）绝密★启用前2016年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)理科数学本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共4页。
满分150分。
考试用时120分钟。
考试结束后，将将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1.答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上。
2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号。
答案写在试卷上无效。
3. 第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。
不按以上要求作答的答案无效。
4.填空题直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.参考公式：如果事件A,B互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B).如果事件A，B独立，那么P(AB)=P(A)·P(B)第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的（1）若复数z 满足232i,z z +=-其中i 为虚数单位，则z =（ ）（A ）1+2i （B ）1-2i （C ）12i -+ （D ）12i --（2）设集合2{|2,},{|10},x A y y x B x x ==∈=-<R 则A B =（ ） （A ）(1,1)- （B ）(0,1) （C ）(1,)-+∞ （D ）(0,)+∞（3）某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5,30]，样本数据分组为[17.5,20),[20,22.5),[22.5,25),[25,27.5),[27.5,30] .根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是（）（A ）56（B ）60 （C ）120（D ）140（4）若变量x ，y 满足2,239,0,x y x y x ì+?ïïïï-?íïï锍ïî则22x y +的最大值是（ ） （A ）4 （B ）9 （C ）10 （D ）12（5）一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示.则该几何体的体积为（ ）（A ）1233+π（B ）1233+π（C ）1236+π（D ）216+π （6）已知直线a ，b 分别在两个不同的平面α，β内.则“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的（ ）（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件学.科.网（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件（7）函数f （x ）=（3sin x +cos x ）（3cos x –sin x ）的最小正周期是（ ）（A ）2π（B ）π （C ）23π（D ）2π （8）已知非零向量m ，n 满足4│m │=3│n │，cos<m ，n >=13.若n ⊥（t m +n ），则实数t 的值为（ ） （A ）4 （B ）–4 （C ）94（D ）–94（9）已知函数f (x )的定义域为R .当x <0时，3()1f x x =-；当11x -≤≤时，()()f x f x -=-；当12x >时，11()()22f x f x +=- .则f (6)= （ ） （A ）−2（B ）−1（C ）0（D ）2（10）若函数y =f (x )的图象上存在两点，学科.网使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y =f (x )具有T 性质.下列函数中具有T 性质的是（ ）（A ）y =sin x （B ）y =ln x （C ）y =e x （D ）y =x 3第Ⅱ卷（共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。
数学-2016年高考真题--山东卷(理)(精校解析版)
2016年普通高等学校招生全国统一考试 (山东卷)理科数学第Ⅰ卷一、选择题(本大题共10个小题；每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．(2016·山东理，1)若复数z 满足2z ＋z ＝3－2i ，其中i 为虚数单位，则z 等于( ) A ．1＋2i B ．1－2i C ．－1＋2i D ．－1－2i2．(2016·山东理，2)设集合A ＝{y |y ＝2x ，x ∈R }，B ＝{x |x 2－1<0}，则A ∪B 等于( ) A ．(－1,1) B ．(0,1) C ．(－1，＋∞) D ．(0，＋∞)3．(2016·山东理，3)某高校调查了200名学生每周的自习时间(单位：小时)，制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5,30]，样本数据分组为[17.5,20)，[20,22.5)，[22.5,25)，[25,27.5)，[27.5,30]．根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是( )A ．56B ．60C ．120D ．140 4．(2016·山东理，4)若变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，2x －3y ≤9，x ≥0，则x 2＋y 2的最大值是( )A ．4B ．9C ．10D ．125．(2016·山东理，5)一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.13＋23πB.13＋23πC.13＋26π D ．1＋26π 6．(2016·山东理，6)已知直线a ，b 分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．(2016·山东理，7)函数f (x )＝(3sin x ＋cos x )(3cos x －sin x )的最小正周期是( ) A.π2 B ．π C.3π2D ．2π8．(2016·山东理，8)已知非零向量m ，n 满足4|m |＝3|n |，cos 〈m ，n 〉＝13.若n ⊥(t m ＋n )，则实数t 的值为( )A ．4B ．－4 C.94 D ．－949．(2016·山东理，9)已知函数f (x )的定义域为R ，当x <0时，f (x )＝x 3－1；当－1≤x ≤1时，f (－x )＝－f (x )；当x >12时，f ⎝⎛⎭⎫x ＋12＝f ⎝⎛⎭⎫x －12，则f (6)等于( ) A ．－2 B ．－1 C ．0 D ．210．(2016·山东理，10)若函数y ＝f (x )的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y ＝f (x )具有T 性质．下列函数中具有T 性质的是( ) A ．y ＝sin x B ．y ＝ln x C ．y ＝e xD ．y ＝x 3第Ⅱ卷二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．(2016·山东理，11)执行如图所示的程序框图，若输入的a ，b 的值分别为0和9，则输出的i 的值为________．12．(2016·山东理，12)若⎝⎛⎭⎫ax 2＋1x 5的展开式中x 5的系数为－80，则实数a ＝________. 13．(2016·山东理，13)已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，若矩形ABCD 的四个顶点在E上，AB ，CD 的中点为E 的两个焦点，且2|AB |＝3|BC |，则E 的离心率是________． 14．(2016·山东理，14)在[－1,1]上随机地取一个数k ，则事件“直线y ＝kx 与圆(x －5)2＋y 2＝9相交”发生的概率为________．15．(2016·山东理，15)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x |，x ≤m ，x 2－2mx ＋4m ，x >m ， 其中m >0，若存在实数b ，使得关于x 的方程f (x )＝b 有三个不同的根，则m 的取值范围是________． 三、解答题：本答题共6小题，共75分．16．(2016·山东理，16)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2(tan A ＋tan B )＝tan A cos B ＋tan Bcos A .(1)证明：a ＋b ＝2c ； (2)求cos C 的最小值．17．(2016·山东理，17)在如图所示的圆台中，AC 是下底面圆O 的直径，EF 是上底面圆O ′的直径，FB 是圆台的一条母线．(1)已知G ，H 分别为EC ，FB 的中点，求证：GH ∥平面ABC ； (2)已知EF ＝FB ＝12AC ＝23，AB ＝BC ，求二面角F-BC-A 的余弦值．18．(2016·山东理，18)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2＋8n ，{b n }是等差数列，且a n ＝b n ＋b n ＋1.(1)求数列{b n }的通项公式；(2)令c n ＝(a n ＋1)n ＋1(b n ＋2)n，求数列{c n }的前n 项和T n .19．(2016·山东理，19)甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一个人猜对，则“星队”得1分；如果两人都没猜对，则“星队”得0分．已知甲每轮猜对的概率是34，乙每轮猜对的概率是23；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响，各轮结果亦互不影响．假设“星队”参加两轮活动，求：(1)“星队”至少猜对3个成语的概率；(2)“星队”两轮得分之和X 的分布列和数学期望E (X )． 20．(2016·山东理，20)已知f (x )＝a (x －ln x )＋2x －1x 2，a ∈R .(1)讨论f (x )的单调性；(2)当a ＝1时，证明f (x )>f ′(x )＋32对于任意的x ∈[1,2]成立．21．(2016·山东理，21)平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率是32，抛物线E ：x 2＝2y 的焦点F 是C 的一个顶点．(1)求椭圆C 的方程；(2)设P 是E 上的动点，且位于第一象限，E 在点P 处的切线l 与C 交于不同的两点A ，B ，线段AB 的中点为D .直线OD 与过P 且垂直于x 轴的直线交于点M . ①求证：点M 在定直线上；②直线l 与y 轴交于点G ，记△PFG 的面积为S 1，△PDM 的面积为S 2，求S 1S 2的最大值及取得最大值时点P 的坐标．答案解析1.解析 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＝a －b i ，∴2(a ＋b i)＋(a －b i)＝3－2i ，整理得3a ＋b i＝3－2i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3a ＝3，b ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－2，∴z ＝1－2i ，故选B.答案 B2.解析 ∵A ＝{y |y >0}，B ＝{x |－1<x <1}，∴A ∪B ＝(－1，＋∞)，故选C. 答案 C3.解析 设所求人数为N ，则N ＝2.5×(0.16＋0.08＋0.04)×200＝140，故选D. 答案 D4.解析 满足条件⎩⎨⎧x ＋y ≤2，2x －3y ≤9，x ≥0的可行域如下图阴影部分(包括边界)，x 2＋y 2是可行域上动点(x ，y )到原点(0,0)距离的平方，显然，当x ＝3，y ＝－1时，x 2＋y 2取最大值，最大值为10.故选C.答案 C5.解析 由三视图知，半球的半径R ＝22，四棱锥为底面边长为1，高为1的正四棱锥，∴V ＝13×1×1×1＋12×43π×⎝⎛⎭⎫223＝13＋26π，故选C. 答案 C6.解析 若直线a 和直线b 相交，则平面α和平面β相交；若平面α和平面β相交，那么直线a 和直线b 可能平行或异面或相交，故选A. 答案 A7.解析 ∵f (x )＝2sin x cos x ＋3(cos 2x －sin 2x )＝sin 2x ＋3cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，∴T ＝π，故选B. 答案 B8.解析 ∵n ⊥(t m ＋n )，∴n ·(t m ＋n )＝0，即t ·m ·n ＋n 2＝0，∴t |m ||n |cos 〈m ，n 〉＋|n |2＝0，由已知得t ×34|n |2×13＋|n |2＝0，解得t ＝－4，故选B.答案 B9.解析 当x >12时，f ⎝⎛⎭⎫x ＋12＝f ⎝⎛⎭⎫x －12，即f (x )＝f (x ＋1)，∴T ＝1，∴f (6)＝f (1)．当x <0时，f (x )＝x 3－1且－1≤x ≤1，f (－x )＝－f (x )，∴f (2)＝f (1)＝－f (－1)＝2，故选D. 答案 D10.解析 对函数y ＝sin x 求导，得y ′＝cos x ，当x ＝0时，该点处切线l 1的斜率k 1＝1，当x ＝π时，该点处切线l 2的斜率k 2＝－1，∴k 1·k 2＝－1，∴l 1⊥l 2；对函数y ＝ln x 求导，得y ′＝1x 恒大于0，斜率之积不可能为－1；对函数y ＝e x 求导，得y ′＝e x 恒大于0，斜率之积不可能为－1；对函数y ＝x 3，得y ′＝2x 2恒大于等于0，斜率之积不可能为－1.故选A. 答案 A11.解析 第1次循环：i ＝1，a ＝1，b ＝8，a <b ； 第2次循环：i ＝2，a ＝3，b ＝6，a <b ；第3次循环：i ＝3，a ＝6，b ＝3，a >b ，输出i 的值为3. 答案 3 12.解析∵T r ＋1＝C r 5(ax 2)5－r⎝⎛⎭⎫1x r ＝a 5－r C r 5x 5102r -，∴10－52r ＝5，解得r ＝2，∴a 3C 35＝－80，解得a ＝－2. 答案 －213.解析 由已知得|AB |＝2b 2a ，|BC |＝2c ，∴2×2b 2a ＝3×2c ，又∵b 2＝c 2－a 2，整理得：2c 2－3ac －2a 2＝0，两边同除以a 2得2⎝⎛⎭⎫c a 2－3c a －2＝0，即2e 2－3e －2＝0，解得e ＝2或e ＝－1(舍去)． 答案 214.解析 由已知得，圆心(5,0)到直线y ＝kx 的距离小于半径，∴|5k |k 2＋1<3，解得－34<k <34，由几何概型得P ＝34－⎝⎛⎭⎫－341－(－1)＝34.答案 3415.解析 如图，当x ≤m 时，f (x )＝|x |；当x >m 时，f (x )＝x 2－2mx ＋4m ，在(m ，＋∞)为增函数，若存在实数b ，使方程f (x )＝b 有三个不同的根，则m 2－2m ·m ＋4m <|m |.∵m >0，∴m 2－3m >0，解得m >3.答案 (3，＋∞) 16.(1)证明 由题意知2⎝⎛⎭⎫sin A cos A ＋sin B cos B ＝sin A cos A cos B ＋sin Bcos A cos B .化简得2(sin A cos B ＋sin B cos A )＝sin A ＋sin B ，即2sin(A ＋B )＝sin A ＋sin B ，因为A ＋B ＋C ＝π，所以sin(A ＋B )＝sin(π－C )＝sin C ，从而sin A ＋sin B ＝2sin C ，由正弦定理得a ＋b ＝2c .(2)解 由(1)知c ＝a ＋b 2，所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋b 2－⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 222ab ＝38⎝⎛⎭⎫a b ＋b a －14≥12，当且仅当a ＝b 时，等号成立，故cos C 的最小值为12.17.(1)证明 设FC 中点为I ，连接GI ，HI ，在△CEF 中，因为点G 是CE 的中点，所以GI ∥EF .又EF ∥OB ，所以GI ∥OB .在△CFB 中，因为H 是FB 的中点，所以HI ∥BC ，又HI ∩GI ＝I ，所以平面GHI ∥平面ABC . 因为GH ⊂平面GHI ，所以GH ∥平面ABC .(2)连接OO ′，则OO ′⊥平面ABC .又AB ＝BC ，且AC 是圆O 的直径，所以BO ⊥AC . 以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz.由题意得B (0,23，0)，C (－23，0,0)．过点F 作FM 垂直OB 于点M ， 所以FM ＝FB 2－BM 2＝3，可得F (0，3，3)．故BC →＝(－23，－23，0)，BF →＝(0，－3，3)． 设m ＝(x ，y ，z )是平面BCF 的一个法向量． 由⎩⎪⎨⎪⎧m ·BC →＝0，m ·BF →＝0，可得⎩⎪⎨⎪⎧－23x －23y ＝0，－3y ＋3z ＝0.可得平面BCF 的一个法向量m ＝⎝⎛⎭⎫－1，1，33， 因为平面ABC 的一个法向量n ＝(0,0,1)， 所以cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝77.所以二面角F-BC-A 的余弦值为77. 18.解 (1)由题意知，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝6n ＋5， 当n ＝1时，a 1＝S 1＝11，所以a n ＝6n ＋5.设数列{b n }的公差为d .由⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝b 1＋b 2，a 2＝b 2＋b 3，即⎩⎪⎨⎪⎧11＝2b 1＋d ，17＝2b 1＋3d ，可解得b 1＝4，d ＝3，所以b n ＝3n ＋1. (3)由(1)知，c n ＝(6n ＋6)n ＋1(3n ＋3)n＝3(n ＋1)·2n ＋1. 又T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n ，得T n ＝3×[2×22＋3×23＋…＋(n ＋1)×2n ＋1]， 2T n ＝3×[2×23＋3×24＋…＋(n ＋1)×2n ＋2]．两式作差，得－T n ＝3×[2×22＋23＋24＋…＋2n ＋1－(n ＋1)×2n ＋2]＝3×⎣⎢⎡⎦⎥⎤4＋4(1－2n )1－2－(n ＋1)×2n ＋2＝－3n ·2n ＋2，所以T n ＝3n ·2n ＋2.19.解 (1)记事件A ：“甲第一轮猜对”，记事件B ：“乙第一轮猜对”， 记事件C ：“甲第二轮猜对”，记事件D ：“乙第二轮猜对”， 记事件E ：“‘星队’至少猜对3个成语”．由题意，E ＝ABCD ＋A BCD ＋A B CD ＋AB C D ＋ABC D . 由事件的独立性与互斥性，P (E )＝P (ABCD )＋P (A BCD )＋P (A B CD )＋P (AB C D )＋P (ABC D )＝P (A )P (B )P (C )P (D )＋P (A )P (B )P (C )P (D )＋P (A )P (B )P (C )P (D )＋P (A )P (B )P (C )P (D )＋P (A )P (B )P (C )P (D )＝34×23×34×23＋2×⎝⎛ 14×23×34×23＋34×13⎭⎫×34×23＝23. 所以“星队”至少猜对3个成语的概率为23.(2)由题意，随机变量X 可能的取值为0,1,2,3,4,6.由事件的独立性与互斥性，得 P (X ＝0)＝14×13×14×13＝1144，P (X ＝1)＝2×⎝⎛⎭⎫34×13×14×13＋14×23×14×13＝10144＝572，P (X ＝2)＝34×13×34×13＋34×13×14×23＋14×23×34×13＋14×23×14×23＝25144，P (X ＝3)＝34×23×14×13＋14×13×34×23＝12144＝112，P (X ＝4)＝2×⎝⎛⎭⎫34×23×34×13＋34×23×14×23＝60144＝512. P (X ＝6)＝34×23×34×23＝36144＝14.可得随机变量X 的分布列为所以数学期望E (X )＝0×1144＋1×572＋2×25144＋3×112＋4×512＋6×14＝236.20.(1)解 f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝a －a x －2x 2＋2x 3＝(ax 2－2)(x －1)x 3.当a ≤0时，x ∈(0,1)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减． 当a >0时，f ′(x )＝a (x －1)x 3⎝⎛⎭⎫x －2a ⎝⎛⎭⎫x ＋2a . ①0<a <2时，2a>1， 当x ∈(0,1)或x ∈⎝⎛⎭⎫2a ，＋∞时，f ′(x )>0，f (x )单调递增， 当x ∈⎝⎛⎭⎫1，2a 时，f ′(x )<0，f (x )单调递减． ②a ＝2时，2a＝1，在x ∈(0，＋∞)内，f ′(x )≥0，f (x )单调递增． ③a >2时，0<2a <1，当x ∈⎝⎛⎭⎫0，2a 或x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增， 当x ∈⎝⎛⎭⎫2a ，1时，f ′(x )<0，f (x )单调递减． 综上所述，当a ≤0时，f (x )在(0,1)内单调递增，在(1，＋∞)内单调递减； 当0<a <2时，f (x )在(0,1)内单调递增，在⎝⎛⎭⎫1，2a 内单调递减，在⎝⎛⎭⎫2a ，＋∞内单调递增；当a ＝2时，f (x )在(0，＋∞)内单调递增； 当a >2时，f (x )在⎝⎛⎭⎫0，2a 内单调递增，在⎝⎛⎭⎫2a ，1内单调递减，在(1，＋∞)内单调递增． (2)证明 由(1)知，a ＝1时，f (x )－f ′(x )＝x －ln x ＋2x －1x 2－⎝⎛⎭⎫1－1x －2x 2＋2x 3 ＝x －ln x ＋3x ＋1x 2－2x3－1，x ∈[1,2]．设g (x )＝x －ln x ，h (x )＝3x ＋1x 2－2x 3－1，x ∈[1,2]，则f (x )－f ′(x )＝g (x )＋h (x )．由g ′(x )＝x －1x ≥0，可得g (x )≥g (1)＝1，当且仅当x ＝1时取得等号．又h ′(x )＝－3x 2－2x ＋6x 4. 设φ(x )＝－3x 2－2x ＋6，则φ(x )在x ∈[1,2]单调递减．因为φ(1)＝1，φ(2)＝－10，所以∃x 0∈(1,2)，使得x ∈(1，x 0)时，φ(x )>0，x ∈(x 0，2)时，φ(x )<0. 所以h (x )在(1，x 0)内单调递增，在(x 0，2)内单调递减．由h (1)＝1，h (2)＝12，可得h (x )≥h (2)＝12， 当且仅当x ＝2时取得等号．所以f (x )－f ′(x )>g (1)＋h (2)＝32.即f (x )>f ′(x )＋32对于任意的x ∈[1,2]成立． 21.(1)解 由题意知a 2－b 2a ＝32，可得a 2＝4b 2，因为抛物线E 的焦点F ⎝⎛⎭⎫0，12，所以b ＝12，a ＝1，所以椭圆C 的方程为x 2＋4y 2＝1.(2)①证明 设P ⎝⎛⎭⎫m ，m 22(m >0)，由x 2＝2y ，可得y ′＝x ，所以直线l 的斜率为m ，因此直线l 的方程为y －m 22＝m (x －m )．即y ＝mx －m 22. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，D (x 0，y 0)．联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝1，y ＝mx －m 22， 得(4m 2＋1)x 2－4m 3x ＋m 4－1＝0.由Δ>0，得0<m <2＋5(或0<m 2<2＋5)．(*) 且x 1＋x 2＝4m 34m 2＋1，因此x 0＝2m 34m 2＋1，将其代入y ＝mx －m 22，得y 0＝－m 22(4m 2＋1)，因为y 0x 0＝－14m.所以直线OD 方程为y ＝－14m x ，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－14m x ，x ＝m ，得点M 的纵坐标y M ＝－14， 所以点M 在定直线y ＝－14上．②解 由①知直线l 的方程为y ＝mx －m 22，令x ＝0，得y ＝－m 22，所以G ⎝⎛⎭⎫0，－m 22，又P ⎝⎛⎭⎫m ，m 22，F ⎝⎛⎭⎫0，12，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫2m 34m 2＋1，－m 22(4m 2＋1)，所以S 1＝12·|GF |·m ＝(m 2＋1)m 4，S 2＝12·|PM |·|m －x 0|＝12×2m 2＋14×2m 3＋m 4m 2＋1＝m (2m 2＋1)28(4m 2＋1).所以S 1S 2＝2(4m 2＋1)(m 2＋1)(2m 2＋1)2. 设t ＝2m 2＋1，则S 1S 2＝(2t －1)(t ＋1)t 2＝2t 2＋t －1t 2＝－1t 2＋1t ＋2，当1t ＝12，即t ＝2时，S 1S 2取到最大值94，此时m ＝22，满足(*)式，所以P 点坐标为⎝⎛⎭⎫22，14.因此S 1S 2的最大值为94，此时点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫22，14.。
2016年山东省高考理科数学试题及答案.doc
绝密★启用前2016年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)理科数学本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共4页。
满分150分。
考试用时120分钟。
考试结束后，将将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1.答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上。
2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号。
答案写在试卷上无效。
3. 第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。
不按以上要求作答的答案无效。
4.填空题直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 参考公式：如果事件A,B 互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B).第Ⅰ卷（共50分）一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的（1）若复数z 满足232i,z z +=-其中i 为虚数单位，则z =（A ）1+2i （B ）1-2i （C ）12i -+ （D ）12i --（2）设集合2{|2,},{|10},x A y y x B x x ==∈=-<R 则A B =（A ）(1,1)- （B ）(0,1) （C ）(1,)-+∞ （D ）(0,)+∞（3）某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5,30]，样本数据分组为[17.5,20),[20,22.5),[22.5,25),[25,27.5),[27.5,30] .根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是（A ）56 （B ）60（C ）120 （D ）140（4）若变量x ，y 满足2,239,0,x y x y x ì+?ïïïï-?íïï锍ïî则22x y +的最大值是（A ）4 （B ）9 （C ）10 （D ）12（5）一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示.则该几何体的体积为（A ）1233+π（B ）1233+π（C ）1236+π（D ）216+π （6）已知直线a ，b 分别在两个不同的平面α，β内.则“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件学.科.网（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件（7）函数f （x ）=（3sin x +cos x ）（3cos x –sin x ）的最小正周期是（A ）2π（B ）π （C ）23π（D ）2π （8）已知非零向量m ，n 满足4│m │=3│n │，cos<m ，n >=13.若n ⊥（t m +n ），则实数t 的值为 （A ）4 （B ）–4 （C ）94（D ）–94（9）已知函数f (x )的定义域为R .当x <0时，3()1f x x =-；当11x -≤≤时，()()f x f x -=-；当12x >时，11()()22f x f x +=- .则f (6)= （A ）−2（B ）−1（C ）0（D ）2（10）若函数y =f (x )的图象上存在两点，学科.网使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y =f (x )具有T 性质.下列函数中具有T 性质的是（A ）y =sin x （B ）y =ln x （C ）y =e x （D ）y =x 3第Ⅱ卷（共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。
2016年高考理科数学山东卷-答案
【考点】双曲线的简单性质
14.【答案】
【解析】直线 与圆 相交，所以圆心 到直线 距离小于半径 ，
， ， ， ， ．
【提示】利用圆心到直线的距离小于半径可得到直线与圆相交，可求出满足条件的 ，最后根据几何概型的概率公式可求出所求．
（ⅱ）由直线 的方程为 ，令 ，可得 ，运用三角形的面积公式，可得 ， ，化简整理，再 ，整理可得 的二次方程，进而得到最大值及此时 的坐标．
【考点】椭圆的简单性质
【提示】求得函数的周期为1，再利用当 时， ，得到 ，当 时， ，得到 ，即可得出结论．
【考点】抽象函数及其应用
10.【答案】A
【解析】（A）函数的特征是存在两点切线垂直，既存在两点导数值相乘为 ；
（B）选项中 的导数是 恒大于 ，斜率成绩不可能为 ；
（C）选项中 的导函数 恒大于 ，斜率成绩不可能为 ；
【考点】并集及其运算
3.【答案】D
【解析】由频率分布直方图可知：组距为2．5，故这200名学生中每周的自பைடு நூலகம்时间不少于22．5小时的频率为： ， 人数是 人．
【提示】根据已知中的频率分布直方图，先计算出自习时间不少于22．5小时的频率，进而可得自习时间不少于22．5小时的频数．
【考点】频率分布直方图
4.【答案】C
．
（Ⅱ） ，
， ，且 ，当且仅当 时取等号，
又 ， ， ，
由余弦定理 ，
的最小值为 ．
【提示】（Ⅰ）由切化弦公式 ， ，带入 并整理可得 ，这样根据两角和的正弦公式即可得到 ，从而根据正弦定理便可得出 ；
2016年高考数学山东省(理科)试题及答案【解析版】
2016年山东省高考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，每小题给出四个选项，只有一个选项符合题目要求.【2016山东（理）】若复数z满足2z+=3﹣2i，其中i为虚数单位，则z=（）A．1+2i B．1﹣2i C．﹣1+2i D．﹣1﹣2i【答案】B【解析】解：复数z满足2z+=3﹣2i，设z=a+bi，可得：2a+2bi+a﹣bi=3﹣2i．解得a=1，b=﹣2．z=1﹣2i．【2016山东（理）】设集合A={y|y=2x，x∈R}，B={x|x2﹣1＜0}，则A∪B=（）A．（﹣1，1）B．（0，1）C．（﹣1，+∞）D．（0，+∞）【答案】C【解析】解：∵A={y|y=2x，x∈R}=（0，+∞），B={x|x2﹣1＜0}=（﹣1，1），∴A∪B=（0，+∞）∪（﹣1，1）=（﹣1，+∞）．【2016山东（理）】某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5，30]，样本数据分组为[17.5，20），[20，22.5），[22.5，25），[25，27.5），[27.5，30]．根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是（）A．56 B．60 C．120 D．140【答案】D【解析】解：自习时间不少于22.5小时的频率为：（0.16+0.08+0.04）×2.5=0.7，故自习时间不少于22.5小时的频率为：0.7×200=140，【2016山东（理）】若变量x，y满足，则x2+y2的最大值是（）A．4 B．9 C．10 D．12【答案】C【解析】解：由约束条件作出可行域如图，∵A（0，﹣3），C（0，2），∴|OA|＞|OC|，联立，解得B（3，﹣1）．∵，∴x2+y2的最大值是10．【2016山东（理）】一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示．则该几何体的体积为（）A．+πB．+πC．+πD．1+π【答案】C【解析】解：由已知中的三视图可得：该几何体上部是一个半球，下部是一个四棱锥，半球的直径为棱锥的底面对角线，由棱锥的底底面棱长为1，可得2R=．故R=，故半球的体积为：=π，棱锥的底面面积为：1，高为1，故棱锥的体积V=，故组合体的体积为：+π，【2016山东（理）】已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内．则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】解：当“直线a和直线b相交”时，“平面α和平面β相交”成立，当“平面α和平面β相交”时，“直线a和直线b相交”不一定成立，故“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件，【2016山东（理）】函数f（x）=（sinx+cosx）（cosx﹣sinx）的最小正周期是（）A．B．πC．D．2π【答案】B【解析】解：数f（x）=（sinx+cosx）（cosx﹣sinx）=2sin（x+）•2cos（x+）=2sin （2x+），∴T=π，【2016山东（理）】已知非零向量，满足4||=3||，cos＜，＞=．若⊥（t+），则实数t的值为（）A．4 B．﹣4 C．D．﹣【答案】B【解析】解：∵4||=3||，cos＜，＞=，⊥（t+），∴•（t+）=t•+2=t||•||•+||2=（）||2=0，解得：t=﹣4，【2016山东（理）】已知函数f（x）的定义域为R．当x＜0时，f（x）=x3﹣1；当﹣1≤x≤1时，f（﹣x）=﹣f（x）；当x＞时，f（x+）=f（x﹣）．则f（6）=（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．2【答案】D【解析】解：∵当x＞时，f（x+）=f（x﹣），∴当x＞时，f（x+1）=f（x），即周期为1．∴f（6）=f（1），∵当﹣1≤x≤1时，f（﹣x）=﹣f（x），∴f（1）=﹣f（﹣1），∵当x＜0时，f（x）=x3﹣1，∴f（﹣1）=﹣2，∴f（1）=﹣f（﹣1）=2，∴f（6）=2．【2016山东（理）】若函数y=f（x）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y=f（x）具有T性质．下列函数中具有T性质的是（）A．y=sinx B．y=lnx C．y=e x D．y=x3【答案】A【解析】解：函数y=f（x）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则函数y=f（x）的导函数上存在两点，使这点的导函数值乘积为﹣1，当y=sinx时，y′=cosx，满足条件；当y=lnx时，y′=＞0恒成立，不满足条件；当y=e x时，y′=e x＞0恒成立，不满足条件；当y=x3时，y′=3x2＞0恒成立，不满足条件；二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．【2016山东（理）】执行如图的程序框图，若输入的a，b的值分别为0和9，则输出的i的值为．【答案】3【解析】解：∵输入的a，b的值分别为0和9，i=1．第一次执行循环体后：a=1，b=8，不满足条件a＜b，故i=2；第二次执行循环体后：a=3，b=6，不满足条件a＜b，故i=3；第三次执行循环体后：a=6，b=3，满足条件a＜b，故输出的i值为：3，【2016山东（理）】若（ax2+）5的展开式中x5的系数是﹣80，则实数a=．【答案】﹣2【解析】解：（ax2+）5的展开式的通项公式T r+1=（ax2）5﹣r=a5﹣r，令10﹣=5，解得r=2．∵（ax2+）5的展开式中x5的系数是﹣80∴a3=﹣80，得a=﹣2．【2016山东（理）】已知双曲线E：﹣=1（a＞0，b＞0），若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|=3|BC|，则E的离心率是．【答案】2【解析】解：令x=c，代入双曲线的方程可得y=±b=±，由题意可设A（﹣c，），B（﹣c，﹣），C（c，﹣），D（c，），由2|AB|=3|BC|，可得2•=3•2c，即为2b2=3ac，由b2=c2﹣a2，e=，可得2e2﹣3e﹣2=0，解得e=2（负的舍去）．故答案为：2．【2016山东（理）】在[﹣1，1]上随机地取一个数k，则事件“直线y=kx与圆（x﹣5）2+y2=9相交”发生的概率为．【答案】【解析】解：圆（x﹣5）2+y2=9的圆心为（5，0），半径为3．圆心到直线y=kx的距离为，要使直线y=kx与圆（x﹣5）2+y2=9相交，则＜3，解得﹣＜k＜．∴在区间[﹣1，1]上随机取一个数k，使直线y=kx与圆（x﹣5）2+y2=9相交相交的概率为=．【2016山东（理）】已知函数f（x）=，其中m＞0，若存在实数b，使得关于x的方程f（x）=b有三个不同的根，则m的取值范围是．【答案】（3，+∞）【解析】解：当m＞0时，函数f（x）=的图象如下：∵x＞m时，f（x）=x2﹣2mx+4m=（x﹣m）2+4m﹣m2＞4m﹣m2，∴y要使得关于x的方程f（x）=b有三个不同的根，必须4m﹣m2＜m（m＞0），即m2＞3m（m＞0），解得m＞3，∴m的取值范围是（3，+∞），故答案为：（3，+∞）．三、解答题,：本大题共6小题，共75分.16．【2016山东（理）】在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2（tanA+tanB）=+．（Ⅰ）证明：a+b=2c；（Ⅱ）求cosC的最小值．【解析】解：（Ⅰ）证明：由得：；∴两边同乘以cosAcosB得，2（sinAcosB+cosAsinB）=sinA+sinB；∴2sin（A+B）=sinA+sinB；即sinA+sinB=2sinC（1）；根据正弦定理，；∴，带入（1）得：；∴a+b=2c；（Ⅱ）a+b=2c；∴（a+b）2=a2+b2+2ab=4c2；∴a2+b2=4c2﹣2ab，且4c2≥4ab，当且仅当a=b时取等号；又a，b＞0；∴；∴由余弦定理，=；∴cosC的最小值为．【2016山东（理）】在如图所示的圆台中，AC是下底面圆O的直径，EF是上底面圆O′的直径，FB是圆台的一条母线．（I）已知G，H分别为EC，FB的中点，求证：GH∥平面ABC；（Ⅱ）已知EF=FB=AC=2，AB=BC，求二面角F﹣BC﹣A的余弦值．【解析】证明：（Ⅰ）取FC中点Q，连结GQ、QH，∵G、H为EC、FB的中点，∴GQ，QH∥，又∵EF BO，∴GQ BO，∴平面GQH∥平面ABC，∵GH⊂面GQH，∴GH∥平面ABC．解：（Ⅱ）∵AB=BC，∴BO⊥AC，又∵OO′⊥面ABC，∴以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OO′为z轴，建立空间直角坐标系，则A（，0，0），C（﹣2，0，0），B（0，2，0），O′（0，0，3），F（0，，3），=（﹣2，﹣，﹣3），=（2，2，0），由题意可知面ABC的法向量为=（0，0，3），设=（x0，y0，z0）为面FCB的法向量，则，即，取x0=1，则=（1，﹣1，﹣），∴cos＜，＞==﹣．∵二面角F﹣BC﹣A的平面角是锐角，∴二面角F﹣BC﹣A的余弦值为．【2016山东（理）】已知数列{a n}的前n项和S n=3n2+8n，{b n}是等差数列，且a n=b n+b n+1．（Ⅰ）求数列{b n}的通项公式；（Ⅱ）令c n=，求数列{c n}的前n项和T n．【解析】解：（Ⅰ）S n=3n2+8n，∴n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=6n+5，n=1时，a1=S1=11，∴a n=6n+5；∵a n=b n+b n+1，∴a n﹣1=b n﹣1+b n，∴a n﹣a n﹣1=b n+1﹣b n﹣1．∴2d=6，∴d=3，∵a1=b1+b2，∴11=2b1+3，∴b1=4，∴b n=4+3（n﹣1）=3n+1；（Ⅱ）c n===6（n+1）•2n，∴T n=6[2•2+3•22+…+（n+1）•2n]①，∴2T n=6[2•22+3•23+…+n•2n+（n+1）•2n+1]②，①﹣②可得﹣T n=6[2•2+22+23+…+2n﹣（n+1）•2n+1]=12+6×﹣6（n+1）•2n+1=（﹣6n）•2n+1=﹣3n•2n+2，∴T n=3n•2n+2．【2016山东（理）】甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一个人猜对，则“星队”得1分；如果两人都没猜对，则“星队”得0分．已知甲每轮猜对的概率是，乙每轮猜对的概率是；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响．各轮结果亦互不影响．假设“星队”参加两轮活动，求：（I）“星队”至少猜对3个成语的概率；（II）“星队”两轮得分之和为X的分布列和数学期望EX．【解析】解：（I）“星队”至少猜对3个成语包含“甲猜对1个，乙猜对2个”，“甲猜对2个，乙猜对1个”，“甲猜对2个，乙猜对2个”三个基本事件，故概率P=++=++=，（II）“星队”两轮得分之和为X可能为：0，1，2，3，4，6，则P（X=0）==，P（X=1）=2×[+]=，P（X=2）=+++=，P（X=3）=2×=，P（X=4）=2×[+]=P（X=6）==X 0 1 2 3 4 6P∴数学期望EX=0×+1×+2×+3×+4×+6×==【2016山东（理）】已知f（x）=a（x﹣lnx）+，a∈R．（I）讨论f（x）的单调性；（II）当a=1时，证明f（x）＞f′（x）+对于任意的x∈[1，2]成立．【解析】（Ⅰ）解：由f（x）=a（x﹣lnx）+，得f′（x）=a（1﹣）+==（x＞0）．若a≤0，则ax2﹣2＜0恒成立，∴当x∈（0，1）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数，当x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数；当a＞0，若0＜a＜2，当x∈（0，1）和（，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数，当x∈（1，）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数；若a=2，f′（x）≥0恒成立，f（x）在（0，+∞）上为增函数；若a＞2，当x∈（0，）和（1，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数，当x∈（，1）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数；（Ⅱ）解：∵a=1，令F（x）=f（x）﹣f′（x）=x﹣lnx﹣1=x﹣lnx+．令g（x）=x﹣lnx，h（x）=．则F（x）=f（x）﹣f′（x）=g（x）+h（x），由，可得g（x）≥g（1）=1，当且仅当x=1时取等号；又，设φ（x）=﹣3x2﹣2x+6，则φ（x）在[1，2]上单调递减，且φ（1）=1，φ（2）=﹣10，∴在[1，2]上存在x0，使得x∈（1，x0）时φ（x0）＞0，x∈（x0，2）时，φ（x0）＜0，∴函数φ（x）在（1，x0）上单调递增；在（x0，2）上单调递减，由于h（1）=1，h（2）=，因此h（x）≥h（2）=，当且仅当x=2取等号，∴f（x）﹣f′（x）=g（x）+h（x）＞g（1）+h（2）=，∴F（x）＞恒成立．即f（x）＞f′（x）+对于任意的x∈[1，2]成立．【2016山东（理）】平面直角坐标系xOy中，椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率是，抛物线E：x2=2y的焦点F是C的一个顶点．（I）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设P是E上的动点，且位于第一象限，E在点P处的切线l与C交与不同的两点A，B，线段AB的中点为D，直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M．（i）求证：点M在定直线上；（ii）直线l与y轴交于点G，记△PFG的面积为S1，△PDM的面积为S2，求的最大值及取得最大值时点P的坐标．【解析】解：（I）由题意可得e==，抛物线E：x2=2y的焦点F为（0，），即有b=，a2﹣c2=，解得a=1，c=，可得椭圆的方程为x2+4y2=1；（Ⅱ）（i）证明：设P（x0，y0），可得x02=2y0，由y=x2的导数为y′=x，即有切线的斜率为x0，则切线的方程为y﹣y0=x0（x﹣x0），可化为y=x0x﹣y0，代入椭圆方程，可得（1+4x02）x2﹣8x0y0x+4y02﹣1=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），可得x1+x2=，即有中点D（，﹣），直线OD的方程为y=﹣x，可令x=x0，可得y=﹣．即有点M在定直线y=﹣上；（ii）直线l的方程为y=x0x﹣y0，令x=0，可得G（0，﹣y0），则S1=|FG|•|x0|=x0•（+y0）=x0（1+x02）；S2=|PM|•|x0﹣|=（y0+）•=x0•，则=，令1+2x02=t（t≥1），则====2+﹣=﹣（﹣）2+，则当t=2，即x0=时，取得最大值，此时点P的坐标为（，）．2016年山东省高考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，每小题给出四个选项，只有一个选项符合题目要求.1．【2016山东（理）】若复数z满足2z+=3﹣2i，其中i为虚数单位，则z=（）A．1+2i B．1﹣2i C．﹣1+2i D．﹣1﹣2i2．【2016山东（理）】设集合A={y|y=2x，x∈R}，B={x|x2﹣1＜0}，则A∪B=（）A．（﹣1，1）B．（0，1）C．（﹣1，+∞）D．（0，+∞）3．【2016山东（理）】某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5，30]，样本数据分组为[17.5，20），[20，22.5），[22.5，25），[25，27.5），[27.5，30]．根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是（）A．56 B．60 C．120 D．1404．【2016山东（理）】若变量x，y满足，则x2+y2的最大值是（）A．4 B．9 C．10 D．125．【2016山东（理）】一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示．则该几何体的体积为（）A．+πB．+πC．+πD．1+π6．【2016山东（理）】已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内．则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件7．【2016山东（理）】函数f（x）=（sinx+cosx）（cosx﹣sinx）的最小正周期是（）A．B．πC．D．2π8．【2016山东（理）】已知非零向量，满足4||=3||，cos＜，＞=．若⊥（t+），则实数t的值为（）A．4 B．﹣4 C．D．﹣9．【2016山东（理）】已知函数f（x）的定义域为R．当x＜0时，f（x）=x3﹣1；当﹣1≤x≤1时，f（﹣x）=﹣f（x）；当x＞时，f（x+）=f（x﹣）．则f（6）=（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．210．【2016山东（理）】若函数y=f（x）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y=f（x）具有T性质．下列函数中具有T性质的是（）A．y=sinx B．y=lnx C．y=e x D．y=x3二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．【2016山东（理）】执行如图的程序框图，若输入的a，b的值分别为0和9，则输出的i的值为．12．【2016山东（理）】若（ax2+）5的展开式中x5的系数是﹣80，则实数a=．13．【2016山东（理）】已知双曲线E：﹣=1（a＞0，b＞0），若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|=3|BC|，则E的离心率是．14．【2016山东（理）】在[﹣1，1]上随机地取一个数k，则事件“直线y=kx与圆（x﹣5）2+y2=9相交”发生的概率为．15．【2016山东（理）】已知函数f（x）=，其中m＞0，若存在实数b，使得关于x的方程f（x）=b有三个不同的根，则m的取值范围是．三、解答题,：本大题共6小题，共75分.16．【2016山东（理）】在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2（tanA+tanB）=+．（Ⅰ）证明：a+b=2c；（Ⅱ）求cosC的最小值．17．【2016山东（理）】在如图所示的圆台中，AC是下底面圆O的直径，EF是上底面圆O′的直径，FB是圆台的一条母线．（I）已知G，H分别为EC，FB的中点，求证：GH∥平面ABC；（Ⅱ）已知EF=FB=AC=2，AB=BC，求二面角F﹣BC﹣A的余弦值．18．【2016山东（理）】已知数列{a n}的前n项和S n=3n2+8n，{b n}是等差数列，且a n=b n+b n+1．（Ⅰ）求数列{b n}的通项公式；（Ⅱ）令c n=，求数列{c n}的前n项和T n．19．【2016山东（理）】甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一个人猜对，则“星队”得1分；如果两人都没猜对，则“星队”得0分．已知甲每轮猜对的概率是，乙每轮猜对的概率是；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响．各轮结果亦互不影响．假设“星队”参加两轮活动，求：（I）“星队”至少猜对3个成语的概率；（II）“星队”两轮得分之和为X的分布列和数学期望EX．20．【2016山东（理）】已知f（x）=a（x﹣lnx）+，a∈R．（I）讨论f（x）的单调性；（II）当a=1时，证明f（x）＞f′（x）+对于任意的x∈[1，2]成立．21．【2016山东（理）】平面直角坐标系xOy中，椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率是，抛物线E：x2=2y的焦点F是C的一个顶点．（I）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设P是E上的动点，且位于第一象限，E在点P处的切线l与C交与不同的两点A，B，线段AB的中点为D，直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M．（i）求证：点M在定直线上；（ii）直线l与y轴交于点G，记△PFG的面积为S1，△PDM的面积为S2，求的最大值及取得最大值时点P的坐标．。
2016年高考理科数学山东卷-答案
（Ⅱ）“星队”两轮得分之和为 可能为：0，1，2，3，4，6，则 ，
，
，
，
，
，
故 的分布列如下图所示：
X
0
1
2
3
4
6
P
数学期望 ．
【提示】（Ⅰ）“星队”至少猜对3个成语包含“甲猜对1个，乙猜对2个”，“甲猜对2个，乙猜对1个”，“甲猜对2个，乙猜对2个”三个基本事件，进而可得答案；
（Ⅱ）由已知可得：“星队”两轮得分之和为 可能为：0，1，2，3，4，6，进而得到 的分布列和数学期望．
【考点】几何概型
15.【答案】
【解析】当 时，函数 的图象如下：
时， ， 要使得关于 的方程 有三个不同的根，必须 ，即 ，解得 ， 的取值范围是 ．
【提示】作出函数 的图象，依题意，可得 ，解之即可．
【考点】根的存在性及根的个数判断
三、解答题
16.【答案】（Ⅰ）由 得： ，
两边同乘以 得， ，
，即 ①，根据正弦定理， ， ， ， ，带入①得 ，
2016年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）
理科数学答案解析
第Ⅰ卷
一、选择题
1.【答案】B
【解析】设 ， ，则 ， ， ， ， ．
【提示】设出复数 ，通过复数方程求解即可．
【考点】复数代数形式的乘除运算
2.【答案】C
【解析】 ， ， ， ， ．
【提示】求解指数函数的值域化简 ，求解一元二次不等式化简 ，再由并集运算得出答案．
【提示】求得函数的周期为1，再利用当 时， ，得到 ，当 时， ，得到 ，即可得出结论．
【考点】抽象函ห้องสมุดไป่ตู้及其应用
10.【答案】A
2016年高考理科数学试题山东卷答案
2016年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)理科数学答案（1）【解析】通解设z a bi =+(,)a b R ∈，则z a bi =-．故22()z z a bi a bi +=++-=3a bi +=3-2i ，所以错误!未找到引用源。
，解得错误!未找到引用源。
，所以12z i =-．故选B ． 光速解法：设z a bi =+(,)a b R ∈，由复数的性质可得2z z a +=，故2()z z z z z +=++，故2z z +的虚部就是z 的虚部，实部是z 的实部的3倍．故12z i =-，选B ．（2）【解析】集合A 表示函数2x y =的值域，故(0,)A =+∞．由210x -<，得11x -<<，故(1,1)B =-，所以(1,)A B =-+∞．故选C ．（3）【解析】由频率分布直方图可知，这200名学生每周的自习时间不少于22.5小时的频率为(0.16+0.08+0.04)×2.5=0.7，故这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数为200×0.7=140．故选D ．（4）【解析】作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，设P (x ,y )为平面区域内任意一点，则22x y +表示2||OP ．显然，当点P 与点A 重合时，2||OP 即22x y +取得最大值．由2239x y x y +=⎧⎨-=⎩错误!未找到引用源。
,解得31x y =⎧⎨=-⎩，错误!未找到引用源。
故A (3，-1)．所以22x y +的最大值为32+2(1)-=10．故选C ．（5）【解析】由三视图可知，四棱锥的底面是边长为1的正方形，高为1，其体积21111133V =⨯⨯=．设半球的半径为R ，则22R =2R =，所以半球的体积32142326V π=⨯⨯=．故该几何体的体积12136V V V =+=+．故选C ． （6）【解析】若直线,a b 相交，设交点为P ，则,P a P b ∈∈，又,a b αβ⊂⊂，所以,P P αβ∈∈，故,αβ相交．反之，若,αβ相交，则,a b 可能相交，也可能异面或平行．故“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件．故选A ． （7）【解析】由题意得()2sin()2cos()2sin(2)663f x x x x πππ=+⨯+=+，故该函数的最小正周期22T ππ==．故选B ． （8）【解析】由()t ⊥+n m n 可得()0t ⋅+=n m n ，即20t ⋅+=m n n ，所以222||31|cos |||3||t |||<,>|||=-=-=-=-⋅⋅⨯⨯n n n n m n m n m n m m n 4343=-⨯=-．故选B ． （9）【解析】当11x -时，()f x 为奇函数，且当12x >时，(1)()f x f x +=，所以(6)(511)(1)f f f =⨯+=．而3(1)(1)[(1)1]2f f =--=---=，所以(6)2f =，故选D ．（10）【解析】设函数()y f x =的图象上两点11(,)P x y ，22(,)Q x y ，则由导数的几何意义可知，点P ，Q 处切线的斜率分别为11()k f x '=，22()k f x '=若函数具有T 性质,则12k k ⋅=1()f x '2()f x '=-1．对于A 选项，()cos f x x '=，显然12k k ⋅=12cos cos x x =-1有无数组解，所以该函数具有T 性质；对于B 选项，1()(0)f x x x'=>，显然12k k ⋅=1211x x ⋅=-1无解，故该函数不具有T 性质；对于C 选项，()x f x e '=>0，显然12k k ⋅=12x x e e ⋅=-1无解，故该函数不具有T 性质；对于D 选项，2()3f x x '=≥0，显然12k k ⋅=221233x x ⋅=-1无解，故该函数不具有T 性质．故选A ．（11）【解析】输入a =0,b =9，第一次循环：a =0+1=1，b =9-1=8，i =1+1=2；第二次循环：a =1+2=3，b =8-2=6，i =2+1=3；第三次循环：a =3+3=6，b =6-3=3，a >b 成立，所以输出i 的值为3．（12）【解析】(ax 2+x错误!未找到引用源。
2016年山东理数高考试题文档版(含答案)
绝密★启用前2016年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)理科数学本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共4页。
满分150分。
考试用时120分钟。
考试结束后，将将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1.答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上。
2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号。
答案写在试卷上无效。
3. 第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。
不按以上要求作答的答案无效。
4.填空题直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 参考公式：如果事件A,B 互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B).第Ⅰ卷（共50分）一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的（1）若复数z 满足232i,z z +=-其中i 为虚数单位，则z =（A ）1+2i （B ）1-2i （C ）12i -+ （D ）12i --（2）设集合2{|2,},{|10},x A y y x B x x ==∈=-<R 则A B =（A ）(1,1)- （B ）(0,1) （C ）(1,)-+∞ （D ）(0,)+∞（3）某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5,30]，样本数据分组为[17.5,20),[20,22.5),[22.5,25),[25,27.5),[27.5,30] .根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是（A ）56 （B ）60（C ）120 （D ）140（4）若变量x ，y 满足2,239,0,x y x y x ì+?ïïïï-?íïï锍ïî则22x y +的最大值是（A ）4 （B ）9 （C ）10 （D ）12（5）一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示.则该几何体的体积为（A ）1233+π（B ）1233+π（C ）1236+π（D ）216+π （6）已知直线a ，b 分别在两个不同的平面α，β内.则“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件学.科.网（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件（7）函数f （x ）=（3sin x +cos x ）（3cos x –sin x ）的最小正周期是（A ）2π（B ）π （C ）23π（D ）2π （8）已知非零向量m ，n 满足4│m │=3│n │，cos<m ，n >=13.若n ⊥（t m +n ），则实数t 的值为 （A ）4 （B ）–4 （C ）94（D ）–94（9）已知函数f (x )的定义域为R .当x <0时，3()1f x x =-；当11x -≤≤时，()()f x f x -=-；当12x >时，11()()22f x f x +=- .则f (6)= （A ）−2（B ）−1（C ）0（D ）2（10）若函数y =f (x )的图象上存在两点，学科.网使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y =f (x )具有T 性质.下列函数中具有T 性质的是（A ）y =sin x （B ）y =ln x （C ）y =e x （D ）y =x 3第Ⅱ卷（共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。
2016年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题(山东卷,正式版解析)
绝密★启用前2016年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题（山东卷）本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共4页。
满分150分。
考试用时120分钟。
考试结束后，将将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1.答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上。
2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号。
答案写在试卷上无效。
3. 第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。
不按以上要求作答的答案无效。
4.填空题直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.参考公式：如果事件A,B 互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B).第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的（1）若复数z 满足232i,z z +=- 其中i 为虚数单位，则z =（A ）1+2i（B ）1-2i（C ）12i -+ （D ）12i --【答案】B考点：注意共轭复数的概念.（2）设集合2{|2,},{|10},x A y y x B x x ==∈=-<R 则AB =（A ）(1,1)-（B ）(0,1) （C ）(1,)-+∞ （D ）(0,)+∞【答案】C 【解析】试题分析：}0|{>=y y A ，}11|{<<-=x x B ，则}1|{->=x x B A ，选C. 考点：本题涉及到求函数值域、解不等式以及集合的运算.（3）某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5,30]，样本数据分组为[17.5,20),[20,22.5),[22.5,25),[25,27.5),[27.5,30] .根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是 （A ）56（B ）60（C ）120（D ）140【答案】D考点：频率分布直方图（4）若变量x ，y 满足2,239,0,x y x y x 则22x y 的最大值是（A ）4 （B ）9 （C ）10 （D ）12【答案】C 【解析】试题分析：不等式组表示的可行域是以A (0,-3),B (0,2),C (3,-1)为顶点的三角形区域,22x y +表示点（x ,y ）到原点距离的平方,最大值必在顶点处取到,经验证最大值210OC =,故选C.考点：线性规划求最值（5）一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示.则该几何体的体积为（A ）1233+π （B ）123+π （C ）123+π （D ）21+π 【答案】C考点：根据三视图求体积.（6）已知直线a ，b 分别在两个不同的平面α，β内.则“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】试题分析：直线a 与直线b 相交,则,αβ一定相交,若,αβ相交,则a ,b 可能相交，也可能平行,故选A. 考点：直线与平面的位置关系；充分、必要条件的判断.（7）函数f （x ）=3sin x +cos x ）3cos x –sin x ）的最小正周期是（A ）2π（B ）π （C ）23π（D ）2π 【答案】B 【解析】试题分析：()2sin 2cos 2sin 2663f x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⨯+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,故最小正周期22T ππ==,故选B. 考点：三角函数化简求值，周期公式（8）已知非零向量m ，n 满足4│m │=3│n │，cos<m ，n >=13.若n ⊥（t m +n ），则实数t 的值为 （A ）4 （B ）–4 （C ）94 （D ）–94【答案】B考点：平面向量的数量积（9）已知函数f (x )的定义域为R .当x <0时，3()1f x x =- ；当11x -≤≤ 时，()()f x f x -=-；当12x > 时，11()()22f x f x +=- .则f (6)= （A ）−2（B ）−1（C ）0（D ）2 【答案】D 【解析】 试题分析：当12x >时，11()()22f x f x +=-,所以当12x >时，函数()f x 是周期为1的周期函数，所以(6)(1)f f =，又因为函数()f x 是奇函数，所以()3(1)(1)112f f ⎡⎤=--=---=⎣⎦，故选D.考点：本题考查了函数的周期性、奇偶性，灵活变换求得函数性质是解题的关键.（10）若函数y =f (x )的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y =f (x )具有T 性质.下列函数中具有T 性质的是（A ）y =sin x （B ）y =ln x （C ）y =e x （D ）y =x 3 【答案】A 【解析】试题分析：当sin y x =时，cos y x '=，cos0cos 1π⋅=-，所以在函数sin y x =图象存在两点0,x x π==使条件成立，故A 正确；函数3ln ,,xy x y e y x ===的导数值均非负，不符合题意，故选A. 考点：本题注意实质上是检验函数图像上存在两点的导数值乘积等于-1.第Ⅱ卷（共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。
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数学试卷 第1页（共18页） 数学试卷 第2页（共18页） 数学试卷 第3页（共18页）绝密★启用前2016年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）理科数学注意事项:1.本试卷共6页,23道试题,满分150分.考试时间120分钟.2.本考试分设试卷和答题纸.试卷包括试题与答题要求.作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上,在试卷上作答一律不得分.3.答卷前,务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号,并将核对后的条形码贴在指定位置上.一、填空题（本大题共有14题,满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内,直接填写结果,每个空格填对得4分,否则一律得零分. 1.设x ∈R ,则不等式|3|1x -<的解集为 .2.设32i iz +=,其中i 为虚数单位,则Imz= .3.已知平行直线1l :210x y +-=,2l :210x y ++=,则1l 与2l 的距离是 .4.某次体检,6位同学的身高（单位:米）分别为1.72,1.78,1.75,1.80,1.69,1.77,则这组数据的中位数是 （米）.5.已知点(3,9)在函数()1x f x a =+的图象上,则()f x 的反函数1()f x -= .6.如图,在正四棱柱1111ABCD A B C D -中,底面ABCD 的边长为3,1BD 与底面所成的角的大小为2arctan 3,则该正四棱柱的高等于 .7.方程3sin 1cos2x x =+在区间[]0,2π上的解为 .8.在2)n x的二项展开式中,所有项的二项式系数之和为256,则常数项等于 .9.已知ABC △的三边长分别为3,5,7,则该三角形的外接圆半径等于 .10.设0a >,0b >.若关于x ,y 的方程组1,1,ax y x by +=⎧⎨+=⎩无解,则a b +的取值范围是 .11.无穷数列{}n a 由k 个不同的数组成,n S 为{}n a 的前n 项和.若对任意的*n ∈N ,{23}n S ∈，,则k 的最大值为 .12.在平面直角坐标系中,已知(1,0)A ,(0,1)B -,P是曲线y =上一个动点,则·BP BA 的取值范围是 .13.设,a b R ∈,[)0,2c π∈,若对任意实数x 都有2sin(3)sin()3x a bx c π-=+,则满足条件的有序实数组(,,)a b c 的组数为 .14.如图,在平面直角坐标系xOy 中,O 为正八边形128A A A 的中心,1(1,0)A .任取不同的两点i A ,j A ,点P 满足i j OP OA OA ++=0,则点P 落在第一象限的概率是 .二、选择题（本大题共4题,满分20分）每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得5分,否则一律得零分. 15.设a ∈R ,则“1a >”是“21a >”的( )A .充分非必要条件B .必要非充分条件C .充要条件D .既非充分也非必要条件16.下列极坐标方程中,对应的曲线为如图所示的是( )A .65cos ρθ=+B .65sin ρθ=+C .65cos ρθ=-D .65sin ρθ=-17.已知无穷等比数列{}n a 的公比为q ,前n 项和为n S ,且lim n n S S →∞=.下列条件中,使得2()n S S n N *<∈恒成立的是( )A .10a >,0.60.7q <<B .10a <,0.70.6q -<<-C .10a >,0.70.8q <<D .10a <,0.80.7q -<<-18.设)(f x ,()g x ,()h x 是定义域为R 的三个函数.对于命题:①若)(()x f g x +,)()(x f h x +,)()(x g h x +均是增函数,则)(f x ,()g x ,()h x 中至少有一个增函数;②若(())x f g x +,)(()f x h x +,)()(x g h x +均是以T 为周期的函数,则)(f x ,()g x ,()h x 均是以T 为周期的函数,下列判断正确的是( )A .①和②均为真命题B .①和②均为假命题C .①为真命题,②为假命题D .①为假命题,②为真命题三、解答题（本大题共5题,满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19.（本小题满分12分）本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分6分.将边长为1的正方形11AAO O （及其内部）绕1OO 旋转一周形成圆柱,如图,AC 长为23π,11A B 长为3π,其中1B 与C 在平面11AAO O 的同侧.（Ⅰ）求三棱锥111C O A B -的体积;（Ⅱ）求异面直线1B C 与1AA 所成的角的大小.姓名________________ 准考证号_____________-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------数学试卷 第4页（共18页） 数学试卷 第5页（共18页） 数学试卷 第6页（共18页）20.（本小题满分14分）本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.有一块正方形菜地EFGH ,EH 所在直线是一条小河.收获的蔬菜可送到F 点或河边运走.于是,菜地分为两个区域1S 和2S ,其中1S 中的蔬菜运到河边较近,2S 中的蔬菜运到F 点较近,而菜地内1S 和2S 的分界线C 上的点到河边与到F 点的距离相等.现建立平面直角坐标系,其中原点O 为EF 的中点,点F 的坐标为(1,0),如图.（Ⅰ）求菜地内的分界线C 的方程;（Ⅱ）菜农从蔬菜运量估计出1S 面积是2S 面积的两倍,由此得到1S 面积的“经验值”为83.设M 是C 上纵坐标为1的点,请计算以EH 为一边、另有一边过点M 的矩形的面积,及五边形EOMGH 的面积,并判断哪一个更接近于1S 面积的“经验值”.21.（本小题满分14分）本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.双曲线2221(0)y x b b-=＞的左、右焦点分别为1F ,2F ,直线l 过2F 且与双曲线交于A ,B两点.（Ⅰ）若l 的倾斜角为2π,1F AB △是等边三角形,求双曲线的渐近线方程;（Ⅱ）设b =.若l 的斜率存在,且11()0F A F B AB +=,求l 的斜率.22.（本小题满分16分）本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分6分.已知a R ∈,函数21()log ()f x a x=+.（Ⅰ）当5a =时,解不等式()0f x >;（Ⅱ）若关于x 的方程2()log [(4)25]0f x a x a --+-=的解集中恰有一个元素,求a 的取值范围;（Ⅲ）设0a >,若对任意1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,函数()f x 在区间[],1t t +上的最大值与最小值的差不超过1,求a 的取值范围.23.（本小题满分18分）本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分.若无穷数列{}n a 满足:只要*(,)p q a a p q N =∈,必有11p q a a ++=,则称{}n a 具有性质P . （Ⅰ）若{}n a 具有性质P ,且11a =,22a =,43a =,52a =,67821a a a ++=,求3a ; （Ⅱ）若无穷数列{}n b 是等差数列,无穷数列{}n c 是公比为正数的等比数列,151b c ==,5181b c ==,n n n a b c =+判断{}n a 是否具有性质P ,并说明理由;（Ⅲ）设{}n b 是无穷数列,已知1sin ()n n n a b a n +=+∈*N .求证:“对任意1a ,{}n a 都具有性质P ”的充要条件为“{}n b 是常数列”.2016年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）理科数学答案解析(0,A B=+∞【提示】求解指数函数的值域化简案．【答案】B【解析】()n tm n⊥+，()0n tm n∴+=，2||||cos,||0t m n m n n∴<>+=，4||3||m n=，1cos,3m n<>=，21||||||043t n n n∴+=，104∴+=，4t∴=-．【提示】若(π)n t n⊥+，则(π)0n t n+=，进而可得实数【考点】平面向量数量积的运算【解析】输入的数学试卷第7页（共18页）数学试卷第8页（共18页）数学试卷第9页（共18页）数学试卷 第10页（共18页） 数学试卷 第11页（共18页） 数学试卷 第12页（共18页）22232b c a =，即为a2b24,x mx m x m-+>⎩x m >时，程(f 3m >（Ⅱ）2a b +=22)b a =+号，231122c ab -≥G 、H 为GQ EF ∴∥又EF BO ∥GQ BO ∥且平面GQH GH ⊂面GH ∴∥平面数学试卷 第13页（共18页） 数学试卷 第15页（共18页）（Ⅱ）AB BC =AC ⊥，又OO '⊥面为原点，OA 为x 轴，建立空间直角坐标系，则(23,0,0)C -，(0,23,0)B 3,0)，(23,3,FC =---(23,2CB =，由题意可知面的法向量为(0,0,OO '=，设(,,n x y z FCB 的法向量，00n FC n CB ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即，取0x 则1,2,n ⎛=-- ⎝7,7||||OO n OO n OO n ''<>==-'二面角--F BC A 的平面角是锐角，的余弦值为77n n a b =+1n n a b -∴=11a b =+1112b =+14b ∴=，4n b ∴=+1)2n ， 126[2232(1)2]n n ++++…①，2316[22322(1)2]n n n n ++++++…②，②可得：231112222(1)2]1)2)232n n n n n n n +++++++-+=-…，232n n +．【提示】（Ⅰ）求出数列{}a 的通项公式，再求数列（Ⅱ）求出数列{c 22112233232211443433C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛-+-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝队”两轮得分之和为X 可能为2232113⎛⎫-= ⎪⎝⎭22332322101111443433144⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+--=⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎥⎦3232323232323232111111114343434343434343144⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+--+--+--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭3232114343144⎛⎫⎛⎫--=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭23322236011443334144⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-=⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎥⎦222363144⎛⎫= ⎪⎝⎭，的分布列如下图所示：x 1)2x数学试卷 第16页（共18页） 数学试卷 第17页（共18页） 数学试卷 第18页（共18页）1a =21)1x x+-++--()F x f =0001122y FG x x =⎛⎫+= ⎪⎝⎭30000000022004441111424148x y x x x y PM x y x x +-⎛⎫-=+= ⎪++⎝⎭22022)(41)1)x x x ++，令11)x +21111140001212FG x x y ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=00414x y x x -+，整理可得t 的二次方程，进而得到最大值及此时。