三角函数的定义、诱导公式、同角三角函数的关系练习题-
三角函数的定义、基本关系、诱导公式(含答案)
三角函数的定义，同角三角函数基本关系（Word 格式，含详细答案） 一、单选题1．给出下列函数值：① sin(－1 000°)；② )4cos(π-；③ tan 2，其中符号为负的个数为( B) A ．0 B ．1 C ．2 D ．32．化简 1－sin 2π5 的结果是( C )A ．sin π5B ．－sin π5C ．cos π5D ．－cos π5 3．已知sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝2，则sin θcos θ的值是( C )A ．34B ．±310C ．310D ．－3104．若角A ，B ，C 是△ABC 的三个内角，则下列等式中一定成立的是( D ) A ．cos(A ＋B )＝cos C B ．sin(A ＋B )＝－sin C C ．cos A ＋C2＝sin B D ．sinB ＋C 2＝cos A25．如果角θ的终边经过点)5453(，-，那么)2sin(θπ+＋cos(π－θ)＋tan(2π－θ)等于( B )A ．－43 B.43 C.34 D ．－346.已知sin）（3πα+＝35，则cos ）（απ-6的值是( B )A ．－35 B. 35 C. 45 D ．－45二、填空题1．已知角α的终边上一点(1，m )，且sin α＝63，则m ＝_________2_______.2．已知sin α，cos α是关于x 的一元二次方程2x 2－x －m ＝0的两根，则sin α＋cos α＝_____21___，m ＝__43______.3．化简：tan 2x ＋1tan x ·sin 2x ＝__x tan ______.4．已知sin α＋cos αsin α－cos α＝2，则sin 2α－2sin αcos α＋1=______1013_______。
三、解答题1.已知α是第三象限角，且)sin()23tan()tan()2cos()sin()(παπαπααπαπα--+-----=f .(1)若cos (α－3π2)＝15，求f (α)；(2)若α＝－1 920°，求f (α).答案解析：选择题;1-6 BCCDBB.3．已知sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝2，则sin θcos θ的值是( C )原式=21tan 1tan =-+θθ，所以2tan =θ，1031331tan tan cos sin cos sin cos sin 2222=+=+=+=θθθθθθθθ6.已知sin）（3πα+＝35，则cos ）（απ-6的值是( B ).53)3sin()]-6(2sin[-6cos =+=-=πααππαπ）（填空题1．已知角α的终边上一点(1，m )，且sin α＝63，则m ＝_________2_______..2,361sin 2==+=m m m 平方可得α 2．已知sin α，cos α是关于x 的一元二次方程2x 2－x －m ＝0的两根，则sin α＋cos α＝_____21___，m ＝__43______.解答：.43,411cos sin 21:2cos sin ,21cos sin ==-=+-=⋅=+m m m所以把一式平方得αααααα3．化简：tan 2x ＋1tan x ·sin 2x ＝__x tan ______. 解析：原式=.tan cos sin sin cos cos sin sin )sin cos ()cos cos sin (sin cos sin 1cos sin 222222222x xx x x x x x x x x x x x x x x x==⋅=⋅⋅+=⋅+ 4．已知sin α＋cos αsin α－cos α＝2，则sin 2α－2sin αcos α＋1=______1013_______。
同角三角函数基本关系及正弦函数余弦函数性质及诱导公式及和角公式习题
三角函数专题训练角的概念推广任意角三角函数专题训练11. 与α角终边相同的角的集合，可以记为 ；2. 1弧度=（ ）0，1°＝ 弧度；弧长公式： ，扇形面积公式： ；3. 在直角坐标系中，若角α与β终边互为反向延长线，α与β之间的关系是4.终边在x轴上的角的集合为 ，终边在y 轴上的角的集合为 ，终边在坐标轴上的角的集合为5. 在直角坐标系中，若角α与角β的终边关于x 轴对称，则α与β的关系一定是下列命题是真命题的是（ ）Α．三角形的内角必是一、二象限内的角 B ．第一象限的角必是锐角C ．不相等的角终边一定不同D ．{}Z k k ∈±⋅=,90360| αα={}Z k k ∈+⋅=,90180| αα 6、终边在第二象限的角的集合可以表示为： （ ） A ．｛α∣90°<α<180°｝B ．｛α∣90°＋k ·180°<α<180°＋k ·180°，k ∈Z ｝C ．｛α∣－270°＋k ·180°<α<－180°＋k ·180°，k ∈Z ｝D ．｛α∣－270°＋k ·360°<α<－180°＋k ·360°，k ∈Z ｝7、若α是第四象限的角，则α- 180是 ．(89上海)A ．第一象限的角B ．第二象限的角C ．第三D ．第四象限的角 ⑸8sin α= cot α= cos α= sec α=tan α= csc α= 在扇形中：=θ .S 扇形= 。
任意角三角函数的符号规则：由定义正弦看y 余弦看x 正切看y 比x 在下表填写正负号9、已知第二、第三象限角x 满足cosx =aa --432，求实数a 的取值范围. 10．已知角α的终边过点P(－4m ,3m )，则2sin α+cos α=…………………………………………(A )1或者－1 (B )52或者－52 (C )1或者－52(D )－1或者52同角三角函数关系与诱导公式习题及知识点巩固（负化正，大化小“偶π丢，奇π留”接着“奇变偶不变符号看象限”进行理解和记忆，就会大大的减轻记忆负担。
高一数学 知识点 三角函数 诱导公式 常考题 经典题 50道 含答案和解析
高一数学三角函数诱导公式50道常考题经典题一、单选题1.若角的终边上有一点(-4,a)，则a的值是（）A. B. C. D.【答案】A【考点】任意角的三角函数的定义，诱导公式一【解析】【解答】由三角函数的定义知：，所以，因为角的终边在第三象限，所以<0,所以的值是。
【分析】三角函数是用终边上一点的坐标来定义的，和点的位置没有关系。
属于基础题型。
================================================================================2.若,则的值是( )A. B. C. D.【答案】C【解析】【解答】即，所以，，=，故选C。
【分析】简单题，此类题解的思路是：先化简已知条件，再将所求用已知表示。
================================================================================3.若，则（）A. B. C. D.【答案】C【考点】诱导公式一，同角三角函数间的基本关系【解析】【解答】，故选C.================================================================================4.函数图像的一条对称轴方程是（）A. B. C. D.【答案】A【考点】诱导公式一，余弦函数的图象，余弦函数的对称性【解析】【分析】，由y=cosx的对称轴可知，所求函数图像的对称轴满足即，当k=-1时，，故选A.================================================================================5.已知，则（）A. B. C. D.【答案】C【考点】诱导公式一，同角三角函数间的基本关系，弦切互化【解析】【解答】因为，所以，可得，故C符合题意.故答案为：C .【分析】利用诱导公式将已知条件化简可求出tan，将中分子分母同时除以cos.================================================================================6.函数（）A. 是奇函数B. 是偶函数C. 既是奇函数，又是偶函数D. 是非奇非偶函数【答案】A【考点】奇函数，诱导公式一【解析】【解答】∵，∴,∴是奇函数．故答案为：A【分析】首先利用诱导公式整理化简f(x) 的解析式，再根据奇函数的定义即可得证出结果。
高一数学同角三角函数的基本关系式和诱导公式试题答案及解析
高一数学同角三角函数的基本关系式和诱导公式试题答案及解析1.已知,，则角的终边在第（）象限A．一B．二C．三D．四【答案】B【解析】由题意，确定的象限，然后取得结果 .由，得在第二、四象限，由，得在第二、三象限,所以在第二象限.，故选B【考点】任意角的三角函数的定义．2.已知，则= ；【答案】【解析】分子分母同除，便会出现,【考点】三角函数的计算3.已知，且为第三象限角，（1）求的值；（2）求的值。
【答案】（1）（2）【解析】（1）由，再结合第三象限，余弦值为负，算出结果（2）先化简上式，根据，再结合（1）算出结果。
试题解析：（1）且（2分）为第三象限角（4分）（2）==（7分）=（8分）【考点】同角三角函数基本关系的运用以及三角函数的化简.4.已知，那么角是（）A．第一或第二象限角B．第二或第三象限角C．第三或第四象限角D．第一或第四象限角【答案】B【解析】要，即，因此角是第二或第三象限角，故选择B.【考点】同角三角函数基本关系及三角函数值的符号确定.5.已知．【答案】.【解析】对式子两边平方，得，从而.【考点】同角三角函数基本关系（平方关系），注意通过平方可与联系.6.已知是第三象限角，且.（1）求的值;（2）求的值【答案】（1）；（2）．【解析】解题思路：(1)先求，再求，进而求；（2）联立方程组，解得，进而求所求值.规律总结：涉及“”的“知一求二”问题，要利用以下关系式：；.注意点：由的值，求的值，要注意结合角的范围确定符号．试题解析：，是第三象限角，由得．【考点】同角三角函数基本关系式.7.设函数（1）求；（2）若，且，求的值．（3）画出函数在区间上的图像（完成列表并作图）。
（1）列表（2）描点，连线【答案】（1）2；（2）；（3）见解析【解析】（1）由正弦函数周期公式得，=，即可求得；（2）将代入的解析式，得到关于的方程，结合诱导公式即可求出，再利用平方关系结合的范围，求出，再利用商关系求出；（3）先由为0和算出分别等于，，在（，）分别令取，0，，求出相应的值和值，在给定的坐标系中描出点，再用平滑的曲线连起来，就得到所要作的图像．试题解析：（1），2分（2）由（1）知由得：， 4分∵∴ 6分∴． 8分（其他写法参照给分）（3）由（1）知，于是有（1）列表11分（2）描点，连线函数 14分【考点】正弦函数周期公式；诱导公式；同角三角函数基本关系式；五点法作图8.已知且是第四象限角，则A．B．C．D．【答案】A【解析】∵=，∴，又∵是第四象限角，∴==，故选A．由诱导公式知，=，∴，由是第四象限角知，，结合同角三角函数基本关系中的平方关系得==．【考点】诱导公式；同角三角函数基本关系式；三角函数在各象限的符号9.已知，.（1）求；（2）求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由同角三角函数的基本关系：，，结合条件，可得，再由可知，从而；（2）由（1）可知，可将欲求值的表达式化为与只有关的，根据齐次的数学思想，可分子分母同时除以，从而可得：.试题解析：（1）∵，，∴， 2分又∵，∴， 4分∴； 6分（2） 9分12分.【考点】同角三角函数基本关系.10.已知为锐角,则 .【答案】.【解析】∵为锐角，，∴，，∴.【考点】1.同角三角函数基本关系；2.两角和的正切公式.11.已知x，y均为正数，，且满足，，则的值为．【答案】【解析】因为，所以而所以由得，因此或∵x、y为正数，∴【考点】同角三角函数关系，消参数12.已知的值为（）A．－2B．2C．D．－【答案】D【解析】由原式可得，解得.【考点】同角三角函数间的基本关系.13.已知，则的值为 .【答案】【解析】,即，又，故.【考点】诱导公式，同角三角函数的基本关系式.14.已知：，其中，则=【答案】【解析】因为，所以，又因，所以，.【考点】诱导公式.15.已知角的终边过点.（1）求的值；（2）若为第三象限角，且，求的值.【答案】；【解析】（1）由角的终边过点求出，利用诱导公式化简即可；（2）由为第三象限角，，可求出，结合（1）求出，利用展开式即可（1）因为的终边过点，所以，而；（2）因为为第三象限角，且，，故【考点】三角函数的定义，诱导公式，同角三角函数基本关系式，两角和与差的三角函数16.已知是第四象限的角，则= .【答案】【解析】是第四象限的角，则，而.【考点】二倍角公式、同角三角函数的基本关系.17.已知（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由即①由即②所以①+②可得即即，选A.【考点】1.同角三角函数的基本关系式；2.两角差的余弦公式.18.已知（1）化简；（2）若是第三象限角，且，求的值.【答案】(1) ;(2) .【解析】(1)根据诱导公式进行化简;(2)首先化简，根据第三象限角，同角基本关系式求,确定的值.试题解析：解：（1）；. （6）（2），又是第三象限角,，.. (6)【考点】1.诱导公式；2同角基本关系式.19.比较大小：(用“”,“”或“”连接).【答案】＞.【解析】在单位圆中，做出锐角1的正切线、正弦线、余弦线，观察他们的长度，发现正切线最长，余弦线最短，故有 tan1＞sin1＞cos1＞0.【考点】三角函数线．20.函数在区间上的最大值为，则实数的值为( )A．或B．C．D．或【答案】A【解析】因为，令，故，当时，在单调递减所以，此时，符合要求；当时，在单调递增，在单调递减故，解得舍去当时，在单调递增所以，解得，符合要求；综上可知或，故选A.【考点】1.同角三角函数的基本关系式；2.二次函数的最值问题；3.分类讨论的思想.21.已知函数(1)求函数的最小正周期及在区间上的最大值和最小值；(2)若，求的值.【答案】（1）（2）【解析】（1）先利用诱导公式，二倍角公式，化一公式将此函数化简为的形式，利用周期公式，求周期，用x的范围求出整体角的范围，结合三角函数图像求其最值。
高一数学同角三角函数的基本关系式和诱导公式试题答案及解析
高一数学同角三角函数的基本关系式和诱导公式试题答案及解析1.已知，并且是第二象限的角，那么的值等于（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由，又为第二象限角，，则．故选A．【考点】三角函数的平方公式．2.己知a为锐角，且，，则sina的值是( ). A．B．C．D．【答案】C.【解析】根据诱导公式，已知条件的两个式子可化为如下关系：，解得，又本题要求的是，因此由前述可知有，解得（a为锐角）.【考点】诱导公式，同角三角函数的基本关系.3.已知，则的值为．【答案】-11【解析】【考点】弦化切4.求的值域.【解析】可利用同角三角函数的基本关系式将函数化为利用换元法令原函数变为一元二次函数，可用一元二次函数求值域的方法解，注意的取值范围.解：原函数可化为令可得则【考点】同角三角函数的基本关系式,一元二次函数求值域.5.已知（1）化简；（2）若是第三象限角，且，求的值．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）根据诱导公式，将中的三角函数都转化为的三角函数，即可得到；（2）由，可得，又由条件是第三象限角及（1）中得到的的表达式，即可得到．（1）；（2）由得，，因为是第三象限角，所以，∴．【考点】1．诱导公式；2．同角三角函数基本关系．6.已知 .【答案】【解析】∵，∴,∴原式=.【考点】1.诱导公式；2.同角三角函数基本关系.7.已知，则tanα的值是（）A．±B．C．D．无法确定【答案】B【解析】∵，∴，即．【考点】同角三角函数的基本关系．8.( )A．B．C．D．【答案】D【解析】．【考点】同角三角函数基本关系．9.已知，则 ( )A．B．C．D．【答案】A【解析】由【考点】同角三角函数基本关系10. sin的值是（）A．B．－C．D．－【答案】B【解析】.【考点】诱导公式，特殊角的三角函数值.11.已知，则的值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由条件，得，整理得：，即①，代入中，得，整理得：，即，解得（舍）或，把，代入①，得，所以，故选A．【考点】同角三角函数基本关系．12.若，的化简结果为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】，=.【考点】同角的基本关系.13.已知（1）求的值；（2）求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）因为，可得＝−2，α为钝角且cosα＜0．再由sin2α+cos2α=1，求得cosα的值．（2）原式=，把tanα=-2代入运算求得结果．试题解析：解：（1）因为，所以cosa=(2)原式＝【考点】1.同角三角函数间的基本关系；2.三角函数的化简求值．14.若，则计算所得的结果为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】先根据诱导公式化简，原式=，再将代入即得答案为A.【考点】诱导公式.15.已知=，则的值等于( )A．B．－C．D．±【答案】Ａ【解析】诱导公式，注意，，所以选Ａ【考点】诱导公式16.已知，则的值是( )A．B．C．D．【答案】C【解析】由与可得，而，选C.【考点】同角三角函数的基本关系式.17.已知为第三象限角，.（1）化简；（2）若，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）应用三角诱导公式进行化简即可得出答案；（2）根据同角三角函数的基本关系式求出，由求出，最后由正切的二倍角公式可计算得结果.试题解析：（1） 6分（结果为酌情给3分）（2）由，得. 又已知为第三象限角所以，所以 8分所以 10分故 12分.【考点】1.诱导公式；2.同角三角函数的基本关系式；3.二倍角公式.18.已知tanα，是关于x的方程x2-kx+k2-3=0的两实根，且3π＜α＜π，求cos(3π+α)-sin(π+α)的值.【解析】关于方程两根的问题可用韦达定理解决，，从而求出k =±2，再根据角的范围可知为正，从而求得。
三角函数的定义、诱导公式、同角三角函数的关系练习题-
三角函数的定义、诱导公式、同角三角函数的关系练习题学校:___________：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知角α的终边经过点P（4，-3），则sin(π2+α)的值为（）A．35B．−35C．45D．−452．已知角α的始边与x轴非负半轴重合，终边在射线4x－3y＝0(x≤0)上，则cos α－sin α的值为()A．−15B．−35C．15D．353．已知角α的终边与单位圆的交点P，则sinα·tanα＝()A．－B．±C．－D．±4．若tanα<0，且sinα>cosα，则α在( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限5．若sinαtanα<0，且cosαtanα<0，则角α是（）A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角6．若cosa=−45，且a为第二象限角，tana=（）A．−43B．−34C．43D．347．已知sinα+3cosα2cosα−sinα=2，则sin2α+sinαcosα+1等于A．115B．25C．85D．758．若sin(π2+α)=−35，且α为第二象限角，则tanα=（）A．−43B．−34C．43D．34二、填空题9．已知sina=35a∈(π2,π)，则tana=___________三、解答题10．已知sinα=−2√55，且α是第四象限的角。
. （1）求tanα；（2）2sin(π+α)+cos(2π+α)cos(α−π2)+sin(π2+α).11．(1)已知tanα=3,求sin (π−α)cos (2π−α)的值；(2)已知sinα·cosα=14,0<α<π4 ,求sinα−cosα的值.12．已知tan α2,=(1)求值: sin cos sin cos αααα+- (2)求值: ()()()()π5πsin cos cos π22cos 7πsin 2πsin παααααα⎛⎫⎛⎫+--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+-+ 13．已知角α终边上的一点()7,3P m m - ()0m ≠.（1）求()cos sin 2119cos sin 22παπαππαα⎛⎫+-- ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值； （2）求22sin cos cos ααα+-的值.14．已知0θπ<<，且1sin cos 5θθ+=，求 （1）sin cos θθ-的值；（2）tan θ的值.15．已知tan 2α=.（1）求3sin 2cos sin cos αααα+-的值； （2）求()()()()3cos cos sin 22sin 3sin cos πππαααπααππα⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+-+的值； 16．已知tanα=3，计算：（1）4sinα−2cosα5cosα+3sinα；（2）sinα⋅cosα.17．已知： 1sin cos ,0<<,5θθθπ+=且 （Ⅰ）求sin cos tan θθθ-和的值；（Ⅱ）求22sincos2sin cosθθθθ-的值.18．已知求的值.19．已知0<α<π2,sinα=45,(1)求tanα的值；(2)求sin(α+π)−2cos(π2+α)−sin−α+cosπ+α的值；(3)求sin(2α+π4)的值.20．已知−π2<x<π2,sinx+cosx=15.(1)求sinx⋅cosx+sin2x1+tanx的值(2)求sinx−cosx的值.21．已知tanα=2，(1)求3sinα+2cosαsinα−cosα的值；(2)若α是第三象限角，求cosα的值．22．已知−π2<x<π2，sinx+cosx=−15.(1)求sinx−cosx的值.(2)求sin(π+x)+sin(3π2−x)tan(π−x)+sin(π2−x)的值.23．(1)已知tanα=2，求sin(π−α)cos(2π−α)的值；(2)已知sinαcosα=14,0<α<π4，求sinα−cosα的值.参考答案1．C【解析】【分析】利用任意角函数的定义求出cos α，利用三角函数的诱导公式化简sin(π2+α)求出值．【详解】∵角α的终边经过点P （4，﹣3），∴p 到原点的距离为5∴sin α=−35，cos α=45∴sin(π2+α)=cosα=45 故选：C ．【点睛】本题考查三角函数的定义，考查诱导公式，属于基础题.2．C【解析】【分析】利用任意角的三角函数的定义，求得cos α和sinα的值，可得cos α﹣sinα的值．【详解】角α的始边与x 轴非负半轴重合，终边在射线4x －3y ＝0(x ≤0)上，不妨令x ＝－3，则y ＝－4，∴r ＝5，∴cos α＝x r ＝−35，sin α＝y r ＝−45， 则cos α－sin α＝－35＋45＝15. 故选C.【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．3．C【解析】【分析】由条件利用任意角的三角函数的定义求得tanα和sinα的值．【详解】由|OP|2＝14 ＋y 2＝1，得y 2＝34，y ＝±√32。
2011三角函数的概念、同角三角函数的关系和诱导公式(专练1)
2011三角函数的概念、同角三角函数的关系和诱导公式（专练1）一、选择题1、（安徽省百校论坛2011届高三第三次联合考试理）已知3cos()||,tan 22ππϕϕϕ-=<且则等于（ ）A ．BCD 2、（浙江省金丽衢十二校2011届高三第一次联考文） 函数()sin sin(60)f x x x =++ 的最大值是（ ）A B ．2C ．2D ．13、（山东省莱阳市2011届高三上学期期末数学模拟6理）已知)2,2(,31sin ππθθ-∈-=，则)23sin()sin(θππθ--的值是（ ） A 、922 B 、922- C 、91- D 、914、（湖南省嘉禾一中2011届高三上学期1月高考押题卷）在区间[1,1]-上随机取一个数,cos 2xx π的值介于0到12之间的概率为（ ）A ．13B ．2πC ．12D ．235、（湖北省补习学校2011届高三联合体大联考试题理） 已知cos()0,cos()0,2πθθπ+<->下列不等式中必成立的是( )A.tancot22θθ> B.sincos22θθ> C.tancot22θθ< D.sincos22θθ<6、（河南省鹿邑县五校2011届高三12月联考理）函数()3sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图像为C,如下结论中正确的是（ ）A ．图像C 关于直线6x π=对称； B ．图像C 关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称； C ．函数()f x 在区间5,1212ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭内是增函数； D ．由3sin 2y x =的图像向右平移3π个单位长度可以得到图像C 。
7、（河南省辉县市第一高级中学2011届高三12月月考理）若cos 2sin αα+=则tan α=（ ）A.1-B.2C.1D.-28、（北京四中2011届高三上学期开学测试理科试题） 已知53sin ,,2=⎪⎭⎫⎝⎛∈αππα，则⎪⎭⎫ ⎝⎛+4tan πα等于（ ）A ．7B ．7-C ．71 D ．71- 9、（福建省三明一中2011届高三上学期第三次月考理） 已知函数)(sin cos )(R x x x x f ∈=，给出下列四个命题：①若;),()(2121x x x f x f -=-=则 ②)(x f 的最小正周期是π2； ③)(x f 在区间]4,4[ππ-上是增函数； ④)(x f 的图象关于直线43π=x 对称； ⑤当⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈3,6ππx 时，)(x f 的值域为.43,43⎥⎦⎤⎢⎣⎡-其中正确的命题为（ ） A ．①②④ B ．③④⑤ C ．②③ D ．③④10、（浙江省温州市啸秋中学2010学年第一学期高三会考模拟试卷）函数()sin cos f x x x =⋅的最小值是（ ） A ．1- B ．12-C ．12D ．1 11、（浙江省嵊州二中2011届高三12月月考试题文） 函数()2cos sin cos y x x x =+的最大值为（ ）（A ）2 （B 1（C（D 112、（山东省日照市2011届高三第一次调研考试文）已知4sin ,sin cos 0,5θθθ=<则θ2sin 的值为（ ） (A)2524-(B)2512- (C)54- (D)2524 13、（福建省四地六校2011届高三上学期第三次联考试题理） 已知22ππθ-<<，且s i n c o s ,a θθ+=其中()0,1a ∈，则关于tan θ的值，在以下四个答案中，可能正确的是 （ ）A ．3-B ．3 或13C ．13-D ．3-或13- 14、（甘肃省甘谷三中2011届高三第三次检测试题）tan 690°的值为（ ）Ａ．Ｄ．15、（甘肃省甘谷三中2011届高三第三次检测试题）若sin([0,])2θθπ=∈，则tan θ=（ ）A. 4-B. 4C. 0D. 0或4-选择题参考答案：1—5：D 、A 、B 、D 、A ； 6—10：C 、B 、C 、D 、B ； 11—15：B 、A 、C 、A 、D ；二、填空题16、（重庆市重庆八中2011届高三第四次月考文）在ABC ∆中，如果sin :A sin :B sin C =5:6:8，则此三角形最大角的余弦值是 ．17、（重庆市南开中学高2011级高三1月月考文）若3(0,),cos(),sin 5θππθθ∈+==则 。
三角函数练习题100题(Word版,含解析)
三角函数习题100题练兵（1-20题为三角函数的基本概念及基本公式，包括同角三角函数关系，诱导公式等，21-40题三角函数的图象与性质，41-55题为三角恒等变形，56-70为三角函数基本关系及角度制与弧度制等，包括象限角弧长与扇形面积公式等，71-90题为三角函数的综合应用，91-100为高考真题。
其中1-55为选择题，56-70为填空题，71-100为解答题。
）1.函数且的图象恒过点，且点在角的终边上，则A. B. C. D.【解答】解：函数且的图象恒过定点，角的终边经过点，，，．故选B2.已知角的终边上有一点，则A. B. C. D.【解答】解：角的终边上有一点，，则．故选C．3.若，且，则角的终边位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解答】解：，则角的终边位于一二象限，由，角的终边位于二四象限，角的终边位于第二象限．故选择．4.已知是第二象限角，为其终边上一点且，则的值A. B. C. D.【解答】解：是第二象限角，为其终边上一点且，，解得，，．故选A．5.已知角的终边过点，且，则的值为A. B. C. D.【解答】解：由题意，角的终边过点，可得，，，所以，解得，故选A．6.若点在角的终边上，则A. B. C. D.【解析】解：点在角的终边上，，则，，．故选B．7.在平面直角坐标系中，，点位于第一象限，且与轴的正半轴的夹角为，则向量的坐标是A. B. C. D.【解答】解：设，则，，故故选C．8.的大小关系为A. B. C. D.【解答】解：，，，，．故选C．9.已知角的终边上有一点，则的值为A. B. C. D.【解答】解：根据三角函数的定义可知，根据诱导公式和同角三角函数关系式可知，故选A．10.已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，若角的终边过点，，且，则A. B. C. D.【解答】解：因为角的终边过点，所以是第一象限角，所以，，因为，，所以为第一象限角，，所以，所以，故选：．11.若角的终边经过点，则A. B. C. D.【解答】解：由题意，，，因为的正负不确定，则正负不确定．故选C．12.下列结论中错误的是A.B.若是第二象限角，则为第一象限或第三象限角C.若角的终边过点，则D.若扇形的周长为，半径为，则其圆心角的大小为弧度【解答】解：．，故A正确；B.因为为第二象限角，，所以，当为偶数时，为第一象限的角，当为奇数时，为第三象限角，故B正确；C.当时，，此时，故C错误；D.若扇形的周长为，半径为，则弧长为，其圆心角的大小为弧度，故正确．故选C．13.我国古代数学家赵爽利用弦图巧妙地证明了勾股定理，弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形如图如果内部小正方形的内切圆面积为，外部大正方形的外接圆半径为，直角三角形中较大的锐角为，那么A. B. C. D.【解答】解：因为内部小正方形的内切圆面积为，所以内部小正方形的内切圆的半径为，所以内部小正方形的边长为，外部大正方形的外接圆半径为，所以大正方形的边长为，设大直角三角形中长直角边为，斜边为，则，则，所以，所以大直角三角形中短直角边为，所以，，则．故选D．14.己知是第四象限角，化简为A. B. C. D.【解答】解：是第四象限角，故，又，，则．故选B．15.函数的最小正周期为A. B. C. D.【解答】解：，所以的最小正周期．故选C．16.函数的值域是A. B. C. D.【解答】解：，令，，则，，由二次函数的性质可得函数在上单调递减，在上单调递增，当时取的最小值，其最小值为，当时取得最大值，其最大值为．故函数的值域为．故选B．17.已知，，且，，则A. B. C. D.【解答】解：由题可知，，，所以，所以，又，所以，所以，当时，．因为，所以，不符合题意，当时，同理可得，故选：．18.已知，则的值为A. B. C. D.【解答】解：因为，所以，所以，所以，所以．故选A．19.在中，角、、的对边分别是、、，若，则的最小值为A. B. C. D.【解答】解：，由正弦定理化简得：，整理得：，，；则．当且仅当时等号成立，可得的最小值为．故选：．20.若的内角满足，则的值为．A. B. C. D.【解答】解：因为为的内角，且，所以为锐角，所以．所以，所以，即．所以．故选A．21.已知函数给出下列结论：①的最小正周期为；②是的最大值；③把函数的图象上的所有点向左平移个单位长度，可得到函数的图象．其中所有正确结论的序号是A.①B.①③C.②③D.①②③【解答】解：因为，①由周期公式可得，的最小正周期，故①正确；②，不是的最大值，故②错误；③根据函数图象的平移法则可得，函数的图象上的所有点向左平移个单位长度，可得到函数的图象，故③正确．故选：．22.将函数的图象先向右平移个单位长度，再将该图象上各点的横坐标缩短到原来的一半纵坐标不变，然后将所得图象上各点的纵坐标伸长到原来的倍横坐标不变，得函数的图象，则解析式是A. B.C. D.【解答】解：由题意函数的图象上各点向右平移个单位长度，得到新函数解析式为，再把所得函数的图象上各点横坐标缩短为原来的一半，得到新函数解析式为，再把所得函数的图象上各点纵坐标伸长为原来的倍，得到新函数解析式为．故选A．23.如图函数的图象与轴交于点，在轴右侧距轴最近的最高点，则不等式的解集是A.，B.，C.，D.，【解答】解：由在轴右边到轴最近的最高点坐标为，可得．再根据的图象与轴交于点，可得，结合，．由五点法作图可得，求得，不等式，即，，，求得，，故选：．24.函数的图像的一条对称轴是A. B. C. D.【解答】解：令，解得，函数图象的对称轴方程为，时，得为函数图象的一条对称轴．故选C25.已知函数，若相邻两个极值点的距离为，且当时，取得最小值，将的图象向左平移个单位，得到一个偶函数图象，则满足题意的的最小正值为A. B. C. D.【解答】解：函数，所以，，相邻两个极值点的横坐标之差为，所以，所以，又，所以，当时，取得最小值，所以，，而，所以，所以，将的图象向左平移个单位得为偶函数，所以，，即．所以的最小正值为．故选A．26.函数的定义域为A. B.C. D.【解答】解：根据对数的真数大于零，得，可知：当时，，故函数的定义域为．故选A．27.设函数若是偶函数，则A. B. C. D.【解答】解：，因为为偶函数，所以当时，则，，所以，，又，所以．故选B．28.函数的部分图像如图所示，则A. B. C. D.【解答】解：由题意，因为，所以，，由时，可得，所以，结合选项可得函数解析式为．故选A．29.已知函数，给出下列命题：①，都有成立；②存在常数恒有成立；③的最大值为；④在上是增函数．以上命题中正确的为A.①②③④B.②③C.①②③D.①②④【解答】解：对于①，，，①正确；对于②，，由，即存在常数恒有成立，②正确；对于③，，令，，则设，，令，得，可知函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，且，，则的最大值为，③错误；对于④，当时，，所以在上为增函数，④正确．综上知，正确的命题序号是①②④．故选：．30.已知，，直线和是函数图象的两条相邻的对称轴，则A. B. C. D.【解答】解：由题意得最小正周期，，即，直线是图象的对称轴，，又，，故选A．31.已知函数向左平移半个周期得的图象，若在上的值域为，则的取值范围是A. B. C. D.【解答】解：函数向左平移半个周期得的图象，由，可得，由于在上的值域为，即函数的最小值为，最大值为，则，得．综上，的取值范围是．故选D．32.若，则实数的取值范围是A. B. C. D.解：，，，．，，．33.如图，过点的直线与函数的图象交于，两点，则等于A. B. C. D.【解答】解：过点的直线与函数的图象交于，两点，根据三角函数的对称性得出；，，，，．是的中点，，．故选B．34.已知函数，若函数恰有个零点，，，，且，为实数，则的取值范围为A. B. C. D.解：画出函数的图象，如图：结合图象可知要使函数有个零点，则，因为，所以，所以，因为，所以，且，可设，其中，所以，所以，所以的取值范围是．故选A．35.函数的部分图象如图所示，现将此图象向左平移个单位长度得到函数的图象，则函数的解析式为A. B. C. D.【解答】解：根据函数的部分图象，则：，，所以：，解得：，当时，，即：解得：，，因为，当时，，故：，现将函数图象上的所有点向左平移个单位长度得到：函数的图象．故选C．36.已知曲线：，：，则下面结论正确的是A.把上各点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线B.把上各点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C.把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线D.把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线【解答】解：把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到函数图象，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到函数的图象，即曲线，故选D．37.设，则函数的取值范围是A. B. C. D.【解答】解：，因为，所以，所以故选A．38.人的心脏跳动时，血压在增加或减少．血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压，血压计上的读数就是收缩压和舒张压，读数为标准值设某人的血压满足函数式，其中为血压单位：，为时间单位：，则下列说法正确的是A.收缩压和舒张压均高于相应的标准值B.收缩压和舒张压均低于相应的标准值C.收缩压高于标准值、舒张压低于标准值D.收缩压低于标准值、舒张压高于标准值【解答】解：某人的血压满足函数式，其中为血压单位：，为时间单位：则此人收缩压；舒张压，所以此人的收缩压高于标准值、舒张压低于标准值．故选C．39.设函数，下述四个结论：①的图象的一条对称轴方程为；②是奇函数；③将的图象向左平移个单位长度可得到函数的图象；④在区间上单调递增．其中所有正确结论的编号是A.①②B.②③C.①③D.②③④【解答】解：由题意．对①，的对称轴为，即，故是的对称轴故①正确；对②，，故为偶函数，故②错误；对③，将的图象向左平移个单位长度得到故③正确；对④，当时，，因为是的减区间，故④错误．综上可得①③正确．故选C．40.如图，某港口一天时到时的水深变化曲线近似满足函数，据此可知，这段时间水深单位：的最大值为A. B. C. D.【解答】解：由图象知．因为，所以，解得，所以这段时间水深的最大值是．故选C．41.若，且，则等于A. B. C. D.【解答】解：，，则，又，，则．故选：．42.若，则A. B. C. D.【解答】解：，且，，，两边同时平方得，解得或舍去，，故选B．43.，，则的值为．A. B. C. D.【解答】解：，，，，．故选：．44.若，均为锐角，，，则A. B. C.或 D.【解答】解：为锐角，，，且，，且，，，．45.在中，已知，那么的内角，之间的关系是A. B. C. D.关系不确定【解答】解：由正弦定理，即，所以，即，所以，则，所以．故选B．46.设，，则A. B. C. D.【解答】解：根据二倍角公式可得，解得，由，可得，所以，故选A．47.设，，且，则下列结论中正确的是A. B. C. D.【解答】解：，因为，所以．故选A．48.已知是锐角，若，则A. B. C. D.【解答】解：已知是锐角，，若，，则．故选A．49.化简的值等于A. B. C. D.【解答】解：，，．故选A．50.已知，，则的值为A. B. C. D.【解答】解：，，由得．．故选B．51.已知函数，若函数在上单调递减，则实数的取值范围是A. B. C. D.【解答】解：函数，由函数在上单调递减，且，得解得，又，，实数的取值范围是．故选A．52.函数的最大值为A. B. C. D.【解答】解：函数，其中，函数的最大值为，故选C．53.计算：等于A. B. C. D.【解答】解：，，．故选A．54.在中，角，，的对边分别为，，，已知，，则的值为A. B. C. D.【解答】解：，，即，即，，由正弦定理可得，又，所以由余弦定理可得，故选D．55.函数取最大值时，A. B. C. D.【解答】解：，其中由确定．由与得．若，则，，，此时．所以，最大值时，，，．故选．56.已知点在第一象限，且在区间内，那么的取值范围是___________．【解答】解：由题意可知，，，借助于三角函数线可得角的取值范围为．故答案为．57.已知角的终边经过点，则实数的值是【解答】解：设，由于正切函数周期为，则，又终边经过点，所以，解得，故答案为．58.在平面直角坐标系中，角的顶点是，始边是轴的非负半轴，，若点是角终边上的一点，则的值是____．【解答】解：因为点是角终边上的一点，所以，由，，则在第一象限，又，所以．故答案为．59.已知，，则____________．【解答】解：，，，，．故答案为．60.已知角的终边与单位圆交于点，则的值为__________．【解答】解：由题意可得，则．故答案为．61.若扇形的圆心角为，半径为，则扇形的面积为__________．【解答】解：因为，所以扇形面积公式．故答案为．62.如果一扇形的弧长变为原来的倍，半径变为原来的一半，则该扇形的面积为原扇形面积的________．【解答】解：由于，若，，则．63.某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示，为圆孔及轮廓圆弧所在圆的圆心，是圆弧与直线的切点，是圆弧与直线的切点，四边形为矩形，，垂足为，，到直线和的距离均为，圆孔半径为，则图中阴影部分的面积为___________．【解答】解：设上面的大圆弧的半径为，连接，过作交于，交于，交于，过作于，记扇形的面积为，由题中的长度关系易知，同理，又，可得为等腰直角三角形，可得，，，，，解得，，故答案为．64.已知相互啮合的两个齿轮，大轮有齿，小轮有齿．当小轮转动两周时，大轮转动的角度为______________写正数值：如果小轮的转速为转分，大轮的半径为，则大轮周上一点每秒转过的弧长为______________．【解答】解：因为大轮有齿，小轮有齿，当小轮转动两周时，大轮转动的角为，如果小轮的转速为转分，则每秒的转速为转秒，由于大轮的半径为，那么大轮周上一点每转过的弧长是．故答案为．65.终边在直线上的所有角的集合是____________．【解答】解：由终边相同的角的定义，终边落在射线的角的集合为，终边落在射线的角的集合为：，终边落在直线的角的集合为：．故答案为．66.已知直四棱柱的棱长均为，以为球心，为半径的球面与侧面的交线长为________．【解答】解：如图：取的中点为，的中点为，的中点为，因为，直四棱柱的棱长均为，所以为等边三角形，所以，，又四棱柱为直四棱柱，所以平面，所以，因为，所以侧面，设为侧面与球面的交线上的点，则，因为球的半径为，，所以，所以侧面与球面的交线上的点到的距离为，因为，所以侧面与球面的交线是扇形的弧，因为，所以，所以根据弧长公式可得．故答案为．67.用弧度制表示终边落在如图所示阴影部分内的角的集合是_________________________．【解答】解：由题意，得与终边相同的角可表示为，与终边相同的角可表示为，故角的集合是，故答案为．68.给出下列命题：第二象限角大于第一象限角三角形的内角是第一象限角或第二象限角不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关若，则与的终边相同若，则是第二或第三象限的角．其中正确的命题是填序号【解答】解：①是第二象限角，是第一象限角，但，①错误；②三角形内角有的直角，但它不是象限角，不属于任何象限，②错误；③角的度量是角所在扇形中它所对的弧长与相应半径的比值，与扇形半径无关，③正确④与的正弦值相等，但它们终边关于轴对称，④错误；⑤余弦值小于零，的终边在第二或第三象限或非正半轴上，⑤错误．故答案为③69.已知扇形的圆心角为，周长为，则扇形的面积为______ ．解：设扇形的半径为，圆心角为，弧长，此扇形的周长为，，解得：，则扇形的面积为．故答案为．70.地球的北纬线中国段被誉为中国最美风景走廊，东起舟山东经，西至普兰东经，“英雄城市”武汉东经也在其中，假设地球是一个半径为的标准球体，某旅行者从武汉出发，以离普兰不远的冷布岗日峰东经为目的地，沿纬度线前行，则该行程的路程为__________用含的代数式表示【解答】解：地球半径为，所以北纬的纬度圈半径为，因为武汉和冷布岗日峰的经度分别为东经和东经，相差，即，所以两地在北纬的纬线长是．故答案为．71.如图，在平面直角坐标系中，以轴正半轴为始边的锐角的终边与单位圆交于点，且点的纵坐标是．求的值；若以轴正半轴为始边的钝角的终边与单位圆交于点，且点的横坐标为，求的值．【参考答案】解：因为锐角的终边与单位圆交于点，且点的纵坐标是，所以由任意角的三角函数的定义可知．从而．，．因为钝角的终边与单位圆交于点，且点的横坐标是，所以，从而．于是．因为为锐角，为钝角，所以，从而．72.如图，有一块扇形草地，已知半径为，，现要在其中圈出一块矩形场地作为儿童乐园使用，其中点、在弧上，且线段平行于线段若点为弧的一个三等分点，求矩形的面积；当在何处时，矩形的面积最大？最大值为多少？【参考答案】解：如图，作于点，交线段于点，连接、，，，，，，设，则，，，，，，即时，，此时在弧的四等分点处．73.如图，圆的半径为，，为圆上的两个定点，且，为优弧的中点，设，在右侧为优弧不含端点上的两个不同的动点，且，记，四边形的面积为．求关于的函数关系；求的最大值及此时的大小．解：如下图所示：圆的半径为，，为圆上的两个定点，且，，到的距离，若，则，到的距离，故令则，，的图象是开口朝上，且以直线为对称的抛物线，故当，即时，取最大值．74.如图，在中，，，为，，所对的边，于，且．求证：；若，求的值．【参考答案】证明：，，，，，在直角三角形中，，在直角三角形中，，则，即，，，由此即得证．解：，，，则，由知，，故的值为．75.已知角的终边经过点．求的值；求的值．【参考答案】解：Ⅰ因为角终边经过点，设，，则，所以，，．．Ⅱ．76.已知向量，．当时，求的值；若，且，求的值．【参考答案】解：首先，．当时，．由知，．因为，得，所以．所以．77.如图，在平面直角坐标系中，以轴为始边做两个锐角，它们的终边分别与单位圆相交于、两点，已知、的横坐标分别为求的值；求的值．【参考答案】解：由已知得，，，因为为锐角，故，从而，同理可得，因此，，所以，，又，，，得．78.已知化简若是第二象限角，且，求的值．【参考答案】解：．是第二象限角，且，，是第二象限角，．79.如图，某市拟在长为的道路的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段，该曲线段为函数的图象，且图象的最高点为；赛道的后一部分为折线段，为保证参赛运动员的安全，限定．求，的值和，两点间的距离；应如何设计，才能使折线段最长？【参考答案】解：因为图象的最高点为，所以，由图象知的最小正周期，又，所以，所以，所以，，故，两点间的距离为，综上，的值为，的值为，，两点间的距离为；在中，设，因为，故，由正弦定理得，所以，．设折线段的长度为，则，所以的最大值是，此时的值为．故当时，折线段最长．80.已知函数．Ⅰ求的最小正周期；Ⅱ求在区间上的最大值和最小值．【参考答案】解：Ⅰ，所以的最小正周期为．Ⅱ因为，所以．于是，当，即时，取得最大值；当，即时，取得最小值．81.已知函数求函数的最小正周期；若函数对任意，有，求函数在上的值域．【参考答案】解：，的最小正周期；函数对任意，有，，当时，则，则，即，解得．综上所述，函数在上的值域为：．82.已知向量，．当时，求的值；设函数，且，求的最大值以及对应的的值．【参考答案】解：因为，所以，因为否则与矛盾，所以，所以；，因为，所以，所以当，即时，函数的最大值为．83.已知函数．求的值；从①；②这两个条件中任选一个，作为题目的已知条件，求函数在上的最小值，并直接写出函数的一个周期．【参考答案】解：Ⅰ由函数，则；Ⅱ选择条件①，则的一个周期为；由；，因为，所以；所以，所以；当，即时，在取得最小值为．选择条件②，则的一个周期为；由；因为，所以；所以当，即时，在取得最小值为．，，84.已知函数．求函数的最小正周期和单调递增区间；若存在满足，求实数的取值范围．【参考答案】解：，函数的最小正周期．由，得，的单调递增区间为．当时，可得：，令．所以若存在，满足，则实数的取值范围为．85.已知函数．求函数的单调减区间；将函数的图象向左平移个单位，再将所得的图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求在上的值域．【参考答案】解：函数，当，解得：，因此，函数的单调减区间为；将函数的图象向左平移个单位，得的图象，再将所得的图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，，，故的值域为．86.函数的部分图象如图所示．求的解析式；设，求函数在上的最大值，并确定此时的值．【参考答案】解：由图知，，则，，，，，，，，的解析式为；由可知：，，，，当即时，．87.已知函数的一系列对应值如下表：根据表格提供的数据求函数的一个解析式．根据的结果，若函数周期为，当时，方程恰有两个不同的解，求实数的取值范围．【参考答案】解：设的最小正周期为，则，由，得．又由解得令，即，解得，．函数的最小正周期为，且，．令．，，的图像如图．在上有两个不同的解时，，方程在时恰有两个不同的解，则，即实数的取值范围是．88.已知函数的部分图象如图所示．求函数的解析式；求函数在区间上的最大值和最小值．【参考答案】解：由题意可知，，，得，解得．，即，，，所以，故；当时，，得；当时，即有时，函数取得最小值；当时，即有时，函数取得最大值．故，；89.已知函数．求的值；当时，不等式恒成立，求实数的取值范围．【参考答案】解：Ⅰ，．Ⅱ，．．由不等式恒成立，得，解得．实数的取值范围为．90.设函数，．已知，函数是偶函数，求的值；求函数的值域．【参考答案】解：由，得，为偶函数，，，或，，，，，函数的值域为：．高考真题91.（2016山东）设．求的单调递增区间；把的图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍纵坐标不变，再把得到的图象向左平移个单位，得到函数的图象，求的值．【参考答案】解：由，由，得，所以的单调递增区间是．由知，把的图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍纵坐标不变，得到的图象，再把得到的图象向左平移个单位，得到的图象，即．所以．92.（2020安徽）在平面四边形中，，，，．求；若，求．解：，，，．由正弦定理得：，即，，，，．，，，．93.（2105重庆）已知函数求的最小正周期和最大值；讨论在上的单调性．【参考答案】解：．所以的最小正周期，当时，最大值为．当时，有，从而时，即时，单调递增，时，即时，单调递减，综上所述，单调增区间为，单调减区间为94.（2020上海）已知．求的值求的值．【解答】解：原式原式．95.（2017山东）设函数，其中，已知．Ⅰ求；Ⅱ将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的倍纵坐标不变，再将得到的图象向左平移个单位，得到函数的图象，求在上的最小值．解：Ⅰ函数，又，，，解得，又，Ⅱ由Ⅰ知，，，将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的倍纵坐标不变，得到函数的图象；再将得到的图象向左平移个单位，得到的图象，函数当时，，，当时，取得最小值是．96（2019上海）已知等差数列的公差，数列满足，集合．若，求集合；若，求使得集合恰好有两个元素；若集合恰好有三个元素：，是不超过的正整数，求的所有可能的值．【参考答案】解：等差数列的公差，数列满足，集合．当，集合，数列满足，集合恰好有两个元素，如图：根据三角函数线，①等差数列的终边落在轴的正负半轴上时，集合恰好有两个元素，此时，②终边落在上，要使得集合恰好有两个元素，可以使，的终边关于轴对称，如图，，此时，综上，或者．①当时，，数列为常数列，仅有个元素，显然不符合条件；②当时，，，数列的周期为，中有个元素，显然不符合条件；③当时，，集合，情况满足，符合题意．④当时，，，，，或者，，当时，集合，符合条件．⑤当时，，，，，或者，，因为，取，，集合满足题意．⑥当时，，，所以，，或者，，，取，，，满足题意．⑦当时，，，所以，，或者，，，故取，，，，当时，如果对应着个正弦值，故必有一个正弦值对应着个点，必然存在，有，，，，，不符合条件．当时，如果对应着个正弦值，故必有一个正弦值对应着个点，必然存在，有，，不是整数，不符合条件．当时，如果对应着个正弦值，故必有一个正弦值对应着个点，必然存在，有或者，，或者，此时，均不是整数，不符合题意．综上，，，，．97.（2017全国）已知集合是满足下列性质的函数的全体：存在非零常数，对任意，有成立．函数是否属于集合？说明理由；设函数，且的图象与的图象有公共点，证明：；若函数，求实数的取值范围．【参考答案】解：对于非零常数，，．因为对任意，不能恒成立，所以；因为函数且的图象与函数的图象有公共点，所以方程组：有解，消去得，显然不是方程的解，所以存在非零常数，使．于是对于有故；当时，，显然．当时，因为，所以存在非零常数，对任意，有成立，即．因为，且，所以，，。
数学(文)专题提分训练：三角函数的概念、同角三角函数的关系、诱导公式(含答案解析)
三角函数的概念、同角三角函数的关系、诱导公式高考试题考点一三角函数的概念1。
（2011年新课标全国卷,文7)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y=2x上,则cos 2θ=( )（A）-45（B）—35（C)35(D）45解析：①取x=1，则y=2，∴r=5，∴cos θ=15=55，cos 2θ=2cos2θ-1=-35。
②取x=-1,则y=-2,∴r=5,cos θ=—15。
cos 2θ=2cos2θ—1=—35.故选B。
答案:B2.(2012年山东卷，文16)如图，在平面直角坐标系xOy中，一单位圆的圆心的初始位置在(0，1)，此时圆上一点P的位置在(0，0）,圆在x轴上沿正向滚动.当圆滚动到圆心位于(2，1）时，OP的坐标为。
解析：如图，由题意知=OB=2, ∵圆半径为1,∴∠BAP=2,故∠DAP=2—π2,∴DA=APcos （2-π2)=sin 2，DP=APsin (2-π2）=-cos 2.∴OC=2—sin 2,PC=1—cos 2。
∴OP =(2-sin 2,1—cos 2). 答案：(2—sin 2，1-cos 2)3。
（2011年江西卷，文14）已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴。
若P(4，y)是角θ终边上一点,且sin θ=—55，则y= . 解析216y + ∴sin θ216y +=25即2216y y +=45,且y 〈0，∴y=—8或y=8（舍去),∴y=—8. 答案：-8考点二 同角三角函数的基本关系式1.（2013年大纲全国卷,文2)已知α是第二象限角,sin α=513,则cos α等于( )（A)-1213 (B)-513 (C ）513(D ）1213解析:因α是第二象限角，所以cos α<0。
由三角函数同角关系式知cos α=-21sin α-=-1213。
故选A.答案:A2.（2012年江西卷,文4）若sin cos sin cos αααα+-=12,则tan 2α=（ )(A)-34 （B ）34 (C ）-43 （D ）43解析：因为sin cos sin cos αααα+-=12，所以tan 1tan 1αα+-=12，解得tan α=—3. 故tan 2α=22tan 1tan αα-=34。
高三复习数学(文)_专题7_三角函数的概念、同角关系、诱导公式(有答案)
(文)_专题7 三角函数的概念、同角关系、诱导公式一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）1. （甘肃二诊）若sin α=1213，且α为第二象限角，则tan α的值为（ ）A.−125 B.125C.125 D.5122. （合肥二次质检）在平面直角坐标系中，若角α的终边经过点P (sin 5π3,cos5π3)，则sin (π+α)=（ ） A.−√32B.−12C.12D.√323. （福建质检）已知sin α+√3cos α=2，则tan α=( ) A.√3 B.√2 C.√22D.√334. （石家庄质检二）若sin (π−α)=13，且π2≤α≤π，则cos α=（ ）A.2√23B.−2√23C.−4√29D.4√295. （甘肃二诊）已知tan x =43，且角x 的终边落在第三象限，则cos x =（ ） A.45B.−45C.35D.−356. （贵州模拟）给出下列各函数值： ①sin (−1000∘)； ②cos (−2200∘)； ③tan (−10)； ④sin7π10cos πtan17π9．其中符号为负的有（ ） A.①B.②C.③D.④二、填空题（本大题共7小题，每小题5分，共35分）sin 750∘=________．在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称．若sinα=13，则sinβ=________．（河北衡水中学九模）已知cos(α−π4)=45，则sin(α+π4)=________．（福建质检）已知α是第一象限角，且sin(π−α)=35，则tanα＝________．（武汉4月调研）已知sinα=2cosα，则sinαcosα=________．（福建三明一中一次月考）如图，在平面直角坐标系xOy中，角α的终边与单位圆交于点A，点A的纵坐标为23，则cosα=________．（2016·全国卷）已知θ是第四象限角，且sin(θ+π4)=35，则tan(θ−π4)=________．三、解答题（本大题共3小题，共35分）化简：sin(540∘−x)tan(900∘−x)⋅1tan(450∘−x)tan(810∘−x)⋅cos(360∘−x)sin(−x)．（福建三明一中一次月考）已知π<α<2π，cosα=35，求cos(5π+α)⋅tan(α−7π)的值；（福建三明一中一次月考）已知cos(π6−α)=√33，求sin(π3+α)的值．已知tan x=2．求23sin2x+14cos2x的值；求2sin2x−sin x cos x+cos2x的值．参考答案与试题解析(文)_专题7 三角函数的概念、同角关系、诱导公式一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）1.【答案】A【考点】同角三角函数间的基本关系【解析】此题暂无解析【解答】因为α为第二象限角，且sinα=1213，所以cosα=−513，所以tanα=sinαcosα=−125，故选A．确定角所在的象限是确定三角函数值符号的关键．本题考查同角三角函数间的基本关系．2.【答案】B【考点】三角函数【解析】此题暂无解析【解答】由题意知，角α的终边经过的点为P(−√32,12)，所以sinα=12，所以sin(π+α)=−sinα=−12，故选B．本题考查三角函数的定义、诱导公式．3.【答案】D【考点】同角三角函数基本关系的运用【解析】此题暂无解析【解答】由题意得sinα+√3cosα=√3cos√22=√3√2=2，解得tanα=√33，故选D．由正弦和余弦的齐次式求正切值时，通常用到sin2α+cos2α=1这一隐含条件．本题考查同角三角函数的基本关系．4.【答案】B【考点】运用诱导公式化简求值 同角三角函数间的基本关系 【解析】 此题暂无解析 【解答】由sin (π−α)=13得sin α=13，又因为π2≤a ≤π，所以cos α=−√1−sin 2α=−2√23，故选B ．【知识拓展】三角函数的诱导公式口诀：“奇变偶不变，符号看象限”． 本题考查三角函数的同角关系． 5.【答案】 D【考点】任意角的三角函数 三角函数 【解析】 此题暂无解析 【解答】由tan x =sin x cos x =43可得sin x =43cos x ，代入sin 2x +cos 2x =1，整理有cos 2x =925，由于角x 的终边落在第三象限，则有cos x =−35，故选D ．利用同角三角函数的基本关系式求解三角函数值时，往往要注意角的终边对三角函数值的正负的影响．本题考查同角三角函数的基本关系式． 6.【答案】 C【考点】运用诱导公式化简求值 三角函数值的符号【解析】 此题暂无解析 【解答】sin (−1000∘)=sin 80∘>0；cos (−2200∘)=cos (−40∘)=cos 40∘>0；tan (−10)=tan (3π−10)<0；sin7π10cos πtan17π9=−sin7π10tan17π9，sin 7π10>0，tan17π9<0，故选C ．本题考查诱导公式及三角函数值的符号．二、填空题（本大题共7小题，每小题5分，共35分） 【答案】 12【考点】此题暂无解析【解答】∵sin750∘=sin(2×360∘+30∘)=sin30∘=12，∴sin750∘=12．本题将其化简后直接计算即可．本题考查诱导公式与三角函数的求值，将其化简后直接计算即可．【答案】13【考点】三角恒等变换综合应用三角函数【解析】此题暂无解析【解答】因为角α与角β均以Ox为始边，终边关于y轴对称，所以sinβ=sin(π−α)=sinα=13．根据两角的终边的关系得到角的关系是解题的关键．本题考查三角函数的定义、诱导公式．【答案】45【考点】求两角和与差的正弦运用诱导公式化简求值同角三角函数间的基本关系【解析】此题暂无解析【解答】由题可知sin(α+π4)=sin[(α−π4)+π2]=cos(α−π4)=45．熟记三角函数诱导公式并灵活使用是解答本题的关键．本题考查诱导公式．【答案】34【考点】三角函数的恒等变换及化简求值【解析】此题暂无解析【解答】因为sin(π−α)=sinα=35，又α是第一象限角，所以cosα=45，所以tanα=sinαcosα=34．求三角函数值时要注意角所在的象限．25【考点】任意角的三角函数同角三角函数间的基本关系 【解析】 此题暂无解析 【解答】由sin α=2cos α可知tan α=2，从而sin αcos α=sin αcos αsin 2α+cos 2α=tan αtan 2α+1=25．【一题多解】由sin α=2cos α可知(2cos α)2+cos 2α=1，即cos 2α=15．所以sin 2α=45，从而sin αcos α=√sin 2α⋅cos 2α=25．本题考查同角三角函数的基本关系． 【答案】 −√53【考点】 三角函数 【解析】 此题暂无解析 【解答】 由于点A 是单位圆与角α的终边的交点，则OA =1，又点A 的纵坐标为23，则点A 的横坐标为−√1−(23)2=−√53，则cos α=−√53．根据三角函数的定义，设角α的终边与单位圆交点的坐标为(x,y )，则sin α=y ，cos α=x ，tan α=yx (x ≠0)． 本题考查三角函数的概念． 【答案】−43【考点】三角函数的化简求值同角三角函数间的基本关系 【解析】 此题暂无解析 【解答】因为θ是第四象限角，且sin (θ+π4)=35，所以θ+π4为第一象限角，所以cos (θ+π4)=45，所以tan (θ−π4)=sin (θ−π4)cos (θ−π4)=−cos [π2+(θ−π4)]sin [π2+(θ−π4)]=−cos (θ+π4)sin (θ+π4)=−43．利用同角三角函数的基本关系式求余弦值，注意角的取值范围．三、解答题（本大题共3小题，共35分） 【答案】 sin x【考点】运用诱导公式化简求值 【解析】 此题暂无解析 【解答】 解：原式=sin (180∘−x )tan (−x )⋅1tan (90∘−x )tan (90∘−x )⋅cos xsin (−x )=sin x −tan x ⋅tan x ⋅tan x ⋅(−1tan x ) =sin x ． 【答案】45【考点】运用诱导公式化简求值同角三角函数间的基本关系 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：∵ π<α<2π，cos α=35，∴ sin α=−45， ∴ cos (5π+α)⋅tan (α−7π)=cos (π+α)⋅tan α =−cos α⋅sin αcos α=−sin α=45． 【答案】√33【考点】运用诱导公式化简求值 【解析】 此题暂无解析 【解答】sin (π3+α)=sin [π2−(π6−α)]=cos (π6−α)=√33． 【答案】 712 75【考点】三角函数的化简求值三角函数的恒等变换及化简求值同角三角函数间的基本关系【解析】此题暂无解析【解答】解：23sin2x+14cos2x=23sin2x+14cos2xsin2x+cos2x=23tan2x+14 tan2x+1=712．2sin2x−sin x cos x+cos2x=2sin2x−sin x cos x+cos2x sin2x+cos2x=2tan2x−tan x+1tan2x+1=75．。
高三数学同角三角函数的基本关系式和诱导公式试题
高三数学同角三角函数的基本关系式和诱导公式试题1.已知，，则_____________.【答案】【解析】因为α是锐角所以sin(π－α)＝sinα＝【考点】同角三角函数关系，诱导公式.2.若，则A．B．C．D．【答案】C【解析】由，可得：同正或同负，即可排除A和B，又由，故.【考点】同角三角函数的关系，且α∈，则tan(2π－α)的值为________．3.已知sin(π－α)＝log8【答案】＝－，【解析】sin(π－α)＝sin α＝log8又α ∈，得cos α＝＝，tan(2π－α)＝tan(－α)＝－tan α＝－＝.4.已知2sinαtanα＝3，则cosα的值是()A．－7B．－C．D．【答案】D【解析】由已知得2sin2α＝3cosα，∴2cos2α＋3cosα－2＝0，(cosα＋2)(2cosα－1)＝0∴cosα＝，选D．5.已知sin(－x)＝，则cos(π－x)＝()A．B．C．－D．－【答案】C【解析】cos(π－x)＝cos[＋(－x)]＝－sin(－x)＝－，故选C．6.方程两根，且，则；【答案】【解析】由已知可得，，因为，所以，所以或.但由于，所以，。
由，则同号；由，则都小于0。
所以，所以【考点】两角和差公式以及正切函数的性质.7.在中，角A，B，C的对边a，b，c成等差数列，且，则 .【答案】【解析】∵成等差数列，∴，∴，∵，∴，∴，∴，（1）∵且，∴代入（1）式中，，∴，∴，∴，∴.【考点】1.等差中项；2.倍角公式；3.诱导公式.8.若，则 .【答案】【解析】．【考点】诱导公式．9.已知tan ＝，tan ＝，则tan(α＋β)＝________．【答案】1【解析】tan(α＋β)＝tan[(α－)＋(＋β)]＝＝110.若sinα＝，α∈，则cos＝__________．【答案】－【解析】由α∈，sinα＝，得cosα＝，由两角和与差的余弦公式得cos＝cosαcos－sinαsin＝－(cosα－sinα)＝－11.函数y＝cos的单调递增区间是________．【答案】(k∈Z)【解析】－π＋2kπ≤2x－≤2kπ，即－＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)，所求单调递增区间是(k∈Z)．12.设f(x)=sinx+cosx,f′(x)是f(x)的导数,若f(x)=2f′(x),则=_________.【答案】【解析】由f'(x)=cosx-sinx,∴sinx+cosx=2(cosx-sinx),∴3sinx=cosx,∴tanx=,所求式子化简得,=tan2x+tanx=+=.13.若sinθcosθ>0,则θ在()A．第一、二象限B．第一、三象限C．第一、四象限D．第二、四象限【答案】B【解析】∵sinθcosθ>0,∴sinθ,cosθ同号.当sinθ>0,cosθ>0时,θ在第一象限,当sinθ<0,cosθ<0时,θ在第三象限,因此,选B.14.已知sin ＝，则sin＝________.【答案】±【解析】由sin ＝，得cos ＝±，所以sin＝cos＝±.15.若tan θ＋＝4，则sin 2θ的值 ()．A．B．C．D．【答案】D【解析】由tan θ＋＝4，得＝4，∴4sin θcos θ＝1，则sin 2θ＝.16.已知f(x)＝sin2，若a＝f(lg 5)，b＝f()．A．a＋b＝0B．a－b＝0C．a＋b＝1D．a－b＝1【答案】C【解析】f(x)＝，∴a＝＋，b＝＋＝－，因此a＋b＝1.17.已知，且，则（）A．B．C．D．【答案】【解析】.又因为，所以为三象限的角，.选B.【考点】三角函数的基本计算.18.已知0<α<，β为f(x)＝cos的最小正周期，a＝，b＝(cos α，2)，且a·b＝m，求的值．2cos2α＋sin 2α＋βcosα－sin α【答案】4＋2m【解析】因为β为f(x)＝cos的最小正周期，故β＝π.因为a·b＝m，又a·b＝cos α·－2，故cos α·＝2＋m.由于0＜α＜，所以＝＝＝2cos α·＝2cos α·tan＝2(2＋m)＝4＋2m.19.在中，BC=，AC=2，的面积为4，则AB的长为 .【答案】或【解析】由已知，∴，故，在中，当，当时，4，当时.【考点】1、三角形的面积；2、同角三角函数基本关系式；3、余弦定理.20.在中，角A，B，C所对的边分别为（Ⅰ）叙述并证明正弦定理；（Ⅱ）设，，求的值．【答案】(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ) .【解析】(Ⅰ)正弦定理：，利用三角形的外接圆证明正弦定理. 设的外接圆的半径为，连接并延长交圆于点，则，直径所对的圆周角，在直角三角形中，，从而得到，同理可证，，则正弦定理得证；(Ⅱ)先由正弦定理将化为①，再依据和差化积公式，同角三角函数间的关系，特殊角的三角函数值将①式化简，得到，则，再由二倍角公式求解.试题解析：(Ⅰ) 正弦定理：.证明：设的外接圆的半径为，连接并延长交圆于点，如图所示：则，，在中，，即，则有，同理可得，，所以.(Ⅱ)∵，由正弦定理得，，，，，，解得，，∴.【考点】1.正弦定理；2.解三角形；3.同角三角函数间的关系；4.和差化积公式；5.二倍角公式21.已知函数，.（1）求的值；（2）设、，，，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）直接计算的值；（2）先由已知条件计算、的值，然后利用同角三角函数的基本关系求出、的值，最后利用两角和的余弦公式计算出的值.试题解析：（1），所以；（2），，、，所以，，所以.【考点】1.同角三角函数的基本关系；2.两角和的余弦公式22.已知5cos（45°+x）=3，则sin2x=．【答案】【解析】由已知可得（cosx－sinx）=，即cosx－sinx=，两边平方得1-2cosxsinx=，sin2x=.【考点】1.两角和差公式；2.同角的基本关系式；23.已知函数的最大值是1，其图像经过点。
2023版高考数学一轮总复习4-1三角函数的概念同角三角函数的基本关系和诱导公式习题
4.1 三角函数的概念、同角三角函数的基本关系和诱导公式基础篇 固本夯基考点 三角函数的概念、同角三角函数的基本关系和诱导公式 1.(2022届河南重点中学模拟,1)已知sin37°=35,则cos593°=( ) A.35 B.-35 C.45 D.-45 答案 B2.(2022届江西十七校期中,3)当θ∈(0,π2)时,若cos (5π6-θ)=-12,则sin (θ+π6)的值为( )A.12 B.√32 C.-√32D.-12答案 B3.(2020课标Ⅱ,2,5分)若α为第四象限角,则 ( ) A.cos2α>0 B.cos2α<0 C.sin2α>0 D.sin2α<0 答案 D4.(2021陕西榆林一模,3)如图,角α,β的顶点与原点O 重合,始边与x 轴的非负半轴重合,终边与单位圆O 分别交于A,B 两点,则θθ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·θθ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =( )A.cos(α-β)B.cos(α+β)C.sin(α-β)D.sin(α+β) 答案 A5.(2021四川宜宾二诊,3)若点sin5π6,cos5π6在角α的终边上,则sinα=( )A.√32 B.12 C.-√32 D.-12 答案 C6.(2021河南中原名校联盟4月联考,4)已知cos 20212π+α=-12,α∈(π2,π),则cosα=( )A.12 B.-12 C.√32 D.-√32 答案 D7.(2020成都七中模拟,2)记cos(-80°)=k,那么tan100°=( ) A.√1-θ2θ B.-√1-θ2θ C.√ D.-√答案 B8.(2021云南顶级名校期末联考,6)设f(x)=asin(πx+α)+bcos(πx+β),其中a,b,α,β都是非零实数,若f(2020)=1,则f(2021)=( ) A.1 B.2 C.0 D.-1 答案 D9.(2020皖北名校3月联考,13)sin613°+cos1063°+tan30°的值为 . 答案√3310.(2021安徽黄山二模,13)若一扇形的圆心角为144°,半径为10cm,则扇形的面积为 cm 2. 答案 40π11.(2021山西三市五校3月联考,14)已知cos (π2-α)+sin (π2+β)=1,则cos 2(32π+θ)+cosβ-1的取值范围为 .答案 [-14,0]12.(2022届湖南名校10月联考,14)如图所示的时钟显示的时刻为3:30,此时时针与分针的夹角为α(0<θ≤π2).若一个半径为12的扇形的圆心角为α,则该扇形的弧长为 .答案 5π13.(2022届黑龙江八校期中,14)化简:tan(π-θ)cos(2π-θ)sin (-θ+3π2)cos(-θ-π)sin(-π-θ)的值为 .答案 -1综合篇 知能转换考法一 三角函数定义的应用1.(2022届成都蓉城名校联盟联考一,8)已知角θ的终边过点A(6,a),且sin(θ-3π)=45,则tan (2θ-π4)=( )A.1731B.-3117C.317D.-731答案 A2.(2022届安徽六安一中月考三,9)在平面直角坐标系xOy 中,α为第四象限角,角α的终边与单位圆O 交于点P(x 0,y 0),若cos α+π6=45,则x 0=( ) A.4√3-310B.4√3+310C.4√3-410D.4√3±310答案 A3.(2021黑龙江牡丹江二模,6)角α的终边上一点P(a,2a)(a≠0),则2sinα-cosα=( ) A.√55B.-√55C.√55或-√55D.3√55或-3√55答案 D4.(2021河南洛阳重点中学模拟,6)现有如下结论:①若点P(a,2a)(a≠0)为角α的终边上一点,则sinα=2√55;②同时满足sinα=12,cosα=√32的角有无数个;③设tanα=12且π<α<32π,则sinα=-√55;④设cos(sinθ)·tan(cosθ)>0(θ为象限角),则θ是第一象限角,其中正确结论的序号为( )A.①②B.②③C.①③D.②④ 答案 B5.(2020太原名校联盟4月模拟,7)已知角α的顶点在坐标原点,始边与x 轴的非负半轴重合,将角α的终边按顺时针方向旋转π6后经过点(-3,4),则cosα=( )A.3√3+410B.-3√3+410C.3√3-410D.4-3√310答案 B6.(2018浙江,18,14分)已知角α的顶点与原点O 重合,始边与x 轴的非负半轴重合,它的终边过点P (-35,-45). (1)求sin(α+π)的值;(2)若角β满足sin(α+β)=513,求cosβ的值.解析 (1)由角α的终边过点P (-35,-45)得sinα=-45,所以sin(α+π)=-sinα=45.(2)由角α的终边过点P (-35,-45)得cosα=-35,由sin(α+β)=513得cos(α+β)=±1213.由β=(α+β)-α得cosβ=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα,所以cosβ=-5665或cosβ=1665.考法二 同角三角函数的基本关系的应用1.(2022届江西十七校期中,5)已知tanθ=2,则(sinθ-3cosθ)2-1的值为( ) A.-45 B.45 C.-15 D.15 答案 A2.(2021江西萍乡二模,5)已知tanα=-2,则sin2α+cos 2α的值为( ) A.45B.-45C.35D.-35答案 D3.(2021湘豫名校联盟4月联考,8)若tanα=2sin(α-π),则cos2α=( ) A.-14B.1C.-12或0 D.-12或1答案 D4.(2020河南禹州高级中学月考,4)α∈(π4,π2),12sin θ+12cos θ=35,则tan2α=( ) A.247B.-247C.±247D.-724答案 B5.(2020辽宁丹东二模,8)在△ABC 中,cosA+sinA=15,则tan (θ-π4)=( ) A.7 B.-17 C.±7 D.±17答案 A6.(2020浙江,13,6分)已知tanθ=2,则cos2θ= ,tan (θ-π4)= . 答案 -35;137.(2022届新疆克拉玛依模拟三,15)在△ABC 中,已知sinA+cosA=15,则sinA-cosA= . 答案 758.(2022届宁夏长庆高级中学月考一,17)已知函数y=sinθ+cosθ+2sinθcosθ. (1)设变量t=sinθ+cosθ,试用t 表示y=f(t),并写出t 的取值范围; (2)求函数y=f(t)的值域.解析 (1)因为t=sinθ+cosθ(θ∈R),sin 2θ+cos 2θ=1,所以2sinθcosθ=t 2-1,故f(t)=t 2+t-1,t=sinθ+cosθ=√2sin (θ+π4)∈[-√2,√2],故t 的取值范围为[-√2,√2]. (2)由(1)知y=f(t)=t 2+t-1=(θ+12)2-54(t∈[-√2,√2]),由二次函数的性质可知,y=f(t)的最小值为f (-12)=-54,又f(-√2)=1-√2,f(√2)=1+√2,所以y=f(t)的值域为[-54,1+√2].。
三角函数的定义及诱导公式同角三角函数部分综合练习题
1.有四个关于三角函数的命题：1p ：∃x ∈R, 2sin 2x +2cos 2x =122p : ∃x 、y ∈R,sin(x-y)=sinx-siny 3p : ∀x ∈[]0,π4p : sinx=cosy ⇒x+y=2π其中假命题的是 A ．1p ，4p B.2p ，4p C.1p ，3p D.2p ，4p 2.若3cos25θ=，4sin 25θ=-，则角θ的终边一定落在直线（ ）上。
A ．7240x y += B ．7240x y -= C ．2470x y += D ．2470x y -=3.00240tan 600sin +的值等于（ A. 23-B. 23C. 321+-D. 321+4.下列说法正确的是 ) A.第二象限的角比第一象限的角大B.若sin α＝12，则α＝π6C.三角形的内角是第一象限角或第二象限角D.不论用角度制还是弧度制度量一个角，它们与扇形所对应的半径的大小无关 5.若θ为第一象限角，则能确定为正值的是 (A.sin θ2 B.cos θ2 C.tan θ2 D.cos2θ6.如图，设点A 是单位圆上的一定点，动点P 从A 出发在圆上按逆时针方向 转一周，点P 所旋转过的弧 AP 的长为l ，弦AP 的长为d ，则函数d ＝f (l ) 的图像大致为 ( )7.已知A ＝sin(k π＋α)sin α＋cos(k π＋α)cos α(k ∈Z)，则A 的值构成的集合是A.{1，－1,2，－2}B.{－1,1}C.{2，－2}D.{1，－1,0,2，－2} 8.若△ABC 的内角A 满足322sin =A ，则sin cos A A +=（ ）A.315 B. 315- C. 35 D. 35-9.已知)232cos(,31)6sin(απαπ+=-则的值是（ A ．97-B ．31-C ．31D ．9710．已知－π2<θ<π2，且sin θ＋cos θ＝a ，其中a ∈(0,1)，则关于tan θ的值，在以下四个答案中，可能正确的是( A ．－3 B ．3或13 C ．－13 D ．－3或－1311．若角α与角β的终边相同，则一定有（ A. 0180=+βα B. 00=+βαC.Z k k ∈⋅=,036-0βα D. Z k k ∈⋅=+,0360βα12.若),(-036,0360Z m k m k ∈⋅=+⋅=θβθα,则角α与β的终边的位置关系（ ）A. 重合B. 关于原点对称C. 关于x 轴对称D. 关于y 轴对称 13.角α的终边过点P （－8m ，－6cos60°）且cos α=－54，则m 的值是 A.21 B.－21 C.－23 D.23 14.已知点)43cos ,43(sinππP 落在角θ的终边上，且)2,0[πθ∈，则θ的值为 A ．4πB ．43πC ．45πD ．47π15．已知函数f (x )＝sin x －cos x 且f ′(x )＝2f (x )，f ′(x )是f (x )的导函数，则1＋sin 2xcos 2x －sin2x＝( )A.195 B ．－195 C.113 D ．－11316.在△ABC 中，3sin A ＋4cos B ＝6,4sin B ＋3cos A ＝1，则C 等于( )A ．30°B ．150°C ．30°或150°D ．60°或120°17.若sin θ，cos θ是关于x 的方程5x 2－x ＋a ＝0(a 是常数)的两根，θ∈(0，π)，则cos 2θ的值为________．．18．函数y ＝|sin x |sin x ＋cos x |cos x |＋|tan x |tan x 的值域为________．已知x xx x x tan 2sin 1sin 1sin 1sin 1-=-+-+-,则x 的取值范围是19．已知角α的始边在x 轴的非负半轴上，终边在直线y ＝kx 上，若sin α＝25，且cos α<0，则k 的值为________．20．已知sin x ＝2cos x ，则sin 2x ＋1＝________.21.若336cos =⎪⎭⎫⎝⎛-θπ,则=⎪⎭⎫ ⎝⎛+θπ65cos = 22.已知02<<-x π,51cos sin =+x x (1)求x x cos sin -的值; (2)求xxx tan 1sin 22sin 2-+的值.23.已知02x π<<，化简：2lg(cos tan 12sin))]lg(1sin 2)22x x x x x π⋅+-+--+.24.已知向量(sin ,cos 2sin ),(1,2).a b θθθ=-=（Ⅰ）若//a b ，求tan θ的值；（Ⅱ）若||||,0,a b θπ=<<求θ的值。
三角函数定义与诱导公式好题训练含详解
三角函数定义与诱导公式好题训练一、单选题1．已知角α的终边与单位圆交于点(P ，则sin cos αα⋅=（ ）A B ．C ．D 2．已知第三象限角α的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点P m ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，则221sin cos cos sin αααα-=-（ ）A ．BC ．13-D ．1-3．在直角坐标系中，若角α与β终边互为反向延长线，α与β之间的关系是（ ） A ．αβ= B ．()2k k Z απβ=+∈ C ．D ．()()21k k Z απβ=++∈4．sin570︒的值是（ ）A ．12B ．12-C D ． 5．已知角(0360)αα≤<︒︒终边上A 点的坐标为(sin120,cos120)︒︒，则α=（ ） A ．330︒B ．300︒C ．120︒D ．60︒6．已知角α的顶点为坐标原点，始边为x 轴的非负半轴，若点(sin ,tan )P αα在第四象限，则角α的终边在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限7．已知角α的终边上一点P 的坐标为55sin ,cos 66ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则角α的最小正值为（ ） A ．6πB ．23π C ．76π D ．53π 8．如果OM 、MP 分别是角5πα=的余弦线和正弦线，那么下列结论正确的是（ ） A ．0MP OM <<B ．0MP OM <<C ．0MP OM >>D ．0OM MP >>9．()()cos585tan 585sin 570=-+-（ ）A B ．C D ．10．已知sin 2(2)33πα+=，则cos(2)6πα-=（ ）A B ．23-C ．23D ．二、多选题 11．函数cos sin tan sin cos tan x x xy x x x=++的值可能为（ ） A ．－1 B ．0 C ．1D ．312．下列结论正确的是（ ） A ．76π-是第三象限角 B ．角α的终边在直线y x =上，则α=()4k k Z ππ+∈C ．若角α的终边过点()3,4P -，则3cos 5α=-D ．若角α为锐角，则角2α为钝角 13．下列不等式成立的是（ ） A ．15sin 60︒< B ．()45s 0co 0-︒> C ．17tan 08π⎛⎫-< ⎪⎝⎭D ．19sin03π> 14．已知角α的终边经过点(sin120,tan120)P ︒︒，则（ ）A ．cos α=B ．sin α=C ．tan 2αD ．sin cos αα+=第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明 三、双空题15．如图，若角α的终边与单位圆交于点03,5P y ⎛⎫⎪⎝⎭，则0y =________，tan α=________．16．在平面直角坐标系xOy 中，角均以x 轴正半轴为始边．已知角θ的终边在直线2y x =上，则tan θ=________；已知角α与角β的终边关于直线2y x =对称，且角α与单位圆的交点坐标为，则cos β=________． 四、填空题17．如图，单位圆上有一点0P ⎝⎭，点P 以点P 0为起点按逆时针方向以每秒π12弧度作圆周运动，5秒后点P 的纵坐标y 是_____________.18．已知函数f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)，且f (4)＝3，则f (2017)的值为________. 19．函数sin cos sin cos x x y xx=+的值域是___________．20．不等式1cos 2x >在区间[],ππ-上的解集为______． 五、解答题21．确定下列三角函数值的符号： (1)sin186︒； (2)tan505︒； (3)sin7.6π； (4)23tan()4π-； (5)cos940︒；(6)59cos 17π⎛⎫-⎪⎝⎭. 22．已知角α的终边经过下列各点，求α的正弦、余弦、正切值：（1）(8,6)--； （2）1)-；（3）(1,1)-； （4）(0,2)-. 23．填表：24．用定义法、公式一求下列角的三个三角函数值（可用计算工具）： （1）173π-； （2）214π； （3）236π-； （4）1500︒.25．已知角α的终边落在直线3y x =-上，求2sin 3cos αα+的值.26．在平面直角坐标系xOy 中，角α的顶点在坐标原点O ，始边与x 轴的非负半轴重合，角α的终边经过点(,3)A a ，4cos 5α=-.(1)求a 和tan α的值；(2)求sin()2sin()233sin()sin()2πααπαπα-++++-的值.27．已知角α的终边上一点y)，且求cosα，tanα的值. 28．化简求值：(1)已知cos α=，求()()()7sin cos cos tan 2sin cos 22ππαααπαππαα⎛⎫+-+- ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值；(2)tan 210sin 330sin120sin 240cos315sin135︒︒︒︒+︒︒︒．29．定义在R 上的函数()f x 既是偶函数又是周期函数，若()f x 的最小正周期是π，且当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()sin f x x =，求53f π⎛⎫⎪⎝⎭的值． 30．分别作出下列各角的正弦线､余弦线和正切线. (1)3π; (2)54π. 31．利用三角函数线，写出满足下列条件的角α的集合：(1)sin α≥2； (2)cos α≤12.32．利用公式求下列三角函数值: (1)cos 225︒; (2)8sin3π; (3)16sin 3π⎛⎫- ⎪⎝⎭;(4)()tan 2040︒-.33．计算：（1）()6sin 903sin 08sin 27012cos180︒︒︒︒-+-+；（2）10cos 2704sin 09tan 015cos360︒︒︒︒+++； （3）22332costantan sin cos cos 2446662ππππππ-+-++； （4）2423sincos tan 323πππ+- 34．求满足下列关系式的x 的集合.（1）10,x x R +=∈ （2）tan 10,x x R -=∈（3）cos()x x R π-=∈ （4）22sin 1,x x R =∈35．已知角α终边上一点45sin ,cos 36p ππ⎛⎫⎪⎝⎭（1）求tan α的值；（2）化简并求值：()()()()cos sin sin 2119sin 2cos cos sin 22παπαπαπππαααα⎛⎫+-- ⎪-⎝⎭-++-⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 36．化简求值：（1）234coscoscos cos 5555ππππ+++； （2）24sin 2cos ()33n n n ππππ⎛⎫⎛⎫-⋅+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭Z ．37．已知()1cos 753α︒+=，求()(cos 105sin 15)αα︒-+︒-的值．38．已知、、A B C 为ABC 的内角， （1）证明：sin()sin A B C +=. （2）若cos()B C +=A ， （3）证明：3tan tan 44A B Cπ++=-参考答案：1．B【解析】【详解】α的终边与单位圆交于点(P,故||1,r OP x y====，故33sin cos11y xr rαα====所以sin cosαα⋅=，故选：B.2．D【解析】【分析】根据任意角三角函数的定义即可求解.【详解】由题意得，221m⎛+=⎝⎭，解得m=，又α为第三象限角，所以m=，故sinαα==所以222211sin cos1cos sinαααα⎛⎛-⨯-⎝⎭⎝⎭==--⎛⎛-⎝⎭⎝⎭，故选：D.3．D【解析】【分析】由角α与β终边互为反向延长线得到角α与β关系进而求解.【详解】因为角α与β终边互为反向延长线， 所以()()21k k Z αβπ-=+∈， 即()()21k k Z απβ=++∈. 故选：D 4．B 【解析】 【分析】 利用诱导公式求解 【详解】1sin(360210)sin 210sin(18030sin 5)sin 30027︒=︒+︒=︒=︒+︒=-︒=-，故选：B 5．A 【解析】 【分析】根据特殊角的三角函数值求出点A 的坐标，再根据任意角三角函数的定义求出α的值. 【详解】sin120︒=1cos1202︒=-，即12A ⎫-⎪⎪⎝⎭，该点在第四象限，由0360α︒≤<︒，cos α= 得330α=︒. 故选：A. 6．B 【解析】 【分析】依据三角函数值的符号判断角α的终边所在象限即可解决. 【详解】由点(sin ,tan )P αα在第四象限，可知sin 0,tan 0αα><，则角α的终边在第二象限. 故选：B 7．D 【解析】 【分析】先根据角α终边上点的坐标判断出角α的终边所在象限，然后根据三角函数的定义即可求出角α的最小正值． 【详解】 因为5sin06π>，5cos 06π<， 所以角α的终边在第四象限， 根据三角函数的定义，可知5sin cos6πα==， 故角α的最小正值为5233ππαπ=-=． 故选：D ． 8．D 【解析】 【分析】 作出5πα=的正弦线MP 和余弦线OM ，可得出结论.【详解】 作出5πα=的正弦线MP 和余弦线OM ，如下图所示：由于054ππ<<，由图可知，0OM MP >>．故选：D. 9．C 【解析】 【分析】利用诱导公式化简求值即可. 【详解】 原式()()()cos 36018045cos45tan45sin30tan 36018045sin 36018030++-==-+-+-----2112==-+， 故选:C. 10．C 【解析】 【分析】利用诱导公式即得. 【详解】∵sin 2(2)33πα+=，∵ 2cos(2)cos (2)sin(2)62333ππππααα⎡⎤-=-+=+=⎢⎥⎣⎦.故选：C. 11．AD 【解析】 【分析】根据角x 的象限分类讨论，结合三角函数的符号，即可求解. 【详解】当x 是第一象限角时，可得cos sin tan 1113sin cos tan x x xy x x x=++=++=； 当x 是第二象限角时，可得cos sin tan 1111sin cos tan x x xy x x x=++=--=-； 当x 是第三象限角时，可得cos sin tan 1111sin cos tan x x xy x x x=++=--+=-； 当x 是第四象限角时，可得cos sin tan 1111sin cos tan x x xy x x x=++=-+-=-， 故函数cos sin tan sin cos tan x x xy x x x=++的值域是{}1,3-. 故选：AD. 12．BC 【解析】 【分析】利用象限角的定义可判断A 选项的正误；利用终边相同角的表示可判断B 选项的正误；利用三角函数的定义可判断C 选项的正误；利用特殊值法可判断D 选项的正误. 【详解】 对于A 选项，75266πππ-=-且56π为第二象限角，故76π-为第二象限角，A 错；对于B 选项，根据终边相同角的表示可知角α的终边在直线y x =上， 则α=()4k k Z ππ+∈，B 对；对于C 选项，由三角函数的定义可得3cos 5α==-，C 对；对于D 选项，取6πα=，则角α为锐角，但23πα=，即角2α为锐角，D 错.故选：BC. 13．CD 【解析】根据角的象限与三角函数函数的关系，以及三角函数的诱导公式，逐项判定，即可求解. 【详解】因为角156︒为第二象限角，可得sin1560︒>，所以A 不正确； 由()450450cos(3cos co 6090)cos900s -︒︒=︒+︒=︒==，所以B 不正确； 由1717tan()tan tan(2)tan 08888πππππ-=-=-+=-<，所以C 正确；由19sinsin(6)sin 0333ππππ=+==>，所以D 正确. 故选：CD. 14．ACD 【解析】 【分析】求得P 点的坐标，根据三角函数的定义以及同角三角函数的基本关系式确定正确选项. 【详解】由题意可得P ⎝，则cos α==sin α==，sin tan 2cos ααα==-．sin cos αα+= 所以ACD 选项正确. 故选：ACD 15． 45##0.8 43【解析】 【分析】根据单位圆中的勾股定理和点03,5P y ⎛⎫⎪⎝⎭所在象限求出0y ，然后根据三角函数的定义求出tan α即可 【详解】如图所示，点03,5P y ⎛⎫ ⎪⎝⎭位于第一象限，则有：220315y ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，且00y >解得：045y =004tan 3y x α==（其中035x =） 故答案为：45；4316． 2【解析】 【分析】设角θ终边上一点的坐标为(,2)P a a ，根据三角函数的定义，求得tan θ，设点A 关于2y x =的对称点为(,)B x y，求得点(B ，结合三角函数的定义，即可求解. 【详解】由题意，角均以x 轴正半轴为始边，且角θ的终边在直线2y x =上， 设角θ终边上一点的坐标为(,2)P a a ，根据三角函数的定义，可得2tan 2aaθ==， 又由角α与单位圆的交点坐标为A ，设点A 关于2y x =的对称点为(,)B x y ，可得101022212y x y ⎧⎪⎪=⨯⎪⎪⎨⎪=-，解得x y == 即角β的终边上一点的坐标为(B ，根据三角函数的定义，可得cos β= 故答案为：2；17【解析】 【分析】根据单位圆上点0P 的坐标求出0π4P Ox ∠=，从而求出2π3POx ∠=，从而求出点P 的纵坐标. 【详解】因为0P ⎝⎭位于第一象限，且0tan 1P Ox ∠=，故0π4P Ox ∠=，所以ππ2π54123POx ∠=+⨯=，故2πsin sin 3POx ∠==P 的纵坐标sin y POx =∠=18．－3 【解析】 【分析】由题设，结合诱导公式可得f (4)＝a sin α＋b cos β，再应用正余弦函数的周期性、诱导公式可得f (2017)＝－a sin α－b cos β即可求值. 【详解】∵f (4)＝a sin(4π＋α)＋b cos(4π＋β)＝a sin α＋b cos β＝3，∵f (2017)＝a sin(2017π＋α)＋b cos(2017π＋β)＝a sin(π＋α)＋b cos(π＋β)＝－a sin α－b cos β＝－3.故答案为：－3. 19．2,0,2【解析】 【分析】分类讨论角x 的象限即可求y 的值域﹒ 【详解】当x 是第一象限角时，sin x ＞0，cos x ＞0，∵y ＝2； 当x 是第二象限角时，sin x ＞0，cos x ＜0，∵y ＝0； 当x 是第三象限角时，sin x ＜0，cos x ＜0，∵y ＝－2； 当x 是第四象限角时，sin x ＜0，cos x ＞0，∵y ＝0；∵y 的值域为{－2，0，2}． 故答案为：{－2，0，2}﹒ 20．,33ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】 【分析】利用余弦函数的定义及三角函数线即得. 【详解】如图所示，由于1coscos 332ππ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，所以在[],ππ-上1cos 2x >的解集为,33ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭． 故答案为：,33ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭21．(1)负 (2)负 (3)负 (4)正 (5)负 (6)负 【解析】 【分析】由角的终边的位置和三角函数的符号规律逐个判断即可． (1)解：因为186︒为第三象限角，所以sin186︒为负； (2)解：因为505︒为第二象限角，所以tan505︒为负； (3)解：因为7.66 1.6πππ=+为第四象限角，所以sin7.6π为负； (4) 解：因为23644πππ-=-+为第一象限角，所以23tan()4π-为正； (5)解：因为940720220︒=︒+︒为第三象限角，所以cos940︒为负； (6) 解：因为59941717πππ-=-+为第二象限角，所以59cos 17π⎛⎫- ⎪⎝⎭为负． 22．答案见详解 【解析】 【分析】直接根据三角函数的定义sin ,cos ,tan y x yr r xααα===求解即可. 【详解】（110，则638463sin ,cos ,tan 10510584ααα；（22，则11313sin ,cos ,tan 22233ααα；（3=则12121sin ,cos ,tan 122122ααα；（42， 则20sin 1,cos 0,tan 22ααα不存在；23．答案见详解. 【解析】 【分析】利用特殊角的三角函数值即可求解. 【详解】24．（1）1717117sin ,tan 3323πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（2）212121sintan 142424πππ=-=-=. （3）2312323sin ,cos tan 6266πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ （4）1sin1500,tan15002︒︒︒=== 【解析】（1）根据任意角的表示,将173π-化为[)0,2π的角,即可求得三角函数值. （2）根据任意角的表示,将214π化为[)0,2π的角,再结合诱导公式即可求三角函数的值. （3）根据任意角的表示,将236π-化为[)0,2π的角,即可求得三角函数值. （4）根据任意角的表示,将1500︒化为)0,360⎡⎣的角,即可求得三角函数值.【详解】（1）根据任意角的表示,将173π-化为[)0,2π的角可得17633πππ-=-+,17sin sin 33ππ⎛⎫∴-== ⎪⎝⎭,171cos cos 332ππ⎛⎫-== ⎪⎝⎭,17tan tan 33ππ⎛⎫-== ⎪⎝⎭（2）根据任意角的表示,将214π化为[)0,2π的角可得215444πππ=+ 结合诱导公式可求得215sin sin sin 444πππ∴==-=215coscos cos 444πππ==-=215tan tan tan 1444πππ===（3）根据任意角的表示,将236π-化为[)0,2π的角可得23466πππ-=-+ 231sin sin 662ππ⎛⎫∴-== ⎪⎝⎭23cos cos 66ππ⎛⎫-= ⎪⎝⎭23tan tan 66ππ⎛⎫-==⎪⎝⎭（4）根据任意角的表示,将1500︒化为)0,360⎡⎣的角可得1500436060︒︒︒=⨯+sin1500sin 60︒︒=∴=1cos1500cos602︒︒==tan1500tan 60︒︒=【点睛】本题考查了任意角三角函数值的求法,将任意角化为[)0,2π或)0,360⎡⎣的角再求值,属于基础题.25． 【解析】 【分析】在3y x =-上任取两点，一点在二象限，一点在四象限，根据任意角三角函数的定义即可求解. 【详解】在y ＝－3x 上取点()11,3,P -111131OP r r r αα-=======2sin 3cos αα+==在y ＝－3x 上取()21,3,P -22OP r αα====2sin 3cos αα+=于是2sin 3cos αα+=． 26．(1)4a =-，3tan 4α=-；(2)1115-. 【解析】 【分析】（1）根据三角函数的定义求出a ，进而求出tan α；（2）先通过诱导公式对原式化简，进而进行弦化切，然后结合（1）求出答案. (1)由题意得：4cos 5α==-，解得4a =-，所以3tan 4α=-. (2)原式32sin 2cos tan 211433cos sin 3tan 1534αααααα+-+-+====--+-+--. 27．见解析 【解析】 【详解】试题分析：利用三角函数的定义，求得y=cosα，tanα的值．试题解析：sin yα==，即25y=，y=当y=cosα==，sintancosααα==；当y=cosα==sintancosααα==考点：三角函数的定义．28．【解析】【分析】（1）先用诱导公式化简，再用同角三角函数的平方关系求解；（2）先用诱导公式化简，再代入特殊三角函数值计算即可.(1)()()()7sin cos cos tan2sin cos22ππαααπαππαα⎛⎫+-+-⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()2 sin cos sin tan sin sinsin tan sincos sin cos cos ααααααααααααα--===⨯=2211coscosαα--==；(2)tan210sin330sin120sin240cos315sin135︒︒︒︒+︒︒︒()()()() tan18030sin3603018030sin18060=+︒︒-︒︒-︒︒-︒()()()sin18060cos36045sin18045++-︒︒︒-︒︒︒())()tan30sin30cos30sin60sin60cos45sin45 =︒-︒-︒︒+-︒︒︒12===．29【解析】【分析】 由函数周期性和奇偶性可得5523333f f f f πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，而当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()sin f x x =，从而可求出答案【详解】解：因为()f x 的最小正周期是π，且为偶函数， 所以5523333f f f f πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 因为当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()sin f x x =，所以sin 33f ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭所以53f π⎛⎫= ⎪⎝⎭【点睛】此题考查了利用函数的周期性和奇偶性求值，属于基础题.30．(1)见解析(2)见解析【解析】根据正弦线､余弦线和正切线的定义作图．【详解】解:(1)设3π的终边与单位圆交于点P ,过1,0A 作垂直于x 轴的直线交3π的终边于点T ,过P 作PM x ⊥轴,交x 轴于M ,如图(1)所示,则MP 是正弦线,OM 是余弦线,AT 是正切线.(1) (2)(2)同(1),过1,0A 作垂直于x 轴的直线,交54π的终边的反向延长线于点T ,如图(2)所示,则MP 是正弦线,OM 是余弦线,AT 是正切线.【点睛】本题考查三角函数线，掌握三角函数线的定义是解题基础．注意正切线的起点是单位圆与x 轴正半轴交点．31．(1)3|22,44k k k Z ππαπαπ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭； (2)5|22,33k k k Z ππαπαπ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭. 【解析】【分析】根据正余弦的函数值，在单位圆中画出对应角的范围即可知α的集合.(1)由下图知：当sin α≥2时，角α满足的集合为3|22,44k k k Z ππαπαπ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭.(2)由下图知：当cos α≤12时，角α满足的集合为5|22,33k k k Z ππαπαπ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭.32．（1）234）【解析】利用诱导公式将任意角的三角函数转化为锐角三角函数，即可得到答案.【详解】(1)()cos225cos 18045cos45︒︒︒︒=+=-=(2)822sin sin 2sin sin sin 33333πππππππ⎛⎫⎛⎫=+==-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(3)1616sin sin sin 5sin 3333πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=-+=--= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ (4)()()()tan 2040tan2040tan 6360120tan120tan 18060︒︒︒︒︒︒︒-=-=-⨯-==-tan60︒=-=【点睛】本题考查诱导公式的应用，考查运算求解能力，求解时注意三角函数在各个象限的符号.33．（1）10-；（2）15；（3）12-；（4）94- 【解析】（1）根据三角函数定义,分别求得()sin 90,sin 0,sin 270,cos180︒︒︒︒-的值,代入即可求解.（2）根据三角函数定义,分别求得cos 270,sin 0,tan 0,cos360︒︒︒︒的值,代入即可求解. （3）根据三角函数定义,分别求得3cos,tan ,tan ,sin ,cos ,cos 246662ππππππ的值,代入即可求解.（4）根据三角函数定义,分别求得3sin,cos ,tan 323πππ的值,代入即可求解. 【详解】（1）根据三角函数定义可得()6sin 903sin 08sin 27012cos180︒︒︒︒-+-+6(1)308(1)12(1)10=⨯-+⨯-⨯-+⨯-=- （2）根据三角函数定义可得10cos 2704sin 09tan 015cos360︒︒︒︒+++100409015115=⨯+⨯+⨯+⨯=（3）根据三角函数定义可得22332cos tan tan sin cos cos 2446662ππππππ-+-++223112010422=⨯-+⨯-++=-⎝⎭⎝⎭ （4）根据三角函数定义可得2423sin cos tan 323πππ+- 242904=+-=-⎝⎭【点睛】本题考查了特殊角三角函数值的计算求值,属于基础题.34．（1）|,6x x k k Z ππ⎧⎫=-+∈⎨⎬⎩⎭（2）|,4x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭（3）|2,6x x k k Z ππ⎧⎫=±+∈⎨⎬⎩⎭（4）|,4x x k k Z ππ⎧⎫=±+∈⎨⎬⎩⎭【解析】（1）、（2）由正切函数的图象和性质，特殊角的三角函数值，可得（1）、（2）的解集；（3）运用诱导公式可得cos x =，再由余弦函数的图象和性质，可得所求集合；（4）求得sin x = 【详解】(1)由10x =得tan x =解得：,6x k k Z ππ=-∈ 所以所求集合为|,6x x k k Z ππ⎧⎫=-+∈⎨⎬⎩⎭(2) tan 10x -=得tan 1x = 解得：+,4x k k Z ππ=∈ 所以所求集合为|,4x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭(3) cos()x π-=得cos x = 解得：26x k ππ=±+所以所求集合为|2,6x x k k Z ππ⎧⎫=±+∈⎨⎬⎩⎭(4) 22sin 1x =得sin x = 解得：24x k ππ=+或324k ππ+或524k ππ+或724k ππ+. 所以所求集合为4|,{x x k ππ=+或4x k ππ=-+，}k Z ∈【点睛】 本题考查三角函数的方程的解法，注意运用特殊角的三角函数值和三角函数的周期，考查运算能力，属于基础题．35．（1）112；(2) 【解析】【分析】（1）由题得p ⎛ ⎝⎭，再由三角函数的坐标定义求tan α的值；（2）先化简得原式=tan tan tan 1ααα-+，再代入tan α的值即得解. 【详解】（1）由题得p ⎛ ⎝⎭，所以tan 1α=. （2）()()()()cos sin sin 2119sin 2cos cos sin 22παπαπαπππαααα⎛⎫+-- ⎪-⎝⎭-++-⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ sin sin sin tan =tan sin cos sin cos tan 1αααααααααα-⋅-=--⋅++ 11=122-=. 【点睛】本题主要考查三角函数的坐标定义，考查诱导公式的化简求值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.36．（1）0；（2）答案见解析.【解析】【分析】（1）直接利用诱导公式化简计算即可，（2）分n 为奇数和n 为偶数，利用诱导公式化简计算即可【详解】（1）23422cos cos cos cos cos cos cos 5555555ππππππππ⎛⎫+++=++-+ ⎪⎝⎭ 22cos cos cos cos cos 055555ππππππ⎛⎫-=+--= ⎪⎝⎭． （2）∵当n 为奇数时，原式24sin cos 33ππ⎛⎫⎛⎫=-⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ sin cos 33ππππ⎛⎫⎛⎫=-⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1sin cos 332ππ=-⋅==； ∵当n 为偶数时，原式24sin cos 33ππ=-⋅ sin cos 33ππππ⎛⎫⎛⎫=--⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin cos 33ππ=⋅= 37．0【解析】【分析】直接利用三角函数的诱导公式化简求值．【详解】因为()()10575180αα︒-+︒+=︒，()()157590αα︒-++︒=︒， 所以()()cos 105cos 18075αα︒-=︒-︒+⎡⎤⎣⎦()1cos 753α=-︒+=-， ()()sin 15sin 9075αα︒-=︒-+︒⎡⎤⎣⎦()1cos 753α=︒+=． 所以()()11cos 105sin 15033αα︒-+︒-=-+=． 38．（1）证明见解析；（2）34π；（3）证明见解析. 【解析】【分析】利用A B C π++=和诱导公式即可获解.【详解】（1）在ABC 中，∵A B C π++=，∵A B C π+=-. ∵sin()sin()sin A B C C π+=-=（2）cos cos()cos()A A B C π=--=-+=，34A π∴= （3）3tan tan tan tan tan 44444A B C C C C πππππ+---+⎛⎫==-=-+=- ⎪⎝⎭。
高考数学真题 三角函数的概念、同角三角函数的基本关系式和诱导公式
专题四 三角函数与解三角形4.1 三角函数的概念、同角三角函数的基本关系式和诱导公式考点 三角函数的概念、同角三角函数的基本关系式和诱导公式1.(2018北京文,7,5分)在平面直角坐标系中,AB⏜,CD ⏜,EF ⏜,GH ⏜是圆x 2+y 2=1上的四段弧(如图),点P 在其中一段上,角α以Ox 为始边,OP 为终边.若tan α<cos α<sin α,则P 所在的圆弧是( )A.AB⏜ B.CD ⏜ C.EF ⏜ D.GH ⏜ 答案 C 本题主要考查三角函数的概念,同角三角函数的基本关系式.若点P 在AB⏜或CD ⏜(不包含端点A,D)上,则角α在第一象限,此时tan α-sin α=tan α(1-cos α)>0,与tan α<sin α矛盾,故排除A,B.若点P 在GH ⏜(不包含端点G)上,则角α在第三象限,此时tan α>0,cos α<0,与tan α<cos α矛盾,故排除D,故选C.2.(2014课标Ⅰ文,2,5分)若tan α>0,则( )A.sin α>0B.cos α>0C.sin 2α>0D.cos 2α>0答案 C 由tan α>0得α是第一或第三象限角,若α是第三象限角,则A,B 错;由sin 2α=2sin αcos α知sin 2α>0,C 正确;α取π3时,cos 2α=2cos 2α-1=2×(12)2-1=-12<0,D 错.故选C.评析 本题考查三角函数值的符号,判定时可运用基本知识、恒等变形及特殊值等多种方法,具有一定的灵活性.3.(2014大纲全国文,2,5分)已知角α的终边经过点(-4,3),则cos α=( ) A.45B.35C.-35D.-45答案 D 由三角函数的定义知cos α=√(-4)2+32=-45.故选D.4.(2011课标,理5,文7,5分)已知角θ的顶点与原点重合,始边与x 轴的正半轴重合,终边在直线y=2x 上,则cos 2θ=( )A.-45B.-35C.35D.45答案 B 解法一:由三角函数定义知,tan θ=2,则cos 2θ=cos 2θ-sin 2θcos 2θ+sin 2θ=1-tan 2θ1+tan 2θ=-35.解法二:由三角函数定义知,tan θ=2,即sin θ=2cos θ,则sin 2θ=4cos 2θ.从而有cos 2θ=15.故cos 2θ=2cos 2θ-1=-35.5.(2015福建文,6,5分)若sin α=-513,且α为第四象限角,则tan α的值等于( ) A.125 B.-125 C.512 D.-512答案 D ∵sin α=-513,α为第四象限角, ∴cos α=√1-sin 2α=1213,∴tan α=sinαcosα=-512.故选D. 6.(2014课标Ⅰ理,8,5分)设α∈(0,π2),β∈(0,π2),且tan α=1+sinβcosβ,则( ) A.3α-β=π2B.3α+β=π2C.2α-β=π2D.2α+β=π2答案 C 由tan α=1+sinβcosβ得sinαcosα=1+sinβcosβ,即sin αcos β=cos α+sin βcos α,所以sin(α-β)=cos α,又cos α=sin (π2-α),所以sin(α-β)=sin (π2-α),又因为α∈(0,π2),β∈(0,π2),所以-π2<α-β<π2,0<π2-α<π2,因此α-β=π2-α,所以2α-β=π2,故选C.7.(2014大纲全国理,3,5分)设a=sin 33°,b=cos 55°,c=tan 35°,则( )A.a>b>cB.b>c>aC.c>b>aD.c>a>b 答案 C ∵b=cos 55°=sin 35°>sin 33°=a,∴b>a. 又∵c=tan 35°=sin35°cos35°>sin 35°=cos 55°=b,∴c>b.∴c>b>a.故选C.8.(2013浙江理,6,5分)已知α∈R,sin α+2cos α=√102,则tan 2α=( )A.43B.34C.-34D.-43答案 C (sin α+2cos α)2=52,展开得3cos 2α+4sin αcos α=32,再由二倍角公式得32cos 2α+2sin 2α=0,故tan 2α=sin2αcos2α=-322=-34,选C.评析 本题考查同角三角函数的基本关系式和三角恒等变换,考查转化与化归思想,考查学生灵活应用公式的能力和运算求解能力.三角函数求值问题关键在于观察角与角之间的关系和三角函数名之间的关系. 9.(2013大纲全国文,2,5分)已知α是第二象限角,sin α=513,则cos α=( ) A.-1213 B.-513 C.513 D.1213答案 A ∵α是第二象限角,∴cos α<0. ∴cos α=-√1-sin 2α=-1213.故选A. 评析 本题考查三角函数值在各象限的符号,同角三角函数关系,属容易题. 10.(2013广东文,4,5分)已知sin (5π2+α)=15,那么cos α=( ) A.-25 B.-15 C.15 D.25答案 C ∵sin (5π2+α)=sin (π2+α)=cos α,∴cos α=15.故选C. 11.(2016课标Ⅲ,5,5分)若tan α=34,则cos 2α+2sin 2α=( ) A.6425 B.4825 C.1 D.1625答案 A 当tan α=34时,原式=cos 2α+4sin αcos α=cos 2α+4sinαcosαsin 2α+cos 2α=1+4tanαtan 2α+1=1+4×34916+1=6425,故选A.思路分析 利用二倍角公式将所求式子展开,再将其看成分母为1的式子,并用sin 2α+cos 2α代替1,然后分子、分母同除以cos 2α,得到关于tan α的式子,由此即可代值求解.12.(2011江西文,14,5分)已知角θ的顶点为坐标原点,始边为x 轴的正半轴.若P(4,y)是角θ终边上一点,且sin θ=-2√55,则y= . 答案 -8解析 P(4,y)是角θ终边上一点,由三角函数的定义知sin θ=√,又sin θ=-2√55,∴√=-2√55,解得y=-8.评析 本题主要考查任意角三角函数的定义,考查运算求解能力,由题意得√=-2√55是本题求解的关键.13.(2016四川文,11,5分)sin 750°= . 答案12解析 sin 750°=sin(720°+30°)=sin 30°=12. 解后反思 利用诱导公式把大角化为小角. 评析 本题考查了三角函数的诱导公式.14.(2013课标Ⅱ理,15,5分)设θ为第二象限角,若tan (θ+π4)=12,则sin θ+cos θ= . 答案 -√105解析 tan θ=tan [(θ+π4)-π4]=12-11+12=-13,∴sin θ=-13cos θ,将其代入sin 2θ+cos 2θ=1得109cos 2θ=1,∴cos 2θ=910,又易知cos θ<0,∴cos θ=-310√10,∴sin θ=√1010,故sin θ+cos θ=-√105.。
三角函数--2023高考真题分类汇编完整版
三角函数--高考真题汇编第一节三角函数概念、同角三角函数关系式和诱导公式1.（2023全国甲卷理科7）“22sin sin 1αβ+=”是“sin cos 0αβ+=”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【分析】根据充分条件、必要条件概念及同角三角函数的基本关系得解.【解析】当2απ=，0β=时，有22sin sin 1αβ+=，但sin cos 0αβ+≠，即22sin sin 1αβ+=推不出sin cos 0αβ+=；当sin cos 0αβ+=时，()2222sin sin cos sin 1αβββ+=-+=，即sin cos 0αβ+=能推出22sin sin 1αβ+=.综上可知，22sin sin 1αβ+=是sin cos 0αβ+=成立的必要不充分条件.故选B.2.（2023北京卷13）已知命题:p 若,αβ为第一象限角，且αβ>，则tan tan αβ>.能说明p 为假命题的一组,αβ的值为α=；β=.【分析】根据正切函数单调性以及任意角的定义分析求解.【解析】因为()tan f x x =在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，若00π02αβ<<<，则00tan tan αβ<，取1020122π,2π,,k k k k ααββ=+=+∈Z ，则()()100200tan tan 2πtan ,tan tan 2πtan k k αααβββ=+==+=，即tan tan αβ<，令12k k >，则()()()()102012002π2π2πk k k k αβαβαβ-=+-+=-+-，因为()1200π2π2π,02k k αβ-≥-<-<，则()()12003π2π02k k αβαβ-=-+->>，即12k k >，则αβ>.不妨取1200ππ1,0,,43k k αβ====，即9ππ,43αβ==满足题意.故答案为：9ππ;43.第二节三角恒等变换1.（2023新高考I 卷6）过点()0,2-与圆22410x y x +--=相切的两条直线的夹角为α，则sin α=（）A.1B.154C.104D.64【解析】()222241025x y x x y +--=⇒-+=，所以圆心为()2,0B ，记()0,2A -，设切点为,M N ，如图所示.因为AB =，BM =，故AM =cos cos2AM MAB AB α=∠==，sin 2α=，15sin 2sincos 2224ααα==⨯.故选B.2.（2023新高考I 卷8）已知()1sin 3αβ-=，1cos sin 6αβ=，则()cos 22αβ+=（）A.79B.19 C.19-D.79-【解析】()1sin sin cos cos sin 3αβαβαβ-=-=，1cos sin 6αβ=，所以1sin cos 2αβ=，所以()112sin sin cos cos sin 263αβαβαβ+=+=+=，()()()2221cos 22cos 212sin 1239αβαβαβ⎛⎫+=+=-+=-⨯= ⎪⎝⎭.故选B.3.（2023新高考II 卷7）已知α为锐角，1cos 4α+=，则sin 2α=（）A.38- B.18-+ C.34- D.14-+【解析】21cos 12sin 24αα+=-=，所以2231sin 284α⎫-==⎪⎪⎝⎭，则1sin24α-=或1sin 24α=.因为α为锐角，所以sin02α>，15sin24α-=舍去，得51sin 24α-=.故选D.第三节三角函数的图像与性质1.（2023新高考II 卷16）已知函数()()sin f x x ωϕ=+，如图所示，A ，B 是直线12y =与曲线()y f x =的两个交点，若π=6AB ，则()πf =_______.【解析】sin y x =的图象与直线12y =两个相邻交点的最近距离为2π3，占周期2π的13，所以12ππ36ω⋅=，解得4ω=，所以()()sin 4f x x ϕ=+.再将2π,03⎛⎫⎪⎝⎭代入()()sin 4f x x ϕ=+得ϕ的一个值为2π3-，即()2πsin 43f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.所以()2π3πsin 4π32f ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭.2.（2023全国甲卷理科10，文科12）已知()f x 为函数cos 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭向左平移6π个单位所得函数，则()y f x =与1122y x =-交点个数为（）A.1B.2C.3D.4【解析】因为函数πcos 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭向左平移π6个单位可得()sin 2.f x x =-而1122y x =-过10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭与()1,0两点，分别作出()f x 与1122y x =-的图像如图所示，考虑3π3π7π2,2,2222x x x =-==，即3π3π7π,,444x x x =-==处()f x 与1122y x =-的大小关系，结合图像可知有3个交点.故选C.3.（2023全国乙卷理科6，文科10）已知函数()()sin f x x ωϕ=+在区间2,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，直线6x π=和23x π=为函数()y f x =的图像的两条对称轴，则512f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A. B.12-C.12【解析】2222362T T ωωππππ=-=⇒=π=⇒=，所以()()sin 2.f x x ϕ=+又222,32k k ϕππ⋅+=+π∈Z ，则52,6k k ϕπ=-+π∈Z .所以5555sin 22sin 121263f k π⎡ππ⎤π⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=⋅--+π=-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦故选D.【评注】本题考查了三角函数图像与性质，当然此题也可以通过画图快速来做，读者可以自行体会.4.（2023全国乙卷理科10）已知等差数列{}n a 的公差为23π，集合{}*cos n S a n =∈N ，若{},S a b =，则ab =（）A.1- B.12-C.0D.12【解析】解法一（利用三角函数图像与性质）因为公差为23π，所以只考虑123,,a a a ，即一个周期内的情形即可.依题意，{}{}cos ,n S a a b ==，即S 中只有2个元素，则123cos ,cos ,cos a a a 中必有且仅有2个相等.如图所示，设横坐标为123,,a a a 的点对应图像中123,,A A A 点.①当12cos cos a a =时，且2123a a π-=，所以图像上点的位置必为如图1所示，12,A A 关于x =π对称，且1223A A π=，则1233a ππ=π-=，2433a ππ=π+=，32a =π.所以11122ab ⎛⎫=-⨯=- ⎪⎝⎭.②当13cos cos a a =时，3143a a π-=，所以图像上点的位置必为如图2所示，13,A A 关于x =π对称，且1343A A π=，则133a 2ππ=π-=，3533a 2ππ=π+=，2a =π.所以()11122ab =⨯-=-.综上所述，12ab =-.故选B.解法二（代数法）()()11113n a a n d a n 2π=+-=+-，21cos cos 3a a 2π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，31cos cos 3a a 4π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由于{}{}*cos ,n S a n a b =∈=N ，故123cos ,cos ,cos a a a 中必有2个相等.①若121111cos cos cos cos 322a a a a a 2π⎛⎫==+=-- ⎪⎝⎭，即113cos 22a a =-，解得11cos 2a =或11cos 2a =-.若11cos 2a =，则1sin a =，3111113cos cos cos 132244a a a a 4π⎛⎫=+=-+=--=- ⎪⎝⎭，若11cos 2a =-，则1sin a =，3111113cos cos cos 13244a a a a 4π⎛⎫=+=-=+= ⎪⎝⎭，故131cos cos 2a a ab ==-.②若131111cos cos cos cos sin 322a a a a a 4π⎛⎫==+=-+ ⎪⎝⎭，得113cos 2a a =，解得11cos 2a =或11cos 2a =-.当11cos 2a =时，1sin a =，21111313cos cos cos 132244a a a a 2π⎛⎫=+=--=--=- ⎪⎝⎭，当11cos 2a =-时，1sin a =213cos 144a =+=，故121cos cos 2a a ab ==-.③若23cos cos a a =，与①类似有121cos cos 2a a ab ==-.综上，故选B.5.（2023北京卷17）已知函数()sin cos cos sin ,0,2f x x x ωϕωϕωϕπ=+><.（1）若()0f =，求ϕ的值；（2）若()f x 在区间2,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，且213f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数()f x 存在，求,ωϕ的值.条件①：3f π⎛⎫= ⎪⎝⎭；条件②：13f π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭；条件③：()f x 在,23ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减.注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.【分析】（1）把0x =代入()f x 的解析式求出sin ϕ，再由π||2ϕ<即可求出ϕ的值；（2）若选条件①不合题意；若选条件②，先把()f x 的解析式化简，根据() f x 在π2π,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦-上的单调性及函数的最值可求出T ，从而求出ω的值；把ω的值代入()f x 的解析式，由π13f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭和π||2ϕ<即可求出ϕ的值；若选条件③：由() f x 的单调性可知() f x 在π3x =-处取得最小值1-，则与条件②所给的条件一样，解法与条件②相同．【解析】（1）因为π()sin cos cos sin ,0,||2f x x x ωϕωϕωϕ=+><所以()()3(0)sin 0cos cos 0sin sin 2f ωϕωϕϕ=⋅+⋅==-，因为π||2ϕ<，所以π3ϕ=-.（2）因为π()sin cos cos sin ,0,||2f x x x ωϕωϕωϕ=+><，所以()π()sin ,0,||2f x x ωϕωϕ=+><，所以() f x 的最大值为1，最小值为1-.若选条件①：因为()()sin f x x ωϕ=+的最大值为1，最小值为1-，所以π3f ⎛⎫= ⎪⎝⎭无解，故条件①不能使函数()f x 存在；若选条件②：因为() f x 在π2π,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦-上单调递增，且2π13f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，π13f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，所以2πππ233T ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭,所以2πT =,2π1Tω==,所以()()sin f x x ϕ=+，又因为π13f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，所以πsin 13ϕ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭，所以ππ2π,32k k ϕ-+=-+∈Z ，所以π2π,6k k ϕ=-+∈Z ，因为||2ϕπ<，所以π6ϕ=-.所以1ω=，π6ϕ=-；若选条件③：因为() f x 在π2π,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦-上单调递增，在ππ,23⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减，所以() f x 在π3x =-处取得最小值1-，即π13f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭.以下与条件②相同．第四节解三角形1.（2023全国甲卷理科16）在ABC △中，2AB =，60BAC ∠=︒，BC =D 为BC 上一点，AD 平分BAC ∠，则AD =.【解析】如图所示，记,,,AB c AC b BC a ===由余弦定理可得22222cos606b b +-⨯⨯⨯︒=，解得1b =（负值舍去）.由ABC ABD ACD S S S =+△△△可得，1112sin602sin30sin30222b AD AD b ⨯⨯⨯︒=⨯⨯⨯︒+⨯⨯⨯︒，解得1212bAD b +===+.2.（2023全国甲卷文科17）记ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知2222cos b c a A+-=.（1）求bc .（2）若cos cos 1cos cos a B b A ba Bb A c--=，求ABC △面积.3.（2023全国乙卷理科18）在ABC △中，120BAC ∠=︒，2AB =，1AC =.（1）求sin ABC ∠；（2）若D 为BC 上一点，且90BAD ∠=︒，求ADC △的面积.【解析】（1）利用余弦定理可得2222cos 14212cos120527BC AC AB AC AB BAC =+-⋅∠=+-⨯⨯⨯︒=+=.故BC =.又由正弦定理可知sin sin BC ACBAC ABC=∠∠.故sin sin14AC BAC ABC BC ⋅∠∠====.（2）由（1）可知tan ABC ∠=在Rt BAD △中，tan 2AD AB ABC =⋅∠=⨯=故1122255ABD S AB AD =⨯⨯=⨯⨯=△，又11sin 21sin120222ABC S AB AC BAC =⨯⨯⨯∠=⨯⨯⨯︒=△，所以2510ADC ABC ABD S S S =-=-=△△△.5.（2023新高考I 卷17）已知在ABC △中，3A B C +=，()2sin sin A C B -=.（1）求sin A ；（2）设=5AB ，求AB 边上的高.【解析】（1）解法一因为3A B C +=，所以4A B C C ++==π，所以4C π=，2sin()sin()A C A C -=+2sin cos 2cos sin sin cos cos sin A C A C A C A C⇒-=+sin cos 3cos sin A C A C ⇒=tan 3tan 3sin A C A ⇒==⇒=解法二因为3A B C +=，所以4A B C C ++==π，所以4C π=，所以4A B 3π+=，所以4B A 3π=-，故2sin()sin()4AC A 3π-=-，即2sin cos 2cos sin sin cos cos sin 4444A A A A ππ3π3π-=-，得sin 3cos A A =.又22sin cos 1A A +=，()0,A ∈π，得310sin 10A =.（2）若||5AB =.如图所示，设AC 边上的高为BG ，AB 边上的高为CH ，||CH h =，由（1）可得10cos 10A =，||||cos ||102AG AB A AB =⋅==，||||2BG CG ===，所以||AC =，||||2||6||5AC BG CH AB ===.6.（2023新高考II 卷17）记ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知ABC △的面，D 为BC 的中点，且1AD =.（1）若π3ADC ∠=，求tan B ；（2）若228b c +=，求,b c .【解析】（1）依题意，122ADC ABC S S ==△△，133sin 242ADC S AD DC ADC =⋅⋅∠==△，解得2DC =，2BD =.如图所示，过点A 作AE BC ⊥于点E .因为60ADC ∠= ，所以12DE =,32AE =,则15222BE =+=，所以3tan 5AE B BE ==.（2）设AB = c ，AC = b ，由极化恒等式得2214AB AC AD BC ⋅- =，即2114⋅--b c =b c ，化简得()22244⋅-+=-b c =b c ，即cos cos 2BAC bc BAC ⋅⋅∠=∠=-b c =b c ①，又1sin 2ABC S bc BAC =∠=△，即sin bc BAC ∠=.②①得tan BAC ∠=0πBAC <∠<得2π3BAC ∠=，代入①得4bc =，与228b c +=联立可得2b c ==.7.（2023北京卷7）在ABC △中，()()()sin sin sin sin a c A C b A B +-=-，则C ∠=（）A.6π B.3π C.32π D.65π【分析】利用正弦定理的边角变换与余弦定理即可得解.【解析】因为()(sin sin )(sin sin )a c A C b A B +-=-，所以由正弦定理得()()()a c a c b a b +-=-，即222a c ab b -=-，则222a b c ab +-=，故2221cos 222a b c ab C ab ab +-===，又0πC <<，所以π3C =.故选B.。
三角函数复习(同角三角函数基本关系与诱导公式)
三角函数复习（同角三角函数基本关系与诱导公式）. （2）商数关系：sin αcos α＝tan α.1．同角三角函数的基本关系（1）平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1（3）倒数关系：tan α=co 1t∝2.六组诱导公式（1）诱导公式的记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限． （2）同角三角函数基本关系式的常用变形：(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α； (sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2＝2； (sin α＋cos α)2－(sin α－cos α)2＝4sin αcos α. 二、课前自测1. tan 等于 ( ) A. √B. √C.√D.√2. 若 α=1，α ./，则 tanα 等于 ( )A.√B.√C. √D. √3. 已知 tanα= 1，且 α 为第二象限角，则 nα 的值为 ( )A. 1B. 11C.1D.14. .1 / n.1/= ．5. 已知 tanα= ，则的值为 ．三、典型例题1. 已知 α 是三角形的内角，且 nα α=1．Ⅰ求tanα的值；Ⅱ把1用tanα表示出来，并求其值；Ⅲ求：的值；Ⅳ求 nα nα α的值．2. （1） n()() n()=；（2）已知 .α/=√，则 .α/ n.α/的值为．（3）已知 n.1 α/=，则 .α111/=．（4）若 .α/=1，则 n.α/=．3. （1）已知=()()()，则的值构成的集合是()A. *+B. *+C. *+D. *+（2）()() . /()()=．（3）已知α为第三象限角，(α)= . / . / ()()()．Ⅰ化简(α)；Ⅱ若 .α/=1，求(α)的值．同角三角函数基本关系式与诱导公式答案课前自测 1. D 2. C 3. C4. √5. 1典型例题1. （1） 解法一： 联立 { nα α=1n αα=由 得 α=1nα， 将其代入 ，整理得 n α nα = ． 因为 α 是三角形的内角， 所以 nα=，所以 α=， 所以 tanα=． 解法二：因为 nα α=1，所以 ( nα α)=.1 /，则 nα α=1，所以 nα α=，所以 ( nα α) = nα α==． 因为 nα α= 1且 α ， 所以 nα ， α ， 所以 nα α ． 所以 nα α= ．由 { nα α=1nα α=得 { nα=α=所以 tanα= ．（2）1 === 11因为tanα=，所以α nα=tanαtanα=. /. /=（3）tanα=，则：==. /=．（4）nα nα α==1=1=2. （1）；（2）√（3）（4）. 13. （1）C 【解析】当为偶数时，==；当为奇数时，==．所以的值构成的集合是*+．（2）.【解析】原式=0 ./1 ( ), ( )-=./( ) =( ) ===（3）(α)= . / ./ ( ) ( ) ( )=( ) ( )( )= α（4） 因为 .α/=1， 所以 nα=1，从而 nα= 1． 又 α 为第三象限角， 所以 α= √ n α= √，所以 (α)= √．同角三角函数基本关系式与诱导公式课堂练习与作业一、选择题（共7小题；共35分） 1. n 的值为 ( ) A. 1B. √C.D. √2. 已知 ./=√，且，则 tan = ( )A. √B. √C. √D. √3. 若 α 是第三象限角，且 tanα=1，则 α= ( )A. √11B.√11C.√11D. √114. 在 中，若 tan = 则 = ( )A. √B. √C. √D. √5. 已知 n ( )= n./ 则 n = ( )A.B.C. 或D. 16. 已知 (α)=( ) ( )( )，则 .1/ 的值为 ( )A. 1B. 1C. 1D. 17. 已知函数 ( )= n ( α) ( )，且 ( )= ，则 ( ) 的值为 ( )A. B. C. D.二、填空题（共1小题；共5分）8. 已知α为锐角，且 tan(α) . /=，tan(α) n()=，则 nα的值是．三、解答题（共2小题；共26分）9. 已知 n(α)= n.α/，求下列各式的值：（1）；（2） nα nα α．10. 已知 n(α)(α)=√.α /，求下列各式的值．（1） nα α；（2） n.α/.α/．答案第一部分1. A【解析】 n = n ( ) ( )= n ( )= n =1 1=12. D 【解析】 ./= n =√，又，则 =1，所以 tan =√ ．3. C【解析】因为 α 是第三象限角，且 tanα= =1， n α α= ，所以 α= √1 1．4. B【解析】在 中，当 tan = 时， ./，所以 =√1=√= √． 5. B【解析】由已知等式得 n = ， 所以 n = = ，所以 =1，故 n = =． 6. C【解析】因为 (α)== α，所以 . 1/= .1/= ./== 1．7. c【解析】因为 ( )= n ( α) ( )= nα = ，所以( )= n ( α) ( )= n (α) ( )=第二部分 8. √1 1【解析】由已知可得 tanα n = ，tanα n = ， 解得 tanα= ， 又 α 为锐角，故 nα= √11． 第三部分9. （1） 解法一：由 n ( α)= n.α/ 得 tanα= ．原式=== 1．解法二：由已知得 nα= α．原式==1．（2）解法一：原式==1=．解法二：原式===．10. （1）由 n(α)(α)=√，得 nα α=√．将两边平方，得 nα α=，故 nα α=．又α，所以 nα， α．( nα α)= nα α= . /=1 ，所以 nα α=．（2） n.α/.α/=α nα=( α nα)(α α nα nα)= .1/=。
2月2日《三角函数》题型归纳与训练参考答案
π 2
sin
2
x
π 4
y
sin
2x
2π 3
sin
2
x
π 3 ．
注意
的系数，在右平移需将
2
提到括号外面，这时
x
π 4
平移至
x
π 3
，根据“左加右减”原则，“
x
π 4
”
x π
π
π
到“ 3 ”需加上 12 ，即再向左平移 12 ．故选 D.
【答案】（1）f(x)的最小正周期为π，最大值为2－
3,（2）f(x)在
π，5π 6 12
上单调递增；在
5π，2π 12 3
上单调递
2
减
【解析】
π－x (1)f(x)＝sin 2 sin x－
3cos2x
＝cos xsin x－
3(1＋cos 2x)＝1sin 2x－
3cos 2x－
3＝sin
2x－π 3
A． 6 5
【答案】A
B．1
C． 3 5
D． 1 5
【解析】
f
(x)
1 5
sin
x
3
sin
x
6
2
1 5
sin
x
3
sin
x
3
6 5
sin
高中数学专题7_三角函数的_概念、同角关系、诱导公式(有答案)
专题7 三角函数的概念、同角关系、诱导公式一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1. cos(2014π3)的值为（）A.1 2B.√32C.−12D.−√322. （广西柳州、玉林、梧州、贵港、贺州4月模拟）若sinα=513，且α为第二象限角，则tanα的值等于（）A.125B.−125C.512D.−5123. （合肥二次质检）在平面直角坐标系中，若角α的终边经过点P(sin5π3,cos5π3)，则sin(π+α)=（）A.−12B.−√32C.12D.√324. （福建厦门一中下学期开学考）已知sinα−2cosα=2(α≠kπ，k∈Z)，则tanα=（）A.−43B.43C.−34D.345. （吉林实验中学四模）已知α∈(0,π)，且cosα=−513，则sin(π2−α)⋅tanα=（）A.12 13B.−513C.−1213D.5136. （东北三省三校一联）已知sin(π3−α)=13，则cos(5π6−α)=（）A.1 3B.−13C.2√23D.−√237. （石家庄一模）已知cosα=k，k∈R，α∈(π2,π)，则sin(π+α)=（）A.−√1−k2 B.√1−k2 C.—k D.±√1−k28. （江西赣州摸底）已知θ∈(0,π)，sin(θ+π4)=12，则cos2θ=（）A.−12B.−√32C.12D.√329. （广州综测一）已知sin(x−π4)=35，则cos(x+π4)=（）A.4 5B.35C.−45D.−3510. （成都三诊）当α∈(π2，π)时，若sin(π−α)−cos(π+α)=√23，则sinα−cosα的值为（）A.√23B.−√23C.43D.−43二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）（兰州诊断）若sin(π4−α)=−25，则cos(π4+α)=________．（四川南充二次适应性考试）已知tanα=2，则sinα+cosαsinα−3cosα的值为________．（武汉4月调研）已知sinα=2cosα，则sinαcosα=________．（河南模拟）已知cosα=−√55，tanβ=13，π<α<32π，0<π2，则α−β的值为________．三、解答题（本大题共3小题，共30分）在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围，并由此写出角α的集合．sinα≥√32；cosα≤−12．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B，C均在单位圆上，已知点A在第一象限用横坐标是35，点B在第二象限，点C(1, 0)．设∠COA=θ，求sin2θ的值；若△AOB为正三角形，求点B的坐标．如图，在直角坐标系xOy中，角α的顶点是原点，始边与x轴正半轴重合，终边交单位圆于点A，且α∈(π6,π2)．将角α的终边按逆时针方向旋转π3，交单位圆于点B．记A(x1,y1)，B(x2,y2)．若x1=13，求x2；分别过A，B作x轴的垂线，垂足依次为C，D．记△AOC的面积为S1，△BOD的面积为S2．若S1=2S2，求角α的值．参考答案与试题解析专题7 三角函数的 概念、同角关系、诱导公式一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1.【答案】 C【考点】运用诱导公式化简求值 【解析】 此题暂无解析 【解答】 依题意得cos (2014π3)=cos (670π+4π3)=cos 4π3=−12，故选C ．本题考查三角函数基本公式．2.【答案】 D【考点】同角三角函数间的基本关系 【解析】 此题暂无解析 【解答】由于α为第二象限角，则cos α=−√1−sin 2α=−1213，故tan α=sin αcos α=−512，故选D ．【知识总结】同角三角函数的基本关系式：sin 2α+cos 2α=1，tan α=sin αcos α．本题考查同角三角函数的基本关系． 3.【答案】 A【考点】任意角的三角函数 三角函数 【解析】 此题暂无解析 【解答】由题意知，角α的终边经过点P (−√32,12)，所以sin α=12，所以sin (π+α)=−sin α=−12，故选A ．本题考查三角函数的定义、诱导公式． 4. 【答案】 A【考点】同角三角函数基本关系的运用 同角三角函数间的基本关系 【解析】 此题暂无解析 【解答】由sin a −2cos α=2和sin 2α+cos 2α=1解得sin α=45，cos α=−35，或sin α=0，cos α=−1，又α≠kπ,k ∈Z ，则sin α=45，cos α=−35，则tan α=sin αcos α=−43，故选A ． 本题的突破点是灵活应用同角三角函数的基本关系求出sin α与cos α的值． 本题考查同角三角函数的基本关系式． 5.【答案】 A【考点】三角函数的化简求值同角三角函数间的基本关系 【解析】 此题暂无解析 【解答】因为cos α=−513且α∈(0,π)，所以sin α=√1−cos 2α=1213，所以sin (π2−α)⋅tan α=cos α⋅sin αcos α=1213，故选A ．本题考查诱导公式、同角三角函数的基本关系式． 6.【答案】 B【考点】任意角的三角函数 运用诱导公式化简求值 【解析】 此题暂无解析 【解答】 cos (5π6−α)=cos (π2+π3−α)=−sin (π3−α)=−13，故选B ．【技巧点拨】当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与 “已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”． 本题考查三角函数求值问题． 7.【答案】 A【考点】三角函数的恒等变换及化简求值 同角三角函数间的基本关系直线与圆的位置关系【解析】此题暂无解析【解答】因为α∈(π2,π)，所以sinα>0，则sin(π+α)=−sinα=−√1−cos2α=−√1−k2，故选A．本题考查三角函数的诱导公式与同角三角函数的关系．8.【答案】B【考点】正弦定理三角函数的恒等变换及化简求值同角三角函数间的基本关系【解析】此题暂无解析【解答】由θ∈(0,π)知θ+π4∈(π4,5π4)，而sin(θ+π4)=12，可得θ+π4=5π6，解得θ=7π12，故cos2θ=cos7π6=−cosπ6=−√32，故选B．直接利用特殊角的三角函数值确定对应的角，这样运算起来比较简单快捷．本题考查三角函数的求解、诱导公式．9.【答案】D【考点】三角函数的化简求值运用诱导公式化简求值【解析】此题暂无解析【解答】cos(x+π4)=sin[π2−(x+π4)]=sin(π4−x)=−sin(x−π4)=−35，故选D．【一题多解】因为sin(x−π4)=√22(sin x−cos x)=35，所以sin x−cos x=3√25，所以cos(x+π4)=√22(cos x−sin x)=√22×(−3√25)=−35，故选D．本题考查诱导公式．10.【答案】C【考点】三角函数的恒等变换及化简求值【解析】此题暂无解析【解答】因为sin(π−α)−cos(π+α)=sinα+cosα=√23，所以(sinα+cosα)2=sin2α+2sinαcosα+cos2α=1+2sinαcosα=29，则2sinαcosα=−79，又因为α∈(π2,π)，所以sinα−cosα=√(sinα−cosα)2=√1−2sinαcosα=43，故选C．熟记三角函数的诱导公式进行合理的化简是解题的关键．本题考查三角函数的诱导公式、同角关系．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）【答案】−2 5【考点】运用诱导公式化简求值【解析】此题暂无解析【解答】cos(−π4+α)=sin[π2−(π4+α)]=sin(π4−α)=−25．【易错警示】利用诱导公式要注意符号与名称是否改变．本题考查诱导公式的运用．【答案】−3【考点】同角三角函数基本关系的运用同角三角函数间的基本关系【解析】此题暂无解析【解答】原式=tanα+1tanα−3=2+12−3=−3．【考向分析】三角函数求值是高考常考点，本题对同角三角函数的基本关系的考查是重要命题方向之一．本题考查同角三角函数的基本关系．【答案】25【考点】同角三角函数基本关系的运用同角三角函数间的基本关系【解析】此题暂无解析【解答】由sin α=2cos α可知tan α=2，从而sin αcos α=sin αcos αsin 2α+cos 2α=tan αtan 2α+1=25．本题考查同角三角函数的基本关系． 【答案】54π 【考点】两角和与差的正切同角三角函数间的基本关系 【解析】 此题暂无解析 【解答】因为π<α<32，cos α=−√55，所以sin α=−2√55，tan α=2，又tan β=13，所以tan (α−β)=2−131+23=1，由π<α<32π，−π2<−β<0得π2<a −β<32π，所以α−β=−54π．本题考查同角基本关系式和两角差的正切公式． 三、解答题（本大题共3小题，共30分） 【答案】 {α|2kπ+π3≤α≤2kπ+2π3, k ∈Z , } {α|2kπ+2π3≤α≤2kπ+4π3, k ∈Z }【考点】三角函数线 【解析】 此题暂无解析 【解答】 解：作直线y =√32交单位圆于A 、B 两点，连接OA ，OB ，则OA 与OB 围成的区域（图中阴影部分）即为角α的终边的范围，故满足条件的角α的集合为{α|2kπ+π3≤α≤2kπ+2π3, k ∈Z , }．作直线x =−12交单位圆于C 、D 两点，连接OC 、OD ，则OC 与OD 围成的区域（图中阴影部分）即为角α终边的范围．故满足条件的角α的集合为 {α|2kπ+2π3≤α≤2kπ+4π3, k ∈Z }．【答案】2425(3−4√310,4+3√310)【考点】求二倍角的正弦 三角函数 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：由条件cos θ=−35，∵ 点A 在单位圆上且在第一象限，∴ sin θ=45． ∴ sin 2θ=2sin θcos θ=2425．∵ △AOB 为正三角形，∴ ∠BOC =∠AOC +60∘=θ+60∘．∴ cos ∠BOC =cos (θ+60∘)=cos θcos 60∘−sin θsin 60∘=3−4√310． sin ∠BOC =sin (θ+60∘)=sin θcos 60∘+cos θsin 60∘=4+3√310． ∴ 点B 的坐标为(3−4√310,4+3√310)． 【答案】 1−2√66 α=π4【考点】任意角的三角函数三角函数【解析】此题暂无解析【解答】解：由三角函数定义得x1=cosα，x2=cos(α+π3)．因为α∈(π6,π2)，cosα=13，所以sinα=√1−cos2α=2√23，所以x2=cos(α+π3)=12cosα−√32sinα=1−2√66．依题意得y1=sinα，y2=sin(a+π3)．S1=12x1y1=12cosα⋅sinα=14sin2α，S2=12|x2|y2=12[−cos(α+π3)]⋅sin(α+π3)==−14sin(2α+2π3)，依题意得sin2α=−2sin(2α+2π3)，整理得cos2α=0．因为π6<α<−π2，所以π3<2α<π，所以2α=−π2，即α=π4．。
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三角函数的定义、诱导公式、同角三角函数的关系练习题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知角α的终边经过点P（4，-3），则的值为（）A． B． C． D．2．已知角α的始边与x轴非负半轴重合，终边在射线4x－3y＝0(x≤0)上，则cos α－sin α的值为( )A． B．C． D．3．已知角α的终边与单位圆的交点P，则sinα·tanα＝( )A．－ B．± C．－ D．±4．若tanα<0，且sinα>cosα，则α在( )A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限5．若，且，则角是（）A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角6．若，且为第二象限角，（）A． B． C． D．7．已知，则等于A ．B ．C ．D ．8．若，且为第二象限角，则（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题9．已知 ，则___________三、解答题 10．已知，且是第四象限的角。
.（1）求；（2）. 11．(1)已知,求的值；(2)已知, ,求的值.12．已知tan α2,=(1)求值: sin cos sin cos αααα+- (2)求值: ()()()()π5πsin cos cos π22cos 7πsin 2πsin παααααα⎛⎫⎛⎫+--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+-+ 13．已知角α终边上的一点()7,3P m m - ()0m ≠.（1）求()cos sin 2119cos sin 22παπαππαα⎛⎫+-- ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值； （2）求22sin cos cos ααα+-的值.14．已知0θπ<<，且1sin cos 5θθ+=，求 （1）sin cos θθ-的值；（2）tan θ的值.15．已知tan 2α=. （1）求3sin 2cos sin cos αααα+-的值； （2）求()()()()3cos cos sin 22sin 3sin cos πππαααπααππα⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+-+的值； 16．已知，计算：（1）；（2）.17．已知： 1sin cos ,0<<,5θθθπ+=且 （Ⅰ）求sin cos tan θθθ-和的值；（Ⅱ）求22sin cos 2sin cos θθθθ-的值. 18．已知求的值.19．已知,(1)求的值；(2)求的值；(3)求的值.20．已知.(1)求的值(2)求的值.21．已知，求的值；若是第三象限角，求的值．22．已知，.(1)求的值.(2)求的值.23．(1)已知，求的值；(2)已知，求的值.参考答案1．C【解析】【分析】利用任意角函数的定义求出cosα，利用三角函数的诱导公式化简求出值．【详解】∵角α的终边经过点P（4，﹣3），∴p到原点的距离为5∴sinα，cosα∴故选：C．【点睛】本题考查三角函数的定义，考查诱导公式，属于基础题.2．C【解析】【分析】利用任意角的三角函数的定义，求得cosα和sinα的值，可得cosα﹣sinα的值．【详解】角α的始边与x轴非负半轴重合，终边在射线4x－3y＝0(x≤0)上，不妨令x＝－3，则y＝－4，∴r＝5，∴cos α＝＝，sin α＝＝，则cos α－sin α＝－＋＝.故选C.【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．3．C【解析】【分析】由条件利用任意角的三角函数的定义求得tanα和sinα的值．【详解】由|OP|2＝＋y2＝1，得y2＝，y＝。
得y＝时，sinα＝，tanα＝，此时，sinα·tanα＝。
当y＝时，sinα＝，tanα＝，此时，sinα·tanα＝.故选C.【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．4．B【解析】【分析】由正切小于0可知终边落在第二四象限，结合正弦大于余弦知终边只能落在第二象限.【详解】因为tanα<0，所以α在第二或第四象限，又sinα>cosα，所以α在第二象限.故选B.【点睛】本题主要考查任意角的三角函数，由三角函数值的正负确定终边的位置，属于基础题. 5．C【解析】分析：由任意角三角函数的符号与象限的对应直接得出即可．详解：由sinatana<0可得角是二、三象限，由＜0得角是四、三象限角，可得角a是第三象限角．故选：C．点睛：本题考查三角函数值的符号，属于基本概念考查题．6．B【解析】由，且为第二象限角，利用平方关系求出，再由商的关系可得结果.【详解】因为，且为第二象限角，所以，，故选B.【点睛】本题主要考查同角三角函数之间的关系的应用，属于中档题. 同角三角函数之间的关系包含平方关系与商的关系，平方关系是正弦与余弦值之间的转换，商的关系是正余弦与正切之间的转换.7．D【解析】【分析】先由条件得到，然后将添加分母后化为用表示的形式，代入后可得所求值．【详解】，，．故选D．关于的齐次式在求值时，往往化为关于的式子后再求值，解题时注意“1”的利用．8．A【解析】【分析】由已知利用诱导公式，求得，进一步求得，再利用三角函数的基本关系式，即可求解。
【详解】由题意，得，又由为第二象限角，所以，所以。
故选A.【点睛】本题主要考查了三角函数的化简、求值问题，其中解答中熟记三角函数的诱导公式和三角函数的基本关系式，合理运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题。
9．【解析】【分析】由的值及为第二象限角，利用同角三角函数间的基本关系求出的值，即可确定出的值.，且为第二象限角，，则，故答案为.【点睛】本题主要考查，同角三角函数之间的关系的应用，属于中档题. 同角三角函数之间的关系包含平方关系与商的关系，平方关系是正弦与余弦值之间的转换，商的关系是正余弦与正切之间的转换.10．（1）；（2）【解析】分析：（1）根据α为第四象限角，利用sinα，可得cosα的值，得到tanα的值．（2）先用诱导公式对原式化简得：，为一个齐次式，然后分子分母同时除以cosα即可.详解：（1）由，且是第四象限的角，所以，则（2）原式点睛：本题考查同角三角函数的基本关系的应用，诱导公式，齐次式，对公式灵活运用是关键，属于基础题．11．(1) (2)【解析】试题分析：由，将化简为，然后代入求解即可得到答案；令，再由题目知，则，则，代入求得结果解析：(1)原式=上式（2），令12．(1)3；(2) 1 2 .【解析】试题分析：(1)分子、分母同时除以余弦值,将其化为正切值进行求解;(2)利用诱导公式进行化简求值．试题解析：(1)原式=sin cos cos sin cos cos αααααα+-=tan 13tan 1αα+=-.(2)原式=()()()()cos sin cos cos sin sin αααααα----=cos sin αα=1tan α=12. 13．(1) 37-；(2) 2329. 【解析】试题分析：（1）利用角的终边上点坐标可得tan α，进而由诱导公式化简代入求值即可；（2）利用22sin cos 1αα+=，可求22222sin cos cos tan 12sin cos cos 22sin cos tan αααααααααα--+-=+=++，代入求值即可.试题解析：（1）依题意有3tan 7α=-，原式sin sin 3tan sin cos 7ααααα-⋅===--. （2）原式2222sin cos cos tan 13523222sin cos tan 2929ααααααα--=+=+=-=+.14．（1）75；（2）43-. 【解析】试题分析：（1）将条件平方得12025sin cos θθ<＝－，结合0θπ<<，得sin θ>0，cos θ<0，进而sin θ－cos θ>0，求出(sin θ－cos θ)2开方即可；（2）由①②得sin θ＋cos θ和sin θ－cos θ，求解sin θ和cos θ，即可得tan α. 试题解析：（1）∵sin θ＋cos θ＝，①∴(sin θ＋cos θ)2＝，解得sin θcos θ＝－.∵0<θ<π，且sin θcos θ<0，∴sin θ>0，cos θ<0，∴sin θ－cos θ>0.又∵(sinθ－cosθ)2=1－2sin θcos θ＝∴sinθ-cosθ=②.（2）由①②得sin θ＋cos θ＝sin θ－cos θ＝.解得sin θ＝，cos θ＝－∴tan θ＝＝－.15．（1）8；（2）1 2 -.【解析】试题分析：（1）由sintancosααα=，只需分式分子分母同时除以cosα即可得关于tanα的代数式求解即可；（2）根据诱导公式化简，进而弦化切求值即可.试题解析：（1）（2）. 16．（1）（2）【解析】试题分析：（1）由同角三角函数关系得,再代入化简得结果（2）利用分母，将式子弦化切，再代入化简得结果试题解析：解：（Ⅰ）∵tanα=3，∴===．（Ⅱ）∵tanα=3，∴sinα•cosα====．17．(1) 7sin -cos =5θθ， 4tan 3θ=-；(2) 1633. 【解析】试题分析：（Ⅰ）由1sin cos 5θθ+=两边平方可得242sin cos =-025θθ<，可知sin 0,cos 0θθ><，所以sin cos 0θθ->，从而由()2sin -cos =1-2sin cos θθθθ得到7sin -cos =5θθ，解方程组可得43sin ,cos 55θθ==-，可求得4tan 3θ=-。
（Ⅱ）由（Ⅰ），将43sin ,cos 55θθ==-代入所给式子可求得值。
试题解析：（Ⅰ）1sin cos 5θθ+=Q ① ()21sin cos =1+2sin cos =25θθθθ∴+ 242sin cos =-025θθ< 0<<θπQsin 0,cos 0θθ∴><sin cos 0θθ∴->()249sin -cos =1-2sin cos =25θθθθ∴ 7sin -cos =5θθ∴②由①②得： 43sin ,cos 55θθ==- sin 4tan cos 3θθθ∴==- （Ⅱ）方法一：由（1）知43sin ,cos 55θθ==- 22224sin 165==.cos 2sin cos 33343--2-555θθθθ⎛⎫ ⎪⎝⎭∴-⎛⎫⎛⎫⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭方法二：由（1）4tan 3θ=-224tan 163=.412tan 33123θθ⎛⎫- ⎪⎝⎭∴==-⎛⎫-- ⎪⎝⎭原式18．-2.【解析】分析：利用诱导公式和同角三角函数基本关系式化简求值即可.详解：()()sin cos cos cos 2cos 222cos sin cos sin 1tan sin sin 2πθπθθθθπθθθθθθπθ⎛⎫+-- ⎪+⎝⎭====----⎛⎫--- ⎪⎝⎭. 点睛：本题考查利用诱导公式化简求值以及同角三角函数基本关系式，属基础题.19．(1);(2)4;(3) .【分析】（1）根据同角函数关系得到正弦值，结合余弦值得到正切值；（2）根据诱导公式化简，上下同除余弦值即可；（3）结合两角和的正弦公式和二倍角公式可得到结果.【详解】（1）∵，,∴∴（2）.（3）=，根据二倍角公式得到;。