高等数学(同济五版)第五章-定积分-练习题册
高等数学(同济大学第五版)第五章 定积分
π
3 6 3
, M = f ( 3 ) = 3 arctan 3 =
π
3
.
因此
π
6 3
( 3−
1 3
) ≤ ∫ 1 x arctan xdx ≤
3
3
π
3
( 3−
1 3
),
即
π
9
≤ ∫ 1 x arctan xdx ≤
3
2
3
2π . 3
(4)先求函数 f ( x) = e x
f ′( x ) = e x
成 n 个长度相等的小区间, 各个小区间的长度为: Δx i =
第二步: 在第i个小区间[xi−1, xi] (i=1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n)上取右端点 ξ i = x i = a +
S n = ∑ f (ξ i )Δx i = ∑ [(a +
i =1 i =1 n n
b−a 2 b−a i ) +1]⋅ n n
2 2 2 2 1 1
b
b
b
b
(4) ∫0 xdx 还是 ∫0 ln(1+ x)dx ？ (5) ∫0 e x dx 还是 ∫0 (1+ x)dx ？ 解 (1)因为当 0≤x≤1 时, x2≥x3, 所以 ∫0 x 2 dx ≥ ∫0 x 3 dx . 又当 0<x<1 时, x2>x3, 所以 ∫0 x 2 dx > ∫0 x 3 dx . (2)因为当 1≤x≤2 时, x2≤x3, 所以 ∫1 x 2 dx ≤ ∫1 x 3 dx . 又因为当 1<x≤2 时, x2<x3, 所以 ∫1 x 2 dx < ∫1 x 3 dx . (3)因为当 1≤x≤2 时, 0≤ln x<1, ln x≥(ln x)2, 所以 ∫1 ln xdx ≥ ∫1 (ln x) 2 dx . 又因为当 1<x≤2 时, 0<ln x<1, ln x>(ln x)2, 所以 ∫1 ln xdx > ∫1 (ln x) 2 dx . (4)因为当 0≤x≤1 时, x≥ln(1+x), 所以 ∫0 xdx ≥ ∫0 ln(1+ x)dx . 又因为当 0<x≤1 时, x>ln(1+x), 所以 ∫0 xdx > ∫0 ln(1+ x)dx . (5)设f(x)=ex−1−x, 则当 0≤x≤1 时f ′(x) =ex−1>0, f(x)=ex−1−x是单调增加的. 因此当 0≤x≤1 时, f(x)≥f(0)=0, 即ex≥1+x, 所以 ∫0 e x dx ≥ ∫0 (1+ x)dx . 又因为当 0<x≤1 时, ex>1+x, 所以 ∫0 e x dx > ∫0 (1+ x)dx .
高等数学(同济版)第五章复习资料
第五章定积分第一节定积分的概念与性质一、定积分问题举例 1. 曲边梯形的面积：设曲边梯形是由连续曲线、轴以及两条直线、所围成,求其面积. ①．大化小(分割)：在区间内任意插入个分点，用直线将曲边梯形分成个小曲边梯形，用表示第个曲边梯形的面积; ②．常代变(近似代替)：在第个窄曲边梯形的底上任取，有. ③．近似和(求和)：④．取极限：令，则2. 变速直线运动的路程：设某物体作直线运动,已知速度在时间间隔上连续，且，求在运动时间内物体所经过的路程①．大化小(分割)：在区间内任意插入个分点，将它分成个小段，用表示物体第个小段上经过的路程; ②．常代变(近似代替)：在第个小段上经过的路程任取，有. ③．近似和(求和)：④．取极限：令，则这两个具体问题来自两个不同的学科，但它们都可一归结为具有相同结构的确定和式的极限，抽去它们的具体意义，就得到数学上定积分的概念. 二、定积分的相关概念 1．定积分 :设函数在区间上有界，若在区间内任意插入，任取，记，只要和式极限总存在，则称此极限为在上的定积分,记作，即，此时也称在区间上黎曼可积. 注：1°.引例中，曲边梯形的面积；路程2°.定积分仅与被积函数及积分区间有关, 而与积分变量用什么字母表示无关, 即3°.在定积分定义中，要求积分上限大于积分下限，为了方便起见，规定：当时，；当时，. 4°.定积分定义中意味着区间的分割越来越细.时必有小区间的个数并不能保证(不等分的时候，当等分的时候5°.若已知在上可积，则可以通过特殊的分法分割区间(例如等分) (例如取或)来计算定积分2．定积分的几何意义：曲边梯形的“面积”. 3. 函数可积的条件 (1). 必要条件：定理1.若在上可积，则在上有界反之未必，例如：狄利克雷函数在上有界，但不可积, 分和的极限不总存在. (2). 充分条件：定理2. 若在上连续，则在上可积反之未必，例如在上可积，但在上有一个间断点定理3. 若在上有界，并且只有有限个间断点，则在上可积. 定理4. 若在上单调且有界，则在上可积. 例1. 利用定义计算定积分解：将区间进行等分, 分点为则，于是，，取，，所以例2. 用定积分表示下列极限 1.. 2. .三、定积分的性质(设所列定积分都存在) 1.线性性质1. ( k为常数) 性质2. 2.积分区间的可加性性质3. 设，则有 3.保序性性质4. 若在，，则性质5. 若在，，则 4.绝对不等式性性质6. 5.介值性性质7.设和是在上的最大值和最小值，则. 性质8. 6.中值性性质9.(积分中值定理) 若在上连续，则至少存在一点，使得 .证明：设在上的最大值和最小值为和，则由介值性得， . 再由闭区间上连续函数的介值定理, 至少存在一点，使注：1°.积分中值定理对或的情形都成立. 2°.称为在上的平均值. 因为，故它是有限个数的平均值概念的推广3°.积分中值定理的几何意义: 以为曲边的曲边梯形的面积等于同底的且以为的矩形的面积第二节微积分基本公式一、引例:变速直线运动中位臵函数与速度函数之间的联系在变速直线运动中, 已知位臵函数与速度函数之间满足：，即的原函数又物体在时间间隔内经过的路程为，即速度函数区间上的定积分等于的原函数在上的增量这种定积分与原函数的关系在一定条件下具有普遍性. 二、积分上限函数及其导数 1.积分上限函数：若函数区间上可积，则称函数分上限函数，或变上限积分注：积分上限函数在上连续推导：，有，当，即在上连续 2.积分上限函数的导数：定理1.若函数在区间上连续，则积分上限函数在并且 . 证明: ，则有 (积分中值定理)，又在上连续，故有 . 若，取，可证；若，取，可证. 注：其它变限积分求导: 1°；2°； 3. .3.原函数存在定理：定理2.若函数在区间上连续，则积分上限函数在上的一个原函数注：这个定理一方面肯定了连续函数的原函数的存在性，另一方面初步地揭示了在被积函数连续的前提下，定积分与原函数之间的联系，为使用原函数计算定积分开辟了道路例1.例2.设在内连续且，证明在内单调增加证明：由于(积分中值定理，所以在内单调增加. 4.函数存在原函数与函数可积的关系： (1).函数存在原函数，但不一定可积例如：对函数，由于，令，即函数在区间上具有原函数，但由于在无界，所以在不可积，事实上，取，有，即在无界(2).函数可积，但不一定存在原函数例如：函数在除了一个间断点外都连续，所以在可积，但在上不存在原函数 (3).存在既不存在原函数又不可积的函数，例如：狄利克雷函数：三、微积分基本公式——牛顿—莱布尼茨公式定理3. (微积分基本定理)设函数在区间上连续，若函数是在上的任一原函数，则证明：由于积分上限函数是的一个原函数，故，令，得，因此；再令，得注：微积分基本公式进一步揭示了定积分与被积函数的原函数之间的关系.它表明：连续函数在上的定积分等于它的任意一个原函数在上的增量微积分基本公式是对被积函数连续时给出的计算定积分的公式，若函数在上不连续，但满足一定的条件，也有相同的公式：定理3’ 设函数在区间上有界，且有有限多个间断点，若存在连续函数，的间断点外，有，则证明：假设在不连续，不满足，，有在区间上连续，且满足，从而有，由的连续，有 . 例3. .例4.例5. . . 例6.计算正弦曲线在与轴所围成的平面图形的面积. 解：例7.用微积分基本定理证明积分中值定理：若在，使得证明：因为连续，故具有原函数，设为它的一个原函数，即，由牛顿—莱布尼茨公式有由在上满足拉格朗日中值定理的条件，故至少存一点，使得，故第三节定积分的换元积分法和分部积分法一、定积分的换元法：定理1.设函数在区间上连续，函数满足：(1). , ，并且当从变到时，对应的单调地从变到； (2). 函数在或上具有连续导数，则有证明：所证等式两边被积函数都连续，因此积分都存在，且它们的原函数也存在. 设的一个原函数，则是的原函数，于是由牛顿—莱布尼茨公式，有 . 注：1°.换元必换限, 原函数中的变量不必代回. 2°.换元公式也可以这样使用, 即凑元法，换.这相当于不定积分的第一换元积分法. 例1. 计算 . 解：令，则，当时，；时，，于是 .例 .例3.例4.计算 . . 解：令，则，，且当时，；当时，，于是 .另解： + 例5. 设为上的连续函数， (1). 若，则.(偶倍 (2). 若，则.(奇零证明: 由于，对积分作变换，令，则有，于是例6.若在上连续，证明(1). ；，并由此计算 (2). 证明： (1).令，则，且当时，；当时，，于是 . (2). 令，则，且当时，；当时，，于是整理得由此例7. 设是连续的周期函数，周期为，证明： (1). (2). ,并由此计算证明： (1).记，则，即与无关，因，于是(2).由于，又由(1)知，因此由于是以为周期的周期函数，于是 (令例8. 计算. 解：由于，令，，；时，，则，.当于是 (偶倍奇零) . 例9.设函数，计算解：设，则，且当时，；时，，于是 ) (由于二、定积分的分部积分法定理2. 设函数、在区间上连续，则有定积分的分部积分公式：证明：由于，两端在上积分得，，整理得例10. 计算解：. 例11. 计算解：令，则，，于是思考题：. 提示: 令，则第四节反常积分一、无穷积分 1.引例：曲线和直线及轴所围成的开口曲边梯形的面积可记作，其含义可理解为将记作，因其积分区间时无穷区间，故称其为无穷积分. 2.无穷积分：设函数在区间上连续，取，若极限为在无穷区间上无穷积分,记作存在此时也称为无穷积分可类似定义：，收敛；若上述极限不存在,则称无穷积分在无穷区间上的无穷积分： . 在无穷区间上的无穷积分：注：上述定义中若出现，并非不定型,它表明该无穷积分发散. 无穷积分也称为第一类反常积分 3.无穷积分的计算：设是在上的一个原函数，引入记号 ; 则有类似牛——莱公式的计算表达式: 例 1.计算反常积分解：；；. 另解： . 注：是否正确？因为，故原积分发散，所以对反常积分, 使用“偶倍奇零”的性质, 否则会出现错误例2. 计算反常积分.解：. 当时收敛; 时发散. 证明：当时，有，例3. 证明积分当时，有因此当时, 反常积分收敛, 其值为；当时, 反常积分发散二、瑕积分 1.引例：曲线与轴及轴和直线所围成的开口曲边梯形的面积可记作，其含义可理解为将记作，因其被积函数在积分区间内无界，也称为无界函数的反常积分易知左端点是被积函数的无界间断点，称其为被积函数的瑕点，因此无界函数的反常积分也称为瑕积分 2.瑕点：若函数在点的任意邻域内都无界，则称为的无界间断点，又称为瑕点. 3.瑕积分：设函数在区间上连续，点为的瑕点，取，若存在，则称此极限为在区间上的瑕积分记作，此时也称瑕积分收敛；若上述极限不存在,就称瑕积分发散，可类似定义：若在区间内连续，为的瑕点，则有： .若在区间上除了点外连续，为的瑕点，则有：注：若出现，并非不定型,它表明该反常积分发散. 若也称为第二类反常积分. 注：1°.若被积函数在积分区间上仅存在有限个第一类间断点,则本质上是常义积分, . 常积分. 例如: 2°.有时通过换元,反常积分和常义积分可以互相转化. 例如(令 (令) 3°.当一题同时含两类反常积分时,应划分积分区间,分别讨论每一区间上的反常积分. 3.瑕积分的计算：设是的一个原函数，则有类似牛——莱公式的计算表达式: 若为瑕点, 则若为瑕点, 则 . 若和都为瑕点, 则思考题：若瑕点，则提示：和不一定相等.例 . 例5. 讨论反常积分的收敛性. 解：由于，所以反常积分发散. 例6. 证明反常积分当时收敛; 时发散. 证明：当时，为被积函数的瑕点，有，当时，有因此当时, 反常积分收敛, 其值为；当时, 反常积分发散例7. 计算反常积分解：注意到这是一个无穷限和瑕点都出现的反常积分令，则，，当时，；当时，，于是 . 再令，，，，当时，；当，于是 . 三.两类反常积分之间的关系：瑕积分积分可转化为无穷积分，例如：设函数在区间上连续，为的瑕点，由定义有，令，有第五节反常积分的审敛法函数一、无穷积分的审敛法由于无穷积分的收敛性问题实质上上是一个极限的存在性问题，于是根据函数极限的理论，不难得出无穷积分的收敛准则： 1.柯西收敛准则：定理1. 收敛的充要条件是：对，，当成立下面讨论无穷积分2.有界审敛法：的另外几种收敛判别法，首先考虑非负函数的无穷积分定理2. 设非负函数在区间上连续，若函数在收敛证明：由于，则在上单调增加且有上界，根据极限收敛准则知存在 , 收敛由此定理，可得下面的比较审敛法： 3．比较审敛法：定理3.设函数、在区间上连续，且，有， (1). 若(2). 收敛，则收敛；发散证明：设，由于，有. (1). 收敛，则有，即单调递增且有上界, 由定理1知收敛 (2).用反证法：则由知，发散注：大的收敛，保证小的收敛；小的发散，导致大的发散由于反常积分当时，收敛；当时，发散，故通常取作为比较函数，即有下面的柯西审敛法： 4．柯西审敛法：定理4.设非负函数在区间上连续，对常数，记， (1). 当时，若，, 有，则收敛； (2).当时，若，, 有则发散例1.的敛散性解：由于收敛，故收敛在比较审敛法的基础上，可以得到应用更方便的极限审敛法： 5．极限审敛法：定理5.设非负函数在区间上连续，对常数，记， (1). 当时，若，则(2). 当时，若，则证明：收敛；发散 (1). 当时，若，则由极限定义知：对任意给定的，当时，必有，即收敛 (2). 当时, 若, 则由极限定义，可取，使，当充分大时，必有，即，由比较审敛法知发散，由若，则对任意，当充分大时，，即发散例2. 的敛散性收敛，故解法(一)：由于，而收敛解法(二)：由于收敛例3. 的敛散性. 解：由于发散. 例4. 的敛散性. 发散.解：由于，极限审敛法知的概念以及绝对收敛定理. 6．绝对审敛法： (1). 无穷积分的绝对收敛与条件收敛：设反常积分若收敛，收敛，则称发散，则称绝对收敛；条件收敛； (2)．绝对审敛法：定理6.若函数在区间上连续，且收敛，则收敛证明：令，则，由于，故敛，而，又例5. 判断反常积分故收敛为常数，的敛散性解:由于，而再由绝对收敛定理知二、瑕积分的审敛法收敛，根据比较审敛原理知收敛由于瑕积分可转化为无穷积分，故无穷积分的审敛法完全可平移到瑕积分中来. 1.柯西收敛准则：定理7. (为的瑕点)收敛的充要条件是：对，成立 2．比较审敛法：定理8.设非负函数、在区间上连续，为、的瑕点，且，有， (1). 若(2). 收敛，则收敛；发散利用反常积分当时收敛; 敛法和极限审敛法： 3．柯西审敛法：定理9.设非负函数在区间上连续，为的瑕点， (1). 若，当时，,有，则收敛； (2).若，当时，, 有4．极限审敛法：发散定理10.设非负函数在区间上连续，为的瑕点，对常数，， (1). 当时，若，则(2). 当时，若，则例6. 判别反常积分收敛；发散的敛散性. 解：易知是被积函数的瑕点，由于，由极限判别法知瑕积分例7.判定椭圆积分发散.的敛散性解：易知是被积函数的瑕点，由于，故由极限判别法知5．绝对审敛法：收敛. (1).瑕积分的绝对收敛与条件收敛：设瑕积分(为的瑕点)收敛，若收敛，则称绝对收敛；若发散，则称条件收敛；(2)．绝对审敛法：定理11.若函数在区间上连续上连续，且收敛，则收敛例8.判定反常积分的敛散性. ，而收敛，根据比较审敛解:易知是被积函数的瑕点，由于法知收敛. ，再由绝对收敛定理知例9.判定反常积分的敛散性解: 易知是被积函数的瑕点，由于,从而，即收敛. 收敛，从而三、函数 1. 函数：称参变量的反常积分为为函数，记作2. 函数的收敛性：收敛证明：由定义式可知，函数可分解为当时，为定积分；当时，为瑕积分，为瑕点，此时，由于，又由于时，瑕积分对无穷积分收敛，于是收敛，由于，从而收敛综上可得收敛 3. 函数的性质： (1). 递推公式：. 证明：应用分部积分法，有当介于两个整数之间时，则当为正整数时，则，而，所以 (2). 当时，. 证明：由于且，又当时连续(可证)，于是 .(3). 余元公式: 注： (4). 函数的其它形式：推导：对函数注： 1. ，令得， . 推导：令，则，，于是。
高等数学同济版习题及答案
第五章 定积分习题及答案(简单层次)1．⎰203cos sin πxdx x ； 2．⎰-adx x a x222； 3．⎰+31221xxdx ；4．⎰--1145x xdx ； 5．⎰+411x dx ； 6．⎰--14311x dx ；7．⎰+21ln 1e xx dx； 8．⎰-++02222x x dx； 9．dx x ⎰+π02cos 1；10．dx x x ⎰-ππsin 4； 11．dx x ⎰-224cos 4ππ； 12．⎰-++55242312sin dx x x xx ；13．⎰342sin ππdx x x； 14．⎰41ln dx x x ； 15．⎰10xarctgxdx ； 16．⎰202cos πxdx e x ； 17．()dx x x ⎰π2sin ； 18．()dx x e⎰1ln sin ；19．⎰--243cos cos ππdx x x ； 20．⎰+4sin 1sin πdx xx ； 21．dx x xx ⎰+π02cos 1sin ；22．⎰-+2111ln dx xxx ； 23．⎰∞+∞-++dx x x 4211； 24．⎰20sin ln πxdx ； 25．()()⎰∞+++0211dx x x dxα()0≥α。
(B 层次)1．求由0cos 0=+⎰⎰xyttdt dt e 所决定的隐函数y 对x 的导数dxdy 。
2．当x 为何值时，函数()⎰-=xt dt te x I 02有极值？3．()⎰x x dt t dxd cos sin 2cos π。
4．设()⎪⎩⎪⎨⎧>≤+=1,211,12x x x x x f ，求()⎰20dx x f 。
5．()1lim22+⎰+∞→x dt arctgt xx 。
6．设()⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=其它,00,sin 21πx x x f ，求()()⎰=x dt t f x 0ϕ。
7．设()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+≥+=时当时当0,110,11x e x xx f x ，求()⎰-21dx x f 。
第五章 定积分---教参
第五章 定积分一、本章的教学目的1．了解定积分的定义，函数()f x 在[,]a b 上可积的充分条件。
2．掌握定积分的性质，理解定积分中值定理。
3．掌握积分上限函数的求导方法及其应用。
4．熟练掌握微积分公式、定积分的换元积分法及分部积分法。
5．掌握用定积分计算平面图形的面积和求旋转体体积的计算公式。
主要内容1．定积分的概念与性质曲边梯形，曲边三角形；分割，黎曼和，黎曼和的极限；()f x 在[,]a b 上可积，()f x 在[,]a b ]上的定积分；定积分的几何意义；定积分的基本性质.关于函数可积性的几个重要结论： （1）可积函数必有界；（2）有限区间[,]a b 上的连续函数可积；（3）在有限区间[,]a b 上只有有限个间断点的有界函数可积. 2．微积分基本定理变上限积分，变限积分的求导公式：()()()xaf t dt f x '=⎰微积分基本公式：()()()()bbaaf x dx F x F b F a ==-⎰，其中()F x 是()f x 在[,]a b 上的一个原函数. 3．定积分的换元积分法与分部积分法定积分的换元积分法；对称区间[,]a a -(0)a >上奇偶函数定积分的性质：（()f x 是奇函数）；()2()aaaf x dx f x dx -=⎰⎰ （()f x 是偶函数）； 周期函数定积分的性质：()()a T Taf x dx f x dx +=⎰⎰ （T 为()f x 的周期）； 定积分的分部积分公式：()()()()()()bbbaaau x v x dx u x v x v x u x dx ''=-⎰⎰.4．定积分的应用由x a =，x b =，()y f x =，()y g x =所围成的平面图形的面积()()baS f x g x dx =-⎰；微元法；由x a =，x b =，x 轴及()y f x =所围成的平面图形绕x 轴旋转一周所得旋转体体积2[()]bx aV f x dx π=⎰；由y c =，(0)y d d c =>≥，y 轴及()x y ϕ=所围成的平面图形绕y 轴旋转一周所得旋转体体积2[()]dy cV y dy πϕ=⎰二、本章教学的重点和难点1．教学重点：定积分的性质，微积分基本公式，定积分的换元法与分部积分法定积分的应用。
大学高等数学第五章 定积分及其应用答案
第五章 定积分及其应用习 题 5-11. 如何表述定积分的几何意义？根据定积分的几何意义推出下列积分的值： （1）⎰-x x d 11, （2）⎰--x x R R R d 22, （3）⎰x x d cos 02π, （4）⎰-x x d 11.解：若[]⎰≥∈x x f x f b a x ab d )(,0)(,,则时在几何上表示由曲线)(x f y =，直线b x a x ==,及x 轴所围成平面图形的面积. 若[]b a x ,∈时，⎰≤x x f x f ab d )(,0)(则在几何上表示由曲线)(x f y =，直线b x a x ==,及x 轴所围平面图形面积的负值. （1）由下图（1）所示，0)(d 1111=+-=⎰-A A x x .（2）由上图（2）所示，2πd 2222R A x x R R R==-⎰-.（3）由上图（3）所示，0)()(d cos 5353543π20=--++=+-+=⎰A A AA A A A x x . （4）由上图（4）所示，1112122d 611=⋅⋅⋅==⎰-A x x . 2. 设物体以速度12+=t v 作直线运动，用定积分表示时间t 从0到5该物体移动的路程S.( 2 )( 1 )( 3 )(4)解：=s ⎰+t t d )12(053. 用定积分的定义计算定积分⎰bax c d ,其中c 为一定常数.解：任取分点b x x x x a n =<<<<= 210,把],[b a 分成n 个小区间],[1i i x x -)2,1(n i =，小区间长度记为x ∆i =i x -1-i x )2,1(n i =,在每个小区间[]i i x x ,1-上任取一点i ξ作乘积i i x f ∆⋅)(ξ的和式：∑∑==--=-⋅=∆⋅n i ni i iiia b c x xc x f 111)()()(ξ,记}{max 1i n i x ∆=≤≤λ, 则)()(lim )(lim d 0a b c a b c x f x c ni i i b a-=-=∆⋅=∑⎰=→→λλξ.4. 利用定积分定义计算120d x x ⎰.解：上在]1,0[)(2x x f =连续函数，故可积，因此为方便计算，我们可以对[]0,1 n 等分，分点i i n i nix ξ;1,,2,1,-==取相应小区间的右端点，故 ∑∑∑===∆=∆=∆ni i i ni i i ni i i x x x x f 12121)(ξξ=∑∑===ni ni in n n i 1232111)(=311(1)(21)6n n n n ⋅++ =)12)(11(61nn ++ 当时0→λ（即时∞→n ），由定积分的定义得： 120d x x ⎰=31．5. 利用定积分的估值公式，估计定积分⎰-+-1134)524(x x x d 的值.解：先求524)(34+-=x x x f 在[]1,1-上的最值，由0616)(23=-='x x x f , 得0=x 或83=x . 比较 35093(1)11,(0)5,(),(1)781024f f f f -====的大小，知min max 5093,111024f f ==，由定积分的估值公式，得[])1(1d )524()]1(1[max 1134min --⋅≤+-≤--⋅⎰-f x x x f ,即14315093(425)d 22512x x x -≤-+≤⎰. 6. 利用定积分的性质说明⎰1d xe x与⎰1d 2x e x ，哪个积分值较大？解：在[]0,1区间内：22xx x x e e ≥⇒≥ 由性质定理知道：⎰1d xe x≥⎰1d 2x e x7. 证明：⎰---<<2121212d 22x e ex 。
高教社2024高等数学第五版教学课件-5.1 定积分的概念与性质
第一节 定积分的概念与性质
一、问题的提出
实例1 (求曲边梯形的面积)
由连续曲线 = ()(() ≥ 0)、
轴、直线 = 、 = 所围成的图形
称为曲边梯形。
用矩形面积近似取代曲边梯形面积
y
o
y
a
b
（四个小矩形）
x
o
a
b
x
（九个小矩形）
显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积．
→0
= max ∆
1≤≤
= σ=1 ± σ=1
=
→0
±
→0
性质1可以推广到有限个可积函数作和或者作差的情况.
性质2 被积函数的常数因子可提到积分号的外面，即
)(
总有下式成立：
)( = )( + )( .
例如，若 < < ，则
=
+
，
故 )( = )( − )(
= )( + )( .
证
因为 ≤ () ≤ ,由性质4得
≤ ≤ )( ,
又 = − ,
故( − ) ≤ ( ≤ )( − ).
性质6(积分中值定理)
∈
[, ]，使)(
设函数()在[, ]上连续，则至少存在一点
高等数学第五章课后习题答案
班级姓名学号1 第五章定积分1．证明定积分性质：òò=b abadxx f kdx x kf )()(（k 是常数）. 证：òåòå=D =D ==®=®banii ban ii x kf x kf x f k x f k)()(lim )(lim )(1010x x l l 2．估计下列积分值：（1）dxx )sin 1(4542ò+p p解：令x x f 2sin 1)(+=，则02sin cos sin 2)(===x x x x f ‘得驻点：,,221p p==x x 由23)4(,23)4(,1)(,2)2(====p p p pf f f f ，得2)(max ,1)(min ==x f x f 由性质，得pp p p2)(454££òdx x f （2）ò333arctan xdxx 解：令x x x f arctan )(=，01arctan )(2>++=xxx x f ‘，所以)(x f 在]333[，上单调增加，p p33)(max ,36)(min ==\x f x f ，）（）（33333arctan 33336333-££-\òp pxdx x ，即pp32a r c t a n 9333££òx d x x班级班级 姓名姓名 学号学号3．比较下列积分值的大小：．比较下列积分值的大小： （1）dx x ò12与dxx ò13解：当10££x 时，有23x x £，且23x x -不恒等于0，0312>-\òdx x x ）（，即，即 dxx dxx òò>1212。
（2）ò6pxdx 与ò6sin pxdx解：当60p££x 时，有x x £sin ，且x x sin -不恒等于0，0sin 10>-\òdx x x ）（，即，即 dx x dx x òò>1010sin 。
大一上学期同济版高数第五章定积分
A f ( x)dx
a
b
变速直线运动的物体所走过的路程等于速度函数 v(t ) 在区间T1,T2 上的定积分，即
S v(t )dt
T1
T2
注：定积分是一种和式的极限，是一个数值。
不定积分表示全体原函数。
11
定积分的几何意义:
曲边梯形面积 曲边梯形面积的负值
lim
1 3
n
o
i n
1x
14
例2. 用定积分表示下列极限:
1 i (1) lim 1 n n i 1 n
n
1p 2 p n p (2) lim p 1 n n
n 1 n i i 1 解: (1) lim 1 lim 1 n n i 1 n n i 1 n n
故 即
2 2 0
dx 2 f ( x ) dx 2 1 dx
0
2
0
1
0
sin x dx x 2
25
8. 积分中值定理
则至少存在一点 使
a f ( x) dx f ( )(b a)
证: 设 f ( x) 在[a, b] 上的最小值与最大值分 别为 m, M , 则由性质7 可得
f ( x) 0 . (“高数”上, P236 题 12(1)) 证: 用反证法. 假设存在 x0 [a , b] , f ( x0 ) 0 , 无妨设 x0 为内点 , 由 f (x) 的连续性可知 , 存在邻域 在其上 f ( x) 0 , 则
a f ( x) d x x
1.
o a
xi 1xi
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第五章 定积分
第一节 定积分的概念与性质
一、填空题： 在
⎰
+10
3
1dx x 与⎰
+1
41dx x 中值比较大的是 ．
二、选择题(单选)： 1．积分中值定理
⎰
-=b
a
a b f dx x f ))(()(ξ，其中：
(A) ξ是[]b a ,上任一点； (B) ξ是[]b a ,上必定存在的某一点； (C) ξ是[]b a ,唯一的某点； (D) ξ是[]b a ,的中点．
答：( )
2．曲线x
e y =与该曲线过原点的切线及y 轴所围成图形的面积值为： (A) ⎰-10)(dx ex e x ； (B) ⎰-e
dy y y y 1
)ln (ln ；
(C)
⎰
-e x
x
dx xe e 1
)(； (D)
⎰-1
)ln (ln dy y y y ．
答：( )
第二节 微积分基本公式
一、填空题： 1．=-⎰
-212
12
11dx x
．
2．
0)32(0
2=-⎰
k
dx x x )0(>k ，则=k ．
二、选择题(单选)：
若)(x f 为可导函数，且已知0)0(=f ，2)0(='f ，则
2
)(lim x dt t f x x ⎰→
(A)0； (B)1； (C)2； (D)不存在．
答：( )
三、试解下列各题：
1．设⎪⎩⎪
⎨⎧>≤+=1,2
11
,1)(32x x x x x f ，求⎰20
)(dx x f ．
43 / 9
2．设⎪⎩
⎪⎨⎧><≤≤=ππ
x x x x x f ,0,00,sin 21
)(，求⎰=x dt t f x 0
)()(ϕ在),(∞+-∞上的表达式．
四、设)(x f 在],[b a 上连续，且0)(>x f ，⎰
⎰
+=
x a
x
b
t f dt
dt t f x F )
()()(．证明： (1)2)('≥x F ；
(2)方程0)(=x f 在),(b a 内有且仅有一个根．
第三节 定积分的换元法和分部积分法
44 / 9
一、填空题： 1．
=-⎰-212
12
1arcsin dx x
x ．
2．⎰
-=++434
32cos 1)arctan 1(ππdx x x ．
3．
{}=⎰
-22
2,1max dx x ．
4．设)(x f 是连续函数，且⎰
+=1
)(2)(dt t f x x f ，则=)(x f ．
二、选择题(单选)：
⎰>=a
a dx x f x I 0
23)0()(，则I 为：
(A)
⎰
20
)(a dx x xf ；(B) ⎰a
dx x xf 0)(； (C) ⎰2
0)(21a dx x xf ； (D) ⎰a dx x xf 0
)(21．
答：( )
三、试解下列各题： 1．⎰
+21
ln 1e x
x dx
．
2．)0(0
222⎰
>-a a dx x a x ．
3．设⎩⎨⎧≥<+=-0
,0,1)(2x e x x x f x ，求⎰-3
1
)2(dx x f ．
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五、计算下列定积分： 1．⎰
e xdx x 2
ln ．
2．⎰
20
cos π
xdx e x ．
六、已知1)(=πf ，)(x f 二阶连续可微．且3sin )]()([0
=''+⎰
π
xdx x f x f ，求)0(f ．
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第四节 反常积分
一、填空题： 1．
=⎰
∞+1
2ln dx x
x
． 2．
=-⎰
12
1)
1(arcsin dx x x x ．
二、选择题(单选)： 1．若
⎰∞+a
dx x f )(及⎰
∞+a
dx x g )(均发散，则dx x g x f a
⎰∞
++)]()([一定：
(A)收敛； (B)发散； (C)敛散性不能确定．
答：( )
2．若
⎰
∞
-a
dx x f )(发散，⎰
∞+a
dx x f )(发散，则⎰
∞
+∞
-dx x f )(一定：
(A)收敛； (B)发散； (C)敛散性不能确定． 答：( )
三、判别下列各反常积分的敛散性，如果收敛，则计算反常积分的值： 1．⎰-2
02)1(x dx
．
47 / 9
2．⎰∞
++0
)1(1
dx x
x ．
四、利用递推公式计算反常积分⎰
∞+-=0
dx e x I x n n (n 为自然数)．
第五章自测题
一、填空题(每小题5分，共20分)：
1．a ，b 为正常数，且1sin 1lim
02
0=+-⎰→x x dt t
a t x bx ，则=a ，=
b ．
48 / 9
2．=-⎰
20
1dx x ．
3．
=+⎰-π
π
dx x x
x 2
1cos ．
4．=⎰
→x
dt t x x 0
20
cos lim
．
二、选择题(单选)(每小题5分，共10分)： 1．
⎰-x dt t dx d sin 0
2
1等于：
(A) x cos ； (B) x x cos cos ； (C) x 2
cos -； (D) x cos ．
答：( )
2．设)(x f 连续，则
⎰+b
a dy y x f dx
d )(等于： (A)
⎰
+'b
a
dy y x f )(；(B) )()(a x f b x f +-+；(C) )(a x f +；(D) )(b x f +．
答：( )
三、试解下列各题(每小题10分，共40分)： 1．⎰
-21
2
2
4dx x
x ．
2．设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+≥+=0,110,11
)(x e x x
x f x
，求⎰-20
)1(dx x f ．
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3．设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧
≤≤<=πππx x x x f 2
,02
,cos )(，求dt t f x F ⎰-=ππ
)()(在],[ππ-上的表达式．
4．求位于曲线2
1
x y =
)1(≥x 的下方，x 轴上方的图形的面积．
四、试解下列各题(每小题15分，共30分)：
50 / 9
1．设)(x f 在],[b a 上连续，证明⎰
⎰-+-=b
a
dx x a b a f a b dx x f 1
])([)()(．
2．证明：
⎰
⎰-=a
a
a
dx x dx x 0
22
)(2)(ϕϕ，其中)(u ϕ为连续函数．。