2016.3.24数列讲座——高观点下数列和式放缩研究(探讨几类典型问题的通法)(萧山)

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论放缩法在高中数列与不等式中的运用

论放缩法在高中数列与不等式中的运用

习难 度 . 在数 列 与 不 等 式 的 学 习 过 程 中 , 利 用 放 缩 法 去 解 决 应 用 问题 既 是 便 捷 途 径 , 却 也 是 困难 途 径 , 诸 多 学 生 在 实 际 的学 习处 理 过 程 中 感 到 吃 力 , 对 解 题 思 路 和 放 缩 法 的理 解
不 到位 . 对 放 缩 法 的 应 用 把 握

解 题 技 巧 与 方 法
・ ・
鼹 稚 ;

谂 缝 侄
◎田 冲 ( 海 南 师 范 大 学数 学 与 统 计 学 院 5 7 1 1 5 8 )

但是, 数列有 着特 殊 的函数 性 质 , 它 呈 现 的 是 一 种 单 调 状 态 , 就 会 得 到 函 数 存 在 的 单 调 特 点.
应 用 特 点 处 理 生 活 问题 , 从 而 让 学 生 感 受 到 数 列 与 不 等 式
的优 越 性 , 提 升学生将 理论 结合实 际 的应 变能力. 为 此, 本 文 就 通 过 笔 者 自身 经 验 , 突出以放缩法作 为探讨对 象, 通 过
对 高 中数列 与 不等 式的分 析 , 阐述放 缩 法在其 中的巧 妙应用 . 【 关键词 】 放缩法; 高 中数列 ; 不等式运 用
引 言
在形式上 , 还 是 空 间上 都 给 人 们 提 供 了 更 多 的 可 能 性 , 可以 自由 的 创 造 更 大 空 间 和 添 加 更 多 计 算 的 局 部 内 容 . 使 得 放 缩后的计算形式达到简化效果 , 结构 明 了, 具 体 一 定 的 规 律 性, 从 而 很 好 的解 决 问 题 , 实 现放缩 形式 作用 的最 大化. 本 文以下题为例讲述 : { b } 在符合 b , 大于等 于 1 , 6 =b 的 平 方 减 去 一 2的值 乘 以 b 加 三 , + 3+1比 b , 的 值 加 上 3 加 1比 b :的值 , 一 直 加 到 1比 3加 b 的值 , 问题是求证 t 小于二分之一. 因为 b 加 三等于 b 乘 以 b 减 去 n的值 , 再 加 上 2乘 以 b 加 三 的值 , 又因为 b 大 于 等 于 n的 值 , 所 以 得出b … 加 3大 于 等 于 2乘 以 + 3的 值 , n属 于 正 整 数 , 运用跌乘计算得 出 b 加 三 的大 于 等 于 2 n一1 乘以 6 . +3大 于等于 2 +1 . 所 以 1比 +3的值 小 于 等 于 1比 2 n+1 . n 属于正整数 , 因 此 得 出 结论 : 小 于 等 于 1比 2的二 次 的 值 加 上 1比二 的三 次 的 值 , 再 加 上 1比 2的 四 次 的值 , 一 直 加 到 1比 2的 . 7 、 , 次值 之 比 等 于二 分 之 一 减 去 1比 2的 n+1 次 的值 , 值数小于二分 之一. 由此 看 出 , 把 握 题 目特 征 对 其 进 行变形 , 接着删掉其中一个正项 , 这 种 计 算 手 法 是 放 缩 在 不 等 式 中最 常 用 的技 法 』 假如此题在放缩计 算后进行 分裂项 , 进行数学归纳 等是无 法实现 的 , 这 也 说 明 了放 缩 形 式 中 的

放缩法证明数列不等式讲义

放缩法证明数列不等式讲义

利用放缩法证明数列不等式讲义姓名 班级放缩法的注意问题以及解题策略:1.对于“和式”数列不等式,若能够直接求和,则考虑先求和,再证不等式;若不能或很难求和, 则可考虑使用放缩法证明不等式。

而对于“和式”数列不等式,放缩的最主要目的是通过放缩, 把原数列变为可求和、易求和的数列.2、明确放缩的方向:是放大还是缩小。

若要证明小于某值,则放大;若要证明大于某值,则缩小。

3、放缩的项数:不一定对所有项进行放缩,有时从第一项开始,或从第二项,或从第三项等开始。

4.常见的放缩方法有:增加(减少)某些项; 增大(减少)分子(分母); 增大(减小)被开方数;增大(减小)底数(指数); 利用不等式的性质或重要不等式; 利用函数的单调性等.5、放缩法的常见技巧及常见的放缩式: (1)若0,,t a t a a t a >+>-< (2) 1n n -<,21n n n >+-,111n n +->-,2(1)n n n n +>=(3)若,,a b m R +∈,则,a a a a m b b m b b +><+,11n n n n -<+,212221n n n n +>- (4)1111111112321111nn n n n n n n n +++⋅⋅⋅+≤++⋅⋅⋅+=<+++++++或11111111123222222n n n n n n n n n +++⋅⋅⋅+≥++⋅⋅⋅+==+++ (5)111111123n n n n n n n+++⋅⋅⋅+>++⋅⋅⋅+== (6)21111111(1)1(1)(1)1n n n n n n n n n n-=<<=->++--(7)2)n<≥(9)<<<=(11)舍掉(或加进)一些项,如:121321||||||||(2)n n na a a a a a a a n--≤-+-++-≥(12)1112(21)212n n n n=---(13)1211222211(2)(21)(21)(21)(21)(22)(21)(21)2121n n n nn n n n n n n n nn---=<==-≥---------⎛⎫=<==<6、常见的数列不等式大多与数列求和或求积有关,其基本结构形式有如下4种:①形如1niia k=<∑(k为常数);②形如1()niia f n=<∑;③形如1()niia f n=<∏;④形如1niia k=<∏(k为常数).途径1.放缩为等差等差⨯1,后用裂项,有些数列不一定从第一项就开始放缩例1:(1)求证:2131211222<++++n(2)求证:2222111171234n++++<途径2:放缩为等比数列,并不一定从第一项起就开始放缩。

高考数学 放缩法在数列不等式证明的运用论文 大纲人教版_百度.

高考数学 放缩法在数列不等式证明的运用论文 大纲人教版_百度.

放缩法在数列不等式证明中的运用高考中利用放缩方法证明不等式,文科涉及较少,但理科却常常出现,且多是在压轴题中出现。

放缩法证明不等式有法可依,但具体到题,又常常没有定法,它综合性强,形式复杂,运算要求高,往往能考查考生思维的严密性,深刻性以及提取和处理信息的能力,较好地体现高考的甄别功能。

本文旨在归纳几种常见的放缩法证明不等式的方法,以冀起到举一反三,抛砖引玉的作用。

一、放缩后转化为等比数列。

例1. 满足:(1)用数学归纳法证明:(2),求证:解:(1略(2又,迭乘得:点评:把握“”这一特征对“”进行变形,然后去掉一个正项,这是不等式证明放缩的常用手法。

这道题如果放缩后裂项或者用数学归纳法,似乎是不可能的,为什么?值得体味!二、放缩后裂项迭加例2.数列,,其前项和为求证:解:令,的前项和为当时,点评:本题是放缩后迭加。

放缩的方法是加上或减去一个常数,也是常用的放缩手法。

值得注意的是若从第二项开始放大,得不到证题结论,前三项不变,从第四项开始放大,命题才得证,这就需要尝试和创新的精神。

例3.已知函数的图象在处的切线方程为(1)用表示出(2)若在上恒成立,求的取值范围(3)证明:解:(1)(2)略(3)由(II)知:当令且当令即将上述n个不等式依次相加得整理得点评:本题是2010湖北高考理科第21题。

近年,以函数为背景建立一个不等关系,然后对变量进行代换、变形,形成裂项迭加的样式,证明不等式,这是一种趋势,应特别关注。

当然,此题还可考虑用数学归纳法,但仍需用第二问的结论。

三、放缩后迭乘例4..(1)求(2)令,求数列的通项公式(3)已知,求证:解:(1)(2)略由(2)得点评:裂项迭加,是项项相互抵消,而迭乘是项项约分,其原理是一样的,都似多米诺骨牌效应。

只是求项和时用迭加,求项乘时用迭乘。

数列放缩法的应用技巧总结

数列放缩法的应用技巧总结

数列放缩法的应用技巧总结数列放缩法是一种在解决数学问题中常用的技巧和方法。

它的核心思想是对给定的数列进行适当的放缩,以便更好地理解和分析数列的性质和规律。

数列放缩法在各个数学领域都有广泛的应用,包括数论、代数、几何、概率论等。

下面将总结数列放缩法的应用技巧。

1. 数列变形:在使用数列放缩法解决问题时,常常需要对原始数列进行变形。

通过将数列中的项重新排列或重新组合,可以使问题变得相对简单。

数列变形的关键是发现数列中的规律和性质,在此基础上进行合理的变形,从而达到更好地解决问题的目的。

2. 数列放缩:数列放缩是数列放缩法的核心步骤。

通过对数列进行加减乘除等运算,可以使数列的项之间的关系更加明确和简单。

数列放缩的关键在于找到合适的变换方法和变换因子,保持等价性的同时使问题变得更容易解决。

3. 利用不等式:数列放缩法常常利用不等式来进行数列的放缩。

通过添加合适的不等式或利用已知的不等式性质,可以对数列的项进行限制和界定。

不等式的选择和使用需要根据具体的问题和数列的性质进行判断,常用的不等式有柯西-施瓦兹不等式、均值不等式、特殊不等式等。

4. 利用递推关系:对于递推数列,数列放缩法常常利用递推关系进行变形和放缩。

通过寻找递推数列的通项公式,可以将原始问题转化为求解通项公式的问题。

在这个过程中,数列的放缩往往是不可缺少的一步,它可以将复杂的递推关系简化为更简单的形式。

5. 利用数列的性质:数列放缩法还常常利用数列的性质来解决问题。

例如,对于等差数列,可以利用其性质求解等差数列的和、推导等差数列的通项公式等。

对于等比数列,也可以利用等比数列的性质来解决等比数列的问题。

6. 利用极限思想:数列放缩法常常利用极限思想来求解数列的极限或证明数列的性质。

通过适当的放缩和变形,可以从数列中找到趋于极限的子数列,从而进一步研究数列的性质和规律。

7. 利用对称性:数列放缩法还常常利用数列的对称性进行变形和放缩。

通过对称性的利用,可以简化数列的形式,从而更好地理解和分析数列的性质和规律。

浅谈数列求和不等式的几种放缩方法

浅谈数列求和不等式的几种放缩方法

浅谈数列求和不等式的几种放缩方法从这个角度来看,洛克说过一句富有哲理的话,学到很多东西的诀窍,就是一下子不要学很多。

我希望诸位也能好好地体会这句话。

我们一般认为,抓住了问题的关键,其他一切则会迎刃而解。

韩非说过一句著名的话,内外相应,言行相称。

我希望诸位也能好好地体会这句话。

我们不得不面对一个非常尴尬的事实,那就是,我们都知道,只要有意义,那么就必须慎重考虑。

既然如此,德国曾经提到过,只有在人群中间,才能认识自己。

这不禁令我深思。

这样看来,经过上述讨论,一般来说,带着这些问题,我们来审视一下浅谈数列求和不等式的几种放缩方法。

浅谈数列求和不等式的几种放缩方法,到底应该如何实现。

莎士比亚说过一句著名的话,本来无望的事,大胆尝试,往往能成功。

这句话语虽然很短,但令我浮想联翩。

所谓浅谈数列求和不等式的几种放缩方法,关键是浅谈数列求和不等式的几种放缩方法需要如何写。

每个人都不得不面对这些问题。

在面对这种问题时,浅谈数列求和不等式的几种放缩方法的发生,到底需要如何做到,不浅谈数列求和不等式的几种放缩方法的发生,又会如何产生。

现在,解决浅谈数列求和不等式的几种放缩方法的问题,是非常非常重要的。

所以,郭沫若说过一句富有哲理的话,形成天才的决定因素应该是勤奋。

这不禁令我深思。

维龙曾经提到过,要成功不需要什么特别的才能,只要把你能做的小事做得好就行了。

带着这句话,我们还要更加慎重的审视这个问题:所谓浅谈数列求和不等式的几种放缩方法,关键是浅谈数列求和不等式的几种放缩方法需要如何写。

我们一般认为,抓住了问题的关键,其他一切则会迎刃而解。

别林斯基在不经意间这样说过,好的书籍是最贵重的珍宝。

这启发了我,那么,既然如此,每个人都不得不面对这些问题。

在面对这种问题时,一般来讲,我们都必须务必慎重的考虑考虑。

池田大作曾经说过,不要回避苦恼和困难,挺起身来向它挑战,进而克服它。

这句话语虽然很短,但令我浮想联翩。

问题的关键究竟为何?这样看来,莎士比亚说过一句著名的话,那脑袋里的智慧,就像打火石里的火花一样,不去打它是不肯出来的。

数列中的放缩法

数列中的放缩法

分析 变式2的结论比变式1强,要达目的,须将
变式1放缩的“度”进行修正,如何修正?
思路一 将变式1的通项从第三项才开始放缩.
1 n2
?
1 n(n ?
1)
?
1? n?1
1 n
(n ? 3)
保留前两项,从 第三项开始放缩
左边 ? 1?
1 22
? (1 ? 2
1) ? 3
(1 ? 3
1) ? L 4
?
(1 ? n?1
? 1 ? 1 (1 ? 1 )
an ? bn (n ? 1)(2n ? 1) 2n(n ? 1) 2 n n ? 1
?n

1 ? 1 ? 1 (1 ? 1 ? 1 ? 1 ?L ? 1 ? 1 )
i?1 ai ? bi 6 2 2 3 3 4
n n?1
? 5? 1 12 2(n ? 1)
? 5 . (n ? 2)
当n = 1时,不等式显然也成立.
评注
放缩法的证明过程就像 “秋风扫落叶” 一样干脆利落!

1 n2
放缩方法不同,得到的结果也不同
.
显然
5 3
?
7 4
?
2,
故后一个结论比前一个结论更强,也就是说如果证明了变式 3,
那么变式 1 和变式 2 就显然成立 . 对 1 的 3 种放缩方法体现了 n2
?n
保留第一项, 从 第二项 开
始放缩
?
左边
?
1?
(1?
1) ? 2
(1 2
?
1) ? L 3
?
(
1 n?
1
?
1) n
? 1? 1? 1 ? 2 (n ? 2) n

高观下的数列放缩思想

高观下的数列放缩思想

高观下的数列放缩思想(类等差等比数列) 例题1(2015浙江高考理科20)已知数列{}n a 满足112a =且()2*1n n n a a a n N +=-∈. (1)证明:()*112n n a n N a +≤≤∈; (2)若数列{}2n a 的前n 项和为n S , 证明:()()()*112221n S n N n n n ≤≤∈++.例题2(2016浙江高考样卷20)已知数列{}n a 满足11a =,*11()21n n a n N a +=∈+.(1)证明:数列12n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为单调递减数列; (2)记n S 为数列{}1n n a a +-的前n 项和,证明:*5()3n S n N <∈1.已知数列满足13a =且*123()n na n N a +=-?. (1)判断数列单调的单调性,并加以证明;(2)设数列的前项和为,证明:2122n n S n +<<+().2.已知数列满足:()2*112,1n n n a a a a n N +==-+∈. (1)证明:1221212n n n a -++?;(2)证明:12122111111221n n n a a a ---?++<L .{}n a {}n a {}n a n n S n ∈*N {}n a练习1.(2006浙江高考20改编)已知正项数列{}n a 满足:221132n n n n a a a a +++=+,11a =.(1)求2a 的值;(2)证明:对于任意的*n N ∈,有12n n a a +<成立;(3)记数列{}n a 的前n 项和为n S ,证明:对于任意的*n N ∈, 有11232n n S --≤<成立.练习2.(2015上海奉贤改编)已知正项数列{}n a 满足:1n a +=,14a =.(1)求证:{}n a 单调递减;(2)记数列{}n a 的前n 项和为n S ,证明:对于任意的*n N ∈,有332n n S n <<+成立.练习3 .(2008浙江高考22改编) 已知数列{}n a ,0n a ≥,10a =,22*111()n n n a a a n N +++-=∈.(1)求证:*1()n n a a n N +<∈;(2)记数列{}n a 的前n 项和为n S ,求证:31n n S n -<<-.例3.已知()321n n n a n N *=?-,证明不等式1232n a a a +++<L .变式1.已知()321n n n a n N *=?-,证明不等式121310n a a a +++<L .变式2.已知()321n n n a n N *=?-,证明不等式12243190n a a a +++<L .。

三类分式型数列和式不等式的放缩策略

三类分式型数列和式不等式的放缩策略

三类分式型数列和式不等式的放缩策略作者:聂文喜来源:《中学数学杂志(高中版)》2016年第04期数列和式不等式证明问题是高中数学永恒的话题,也是每年高考必考的热门考点,因此怎样证明数列和式不等式是师生们非常关注和必须解决的问题,也是学生必备的解题技巧,证明数列和式不等式的基本策略是放缩,因此如何放缩成为能否成功证明数列不等式的关键,下面以近几年高考题为例谈谈三类常见的分式型数列和式不等式放缩策略.1分母是一次型例1(2015年高考广东卷理科第21题第(3)问改编)已知n∈N+且n≥2,求证:12+13+ (1)解令f(x)=1x,(x>0),则f(x)在(0,+∞)内单调递减,如图1,由定积分的几何意义知每个小曲边梯形的面积大于对应的矩形的面积,即∫k+1kf(x)dx>f(k+1),即ln(k+1)-lnk>1k+1,再令k=1,2,…,n-1,然后累加即得12+13+14+ (1)点评由于定积分概念的形成过程是以矩形的面积来逼近曲边梯形的面积,此时取区间的左端点还是右端点的函数值决定这些小矩形的面积是“大于”还是“小于”其本来曲边梯形的面积,利用这个性质来证明与“和式”相关的数列不等式特别有效、简捷,让人赏心悦目.例2(2013年高考大纲版全国卷理科第22题第(2)问)设数列{an}的通项an=1+12+…+1n,证明:a2n-an+14n>ln2.证明a2n-an+14n>ln21n+1+1n+2+…+1n+n+14n>ln21n+1n+1+…+12n-1>ln2+14n.设g(x)=1x,如图2,Sk=1k=1×g(k)表示矩形ABCD的面积,其中A(k,0),B(k+1,0),C(k+1,g(k)),D(k,g (k)),E(k+1,g(k+1)),Sk′=∫k+1kg(x)dx表示曲边梯形ABED的面积,由于函数g(x)=1x在(0,+∞)上是下凸函数,所以矩形ABCD的面积大于对应曲边梯形ABED的面积与右上角的小直角三角形CDE的面积之和,即Sk>Sk′+12×1×g(k)-g(k+1),即1k>∫k+1k1xd x+12(1k-1k+1).令k=n,n+1,…,2n-1,并相加得1n+1n+1+…+12n-1>∫2nn1xdx+12(1n-12n)=(lnx)2nn+14n=ln2+14n.所以,原不等式成立.例3(2012年高考天津卷理科第21题第(3)问)证明:∑ni=122i-1-ln(2n+1)证明当n=1时,不等式左边=2-ln3当n≥2时,原不等式等价为∑ni=222i-1设f(x)=22x-1,如图3,Si=22i-1=1×f(i)表示矩形ABCD的面积,其中A(i,0),B(i-1,0),C(i-1,f(i)),D(i,f(i)),E(i-1,f(i-1)).Si′=∫ii-1f(x)dx表示曲边梯形ABED的面积,因为f(x)为减函数,所以Si∑ni=222i-1所以原不等式成立.例4(2010年高考湖北卷理科第21题第(3)问)证明:1+12+13+……1n>ln(n+1)+n2(n+1)(n≥1).设f(x)=1x,如图4,Sk=1k=1×f(k)表示矩形ABCD的面积,其中A(k+1,0),B (k,0),C(k+1,f(k)),D(k,f(k)),E(k+1,f(k+1)),Sk′=∫k+1kf(x)dx表示曲边梯形ABDE的面积,由于函数f(x)=1x在(0,+∞)上是下凸函数,所以矩形ABCD的面积大于对应曲边梯形ABDE的面积与右上角的小直角三角形CDE的面积之和,即Sk>Sk′+12×1×f(k)-f(k+1),令k=1,2,…,n,并相加得11+12+…+1n>∫n+111xdx+12(1-1n+1)=(lnx)n+11+n2(n+1)=ln(n+1)+n2(n+1),故原不等式成立.2分母是二次型例5(2014年高考广东卷文19(3))已知an=2n,证明:对一切正整数n,有1a1(a1+1)+1a2(a2+1)+…+1an(an+1)分析因为1an(an+1)=12n(2n+1),构造公差为2的等差数列{bn},使12n(2n+1)则1a1(a1+1)+1a2(a2+1)+…+1an(an+1)证明令bn=32+(n-1)×2=2n-12,则bn+1=2n+32,bnbn+1=4n2+2n-34,因为2n(2n+1)=4n2+2n>4n2+2n-34=bnbn+1,所以1an(an+1)=12n(2n+1)所以1a1(a1+1)+1a2(a2+1)+…+1an(an+1)=12(1b1-1bn+1)例6(2008年高考辽宁卷)已知an=n(n+1),bn=(n+1)2,证明:1a1+b1+1a2+b2+…+1an+bn分析因为1an+bn=1(n+1)(2n+1)=2(2n+1)(2n+2),构造公差为2的等差数列{bn},使2(2n+1)(2n+2)则1a1+b1+1a2+b2+…+1an+bn证明令bn=125+(n-1)×2=2n+25,则bn+1=2n+125,bnbn+1=4n2+28n5+2425所以2(2n+1)(2n+2)所以1a1+b1+1a2+b2+…+1an+bn例7(2013年高考广东卷理19(3))已知an=n2,证明对一切正整数n,有1a1+1a2+…+1an分析当n=1时,不等式显然成立,当n≥2时,问题等价于1a2+1a3…+1an因为1an=1n2=1n×n,构造公差为1的等差数列{bn},使1n×n证明当n=1时,不等式显然成立,当n≥2时,令bn=43+(n-2)×1=n-23,则bn+1=n+13,bnbn+1=n2-n3-29所以1a2+1a3+…+1an例8(2014年高考全国卷Ⅱ理17(2))已知an=3n-12,证明:1a1+1a2+…+1an要证的不等式中,左边是n项的和,而右边仅是一个常数32,这样不等式左右两边的结构不和谐,不利于问题的解决,为了解决问题,要么左边能够直接求和(显然左边不能直接求和),要么右边的常数32能够分解为一个数列的前n项和,那右边能分解为一个数列的前n 项和的形式吗?容易想到的是等比数列前n项和,即考虑构造一个公比为q的等比数列{bn},其前n项和为Tn=b1(1-qn)1-q,希望得到1a1+1a2+…+1an≤b1(1-qn)1-q所以令b11-q=32,b1=1a1=1,则q=13,bn=(13)n-1,因此只须证明1an≤bn,即23n-1≤(13)n-1,只须证明2·3n-1≤3n-1,即3n-1≥1,而3n-1≥1显然成立,所以1an≤13n-1,所以1a1+1a2+…+1an≤1+13+…+(13)n-1=1-(13)n1-13例9(2012年高考广东卷理19(3))已知an=3n-2n,证明:对一切正整数n,1a1+1a2+…+1an分析因为1an=13n-2n,构造公比为13的等比数列{bn},使1an=13n-2n≤bn,则1a1+1a2+…+1an证明令bn=(13)n-1,则1an-bn=13n-2n-(13)n-1=2(2n-1-3n-1)3n-1(3n-2n)≤0,所以1an≤(13)n-1,所以1a1+1a2+…+1an≤1+13+…+(13)n-1=1-(13)n1-13。

高观点下数列和式不等式放缩的研究

高观点下数列和式不等式放缩的研究

高观点下数列和式不等式放缩的研究 ——探讨两类典型问题的通法李绍塔(杭州第十四中学,浙江 杭州 310015)摘要:该文利用等价量的思想研究两类数列和式不等式的放大和缩小;通过两个定理的给出,得到解决这两类问题的通法,即“抱团”放缩法和“主导项”思想方法.关键词:数列不等式;“主导项”思想;“抱团”放缩 ;调和级数;等价量0 引 言数列是高中数学的重要知识内容,同时作为高等数学研究极限的主要对象之一,是初等数学与高等数学的重要衔接点.在历年的高考解答题中,数列也都占有相当重要的地位,近年来的浙江省高考数列内容的考查更以压轴题形式出现,而且把数列与不等式结合起来历来是高考命题的热点、难点.我们都知道数列是定义在正整数集或其子集上的函数,那么处理数列与不等式问题理论上也可转化为函数与不等式的问题来处理,但数列又属于离散数学范畴,所以处理这类问题又不能照搬函数与不等式的处理方式,它具有其自身的独特性,这些独特性恰是值得我们探讨的且需要我们在今后的教学中重点关注的.实际上,近年来的高考命题往往可以寻到某些高等数学的影子,所以在今后的教学中可以适当渗透一些高数中极限思想等以提高学生的思想高度和解题能力,所谓站得高看得远,正是这个道理.本文正是基于极限思想下利用等价量对数列的和式不等式进行放大或缩小,重点探讨了两类常见的典型数列放缩问题,给出了解决这两类问题的通法.1 预备知识定义 1 若()f n 在*N 上有定义,当n 时,有()f n →∞,则称()f n 为无穷大量.定义 2 若(),()f n g n 为无穷大量,且()lim()0nf ng n =,则称()f n 为()g n 的低阶无穷大量. 定义 3 若(),()f n g n 为无穷大量,且()lim1()nf ng n =,则称()f n 与()g n 为等价无穷大量. 定义 4 若1lim ()n nk f k S ==å,则称无穷级数1()n f n ¥=å是收敛的.2 理论依据定理 1 若(),()()f n g n n为等价无穷大量,则*01,1,M N l m "<<>$?,当n M ³时,有()()()g n f n g n l m <<成立.证明 若(),()()f n g n n为等价无穷大量,即()lim1()nf ng n =,故01,1l m "<<>,取min{1,1}e l m =--,则存在*M N Î,当n M ³时,有()1()f ng n e -<成立,从而有()()()g n f n g n l m <<成立.证毕.事实上,定理1蕴含夹逼的思想,从而天然的可以结合到数列的放缩中去. 定理2 *n N "?,111ln(1)1ln 123n n n+<++++<+L .证法1首先,令()ln(1)(0)f x x x x =+->,则1()10(""0)11xf x x x x-¢=-=??++取,从而()f x 在[0,)+?上单调递减,故0x ">,有ln(1)x x +<成立.同理可证:0x ">,ln(1)1xx x<++.实际上,由微分中值定理直接可得,ln(1)(,)((0,))11x x x x x xx x +=挝++. 综上,0x ">,ln(1)1x x x x <+<+,取1x n=,得111ln(1)ln(1)ln 1n n n n n <+=+-<+,累加,得111111ln(1)23112n n n+++<+<++++L L ,即证. 证法2由积分中值定理可得,1111111n n dx n x n -<<-òg g ,同时2311211111ln n n n n dx dx dx dx x x x x-==+++蝌蝌L 从而有111111ln 23121n n n +++<<+++-L L ,即证.事实上,定理2说明了调和级数11n n¥=å是发散的,同时它发散到¥的速度和ln n 发散到¥的速度是相同的,即11n k k =å与ln n 是等价无穷大量.因此,定理2阐明了11n k k=å虽然写不出求和的结果,但是可以通过它的一组上界和下界数列把握11n k k=å的变化规律.实际上,我们知道:111lim(1ln )23n n ng ++++-=L (g 叫做欧拉常数,近似值约为0.57721566490153286060651209).3 主要结果接下来,本文探讨如下两类问题模型:问题模型一. 已知*()(,,1)=n f n k a k a N a ?g,求证:1122111123()k n b k n b f n +≤++++≤+. 问题模型二.已知1()()n a f n g n =-,其中()g n 为()f n 的低阶无穷大量以及()0f n >,11()n f n ¥=å收敛到A ,求证:12n a a a S +++<L ,即证1n n a ¥=å是收敛的.下面将通过给出具体例子以及相关变式的方式研究以上两个问题模型,通过利用前文给出的两个定理,对这两类问题中的通项从某项开始(局部放缩)在等价量思想的指引下进行适当的放缩,从而得到解决这两类问题解决的通法.问题模型一. 已知*()(,,1)=n f n k a k a N a ?g ,求证:1122111123()k n b k n b f n +≤++++≤+. 问题分析 由定理2可得111123lim 1ln n n n ++++=L ,从而111123lim 1(ln )nn k a a n++++=L g ,则可根据定理1进一步得到11212,,,,ln 2k k b b R k a k "?<,*M N $?,当n M >时,有1122111123()k n b k n b f n +≤++++≤+成立.下面一起来看几个问题模型一具体的例子.例1.求证:111112322n n++++?L . 分析 可知:11111111232232lim lim 1ln 2(ln 2)n nn n n n ++++++++==L L ,故1111232n++++L 的等价线性主部为(ln 2)n ,因此,缩小为12n+是合理的.证明 由定理2可知:1111ln(21)(ln 2)232n n n ++++>+>L ,从而, (1) 当1[]11ln 22n ?-([]x 表示取整)时,有(ln 2)12n n >+成立;(2) 当11[]1ln 22n #-时,有111112322n n ++++?L 成立; 综上,*111,112322n n n N "?+++?L . 实际上,通过以上证明过程,可以让中学生了解例1的出题背景和出题思路,另一方面,中学生又是没法采用以上的证明步骤解题的, 从而需要我们在这一思路下寻找初等的方法进行以上和式的放缩.因此,下面给出“抱团”放缩的操作步骤.只要考虑一次项系数12,有1111111122122222n n n n n ---+++>=++L g ,故 11111111111()()(123223111)2122242n n n n n --++++=++++++?++++L L L g ,即证. 变式1.求证:111711123212n n -++++≥+. 证明 显然7ln 212<,从而变式1是合理的,仿造例1的证明过程,即证. 另一方面, “抱团”放缩法:考虑7111234=+,有2111212121111111111()()2()2122122221222234n n n n n n n n n n n n ---------++=+++++>+=+++++++L L L g 从而1111111111177111()(1(1)123223*********)222n n n n n n ---++++=+++++?+-=++++++L L g L 即证.变式2.求证11151++2336n n ++⋅⋅⋅+≥1. 证明 显然5ln36<,从而变式2是合理的,考虑511623=+,有 1111212121111111111()()3()3133133331333323n n n n n n n n n n n n ---------++=+++++>+=+++++++L L L g 故1111111511()(123323411)3163n n n n -+++++++=+++++?L L L ,即证.小结1对于调和级数型数列求和的放缩,实际上从无穷级数的角度可以找到命题的高数背景和解题的理论依据及思想方法.此外,在问题模型一中常用的“抱团”放缩的结论如下:111111(1,)12n n na a a N a a a a*---+++>>?++L . 实际上,对1111112n n n a a a--+++++L 这“一团”还可以再进行适当的“分段抱团”放缩,如例1变式1中的2111212121111111111()()2()2122122221222234n n n n n n n n n n n n ---------++=+++++>+=+++++++L L L g 由等价量思想,不难得到71112n -+中的一次项系数可以变大,比如说取533840,其中,53311118405678=+++,当然此时的“一团”也要相应的变成“四团”进行放缩,以至于可以无限接近ln2,当然,常数项需要做适当的调整.以上的例子和分析都是针对和式不等式缩小的处理,放大的处理方式和证明完全相同,本文不再赘述.问题模型二.已知1()()n a f n g n =-,其中()g n 为()f n 的低阶无穷大量以及()0f n >,11()n f n ¥=å收敛到A ,求证:12n a a a S +++<L ,即证1n n a ¥=å是收敛的.题型分析 由()lim 0()n g n f n =可得1()()lim 11()n f n g n f n -=,再由定理1可得*01,M N l "<<$?,当n M ³时,有11()()()f ng n f n l <-成立,于是11111()()()n M n M A f n g n f n l lゥ=+=+<?-邋,由121n M A a a a a a l +++<+++L L ,可取适当的l (依赖于M ),使得1M Aa a S l+++?L 即证12n a a a S +++<L ,另一方面当1nk k a =å有上界,又由于()lim0()n g n f n =且()0f n >,故1n k k a =å从某项开始单调递增,根据单调有界必收敛定理可得1nn a¥=å是收敛的.在这里,重点探讨11()n f n ¥=å为收敛几何级数时的有关应用.下面一起来看几个具体的例子.例2.已知32()n n n a n N *=-?,证明不等式1211132n a a a +++<L . 证明 由定理1可知:*(0,1),,,323n n n M N n M l l "???>成立,反之,取1M =时,为了使323n n n l ->恒成立,则max 22(1)[()]33n l ->=,则13l £,从而1113233n n n £-g ,故121211()111111333()1333213nn n a a a -+++?++=<-L L ,证毕. 根据这个思维,考虑如下两个变式.变式1.已知32()n n n a n N *=-?,证明不等式121111310n a a a +++<L .证明 同上,只要取2M =时,为了使得323n n n l ->恒成立,则max 24(1)[()]39n l ->=,则59l £,从而11(2)53239n n nn 3-g ,故1231211()11191111331()115333105(1)3n n n a a a --+++?+++=+<-L L ,证毕.变式2.已知32()n n n a n N *=-?,证明不等式12111243190n a a a +++<L .证明 同上,只要取3M =时,为了使得323n n n l ->恒成立,则max 28(1)[()]327n l ->=,则1927l £,从而11(3)1932327n n nn 3-g ,故2341211()111127*********()11519333519019(1)3n n n a a a --+++?++++=++<-L L ,证毕. 小结2实际上,以上数列和式放大的上界可以继续缩小,即局部放大的过程中多留下几项,而后面所有项放大后的“盈余”也将越来越小,理论上可以让这个“盈余”想要多小就多小,可以设定放大后的截断误差,使得放大的上界越来越精确.例2这里选取的通项类型是两个等比数列作差之后取倒数的数列,实际上,当n 时,分母几乎由3n 控制了整个分式的变化,2n 相对于3n 在n 时可以忽略不计,被“吃掉了”,那么,我们可以认为3n 即为这个分式结构中分母的“主导项”,所以在后续的放缩过程中,均应该选择放缩成“主导项”,而我们唯一要做的事情就是基于“主导项”思想下选取从某项开始放缩的最优系数,如以上过程中1519,,3927l =等.在这里,不难得到“主导项”放缩思想下的一个简单结论:1,..(,1,) k n n n bs t a b a a b a n k a l l 骣琪$=--?>?琪桫恒成立. 例3.已知3()n n a n n N *=-?,证明不等式12111149210n a a a +++<L .证明 由定理1可知:*(0,1),,,33n n M N n M n l l "????成立,反之, 取1M =时,33n n n l ->恒成立,则max 1(1)[]33n n l ->=(通过作差法,易证3n n 单调递减),则23l £,从而112333n n n £-g ,故121211()111311133()1233342(1)3nn n a a a -+++?++=<-L L ,31494210\>\不符. 取2M =时,33n n n l ->恒成立,则max 2(1)[]39n n l ->=,则79l £,从而11(2)7339nn n n 3-g , 故1231211()11119111153()127333277(1)3n n n a a a --+++?+++=+<-L L , 59191149714141415210=+>+=Q ,\不符. 取3M =时,33n n n l ->恒成立,则max 1(1)[]39n n l ->=,则89l £,从而11(3)8339nn n n 3-g 故341211()1111191111191911493()1278333271416141521024(1)3nn n a a a -+++?++++=++=+<+=-L L ,W . 小结3实际上,在以上数列和式的一个上界给定的前提下,去寻找合适的放大系数的过程,按照“主导项”思想,我们知道这个过程一定是有限次数即可完成的.这里选取的通项类型是一个等比数列和一个等差数列作差之后取倒数的数列,实际上,当n时,同样由分母3n 控制了整个分式的变化,n 相对于3n 在n 时可以忽略不计,也是被“吃掉了”,所以在后续的放缩过程中,均应该选择放缩成“主导项”3n,而我们唯一要做的事情就是基于“主导项”思想下不断地选取从某项开始放缩的最优系数,如以上过程中278,,399l =等.随着这个过程的进行,总能找到一个时刻,从此以后满足放大之后的上界均能小于所证式子中给定的上界.以上的例2、3及其相关的变式只是对()()f n g n 、为两个等比数列和一个等比数列与一个等差数列的类型进行了简单的探讨,实际上,通过()()f n g n 、结构的变化可以产生更多有意思的问题,也有待进一步研究.4 结束语本文先是给出两个后续实例展开所依托的定理,通过实例研究的方式进一步探讨两类典型的问题模型,根据等价量的思想,归纳出中学生能够理解并具有操作性的“抱团”放缩和“主导项”放缩的思想方法.同时,实例的选取始终依托于高中数学中最基本的等差数列和等比数列,重视基础和数学思想的提升,挖掘通法,努力淡化数列放缩的技巧性,让学生感受某些数列放缩类型的可循之迹. 数列放缩的类型繁多,只要能刻苦钻研, 适当归类, 寻求通法,就一定会有所发现,提升能力.。

浅谈高中放缩法在数列与不等式中的运用

浅谈高中放缩法在数列与不等式中的运用

浅谈高中放缩法在数列与不等式中的运用作者:官一宏来源:《读写算·基础教育研究》2016年第03期【摘要】数列与不等式是高中数学课程的精华,在高中数学教学中占有重要地位.其中,不等式的主要教学特点是通过对不等式本质的分析与讲解,充分利用不等式的实际应用特点处理生活问题,从而让学生感受到数列与不等式的优越性,提升学生将理论结合实际的应变能力.为此,本文就通过笔者自身经验,突出以放缩法作为探讨对象,通过对高中数列与不等式的分析,阐述放缩法在其中的巧妙应用.【关键词】放缩法高中数列不等式运用高中数列与不等式通常是指包含有an,sn或者是带有n前缀的式子,数列不等式的命题在高考知识点中发挥着关键作用,也必定是热点考察知识的重要体现.但是,数列与不等式是一项综合性的知识链接,应用的范围和要求基础较高,也具有相当灵活的变换特点,因此就具备了一定的学习难度.在数列与不等式的学习过程中,利用放缩法去解决应用问题既是便捷途径,却也是困难途径,诸多学生在实际的学习处理过程中感到吃力,对解题思路和放缩法的理解不到位.一、对放缩法的应用把握对放缩法的应用把握就是指对放缩力度的大小,以及放缩精细的程度,以达到预定的标准.通过对题目类型的把握,迅速的找到解题突破口,逐渐培养学生严谨的思考能力和学习兴趣,发现数学中数列不等式的内在魅力,认识到放缩法在解决此类问题中的有效性.1.分组的放缩形式在实际计算中可以通过分组的放缩形式来达到预期结果,例如在使用放缩法处理多项式的过程中,就可以采用分组的放缩形式来进行结果运算.2.部分的放缩形式为了避免在放缩过程中出现超出预期效果的大小范围,就采用了一部分不动,另一部分进行相应变化的部分放缩形式.3.逐步放缩的形式假如面临的是多个不同样式的放缩结果,并且出现了结果之间的互异性,最简便的办法就是对计算逐步进行,这种放缩方式可以最大限度的提升放缩的精度大小.4.宏观的放缩形式宏观放缩主要就是说如果运算过程中存在可以推导得出的等式,或是已经存在的等式,就可以对存在组合性质的元素进行等式重构,并对残留的部分执行放缩过程.宏观上的放缩形式最大的优势就是对精度的提升,方便解题的准确性和便捷性.二、单调的函数放缩法形式参照具体的题目类型和所提供的信息,对等式架构进行重构,得到新的单调函数,并对其进行下一步放缩,从而得到结果.比如说:在某例题中为求任何正整数对于等式都成立的问题,就可以对其进行单调函数放缩,因为直接做差,难以找到切入点.而得到该函数的单调性能却是比较容易的,定义域的范围为正整数范围,排除导数的可能性,通过计算可以找到解题思绪,但是依然困难重重,很难下手.但是,数列有着特殊的函数性质,它呈现的是一种单调状态,就会得到函数存在的单调特点.三、放缩形式存在的效果防缩变形在根本上区别于恒等变形,放缩变形无论是在形式上,还是空间上都给人们提供了更多的可能性,可以自由的创造更大空间和添加更多计算的局部内容.使得放缩后的计算形式达到简化效果,结构明了,具体一定的规律性,从而很好的解决问题,实现放缩形式作用的最大化.本文以下题为例讲述:{bn}在符合b1大于等于1,bn+1=bn的平方减去n-2的值乘以bn加三,Tn+3+1比b1的值加上3加1比b2的值,一直加到1比3加bn的值,问题是求证tn 小于二分之一.因为bn加三等于bn乘以bn减去n的值,再加上2乘以bn加三的值,又因为bn大于等于n的值,所以得出bn+1加3大于等于2乘以bn+3的值,n属于正整数,运用跌乘计算得出bn加三的大于等于2n-1乘以b1+3大于等于2n+1.所以1比bn+3的值小于等于1比2n+1.n属于正整数,因此得出结论:Tn小于等于1比2的二次的值加上1比二的三次的值,再加上1比2的四次的值,一直加到1比2的N次值之比等于二分之一减去1比2的n+1次的值,值数小于二分之一.由此看出,把握题目特征对其进行变形,接着删掉其中一个正项,这种计算手法是放缩在不等式中最常用的技法,假如此题在放缩计算后进行分裂项,进行数学归纳等是无法实现的,这也说明了放缩形式中的很多问题.四、采用放缩形式的注意事项和计算方法首先要对放缩的大小方向做到心中有数,无论是放大缩小都必须针对结论而言,针对的大小数值呈现反向动作,也就是计算结果大于标准项则进行缩小,小于标准项则进行扩大.除此之外,针对放缩的项数可以从第一二三项分别开始,也大可不必是对所有的存在项进行统一放缩.在放缩法的一般形式与常用技巧中,其一是对于根式的放缩形式,其二是对于分式分子分母的大小缩放,适用的规律一般为真分数分子分母一块减掉同样的正数,呈现变大趋势,假分数的分子分母一块减掉某个正数,呈现的是递减趋势.其三是在传统不等式的基础上进行放缩操作,其四是对于二项式的定理收缩形式,其五是针对特殊情况采用舍弃添加某些项数.结语综上所述,正确掌握收缩尺度的大小,对于放缩法的正确运用具有重要意义.必须通过不断的思考锻炼,认识到题目本质的考察方向特性,才能对计算流程有一个足够的认识,把复杂的解题过程规模化.比如说在构建函数的过程中,如果前后的不等号出现差别,无法对其单调性进行准确判断,这时运用单调函数去解决该类问题就显得不合时宜.进行略微的调整,在同样的中心问题下,可以用不同的具体方式进行解决.参考文献[1]朱国宏.探析数列型不等式证明中“放缩法”的妙用[J],高中数理化,2014,(09):04-08.。

数列讲座——高观点下数列和式放缩研究 探讨几类典型问题的通法 萧山

数列讲座——高观点下数列和式放缩研究 探讨几类典型问题的通法 萧山

①若 q(x0 ) 1,则数列为“裂项相消”型.
②若 q(x0 ) 1( 1) ,则数列为“等比”型,可放缩成等比数列;
Step5:若第 4 步判定的类型为“裂项相消型”,则对“中心化”式子 取倒数、裂项、累加:
①“中心化”取倒数,得到 1 q(an ) L ; an1 x0 an x0
N*) ,
则得到序列{an} .
(2)命题求解
已知数列
an
满足 a1
= 3 且 an+1
=3-
2 an
(n ?
N*) .
(1)判断数列an 单调的单调性,并加以证明;
(2 )设数列 an 的前 n 项和为 Sn ,证明: 2n +1 < Sn < 2n +2 ( n N * ).
命题解析:由
3、了解等差数列与一次函数、等比数列与指数 函数的关系
4、能利用等差、等比数列前n项和公式及其性质
求一些特殊数列的和
和的不等式
5、能利用数列的等差关系或等比关系解决实际问题
高等数学希望……
中学数学核心内容:函数(数列也是函数) 高等数学核心概念:极限(数列极限,函数极限)
1、数列是高中数学的重要知识内容,同时作为 高等数学研究极限的主要对象之一,是初等 数学与高等数学的重要衔接点
å (极限形式 lim an+1
n
an
=l
¥
<1 ),则 an 收敛;
n=1
(2) 若 $ M ? N* , " n ? M ,有 an+1 ? l 1 an
å (极限形式 lim an+1
n
an
=l
¥
>1 ),则 an

《数列中的放缩法》课件

《数列中的放缩法》课件

面临的挑战
未来发展放缩法,需要解决的关键问题包括 如何提高放缩法的适用性和可靠性,如何克 服其局限性,以及如何与其他数学工具或算 法更好地结合。此外,如何将放缩法的理论
应用于实际问题的解决也是一大挑战。
放缩法的挑战
在使用放缩法时,需要具备深厚的数学基础 和敏锐的观察力,以选择合适的放缩策略。 此外,如何掌握好放缩的尺度,避免过度或 不足的放缩,也是一大挑战。
放缩法的未来发展
发展方向
随着数学理论和计算机技术的发展,放缩法 有望在更多领域得到应用。例如,结合机器 学习算法,可以自动寻找最优的放缩策略。 此外,随着数学与其他学科的交叉融合,放 缩法有望在解决实际问题中发挥更大的作用 。
洛必达法则
洛必达法则是微积分中的一个重要定理,它可以用来计算某些极限。当一个极限 的分子和分母都趋于零时,洛必达法则可以用来求极限。
在数列中,洛必达法则可以用来研究数列的收敛性和发散性。通过应用洛必达法 则,我们可以对数列的项进行放缩,从而证明一些数学命题。
拉格朗日中值定理
拉格朗日中值定理是微积分中的一个 重要定理,它说明了一个函数在两个 点之间的值与这两点之间某点的导数 之间的关系。
解决导数问题
总结词
在解决与导数相关的问题时,放缩法可 以帮助我们更好地理解函数的性质和行 为。
VS
详细描述
在导数问题中,放缩法可以帮助我们更好 地理解函数的性质和行为。通过放缩法, 可以将函数的导数进行放大或缩小,从而 更好地理解函数的增减性、极值点等性质 。此外,放缩法还可以用于解决一些与导 数相关的不等式问题,例如证明函数的导 数满足某种不等式关系。
泰勒级数展开
泰勒级数展开是数学分析中的一个重要概念,它可以将一 个函数表示为无穷级数的形式。通过泰勒级数展开,我们 可以更好地理解函数的性质和行为。

数列放缩法技巧范文

数列放缩法技巧范文

数列放缩法技巧范文数列放缩法(Sequence Scaling Technique)是一个在解决数学问题、特别是数列问题中非常有用的技巧。

数列放缩法可以帮助我们通过确定一个适当的数列和它的上下界来简化问题,从而更容易解决问题。

本文将介绍数列放缩法的基本原理,以及它的应用和技巧。

首先,我们需要找到一个递推公式来描述数列的每一项。

这个递推公式可以是各种形式的,比如线性递推、二次递推、斐波那契递推等等。

一旦我们找到了递推公式,我们就可以开始放缩这个公式。

放缩递推公式的第一步是确定数列的上界和下界。

我们可以通过观察数列的性质和特点来猜测上下界。

例如,我们可以观察数列的前几项,看它们是递增还是递减的,然后猜测数列的上界和下界。

如果数列是递增的,我们可以找到一个递增的数列作为上界;如果数列是递减的,我们可以找到一个递减的数列作为下界。

一旦我们确定了数列的上界和下界,我们就可以用这个数列来放缩原始的递推公式。

具体的放缩方法取决于递推公式的形式和上下界的选择。

下面将介绍一些常用的放缩方法和技巧。

1.加法放缩法:如果原始的递推公式是$f(n)=f(n-1)+a$,我们可以令上界和下界分别为$g(n)=g(n-1)+b$和$h(n)=h(n-1)+c$,其中$b$和$c$是适当的常数。

这样,我们就可以得出$f(n)$的上界和下界分别为$g(n)$和$h(n)$。

2. 乘法放缩法:如果原始的递推公式是$f(n)=af(n-1)$,我们可以令上界和下界分别为$g(n)=bg(n-1)$和$h(n)=ch(n-1)$,其中$b$和$c$是适当的常数。

这样,我们就可以得出$f(n)$的上界和下界分别为$g(n)$和$h(n)$。

3.斐波那契放缩法:如果原始的递推公式是$f(n)=f(n-1)+f(n-2)$,我们可以使用斐波那契数列作为上界和下界,即$g(n)=g(n-1)+g(n-2)$和$h(n)=h(n-1)+h(n-2)$。

高中数学数列与不等式综合问题放缩法

高中数学数列与不等式综合问题放缩法

高中数学数列与不等式综合问题放缩法Last updated on the afternoon of January 3, 2021数列与不等式综合问题 一裂项放缩放缩法证明与数列求和有关的不等式中,很多时候要留一手,即采用有保留的方法,保留数列第一项或前两项,从数列第二项或第三项开始放缩,这样才不至于结果放得过大或过小。

常见裂项放缩技巧:例1求证(1)变式训练[2016·湖南怀化质检]设数列{a n }的前n 项和为S n ,已知a 1=1,=a n +1-n 2-n -,n ∈N *.(1)求数列{a n }的通项公式;(2)证明:++…+<.[2014·广东高考]设各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ,且S n 满足S -(n 2+n -3)S n -3(n 2+n )=0,n ∈N *.(1)求a 1的值;(2)求数列{a n }的通项公式;证明:对一切正整数n ,有++…+<. (3)二等比放缩(一般的,形如的数列,求证都可以等比放缩)例4 [2014·课标全国卷Ⅱ]已知数列{a n }满足a 1=1,a n +1=3a n +1.(1)证明是等比数列,并求{a n }的通项公式;(2)证明++…+<.变式训练【2012.广东理】已知数列{a n }满足111221,1n n n s a a ++=-+=(1)求{a n }的通项公式 2311111()21212121n n *++++<∈++++N 例求证:,n n n n n a a b a a b =-=-12111....n k a a a +++<231111+++......+12222n <(2)证明:对一切正整数n ,都有121113 (2)n a a a +++< 三伯努利不等式应用及推广 对任意的实数()()*1,11nx x nx n N >-+≥+∈有伯努利不等式 例:求证()1111+11+1....13521n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++> ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭变式训练【2008,福建理】已知函数()()ln 1f x x x =+-(1)求f (x )的单调区间(2)记f (x )在[]()0,n n N ∈上的最小值是n b ,令()ln 1n n a x b =+-,求证1313211224242......1...n na a a a a a a a a a a a -+++< 伯努利不等式的推广对任意的实数,例,【2006,江西理】已知数列{a n }满足()11133,2221n n n na a a n a n --==≥+- (1)已知数列{a n }满足(2)证明:对于一切正整数n ,不等式123...2!n a a a a n <恒成立。

放缩法证明数列型不等式解题归类

放缩法证明数列型不等式解题归类

放缩法证明数列型不等式解题归类摘要:纵观近几年高考数学卷,压轴题很多是数列型不等式,其中通常需要证明数列 型不等式,它不但可以考查证明不等式和数列的各种方法,而且还可以综合考查其它多种 数学思想方法,充分体现了能力立意的高考命题原则。

处理数列型不等式最重要要的方法 为放缩法。

放缩法的本质是基于最初等的四则运算,利用不等式的传递性, 其优点是能迅 速地化繁为简,化难为易,达到事半功倍的效果; 其难点是变形灵活,技巧性强,放缩尺 度很难把握。

对大部分学生来说,在面对这类考题时,往往无从下笔•本文以数列型不等 式压轴题的证明为例,探究放缩法在其中的应用,希望能抛砖引玉,给在黑暗是摸索的学 生带来一盏明灯。

关键词:放缩法、不等式、数列、数列型不等式、压轴题 主体:一、常用的放缩法在数列型不等式证明中的应用1裂项放缩法: 放缩法与裂项求和的结合,用放缩法构造裂项求和,用于解决和 式问题。

裂项放缩法主要有两种类型:(1)先放缩通项,然后将其裂成某个数列的相邻两项的差,在求和时消去 中间的项。

nn =1,2,3, III ,证明:v T ii 二达到目标。

(2)先放缩通项,然后将其裂成 n(n 一 3)项之和,然后再结合其余条件进 行二次放缩。

例 2已知数列{a n }和{b n }满足 d=2,a n-1 F (a n1-1) , b n a n -1,数列{b n }的前 n 和为 S.,T n 二 S 2n -S n ;(1)求证:T n1 T n ; 7n 11— 。

121 1 1 1 1 n 3 2n2 n 1 n 2 2n例1设数列Qn f 的前n 项的和S nn 十,3川1。

设「=寻,S n证明:易得 2 ,& =#2n1 -1)(2"-1),人 2n2(2n 1 -1)(2n -1) 一 2 2n -1 一2“ 1 -1n3 n ' T 壬( i 1 2 i =! 3 1=(才 2 2-12i -1 2i 1 —1)2(2' —1 1 3点评: 此题的关键是将 1 1 (2n1-1)(2-1)裂项成尹r 尸,然后再求和,即可2n(II )求证:当n _2时,S21 1 1 12n 1 2n 2 一 n 1 一 (2n1)(2n 2)二 T 2nj T 2n2 I || T 2 T (S17由(I )可知 T n 递增,从而 T^-Tg IH T 2,又 T 1 ,S 1 =1“2 :71 7n+11二》"才丄+丁2."川订2打1 +S 织n —1兀打1十呂=巨(n —1)+?+仁—12~7n +11即当 n _2 时,S’ 一7^1。

《数列中的放缩法》课件

《数列中的放缩法》课件
介绍在放缩过程中添加中间项的技巧,通过具体例子 演示方法的实用性。
利用等式的相似性
深入探讨如何利用等式的相似性,简化问题的步骤并
其他技巧
总结数列放缩中的其他技巧,如善用差分、发散极限
实战演练
练习题:数列放缩
给出数列放缩的典型例题,让学员自行思考并解答。讲师讲解解题思路,逐步让学员掌握放 缩法的真正技巧。
数列中的放缩法
这是一堂深入浅出的数学课程,将介绍数列中的放缩法。从基础概念到实践 演练,让你轻松掌握数列放缩的技巧和应用。
引言
数列相关概念回顾
回顾基本的数列相关概念,如数列定义、通项公式、 和式公式等等。
放缩法的起源及应用场景
介绍放缩法的背景和应用场景,如奥数竞赛中典型 的数列类问题。
单调性及性质
柯西-施瓦茨不等式的变 形及应用
深入探讨柯西-施瓦茨不等式的 变形及其在数列放缩问题中的 应用。
柯西-施瓦茨不等式在数 列放缩中的应用
通过多个例子,详细讲解柯西施瓦茨不等式在数列放缩中的 具体应用。
关于放缩法的技巧
逆向思维
讲解逆向思维及其在数学问题中的应用,更深层次理 解放缩法。
在放缩中加入中间项
给出详细例题讲解。
3
绝对值不等式的基本形式
讲解绝对值不等式的基础知识,从简单到复 杂逐步讲解不等式变形技巧。
绝对值不等式在数列放缩中的应用
结合具体例题,深入探讨绝对值不等式在数 列放缩数学问题中的应用。
柯西-施瓦茨不等式及其应用
柯西-施瓦茨不等式的基 本形式
讲解柯西-施瓦茨不等式的定义 和基础内容。
单调性的定义和判定
详细描述单调性的定义和判定方法,通过具体最小值、最大值、极值等, 及其应用。
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n
åa å
k =1 ¥ n =1
k
不存在,则称无穷级数
¥
åLeabharlann ¥n =1an 发散.
(2)若级数
an 收敛,则称 å an 绝对收敛.
n =1
若级数
å
¥
n =1
an 收敛且 å an 发散,则称 å an 条件收敛.
n =1 n =1
¥
¥
事实上,数列和式不等式问题可看作研究无穷级数敛 散性问题的一个子问题(有时甚至是等价问题), 从而可以反过来从级数的视角审视数列和式的放缩.
方法来源1——比值判别法
Alembert )判别法 若 å an 为正项级数, 达朗贝尔( D¢
n =1 ¥
(1) 若 $ M ? N * , " n ? M ,有
an +1 ?l an
1
¥ an +1 = l <1 ) (极限形式 lim ,则 å an 收敛; n an n =1 an +1 * ?l 1 (2) 若 $ M ? N , " n ? M ,有 an ¥ an +1 = l >1 ) (极限形式 lim ,则 å an 发散. n an n =1 事实上,该判别法在某种意义上可看作几何级数 敛散性判别的推广形式,从而天然的可以结合到 数列的放缩中去.——“指数型”数列
数列和式放缩的两个高数视角
一、无穷级数视角(几何级数、P-级数的敛散性) (一) 通项已知 ¥ 1 1、 “指数”型.(形如 å 借助主导项思想,放缩成等比数列) n =1 f ( n) - g ( n)
1 1 2, 3L ) 放缩成可裂项相消数列) 2、 “幂”型.(基于 å p ( p = , 2 n =1 n 二、动力方程视角(不动点) (二) 通项未知( “递推”型(二次递推、一次分式递推、根式递推) ) ①“指数”型.(借助“变比”放缩成等比数列) ②“裂项相消”型.(借助不动点先“中心化” ,再“取倒裂项累加”处理)
1 1 1 1 2 根据 an a2 ( n 2 ) ,则 an ,又因为 a1 1 , 2 2 6 3 3
1 1 3 1 * * 2 ( n N ) 所以 an ( n N ) ,从而 , 1 2an 1 5 3 an 2 an1
1 an1 1 3 * 2 由 , ( n N ) 1 2an 1 5 an 2 因此
3、了解等差数列与一次函数、等比数列与指数 函数的关系 4、能利用等差、等比数列前n项和公式及其性质 和的不等式 求一些特殊数列的和
5、能利用数列的等差关系或等比关系解决实际问题
高等数学希望……
中学数学核心内容:函数(数列也是函数) 高等数学核心概念:极限(数列极限,函数极限) 1、数列是高中数学的重要知识内容,同时作为 高等数学研究极限的主要对象之一,是初等 数学与高等数学的重要衔接点 2、高考压轴(高考热点、难点) 3、数学竞赛(代数变换能力)
方法来源2——动力方程、不动点定理
压缩映射原理 若 f ( x) 在 R 上满足: " x, y ? R ,有
f ( x) - f ( y) ? l x y ( 0 ? l
1 )——压缩条件
则称 f ( x) 为定义在 R 上的一个压缩映射,此时, f ( x) 在 R 上存在 唯一的不动点 x 0 (即满足 f ( x0 ) = x0 ).
an 1
从而数列 an

1 为单调递减数列 . 2
Step4:计算“变比” q (an ) 在不动点处的函数值,判定数列类型:
1 1 因为 q( ) ,所以递推数列为“等比”型数列. 2 2
Step5:若第 4 步判定的类型为“等比”型,则可以放缩成等比数列:
1 an 1 1 1 1 2 a a a a 由 , q(an ) 0 ,可得 n 1 n n 1 n 2 2 1 2an 1 an 2
例题 1(2015 浙江高考理科 20)——动力方程视角借助不动点定理
1 2 * a a a n N 已知数列 an 满足 a1 且 n 1 . n n 2 an (1)证明: 1 2n N* ; an1
2 (2)若数列 an 的前 n 项和为 Sn ,
解析:
an 1
1 2an 1
(n N * )
1 a1 1 Step1:找出迭代函数: 令 g ( x) ,则本题可表述为 (* ) * 2x 1 an1 g (an ) n N


说明: (*)式即为一个简单迭代序列. Step2:求出迭代函数的不动点: 由 g ( x)
Step5:若第 4 步判定的类型为“裂项相消型” ,则对“中心化”式子 取倒数、裂项、累加: 由 an1 0 an an 0 (an 0)(1 an ) ,
2
1 1 1 1 得 , an1 0 (an 0) 1 an an 0 1 an
简单迭代序列的敛散性分析 若将非线性方程 f ( x) = 0 转化为一个同解方程 x = g ( x) ,任取初始值 a1 , 并且 an+1 = g (an )(n ? N * ) ,则得到序列 {an } .
an +1 - x0 g (an ) - g ( x0 ) = = g¢ (x )(教师角度) an - x0 an - x0 a - x 以及 an+1 - x0 = (an - x0 )q(an ) ,即 n +1 0 = q(an ) (学生角度). an - x0
从动力方程视角看递推数列放缩(例 1、例 2 代表了两种不同类型)
题干模型.已知数列 an 满足 a1 a , an1 g (an )(n N * ) . Step1:找出迭代函数: g ( x) ; Step2:求出迭代函数的不动点:由 g ( x) x ,得 x x0 ; Step3:“中心化”再作商得到 “变比” q (an ) ,研究数列在不动点附近的动力学性质: 求出
an1 an1 0 a 1 1 an q(an ) [ ,1) ,所以即证(1): 1 n 2 n N * . an an 0 2 an1
1 n N* , 2
Step4:计算 “变比” q (an ) 在不动点处的函数值,判定数列类型: 因为 q(0) 1 ,所以递推数列为“裂项相消”型.
例题 2(2016 浙江高考样卷 20)——动力方程视角借助不动点定理 已知数列 an 满足 a1 1 , an 1
1 2an 1
(n N * ) .
1 (1)证明:数列 an 为单调递减数列; 2
5 a a (2)记 Sn 为数列 n1 n 的前 n 项和,证明: Sn (n N * ) . 3
¥
放缩结果:1、数值型 2、变量型
åa
k =1 n
k =1
n
k
< S ( å an 往往是收敛的)
< Tn ( å an 往往是发散的)
n =1
¥
åa
n =1 ¥
k
思想来源——两类极限问题(通项、和)
1、数列通项的敛散性: (1)若 lim an = a ,则称数列 {an } 收敛.
n
(2)若 lim an 不存在,则称数列 {an } 发散.
an 1 x0 q(an ) ,分析 q(an ) . an x0
Step4: 计算“变比” q (an ) 在不动点处的函数值,判定数列类型: ①若 q( x0 ) 1 ,则数列为“裂项相消”型. ②若 q( x0 ) 1( 1) ,则数列为“等比”型,可放缩成等比数列;
1、 分析的角度: 若 x0 = g ( x0 ) , 则 2、敛散性结论:已知 g ( x0 ) = x0 ,即 x 0 为 g ( x) 的不动点,在不动点 x 0 附近: ①若 0 < g ¢ ( x) <1 ,则 an 为单调收敛迭代序列,即被不动点单调吸引;
( x) < 0 ,则 an 为振荡收敛迭代序列,即被不动点上下振荡吸引; ②若 - 1 < g ¢ ( x) < - 1 ,则 an 为振荡发散迭代序列,即被不动点上下振荡排斥; ③若 g ¢ ( x) >1 ,则 an 为单调发散迭代序列,即被不动点单调排斥. ④若 g ¢
1 1 x ,得不动点 x 和 x 1 ; 2 2x 1
Step3:“中心化”再作商得到 “变比” q (an ) ,研究数列在不动点附近的动力学性质:
* 根据迭代函数或利用作差法,易得 0 an 1 n N ,


1 1 an 1 2 1, 2 1 q(a ) (1, 1 ] (1, 0) ,即得 又因为 n 1 1 2an 1 3 an an 2 2
1 n 1 1 Sn ak 1 ak ak ak 2 k 2 2 k 1 k 1
n n
n n 1 1 3 3 a1 1 a2 1 5 5 2 5 2 . 3 3 3 1 1 5 5
2 n
*

1 a 1 2 Step1:找出迭代函数: 令 g ( x) x x2 ,则本题可表述为 (*) an 1 g (an ) n N *
Step2:求出迭代函数的不动点: 由 g ( x) x x x ,得 x 0 ;
2
Step3:“中心化”再作商得到 “变比” q (an ) ,研究数列在不动点附近的动力学性质: 根据迭代函数或利用作差法,易得 0 an 又因为
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