2016.3.24数列讲座——高观点下数列和式放缩研究(探讨几类典型问题的通法)(萧山)

n
åa å
k =1 ¥ n =1
k
不存在，则称无穷级数
¥
åLeabharlann ¥n =1an 发散.
（2）若级数
an 收敛，则称 å an 绝对收敛.
n =1
若级数
å
¥
n =1
an 收敛且 å an 发散，则称 å an 条件收敛.
n =1 n =1
¥
¥
事实上,数列和式不等式问题可看作研究无穷级数敛 散性问题的一个子问题（有时甚至是等价问题）， 从而可以反过来从级数的视角审视数列和式的放缩.
方法来源1——比值判别法
Alembert ）判别法 若 å an 为正项级数， 达朗贝尔（ D¢
n =1 ¥
（1） 若 $ M ? N * ， " n ? M ，有
an +1 ?l an
1
¥ an +1 = l <1 ） （极限形式 lim ，则 å an 收敛; n an n =1 an +1 * ?l 1 （2） 若 $ M ? N ， " n ? M ，有 an ¥ an +1 = l >1 ） （极限形式 lim ，则 å an 发散. n an n =1 事实上,该判别法在某种意义上可看作几何级数 敛散性判别的推广形式，从而天然的可以结合到 数列的放缩中去.——“指数型”数列
数列和式放缩的两个高数视角
一、无穷级数视角（几何级数、P-级数的敛散性） （一） 通项已知 ¥ 1 1、 “指数”型.（形如 å 借助主导项思想，放缩成等比数列） n =1 f ( n) - g ( n)
1 1 2， 3L ) 放缩成可裂项相消数列） 2、 “幂”型.（基于 å p ( p = ， 2 n =1 n 二、动力方程视角（不动点） （二） 通项未知（ “递推”型（二次递推、一次分式递推、根式递推） ） ①“指数”型.（借助“变比”放缩成等比数列） ②“裂项相消”型.（借助不动点先“中心化” ，再“取倒裂项累加”处理）
1 1 1 1 2 根据 an a2 （ n 2 ） ，则 an ，又因为 a1 1 ， 2 2 6 3 3
1 1 3 1 * * 2 （ n N ） 所以 an （ n N ） ，从而 ， 1 2an 1 5 3 an 2 an1
1 an1 1 3 * 2 由 ， （ n N ） 1 2an 1 5 an 2 因此
3、了解等差数列与一次函数、等比数列与指数 函数的关系 4、能利用等差、等比数列前n项和公式及其性质 和的不等式 求一些特殊数列的和
5、能利用数列的等差关系或等比关系解决实际问题
高等数学希望……
中学数学核心内容：函数（数列也是函数） 高等数学核心概念：极限（数列极限，函数极限） 1、数列是高中数学的重要知识内容,同时作为 高等数学研究极限的主要对象之一,是初等 数学与高等数学的重要衔接点 2、高考压轴（高考热点、难点） 3、数学竞赛（代数变换能力）
方法来源2——动力方程、不动点定理
压缩映射原理 若 f ( x) 在 R 上满足： " x, y ? R ，有
f ( x) - f ( y) ? l x y （ 0 ? l
1 ）——压缩条件
则称 f ( x) 为定义在 R 上的一个压缩映射，此时， f ( x) 在 R 上存在 唯一的不动点 x 0 （即满足 f ( x0 ) = x0 ）.
an 1
从而数列 an

1 为单调递减数列 . 2
Step4:计算“变比” q (an ) 在不动点处的函数值，判定数列类型：
1 1 因为 q( ) ，所以递推数列为“等比”型数列. 2 2
Step5:若第 4 步判定的类型为“等比”型，则可以放缩成等比数列：
1 an 1 1 1 1 2 a a a a 由 ， q(an ) 0 ，可得 n 1 n n 1 n 2 2 1 2an 1 an 2
例题 1（2015 浙江高考理科 20）——动力方程视角借助不动点定理
1 2 * a a a n N 已知数列 an 满足 a1 且 n 1 . n n 2 an （1）证明： 1 2n N* ； an1
2 （2）若数列 an 的前 n 项和为 Sn ，
解析：
an 1
1 2an 1
(n N * )
1 a1 1 Step1:找出迭代函数： 令 g ( x) ，则本题可表述为 （* ） * 2x 1 an1 g (an ) n N


说明： （*）式即为一个简单迭代序列. Step2:求出迭代函数的不动点： 由 g ( x)
Step5:若第 4 步判定的类型为“裂项相消型” ，则对“中心化”式子 取倒数、裂项、累加： 由 an1 0 an an 0 (an 0)(1 an ) ,
2
1 1 1 1 得 ， an1 0 (an 0) 1 an an 0 1 an
简单迭代序列的敛散性分析 若将非线性方程 f ( x) = 0 转化为一个同解方程 x = g ( x) ，任取初始值 a1 ， 并且 an+1 = g (an )(n ? N * ) ，则得到序列 {an } .
an +1 - x0 g (an ) - g ( x0 ) = = g¢ (x )（教师角度） an - x0 an - x0 a - x 以及 an+1 - x0 = (an - x0 )q(an ) ，即 n +1 0 = q(an ) （学生角度）. an - x0
从动力方程视角看递推数列放缩（例 1、例 2 代表了两种不同类型）
题干模型.已知数列 an 满足 a1 a ， an1 g (an )(n N * ) . Step1:找出迭代函数： g ( x) ； Step2:求出迭代函数的不动点：由 g ( x) x ，得 x x0 ； Step3:“中心化”再作商得到 “变比” q (an ) ，研究数列在不动点附近的动力学性质： 求出
an1 an1 0 a 1 1 an q(an ) [ ,1) ，所以即证(1): 1 n 2 n N * . an an 0 2 an1
1 n N* ， 2
Step4:计算 “变比” q (an ) 在不动点处的函数值，判定数列类型： 因为 q(0) 1 ，所以递推数列为“裂项相消”型.
例题 2（2016 浙江高考样卷 20）——动力方程视角借助不动点定理 已知数列 an 满足 a1 1 ， an 1
1 2an 1
(n N * ) ．
1 （1）证明：数列 an 为单调递减数列； 2
5 a a （2）记 Sn 为数列 n1 n 的前 n 项和，证明： Sn (n N * ) ． 3
¥
放缩结果：1、数值型 2、变量型
åa
k =1 n
k =1
n
k
< S （ å an 往往是收敛的）
< Tn （ å an 往往是发散的）
n =1
¥
åa
n =1 ¥
k
思想来源——两类极限问题（通项、和）
1、数列通项的敛散性： （1）若 lim an = a ，则称数列 {an } 收敛.
n
（2）若 lim an 不存在，则称数列 {an } 发散.
an 1 x0 q(an ) ，分析 q(an ) . an x0
Step4: 计算“变比” q (an ) 在不动点处的函数值，判定数列类型： ①若 q( x0 ) 1 ，则数列为“裂项相消”型. ②若 q( x0 ) 1( 1) ，则数列为“等比”型，可放缩成等比数列；
1、 分析的角度： 若 x0 = g ( x0 ) ， 则 2、敛散性结论：已知 g ( x0 ) = x0 ，即 x 0 为 g ( x) 的不动点，在不动点 x 0 附近： ①若 0 < g ¢ ( x) <1 ，则 an 为单调收敛迭代序列，即被不动点单调吸引；
( x) < 0 ，则 an 为振荡收敛迭代序列，即被不动点上下振荡吸引； ②若 - 1 < g ¢ ( x) < - 1 ，则 an 为振荡发散迭代序列，即被不动点上下振荡排斥； ③若 g ¢ ( x) >1 ，则 an 为单调发散迭代序列，即被不动点单调排斥. ④若 g ¢
1 1 x ，得不动点 x 和 x 1 ； 2 2x 1
Step3:“中心化”再作商得到 “变比” q (an ) ，研究数列在不动点附近的动力学性质：
* 根据迭代函数或利用作差法，易得 0 an 1 n N ，


1 1 an 1 2 1， 2 1 q(a ) (1, 1 ] (1, 0) ，即得 又因为 n 1 1 2an 1 3 an an 2 2
1 n 1 1 Sn ak 1 ak ak ak 2 k 2 2 k 1 k 1
n n
n n 1 1 3 3 a1 1 a2 1 5 5 2 5 2 . 3 3 3 1 1 5 5
2 n
*

1 a 1 2 Step1:找出迭代函数： 令 g ( x) x x2 ,则本题可表述为 (*) an 1 g (an ) n N *
Step2:求出迭代函数的不动点： 由 g ( x) x x x ，得 x 0 ；
2
Step3:“中心化”再作商得到 “变比” q (an ) ，研究数列在不动点附近的动力学性质： 根据迭代函数或利用作差法，易得 0 an 又因为
高观点下
数列和式放缩研究
——探讨几类典型问题的通法
杭州第十四中学 李绍塔
考试说明说……
（一）数列的概念与表示 了解数列的概念和几种表示方法（列表、图象、解析法（通项公式、递推公式）） （二）等差数列、等比数列 1、理解等差数列、等比数列的概念 2、掌握等差数列、等比数列的通项公式与前n项和公式
“变比”数列



Sn 1 1 * n N 证明： . 2 n 2 n 2 n 1
本题充分体现浙江高考试题特点， 简约而不简单.主要考查数列的 表示和性质，数列与不等式，数列与函数的关系等知识，考查综合分 析问题、解决问题的能力.
解析：
an 1 an a n N
简单迭代序列的敛散性——命题的依据和源头 若将非线性方程 f ( x) = 0 转化为一个同解方程 x = g ( x) ， 任取初始值 a1 ，并且 an+1 = g (an )(n ? N * ) ，则得到序列 {an } . 收敛定理：若 g ( x) 在 [a, b] 上满足压缩条件，则迭代序列 {an } 收敛. 推论: 若 g ( x) 在 [a, b] 上满足 sup g¢ ( x) = l <1 ,则数列 {an } 收敛， 且收敛的极限即为 g ( x) 在 [a, b] 上的不动点.
n
事实上,数列通项不等式问题可看作研究数列敛散性 问题的一个子问题（有时甚至是等价问题），从而 可以反过来从极限的视角来审视数列通项的放缩.
思想来源——两类极限问题（通项、和）
2、数列前 n 项和的敛散性： （1）若 lim
n
åa
k =1 n
n
k
= S ，则称无穷级数 å an 收敛.
n =1
¥
若 lim
n n 1 1 1 1 1 1 故 ，从而 ( )， 1 an an1 0 an 0 ak 0 k 1 1 ak k 1 ak 1 0 1 1 * 又 0 an n N ，得到 1 2， 2 1 an
n 1 1 1 1 1 an 1 即得 n , 2n ，即证 2n 2 n2 an1 a1 k 1 1 ak 1 1 an 1 通过分析可知，(2)只要证明 ，从而原命题得证. 2n 2 n2