高考数学复习知识点-轨迹方程的求解-
高考数学轨迹方程的求解知识点归纳整理-圆的轨迹方程例题
高考数学轨迹方程的求解知识点归纳整理|圆的轨迹方程例题符合一定条的动点所形成的图形，或者说，符合一定条的点的全体所组成的集合，叫做满足该条的点的轨迹.轨迹，包含两个方面的问题：凡在轨迹上的点都符合给定的条，这叫做轨迹的纯粹性(也叫做必要性);凡不在轨迹上的点都不符合给定的条，也就是符合给定条的点必在轨迹上，这叫做轨迹的完备性(也叫做充分性).【轨迹方程】就是与几何轨迹对应的代数描述。
一、求动点的轨迹方程的基本步骤⒈建立适当的坐标系，设出动点M的坐标;⒉写出点M的集合;⒊列出方程=0;⒋化简方程为最简形式;⒌检验。
二、求动点的轨迹方程的常用方法：求轨迹方程的方法有多种，常用的有直译法、定义法、相关点法、参数法和交轨法等。
⒈直译法：直接将条翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法通常叫做直译法。
⒉定义法：如果能够确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程，这种求轨迹方程的方法叫做定义法。
⒊相关点法：用动点Q的坐标x，y表示相关点P的坐标x0、y0，然后代入点P的坐标(x0，y0)所满足的曲线方程，整理化简便得到动点Q轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做相关点法。
⒋参数法：当动点坐标x、y之间的直接关系难以找到时，往往先寻找x、y与某一变数t的关系，得再消去参变数t，得到方程，即为动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做参数法。
⒌交轨法：将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做交轨法。
*直译法：求动点轨迹方程的一般步骤①建系建立适当的坐标系;②设点设轨迹上的任一点P(x，y);③列式列出动点p所满足的关系式;④代换依条的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为关于X，Y的方程式，并化简;⑤证明证明所求方程即为符合条的动点轨迹方程。
高考数学难点突破_难点22__轨迹方程的求法
高考数学难点突破_难点22__轨迹方程的求法在高考数学中，轨迹方程的求法是一个比较常见但也较为复杂的难点。
在解决这类问题时，我们需要考虑几个关键因素，如何确定相关点、如何利用已知条件及使用适当的数学知识等。
一、确定相关点对于轨迹方程的求法，首先需要明确或确定一些与所求轨迹相关的点。
这些点可以从已知条件中得出，如一个点的坐标、两个点的距离、特定点到直线的距离等。
这些已知条件将成为我们解题的基础。
二、利用已知条件在确定了相关的点之后，我们需要利用已知条件来求解轨迹方程。
对于不同的条件，我们可以使用不同的数学知识和方法来解决问题。
下面是一些常见的已知条件及相应的解决思路：1.已知点的坐标：如果已知轨迹上的其中一点的坐标，我们可以将这个点的坐标代入轨迹方程中，得到一个等式，并根据这个等式求解出其他未知量，从而得到轨迹方程。
例如，已知轨迹上的点的坐标满足$x^2+y^2=1$，则这是一个以原点为中心、半径为1的圆的轨迹方程。
2.已知点到另一点的距离：如果已知轨迹上的其中一点到另一点的距离等于一定值，我们可以根据距离公式来求解轨迹方程。
例如，已知轨迹上的点到点$(2,1)$的距离等于2，则可以列出方程$\sqrt{(x-2)^2 + (y-1)^2} = 2$，进而求解出轨迹方程。
3.已知点到直线的距离：如果已知轨迹上的其中一点到直线的距离等于一定值，我们可以利用距离公式和直线方程来求解轨迹方程。
例如，已知轨迹上的点到直线$2x+ 3y = 6$的距离等于3，则可以列出方程$\frac{，2x + 3y -6，}{\sqrt{2^2 + 3^2}} = 3$，进一步求解出轨迹方程。
三、使用适当的数学知识在解决轨迹方程的问题中，我们可能需要应用到一些特定的数学知识，如圆的性质、直线的性质、二次曲线方程等。
我们需要结合问题的具体情况，合理地选择和应用这些知识来解决问题。
总结起来，要解决轨迹方程的问题，我们需要明确相关点、利用已知条件和适当应用数学知识。
高考数学总复习(整合考点+典例精析+深化理解)第七章
半径 r2＝2，
又|OQ|＝
x0＋2 12＋y202
＝
14x20＋21x0＋14＋413－43x20
＝
116x20＋12x0＋1 ＝1＋14x0，
故|OQ|＝r2－r1，即两圆内切．
点评：根据题设条件，可以得出动点的轨迹是某种已知
曲线，则可以由该曲线的定义直接写出动点的轨迹方程．
线段AN上，且 M→P·B→N＝ 0.
(1)求动点P的轨迹方程； (2)试判断以PB为直径的圆与圆x2＋y2＝4的位置关系， 并说明理由．
自主解答：
解析：(1)由点 M 是 BN 的中点， 又M→P·B→N＝0，可知 PM 垂直平分 BN， 所以|PN|＝|PB|，又|PA|＋|PN|＝|AN|， 所以|PA|＋|PB|＝4＞|AB|， 由椭圆定义知，点 P 的轨迹是以 A，B 为焦点的椭圆． 设椭圆方程为ax22＋by22＝1，其中 2a＝4，2c＝2， 可得 a2＝4，b2＝a2－c2＝3. 可知动点 P 的轨迹方程为x42＋y32＝1.
化简得(x＋1)2－y2＝65.
即为所求的动点 M 的轨迹方程．
点评：利用题设条件建立动点坐标x与y的关系，再等价变 形得到轨迹方程F(x，y)＝0.
变式探究
1．(2012·襄阳调研)平面内动点 P(x，y)与 A(－2，0)，B(2,0) 两点连线的斜率之积为41，则动点 P 的轨迹方程为( )
变式探究
2 ． 已 知 两 定 点 F1( － 1,0) 、 F2(1,0) ， 且 |F1F2| 是 |PF1| 与 |PF2|的等差中项，则动点P的轨迹方程是________．
解析：由|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项知： |PF1|＋|PF2|＝4＞|F1F2|， 故动点 P 的轨迹是以定点 F1(－1,0)、F2(1,0)为焦点， 长轴长为 4 的椭圆，故其方程为x42＋y32＝1. 答案：x42＋y32＝1
高中数学「求轨迹方程」知识点梳理+例题精练,建议收藏~
专题51曲线与方程-求轨迹方程【热点聚焦与扩展】纵观近几年的高考试题，高考对曲线与方程的考查，主要有以下两个方面：一是确定的轨迹的形式或特点；二是求动点的轨迹方程，同时考查到求轨迹方程的基本步骤和常用方法.一般地，命题作为解答题一问，小题则常常利用待定系数法求方程或利用方程判断曲线类别.本专题在分析研究近几年高考题及各地模拟题的基础上，重点说明求点的轨迹方程问题的常见解法.1、求点轨迹方程的步骤：（1）建立直角坐标系（2）设点：将所求点坐标设为(),x y ，同时将其他相关点坐标化（未知的暂用参数表示）（3）列式：从已知条件中发掘,x y 的关系，列出方程（4）化简：将方程进行变形化简，并求出,x y 的范围2、求点轨迹方程的方法（1）直接法：从条件中直接寻找到,x y 的关系，列出方程后化简即可（2）代入法：所求点(),P x y 与某已知曲线()00,0F x y =上一点()00,Q x y 存在某种关系，则可根据条件用,x y 表示出00,x y ，然后代入到Q 所在曲线方程中，即可得到关于,x y 的方程（3）定义法：从条件中能够判断出点的轨迹为学过的图形，则可先判定轨迹形状，再通过确定相关曲线的要素，求出曲线方程.常见的曲线特征及要素有：①圆：平面上到定点的距离等于定长的点的轨迹直角→圆：若AB AC ⊥，则A 点在以BC 为直径的圆上确定方程的要素：圆心坐标(),a b ，半径r②椭圆：平面上到两个定点的距离之和为常数（常数大于定点距离）的点的轨迹确定方程的要素：距离和2a ，定点距离2c③双曲线：平面上到两个定点的距离之差的绝对值为常数（小于定点距离）的点的轨迹注：若只是到两定点的距离差为常数（小于定点距离），则为双曲线的一支确定方程的要素：距离差的绝对值2a ，定点距离2c④抛物线：平面上到一定点的距离与到一定直线的距离（定点在定直线外）相等的点的轨迹确定方程的要素：焦准距：p .若曲线位置位于标准位置（即标准方程的曲线），则通过准线方程或焦点坐标也可确定方程（4）参数法：从条件中无法直接找到,x y 的联系，但可通过一辅助变量k ，分别找到,x y 与k 的联系，从而得到,x y 和k 的方程：()()x f k y g k =⎧⎪⎨=⎪⎩，即曲线的参数方程，消去参数k 后即可得到轨迹方程.【经典例题】例1．（2020·四川内江·高三三模）已知点()2,0A -、()3,0B ，动点(),P x y 满足2PA PB x ⋅=，则点P 的轨迹是（）A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线例2．（2020·广东深圳三模·）当点P 在圆221x y +=上变动时，它与定点()3,0Q -的连线PQ 的中点的轨迹方程是（）A．()2234x y ++=B．()2231x y -+=C．()222341x y -+=D．()222341x y ++=例3．（2020·江西新余四中高三三模）如图：在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 是1B C 的中点，动点M 在其表面上运动，且与平面11A DC 的距离保持不变，运行轨迹为S ，当M 从P 点出发，绕其轨迹运行一周的过程中，运动的路程x 与11l MA MC MD =++之间满足函数关系()l f x =，则此函数图像大致是（）A．B．C．D．例4．（2020·上海市嘉定区第一中学高三三模）如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 是平面11ADD A 上一点，且满足ADP △为正三角形．点M 为平面ABCD 内的一个动点，且满足MP MC =．则点M 在正方形ABCD 内的轨迹为（）A．B．C．D．例5．（2020·辽宁高三三模）已知半径为r 的圆M 与x 轴交于,E F 两点，圆心M 到y 轴的距离为d .若d EF =，并规定当圆M 与x 轴相切时0EF =，则圆心M 的轨迹为()A．直线B．圆C．椭圆D．抛物线例6．（2020·安徽庐阳·合肥一中高三三模）已知点A ，B 关于坐标原点O 对称，1AB =，以M 为圆心的圆过A ，B 两点，且与直线210y -=相切，若存在定点P ，使得当A 运动时，MA MP -为定值，则点P 的坐标为（）A．104⎛⎫ ⎪⎝⎭，B．102⎛⎫ ⎪⎝⎭，C．14⎛⎫- ⎪⎝⎭0，D．102，⎛⎫- ⎪⎝⎭例7．（2020·东湖·江西师大附中高三三模）设过点(),P x y 的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于,A B 两点，点Q 与点P 关于y 轴对称，O 为坐标原点，若2BP PA = ，且1OQ AB ⋅= ，则点P的轨迹方程是（）A．()223310,02x y x y +=>>B．()223310,02x y x y -=>>C．()223310,02x y x y -=>>D．()223310,02x y x y +=>>例8．（2016·山西运城·高三三模）已知为平面内两定点,过该平面内动点作直线的垂线,垂足为.若,其中为常数,则动点的轨迹不可能是（）A．圆B．椭圆C．抛物线D．双曲线【精选精练】1．（2020·广东普宁·高三三模）与圆及圆都外切的圆的圆心在（）A．一个椭圆上B．双曲线的一支上C．一条抛物线D．一个圆上2．（2020·上海高三三模）在平面直角坐标系内，到点()1,2A 和直线l ：30x y +-=距离相等的点的轨迹是（）A．直线B．抛物线C．椭圆D．双曲线3．（2020·全国高考真题）在平面内，A ，B 是两个定点，C 是动点，若=1AC BC ⋅，则点C 的轨迹为（）A．圆B．椭圆C．抛物线D．直线4．（2020·辽宁沈阳·高三三模）已知椭圆22184x y +=，点A ，B 分别是它的左，右顶点.一条垂直于x 轴的动直线l 与椭圆相交于P ，Q 两点，又当直线l 与椭圆相切于点A 或点B 时，看作P ，Q 两点重合于点A 或点B ，则直线AP 与直线BQ 的交点M 的轨迹方程是（）A．22184y x -=B．22184x y -=C．22148y x -=D．22148x y -=5．如图，在平面直角坐标系中，()1,0A 、()1,1B 、()0,1C ，映射将平面上的点(),P x y 对应到另一个平面直角坐标系上的点()222,P xy x y '-，则当点沿着折线运动时，在映射的作用下，动点P '的轨迹是（）A．B．C．D．6．（2020·四川成都七中高三三模）正方形1111ABCD A B C D -中，若12CM MC =，P 在底面ABCD 内运动，且满足1DP CPD P MP=，则点P 的轨迹为（）A．圆弧B．线段C．椭圆的一部分D．抛物线的一部分7．（2020·天水市第一中学高三三模）动点A 在圆221x y +=上移动时，它与定点()3,0B 连线的中点的轨迹方程是（）A．22320x y x +++=B．22320x y x +-+=C．22320x y y +++=D．22320x y y +-+=8．（2020·北京市陈经纶中学高三三模）古希腊数学家阿波罗尼奥斯的著作《圆锥曲线论》中给出了圆的另一种定义：平面内，到两个定点A 、B 距离之比是常数λ(0,1)λλ>≠的点M 的轨迹是圆.若两定点A 、B 的距离为3，动点M 满足||2||MA MB =，则M 点的轨迹围成区域的面积为（）.A．πB．2πC．3πD．4π9．（2020·内蒙古包头·高三三模）已知定点,A B 都在平面α内，定点,,P PB C αα∉⊥是α内异于,A B 的动点，且PC AC ⊥，那么动点C 在平面α内的轨迹是（）A．圆，但要去掉两个点B．椭圆，但要去掉两个点C．双曲线，但要去掉两个点D．抛物线，但要去掉两个点10．如图所示，已知12,F F 是椭圆()2222:10x y a b a b Γ+=>>的左，右焦点，P 是椭圆Γ上任意一点，过2F 作12F PF ∠的外角的角平分线的垂线，垂足为Q ，则点Q 的轨迹为（）A．直线B．圆C．椭圆D．双曲线11．（2020·北京房山·高三三模）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M 为棱AB 的中点，动点P 在平面11BCC B 及其边界上运动，总有1AP D M ⊥，则动点P 的轨迹为（）A．两个点B．线段C．圆的一部分D．抛物线的一部分12．（2020·四川内江·高三三模）已知平面内的一个动点P 到直线l ：x ＝433的距离与到定点F0）的距离之比为3，点11,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，设动点P 的轨迹为曲线C ，过原点O 且斜率为k （k ＜0）的直线l 与曲线C 交于M 、N 两点，则△MAN 面积的最大值为（）C．22D．1。
立体几何中的轨迹问题(详细版)
立体几何中的轨迹问题高考数学有一类学科内的综合题，它们的新颖性、综合性，值得我们重视，在知识网络交汇点处设计试题是高考命题改革的一个方向，以空间问题为为背景的轨迹问题作为解析几何与立体几何的交汇点，由于知识点多，数学思想和方法考查充分，求解比较困难。
通常要求学生有较强的空间想象能力，以及能够把空间问题转化到平面上,再结合解析几何方法求解，以下精选几个问题来对这一问题进行探讨,旨在探索题型规律，揭示解题方法。
一、用空间运动的观点来得到点的轨迹。
例1：直线PA 是平面M 的一条斜线，斜足为A,动直线PB 过点P 且与直线PB 垂直,且交平面M 于点B ，求动点B 的轨迹.解：先探讨直线PB 的运动轨迹，由于直线PB 始终与PA 垂直,可知PB 的运动轨迹应是直线PA 的垂直平面N 。
再结合点B 一定在平面M 内，所以点B 的轨迹应该是两个平面的交线，所以点B 的轨迹是一条直线。
针对以上解法，我们对这一问题作一深层次的探讨:若直线PA 与平面M 成α角，直线PB 始终与直线PA 成β角,再来求点B 的轨迹。
由上述解法可知，我们只要得到直线PB 的空间轨迹，再来考察该轨迹与平面M 的交线即可。
由简单的模型模拟即可知，直线PB 的轨迹是一个圆锥面，再用一个平面截圆锥面，这一知识在平面解析几何中圆锥曲线的来历中有提到，即所得曲线可能是圆、椭圆、抛物线、双曲线。
因此，我们在以下命题:直线PA 是平面M 的一条斜线,且与平面M 成α角，斜足为A ，动直线PB 过点P 且与直线PB 成β角,交平面M 于点B ，求动点B 的轨迹。
结论： (1）若α=90°，β≠90°，则动点B 的轨迹是一个圆； （2)若α≠90°，β=90°,动点B 的轨迹是一条直线；(3）若α≠90°，β≠90°，则①若90°>α〉β，则轨迹是椭圆; ②若α=β,则轨迹是抛物线； ③若α<β，则轨迹是双曲线。
曲线方程与轨迹问题专题复习讲义-2024届高考数学一轮复习专题讲义 (学生版)
目录曲线与轨迹问题 (2)【课前诊断】 (2)【知识点一：求曲线方程】 (4)【典型例题】 (4)考点一：定义法 (4)考点二：直接法 (5)考点三：相关点法 (6)考点四：参数法 (7)【小试牛刀】 (8)【巩固练习——基础篇】 (9)【巩固练习——提高篇】 (9)曲线与轨迹问题【课前诊断】成绩（满分10）： 完成情况： 优/中/差1． 已知点M (a ，b )在圆O ：x 2＋y 2＝1外，则直线ax ＋by ＝1与圆O 的位置关系是( )A ．相切B ．相交C ．相离D ．不确定2． 圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0与直线2tx －y －2－2t ＝0(t ∈R )的位置关系为( )A ．相离B ．相切C ．相交D ．以上都有可能3． 直线10xky与圆221x y 的位置关系是( )A ．相交B ．相离C ．相交或相切D ．相切4． 设m ＞0，则直线)10l xy m与圆22:O x y m 的位置关系为( )A ．相切B ．相交C ．相切或相离D ．相交或相切5． 直线l 与圆22240(3)x y x y a a 相交于A ，B 两点，若弦AB 的中点为(2,3)C ，则直线l 的方程为( )A ．x －y ＋5＝0B ．x ＋y －1＝0C ．x －y －5＝0D ．x ＋y －3＝06． 与圆22:420C x y x 相切，且在,x y 轴上的截距相等的直线共有( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条7． 过原点O 作圆2268200x y x y 的两条切线，设切点分别为P ，Q ，则线段PQ的长为________．8．已知两圆分别为圆C 1：x 2＋y 2＝81和圆C 2：x 2＋y 2－6x －8y ＋9＝0，这两圆的位置关系是( )A ．相离B ．相交C ．内切D ．外切9．两圆222x y r ，222(3)(1)x y r 外切，则正实数r 的值是( )D ．510．圆22616480x y x y 与圆2248440x y x y 的公切线条数为( )A ．4条B ．3条C ．2条D ．1条11．圆22460x y x y 和圆2260x y x 交于A ，B 两点，则AB 的垂直平分线的方程是( )A ．x ＋y ＋3＝0B ．2x －y －5＝0C ．3x －y －9＝0D ．4x －3y ＋7＝0【知识点一：求曲线方程】一、求曲线方程的常用方法：（1）定义法；（2）直接法；（3）相关点法；（4）参数法；【典型例题】考点一： 定义法例1. 已知ABC Rt ∆中，C ∠为直角，且),0,1(),0,1(B A -求满足条件的C 的轨迹方程。
2025年高考数学解析几何知识点总结
2025年高考数学解析几何知识点总结解析几何是高中数学的重要组成部分，在高考中占有相当的比重。
下面我们来对这部分的知识点进行一个全面的总结。
一、直线1、直线的方程点斜式：＄y y_1 ＝ k(x x_1)＄，其中$（x_1, y_1)＄是直线上的一点，＄k$是直线的斜率。
斜截式：＄y ＝ kx ＋ b$，其中$k$是斜率，＄b$是直线在$y$轴上的截距。
两点式：＄＼frac{y y_1}｛y_2 y_1} ＝＼frac{x x_1}｛x_2 x_1}＄，其中$（x_1, y_1)＄，＄（x_2, y_2)＄是直线上的两点。
截距式：＄＼frac{x}｛a} ＋＼frac{y}｛b} ＝ 1$，其中$a$，＄b$分别是直线在$x$轴和$y$轴上的截距。
一般式：＄Ax ＋ By ＋ C ＝ 0$（＄A$，＄B$不同时为 0）2、直线的斜率定义：直线倾斜角$＼alpha$（＄＼alpha ＼neq 90°＄）的正切值$k ＝＼tan\alpha$。
斜率公式：若直线上有两点$（x_1, y_1)＄，＄（x_2, y_2)＄，则斜率$k ＝＼frac{y_2 y_1}｛x_2 x_1}＄。
3、两条直线的位置关系平行：两条直线斜率相等且截距不等。
垂直：两条直线斜率之积为$－1$。
4、点到直线的距离公式点$P(x_0, y_0)＄到直线$Ax ＋ By ＋ C ＝ 0$的距离$d ＝＼frac{｜Ax_0 ＋ By_0 ＋ C|｝｛＼sqrt{A^2 ＋ B^2}｝＄二、圆1、圆的方程标准方程：＄（x a)＾2 ＋（y b)＾2 ＝ r^2$，其中$（a, b)＄是圆心坐标，＄r$是半径。
一般方程：＄x^2 ＋ y^2 ＋ Dx ＋ Ey ＋ F ＝ 0$（＄D^2 ＋ E^2 4F ＞ 0$）2、圆的性质圆心到圆上任意一点的距离都等于半径。
圆的直径所对的圆周角是直角。
3、直线与圆的位置关系相交：圆心到直线的距离小于半径。
数学高考复习名师精品教案：第66课时：第八章 圆锥曲线方程-轨迹问题(1)
数学高考复习名师精品教案第66课时：第八章 圆锥曲线方程——轨迹问题（1）课题：轨迹问题（1） 一．复习目标：1．掌握求轨迹方程的两种基本方法——直接法和定义法； 2．掌握直接法求轨迹方程的基本步骤． 二．知识要点：1．直接法求轨迹方程的一般步骤：建系—设点—列式—代换—化简—检验 2．用定义法求轨迹方程的基本思路是：（1）用曲线的定义判断轨迹的形状（定型）；（2）判断轨迹的位置（定位）（3）求曲线的基本量（定量）；（4）写出轨迹方程． 三．课前预习：1．已知点)0,2(-A 、)0,3(B ，动点2),(x y x P =⋅满足，则点P 的轨迹是（D ）()A 圆 ()B 椭圆 ()C 双曲线 ()D 抛物线2． 若0|3|)1()3(22=+---++y x y x ，则点),(y x M 的轨迹是 （C ） ()A 圆 ()B 椭圆 ()C 双曲线 ()D 抛物线3．点M 与点(4,0)F 的距离比它到直线:50l x +=的距离小1，则点M 的轨迹方程是216y x=4．一动圆与圆221x y +=外切，而与圆22680x y x +-+=内切，则动圆圆心的轨迹方程是 2234()125y x --=（右支）5．已知椭圆13422=+y x 的两个焦点分别是F 1，F 2，P 是这个椭圆上的一个动点，延长F 1P 到Q ，使得｜PQ ｜＝｜F 2P ｜，求Q 的轨迹方程是22(1)16x y ++=．四．例题分析：例1．已知ABC ∆中，||||2,||AB BC m AC ==，求点A 的 轨迹方程，并说明轨迹是什么图形．解：以BC 所在直线为x 轴，BC 中点O 为原点建立直角坐标系，则(1,0),(1,0)B C -，设点A 的坐标为(,)x y ，由||||AB m AC =m =，化简得： 222222(1)(1)(22)10m x m y m x m -+-+++-=当1m =时，轨迹为直线0x =；当1m ≠时，配方得：22222212()(11m m x y m m+++=-- （1）0m =时，方程为22210x y x +-+=，轨迹为点(1,0)；（2）0m ≠时，轨迹是圆心为（221,01m m +-），半径为22||1m m -的圆．例2．已知抛物线2:4C y x =，若椭圆的左焦点及相应的准线与抛物线C 的焦点和准线分别重合，求以椭圆短轴端点B 与焦点F 为两端点的线段中点P 的轨迹方程．(12,2)x y -，由椭圆的定义，知：||||BF e BB ='，||||||2(1)c FO OO OF x ''==-=-，||a FB ==||(21)(1)2BB x x '=---=，=化简得：21y x =-，∴P 的轨迹方程为：21(0)y x x =->例3．已知两点(1,0),(1,0)M N -，且点P 时,,MP MN PM PN NM NP ⋅⋅⋅成公差小于零的等差数列．（1）点P 的轨迹是什么曲线？（2）若点P 的坐标为00(,)x y ，记θ为PM与PN的夹角，求tan θ（用点P 的坐标数值表示）．解：设(,)P x y ，∵(1,0),(1,0)M N -，∴(1,)PM MP x y =-=---， (1,)PN NP x y =-=-- ，(2,0)MN NM =-= ，∴2(1)MP MN x ⋅=+221PM PN x y ⋅=+- ，2(1)NM NP x ⋅=- ，则,,MP MN PM PN NM NP ⋅⋅⋅ 成公差小于零的等差数列等价于2211[2(1)2(1)]22(1)2(1)0x y x x x x +-=++---+<⎧⎪⎨⎪⎩，即2230x y x +=>⎧⎨⎩ 所以点P（2）P 的坐标为00(,)x y ， 由220012PM PN x y ⋅=+-=，∴cos ||||PM PN PM PN θ⋅===00x <≤1cos 12θ<≤ ∴03πθ≤<，∴0sin tan ||cos y θθθ=== 五．课后作业：1．与两点)0,3(),0,3(-距离的平方和等于38的点的轨迹方程是 （ ）()A 1022=-y x ()B 1022=+y x ()C 3822=+y x ()D 3822=-y x2．与圆2240x y x +-=外切，又与y 轴相切的圆的圆心的轨迹方程是（ ）()A 28y x = ()B 28(0)y x x =>和0y = ()C 28y x =(0)x > ()D 28(0)y x x =>和0(0)y x =<3．到点)0,1(-的距离与到直线3=x 的距离相等的点的轨迹方程为 （ ）()A 442+-=y x ()B 882+-=y x ()C 442+-=x y ()D 882+-=x y4．动圆与x 轴相切，且与直线y x =相交所得的弦长为2，则动圆圆心的轨迹方程为5．长为2a 的线段AB 的两个端点分别在x 轴和y 轴上运动，则AB 中点的轨迹方程为6．已知直线l ：y ＝k(x －5)及圆C ：x 2＋y 2＝16． (1)若直线l 与圆C 相切，求k 的值；(2)若直线l 与圆C 交于A 、B 两点，求当k 变动时，弦AB 的中点的轨迹．7．已知两直线l 1：2x －3y ＋2＝0，l 2：3x －2y ＋3＝0，有一动圆M(圆心和半径都在变动)与l 1，l 2都相交，并且截l 1，l 2所得的弦长分别是定值26和24，求圆心M 的轨迹方程．8．过M(1，3)作两条互相垂直的直线l 1和l 2，l 1与x 轴交于A 点，l 2与y 轴交于B点，求线段AB中点的轨迹．9．求与两定圆x2＋y2＝1，x2＋y2－8x－33＝0都相切的动圆圆心的轨迹方程。
【2020届】高考数学圆锥曲线专题复习：圆锥曲线之轨迹方程的求法
圆锥曲线之轨迹方程的求法（一）【复习目标】□1. 了解曲线与方程的对应关系，掌握求曲线方程的一般步骤；□2. 会用直接法、定义法、相关点法（坐标代换法）求方程。
【基础练习】1．到两坐标轴的距离相等的动点的轨迹方程是( )A ．y x =B ．||y x =C ．22y x =D ．220x y +=2．已知点(,)P x y 4，则动点P 的轨迹是( )A ．椭圆B ．双曲线C ．两条射线D ．以上都不对3．设定点1(0,3)F -、2(0,3)F ，动点P 满足条件129(0)PF PF a a a+=+>，则点P 的轨迹( ) A ．椭圆 B ．线段 C. 不存在 D ．椭圆或线段4．动点P 与定点(1,0)A -、(1,0)B 的连线的斜率之积为1-，则P 点的轨迹方程为______________.【例题精选】一、直接法求曲线方程根据题目条件，直译为关于动点的几何关系，再利用解析几何有关公式（两点距离公式、点到直线距离公式、夹角公式等）进行整理、化简。
即把这种关系“翻译”成含x ,y 的等式就得到曲线的轨迹方程了。
例1．已知ABC ∆中，2,AB BC m AC==，试求A 点的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形.练习：已知两点M （-1，0）、N （1，0），且点P 使MP MN ，PM PN ，NM NP 成公差小于零的等差数列。
点P 的轨迹是什么曲线？二定义法若动点轨迹满足已知曲线的定义，可先设定方程，再确定其中的基本量，求出动点的轨迹方程。
例1．⊙C ：22(16x y +=内部一点0)A 与圆周上动点Q 连线AQ 的中垂线交CQ 于BQ R A P o yx P ，求点P 的轨迹方程.例2．设动点(,)(0)P x y x ≥到定点1(,0)2F 的距离比它到y 轴的距离大12。
记点P 的轨迹为曲线C 求点P 的轨迹方程；练习．若动圆与圆1)2(:221=++y x C 相外切，且与直线1=x 相切，则动圆圆心轨迹方程是 .三代入法有些问题中，其动点满足的条件不便用等式列出，但动点是随着另一动点（称之为相关点）而运动的。
高考数学一轮复习资料第四章圆的综合一求轨迹方程
解后反思
解析答案
跟踪训练 已知圆x2+y2=1,定点Q(2,0),点A为已知圆上一个动点 （1）
解析答案
跟踪训练 已知圆的方程为x2＋y2－6x－6y＋14＝0，求过点A(－3，－5) 的直线交圆的弦PQ的中点M的轨迹方程．
第四章 求轨迹方程
题型一 求动点的轨迹方程
跟踪训练 已知线段AB的中点C的坐标是(4,3)，端点A在圆 (x＋1)2＋y2＝4上运动，求线段AB的端点B的轨迹方程.
解析答案
跟踪训练 点P(x0，y0)是圆x2＋y2＝4上的动点，点M是OP(O是原点)的 中点，则动点M的轨迹方程是________.
解析答案
跟踪训练 已知直角∆ABC的斜边为AB，且A(－1，0)，B(3，0)，求直角 顶点C的轨迹方程.
反思与感悟
解析答案
跟踪训练 已知圆O的方程x2+y2=9过点A(1,2)作圆的弦，求弦的中点P的 轨迹方程
解析答案
例 已知定圆的方程为(x＋1)2＋y2＝4，点A(1，0)为定圆上的一个点， 点C为定圆上的一个动点，M为动弦AC的中点，求点M的轨迹方程.
解析答案
跟踪训练 点A是圆x2+y2=r2(r>0)上任意一点，AB⊥x轴，
垂足为B，以A为圆心， AB 为半径的圆交已知圆于C,D两
点，连接CD交AB于M点，当点A在圆上运动时，求点M的 轨迹方程
解析答案
反思与感悟
解析答案
跟踪训练 等腰三角形的顶点是A(4,2)，底边一个端点是B(3,5)，求另一 个端点C的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么．
解析答案
跟踪训练 3 求到点 O(0，0)的距离是到点 A(3，0)的距离的12的点的轨迹 方程.
高考数学轨迹方程求解知识点
高考数学轨迹方程求解知识点
符合一定条件的动点所形成的图形，或者说，符合一定条件的点的全体所组成的集合，叫做满足该条件的点的轨迹。
轨迹，包含两个方面的问题：凡在轨迹上的点都符合给定的条件，这叫做轨迹的纯粹性（也叫做必要性）；凡不在轨迹上的点都不符合给定的条件，也就是符合给定条件的点必在轨迹上，这叫做轨迹的完备性（也叫做充分性）。
【轨迹方程】就是与几何轨迹对应的代数描述。
⒈建立适当的坐标系，设出动点M的坐标；
⒉写出点M的集合；
⒊列出方程=0；
⒋化简方程为最简形式；
⒌检验。
⒈直译法：直接将条件翻译成等式，化简后即得动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法通常叫做直译法。
⒉定义法：如果能够确定动点的轨迹满足某种曲线的定义，那么可利用曲线的定义写出方程，这种求轨迹方程的方法叫做定义法。
⒊相关点法：用动点Q的坐标x，y表示相关点P的坐标x0、y0，然后代入点P的坐标（x0，y0）所满足的曲线方程，化简便得到动点Q轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做相关点法。
⒋参数法：当动点坐标x、y之间的直接关系难以找到时，往往先x、y与某一变数t的关系，得再消去参变数t，得到方程，即为动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做参数法。
⒌交轨法：将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做交轨法。
*直译法：求动点轨迹方程的一般步骤
①建系建立适当的坐标系；
②设点设轨迹上的任一点P（x，y）；
③列式列出动点p所满足的关系式；
④代换依条件的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为X，Y的方程式，并化简；
⑤证明证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程。
高考数学一轮复习导学案：轨迹与轨迹方程【A】(含答案)
轨迹与轨迹方程(教案)A一、知识梳理：1.求曲线的轨迹方程是解析几何的基本问题之一,求符合某种条件的动点轨迹方程,其实质就是利用题设中的已知条件,用“坐标化”将其转化为寻求变量间的关系问题，解决这类问题不但对圆锥曲线的定义、性质等基础知识要熟练掌握，还要利用各种数学思想方法，同时具备一定的推理能力和运算能力。
2.求曲线的轨迹方程常采用的方法有：直接法、定义法、参数法、几何法、交轨法(1)、定义法:若动点的轨迹条件符合某一基本轨迹的定义(如椭圆,双曲线,圆等)可用定义直接求解.(2)、直接法：直接法是将动点满足的几何条件或者等量关系直接坐标化，列出等式后化简，得出动点的轨迹方程（也就是常说的五步法）(3)、相关点法（轨迹转移法）：根据相关点所满足的方程,通过转换而求出动点轨迹的方程.(4)、参数法:若动点的坐标(x，y)中的x,y,分别随另一个变量的变化而变化，我们可以以这个变量为参数建立轨迹的参数方程.(5)、交轨法:求两动曲线交点的轨迹时,可由方程直接消去参数,例如:求两动直线交点的轨迹时常用此方法,也可以引入参数来建立这些动曲线之间的联系,然后消去参数得到轨迹方程.3.易错点提示:(1):要注意区别“轨迹”与“轨迹方程”这两个不同的概念；（2）：检验是否有不符合条件或漏掉的点。
二、题型探究探究1：定义法例1：（1）、由动点p向圆错误！未找到引用源。
=1引两条切线PA，PB，切点分别为A，B，错误！未找到引用源。
，求动点P的轨迹方程。
(2)已知错误！未找到引用源。
三边AB,BC,AC的长度成等差数列,点B,C的坐标分别是(-1,0),C(1,0),求点A的轨迹方程.探究2：直接法：例2：已知错误！未找到引用源。
中，BC=2，错误！未找到引用源。
，求动点A的轨迹方程，并说明轨迹是图形。
探究3：相关点法：例3：已知P是圆错误！未找到引用源。
=1上任意一点，由P向x轴作垂线段PM，M 为垂足，求线段PM的中点N的轨迹。
高考数学难点突破_难点22__轨迹方程的求法
高考数学难点突破_难点22__轨迹方程的求法难点22：轨迹方程的求法轨迹是一个几何对象的运动过程中所留下的轨迹，轨迹方程是研究轨迹的数学工具之一、在高考中，轨迹方程往往是一道比较复杂的题目，考查学生对平面几何知识的掌握和应用能力。
本文将从轨迹方程的基本概念、推导方法和例题讲解三个方面来突破难点22一、轨迹方程的基本概念轨迹方程通常由若干个关联点的坐标关系确定。
可以是一条曲线、一个闭合图形或是一个点的集合，根据题目所给条件可以是直线、圆、椭圆、抛物线、双曲线等各种图形。
二、轨迹方程的推导方法在求解轨迹方程时，需要根据题目给出的条件列出方程式，然后根据方程式进行推导，最终得到轨迹方程。
（1）通过代数方法推导轨迹方程：通过解方程组，来获取图形上特定点的坐标关系，从而得到轨迹方程。
（2）通过几何性质推导轨迹方程：根据图形的几何性质进行推导。
例如，利用垂直、平行、相切等性质，可以推导出轨迹方程。
三、轨迹方程的例题讲解例1：已知直线l过坐标原点，并且向量（3，4）与直线l垂直。
求直线l的轨迹方程。
解析：设直线l的方程为y=kx，由题意可知直线l过坐标原点，因此方程为y=kx。
直线向量（3，4）与直线l垂直，说明这两个向量的点积为0。
即3k+4=0，解得k=-\frac{4}{3}。
因此，直线l的方程为y=-\frac{4}{3}x。
例2：已知点P（x，y）在椭圆C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1上，并且点P的切线与直线x=1垂直。
求椭圆C的轨迹方程。
解析：椭圆C的方程为\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1、设过点P（x，y）的切线方程为y=k(x-1)，根据题意得知，点P的切线与直线x=1垂直，因此k的值为0。
代入点P的坐标得到y=0。
将点P的坐标带入椭圆C的方程，得到\frac{x^2}{a^2}=1、解得x=\pm a。
因此，椭圆C的轨迹方程为x=\pm a。
轨迹问题解析几何
图2
思维感悟 ：
数学教材始终是高考数学命题的源头活水，高
考试题有相当一部分是源于教材，即从课本的例题、 习题出发，采取科学的组合、加工、扩展或赋予新 的背景等形成的，充分体现了教材的基础作用。因 此，在复习过程中，用好教材是复习的关键，复习 时对教材进行深加工，在每一堂复习课中，尽量引 入一些课本典型例题、习题，从解题思路，解题方 法，解题规律等方面作一些探索，并做一些变式研 究，使之与高考试题接近。
2 3
2
∴重心G的轨迹方程为
y = 3x +
2 3
思维感悟 ：
1. 用参数法求轨迹是高考中常考的重要题型，由于选参灵 活，技巧性强，也是学生较难掌握的一类问题。 2. 用参数法求轨迹方程的基本步骤： 建系 设标 引参 求参数方程 消参 检验
3 . 选用什么变量为参数，要看动点随什么量的变化而变化，
x
2
81
+
y
2
72
=1
(y
≠0)
变式:（2005山东卷）已知动圆过定点 ， 且与直线 x = - p 相切，其中p>0. 求动圆圆心的轨迹的 2 方程.
p ,0 2
解：如图，设M为动圆圆心， 记为 F，过点M作直线 x = - p 的垂线，垂足 2 为Ｎ，由题意知： |MF|=|MN| 即动点M到定点F与定直线 x = - p 的距离 2 相等，由抛物线的定义知，点M的轨 迹为抛物线，其中 F p ,0 为焦点， 2 p x = -准 线 ， 为 2 所 以 轨 迹 方 程 2 为 2 px p 0 . y
例 1
已知直角坐标平面上点Q(2，0)和圆C：x2+y2=1，动点M到圆C 的切线长与|MQ|的比等于常数λ(λ>0)，求动点M的轨迹方程，说 明它表示什么曲线。
高考数学重要知识点轨迹方程的求解
高考数学重要知识点轨迹方程的求解高考数学中，轨迹方程是一个非常重要的知识点。
轨迹方程主要讲述了一个点随着一些条件的变化而形成的轨迹。
在解题过程中，我们常常需要根据给定的条件，确定点的坐标，并通过数学方法得出其轨迹方程。
下面我将详细介绍一下轨迹方程的求解方法。
轨迹方程的求解方法主要分为以下几种情况：1.直线轨迹：在数学中，直线是一种常见的轨迹形式。
当我们需要求解一些点在直线上的轨迹方程时，一般需要两个条件来限定点的坐标。
通过解方程可以得到轨迹方程。
例如，设点P(x,y)在直线l上，且满足条件2x-3y=6，那么可以通过解方程2x-3y=6得到轨迹方程。
2.抛物线轨迹：另一个常见的轨迹形式是抛物线。
对于求解抛物线上一点的轨迹方程，我们一般需要给出点的横坐标或纵坐标，并通过一定条件和关系推导出轨迹方程。
例如，设点P(x,y)在抛物线y = ax^2 + bx + c上，且满足条件P(1,2)，那么可以通过代入条件，解出a、b、c，并得到轨迹方程。
3.圆轨迹：圆是另一种常见的轨迹形式。
当我们需要求解点在圆上的轨迹方程时，一般需要给出点到圆心的距离或者给出边缘点的坐标，通过数学关系来求解出轨迹方程。
例如，设点P(x,y)在圆上，且与圆心A(a,b)的距离等于r，那么可以通过点到圆心的距离公式，得到轨迹方程(x-a)^2+(y-b)^2=r^24.椭圆和双曲线轨迹：椭圆和双曲线也是常见的轨迹形式。
当我们需要求解点在椭圆或双曲线上的轨迹方程时，一般需要给出点到中心的距离或者给出边缘点的坐标，并通过数学关系来求解出轨迹方程。
例如，设点P(x,y)在椭圆上，且与中心O(0,0)之间的距离的和恒定为d，那么可以通过代入条件，解得轨迹方程。
在实际的解题过程中，我们需要根据题目给出的具体条件，选择合适的方法和数学工具来求解轨迹方程。
另外，我们还需要注意数学推导过程的准确性和严密性，避免漏解或者得出错误的轨迹方程。
除了上面介绍的常见情况，还有一些其他的轨迹形式，例如双曲线的渐近线、追踪问题等，都需要根据具体情况进行推导和求解。
高考数学知识点：动点的轨迹方程
高考数学知识点：动点的轨迹方程高考数学知识点：动点的轨迹方程动点的轨迹方程：在直角坐标系中，动点所通过的轨迹用一个二元方程f(x,y)=0表示出来。
求动点的轨迹方程的差不多方法：直截了当法、定义法、相关点法、参数法、交轨法等。
1、直截了当法：假如动点运动的条件确实是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确，不需要专门的技巧，易于表述成含x，y的等式，就得到轨迹方程，这种方法称之为直截了当法；用直截了当法求动点轨迹一样有建系，设点，列式，化简，证明五个步骤，最后的证明能够省略，但要注意“挖”与“补”。
求轨迹方程一样只要求出方程即可，求轨迹却不仅要求出方程而且要说明轨迹是什么。
2、定义法：利用所学过的圆的定义、椭圆的定义、双曲线的定义、抛物线的定义直截了当写出所求的动点的轨迹方程,高考生物，这种方法叫做定义法．这种方法要求题设中有定点与定直线及两定点距离之和或差为定值的条件，或利用平面几何知识分析得出这些条件。
定义法的关键是条件的转化??转化成某一差不多轨迹的定义条件；3、相关点法：动点所满足的条件不易表述或求出，但形成轨迹的动点P（x，y）却随另一动点Q（x′，y′）的运动而有规律的运动，且动点Q的轨迹为给定或容易求得，则可先将x′，y′表示为x，y的式子，再代入Q的轨迹方程，然而整理得P的轨迹方程，代入法也称相关点法。
一样地：定比分点问题，对称问题或能转化为这两类的轨迹问题，都可用相关点法。
4、参数法：求轨迹方程有时专门难直截了当找到动点的横坐标、纵坐标之间的关系，则可借助中间变量（参数），使x，y之间建立起联系，然而再从所求式子中消去参数，得出动点的轨迹方程。
用什么变量为参数，要看动点随什么量的变化而变化，常见的参数有：斜率、截距、定比、角、点的坐标等。
要专门注意消参前后保持范畴的等价性。
多参问题中，依照方程的观点，引入n个参数，需建立n+1个方程，才能消参（专门情形下，能整体处理时，方程个数可减少）。
高考数学难点：轨迹方程的求法
高考数学难点：轨迹方程的求法求曲线的轨迹方程是解析几何的两个基本问题之一.求符合某种条件的动点的轨迹方程，其实质就是利用题设中的几何条件，用“坐标化”将其转化为寻求变量间的关系.这类问题除了考查学生对圆锥曲线的定义，性质等基础知识的掌握，还充分考查了各种数学思想方法及一定的推理能力和运算能力，因此这类问题成为高考命题的热点，也是同学们的一大难点.●难点磁场(★★★★)已知A 、B 为两定点，动点M 到A 与到B 的距离比为常数λ,求点M 的轨迹方程，并注明轨迹是什么曲线.●案例探究［例1］如图所示，已知P (4，0)是圆x 2+y 2=36内的一点，A 、B 是圆上两动点，且满足∠APB =90°，求矩形APBQ 的顶点Q 的轨迹方程.命题意图：本题主要考查利用“相关点代入法”求曲线的轨迹方程，属★★★★★级题目.知识依托：利用平面几何的基本知识和两点间的距离公式建立线段AB 中点的轨迹方程.错解分析：欲求Q 的轨迹方程，应先求R 的轨迹方程，若学生思考不深刻，发现不了问题的实质，很难解决此题.技巧与方法：对某些较复杂的探求轨迹方程的问题，可先确定一个较易于求得的点的轨迹方程，再以此点作为主动点，所求的轨迹上的点为相关点，求得轨迹方程.解：设AB 的中点为R ，坐标为(x ,y )，则在Rt △ABP 中，|AR |=|PR |. 又因为R 是弦AB 的中点，依垂径定理：在Rt △OAR 中，|AR |2=|AO |2－|OR |2=36－(x 2+y 2)又|AR |=|PR |=22)4(y x +-所以有(x －4)2+y 2=36－(x 2+y 2),即x 2+y 2－4x －10=0因此点R 在一个圆上，而当R 在此圆上运动时，Q 点即在所求的轨迹上运动. 设Q (x ,y )，R (x 1,y 1)，因为R 是PQ 的中点，所以x 1=2,241+=+y y x , 代入方程x 2+y 2－4x －10=0,得244)2()24(22+⋅-++x y x －10=0 整理得：x 2+y 2=56,这就是所求的轨迹方程.［例2］设点A 和B 为抛物线 y 2=4px (p ＞0)上原点以外的两个动点，已知OA ⊥OB ，OM ⊥AB ，求点M 的轨迹方程，并说明它表示什么曲线.(2000年北京、安徽春招)命题意图：本题主要考查“参数法”求曲线的轨迹方程，属★★★★★级题目. 知识依托：直线与抛物线的位置关系.错解分析：当设A 、B 两点的坐标分别为(x 1,y 1),(x 2,y 2)时，注意对“x 1=x 2”的讨论.技巧与方法：将动点的坐标x 、y 用其他相关的量表示出来，然后再消掉这些量，从而就建立了关于x 、y 的关系.解法一：设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),M (x ,y )依题意，有⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧--=---=--⋅-=⋅==112121212122112221211144x x y y x x y y x x y y x y x y x y px y px y ①－②得(y 1－y 2)(y 1+y 2)=4p (x 1－x 2) 若x 1≠x 2,则有2121214y y px x y y +=-- ⑥①×②,得y 12·y 22=16p 2x 1x 2③代入上式有y 1y 2=－16p 2 ⑦ ⑥代入④，得yxy y p -=+214⑧⑥代入⑤，得pyx y y x x y y y y p442111121--=--=+ 所以211214)(44y px y y p y y p --=+ 即4px －y 12=y (y 1+y 2)－y 12－y 1y 2⑦、⑧代入上式，得x 2+y 2－4px =0(x ≠0)当x 1=x 2时，AB ⊥x 轴，易得M (4p ,0)仍满足方程.故点M 的轨迹方程为x 2+y 2－4px =0(x ≠0)它表示以(2p ,0)为圆心，以2p 为半径的圆，去掉坐标原点.解法二：设M (x ,y )，直线AB 的方程为y =kx +b由OM ⊥AB ，得k =－yx由y 2=4px 及y =kx +b ，消去y ,得k 2x 2+(2kb －4p )x +b 2=0所以x 1x 2=22kb ,消x ,得ky 2－4py +4pb =0① ② ③ ④ ⑤所以y 1y 2=kpb4，由OA ⊥OB ，得y 1y 2=－x 1x 2 所以k pk4=－22kb ,b =－4kp故y =kx +b =k (x －4p ),用k =－yx代入，得x 2+y 2－4px =0(x ≠0) 故动点M 的轨迹方程为x 2+y 2－4px =0(x ≠0)，它表示以(2p ,0)为圆心，以2p 为半径的圆，去掉坐标原点.［例3］某检验员通常用一个直径为2 cm 和一个直径为1 cm 的标准圆柱，检测一个直径为3 cm 的圆柱，为保证质量，有人建议再插入两个合适的同号标准圆柱，问这两个标准圆柱的直径为多少？命题意图：本题考查“定义法”求曲线的轨迹方程，及将实际问题转化为数学问题的能力，属★★★★★级题目.知识依托：圆锥曲线的定义，求两曲线的交点.错解分析：正确理解题意及正确地将此实际问题转化为数学问题是顺利解答此题的关键.技巧与方法：研究所给圆柱的截面，建立恰当的坐标系，找到动圆圆心的轨迹方程.解：设直径为3,2,1的三圆圆心分别为O 、A 、B ，问题转化为求两等圆P 、Q ,使它们与⊙O 相内切，与⊙A 、⊙B 相外切.建立如图所示的坐标系，并设⊙P 的半径为r ,则 |P A |+|PO |=1+r +1.5－r =2.5∴点P 在以A 、O 为焦点，长轴长2.5的椭圆上，其方程为3225)41(1622y x ++=1 ① 同理P 也在以O 、B 为焦点，长轴长为2的椭圆上，其方程为 (x －21)2+34y 2=1 ② 由①、②可解得)1412,149(),1412,149(-Q P ，∴r =73)1412()149(2322=+-故所求圆柱的直径为76cm. ●锦囊妙计求曲线的轨迹方程常采用的方法有直接法、定义法、代入法、参数法.(1)直接法 直接法是将动点满足的几何条件或者等量关系，直接坐标化，列出等式化简即得动点轨迹方程.(2)定义法 若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义(如椭圆、双曲线、抛物线、圆等)，可用定义直接探求.(3)相关点法 根据相关点所满足的方程，通过转换而求动点的轨迹方程.(4)参数法 若动点的坐标(x ,y )中的x ,y 分别随另一变量的变化而变化，我们可以以这个变量为参数，建立轨迹的参数方程.求轨迹方程，一定要注意轨迹的纯粹性和完备性.要注意区别“轨迹”与“轨迹方程”是两个不同的概念.●歼灭难点训练 一、选择题1.(★★★★)已知椭圆的焦点是F 1、F 2，P 是椭圆上的一个动点，如果延长F 1P 到Q ，使得|PQ |=|PF 2|，那么动点Q 的轨迹是( )A.圆B.椭圆C.双曲线的一支D.抛物线2.(★★★★)设A 1、A 2是椭圆4922y x +=1的长轴两个端点，P 1、P 2是垂直于A 1A 2的弦的端点，则直线A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程为( )A.14922=+y xB.14922=+x yC.14922=-y xD.14922=-x y二、填空题3.(★★★★)△ABC 中，A 为动点，B 、C 为定点，B (－2a ,0),C (2a,0)，且满足条件sin C －sin B =21sin A ,则动点A 的轨迹方程为_________. 4.(★★★★)高为5 m 和3 m 的两根旗杆竖在水平地面上，且相距10 m ，如果把两旗杆底部的坐标分别确定为A (－5，0)、B (5，0)，则地面观测两旗杆顶端仰角相等的点的轨迹方程是_________.三、解答题5.(★★★★)已知A 、B 、C 是直线l 上的三点，且|AB |=|BC |=6，⊙O ′切直线l 于点A ，又过B 、C 作⊙O ′异于l 的两切线，设这两切线交于点P ，求点P 的轨迹方程.6.(★★★★)双曲线2222by a x -=1的实轴为A 1A 2，点P 是双曲线上的一个动点，引A 1Q ⊥A 1P ，A 2Q ⊥A 2P ，A 1Q 与A 2Q 的交点为Q ，求Q 点的轨迹方程.7.(★★★★★)已知双曲线2222ny m x -=1(m ＞0,n ＞0)的顶点为A 1、A 2，与y 轴平行的直线l 交双曲线于点P 、Q .(1)求直线A 1P 与A 2Q 交点M 的轨迹方程；(2)当m ≠n 时，求所得圆锥曲线的焦点坐标、准线方程和离心率.8.(★★★★★)已知椭圆2222by a x +=1(a ＞b ＞0),点P 为其上一点，F 1、F 2为椭圆的焦点，∠F 1PF 2的外角平分线为l ，点F 2关于l 的对称点为Q ，F 2Q 交l 于点R .(1)当P 点在椭圆上运动时，求R 形成的轨迹方程；(2)设点R 形成的曲线为C ，直线l ：y =k (x +2a )与曲线C 相交于A 、B 两点，当△AOB 的面积取得最大值时，求k 的值.参考答案难点磁场解：建立坐标系如图所示， 设|AB |=2a ,则A (－a ,0）,B (a ,0). 设M (x ,y ）是轨迹上任意一点.则由题设，得||||MB MA =λ,坐标代入，得2222)()(ya x y a x +-++=λ,化简得(1－λ2)x 2+(1－λ2)y 2+2a (1+λ2)x +(1－λ2)a 2=0(1)当λ=1时，即|M A|=|M B|时，点M 的轨迹方程是x =0，点M 的轨迹是直线(y 轴).(2)当λ≠1时，点M 的轨迹方程是x 2+y 2+221)1(2λ-λ+a x +a 2=0.点M 的轨迹是以 (－221)1(λ-λ+a ，0）为圆心，|1|22λ-λa 为半径的圆. 歼灭难点训练一、1.解析：∵|PF 1|+|PF 2|=2a ,|PQ |=|PF 2|, ∴|PF 1|+|PF 2|=|PF 1|+|PQ |=2a ,即|F 1Q |=2a ,∴动点Q 到定点F 1的距离等于定长2a ,故动点Q 的轨迹是圆. 答案：A2.解析：设交点P (x ,y ）,A 1(－3,0),A 2(3,0),P 1(x 0,y 0),P 2(x 0,－y 0) ∵A 1、P 1、P 共线，∴300+=--x yx x y y ∵A 2、P 2、P 共线，∴300-=-+x yx x y y解得x 0=149,149,3,92220200=-=-=y x y x x y y x 即代入得答案：C二、3.解析：由sin C －sin B =21sin A ,得c －b =21a ,∴应为双曲线一支，且实轴长为2a,故方程为)4(1316162222a x a y a x >=-.答案：)4(1316162222ax a y a x >=-4.解析：设P (x ,y ），依题意有2222)5(3)5(5yx yx +-=++,化简得P 点轨迹方程为4x 2+4y 2－85x +100=0.答案：4x 2+4y 2－85x +100=0三、5.解：设过B 、C 异于l 的两切线分别切⊙O ′于D 、E 两点，两切线交于点P .由切线的性质知：|BA |=|BD |，|PD |=|PE |，|CA |=|CE |，故|PB |+|PC |=|BD |+|PD |+|PC |=|BA |+|PE |+|PC | =|BA |+|CE |=|AB |+|CA |=6+12=18＞6=|BC |，故由椭圆定义知，点P 的轨迹是以B 、C 为两焦点的椭圆，以l 所在的直线为x 轴，以BC 的中点为原点，建立坐标系，可求得动点P 的轨迹方程为728122y x +=1(y ≠0) 6.解：设P (x 0,y 0）(x ≠±a ),Q (x ,y ). ∵A 1(－a ,0),A 2(a ,0).由条件⎪⎩⎪⎨⎧-=±≠-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-⋅--=+⋅+y a x y a x x x a x y a x y a x y a x y 220000000)( 11得 而点P (x 0,y 0)在双曲线上，∴b 2x 02－a 2y 02=a 2b 2. 即b 2(－x 2)－a 2(ya x 22-)2=a 2b 2化简得Q 点的轨迹方程为：a 2x 2－b 2y 2=a 4(x ≠±a ).7.解：(1)设P 点的坐标为(x 1,y 1)，则Q 点坐标为(x 1,－y 1),又有A 1(－m ,0),A 2(m ,0), 则A 1P 的方程为：y =)(11m x mx y ++ ①A 2Q 的方程为：y =－)(11m x mx y -- ②①×②得：y 2=－)(2222121m x mx y --③又因点P 在双曲线上，故).(,12212221221221m x m n y n y m x -==-即代入③并整理得2222ny m x +=1.此即为M 的轨迹方程.(2)当m ≠n 时，M 的轨迹方程是椭圆.(ⅰ)当m ＞n 时，焦点坐标为(±22n m -,0)，准线方程为x =±222nm m -,离心率e =mn m 22-；(ⅱ)当m ＜n 时，焦点坐标为(0,±22n m -),准线方程为y =±222mn n -,离心率e =nm n 22-.8.解：(1)∵点F 2关于l 的对称点为Q ，连接PQ ， ∴∠F 2PR =∠QPR ，|F 2R |=|QR |，|PQ |=|PF 2|又因为l 为∠F 1PF 2外角的平分线，故点F 1、P 、Q 在同一直线上，设存在R (x 0,y 0）,Q (x 1,y 1),F 1(－c ,0),F 2(c ,0).|F 1Q |=|F 2P |+|PQ |=|F 1P |+|PF 2|=2a ,则(x 1+c )2+y 12=(2a )2.又⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=221010y y c x x 得x 1=2x 0－c ,y 1=2y 0.∴(2x 0)2+(2y 0)2=(2a )2，∴x 02+y 02=a 2. 故R 的轨迹方程为：x 2+y 2=a 2(y ≠0)(2)如右图，∵S △AOB =21|OA |·|OB |·sin AOB =22a sin AOB当∠AOB =90°时，S △AOB 最大值为21a 2.此时弦心距|OC |=21|2|kak +.在Rt △AOC 中，∠AOC =45°，.33,2245cos 1|2|||||2±=∴=︒=+=∴k k a ak OA OC。
高考数学复习---轨迹方程规律方法及典型例题
高考数学复习---轨迹方程规律方法及典型例题【规律方法】求动点的轨迹方程有如下几种方法：（1）直译法：直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程；（2）定义法：如果能确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程；（3）相关点法：用动点Q 的坐标x 、y 表示相关点P 的坐标0x 、0y ，然后代入点P 的坐标()00,x y 所满足的曲线方程，整理化简可得出动点Q 的轨迹方程；（4）参数法：当动点坐标x 、y 之间的直接关系难以找到时，往往先寻找x 、y 与某一参数t 得到方程，即为动点的轨迹方程；（5）交轨法：将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程．【典型例题】例1．（2022·全国·高三专题练习）双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b−=>>的一条渐近线为y =，(1)求双曲线方程；(2)过点()0,1的直线l 与双曲线交于异支两点,,P Q OM OP OQ =+，求点M 的轨迹方程. 【解析】（1）由渐近线为y知，ba=(),0c 到直线y ==2c =，224a b +=②，联立①②，解得21a =，23b =，则双曲线方程为2213y x −=.（2）因为直线l 与双曲线交于异支两点,P Q ，所以直线l 的斜率必存在，且经过()01，点，可设直线:1l y kx =+，与双曲线联立得：()223240kxkx −−−=，设()()()1122,,,,,M x y P x y Q x y ，则有122122Δ023403k x x k x x k ⎧⎪>⎪⎪+=⎨−⎪−⎪⋅=<⎪−⎩解得k <由OM OP OQ =+uuu r uu u r uuu r 知，()1221212223623k x x x k y y y k x x k ⎧=+=⎪⎪−⎨⎪=+=++=⎪−⎩两式相除得3x k y =，即3x k y =代入263y k=−得22230y y x −−=，又k <2y …， 所以点M 的轨迹方程为()222302y y x y −−=…. 例2．（2022春·吉林辽源·高三辽源市第五中学校校考期中）已知过定点()01P ，的直线l 交曲线2214y x −=于A ，B 两点．(1)若直线l 的倾斜角为45︒，求AB ；(2)若线段AB 的中点为M ，求点M 的轨迹方程．【解析】（1）由题得l 方程为：1y x =+，将其与2214yx −=联立有22114y x y x =+⎧⎪⎨−=⎪⎩，消去y 得：23250x x −−=，解得=1x −或53x =. 则令A ()1,0−，B 5833⎛⎫ ⎪⎝⎭，，则AB=. （2）由题，直线l 存在，故设l 方程为：1y kx =+.将其与2214y x −=联立有：22114y kx y x =+⎧⎪⎨−=⎪⎩，消去y 得：()224250k x kx −−−= 因l 与双曲线有两个交点，则2240Δ80160k k ⎧−≠⎨=−>⎩， 得205k ≤<且24k ≠.设()()1122,,A x y B x y ，. 又设M 坐标为()00x y ，，则12120022，x x y y x y ++==. 因A ，B 在双曲线上，则有()221112012212120222144414y x x x x y y k y y x x y y x ⎧−=⎪+−⎪⇒=⇒=⎨+−⎪−=⎪⎩. 又M ，()01P ，在直线l 上，则001y k x −=.故000014y x x y −=2200040x y y ⇒−+= 由韦达定理有，12224k x x k +=−，12284y y k +=−. 则M 坐标为22444,k k k ⎛⎫ ⎪−−⎝⎭.又0244y k=−，205k ≤<且24k ≠，则01y ≥或04y <−. 综上点M 的轨迹方程为：2240x y y −+=，其中()[)41y ⋃∞∈−∞−+，，. 例3．（2022·全国·高三专题练习）在学习数学的过程中，我们通常运用类比猜想的方法研究问题．(1)已知动点P 为圆222:O x y r +=外一点，过P 引圆O 的两条切线PA 、PB ，A 、B 为切点，若0PA PB ⋅=，求动点P 的轨迹方程；(2)若动点Q 为椭圆22:194x y M +=外一点，过Q 引椭圆M 的两条切线QC 、QD ，C 、D 为切点，若0QC QD ⋅=，求出动点Q 的轨迹方程；(3)在（2）问中若椭圆方程为22221(0)x y a b a b +=>>，其余条件都不变，那么动点Q 的轨迹方程是什么（直接写出答案即可，无需过程）．【解析】（1）由切线的性质及0PA PB ⋅=可知，四边形OAPB 为正方形， 所以点P 在以O 为圆心，||OP长为半径的圆上，且|||OP OA ， 进而动点P 的轨迹方程为2222x y r += （2）设两切线为1l ，2l ，①当1l 与x 轴不垂直且不平行时，设点Q 的坐标为0(Q x ，0)y 则03x ≠±， 设1l 的斜率为k ，则0k ≠，2l 的斜率为1k−，1l 的方程为00()y y k x x −=−，联立22194x y +=， 得2220000(49)18()9()360k x k y kx x y kx ++−+−−=，因为直线与椭圆相切，所以Δ0=，得22222000018()4(49)9[()4]0k y kx k y kx −−+⋅−−=， 化简，2222200009()(49)()(49)40k y kx k y kx k −−+−++=，进而2200()(49)0y kx k −−+=，所以2220000(9)240−−+−=x k x y k y 所以k 是方程222000(9)240−−+−=x k x y k y 的一个根， 同理1k−是方程222000(9)240−−+−=x k x y k y 的另一个根， 202041()9y k k x −∴⋅−=−，得220013x y +=，其中03x ≠±，②当1l 与x 轴垂直或平行时，2l 与x 轴平行或垂直， 可知：P 点坐标为：(3,2)±±，P 点坐标也满足220013x y +=，综上所述，点P 的轨迹方程为：220013x y +=．（3）动点Q 的轨迹方程是222200x y a b +=+以下是证明： 设两切线为1l ，2l ，①当1l 与x 轴不垂直且不平行时，设点Q 的坐标为0(Q x ，0)y 则0x a ≠±， 设1l 的斜率为k ，则0k ≠，2l 的斜率为1k−，1l 的方程为00()y y k x x −=−，联立22221x y a b+=， 得2222222220000()2()()0b a k x a k y kx x a y kx a b ++−+−−=，因为直线与椭圆相切，所以Δ0=，得()222222220000222()4()[()]0a k y kx k y kx b a a b −−+⋅−−=，化简，222220002222202()()()()0a b a b a k y kx k y kx b k −−+−++=， 进而220220()()0y x b k a k −−+=，所以222000022()20x k x y k y a b −−+−= 所以k 是方程22200022()20x k x y k y a b −−+−=的一个根， 同理1k−是方程222000022()20x k x y k y a b −−+−=的另一个根，2020221()y k ax b k −∴⋅−=−，得222200x y a b +=+，其中0x a ≠±， ②当1l 与x 轴垂直或平行时，2l 与x 轴平行或垂直， 可知：P 点坐标为：(,)a b ±±，P 点坐标也满足222200x y a b +=+，综上所述，点P 的轨迹方程为：222200x y a b +=+．。
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高考数学复习知识点:轨迹方程的求解:
符合一定条的动点所形成的图形，或者说，符合一定条的点的全体所组成的集合，叫做满足该条的点的轨迹.轨迹，包含两个方面的问题：凡在轨迹上的点都符合给定的条，这叫做轨迹的纯粹性(也叫做必要性);凡不在轨迹上的点都不符合给定的条，也就是符合给定条的点必在轨迹上，这叫做轨迹的完备性(也叫做充分性).
【轨迹方程】就是与几何轨迹对应的代数描述。
一、求动点的轨迹方程的基本步骤
⒈建立适当的坐标系，设出动点M的坐标;
⒉写出点M的集合;
⒊列出方程=0;
⒋化简方程为最简形式;
⒌检验。
二、求动点的轨迹方程的常用方法：求轨迹方程的方法有多种，常用的有直译法、定义法、相关点法、参数法和交轨法等。
⒈直译法：直接将条翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法通常叫做直译法。
⒉定义法：如果能够确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程，这种求轨迹方程的方法叫做定义法。
⒊相关点法：用动点Q的坐标x，y表示相关点P的坐标x0、y0，然后代入点P的坐标(x0，y0)所满足的曲线方程，整理化简便得到动点Q轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做相关点法。
⒋参数法：当动点坐标x、y之间的直接关系难以找到时，往往先寻找x、y与某一变数t的关系，得再消去参变数t，得到方程，即为动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做参数法。
⒌交轨法：将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做交轨法。
*直译法：求动点轨迹方程的一般步骤
①建系——建立适当的坐标系;外语
②设点——设轨迹上的任一点P(x，y);
③列式——列出动点p所满足的关系式;
④代换——依条的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为关于X，Y的方程式，并化简;
⑤证明——证明所求方程即为符合条的动点轨迹方程。