实变函数与泛函分析报告初步试题

浙江省2008年1月高等教育自学考试

实变函数与泛函分析初步试题

课程代码：10023

一、单项选择题(本大题共4小题，每小题4分，共16分)

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。

1.设Q 是I =［0，1］中有理数的全体，从R 1来看，边界∂Q =（ ）

A.I

B.Q

C.I ＼Q

D.φ

2.设R 是实数集，P 是Cantor 三分集，x ∈P ，下列叙述正确的是（ ）

A.x 是P 的内点

B.x 是P 的外点

C.x 是P 的界点

D.x 是P 的孤立点 3.设f (x )在闭集E ⊂R n 上R 可积，I 1=(R )

⎰E x x f )d (，I 2=(L )⎰E x x f )d (，则有（ ） A.I 1＜I 2

B.I 1=I 2

C.I 1＞I 2

D.不能比较

4.设A n (n =1，2，…)是一列递增集合，F = ∞=∞→=

1lim n n n n A G A ，，则F 与G 的外测度满足（ ）

A.m *F ＜m *G

B.m*F=m*G

C.m *F ＞m *G

D.不能比较

二、判断题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）判断下列各题，正确的在题后括号内打“√”，错的打“×”。

1.完全集是没有邻接余区间的闭集.（ ）

2.Cantor 三分集中必含有内点.（ ）

3.外测度为零的集是可测集.（ ）

4.设f (x )=0 a . e . 于E ,则⎰E

x )x (f d =0.（ ）

5.设f (x )是［a ，b ］上有界变差函数，则f ′(x )在［a ，b ］上可积.（ ）

6.y =f (x )在［a ，b ］满足Lipschitz 条件，则y =f (x )在［a ，b ］能表示为两个增函数之差.（ ）

三、填空题(本大题共10小题，每小题4分，共40分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。

1.设A n (n =1，2，…)是一列集合，则 ∞=∞=1n n m m A

=_________.

2.设A 2n -1=［0，n

1］， A 2n =［0,n ］，n =1，2，…， 则n n A ∞→lim =_________. 3.设S n =(n ，+∞)， 则n n mS ∞→lim =_________.

4.设f (x )=⎩

⎨⎧∈∈Q \R x Q x 01，则∀x ∈R ＼Q ，f (x )在x 的振幅ω(x ，f ) =_________. 5.设h (x )与g (x )是E 上两个非负实函数，它们分别是某个实函数的正部与负部的充分必要条件是_________.

6.设f (x )是E ⊂R n 上实函数，则对任意实数a ，

∞=+>1]1[n n a f E =_________. 7.设E 是函数f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧=≠0001sin x x x 的图象上的点构成的集合，从R 2来看，闭包E =_________.

8.设G n =(-1-n 1，1+n 1)，n =1，2，…， 则 ∞

=1n n G =_________. 9.设f n (x )=⎪⎩⎪⎨⎧∈∈]11()210[0]121[，，，n n x n n x n ， 则⎰

∞→10n )d (lim x x f n =_________. 10.设I 1,I 2分别是R p ，R q 的区间， E =I 1×I 2， 当x ∉I 1， 则截面E x =_________.

四、完成下列各题（本大题共3小题，第1与第2小题各8分，第3小题10分，共26分）

1.设f (x )是［a ，b ］上可微函数，证明f ′(x )在［a ，b ］上可测.

2.证明⎰

∞=+)0(1n 1d )(11lim ,n

n t t n t . 3.设f (x )是［0，1］上有界变差函数且在x =0连续,如果对任意的1＞ε＞0，f (x )在［ε，1］上绝对连续,证明f (x )在［0，1］上绝对连续.