向量的内积与欧氏空间

向量的内积与欧氏空间

一、与欧氏空间

几何空间是抽象线性空间的一个最基本的模型，向量的度量性质是几何空间中最基本的研究对象。在§ 11 研究空间向量的数量积、向量积和混合积的基础上，我们要把空间向量的数量积概念推广到一般的线性空间上，进而研究线性空间的度量性质。在这一节里，我们总假设 V 是实数域R 上的线性空间。

定义21.1 在V 上定义代数运算，记为（，）：V ×V →R , 即对任意的

V ， R, 并且对任意的V 及k R 满足下述条件：

（1 ）对称性（）=( );

（2 ）线性性 ( ) =( ) +( ) , (k )= k( );

（3 ）正定性( ) ≥0 ，等号成立当且仅当.=0

那么代数运算（，）称为上一个内积， V 称为欧氏空间 .

定义21.2 设α是欧氏空间 V 中任意的向量，非负实

数称为向量α的长度，记为 || α

|| ，特别，把长度为 1 的的向量称为单位向量。

与§11 一样可以证明下面的定理。

定理21.1 设V 是一个欧氏空间，对任意的∈ V 及k ∈ R , 那么

（1) || || ≥0 ，等号成立当且仅当＝0 ;

(2 ) ||k || = k || || ;

(3) |( ) | ≤ || || || , 等号成立当且仅当与线性相关（称为柯西-- 布涅雅科夫斯基不等式）;

(4) || || ≤ || || + || || （称为三角不等式） .

定义21.3 在欧氏空间V 中, 如果两个向量与，的内积( , ) =0, 那么称与正交, 记为⊥ .

显然, 只有零向量才于它自身正交 , 它也与中任意一个向量正交 .

二、标准正交基与正交阵

定义 21.4 欧氏空间Ｖ中一个两两正交的非零向量组称为正交向量组 .

我们规定由单个非零向量组成的向量组是个正交向量组 .

定理 21.2 设是欧氏空间Ｖ的一个正交向量组，那么线性无关.

证明设有实数使

两边分别与 (i=1,2, ……，r) 作内积，并利用内积的线性，得

但是是两两正交的非零向量组，上述等式可写

成且，因此

＝0 这表明线性无关。

注意到n 维线性空间V 中至多只有个 n 线性无关的向量，所以在 n 维欧氏空间中，任意一个正交向量组至多只有 n 个两两正交的非零向量，因此任意 n 个向量构成一个正交向量组时，它们一定成为 V 的一组基，通常称为 V 的一个正交基。

定义 21. 5 在n 维欧氏空间V 中, 如果正交基中的每个向量都是单位向量，那么称 V 的这个基为标准正交基。

定理 21. 3 (Gram -Schmidt 正交化过程）设 V 是欧氏空间，是一组线性无关的向量，那么取

β1 = α 1

β2=α 2 - β1

............

β r = α r - β1 -....... - βr-1

得到的向量是一个正交的向量组，并且与向量组等价。

定义 21.6 如果实数域 R 上n 阶矩阵A 满足

A T A=E ( 即A-1=A T )

那么A 称为正交阵。

显然，正交阵的行列式只能是 1 或-1 ，并且A 是正交阵当且仅当 A 的列向量组成 R n 的一个标准正交基。

设A 是n 阶正交矩阵，对任意的R n，A ,A R n并且有

(Aα,Aβ)=(Aα)T(Aβ)=.......=(α,β) ,

||Aα|| = = =||α||

因此由正交阵 A 定义的R n上线性变换，它保持了 R n中向量的内积不变，从而保持 R n中向量的长度不变，我们称这样的线性变换为正交变换。