向量的内积与欧氏空间
4-1向量的内积 欧氏空间
即 (a1 b1)2 (a2 b2 )2 (a3 b3 )2
a12 a22 a32 b12 b22 b32 2 cos( )
所以 cos( 1) a1b1 a2b2 a3b3 即 , a1b1 a2b2 a3b3 上式称为几何向量内积的坐标表达式。
0 1 (1,2,4,2)T (1 , 2 , 4 , 2)T
5
555 5
7
定理4.1 许瓦兹 不等式
向量的内积满足
<, >2 ≤<, > <, >，
即
|<, >|≤‖‖•‖‖.
根据许瓦兹不等式，
对任何非零向量， ，总有
,
1
即, 1
1 , 1
8
3、向量的夹角
定义3 当 ≠ ， ≠ 时，
a,3a a,b 17b,3a 17b,b
3 a,a a,b 51 b,a 17 b,b
a a,a a,a a 2
12
4、欧氏空间
定义了内积的向量空间V称为欧几里德（Euclid）空间, 简称欧氏空间，仍记作V . 注：1 、定义了内积的n维向量空间R n是一个欧氏空间
arccos ,
称为n维向量与的夹角，记为(^).
说明 当<, >=0时，称向量与正交（垂直），记为
⊥. 显然，零向量与任意向量正交。
11
第三章大作业 一 填空题 3、
条 件 ： a, b a b cos(a, b)
a 17b,3a b 0 解 ： a 17b,3a b
在数学中向量用有向线段来表示。在几何空间中引入 坐标系后，有向线段即向量可用三元有序数组来表示， 这样几何问题可转化为代数问题来研究。
02-8.1 内积与欧氏空间
n 关于以上定义的内积构成欧氏空间.
8.1 内积和欧氏空间
例2 在2 中对= 任意X
= aa12 ,Y
b1
b2
定义
α ,αi , β j ∈V , c, ai , bj = ∈ (i 1, 2, ..= ., m; j 1, 2,，n)
总有 (1)(O,α ) = 0;
(2) (α , β + γ=) (α , β ) + (α ,γ );
(3) (α , cβ ) = c(α , β );
∑ ∑ ∑ ∑ (4)
当且仅当 α , β 线性相关时, 等号成立.
证明 显然，当且仅当α = 0或β - tα = 0时等式成立. 即当且仅当α，β线性相关时等式成立.
8.1 内积和欧氏空间
例5 对任意实数 ai , bi (i = 1, 2, ..., n)总有
(a1b1 + ... + anbn )2 ≤ (a12 + ... + an2 )(b12 + ... + bn2 )
8.1 内积和欧氏空间
定理 (Cauchy-Schwarz不等式) 设V 是欧氏空间, 则对任意的α , β ∈V , 总有(α , β )2 ≤ (α ,α )(β , β ). 当且仅当α , β 线性相关时, 等号成立. 证明 若α =0, 则左右两式均为0, 等号成立。 若α ≠ 0，考虑向量β -tα ,有 0 ≤ (β -tα , β -tα ) =(β , β ) − 2t(α , β ) + t 2(α ,α ).
7-1向量的内积与欧氏空间-PPT文档资料
(3) ( , ) ( , ) ( , );
, ) 0 ; , ) 0 ,当且仅当 0 (4) ( 时(
这里，，是V中任意的向量，k是任意实 数， (,)
这样的线性空间称为欧几里得空间，
n n
n
( , ) 0 ;所以向量空间Rn在所定义的内积下
构成一个欧氏空间。
二、向量的长度和夹角
在欧氏空间中也可以引入向量的长度和夹 角的概念。
定义 2 非负实数 (,) 称为向量的长度，记
k 为 。显然 k 。
定理1 （Cauchy-Schwarz不等式）对于欧氏空 间中任意两个向量，有 ( , ) 当且仅当， 线性相关时，等号成立。（证 略）
则数（, ）被唯一确定，并且满足
, ) a b b a ( , ) ; （ 1） ( i i i i
k , ) ( ka ) b k a b k ( , ) ; （ 2） ( i i i i
T ( c , c ,..., c ) , ) （3）如果 1 2 n ,则 (
与的内积。 例 1 对于n 维向量空间Rn中的向量 定义
1 2 T n
称为
( a , a ,..., a ) , ( b , b ,..., b )
1 2
( , ) a b a b ... a b a b 1 1 2 2 n n i i
i 1
T n n
定义 3 设， 是欧氏空间中的两个非零向量， 规定 ( ,) ( 0 ) arccos
为向量与的夹角。
定义 4 设V 是一个欧氏空间，， V。如 果(, ) = 0 ，则称与是正交的，记作 。
第二节 欧式空间的基本概念
α1 = (1 , 1 , 1)T , α2 = (1 , 0 , -1)T , α3 = (1 , -2 , 1)T ,
是一个正交向量组 ,请将该向量组化为正交单位向量组 .
解
ao = 1 a
|| a ||
1
=
1
|| 1
||1
=
1 (1,1,1)T = ( 1 ,
3
3
1, 3
1 )T . 3
2
=
1
证毕
, .
(3)三角不等式 ||α+β||||α||+||β||.
3 、向量的夹角
定义非零向量a与b的夹角φ为
= arccos a,b ,
|| a || || b ||
(0 )
规定: 零向量与任意向量成任意角.
• 若<a,b>=0, 则称向量a与b正交.
• 范数为 1 的向量称单位向量.
α = 0.
其中α,β和γ是V中任意向量, k是任意实数, 则称实数 <α,β>为α和β的内积, 称定义了内积的实线性空间V为 实内积空间或欧几里得空间, 简称为欧氏空间.
❖ 关于欧氏空间的两点说明
① 欧氏空间定义中的条件(1)-(4)称为内积公理,
其中的(2), (3)统称为内积的线性性质, 且可以写成
(1)与(2)的证明板书推导. 下面证明(3).
三角不等式的证明
|| ||2 = , =|| ||2 2 , || ||2
|| ||2 2 || || || || || ||2 = (|| || || ||)2
两边同时开方可得
||α+β||||α||+||β||, 故三角不等式成立.
高等代数课件 第八章
( ,) (x1 y1)2 (xn yn )2 （6）
2．标准正交基的性质
设 {1,2} 是 V2 的一个基，但不一定是
正交基。从这个基出发，只要能得出 V2 的一个
正交基 {1, 2}, 问题就解决了,因为将 1和2
再分别除以它们的长度，就得到一个规范正交
注意：（7）和（8）在欧氏空间的不等式（6） 里被统一起来. 因此通常把(6)式称为柯西-施瓦兹不 等式.
三、向量的正交
定义4 欧氏空间的两个向量ξ与η说是正交的,
如果 , 0
定理8.1.2 在一个欧氏空间里，如果向量ξ
与1,2,,r 中每一个正交，那么ξ与 1,2,,r
的任意一个线性组合也正交.
2 a1 2 a1 0,
因而 2 0,
这就得到 V2 的一个正交基 {1, 2}.
3．标准正交基的存在性
定理8.2.2（正交化方法) 设 {1,2 ,,n}
是欧氏空间V的一组线性无关的向量, 那么可以求
出V 的一个正交组 {1, 2,, n}, 使得 k 可以由 1,2,,k 线性表示，k = 1,2,…,m.
由于1,2,,k 线性无关，得 k 0,
又因为假定了 1, 2 ,, k1 两两正交，所以
k ,i
k ,i
k ,i i , i
i , i 0, i 1,2,, k 1
这样，1, 2,, k 也满足定理的要求。
定理8.2.3 任意n(n >0)维欧氏空间一定有正交
基，因而有标准正交基.
例4 在欧氏空间 R3中对基
4) 当 0 时, , 0 这里 ,, 是V的任意向量，a是任意实数，那么
, 叫做向量ξ与η的内积，而V叫做对于 这个内积来说的一个欧氏空间（简称欧氏空间）.
向量的内积与欧氏空间
向量的向量积与混合积的应用
在物理学中的应用
向量积可以用于描述旋转运动的角速度和角加速度等物理量；混合积可以用于描述三维空间中的力矩 和旋度等物理量。
在工程学中的应用
向量积和混合积可以用于解决机构学、动力学和流体力学等领域的问题，例如分析机械结构的运动状 态和受力情况等。
05
欧氏空间中的向量分解
线性无关与向量组
几何意义
向量内积在几何上表示两个向量在正交坐标轴上的投影长度乘积之和。
向量内积的性质
01
非负性
$vec{A} cdot vec{B} geq 0$，当 且仅当$vec{A}$与$vec{B}$同向或
反向时取等号。
03
分配律
$(vec{A} + vec{C}) cdot vec{B} = vec{A} cdot vec{B} + vec{C}
向量的内积与欧氏空间
• 向量内积的定义与性质 • 欧氏空间的基本概念 • 向量的模与向量的数量积 • 向量的向量积与混合积 • 欧氏空间中的向量分解
01
向量内积的定义与性质向量源自积的定义定义向量内积是两个向量之间的点乘运算，记作"·"，其结果是一个标量。具体定义为： 对于两个向量$vec{A} = (a_1, a_2, ..., a_n)$和$vec{B} = (b_1, b_2, ..., b_n)$，其 内积为$vec{A} cdot vec{B} = a_1b_1 + a_2b_2 + ... + a_nb_n$。
向量的数量积的定义与性质
• 定义：向量$\vec{a}$和 $\vec{b}$的数量积定义为 $\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + \cdots + a_nb_n$，其中$a_1, a_2, \ldots, a_n$和$b_1, b_2, \ldots, b_n$ 分别是向量$\vec{a}$和 $\vec{b}$的分量。
欧式空间
欧氏空间(Euler space )一、 内积与欧氏空间1.设V 是实数域R 上的线性空间,在V 上定义一个二元实函数,称为内积,记为),(βα,它具有以下性质: )3(,)2(),,(),)(1( αββα= 这样的线性空间V 称为欧几里的空间,简称欧氏空间.2.设V 是数域P 上的线性空间,如果V 中的任意两个向量βα,都按某一法则对应P 内唯一确定的数,记为),(βαf ,且),(),(),(,,,,)1(221122112121βαβαβααβααk f k k k f V P k k +=+∈∈∀有;),(),(),(,,,,)2(221122112121βαβαββαββαl f l l l f V P l l +=+∈∈∀有 则称),(βαf 是V 上的一个双线性函数.3.内积是双线性函数.4.设V 是n 维欧氏空间,n e e e ,,,21 为V 的一组基,V ∈βα,,若n n e x e x e x +++= 2211α; n n e y e y e y +++= 2211β则j i n j ni j i j i n j n i j i y x a y x e e ∑∑∑∑====∆=1111),(),(βα,5.称 )),(()(j i ij e e a A ==为基n e e e ,,,21 的度量矩阵.6. 设n e e e ,,,21 是n 维欧氏空间V 的一组基,,A 是基n e e e ,,,21 下的度量矩阵,则任意V ∈βα,,有AY X '=),(βα.7.度量矩阵必为正定矩阵,且不同基下的度量矩阵是合同的.二、 长度与夹角1。
欧氏空间V 中向量长度 ),(||ααα=；单位化：当||0||0αααα=≠时， 2．欧氏空间中的重要不等式：① Cauchy-Буняковский不等式：对任意向量V ∈βα,有线性相关时等式成立。
，当且仅当βαβαβα|,||||),(|≤。
第2章 内积空间-1
矩阵分析简明教程
范数还具有下列平行四边形法则和勾股定理。
性质2 如果 V 是数域 R 上的欧氏空间，则对V 中 的任意向量 α、β ÎV ，有：
一般地，可令
1 1
2
2
(2 , 1 ) (1, 1)
1
n
n
(n , 1 ) (1, 1)
1
(n , 2 ) (2 , 2 )
2
(n , n1 ) (n1 , n1 )
n1
至此，我们就得到了矩阵计算中具有基础性作用的
Gram-Schmidt正交化方法。
4
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定理2.2.1 任一n维欧氏空间 V 都存在标准正交基。
当 0 时，取 即得等式
2
矩阵分析简明ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ程
类似于高等数学，根据柯西-施瓦茨不等式，我们称
arccos ( , ) , [0, ], 、 0
为欧氏空间 V 中向量 与 的夹角。 特别地，当 ( , ) 0 时，称 与 正交或垂 直，记为 。
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另外欧氏空间中的范数显然具有下列性质。 性质1 如果 V 是数域 R 上的欧氏空间，则对V 中 的任意向量 α、β ÎV ，具有下列三条性质（非负性、 正齐性和三角不等式）：
定义了内积的线性空间V 为实内积空间，简称欧氏空间。
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例1 在 Rn中，对任意两个向量 (a1, a2 ,, an )T Rn 及 (b1, b2 ,, bn )T Rn
定义了标准内积
( , ) T T
定义与基本性质欧氏空间
欧氏空间的性质
完备性
在欧氏空间中，任意柯西序列都收敛，即任意两点之间的距离可 以由有限步的有限位移得到。
有限维性
欧氏空间是有限维的，其维度等于空间中独立坐标的个数。
连通性
欧氏空间是连通的，即任意两点之间都存在一条连续的路径。
欧氏空间的维度
一维欧氏空间
只有一条坐标轴。
二维欧氏空间
有两条相互垂直的坐标轴。
向量的模
欧氏空间中向量的模定义为向量长度或大小，表 示为$| vec{v} |$，计算公式为$sqrt{v_1^2 + v_2^2 + cdots + v_n^2}$。
向量的内积
欧氏空间中向量的内积定义为两个向量的点积， 表示为$vec{v} cdot vec{w}$，计算公式为 $v_1w_1 + v_2w_2 + cdots + v_nw_n$。
连续性的几何意义
在欧氏空间中，连续性意味着函数图像的每一点附近都有其他点，这些点与图像 上对应的点足够接近。
03
欧氏空间的应用
解析几何中的欧氏空间
解析几何是数学的一个重要分支，它使用代数方法研究几何对象。在解析几何中 ，欧氏空间是一个基本的、重要的概念，用于描述平面和三维空间中的点、线、 面等几何元素。
长度和半径
欧氏空间中，线段的长度和圆的 半径可以通过度量性质进行计算 。
欧氏空间的平行性
平行直线
在欧氏空间中，两条直线平行当且仅当它们的方向向量成比 例。
平行平面
在欧氏空间中，两个平面平行当且仅当它们的法向量共线。
欧氏空间的连续性
连续性定义
在欧氏空间中，如果对于任意给定的正数$epsilon$，都存在一个正数$delta$，使 得对于空间中的任意两点$P$和$Q$，只要$d(P, Q) < delta$，就有$d(f(P), f(Q)) < epsilon$，则称函数$f$在欧氏空间中是连续的。
欧式空间
欧式空间————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期:第八章 欧氏空间向量空间可以看成是通常几何空间概念的推广,然而几何空间里有向量的长度和夹角的概念,而一般的向量空间里却没有得到反映。
这一章我们将在实数域上的向量空间里引入欧氏内积的概念，从而可以合理的定义有向量的长度和夹角，这样的向量空间称为欧氏空间，在许多领域里有广泛的应用。
学习中还要注意学习具体到抽象,再从抽象到具体的辩证的思想方法。
§1 定义和性质几何空间3V 里向量的内积是通过向量的长度和夹角来定义的,即||||cos ξηξηθ⋅=⋅,||ξ表示ξ的长度,θ表示ξ与η的夹角。
我们不能直接按上面方式定义内积,因为还没有定义长度和夹角。
我们要根据几何内积所满足的性质来定义，回想到在第四章第8节在n R 定义内积就是根据几何内积所满足的性质来定义的。
所以在抽象的讨论中，我们取内积作为基本的概念。
定义1 设V 是实数域R 上的一个向量空间，有一个V V ⨯到R 的二元实函数，记作(,)αβ，具有以卡性质:,,V αβγ∀∈，k R ∀∈1） (,)(,)αββα=;2) (,)(,)(,)αβγαβαγ+=+; 3) (,)(,)k k αβαβ=;4) (,)0αα≥， 等号成立当且仅当0α=(,)αβ叫做向量α与β的内积,V 叫做对这个内积来说的欧氏空间。
在需要和其它的内积区别的时候，我们也把满足这4条性质的内积叫做欧氏内积。
在欧氏空间的定义中，对向量空间的维数并无要求,可以是有限维的,也可以是无限维的。
几何空闻中向量的内积显然适合定义中列举的性质，所以几何空间中向置的全体构成一个欧氏空间。
例1 1212(,,,)',(,,,)'n n n a a a b b b R αβ∀==∈，规定α与β的内积为1122(,)'n n a b a b a b αβαβ=+++=，则n R 作成一个欧氏空间。
平面向量的欧氏距离和内积空间
平面向量的欧氏距离和内积空间欧氏距离和内积空间是平面向量的重要概念，它们在数学和物理学中有着广泛的应用。
本文将通过对欧氏距离和内积空间的介绍和讨论，帮助读者更好地理解和应用这两个概念。
一、欧氏距离的定义和性质欧氏距离是平面上两个向量之间的距离度量，它可以用来衡量向量之间的差异程度。
假设平面上给定两个向量u和v，它们的欧氏距离记为||u-v||，其中"|| ||"表示向量的范数或长度。
欧氏距离的定义如下：||u-v|| = sqrt((u1-v1)^2 + (u2-v2)^2)其中，u1、u2分别表示向量u的两个分量，v1、v2分别表示向量v的两个分量。
欧氏距离具有以下性质：1. 非负性：欧氏距离始终为非负数，即||u-v|| >= 0。
2. 同一性：若两个向量相等，则它们的欧氏距离为零，即||u-v|| = 0当且仅当u = v。
3. 对称性：欧氏距离满足对称性，即||u-v|| = ||v-u||。
4. 三角不等式：对于任意的向量u、v和w，欧氏距离满足三角不等式，即||u-v|| <= ||u-w|| + ||w-v||。
二、内积空间的定义和性质内积空间是一个线性空间，其中定义了一个内积运算符，可以用来计算两个向量之间的内积。
在平面向量中，内积可以表示为两个向量的点积。
假设给定两个向量u和v，它们的点积表示为u·v。
内积的定义如下：u·v = u1*v1 + u2*v2其中，u1、u2分别表示向量u的两个分量，v1、v2分别表示向量v的两个分量。
内积空间具有以下性质：1. 非负性：内积的结果始终为非负数，即u·v >= 0。
2. 零向量：若向量u和v的内积为零，即u·v = 0，则u和v称为正交向量或垂直向量。
3. 对称性：内积满足对称性，即u·v = v·u。
4. 线性性质：对于任意标量a和向量u、v、w，内积具有线性性质，即(a*u)·v = a*(u·v)，(u+v)·w = u·w + v·w。
第七章 欧氏空间
ξη
π
2
时, cos θ = 0.即 < ξ , µ >= 0称 ξ与 η 正交 .
补充定义: 零向量与任意向量均正交. 补充定义
ξ 推广： 推广：在欧氏空间中， 与向量 η ⋯ η n 中每个向量正交.则 ξ与η1 ⋯η 的任意线性组
合也正交.即 < ξ ,η i
>= 0 ⇒< ξ , ∑ a iη i >= 0
d (iii) 三角不等式：(ξ ,η ) ≤ d (ξ , ζ ) + d (ζ ,η ). 称(i)、(ii)、(iii)为距离公理。 （iii）在解析几何中的意义是：三角形两边 之和大于第三边。
定理2 定理 如果W是欧氏空间V的一个子空间，那么
对V的内积来说，W也是一个欧氏空间。
7.2
正交基
n n
则< ξ,η >= a1b1 +⋯+ anbn , 由定理1得：
(a1b1 + ⋯+ anbn ) ≤ (a1 + ⋯an )(b1 + ⋯bn )
2 2 2 2 2
这正是大家熟知的Cauchy（柯西）不等式。
在 C [ a , b ] 中， f , g ∈ C[a, b]，规定 ∀
< f , g >= ∫ fgdx 则 ∫ a a
1）求出A 的特征根λ1 … λt是A 的不同特征根;
定义 1. 欧氏空间Ｖ中的一组两两正交的非零向量 叫Ｖ的一个正交组。如果这组向量都是单 位向量。则称为一个标准正交组。 说明： 正交组是线性无关的向量组。 ① ② 在ｎ维欧空间Ｖ中.两两正交的非零空间 . 向量个数不超过n个.在面几何中.正交的非零向量 是有两个.在空间解几中.正交的非零向量是有3个. ③特别:如果α1 ⋯α n 是n维欧氏空间Ｖ的一组正 α是 交组.则称 α1 ⋯α为V的一个正交基.如果 α1 ⋯ n n n维欧氏空间V的标准正交基.则称为V的一个标准正 交基.
欧氏空间
欧氏空间在线性空间中，向量之间的运算只有加法和数乘这两种基本运算，而向量的度量性质，如长度、夹角、距离等，在线性空间中没有得到反映。
因此有必要在线性空间中引入度量的概念。
而在解析几何中我们看到，向量的长度与夹角等度量性质都可以通过向量的内积表示，所以我们选取内积作为基本概念。
在线性空间中引入内积以后就成为欧氏空间。
一、定义与基本性质【定义1】设V 是实数域R 上的一个线性空间，如果在V 上定义一个二元实函数，记作()βα,，称为内积。
如果它有以下性质：1. ()()αββα,,=2. ()()βαβα,,k k =3. ()()()γβγαγβα,,,+=+4. ()0,≥αα，当且仅当0=α时，()0,=αα这里γβα,,是V 中任意向量，k 是任意实数，就称线性空间V 对内积()βα,构成一个欧几里得空间，简称欧氏空间。
注：1. 二元函数意为对V 中任意向量βα,，有唯一的实数对应 2. 内积的定义方法不唯一，不同的内积构成的欧氏空间不同 例：设V 是一个n 维实线性空间，在V 中取定一组基。
设A 是一个正定矩阵，定义V 的内积如下：()()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n n n n y y y x x x21212121εεεβεεεα ()()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n n y y y A x x x2121,βα由于A 为正定矩阵，显然这样定义的内积符合定义中所列条件。
因此，V 对内积()βα,构成一个欧氏空间。
3. 定义中的性质1.说明内积是对称的。
因此，与性质2.及3.相对应的有：.2'()()βαβα,,k k = .3'()()()γαβαγβα,,,+=+进一步的，在欧氏空间V 中，对任意向量s 21,,,ααα ；t21,,,βββ 及任意实数s 21,,,k k k ；t 21,,,l l l ，都有()∑∑∑∑=====⎪⎪⎭⎫⎝⎛s i tj jiji tj jj si i i l k l k 1111,,βαβα【定义2】由()0,≥αα，设α是欧氏空间中的一个向量，非负实数()αα,称为向量α的长度，记为α。
第九章 欧氏空间
第九章 欧几里得空间§1定义与基本性质一、向量的内积定义 1 设V 是实数域R 上一个向量空间,在V 上定义了一个二元实函数，称为内积,记作),(βα,它具有以下性质:1)),(),(αββα=;2) ),(),(βαβαk k =;3) ),(),(),(γβγαγβα+=+;4) 0),(≥αα,当且仅当0=α时, 0),(=αα 这里γβα,,是V 任意的向量,k 是任意实数,这样的线性空间V 称为欧几里得空间.例1 在线性空间n R 中,对于向量 ),,,(,),,,(2121n n b b b a a a ==βα, 定义内积.),(2211n n b a b a b a +++= βα (1)则内积(1)适合定义中的条件，这样nR 就成为一个欧几里得空间.仍用n R 来表示这个欧几里得空间.在3=n 时，(1)式就是几何空间中的向量的内积在直角坐标系中的坐标表达式.例2 在n R 里, 对于向量 ),,,(,),,,(2121n n b b b a a a ==βα,定义内积.2),(2211n n b na b a b a +++= βα则内积(1)适合定义中的条件，这样n R 就也成为一个欧几里得空间.仍n R 用来表示这个欧几里得空间。
对同一个线性空间可以引入不同的内积,使得它作成欧几里德空间，但应该认为它们是不同的欧几里德空间.例 3 在闭区间],[b a 上的所有实连续函数所成的空间),(b a C 中,对于函数)(),(x g x f 定义内积 ⎰=ba dx x g x f x g x f )()())(),(( (2)对于内积(2)，),(b a C 构成一个欧几里得空间. 同样地，线性空间n x R x R ][],[对于内积(2)也构成欧几里得空间.例4 令H 是一切平方和收敛的实数列：+∞<=∑∞=1221),,,,(n nn x x x x ξ所成的集合,则H 是一个欧几里得空间,通常称为希尔伯特(Hilbert)空间（内积定义类似于例1，这是无穷维空间）.二、欧几里得空间的基本性质1）定义中条件1）表明内积是对称的.),(),(),(),()2αββααββαk k k k ==='.),(),(),(),(),(),()3γαβααγαβαγβγβα+=+=+=+'定义2 非负实数),(αα称为向量α的长度，记为α.显然，向量的长度一般是正数，只有零向量的长度才是零，这样定义的长度符合熟知的性质： αα||k k = (3)这里V R k ∈∈α,.长度为1的向量叫做单位向量.如果,0≠α由(3)式，向量αα1就是一个单位向量.用向量α的长度去除向量α，得到一个与α成比例的单位向量，通常称为把α单位化.柯西-布涅柯夫斯基不等式：即对于任意的向量βα,有βαβα≤),( (5)当且仅当βα,线性相关时，等式才成立.证明：由0),(≥++βαβαt t 对于任意实数t 成立，给出简单证明。
工程数学第五章_1 欧氏空间
∧
f
s cos( f , s )
第五章
工
程
数
学
定义1 定义1
设a,
b∈R3, ∈
∧
记 a 与b 的夹角为 ( a,b )
∧
为向量a 内积( 称数 a b cos(a , b ) 为向量 与b 的内积 数量 积 ), 记为 a ·b , 即
a ⋅ b = a b cos(a , b )
∧
(1)
第五章
所以
a ⋅ b = x1 x 2 + y1 y 2 + z1 z 2
(2)
第五章
工 因为
程
数
学
a ⋅b , 所以 cos(a, b) = | a |⋅|b|
∧
a⋅a=x12+y12+z12 ,
a 的长度
a = a ⋅ a,
∧
a ⋅b a 与 b 的夹角 (a, b) = arccos a b
(a, b≠0)
第五章
工
程
数
学
a 与 b 线性相关 ⇔ a + tb = 0 ⇔ (a + tb, a + tb)=0 ⇔ ∆=0
⇔ ( a, b) = a b
综合(1), (2) 定理证毕
第五章
工
程
数
学ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
定义5 定义5 向量a, b 之间的夹角 夹角定义为 夹角
( a, b ) (a, b) = arccos a b
β 的内积 记为 α, β ) , 即 的内积. 记为(
(α, β)= x1 y1 + x2 y2+ …+ xn yn (3)
第五章
欧氏空间的知识点总结
欧氏空间的知识点总结一、欧氏空间的基本概念1. 欧氏空间的定义欧氏空间是指具有度量的线性空间，它可以是具有内积的实数线性空间或者复数线性空间。
在欧氏空间中有一种特殊的度量，即欧氏距离。
欧氏距离是指在n维空间中，两点之间的距离d(x, y)定义为：d(x, y) = √((x1-y1)^2 + (x2-y2)^2 + ... + (xn-yn)^2)其中x=(x1, x2, ..., xn)和y=(y1, y2, ..., yn)分别是空间中的两个点。
2. 欧氏空间的维度欧氏空间的维度是指空间中的向量所属的维度数，通常用n表示。
在n维欧氏空间中，一个向量可以用n个实数或复数表示。
例如，在二维欧氏空间中，一个向量可以表示为(x, y)。
在三维空间中，一个向量可以表示为(x, y, z)。
3. 欧氏空间的内积在n维欧氏空间中，可以定义内积的概念。
内积是指两个向量之间的数量积，通常用"a·b"表示。
在欧氏空间中，两个向量a和b的内积定义为：a·b = a1b1 + a2b2 + ... + anbn内积满足交换律、线性性和正定性等性质。
内积可以用来定义向量的长度、夹角和投影等概念，是欧氏空间中重要的工具。
二、欧氏空间的性质和定理1. 欧氏空间的性质欧氏空间具有许多重要的性质，例如：- 距离的非负性：两点之间的距离永远是非负的。
- 距离的对称性：两点之间的距离与它们的顺序无关。
- 三角不等式：两点之间的最短距离加起来不大于第三个点所在的线段的长度。
- 同伦性：欧氏空间是同伦的，即两个点之间总可以找到一条连续的路径相连接。
2. 欧氏空间的定理在欧氏空间中，有许多重要的定理，例如：- 柯西-施瓦茨不等式：对于欧氏空间中的任意两个向量a和b，它们的内积满足|a·b| ≤ ||a|| * ||b||，其中||a||和||b||分别是向量a和b的长度。
- 皮亚诺定理：在欧氏空间中，任意有界闭集都是紧的。
1-CH4-d1d2欧氏空间及内积标准正交基(经济类)
例2 在R3中,向量 与 如图所示
2
3
求:两向量的内积
解: , cos(, )
3 2cos =3 3
3 上页 下页 返回9
一、向量的内积-- 3、向量的夹角
例3:
已 知向量
3
与向量
2
内积为2,且
计算内积: ,2
解: 由内积的性质 得:
,2
1
,
2
1
1 , 2
, 2
1
2
1
,
, 1 ,
1
2 , ,
1
1
1
,
2 , 1
1
1
,
=0
12
,
11
11
同理可验证;
,
1
3
0
, 0
3
2
所以向量组 , , 是正交的
1
2
3
上页 下页 返回17
例4 已知R 3中的一组基为
1
1
1
1
1
2
0
1
1
3
1
0
求R 3的一个与基1，2， 3等价的标准正交基。
3.等量减等量，其差相等；4.彼此能重合的物体全等； 5.整体大于部分。 五条公设: 1.过两点能作且只能作一直线； 2.线段(有限直线)可以无限地延长； 3.以任一点为圆心,任意长为半径,可作一圆； 4.凡是直角都相等； 5.同平面内一条直线和另外两条直线相交，若在直线同 侧的两个内角和小于180°,则这两条直线经延长后在这一侧一定相 交。
2
1 2 1 2 0
0
0
0
1
=E
2
1
2
线性代数第三章 线性空间和线性变换3.3 欧几里得空间简介
向量个数不会超过n个。（因为线性无关的非零
向量个数不会超过n个） 其几何意义就是：在平
面上找不到3个两两垂直的非零向量，在空间中找
不到4个两两垂直的非零向量。
定义3.17 在n维欧氏空间V中，由n个向量组成的正交向量 组称为V的一个正交基；由单位向量组成的正交基称为标 准正交基。
§3.3 欧几里得空间简介
一、定义与基本性质 首先看一下向量的内积 定义3.12设V是实数域R上一个线性空间，在V上定义
了一个二元函数，称为内积，记作(α,β),它具有以 下性质:
(1) (α,β)= (β, α); (2) (kα,β)=k (α,β); (3) (α+β,γ)= (α, γ)+(β,γ); (4) (α,α)≥0,当且仅当α=0时, (α,α)=0. 其中αβγ是V中的任意向量,0为V中的零向量,k是 任意实数.这个定义了内积的线性空间V称为
同构映射。
相关结论： (1)、任意一个n维欧氏空间V都与n维欧氏空间R n同构 (2)、两个有限维欧氏空间同构的充要条件是它们有相同的维数
定义2.21: 如果一个非零向量组(即该向量组中的向
量都不是零向量) 1, 2, ,s (s2) 中的向量两两 正交, 则称1, 2, ,s为一个正交向量组.
，x n
)
,
则
xi ( ,i ), (i 1, 2,L , n)
设，
V，在V的标准正交基1，
2，L
，
下，有：
n
＝x11 x2 2 L xn n
＝y11 y2 2 L yn n
则(, )=x1 y1 x2 y2 L xn yn
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向量的内积与欧氏空间
一、与欧氏空间
几何空间是抽象线性空间的一个最基本的模型，向量的度量性质是几何空间中最基本的研究对象。
在§ 11 研究空间向量的数量积、向量积和混合积的基础上，我们要把空间向量的数量积概念推广到一般的线性空间上，进而研究线性空间的度量性质。
在这一节里，我们总假设 V 是实数域R 上的线性空间。
定义21.1 在V 上定义代数运算，记为（，）：V ×V →R , 即对任意的
V ， R, 并且对任意的V 及k R 满足下述条件：
（1 ）对称性（）=( );
（2 ）线性性 ( ) =( ) +( ) , (k )= k( );
（3 ）正定性( ) ≥0 ，等号成立当且仅当.=0
那么代数运算（，）称为上一个内积， V 称为欧氏空间 .
定义21.2 设α是欧氏空间 V 中任意的向量，非负实
数称为向量α的长度，记为 || α
|| ，特别，把长度为 1 的的向量称为单位向量。
与§11 一样可以证明下面的定理。
定理21.1 设V 是一个欧氏空间，对任意的∈ V 及k ∈ R , 那么
（1) || || ≥0 ，等号成立当且仅当＝0 ;
(2 ) ||k || = k || || ;
(3) |( ) | ≤ || || || , 等号成立当且仅当与线性相关（称为柯西-- 布涅雅科夫斯基不等式）;
(4) || || ≤ || || + || || （称为三角不等式） .
定义21.3 在欧氏空间V 中, 如果两个向量与，的内积( , ) =0, 那么称与正交, 记为⊥ .
显然, 只有零向量才于它自身正交 , 它也与中任意一个向量正交 .
二、标准正交基与正交阵
定义 21.4 欧氏空间Ｖ中一个两两正交的非零向量组称为正交向量组 .
我们规定由单个非零向量组成的向量组是个正交向量组 .
定理 21.2 设是欧氏空间Ｖ的一个正交向量组，那么线性无关.
证明设有实数使
两边分别与 (i=1,2, ……，r) 作内积，并利用内积的线性，得
但是是两两正交的非零向量组，上述等式可写
成且，因此
＝0 这表明线性无关。
注意到n 维线性空间V 中至多只有个 n 线性无关的向量，所以在 n 维欧氏空间中，任意一个正交向量组至多只有 n 个两两正交的非零向量，因此任意 n 个向量构成一个正交向量组时，它们一定成为 V 的一组基，通常称为 V 的一个正交基。
定义 21. 5 在n 维欧氏空间V 中, 如果正交基中的每个向量都是单位向量，那么称 V 的这个基为标准正交基。
定理 21. 3 (Gram -Schmidt 正交化过程）设 V 是欧氏空间，是一组线性无关的向量，那么取
β1 = α 1
β2=α 2 - β1
............
β r = α r - β1 -....... - βr-1
得到的向量是一个正交的向量组，并且与向量组等价。
定义 21.6 如果实数域 R 上n 阶矩阵A 满足
A T A=E ( 即A-1=A T )
那么A 称为正交阵。
显然，正交阵的行列式只能是 1 或-1 ，并且A 是正交阵当且仅当 A 的列向量组成 R n 的一个标准正交基。
设A 是n 阶正交矩阵，对任意的R n，A ,A R n并且有
(Aα,Aβ)=(Aα)T(Aβ)=.......=(α,β) ,
||Aα|| = = =||α||
因此由正交阵 A 定义的R n上线性变换，它保持了 R n中向量的内积不变，从而保持 R n中向量的长度不变，我们称这样的线性变换为正交变换。