7.4向量的内积及其运算
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(判断两向量垂直的依据) (计算向量的长度)
练习一:单位向量i 、j 分别与x 轴、y 轴方向相同，求
1 ① i i _____ 0 ③ j i ______
解：
0 ② i j _____ 1 ④ j j _____
i i i i cos i , i
2 2
所以 <a, b>=45°
例2.已知A(1, 2)，B(2, 3)，C(2, 5)， 求证：△ABC是直角三角形
证明： AB =(1, 1), AC =(－3, 3) 所以 AB AC =－3+3=0，
C
B A
即AB⊥AC， △ABC是直角三角形.
小结：
1. 向量内积的坐标表示 2. 向量长度的坐标表示 3. 两点间距离公式 4. 向量夹角的坐标表示 5. 两向量垂直的充要条件
练习：
b 1,2 且 a // b ，求 a . （1）已知 a 3 ，
（2）已知a =（4，2），求与a 垂直的单位向量.
AC 1, k ，求k 的值. AB 2,3 ， RtABC 中， （3）
7.4 向量内积的坐标表示 与度量公式
教学目标
一．
二．
三．
掌握向量内积的坐标运算及其应用。 掌握向量的长度、两点间的距离和夹角公式。 掌握用向量的坐标表示向量垂直的条件。
教学重难点
教学重点: 向量数量积的坐标表示以及由此推得的
长度、距离夹角公式和垂直条件的坐标 表示。
教学难点: 向量的长度、距离、夹角、垂直条件的坐标
1 1 2 2
2. 向量垂直的充要条件
已知两个向量a=(x1, y1)，b=(x2, y2) ，那么
a⊥b x1x2+y1y2=0 a b a b 0 a b x1 x2 y1 y2
a b x1x2 y1 y2 0
1 1 cos 0
1
1.向量内积的坐标运算 若向量a=(x1, y1)，b=(x2, y2)，则
两个向量的内积等于它们对应坐标的乘积的和，即
a b x1 x2 y1 y2
推广1： 设a ( x, y),则 a
wenku.baidu.comx y
2
2
a a a a a x2 y2 长度公式 a x2 y2
推广2：设A（x1，y1），B（x2，y2）
AB x2 x1, y2 y1
则 AB
x2 x1 y2 y1
2
2
两点间距离公式
推广3： 若向量a=(x1, y1)，b=(x2, y2)，则 a b x1 x2 y1 y2 cos a, b 2 2 2 2 ab x y x y
例1.设a = (3, 1)，b = (1, 2)，求ab，|a|，|b|， 和<a, b>
解： ab = (3, 1) (1, 2)=3+2=5.
|a|= |b|=
a a 3 (1) 10
2 2
b b 1 (2) 5 a b 5 2 cos <a, b>= | a || b | 2 10 5
表示的灵活运用
复习导入： 1. 如何用向量的长度、夹角表示内积？ 2. 如何用内积、长度来表示夹角？ 3.
a b
的充要条件?
4. 如何用向量的内积表示向量的长度?
向量的内积：
向量的夹角：
a b a b 0
2 a a a a
a a, b a b b cos a b cos a, b ab
练习一:单位向量i 、j 分别与x 轴、y 轴方向相同，求
1 ① i i _____ 0 ③ j i ______
解：
0 ② i j _____ 1 ④ j j _____
i i i i cos i , i
2 2
所以 <a, b>=45°
例2.已知A(1, 2)，B(2, 3)，C(2, 5)， 求证：△ABC是直角三角形
证明： AB =(1, 1), AC =(－3, 3) 所以 AB AC =－3+3=0，
C
B A
即AB⊥AC， △ABC是直角三角形.
小结：
1. 向量内积的坐标表示 2. 向量长度的坐标表示 3. 两点间距离公式 4. 向量夹角的坐标表示 5. 两向量垂直的充要条件
练习：
b 1,2 且 a // b ，求 a . （1）已知 a 3 ，
（2）已知a =（4，2），求与a 垂直的单位向量.
AC 1, k ，求k 的值. AB 2,3 ， RtABC 中， （3）
7.4 向量内积的坐标表示 与度量公式
教学目标
一．
二．
三．
掌握向量内积的坐标运算及其应用。 掌握向量的长度、两点间的距离和夹角公式。 掌握用向量的坐标表示向量垂直的条件。
教学重难点
教学重点: 向量数量积的坐标表示以及由此推得的
长度、距离夹角公式和垂直条件的坐标 表示。
教学难点: 向量的长度、距离、夹角、垂直条件的坐标
1 1 2 2
2. 向量垂直的充要条件
已知两个向量a=(x1, y1)，b=(x2, y2) ，那么
a⊥b x1x2+y1y2=0 a b a b 0 a b x1 x2 y1 y2
a b x1x2 y1 y2 0
1 1 cos 0
1
1.向量内积的坐标运算 若向量a=(x1, y1)，b=(x2, y2)，则
两个向量的内积等于它们对应坐标的乘积的和，即
a b x1 x2 y1 y2
推广1： 设a ( x, y),则 a
wenku.baidu.comx y
2
2
a a a a a x2 y2 长度公式 a x2 y2
推广2：设A（x1，y1），B（x2，y2）
AB x2 x1, y2 y1
则 AB
x2 x1 y2 y1
2
2
两点间距离公式
推广3： 若向量a=(x1, y1)，b=(x2, y2)，则 a b x1 x2 y1 y2 cos a, b 2 2 2 2 ab x y x y
例1.设a = (3, 1)，b = (1, 2)，求ab，|a|，|b|， 和<a, b>
解： ab = (3, 1) (1, 2)=3+2=5.
|a|= |b|=
a a 3 (1) 10
2 2
b b 1 (2) 5 a b 5 2 cos <a, b>= | a || b | 2 10 5
表示的灵活运用
复习导入： 1. 如何用向量的长度、夹角表示内积？ 2. 如何用内积、长度来表示夹角？ 3.
a b
的充要条件?
4. 如何用向量的内积表示向量的长度?
向量的内积：
向量的夹角：
a b a b 0
2 a a a a
a a, b a b b cos a b cos a, b ab