2013年高考数学二轮复习学案：专题2函数的性质及应用试题和解析(II)

2013年高考数学二轮复习学案：专题2函数的性质及应用试题

和解析（II ）

高考中考查函数性质的形式不一，时而填空题，时而解答题，时而与其他章节综合，在解决问题的某一步骤中出现.在二轮复习中要注重知识点之间的联系，同时还要注意结合函数图象解决问题.,此外，函数的对称性、周期性常与函数的奇偶性、单调性综合起来考查；函数的零点问题是近年来新增的一个考点，也要引起足够的重视.

1．已知函数F (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋12－1是R 上的奇函数，a n ＝f (0)＋f ⎝⎛⎭⎫1n ＋f ⎝⎛⎭⎫2n ＋…＋f ⎝⎛⎭⎫n －1n ＋f (1)(n ∈N *)，则数列{a n }的通项a n ＝________.

解析：由题意知F (－x )＝－F (x )，即f ⎝⎛⎭⎫－x ＋12－1＝－f ⎝⎛⎭⎫x ＋12＋1，f ⎝⎛⎭⎫x ＋12＋f ⎝⎛⎭⎫－x ＋1

2＝2.[来源:学科网]

令t ＝x ＋1

2，则f (t )＋f (1－t )＝2.

分别令t ＝0，1n ，2

n ，…，n －1n ，n n ，得

f (0)＋f (1)＝f ⎝⎛⎭⎫1n ＋f ⎝⎛⎭⎫

n －1n ＝ (2)

∵a n ＝f (0)＋f ⎝⎛⎭⎫1n ＋f ⎝⎛⎭⎫2n ＋…＋f ⎝⎛⎭⎫n －1n ＋f (1)， ∴由倒序相加法得2a n ＝2(n ＋1)，故a n ＝n ＋1. 答案：n ＋1

2．(2012·徐州期末)设函数f (x )＝x |x |＋bx ＋c ，给出下列四个命题 ①当c ＝0，y ＝f (x )是奇函数；

②当b ＝0，c <0时，方程f (x )＝0只有一个实数根； ③y ＝f (x )的图象关于点(0，c )对称； ④方程f (x )＝0至多有两个实数根． 其中命题正确的是________．

解析：当c ＝0时f (－x )＝－x |x |－bx ＝－f (x )，①正确；当b ＝0，c <0时由f (x )＝0得x |x |＋c ＝0，只有一个正根，②正确；若P (x ，y )是y ＝f (x )图象上的任意一点，则f (－x )＝－x |x |－bx ＋c ＝2c －(x |x |＋bx ＋c )＝2c －y ，即P ′(－x,2c －y )也在y ＝f (x )的图象上，③正确；④不正确，如b ＝－2，c ＝0时，f (x )＝0有3个实数根．

答案：①②③

3．已知函数f (x )＝|x 2－2ax ＋b |(x ∈R )．给出下列命题： ①f (x )必是偶函数；

②当f (0)＝f (2)时，f (x )的图象必关于直线x ＝1对称； ③若a 2－b ≤0，则f (x )在区间[a ，＋∞)上是增函数； ④f (x )有最大值|a 2－b |. 其中正确的序号是________．

解析：①显然是错的；②由于函数加了绝对值，所以对于一个函数值可能对应的x 值有4个，故不一定得到对称轴是x ＝1；由于a 2－4≤0时，f (x )＝x 2－2ax ＋b ，故③正确；④结合函数图象，可以判定函数无最大值．

答案：③

4．(2012·淮阴联考)给出下列四个结论：

①函数y ＝k ·3x (k 为非零常数)的图象可由函数y ＝3x 的图象经过平移得到； ②不等式⎪⎪

⎪

⎪ax －1x >a 的解集为M ，且2∉M ，则a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫14，＋∞； ③定义域为R 的函数f (x )满足f (x ＋1)·f (x )＝－1，则f (x )是周期函数；

④已知f (x )满足对x ∈R 都有f ⎝⎛⎭⎫12＋x ＋f ⎝⎛⎭⎫12－x ＝2成立，则f ⎝⎛⎭⎫18＋f ⎝⎛⎭⎫28＋…＋f ⎝⎛⎭⎫7

8＝7. 其中正确结论的序号是________．(把你认为正确命题的序号都填上) 解析：由|k |·3x ＝3x ＋log 3|k |(k ≠0)知①正确；由2∉M 得⎪⎪

⎪

⎪2a －12≤a ，即a ≥1

4，故②不正确；由f (x ＋1)

＝－1f (x )得f (x ＋2)＝f (x )，故③正确；由f ⎝⎛⎭⎫12＋x ＋f ⎝⎛⎭⎫12－x ＝2得f (x )＋f (1－x )＝2且f ⎝⎛⎭⎫12＝1，故f ⎝⎛⎭⎫18＋f ⎝⎛⎭⎫28＋…＋f ⎝⎛⎭⎫

78＝7正确．

答案：①③④

5．给出定义：若m －12

2(其中m 为整数)，则m 叫做离实数x 最近的整数，记作{x }，即{x }＝

m .

在此基础上给出下列关于函数f (x )＝|x －{x }|的四个命题： ①函数y ＝f (x )的定义域是R ，值域是⎣⎡⎦⎤0，1

2； ②函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝k

2(k ∈Z )对称；

③函数y ＝f (x )是周期函数，最小正周期是1； ④函数y ＝f (x )在⎣⎡⎦⎤－12，1

2上是增函数． 则其中真命题是________．

解析：由m －12＜x ≤m ＋12解得－12≤x －m ≤1

2

，故命题①正确；由f (k －x )＝|k －x －{k －x }|＝|k －x －(k

－{x })|＝|－x ＋{x }|＝f (x )知②正确，④不正确；同理③正确．

答案：①②③

[典例1]

(2012·泰兴中学调研)设n 为正整数，规定：f n (x )＝f {f […f (x )]}n 个f ，已知f (x )＝⎩

⎪⎨⎪

⎧

2(1－x )，0≤x ≤1，x －1， 1＜x ≤2.

(1)解不等式f (x )≤x ；

(2)设集合A ＝{0,1,2}，对任意x ∈A ，证明：f 3(x )＝x ； (3)探求f 2 012⎝⎛⎭⎫

89；

(4)若集合B ＝{x |f 12(x )＝x ，x ∈[0,2]}，证明：B 中至少包含有8个元素． [解] (1)①当0≤x ≤1时，由2(1－x )≤x 得， x ≥23.∴2

3

≤x ≤1. ②当1＜x ≤2时，∵x －1≤x 恒成立，∴1＜x ≤2.

由①，②得，f (x )≤x 的解集为⎩

⎨⎧

x ⎪⎪⎭

⎬⎫

23

≤x ≤2. (2)证明：∵f (0)＝2，f (1)＝0，f (2)＝1， ∴当x ＝0时，

f 3(0)＝f (f (f (0)))＝f (f (2))＝f (1)＝0； 当x ＝1时，

f 3(1)＝f (f (f (1)))＝f (f (0))＝f (2)＝1； 当x ＝2时，

f 3(2)＝f (f (f (2)))＝f (f (1))＝f (0)＝2.[来源:学科网ZXXK] 即对任意x ∈A ，恒有f 3(x )＝x . (3)f 1⎝⎛⎭⎫89＝f ⎝⎛⎭⎫89＝2⎝⎛⎭⎫1－89＝29， f 2⎝⎛⎭⎫89＝f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫89＝f ⎝⎛⎭⎫29＝14

9， f 3⎝⎛⎭⎫89＝f ⎝⎛⎭⎫f 2

⎝⎛⎭⎫89＝f ⎝⎛⎭⎫149＝149－1＝59， f 4⎝⎛⎭⎫89＝f ⎝⎛⎭⎫f 3⎝⎛⎭⎫89＝f ⎝⎛⎭⎫59＝2⎝⎛⎭⎫1－59＝89. 一般地，f 4k ＋r ⎝⎛⎭⎫89＝f r ⎝⎛⎭⎫89(k ∈N ，r ∈N *)． ∴f 2 012⎝⎛⎭⎫89＝f 4⎝⎛⎭⎫89＝89.