二维傅里叶变换
二维傅里叶变换
C数n是中频，率只v包的含复0函，±数ν ，, ±称2ν为,L频率函等数频，率由分于量周，频期率函
的取值是离散的，所以周期函数只有离散谱。没 有连续谱。
2
是离散求和的形式,表明:
一个随时间或空间变化的周期函数（信号）f(x),可 以看作是许多具有不同频率的基元简谐波信号的叠 加。各简谐波分量的频率为u，u=nu, 是离散的; 取 值为0, ±u, ± 2u, ± 3u,… ; u=0为直流分量， ±u 为基频，其余为高次谐波分量。
⎫ ⎪ ⎪
∫ an
=
2 τ
τ 0
f
(t)
cos
2π
nν
tdt
⎪ ⎬
⎪
∫ bn
=
2 τ
τ 0
f
(t
)
sin
2π
nν
tdt
⎪ ⎪⎭
1
周期函数也可以展开成指数傅里叶级数形式
∞
f (t) = ∑ Cn exp( j2π nν t) n=−∞
∫ Cn
=
1 τ
τ f (t) exp(− j2π nν t)dt， n=0,±1,± 2,L
13
∞∞
f (x, y) = ∫ ∫ F (u, v) exp[ j2π (ux + vy)]dudv
−∞ −∞
x = r cosθ , y = r sinθ
u = ρ cosϕ, v = ρ sinϕ
∞ 2π
f (r cosθ , r sinθ ) = ∫ ∫ F (ρ cosϕ, ρ sinϕ) exp[ j2π (ρr cosθ cosϕ + ρr sinθ sinϕ)]ρdρdϕ 0 0 ∞ 2π
F (ρ cosϕ, ρ sinϕ) = ∫ ∫ f (r cosθ , r sinθ ) exp[− j2πρr cos(θ −ϕ)]rdrdθ
二维图像傅里叶变换
a 图
b 图的幅值谱重构图
由此更加说明相 位谱较幅值谱更能 影响图像的轮廓。
幅度和频率哪个
更能影响图像的形状呢 请看如下试验
先 准 备 两 张 图 片
a 图
b 图
a 图 的 幅 值 谱
b 图 的 幅 值 谱
b 图的相位谱
a 图的相位谱
图a的幅值谱 和图b的相位谱重 新组合
a 图 的 幅 值 谱
b 图 的 值谱与 a图的相位谱组合
a 图 的 相 位 谱
b 图 的 幅 值 谱
a 图的大体轮廓
由此可以说明相 位谱较幅值谱更能影 响图像的形状。通俗 的说，幅度决定图像 的强弱，相位决定图 像的频率。
先将幅值谱设为常数（这里 设为1），然后和图像原来的相 位谱结合，进行傅里叶反变换
a 图
a 图的相位谱重构图
再将相位谱设为常数（这里 设为1），然后和图像原来的幅 值谱结合，进行傅里叶反变换
二维图像傅里叶变换图像的二维傅里叶变换二维傅里叶变换二维离散傅里叶变换二维傅里叶变换公式matlab二维傅里叶变换二维快速傅里叶变换二维傅里叶变换加窗二维傅里叶变换的性质二维傅里叶变换性质
图像的傅里叶 变换是图像在空域和 频域之间的变换
. 二维傅 . 里叶变换可 以由两步一 维傅里叶变 换来实现
声学二维傅里叶变换
声学二维傅里叶变换声学二维傅里叶变换是一种用于分析声音信号的数学工具。
它基于傅里叶变换的原理，将声音信号从时域转换到频域，从而可以更好地理解和处理声音信号。
在声学中，声音是由气体、液体或固体的振动产生的。
当物体振动时，它会产生压力波，这些压力波通过介质传播并被我们的耳朵感知为声音。
声音信号可以被表示为一个时域函数，它描述了声音随时间变化的振幅。
然而，时域表示并不能直观地展示声音信号中包含的频率信息。
这时候，二维傅里叶变换就派上用场了。
通过将声音信号转换到频域，我们可以清楚地看到声音信号中包含的各个频率分量的贡献程度。
这对于分析和处理声音信号非常有用。
二维傅里叶变换的过程可以简单描述为以下几个步骤：首先，将声音信号表示为一个二维矩阵，其中横轴表示时间，纵轴表示频率。
然后，对这个矩阵进行二维傅里叶变换。
变换后的结果是一个复数矩阵，其中每个元素表示对应频率和时间的振幅和相位信息。
最后，可以对这个变换后的矩阵进行进一步的分析和处理。
通过声学二维傅里叶变换，我们可以获得声音信号的频谱图，即频率和振幅之间的关系图。
这个频谱图可以帮助我们了解声音信号中包含的各个频率成分的强度和分布情况。
例如，可以通过分析频谱图来判断声音信号中是否存在特定频率的噪音或共振现象。
除了分析声音信号，声学二维傅里叶变换还可以应用于声音信号的处理和改变。
通过对变换后的矩阵进行逆变换，我们可以将频域表示的声音信号转换回时域表示，并进行各种音频处理操作，如滤波、增强、混响等。
声学二维傅里叶变换是一种强大的工具，可用于分析、处理和改变声音信号。
它能够帮助我们更好地理解声音信号中的频率信息，从而提高声音信号的质量和可理解性。
通过合理使用声学二维傅里叶变换，我们可以在声学领域取得更好的研究和应用成果。
二元函数的离散二维傅里叶变换与离散二维傅里叶变换的应用
二元函数的离散二维傅里叶变换与离散二维傅里叶变换的应用二元函数的离散二维傅里叶变换（Discrete Two-dimensional Fourier Transform）是一种将二维离散信号转换到频域的重要数学工具。
在数字图像处理、通信系统和信号处理等领域中得到了广泛应用。
本文将介绍二元函数的离散二维傅里叶变换的定义、性质以及其在数字图像处理中的应用。
一、离散二维傅里叶变换的定义和性质离散二维傅里叶变换是二维信号的频域表示，它将一个二元函数表示为两个离散变量的函数。
设f(m,n)是一个m×n的离散二维信号，则它的离散二维傅里叶变换F(u,v)定义为：F(u,v)=∑[∑f(m,n)e^(-j2π(um/M+vn/N))] (1)其中，u和v是频率变量，范围在[0,M-1]和[0,N-1]之间，M和N分别表示信号的行数和列数。
离散二维傅里叶变换有以下性质：1. 线性性质：设f1(m,n)和f2(m,n)是两个m×n维的离散二维信号，α和β是常数，则有F(αf1(m,n)+βf2(m,n))=αF(f1(m,n))+βF(f2(m,n))。
2. 变换的逆运算：假设一个信号F(u,v)经过离散二维傅里叶变换得到一个函数f(m,n)，则信号F(u,v)通过逆变换可以得到相应的函数f(m,n)，即f(m,n)=∑[∑F(u,v)e^(j2π(um/M+vn/N))]。
3. 位移性质：对于一个二维离散信号f(m,n)的傅里叶变换F(u,v)，其在频域中的相对位移可以引起在空域中的相位变换。
即若f(m,n)经过水平或垂直平移变换，则其傅里叶变换F(u,v)也会在相应的方向上发生相位变化。
4. 共轭对称性：离散二维傅里叶变换满足共轭对称性质，即对于一个二维离散信号f(m,n)的傅里叶变换F(u,v)，有F(u,v) = F*(-u,-v)，其中F*(-u,-v)表示F(u,v)的共轭复数。
二、离散二维傅里叶变换在数字图像处理中的应用离散二维傅里叶变换在数字图像处理中有广泛的应用，包括图像滤波、边缘检测、图像增强等。
第四五讲二维-傅里叶变换
当f(x)=g(x)时,互相关变为复函数f(x)的自相关, 定义为
rff (x)
f (x)★f (x)
f ( ) f *( x)d
或:
rff (x)
f (x)★f (x)
f ( 'x) f *( ')d '
由(4)式立即可得:
rff(x)= rff*(-x)
F(,)一般是复函数, F(,) =A(,)e jf (,)
位相谱 振幅谱
描述了各频率分量的相对幅值和相移.
§1-5二维傅里叶变换 2-D Fourier Transform
广义 F.T.
对于某些不符合狄氏条件的函数, 求F.T.的方法.
对某个可变换函数组成的系列取极限不符合狄氏条件的函数, 函数系列变换式的极限原来函数的广义F. T.
宽度 =1/2
周期 t =1
a0
2
t
t
1
2 g(t)dt 2 4 dt 1
t 2
1 4
频率 f0 =1
an
2
t
t 2
t 2
g(t) cos(2nt)dt
2
1
4 cos(2nt)dt
1 4
sin(2nt) n
1/ 4 1/ 4
sinc
n 2
bn
2
t
t
2 t 2
g (t
)
sin(2nf0t)dt
( ) ( )d 2
2
( ) d
2
( ) d
其中与一般为复函数，且仅当=k 时，等号成立。
令()=f(-x)， ()=g()，则施瓦兹不等式为：
二维傅里叶变换与逆变换
二维傅里叶变换与逆变换二维傅里叶变换和逆变换是信号处理中最重要的技术之一，是将时域信号转化为频域信号的过程。
本文将对二维傅里叶变换和逆变换进行详细介绍，包括定义、性质、计算方法等内容。
二维傅里叶变换是将二维信号（如图像）从时域转换到频域的数学方法。
它将一个以二维数组表示的时域信号转换成一个以复数二维数组表示的频域信号，该频域信号表示了该信号的频率分量和其强度。
二维傅里叶变换的基本定义为：$F(u,v)=\iint_{-\infty}^{\infty}f(x,y)e^{-i2\pi(ux+vy)}dxdy$$f(x,y)$为二维时域信号，$F(u,v)$为二维频域信号，$u$和$v$为频率变量，$i$为虚数单位。
二维傅里叶变换具有很多重要的性质，这些性质对于理解和应用二维傅里叶变换非常重要。
下面列举了二维傅里叶变换的一些重要性质：1. 线性：二维傅里叶变换是线性的，也就是说，如果$f_1(x,y)$和$f_2(x,y)$是两个二维函数，$a$和$b$是常数，则有$F(a f_1(x,y)+b f_2(x,y)) = aF(f_1(x,y)) +bF(f_2(x,y))$。
3. 对称性：如果$f(x,y)$是一个实函数，则$F(u,v)$是关于$u=0$和$v=0$对称的，即$F(u,v)=F(-u,-v)$。
4. 拉普拉斯变换：二维傅里叶变换是拉普拉斯变换在两个变量上的推广。
当$f(x,y)$是一个实函数时，$F(u,v)$可以表示为$f(x,y)$的拉普拉斯变换，即$F(u,v)=\mathcal{L}\{f(x,y)\}$。
三、二维傅里叶变换的计算方法计算二维傅里叶变换需要进行积分，这往往比较麻烦和复杂。
通常使用离散傅里叶变换（DFT）方法进行计算。
DFT方法是通过将二维信号离散化为一个有限的二维数组，并计算该数组的离散傅里叶变换来实现的。
通常使用快速傅里叶变换（FFT）算法来计算DFT。
FFT算法可以在$O(Nlog_{2}N)$的时间复杂度内计算一个$N*N$矩阵的离散傅里叶变换，其中$N$通常是$2$的幂次。
二维傅里叶变换
二维傅里叶变换1. 什么是傅里叶变换？傅里叶变换是一种重要的数学变换，用于将一个函数表示为一系列正弦和余弦函数的加权和。
它在信号处理、图像处理、通信等领域有着广泛的应用。
傅里叶变换可以将一个函数从时域表示切换到频域表示，以便更好地理解和处理信号。
时域是函数的值与时间变量的关系，而频域是函数的值与频率变量的关系。
二维傅里叶变换是将二维函数从空间域转换到频率域的一种数学工具。
它在图像处理中有很重要的应用，可以用来分析图像的频率特征，如边缘、纹理等。
2. 二维傅里叶变换的定义对于一个二维函数 f(x, y)，其二维傅里叶变换 F(u, v) 定义如下：F(u, v) = ∬[−∞,∞][−∞,∞] f(x, y) * exp(−j2π(ux+ vy)) dxdy其中，u和v分别表示频率域的x和y轴，且 j 是虚数单位i。
3. 二维傅里叶变换的性质二维傅里叶变换具有许多重要的性质，包括线性性质、平移性质、旋转性质等。
线性性质二维傅里叶变换具有线性性质，即对于任何二维函数 f(x, y) 和 g(x, y)，以及任意常数 a 和 b，有以下关系：F(a*f(x, y) + b*g(x, y)) = a*F(f(x, y)) + b*F (g(x, y))平移性质二维傅里叶变换具有平移性质，即对于任何二维函数 f(x, y) 和常数 a 和 b，有以下关系：F(f(x-a, y-b)) = exp(−j2π(ua+vb)) * F(f(x, y))旋转性质二维傅里叶变换具有旋转性质，即对于任何二维函数 f(x, y) 和常数θ，有以下关系：F(f(Rθ(x, y))) = F(f(x, y)) * exp(−j2π(uxcosθ+ uysinθ))其中，Rθ 为绕原点逆时针旋转角度θ 的旋转变换。
4. 二维傅里叶变换的应用二维傅里叶变换在图像处理中有着广泛的应用，包括图像滤波、图像增强、图像压缩等。
图像滤波二维傅里叶变换可以用于对图像进行频域滤波，包括低通滤波器、高通滤波器、带通滤波器等。
二维傅里叶变换
二维傅里叶变换一．二维傅里叶变换的定义二维傅里叶变换：F (u,v )=∫∫f(x,y)e −j2π(ux+uy)+∞−∞dxdy +∞−∞二维傅里叶逆变换：f (x,y )=∫∫F (u,v )e j2π(ux+uy )+∞−∞dudv +∞−∞原理解释：二维傅里叶变换的具体积分区间取决于函数f(x,y)的定义域。
x ，y 的积分顺序可交换，因此对f(x,y)做二维傅里叶变换，相当于对两个方向分别做一维傅里叶变换，此外，傅里叶变换的一大特点就是它是线性变换，即信号线性组合的傅里叶变换等于它们各自傅里叶变换的线性组合。
离散傅里叶变换：由于实际信号通常位离散信号，且处理的信号也不可能是无限长的。
因此对离散二维信号的处理使用的是离散二维傅里叶变换。
离散二维傅里叶变换：F (u,v )=1MN∑∑f(x,y)e−j2π(ux M +vy N )N−1y=0M−1x=0 离散傅里叶逆变换为f (x,y )=∑∑F(u,v)e j2π(ux M +vyN )N−1v=0M−1u=0傅里叶原理表明：任何连续测量的时序或信号，都可以表示为不同频率的正弦波信号的叠加。
一维的傅里叶变换表示的含义是，原信号变换为不同频率的正弦波信号的线性组合。
而推广到二维，则表示将原信号变换为复平面上不同方向和频率的正弦波信号的线性组合。
变换结果中，越靠近原点，频率越低，越远离原点，频率越高在图像处理中，对图像的二维离散傅里叶变换将图像从图像空间变换到频域空间，从而可利用傅里叶频谱特性进行图像处理。
坐标轴意义是频率，越靠近原点，频率越低，对应于图像中像素值变化速度比较慢的部分；越远离原点，频率越高，对应于图像中像素值变化速度快的那部分。
对图像作二维离散傅里叶变换，得到的结果一般来说靠近原点周围比较亮，远离原点比较暗，也就是这张图像里低频部分的分量多，高频部分的分量少，原因是图像大部分都是颜色相近，灰度相近的区域。
二．二维傅里叶变换的性质1. 线性定理F [αg (x,y )+βℎ(x,y )]=αG (u,v )+βH (u,v )2. 空间缩放F [g (ax,by )]=1|ab |G (u,v )3.位移定理空间位移:原函数在空域中的平移,相应的频谱函数振幅分布不变. 频率位移:原函数在空间域的相移,导致频谱的位移。
一维傅里叶变换 二维傅里叶变换
一维傅里叶变换和二维傅里叶变换是信号处理和图像处理中非常重要的数学工具，它们能帮助我们分析和理解信号和图像中包含的信息。
在本文中，我们将深入探讨一维和二维傅里叶变换的原理、应用以及它们在实际中的意义。
1. 一维傅里叶变换一维傅里叶变换是将一个实际的信号在频域进行分解的技术。
它的数学表达式为：\[F(k) = \sum_{n=0}^{N-1} f(n)e^{-i2\pi kn/N}\]在这个公式中，\(f(n)\)表示信号在时域上的取值，而\(F(k)\)表示信号在频域上的频谱。
一维傅里叶变换可以帮助我们分析信号中包含的频率成分，从而理解信号的特性和结构。
一维傅里叶变换在很多领域都有广泛的应用，比如音频信号处理、通信系统、生物医学工程等。
在音频信号处理中，我们可以利用傅里叶变换将音频信号分解成不同的频率成分，从而实现音频滤波、频谱分析等功能。
2. 二维傅里叶变换二维傅里叶变换是将一个二维图像在频域进行分解的技术。
它的数学表达式为：\[F(u, v) = \sum_{x=0}^{M-1} \sum_{y=0}^{N-1} f(x, y)e^{-i2\pi (ux/M + vy/N)}\]在这个公式中，\(f(x, y)\)表示图像在空间域上的像素值，而\(F(u, v)\)表示图像在频域上的频谱。
二维傅里叶变换可以帮助我们分析图像的纹理、边缘、轮廓等特征。
二维傅里叶变换在图像处理、计算机视觉、模式识别等领域都有重要的应用。
在图像处理中，我们可以利用傅里叶变换进行图像增强、滤波、压缩等操作，从而改善图像的质量和准确度。
总结回顾通过本文的深入探讨，我们了解了一维和二维傅里叶变换的原理、应用以及在实际中的意义。
一维傅里叶变换可以帮助我们分析信号中的频率成分，而二维傅里叶变化则可以帮助我们分析图像中的纹理特征。
这两种变换在信号处理和图像处理领域发挥着重要作用，为我们理解和处理现实世界中的信息提供了有力的数学工具。
二维离散傅里叶变换公式及参数意义
二维离散傅里叶变换公式及参数意义傅里叶变换是信号处理中的重要工具，它可以将时域信号转换为频域信号，从而更好地分析和处理信号。
而二维离散傅里叶变换则是将二维离散信号转换为二维频域信号的工具。
本文将介绍二维离散傅里叶变换的公式及其参数意义。
一、二维离散傅里叶变换公式二维离散傅里叶变换的公式如下：$$F(u,v)=\sum_{x=0}^{N-1}\sum_{y=0}^{N-1}f(x,y)e^{-j2\pi(\frac{ux}{N}+\frac{vy}{N})}$$其中，$F(u,v)$表示二维频域信号，$f(x,y)$表示二维离散信号，$N$表示信号的长度和宽度，$u$和$v$表示频域的坐标。
二、参数意义1. $F(u,v)$$F(u,v)$表示二维频域信号，它是由二维离散信号通过傅里叶变换得到的。
在频域中，$F(u,v)$的值表示了信号在该频率下的强度和相位信息。
2. $f(x,y)$$f(x,y)$表示二维离散信号，它是由二维连续信号通过采样得到的。
在时域中，$f(x,y)$的值表示了信号在该时刻下的强度。
3. $N$$N$表示信号的长度和宽度，它决定了信号的采样率和频率分辨率。
信号的长度和宽度越大，采样率越高，频率分辨率越精细。
4. $u$和$v$$u$和$v$表示频域的坐标，它们决定了信号在频域中的位置。
在频域中，$u$和$v$的值越大，表示信号的频率越高。
三、总结二维离散傅里叶变换是信号处理中的重要工具，它可以将二维离散信号转换为二维频域信号，从而更好地分析和处理信号。
二维离散傅里叶变换的公式包括了频域信号、离散信号、信号长度和宽度以及频域坐标等参数，这些参数的意义对于理解和应用二维离散傅里叶变换都非常重要。
二维线性系统分析傅里叶变换
bn
t t
2
t
g ( x) sin(2nf0 x)dx 0
采用指数傅里叶级数展开，可以使展开系数的表达式统一而简洁。
§1-2 二维傅里叶变换
指数傅里叶级数
满足狄氏条件的函数 g(x) 具有有限周期t,可以在(-,+ )展为 指数傅里叶级数:
g ( x)
n
c
cos( 2 x )
2 cos( 6 x) 3
前3项的和
1/2
an
2/ 频谱图
1 2 2 cos( 2x) cos( 6x) ...... 2 3
…
fn
0
1
3
-2/3
三角傅里叶展开的例子
练习 0-15：求函数 g(x)=rect(2x)*comb(x) 的傅里叶级数展开系数 宽度 =1/2 周期 t =1
展开系数Cn 频率为n/t的分量
§1-2 二维傅里叶变换 2-D Fourier Transform
从傅里叶级数到傅里叶变换
非周期函数可以看作周期为无限大的周期函数:
1 1 1 t 2 g ( x) lim t g ( x) exp( j 2 n x)dx exp( j 2 n x) t t t 2 n t
傅里叶-贝塞尔变换
例: 利用F-B变换求圆域函数的F.T.
1, r 1 定义: circ(r ) , 0, 其它 称函数
1
r x2 y 2
是圆对
{circ(r )} 2 rJ 0 (2r )dr
0
作变量替换, 令r’ =2r, 并利用:
J
0
二维傅里叶变换变换、性质和频域滤波
实验三二维傅里叶变换变换、性质和频域滤波一、实验目的1、了解图像傅里叶变换的物理意义；2、掌握频域滤波原理；3、熟悉傅里叶变换的基本性质；4、熟练掌握FFT的变换方法及应用；5、通过实验了解二维频谱的分布特点；二、实验平台计算机和Matlab语言环境三、实验内容1、数字图像二维傅里叶变换及其对数显示2、频域滤波器处理图像3、二维傅里叶变换的性质(比例变换性、旋转、可分性)四、实验步骤1、二维傅里叶变换的性质1> 二维傅里叶变换构造一幅图像，在64×64的黑色背景中产生一个5个白条纹，对其进行傅里叶变换f = zeros(64,64);for j=1:5f(:,j*10:j*10+1)=1;endF=fft2(f);Fc=fftshift(F);subplot(1,2,1),imshow(f,[ ]);title('原始图像');subplot(1,2,2),imshow(abs(Fc),[ ]);title('图像傅里叶变换');2> 比例变换性将图像扩大到原来的2倍后对其进行傅里叶变换，观察图像与原始图像的差异、频谱的差异fresize=imresize(f,2);fresize=fresize(31:94,31:94);Fresize=fft2(fresize);Fc1=fftshift(Fresize);subplot(1,2,1),imshow(fresize,[ ]);title('图像扩大2倍');subplot(1,2,2),imshow(abs(Fc1),[ ]);title('图像扩大2倍后傅里叶');3> 旋转将图像旋转45度后对其进行傅里叶变换，观察图像与原始图像的差异、频谱的差异frotate=imrotate(f,45);%图像旋转Frotate=fft2(frotate);Fc2=fftshift(Frotate);%图像旋转后做傅里叶变换subplot(1,2,1),imshow(frotate,[ ]);title('图像旋转');subplot(1,2,2),imshow(abs(Fc2),[ ]);title('图像旋转后傅里叶');4> 可分性首先沿着图像的每一行计算一维变换，然后沿着中间结果的每一列计算一维变换，以此计算二维傅里叶for i=1:64fft_row(i,:)=fft(f(i,:));%沿着图像的每一行计算一维变换 endfor j=1:64fft_col(:,j)=fft(fft_row(:,j));%沿着中间结果的每一列计算一维变换 endFc3=fftshift(fft_col);figure,imshow(abs(Fc3),[ ]);title('两次fft');2、数字图像二维傅里叶变换及其对数显示1> 首先构造一幅图像，对其进行傅里叶变换f = zeros(30,30);f(5:24,13:17) = 1; %构造一幅图像fF=fft2(f); %对f作二维傅里叶变换S=abs(F); %因为F是复数，显示其模值 subplot(1,2,1),imshow(f,[ ]);title('原始图像');subplot(1,2,2),imshow(S,[ ]);title('二维傅里叶频谱');2> 把低频分量移到图象中心，而把高频分量移到四个角上Fc=fftshift(F);figure,imshow(abs(Fc),[ ]);title('居中的频谱');3> 利用图象增强中动态范围压缩的方法增强2DFTS2=log(1+abs(Fc)); %使用对数变换后的频谱ff=ifft2(F); %逆变换ff_real=real(ifft2(F)); %取实部figure,imshow(abs(S2),[ ]);title('使用对数变换后的频谱');3、频域滤波器1> 理想低通滤波读取一幅图像，傅里叶变换后作中心变换，取低频模板HLPF与原图像相乘；clcf = imread('C:\Users\000000\Desktop\exp\exp3\a.tif');F=fft2(f);Fc=fftshift(F);[M N]=size(f);HLPF= zeros(M,N);HLPF(M/2-50:M/2+50,N/2-50:N/2+50) = 1; %保留低频成分Fc1=Fc.*HLPF; %理想低通滤波器处理F1=ifftshift(Fc1); %逆中心变换ff1=ifft2(F1); %理想低通滤波后逆变换 subplot(1,2,1),imshow(f,[ ]);title('原始图像');subplot(1,2,2),imshow(abs(ff1),[ ]);title('理想低通滤波器处理后的图像');2> 巴特沃斯低通滤波器函数dftuv提供了距离计算的网格数组输出为[U,V]，D0=0.1*N;D=sqrt(U.^2+V.^2);[U,V]=dftuv(M,N);D0=0.1*N;D=sqrt(U.^2+V.^2);n=5;HBLPF=1./(1+(D/D0).^(2*n));HBLPF=fftshift(HBLPF);Fc2=Fc.*HBLPF;F2=ifftshift(Fc2);ff2=ifft2(F2);figure,imshow(abs(ff2),[ ]);title('巴特沃斯低通滤波器处理后的图像');3> 高斯低通滤波器HGLPF=exp(-(U.^2+V.^2)/(2*D0^2));HGLPF=fftshift(HGLPF);Fc3=Fc.*HGLPF;F3=ifftshift(Fc3);ff3=ifft2(F3);figure,imshow(abs(ff3),[ ]);title('高斯低通滤波器处理后的图像');4> 3种高通滤波器理想高通滤波器、巴特沃斯高通滤波器、高斯高通滤波器HHPF=1-HLPF;%理想高通滤波器传递函数HBHPF=1-HBLPF;%巴特沃斯高通滤波器传递函数HGHPF=1-HGLPF;%高斯高通滤波器传递函数Fc4=Fc.*HHPF;%理想高通滤波器处理Fc5=Fc.*HBHPF;%巴特沃斯高通滤波器处理Fc6=Fc.*HGHPF;%高斯高通滤波器处理F4=ifftshift(Fc4);ff4=ifft2(F4);%理想高通滤波后逆变换F5=ifftshift(Fc5);ff5=ifft2(F5);%巴特沃斯高通滤波后逆变换。
二维傅里叶变换sinc
二维傅里叶变换是一种在图像处理中常见的变换方式，它将图像从空间域转换到频率域。
这个过程中，图像中的每个像素都与一组复平面波进行内积（先点乘后求和），这可以被视为在不同基函数上做投影。
而sinc函数在傅里叶变换中扮演了重要的角色，原因在于其独特的性质。
矩形函数的傅里叶变换是sinc函数。
这是因为在频域，矩形函数被离散化为sinc函数。
换句话说，当你对一个具有特定占空比的连续周期方波信号（这是矩形函数在时域的表达）进行傅里叶变换时，你将在频域得到一个离散的sinc信号。
需要注意的是，sinc函数不是绝对可积的，但是其绝对平方是可积的。
此外，当以角频率w 为自变量时，sinc函数的表达式将变为Tsinc(wT/2pi)。
这种特性使得sinc函数在许多物理和工程问题中都有应用，例如在信号处理、图像处理等领域。
二维傅里叶变换
二维傅里叶变换一．二维傅里叶变换的定义二维傅里叶变换:F (u,v )=∫∫f(x,y)e −j2π(ux+uy)+∞−∞dxdy +∞−∞二维傅里叶逆变换：f (x,y )=∫∫F (u,v )e j2π(ux+uy )+∞−∞dudv +∞−∞原理解释:二维傅里叶变换的具体积分区间取决于函数f(x ，y ）的定义域。
x ，y 的积分顺序可交换，因此对f （x ，y ）做二维傅里叶变换，相当于对两个方向分别做一维傅里叶变换，此外，傅里叶变换的一大特点就是它是线性变换，即信号线性组合的傅里叶变换等于它们各自傅里叶变换的线性组合.离散傅里叶变换：由于实际信号通常位离散信号，且处理的信号也不可能是无限长的。
因此对离散二维信号的处理使用的是离散二维傅里叶变换.离散二维傅里叶变换：F (u,v )=1MN∑∑f(x,y)e−j2π(ux M +vy N )N−1y=0M−1x=0 离散傅里叶逆变换为f (x,y )=∑∑F(u,v)e j2π(ux M +vyN )N−1v=0M−1u=0傅里叶原理表明：任何连续测量的时序或信号，都可以表示为不同频率的正弦波信号的叠加。
一维的傅里叶变换表示的含义是，原信号变换为不同频率的正弦波信号的线性组合。
而推广到二维，则表示将原信号变换为复平面上不同方向和频率的正弦波信号的线性组合。
变换结果中，越靠近原点，频率越低，越远离原点，频率越高在图像处理中，对图像的二维离散傅里叶变换将图像从图像空间变换到频域空间，从而可利用傅里叶频谱特性进行图像处理。
坐标轴意义是频率，越靠近原点，频率越低，对应于图像中像素值变化速度比较慢的部分；越远离原点，频率越高，对应于图像中像素值变化速度快的那部分.对图像作二维离散傅里叶变换，得到的结果一般来说靠近原点周围比较亮，远离原点比较暗，也就是这张图像里低频部分的分量多，高频部分的分量少,原因是图像大部分都是颜色相近，灰度相近的区域.二．二维傅里叶变换的性质1.线性定理F[αg(x,y)+βℎ(x,y)]=αG(u,v)+βH(u,v)2.空间缩放F[g(ax,by)]=1|ab|G(u,v)3.位移定理空间位移：原函数在空域中的平移，相应的频谱函数振幅分布不变。
matlab二维快速傅里叶变换
一、引言在信号处理、图像处理、通信系统等领域中，傅里叶变换是一种非常重要的数学工具，用于将时域信号转换为频域信号，从而方便进行频域分析和处理。
在实际应用中，对于二维信号（如图像）的频域分析同样具有重要意义。
Matlab作为一种功能强大的数学软件，提供了对二维信号进行快速傅里叶变换（FFT）的工具函数，为工程师和科研人员在二维信号处理中提供了便利。
二、快速傅里叶变换（FFT）简介1. 傅里叶变换傅里叶变换是将信号从时域（或空域）转换到频域的一种数学工具，可以通过计算信号的频谱来分析信号的频率成分。
傅里叶变换可以表达为积分形式或离散形式，其中离散形式的傅里叶变换又被称为离散傅里叶变换（DFT）。
2. 快速傅里叶变换（FFT）快速傅里叶变换是一种高效的计算离散傅里叶变换的算法，通过分治和逐级合并的方式将DFT的计算复杂度从O(N^2)降低到O(NlogN)，大大加速了傅里叶变换的计算过程。
在二维信号处理中，二维快速傅里叶变换（2DFFT）同样具有重要的意义。
三、Matlab中的二维快速傅里叶变换1. 函数介绍在Matlab中，可以使用fft2函数对二维信号进行快速傅里叶变换。
fft2函数的语法为：```matlabY = fft2(X)```其中X为输入的二维数组，Y为X的二维快速傅里叶变换结果。
另外，Matlab还提供了ifft2函数用于计算二维逆傅里叶变换。
2. 使用方法对于一个MxN的二维数组X，可以通过调用fft2函数对其进行快速傅里叶变换。
例如：```matlab生成一个随机的二维数组X = randn(256,256);对X进行二维快速傅里叶变换Y = fft2(X);```通过调用fft2函数，可以得到输入数组X的二维快速傅里叶变换结果Y。
对于得到的频域信号Y，可以进行频域滤波、谱分析等操作，然后通过ifft2函数进行逆变换得到时域信号。
3. 示例下面以图像处理为例，演示在Matlab中如何使用二维快速傅里叶变换进行频域分析和滤波。
信息光学(第二版)06-二维线性系统分析2-傅里叶变换定理、
重要性质：
设 g(x,y) F.T. G(fx,fy),
fy fx 1 g (ax, by) G a , b ab
g(x-a, y-b)}= G(fx, fy) exp[-j2(fxa+fyb)] g(x,y) exp[j2(fax+fby)]}= G(fx- fa, fy- fb)
F.T.
sinc2(f
)
1 rect(x) 1/2 0 1/2 x
1 rect(x)
*
1 1 0
1/2 0 1/2 x
x
tri(x)
1
F.T.
sinc2(x) 1
0 -1 1 x
F.T.
= sinc(f) • sinc(f) = sinc2(f)
sinc(f) 1 0 -1 1
sinc(f) 1
2
若g(x)代表加在单位电阻上的电流或电压, 则∫| g(x) |2dx 代表信号的总能量(或总功率) Parseval定理说明,信号的能量由|G(f)|2曲线下面积给 出.或者说等于各频率分量的能量之和—能量守恒 | G(f) |2代表能量(功率)的谱密度(单位频率间隔 的能量或功率)
§1-2 二维傅里叶变换Fourier Transform
§1-2 二维傅里叶变换Fourier Transform
卷积定理的证明
左 exp( j 2fx)dx g ( )h( x )d
交换积分顺序:
h( x ) exp( j 2fx) dx d g ( )
留作习题自证.
g(-x,-y)
§1-2 二维傅里叶变换 Fourier Transform
二维傅里叶分解
二维傅里叶分解二维傅里叶分解是一种将二维信号分解成一系列基础频率的方法。
通过将二维信号表示为正弦和余弦函数的线性组合，可以得到信号的频谱分布。
本文将介绍二维傅里叶分解的原理、应用以及相关概念。
一、二维傅里叶分解的原理傅里叶变换是信号处理中非常重要的数学工具，它将信号从时间域转换到频域，可以提供信号的频谱信息。
二维傅里叶分解是将二维信号进行傅里叶变换的过程。
二维傅里叶分解的原理可以简单描述为：对于一个二维信号，可以将其分解成一系列基础频率的正弦和余弦函数的叠加。
这些基础频率的振幅和相位信息可以通过傅里叶变换得到。
具体而言，对于一个二维信号f(x, y)，其二维傅里叶变换可以表示为F(u, v)，其中(u, v)为频域中的坐标。
二维傅里叶变换可以用以下公式表示：F(u, v) = ∫∫f(x, y)e^(-j2π(ux+vy))dxdy其中，e^(-j2π(ux+vy))为复指数函数，表示频域中的基础频率。
通过对二维信号进行傅里叶变换，可以得到频域中每个点的振幅和相位信息，从而了解信号的频谱特性。
二维傅里叶分解在图像处理、信号处理以及通信等领域有着广泛的应用。
1. 图像处理在图像处理中，二维傅里叶分解可以用于图像的滤波、边缘检测和图像增强等方面。
通过对图像进行傅里叶变换，可以将图像从空域转换到频域，从而可以对图像的频谱信息进行分析和处理。
例如，可以通过滤波器在频域中去除图像的高频噪声，或者通过调整频谱的相位信息来改变图像的对比度和亮度。
2. 信号处理在信号处理中，二维傅里叶分解可以用于信号的滤波、频谱分析和谱估计等方面。
通过对信号进行傅里叶变换，可以将信号的频谱信息展现出来，从而可以对信号的频域特性进行分析和处理。
例如，可以通过滤波器在频域中去除信号的噪声，或者通过计算信号的功率谱密度来了解信号的频率分布。
3. 通信在通信领域中，二维傅里叶分解可以用于信号的调制和解调、信道估计和等化等方面。
通过对信号进行傅里叶变换，可以将信号从时域转换到频域，从而可以对信号的频谱特性进行分析和处理。
二维傅里叶变换
二维傅里叶变换二维傅里叶变换（Two-Dimensional Fourier Transform, 缩写为2D-FT）是一种重要的技术，它可以将某个函数由时域转换到频域，也就是从】空间转换到频率。
一、定义二维傅里叶变换（Two-Dimensional Fourier Transform）是指将一个二维函数（也称为焦点）从空间域转换到频率域的技术，它是傅里叶变换在多维空间上的推广。
二、原理二维傅立叶变换是利用正弦和余弦函数的级数展开来实现的，可以用下面的等式表示：$$F(u,v)=\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}f(x,y)e^{-2\pii(ux+vy)}dxdy$$这里，$F(u,v)$为傅里叶变换后的信号，$f(x,y)$为原信号，$(u,v)$为频率变量。
三、应用二维傅里叶变换在图像处理领域有着广泛的应用，它可以得到一张图像的低频、中频、高频谱分布，进而实现锐化、平滑、图像重叠、色彩改变、图像去噪等功能。
另外，它也被用于数据的预处理，提取重要的特征，建立一个新的表示方法，可以改善数据记录的准确性和一致性。
此外，它还可以被用于物联网中信号识别和加密、气象预报中气象场反演及实时监测、医学影像处理等方面。
四、优缺点二维傅里叶变换有着诸多优点：（1）它是非常有效的，能够将较复杂的图像函数转换为频谱图。
（2）它可以在有限的时间内完成变换，同时保证接近正确的计算结果。
（3）它还可以实现快速的傅里叶反变换。
（4）它可以在任何多维空间中进行变换，并且结果不受空间变化的影响。
然而，二维傅里叶变换也有一些缺点：（1）它有时会产生高等级的边界效应，这会影响变换结果的准确性。
（2）它需要许多参数设置，运行起来有时也非常地耗时。
（3）它将输入信号的空间和时间特征转换为频率空间，因此无法恢复原始的时域变量。
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1.3 二维傅里叶变换
第一章
线性系统分析
Joseph Fourier, our hero
Fourier was obsessed with the physics of heat and developed the Fourier series and transform to model heat-flow problems.
由积分可知, 在一个周期内，n = 0, 1, ...,
T 2 T 2
cos n1t sin m1t dt 0
T , cos n1t cos m1t dt 2 0, mn mn
T 2 T 2
T 2 T 2
m
mn mn
{n ( x)} 为区间(x1，x2) 上的正交函数系.
f ( x) c11 ( x) c22 ( x) c33 ( x) cnn ( x)
n 1
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1.3 二维傅里叶变换
简单的周期运动 : ( A为振幅, 复杂的周期运动 :
第一章
线性系统分析
III 三角级数及三角函数系的正交性
(谐波函数) 为角频率, φ为初相 )
An sin n cos n t An cos n sin n t
令
(谐波迭加)
an An sin n , bn An cos n , a 0 得函数项级数 (an cos n x bn sin n x ) 2 k 1
称上述形式的级数为三角级数.
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1.3 二维傅里叶变换 定理 1. 组成三角级数的函数系
第一章
线性系统分析
正交 , 即其中任意两个不同的函数之积在
上的积分等于 0 . 定理 2 . 设 f (x) 是周期为 2 的周期函数 , 且
ˆ ˆ y0 ˆ A x0i j z0k
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1.3 二维傅里叶变换 n维空间
第一章
线性系统分析
A cV 1 1 c2V2 cnVn
0, Vm Vn m , mn mn
其中
ci
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A Vi
i
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1.3 二维傅里叶变换 II 正交函数系
第一章
线性系统分析
若定义在(x1，x2)区间上的复函数系{n ( x)}中的每 个函数绝对可积，且满足 ( x) ( x)dx m ,
处理或成像，一般是二维或三维空间分布(可表示为二
维或三维空间函数).
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1.3 二维傅里叶变换
第一章
线性系统分析
可分离变量函数的傅里叶变换
如果一个二维函数是可分函数，则其傅里叶变换可写 成两个一维函数傅里叶变换的乘积.
T1
F n1 F n1 T1 F n1 1 f T1
当T1 时，
单位频带上的 频谱值
1 f 0, F (n1 ) 0 T1
n1 1 d
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F n1 有界函数 f
n1 连续
频谱)定义为
F ( , )
f ( x, y) exp[ j 2 (x y)]dxdy
• 其傅里叶逆变换定义为
f ( x, y)
F ( , ) exp[j 2 (x y)]dd
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1.3 二维傅里叶变换
T1
第一章
T1 2 T T1 1 2
线性系统分析
j n1t
F lim T1F n1 lim
频谱密度函数(spectrum density function)，简称 频谱函数 傅里叶变换
T , sin n1t sin m1t dt 2 0,
mn mn
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1.3 二维傅里叶变换 2．级数形式
第一章
线性系统分析
2 周期信号 f t , 周期为 T1 , 基波角频率为 1 T1
1.3 二维傅里叶变换
第一章
线性系统分析
1.3 二维傅里叶变换(2-D Fourier Transform, FT)
19世纪初，傅里叶在向巴黎科学院呈交的关于
热传导的著名论文中提出了傅里叶级数．
傅里叶分析方法已经广泛用于物理学及工程学
科的各个领域．
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1.3 二维傅里叶变换 说明
f (t )
n
第一章
线性系统分析
F (n1 ) e j n1t
1 T1 F (n1 ) f (t )e jn1t dt T1 0 周期信号可分解为 , 区间上的指数信号 e jn1t的线性组合．
如给出F (n1 )，则f t 惟一确定，上两式是一 对变换对．
周期信号f(t)的傅里叶级数有两种形式
三角形式
f (t ) a0 an cosn1t bn sin n1t c0 cn cosn1t
n 1 n 1
指数形式
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f (t )
n
j n1t F ( n ) e 1
右端级数可逐项积分, 则有
a0 f ( x) (an cos nx bn sin nx) 2 n 1
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1.3 二维傅里叶变换
第一章
线性系统分析
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1.3 二维傅里叶变换 都是离散求和的形式，表明
第一章
线性系统分析
(1) 一个随时间或空间变化的周期函数(信号) f (t ) , 可以看作是许多具有不同频率的基元简谐波信号的叠 加．各简谐波分量的频率为 n1,是离散的，取值
• 非周期函数可分解为连续频率的余弦分量的积分，
F ( , ) 是各频率成分的权重因子(weighting factor)．
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1.3 二维傅里叶变换
第一章
线性系统分析
在电信号处理、通信中，一般是1D的时间信号， 经常用到一维傅里叶级数和傅里叶变换.
在光学中，多数情况下研究的对象是2D或3D图像
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1.3 二维傅里叶变换
第一章
线性系统分析
指数函数形式的傅里叶级数
1．复指数正交函数集 2．级数形式
e
j n1t
n 0, 1, 2
f (t )
n
j n1t F ( n ) e 1
3．系数
在满足狄利克雷条件时，可展成
f (t ) a0 an cosn1t bn sin n1t
n 1
称为三角形式的傅里叶级数，其系数 直流分量 余弦分量的幅度 正弦分量的幅度
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1 t 0 T a0 f (t ) d t t T 0 2 t 0 T an f (t ) cos n1t d t t T 0 2 t 0 T bn f (t ) sin n1t d t t T 0
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1.3 二维傅里叶变换 正交矢量空间和正交函数系
第一章
线性系统分析
信号分解为正交函数分量的研究方法在系统理论中 占有重要的地位，其原理与矢量分解为正交矢量的概 念十分相似． I 正交矢量空间 三维空间
1.3 二维傅里叶变换 一维傅里叶变换
f (t )
n j n1t F ( n ) e 1
第一章
T1
线性系统分析
f (t ) ：周期信号
非周期信号 0
1 1 T j n1t 谱系数F (n1 ) 2 f ( t ) e dt T1 T1 2 2π 谱线间隔 `1 0 T1
定理3 (收敛定理, 展开定理) 设 f (x) 是周期为2的 周期函数,并满足狄利克雷( Dirichlet )条件: 1) 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点; 2) 在一个周期内只有有限个极值点, 则 f (x) 的傅里叶级数收敛 , 且有
x 为连续点 f ( x) , f ( x ) f ( x ) , x 为间断点 2 其中 an , bn 为 f (x) 的傅里叶系数. ( 证明略 )