二维傅里叶变换

T , sin n1t sin m1t dt 2 0,
mn mn
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1.3 二维傅里叶变换 2．级数形式
第一章
线性系统分析
2 周期信号 f t , 周期为 T1 , 基波角频率为 1 T1
由积分可知, 在一个周期内，n = 0, 1, ...,


T 2 T 2
cos n1t sin m1t dt 0
T , cos n1t cos m1t dt 2 0, mn mn
T 2 T 2

T 2 T 2
• 非周期函数可分解为连续频率的余弦分量的积分，
F ( , ) 是各频率成分的权重因子(weighting factor)．
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1.3 二维傅里叶变换
第一章
线性系统分析
在电信号处理、通信中，一般是1D的时间信号， 经常用到一维傅里叶级数和傅里叶变换.
在光学中，多数情况下研究的对象是2D或3D图像
离散谱
连续谱，幅度无限小；
再用 F n 1 表示频谱就不合适了，虽然各频谱幅 度无限小，但相对大小仍有区别，引入频谱密度函数.
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1.3 二维傅里叶变换
第一章
线性系统分析
T1
1 1 T j n1t F (n1 ) 2 f ( t ) e dt T1 T1 2
右端级数可逐项积分, 则有
a0 f ( x) (an cos nx bn sin nx) 2 n 1
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1.3 二维傅里叶变换
第一章
线性系统分析
f t F
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1.3 二维傅里叶变换 1.3.2 傅里叶变换
第一章
线性系统分析
1. 直角坐标系内的二维傅里叶变换 • 二元函数 f ( x, y) 的傅里叶变换(即傅里叶谱或
T1
F n1 F n1 T1 F n1 1 f T1
当T1 时，
单位频带上的 频谱值
1 f 0, F (n1 ) 0 T1
n1 1 d
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F n1 有界函数 f
n1 连续
1.3 二维傅里叶变换
第一章
线性系统分析
Joseph Fourier, our hero
Fourier was obsessed with the physics of heat and developed the Fourier series and transform to model heat-flow problems.
利用复变函数的正交特性
F (n1 )

T1
0 T1 0
f (t ) e j n1t d t e j n1t e j n1t d t
也可写 为Fn
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1 T1 f (t )e jn1t dt T1 0
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1.3 二维傅里叶变换
第一章
线性系统分析
1.3 二维傅里叶变换(2-D Fourier Transform, FT)
19世纪初，傅里叶在向巴黎科学院呈交的关于
热传导的著名论文中提出了傅里叶级数．
傅里叶分析方法已经广泛用于物理学及工程学
科的各个领域．
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称上述形式的级数为三角级数.
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1.3 二维傅里叶变换 定理 1. 组成三角级数的函数系
第一章
线性系统分析
正交 , 即其中任意两个不同的函数之积在
上的积分等于 0 . 定理 2 . 设 f (x) 是周期为 2 的周期函数 , 且
周期信号f(t)的傅里叶级数有两种形式
三角形式
f (t ) a0 an cosn1t bn sin n1t c0 cn cosn1t
n 1 n 1

指数形式
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f (t )
n
j n1t F ( n ) e 1
频谱)定义为
F ( , )


f ( x, y) exp[ j 2 (x y)]dxdy
• 其傅里叶逆变换定义为
f ( x, y)

F ( , ) exp[j 2 (x y)]dd
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1.3 二维傅里叶变换
简单的周期运动 : ( A为振幅, 复杂的周期运动 :
第一章
线性系统分析
III 三角级数及三角函数系的正交性
(谐波函数) 为角频率, φ为初相 )
An sin n cos n t An cos n sin n t
令
(谐波迭加)
an An sin n , bn An cos n , a 0 得函数项级数 (an cos n x bn sin n x ) 2 k 1
其中
ci
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A Vi
i
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1.3 二维傅里叶变换 II 正交函数系
第一章
线性系统分析
若定义在(x1，x2)区间上的复函数系{n ( x)}中的每 个函数绝对可积，且满足

x2
x1
0, n ( x) ( x)dx m ,
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1.3 二维傅里叶变换
第一章
线性系统分析
指数函数形式的傅里叶级数
1．复指数正交函数集 2．级数形式
e
j n1t
n 0, 1, 2
f (t )
n
j n1t F ( n ) e 1

3．系数
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1.3 二维傅里叶变换
T1
第一章
T1 2 T T1 1 2
线性系统分析
j n1t
F lim T1F n1 lim
频谱密度函数(spectrum density function)，简称 频谱函数 傅里叶变换
为0, 1, 21, 31, ,1 0为直流分量，1 为基
频，其余为高次谐波分量．
exp( jn1t ) 是其中一个简谐波成分， F (n1 ) 或 (an , bn )是该简谐波成分的权重，它是频率 的函数，
(2)
称为傅里叶频谱函数(简称频谱函数) 。
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1.3 二维傅里叶变换 一维傅里叶变换
f (t )
n j n1t F ( n ) e 1
第一章
T1
线性系统分析
f (t ) ：周期信号
非周期信号 0
1 1 T j n1t 谱系数F (n1 ) 2 f ( t ) e dt T1 T1 2 2π 谱线间隔 `1 0 T1

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1.3 二维傅里叶变换 都是离散求和的形式，表明
第一章
线性系统分析
(1) 一个随时间或空间变化的周期函数(信号) f (t ) , 可以看作是许多具有不同频率的基元简谐波信号的叠 加．各简谐波分量的频率为 n1,是离散的，取值
在满足狄利克雷条件时，可展成
f (t ) a0 an cosn1t bn sin n1t
n 1
称为三角形式的傅里叶级数，其系数 直流分量 余弦分量的幅度 正弦分量的幅度
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1 t 0 T a0 f (t ) d t t T 0 2 t 0 T an f (t ) cos n1t d t t T 0 2 t 0 T bn f (t ) sin n1t d t t T 0
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1.3 二维傅里叶变换 正交矢量空间和正交函数系
第一章
线性系统分析
信号分解为正交函数分量的研究方法在系统理论中 占有重要的地位，其Biblioteka Baidu理与矢量分解为正交矢量的概 念十分相似． I 正交矢量空间 三维空间
定理3 (收敛定理, 展开定理) 设 f (x) 是周期为2的 周期函数,并满足狄利克雷( Dirichlet )条件: 1) 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点; 2) 在一个周期内只有有限个极值点, 则 f (x) 的傅里叶级数收敛 , 且有
x 为连续点 f ( x) , f ( x ) f ( x ) , x 为间断点 2 其中 an , bn 为 f (x) 的傅里叶系数. ( 证明略 )
ˆ ˆ y0 ˆ A x0i j z0k
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1.3 二维傅里叶变换 n维空间
第一章
线性系统分析
A cV 1 1 c2V2 cnVn
0, Vm Vn m , mn mn
处理或成像，一般是二维或三维空间分布(可表示为二
维或三维空间函数).
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1.3 二维傅里叶变换
第一章
线性系统分析
可分离变量函数的傅里叶变换
如果一个二维函数是可分函数，则其傅里叶变换可写 成两个一维函数傅里叶变换的乘积.
m
mn mn
{n ( x)} 为区间(x1，x2) 上的正交函数系.
f ( x) c11 ( x) c22 ( x) c33 ( x) cnn ( x)
n 1
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1.3 二维傅里叶变换 说明
f (t )
n
第一章
线性系统分析


F (n1 ) e j n1t
1 T1 F (n1 ) f (t )e jn1t dt T1 0 周期信号可分解为 , 区间上的指数信号 e jn1t的线性组合．
如给出F (n1 )，则f t 惟一确定，上两式是一 对变换对．
傅里叶逆变换
f (t )e
dt
T1

T
1
jn t T f (t )e w dt
1
2

1
2
F ( ) f (t )e j t d t F { f (t )}


1 f (t ) 2



F e j t d F 1{F }
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1.3 二维傅里叶变换 1.3.1 傅里叶级数(Fourier Series) 三角函数形式的傅里叶级数
第一章
线性系统分析
1. 三角函数集
cosn1t , sinn1t 是一个完备的正交函数集