图像的二维傅里叶变换和频谱
图像频域分析PPT课件
5、iffshift用于颠倒这种居中。 6、ifft2（F）用于计算傅里叶逆变换。
>> f=imread('Fig0403(a)(image).tif'); >> imshow(f) >> F=fft2(f); >> S=abs(F); >> imshow(S,[]) >> Fc=fftshift(F); >> imshow(abs(Fc),[]) >> S2=log(1+abs(Fc)); >> imshow(S2,[])
F=fft2（f，PQ（1），PQ(2)）; 3、生成一个大小为PQ（1）*PQ(2)的滤波函数H; 4、将变换乘以滤波函数：
G=H.*F; 5、获得G的傅里叶逆变换的实部：
g=real（ifft2（G））； 6、将左上角的矩形修剪为原始大小:
g=g(1:size(f,1):size(f,1))
4、4 从空间滤波器获得频域滤波器
4、6 锐化频域滤波器
基本的高通滤波器 Hhp（u，v)=1- Hhp（u，v)=
例：高通滤波 f=imread('Fig0413(a)(original_test_pattern).tif'); imshow(f) PQ=paddedsize(size(f)); D0=0.05*PQ(1); H=hpfilter('gaussian',PQ(1),PQ(2),D0); g=dftfilt(f,H); figure,imshow(g,[])
Magnitude
8 7 6 5 4 3 2 1 0 1
0.5
0 -0.5
Fy
【数字图像处理】傅里叶变换在图像处理中的应用
【数字图像处理】傅⾥叶变换在图像处理中的应⽤1.理解⼆维傅⾥叶变换的定义1.1⼆维傅⾥叶变换1.2⼆维离散傅⾥叶变换1.3⽤FFT计算⼆维离散傅⾥叶变换1.3图像傅⾥叶变换的物理意义2.⼆维傅⾥叶变换有哪些性质？2.1⼆维离散傅⾥叶变换的性质2.2⼆维离散傅⾥叶变换图像性质3.任给⼀幅图像，对其进⾏⼆维傅⾥叶变换和逆变换4.附录 94.1matlab代码4.2参考⽂献⽬录1.理解⼆维傅⾥叶变换的定义1.1⼆维傅⾥叶变换⼆维Fourier变换:逆变换：1.2⼆维离散傅⾥叶变换⼀个图像尺⼨为M×N的函数的离散傅⾥叶变换由以下等式给出：其中和。
其中变量u和v⽤于确定它们的频率，频域系统是由所张成的坐标系，其中和⽤做（频率）变量。
空间域是由f(x,y)所张成的坐标系。
可以得到频谱系统在频谱图四⾓处沿和⽅向的频谱分量均为0。
离散傅⾥叶逆变换由下式给出：令R和I分别表⽰F的实部和需部，则傅⾥叶频谱，相位⾓，功率谱（幅度）定义如下：1.3⽤FFT计算⼆维离散傅⾥叶变换⼆维离散傅⾥叶变换的定义为：⼆维离散傅⾥叶变换可通过两次⼀维离散傅⾥叶变换来实现:1）作⼀维N点DFT（对每个m做⼀次，共M次）2）作M点的DFT（对每个k做⼀次，共N次）这两次离散傅⾥叶变换都可以⽤快速算法求得,若M和N都是2的幂,则可使⽤基⼆FFT算法,所需要乘法次数为⽽直接计算⼆维离散傅⾥叶变换所需的乘法次数为（M+N）MN，当M和N⽐较⼤时⽤⽤FFT运算，可节约很多运算量。
1.3图像傅⾥叶变换的物理意义图像的频率是表征图像中灰度变化剧烈程度的指标，是灰度在平⾯空间上的梯度。
如：⼤⾯积的沙漠在图像中是⼀⽚灰度变化缓慢的区域，对应的频率值很低；⽽对于地表属性变换剧烈的边缘区域在图像中是⼀⽚灰度变化剧烈的区域，对应的频率值较⾼。
傅⾥叶变换在实际中有⾮常明显的物理意义，设f是⼀个能量有限的模拟信号，则其傅⾥叶变换就表⽰f的频谱。
从纯粹的数学意义上看，傅⾥叶变换是将⼀个函数转换为⼀系列周期函数来处理的。
2维傅里叶级数-概述说明以及解释
2维傅里叶级数-概述说明以及解释1.引言概述部分的内容可以按照以下方式编写：1.1 概述2维傅里叶级数是一种描述二维平面上信号的数学工具，它可以将一个复杂的二维信号分解为一系列简单的正弦和余弦函数。
这种分解是基于傅里叶分析的原理，通过将信号投影到不同频率的正交基函数上，我们可以获取信号在不同频率成分上的信息。
2维傅里叶级数的重要性在于它提供了一种有效的信号分析和处理方法。
通过对信号进行傅里叶级数变换，我们可以得到信号的频谱信息，从而了解信号的频率成分和强度分布。
这对于理解信号的周期性、振幅、相位等特性非常有帮助。
此外，2维傅里叶级数还广泛应用于图像处理、通信系统、信号压缩、数学建模等领域。
例如，在图像处理中，通过对图像进行傅里叶变换，可以将图像分解为不同频率的正弦和余弦函数，从而实现图像的滤波、边缘检测、纹理分析等操作。
本文将从2维傅里叶级数的定义和原理开始，介绍傅里叶级数的数学模型和相关定理。
然后，我们将探讨2维傅里叶级数在实际应用中的重要性，介绍一些典型的应用案例。
最后，我们将总结2维傅里叶级数的重要性和应用，并展望未来2维傅里叶级数的研究方向。
通过本文的阅读，读者将能够对2维傅里叶级数有一个全面的了解，理解其在信号处理领域的重要性和广泛应用。
同时，读者也可以了解到当前2维傅里叶级数研究的热点问题和未来发展方向。
1.2文章结构文章结构是指文章在内容组织上的整体安排和分布。
一个良好的文章结构可以使读者更好地理解文章的逻辑和思路，有助于文章的连贯性和条理性。
本文将按照以下结构进行叙述：1. 引言1.1 概述在这一部分，将介绍2维傅里叶级数的背景和基本概念。
首先，简要介绍傅里叶级数的定义和原理。
接着，说明2维傅里叶级数在信号处理、图像处理等领域的广泛应用及其重要性。
1.2 文章结构这一部分将详细介绍本文的组织结构。
首先，将介绍2维傅里叶级数的定义和原理，包括如何将二维函数表示为傅里叶级数的形式以及相应的系数计算方法。
二维傅里叶变换低频
二维傅里叶变换低频部分指的是图像中的低频成分，通常表现为图像中的平滑区域。
在二维傅里叶变换中，低频成分对应于中心位置附近的频率分量，而高频成分对应于远离中心位置的频率分量。
低频成分代表图像中的整体和缓慢变化的部分，而高频成分代表图像中的细节和突变部分。
通过二维傅里叶变换，可以将图像从空间域转换到频率域，以便更好地分析和处理图像。
在频率域中，可以对图像进行各种滤波、增强和降噪等操作，以改善图像质量或提取图像特征。
低频部分在频率域中具有较大的幅值，通常对应于图像中的重要特征，如边缘、纹理和区域等。
在实际应用中，可以利用二维傅里叶变换低频部分来增强图像中的低频成分，如平滑噪声或增强边缘。
同时，也可以通过滤波器来抑制高频成分或突出低频成分，以实现各种图像处理的目的。
总之，二维傅里叶变换低频部分在图像处理中具有重要的作用，可以帮助我们更好地理解和分析图像内容。
图像处理与傅里叶变换原理与运用
图像处理与傅里叶变换1背景傅里叶变换是一个非常复杂的理论，我们在图像处理中集中关注于其傅里叶离散变换离散傅立叶变换(Discrete Fourier Transform) 。
1.1离散傅立叶变换图象是由灰度（RGB ）组成的二维离散数据矩阵，则对它进行傅立叶变换是离散的傅立叶变换。
对图像数据f(x,y)（x=0,1,… ,Ｍ-1； y=0,1,… ,N-1）。
则其离散傅立叶变换定义可表示为：式中，u=0,1,…, M-1;v= 0,1,…, N-1 其逆变换为式中，x=0,1,…, M-1;y= 0,1,…, N-1在图象处理中，一般总是选择方形数据，即Ｍ＝Ｎ影像f(x,y)的振幅谱或傅立叶频谱： 相位谱：能量谱（功率谱） )1(2exp ),(1),(101∑∑-=-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=M x N y N vy M uxi y x f MNv u F π)2(2exp ),(1),(101∑∑-=-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+=M u N v N vy M uxi v u F MNy x f π),(),(),(22v u I v u R v u F +=[]),(/),(),(v u R v u I arctg v u =ϕ),(),(),(),(222v u I v u R v u F v u E +==1.2快速傅里叶变化可分离性的优点是二维的傅立叶变换或逆变换由两个连续的一维傅立叶变换变换来实现，对于一个影像f(x,y)，可以先沿着其每一列求一维傅立叶变换，再对其每一行再求一维变换正变化逆变换由于二维的傅立叶变换具有可分离性，故只讨论一维快速傅立叶变换。
正变换 逆变换由于计算机进行运算的时间主要取决于所用的乘法的次数。
按照上式进行一维离散由空间域向频率域傅立叶变换时，对于N 个F∑∑∑∑-=-=-=-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=110101)(2exp ),(1)(2exp ),(1)(2exp ),(1),(N v N u N u N v N vy i v u F NN ux i v u F N N vy ux i v u F NNy x f πππ∑-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=12exp )(1)(N x N ux i x f Nu F π∑∑∑∑-=-=-=-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⨯⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=11101)(2exp ),(1)(2exp ),(1)(2exp ),(1),(N y N x N x N y N vy i y x f NN ux i y x f NN vy ux i y x f NNv u F πππ∑-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=12exp )(1)(N u N ux i u F Nx f π（u)值，中的每一个都要进行N 次运算，运算时间与N 2成正比。
第四五讲二维-傅里叶变换
由(3)式
§1-4 相关 correlation 一、互相关
性质2 2 Rfg (x) Rff (0)Rgg (0) 证明：引用施瓦兹不等式
( ) ( )d 2
2
( ) d
2
( ) d
其中与一般为复函数，且仅当=k 时，等号成立。
令()=f(-x)， ()=g()，则施瓦兹不等式为：
2
f ( x)g( )d
2
f ( x) d
2
g( ) d
即
2
Rfg (x) Rff (0)Rgg (0)
§1-4 相关 correlation
an 2/ 频谱图
1/2
fn 01 3
2
3
-2/3
三角傅里叶展开的例子
求函数 g(t)=rect(2t)*comb(t)
的傅里叶级数展开系数
宽度 =1/2
周期 t =1
a0
2
t
t
1
2 g(t)dt 2 4 dt 1
t 2
1 4
频率 f0 =1
an
2
t
t 2
g(t) cos(2nt)dt 2
三角傅里叶级数:
g (t )
a0 2
n1
(an
cos 2nf0t
bn
sin
2nf 0t ),
(n 0, 1, 2...),
f0
1
t
展开系数
a0
2
t
t
图像的二维傅里叶变换和频谱==
图像的二维傅里叶变换和频谱==以下是为大家整理的图像的二维傅里叶变换和频谱==的相关范文，本文关键词为图像,二维,傅里叶,变换,频谱,图像,二维,傅里叶,变换,频，您可以从右上方搜索框检索更多相关文章，如果您觉得有用，请继续关注我们并推荐给您的好友，您可以在综合文库中查看更多范文。
图像的二维傅里叶变换和频谱一、实验目的通过本实验使学生掌握使用mATLAb进行二维傅里叶变换的方法，加深对二维傅里叶变换的理解和图像频谱的理解。
二、实验原理本实验是基于数字图像处理课程中的二维傅里叶变换理论来设计的。
本实验的准备知识：第四章频域图像增强中的一维傅里叶变换和二维傅里叶变换，频域图像增强的步骤，频域滤波器。
实验用到的基本函数：一维傅里叶变换函数：fft,一维傅里叶反变换函数：ifft频谱搬移函数：fftshift二维傅里叶变换函数：fft2二维傅里叶反变换函数：ifft2绘图函数：imshow，mesh【说明，如对上述函数的使用方法有疑问，请先用help命令查询。
建议先用help命令查询器应用方法，再做具体实验内容。
】例：计算图像f的频谱并显示F=fft2(f);s=abs(F);%求幅度imshow(s,[])；%显示图像幅度频谱Fc=fftshift(F);%将图像频谱原点移动到中心显示imshow(abs(Fc));三、实验内容（一）一维傅里叶变换的实现和分析1、生成一个一维向量，x＝[12345678];计算该向量的傅里叶变换，并由傅里叶变换求反变换，验证结果。
2在时间域中将x乘以(-1)n，计算其傅里叶变换，实现傅里叶变换的平移性质使用fftshift函数，实现频谱的平移。
（二）二维傅里叶变换的实现和分析产生如图所示图象f1(x,y)（64×64大小，中间亮条宽16，高40，居中，暗处=0，亮处=255），用mATLAb中的fft2函数求其傅里叶变换，要求：1、同屏显示原图f1和FFT(f1)的幅度谱图；2、若令f2(x,y)=（-1）x+yf1(x,y)，重复过程1，比较二者幅度谱的异同，简述理由；3、若将f2(x,y)顺时针旋转90度得到f3(x,y)，试显示FFT(f3)的幅度谱，并与FFT(f2)的幅度谱进行比较。
数字图像处理5-二维傅里叶变换,汉明窗,二维频谱
Lines
lines1
lines -f
lines-f1
Rice
rice1
rice -f
rice-f1
如上所示，第一列为原图，第二列为加过汉明窗的原图，第三列为原 图的二维傅里叶变换频域图， 第四列为第二列图像的二维傅里叶变换 频域图。 可以看见在 lines-f， 也就是 lines 原图的二维傅里叶频谱图中， 存在明 显的水平和垂直分量。这里的水平和垂直分量主要是由 lines 这张图 本身的特点导致的。如果将原图做水平方向的分解，就是取出一行的 像素，可以得到一个周期性方波。而周期性方波的频谱则是 sa 函数 的周期性采样，值为在奇数项存在的依次递减的数。因此可以在图中 看到加强的横线和竖线。 Rice 这张图与 lines 这张图有区别，其无论哪个方向的分量都没有什 么规律，但是 rice-f 即他的二维傅里叶变换谱中却也存在水平和垂直 的分量。这些分量的形成与 MATLAB 中的 fft2 函数的算法有关，这里
如上，由于要解释 rice-f 中出现的水平与垂直分量，这里就从程序的 后半部分开始解释。其前半部分与后半部分的算法完全一致，就不做 赘述。 首先读入图像，获得其大小。而后生成两个汉明窗，分别加在 x 和 y 两个方向上，这样就生成了 rice1 这样的四周是黑色的图像。之后对 原图进行傅里叶二维变换。 这里就要说到 MATLAB 中 fft2 函数的算法， 其在运算的过程中对图像进行了周期延拓，x 轴 y 轴两个方向都进行 了无限的循环。由于图像本身左右两个边界像素不同，上下两个边界
Test
test-f
test1-f
test-i
之后来说第二个任务，首先 test 为原图，test-f 为原图的傅里叶变换 （没有使用 fftshift 函数搬运），test1-f 为原图像素乘以（-1）^（x+y） 后的傅里叶变换（没有使用 fftshift 函数搬运），而 test-i 为傅里叶变 换后做共轭，再做反变换后再乘以（-1）^（x+y）的结果。 代码如下：
一维傅里叶变换 二维傅里叶变换
一维傅里叶变换和二维傅里叶变换是信号处理和图像处理中非常重要的数学工具，它们能帮助我们分析和理解信号和图像中包含的信息。
在本文中，我们将深入探讨一维和二维傅里叶变换的原理、应用以及它们在实际中的意义。
1. 一维傅里叶变换一维傅里叶变换是将一个实际的信号在频域进行分解的技术。
它的数学表达式为：\[F(k) = \sum_{n=0}^{N-1} f(n)e^{-i2\pi kn/N}\]在这个公式中，\(f(n)\)表示信号在时域上的取值，而\(F(k)\)表示信号在频域上的频谱。
一维傅里叶变换可以帮助我们分析信号中包含的频率成分，从而理解信号的特性和结构。
一维傅里叶变换在很多领域都有广泛的应用，比如音频信号处理、通信系统、生物医学工程等。
在音频信号处理中，我们可以利用傅里叶变换将音频信号分解成不同的频率成分，从而实现音频滤波、频谱分析等功能。
2. 二维傅里叶变换二维傅里叶变换是将一个二维图像在频域进行分解的技术。
它的数学表达式为：\[F(u, v) = \sum_{x=0}^{M-1} \sum_{y=0}^{N-1} f(x, y)e^{-i2\pi (ux/M + vy/N)}\]在这个公式中，\(f(x, y)\)表示图像在空间域上的像素值，而\(F(u, v)\)表示图像在频域上的频谱。
二维傅里叶变换可以帮助我们分析图像的纹理、边缘、轮廓等特征。
二维傅里叶变换在图像处理、计算机视觉、模式识别等领域都有重要的应用。
在图像处理中，我们可以利用傅里叶变换进行图像增强、滤波、压缩等操作，从而改善图像的质量和准确度。
总结回顾通过本文的深入探讨，我们了解了一维和二维傅里叶变换的原理、应用以及在实际中的意义。
一维傅里叶变换可以帮助我们分析信号中的频率成分，而二维傅里叶变化则可以帮助我们分析图像中的纹理特征。
这两种变换在信号处理和图像处理领域发挥着重要作用，为我们理解和处理现实世界中的信息提供了有力的数学工具。
二维循环卷积 傅里叶
二维循环卷积傅里叶傅里叶变换是信号处理中常见的一种技术，可以将一个信号分解成其频率成分，从而在分析和处理信号时可以更加精确和高效。
而对于二维图像的处理，可以采用二维傅里叶变换来完成。
其中，二维循环卷积是二维傅里叶变换的一部分，可以快速地计算出二维图像的卷积结果，从而在图像处理中有着广泛的应用。
首先，我们需要了解二维卷积的概念。
在图像处理中，卷积可以将一个图像与一个核（或者称为滤波器）进行卷积操作，从而改变图像的特征。
具体而言，卷积操作可以通过以下公式来描述：$f(x,y)*h(x,y)=\sum_{m=-\infty}^{\infty}\sum_{n=-\infty}^{\infty}f(m,n)h(x-m,y-n)$其中，$f(x,y)$是原始图像，$h(x,y)$是核，$*$表示卷积操作。
在卷积操作中，核会从原始图像的左上角开始扫描，每次都会计算出核与当前扫描位置对应区域的乘积，再将所有乘积相加得到该位置卷积的结果。
最终，将所有卷积结果组合成一个新的图像，即为卷积后的图像。
然而，对于较大的图像和核，传统的卷积操作需要消耗大量的时间和内存，因此二维循环卷积应运而生。
具体而言，循环卷积操作可以用以下公式来描述：$f(x,y)\circledast h(x,y)=\sum_{m=-\infty}^{\infty}\sum_{n=-\infty}^{\infty}f(m,n)h(x-m,y-n)$其中，$\circledast$表示循环卷积操作。
与传统卷积操作不同的是，循环卷积操作不是从原始图像的左上角开始扫描，而是将原始图像和核都循环移位，从而在计算卷积时可以快速地复用已经计算过的值，从而大大提高了计算效率。
与此同时，傅里叶变换也可以用来进行卷积操作。
具体而言，我们可以将二维图像和核都进行傅里叶变换，然后对它们进行点乘，最后再进行傅里叶反变换，就可以得到卷积后的图像。
这种方法的计算效率与循环卷积相当，而且在某些情况下甚至更快。
二维傅里叶变换公式
二维傅里叶变换公式二维傅里叶变换（2D傅里叶变换）是信号和图像处理中广泛使用的重要数学工具。
它可以将一个信号或图像从时域（或空域）转换为频域，从而揭示信号或图像中存在的频率信息。
本文将详细介绍二维傅里叶变换的公式和相关理论知识。
首先，我们先来回顾一维傅里叶变换的公式：$$F(k) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x) e^{-i2\pi kx} dx$$其中，$f(x)$是一个时域函数，$F(k)$是其傅里叶变换，$k$是频率。
对于二维傅里叶变换，我们可以将其推广为：$$F(u, v) = \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty}f(x, y) e^{-i2\pi (ux+vy)} dx dy$$其中，$f(x,y)$是一个二维时域函数，$F(u,v)$是其二维傅里叶变换，$u$和$v$分别是在x和y方向上的频率。
二维傅里叶变换的公式可以看作是一个复合积分，它将二维函数在时域上的每一个点都展开成一系列的正弦和余弦波的叠加。
通过将时域信息转换到频域，我们可以得到原始信号或图像的频谱信息。
频谱信息可以帮助我们分析信号或图像中存在的周期性或变化性，并在信号处理、图像处理、模式识别等领域中发挥重要作用。
然而，上述公式中的积分是无法直接计算的，因此我们需要利用傅里叶变换的性质和一些数学工具来求解。
具体来说，我们可以利用频域上的周期性和对称性质，将二维傅里叶变换转换为一维傅里叶变换的乘积形式。
一种常用的方法是使用快速傅里叶变换（FFT）算法，它利用了傅里叶变换的对称性和周期性质，有效地减少了计算量。
通过FFT算法，我们可以高效地计算出离散的二维傅里叶变换（DFT），而不需要对所有可能的频率进行积分。
对于离散的二维函数$f(x,y)$，我们可以将其离散成一个有限的网格上的点集。
对于离散的二维傅里叶变换$F(u,v)$，其计算公式可以写为：$$F(u, v) = \sum_{x=0}^{N-1} \sum_{y=0}^{M-1} f(x, y) e^{-i2\pi (ux/N+vy/M)}$$其中，$N$和$M$分别是图像的宽度和高度。
图像傅里叶变换
✓ 公式（2）表明将F(u,v)与一个指数项相乘就相当于 把其变换后的空域中心移动到新的位置
✓ 公式（2）表明对f(x,y)的平移不影响其傅里叶变换
的幅值
A
39
傅里叶变换
1. 傅里叶变换对的平移性质（续）
当u0=M/2且v0=N/2,
e e 1 j2u0x/Mv0y/N
j(xy)
xy
带入（1）和（2），得到
u0,1,2,...,K1
F oddu1 K1 f2x1WK ux K x 0
A
63
快速傅里叶变换(FFT) 得到FFT的第一个公式
Fu 1 Feven u Fodd u Wu2K 2
该公式说明F(u)可以通过奇部和偶部之和 来计算
A
64
快速傅里叶变换(FFT)
推导：
W e K uK
A
46
一幅二维图像的傅里叶频谱 中心化的傅里叶频谱
傅里叶变换
6. 分离性
F u,v
1 M 1 j2ux/M e
1 N1
f x, y e j2vy/ N
M
x 0
N y 0
1 M
M 1 j2ux/M
x 0e
F x,v
F(x,v)是沿着f(x,y)的一行所进行的傅里叶变 换。当x=0,1,…,M-1，沿着f(x,y)的所有行计 算傅里叶变换。
给定2个标量a和b，可以证明对傅里叶变换下列 2个公式成立
af x, y aFu,v
fax,by 1 Fu /a,v/b
ab
A
42
傅里叶变换
4. 旋转性
引入极坐标 xrcos,yrsin,ucos,vsin
将f(x,y)和F(u,v)转换为 fr,和F,。将它
二维快速傅里叶变换
二维快速傅里叶变换
二维快速傅里叶变换（2DFFT）是将二维离散信号（图像）在频域中表示的一种常用的方法，具有高效、精确的特点。
下面是二维快速傅里叶变换的基本步骤：
1.对原始图像进行补零扩展，使其尺寸变为2的整数次幂。
补零的目的是为了避免在FFT计算中出现频谱泄露。
2.将补零后的图像划分为多个小块，每个小块的大小也应该是2的整数次幂，如2x2、4x4、8x8等。
3.对每个小块分别进行一维快速傅里叶变换（1DFFT），即先对每行进行FFT计算，然后对每列进行FFT计算。
4.将每个小块的FFT结果拼接起来，得到完整的二维FFT结果。
2DFFT的实现通常使用快速傅里叶变换（FFT）算法，具有高效、稳定的特点，常用于数字信号处理、图像处理、视频压缩等领域。
但在使用2DFFT时，需要注意选择合适的FFT库或算法，以及调整参数、优化计算等问题，以提高计算效率和准确性。
1/ 1。
二维傅里叶变换 频谱
二维傅里叶变换频谱
二维傅里叶变换是信号处理中的一种重要工具，它可以将一个信号从空间域（图像）转换到频率域（频谱）。
二维傅里叶变换的基本公式如下：
F(\(\展开系数\)) = ∫∫(f(x, y) * e^(-i(ωx * x + ωy * y)) dx dy
其中，F(\(\展开系数\))表示傅里叶变换后的频谱，f(x, y)表示原始图像，ωx和ωy分别表示x和y方向的频率。
在实际应用中，我们通常先将图像进行二维傅里叶变换，然后将变换后的频谱进行幅度谱和相位谱的分离。
幅度谱表示图像的亮度分布，相位谱表示图像的纹理信息。
通过对幅度谱和相位谱的分析，我们可以实现图像的特征提取、降噪、边缘检测等操作。
频谱是指在频率域中，二维傅里叶变换后的系数。
它包含了图像在各个频率上的能量分布，可以用来分析图像的频率特性。
频谱分析的主要目的是提取图像的特征，从而实现图像的识别和分类。
总之，二维傅里叶变换和频谱分析是图像处理的重要手段，通过对图像进行二维傅里叶变换，我们可以将图像从空间域转换到频率域，从而实现对图像特征的分析和处理。
matlab二维快速傅里叶变换
一、引言在信号处理、图像处理、通信系统等领域中，傅里叶变换是一种非常重要的数学工具，用于将时域信号转换为频域信号，从而方便进行频域分析和处理。
在实际应用中，对于二维信号（如图像）的频域分析同样具有重要意义。
Matlab作为一种功能强大的数学软件，提供了对二维信号进行快速傅里叶变换（FFT）的工具函数，为工程师和科研人员在二维信号处理中提供了便利。
二、快速傅里叶变换（FFT）简介1. 傅里叶变换傅里叶变换是将信号从时域（或空域）转换到频域的一种数学工具，可以通过计算信号的频谱来分析信号的频率成分。
傅里叶变换可以表达为积分形式或离散形式，其中离散形式的傅里叶变换又被称为离散傅里叶变换（DFT）。
2. 快速傅里叶变换（FFT）快速傅里叶变换是一种高效的计算离散傅里叶变换的算法，通过分治和逐级合并的方式将DFT的计算复杂度从O(N^2)降低到O(NlogN)，大大加速了傅里叶变换的计算过程。
在二维信号处理中，二维快速傅里叶变换（2DFFT）同样具有重要的意义。
三、Matlab中的二维快速傅里叶变换1. 函数介绍在Matlab中，可以使用fft2函数对二维信号进行快速傅里叶变换。
fft2函数的语法为：```matlabY = fft2(X)```其中X为输入的二维数组，Y为X的二维快速傅里叶变换结果。
另外，Matlab还提供了ifft2函数用于计算二维逆傅里叶变换。
2. 使用方法对于一个MxN的二维数组X，可以通过调用fft2函数对其进行快速傅里叶变换。
例如：```matlab生成一个随机的二维数组X = randn(256,256);对X进行二维快速傅里叶变换Y = fft2(X);```通过调用fft2函数，可以得到输入数组X的二维快速傅里叶变换结果Y。
对于得到的频域信号Y，可以进行频域滤波、谱分析等操作，然后通过ifft2函数进行逆变换得到时域信号。
3. 示例下面以图像处理为例，演示在Matlab中如何使用二维快速傅里叶变换进行频域分析和滤波。
二维空 傅里叶变换
二维空傅里叶变换
二维空间中的傅里叶变换是一种将二维函数从时域转换到频域的数学工具。
它可以将一个二维函数表示为它在频率上的分量。
傅里叶变换可以用于图像处理、信号处理、通信等领域。
二维傅里叶变换的定义如下：
对于一个二维函数f(x, y)，它的傅里叶变换F(u, v)可以通过以下公式计算得到：
F(u, v) = ∬ f(x, y) * exp(-i2π(ux + vy)) dx dy
其中，F(u, v)是频域上的函数，表示了原始函数f(x, y)在频率u和v上的分量。
exp(-i2π(ux + vy))是一个复数指数函数，i是虚数单位。
x和y分别表示空域中的位置坐标，u和v 表示频域中的频率坐标。
通过二维傅里叶变换，我们可以将一个图像表示为其频谱分量的叠加，其中低频分量表示图像的整体结构和低频细节，高频分量表示图像的纹理和细节信息。
在实际应用中，二维傅里叶变换可以用来进行图像滤波、频域增强、图像压缩等操作。
同时，还可以通过逆傅里叶变换将频域的函数转换回空域，恢复原始图像。
需要注意的是，二维傅里叶变换对于周期性信号和有限区域的信号是不适用的，因为它需要在整个空间上进行积分运算。
对于这些情况，可以使用离散傅里叶变换（DFT）或快速傅里叶变换（FFT）来进行计算。
二维傅里叶变换实例
二维傅里叶变换实例一、傅里叶变换简介傅里叶变换是一种将函数从时域转换到频域的数学工具。
它可以将任意周期信号分解成一系列正弦和余弦函数，从而更好地理解信号的频率特性。
傅里叶变换有多种形式，其中二维傅里叶变换是在二维平面上进行的。
二、二维傅里叶变换的定义二维傅里叶变换是将一个二维函数f(x,y)在频域中表示成复数形式F(u,v)的过程，其中u和v分别表示x和y方向上的频率。
其公式如下：F(u,v) = ∬f(x,y)e^(-i2π(ux+vy))dxdy其中i为虚数单位，e为自然对数的底数。
三、二维傅里叶变换实例以图像处理为例，以下是一个简单的二维傅里叶变换实例。
1. 导入图像首先需要导入一张图片，并将其转化为灰度图像。
这可以通过Python 中OpenCV库来实现。
2. 计算二维傅里叶变换使用numpy库中的fft2函数计算图像的二维傅里叶变换。
3. 移动零频分量到中心位置由于二维傅里叶变换后的频谱图是以左上角为原点的，因此需要将零频分量移动到中心位置。
这可以通过numpy库中的fftshift函数来实现。
4. 显示频谱图使用matplotlib库中的imshow函数显示二维傅里叶变换后的频谱图。
5. 反变换使用numpy库中的ifft2函数对计算得到的频域图像进行反变换，得到原始图像。
6. 显示原始图像使用matplotlib库中的imshow函数显示原始图像。
四、总结二维傅里叶变换是一种非常有用的数学工具，在信号处理、图像处理等领域都有广泛应用。
通过以上实例，我们可以更好地理解二维傅里叶变换的概念和应用。
图像的二维傅里叶变换频谱图特点研究
图像的⼆维傅⾥叶变换频谱图特点研究⼀、先放⼀些相关的结论：1、傅⾥叶变换的幅值称为傅⾥叶谱或频谱。
2、F(u)的零值位置与“盒状”函数的宽度W成反⽐。
3、卷积定理：空间域两个函数的卷积的傅⾥叶变换等于两个函数的傅⾥叶变换在频率域中的乘积。
f(t)*h(t) <=> H(u)F(u)4、采样定理：如果以超过函数最⾼频率的两倍的取样率来获得样本，连续的带限函数可以完全地从它的样本集来恢复。
5、严重的混淆甚⾄会产⽣完全的误解效果。
6、变化最慢的频率分量(u=v=0)与图像的平均灰度成正⽐。
直流项决定图像的平均灰度。
7、零平均表⽰存在负灰度，此时图像不是原图像的真实描述，因为所有负灰度为显⽰⽬的的都被修剪过。
8、对⾼通滤波器加⼀个⼩常数不会影响尖锐性，但是它的确能防⽌直流项的消除，并保留⾊调。
9、在频谱图中,中⼼部分（uv坐标系中点(0,0)附近）表⽰原图像中的低频部分。
10、如果原始图像具有⼗分明显的规律,例如将⼀个简单图样有规律的平移并填满整个图形,那么其频谱⼀般表现为坐标原点周围的⼀圈亮点。
11、将⼀张灰度图像反相，其频谱的“样式”不变。
（个⼈理解：反相只是将⿊⽩颠倒，但并不改变灰度变化处的对⽐度）12、如果频谱图中暗的点数更多，那么实际图像是⽐较柔和的（因为各点与邻域差异都不⼤，梯度相对较⼩）；反之，如果频谱图中亮的点数多，那么实际图像⼀定是尖锐的、边界分明且边界两边像素差异较⼤的。
13、⾼频分量解释信号的突变部分，⽽低频分量决定信号的整体形象。
所⽤的傅⾥叶变换的分析⼯具是Halcon，代码如下：read_image (Image, 'C:/Users/xiahui/Desktop/1.jpg')fft_image (Image, ImageFFT)⼆、不同图像的频谱图分析左边是原图，右边是经傅⾥叶变换之后的频谱图。
1、全⿊图——频谱图也全⿊（图像的分辨率是240*240）2、灰⾊图——频谱图中央有个单像素的⽩⾊的⼩正⽅形，坐标是（120,120），值是（30480,0）3、全⽩图——频谱图中央有个单像素的⽩⾊的⼩正⽅形，坐标是（120,120），值是（61200,0）4、在图中画⼀个圆——频谱图呈同⼼圆状，最中央（坐标120，120）的值为（3852.64,0），其他地⽅的值有正有负，趋势是越靠近中央值的绝对值越⼤。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
图像的二维傅里叶变换和频谱
一、实验目的
通过本实验使学生掌握使用 MATLAB 进行二维傅里叶变换的方法，加深对二维傅里叶变换的理解 和图像频谱的理解。
二、实验原理
本实验是基于数字图像处理课程中的二维傅里叶变换理论来设计的。 本实验的准备知识：第四章 频域图像增强中的一维傅里叶变换和二维傅里叶变换，频 域图像增 强的步骤，频域滤波器。 实验用到的基本函数： 一维傅里叶变换函数： fft, 一维傅里叶反变换函数：ifft 频谱搬移函数：fftshift 二维傅里叶变换函数：fft2 二维傅里叶反变换函数：ifft2 绘图函数：imshow， mesh 【说明，如对上述函数的使用方法有疑问，请先用 help 命令查询。建议先用 help 命令查询器应 用方法，再做具体实验内容。】 例：计算图像 f 的频谱并显示 F=fft2(f); S=abs(F); %求幅度 imshow(S,[])；%显示图像幅度频谱 Fc=fftshift(F); %将图像频谱原点移动到中心显示 imshow(abs(Fc));
原图幅度谱图
傅里叶变换的幅度谱图
原 图 x幅 度 谱 图
x傅 里 叶 变 换 的 幅 度 谱 图
x1幅 度 谱 图
x1傅 里 叶 变 换 的 幅 度 谱 图
原 图 x幅 度 谱 图
x傅 里 叶 变 换 的 幅 度 谱 图
x1幅 度 谱 图
x1幅 度 谱 图
x1旋 转 90度 的 x2幅 度 谱 图
x2傅 里 叶 变 换 的 幅 度 谱 图
五、实验思考题
图像频谱有何特点？低频分量和高频分量在图像频谱中是怎样分布的？ （1）频谱图，四个角对应低频成分，中央部分对应高频成分；图像亮条的平移影响频谱的分布，但当 频谱搬移到中心时，图像亮条的平移后频谱图是相同的。图像旋转，频谱也会旋转，并且角度相同。频谱具有 平移特性，可分离性。 （2）图像的高低频是对图像各个位置之间强度变化的一种度量方法。低频分量:主要对整副图像的强 度的综合度量。高频分量:主要是对图像边缘和轮廓的度量。
-4.0000
-4.0000 - 1.6569i
Fa =
56781
Fb =
-4.0000
-4.0000 - 1.6569i
36.0000
-4.0000 + 9.6569i
-4.0000 + 4.0000i -4.0000 - 4.0000i
234
-4.0000 - 4.0000i -4.0000 + 4.0000i
-4.0000 - 1.6569i
x1 =
-1 -2 -3 -4 -5
F1 =
-36.0000 4.0000 - 9.6569i
4.0000
4.0000 + 1.6569i
-4.0000 + 4.0000i -4.0000 - 4.0000i
-6 -7 -8
4.0000 - 4.0000i 4.0000 + 4.0000i
-4.0000 + 1.6569i -4.0000 - 9.6569i
-4.0000 - 9.6569i -4.0000 + 1.6569i
（二） 1、 程序： clc clear x=zeros(64,64); x(32-20:32+20,32-8:32+8)=255; subplot(1,2,1),imshow(x);
for i=1:64 for j=1:64 h(i,j)=(-1).^(i-1+j-1); end
end x1=h.*x F1=fft2(x1); subplot(2,2,3),imshow(x1); title('x1 幅度谱图'); subplot(2,2,4),imshow(log(abs(F1)),[]); title('x1 傅里叶变换的幅度谱图'); 运行结果：
678
-4.0000 + 1.6569i -4.0000 - 9.6569i
2、程序：
x=[1 2 3 4 5 6 7 8];
F=fft(x)
for i=1:10
y=(-1).^(i-1);
end
x1=x.*y
F1=fft(x1) 运行结果：
F=
36.0000
-4.0000 + 9.6569i
-4.0000
2
title('原图幅度谱图'); F=fft2(x); subplot(1,2,2),imshow(log(abs(F)),[]); title('傅里叶变换的幅度谱图'); 运行结果：
2、程序： x=zeros(64,64); x(32-20:32+20,32-8:32+8)=255; subplot(2,2,1),imshow(x); title('原图 x 幅度谱图'); F=fft2(x); subplot(2,2,2),imshow(log(abs(F)),[]); title('x 傅里叶变换的幅度谱图');
for j=1:64 h(i,j)=(-1).^(i-1+j-1); end end x1=h.*x F1=fft2(x1); subplot(3,2,3),imshow(x1); title('x1 幅度谱图'); subplot(3,2,4),imshow(log(abs(F1)),[]); title('x1 幅度谱图');
三、实验内容
（一）一维傅里叶变换的实现和分析 1、生成一个一维向量，x＝[1 2 3 4 5 6 7 8]; 计算该向量的傅里叶变换，并由傅里叶变换求
反变换，验证结果。 2 在时间域中将 x 乘以(-1)n，计算其傅里叶变换，实现傅里叶变换的平移性质使用 fftshift 函
数，实现频谱的平移。 （二）二维傅里叶变换的实现和分析
3
x2=imrotate(x1,90); subplot(3,2,5),imshow(x2); title('x1 旋转 90 度的 x2 幅度谱图'); F2=fft2(x2); subplot(3,2,6),imshow(log(abs(F2)),[]); title('x2 傅里叶变换的幅度谱图'); 运行结果：
（三）任意图像的频谱显示 程序： i=imread('D:\image\lena.bmp') i1=fft2(i) subplot(2,3,1) imshow(i) title('lena 原图像') subplot(2,3,2) imshow(log(abs(i1)),[]) title('lena 频谱图') subplot(2,3,3) i2=fftshift(i1) imshow(log(abs(i2)),[]) title('lena 频谱原点移到中心位置') i11=imread('D:\image\rice.png') i22=fft2(i11) subplot(2,3,4) imshow(i11) title('rice 原图像') subplot(2,3,5) imshow(log(abs(i22)),[]) title('rice 频谱图') subplot(2,3,6) i33=fftshift(i22) imshow(log(abs(i33)),[]) title('rice 频谱原点移到中心位置') 运行结果：
-4.0000 + 1.6569i -4.0000 - 9.6569i
4.0000 - 1.6569i 4.0000 + 9.6569i
3、程序：
clc
x=[1 2 3 4 5 6 7 8];
F=fft(x)
Fa=fftshift(x)
Fb=fftshift(F) 运行结果：
F=
36.0000
-4.0000 + 9.6569i
四、实验步骤
（一）一维傅里叶变换的实现和分析 1、程序： x=[1 2 3 4 5 6 7 8]; F=fft(x) F=ifft(F) 运行结果：
1
F= 36.0000 -4.0000
F= 12
-4.0000 + 9.6569i -4.0000 - 1.6569i
345
-4.0000 + 4.0000i -4.0000 - 4.0000i
3、程序： x=zeros(64,64); x(32-20:32+20,32-8:32+8)=255; subplot(3,2,1),imshow(x); title('原图 x 幅度谱图'); F=fft2(x); subplot(3,2,2),imshow(log(abs(F)),[]); title('x 傅里叶变换的幅度谱图'); for i=1:64
产生如图所示图象 f1(x,y)（64×64 大小，中间亮条宽 16，高 40，居中，暗处=0，亮处=255）， 用 MATLAB 中的 fft2 函数求其傅里叶变换，要求：
1令 f2(x,y)=（-1）x+y f1(x,y)，重复过程 1，比较二者幅度谱的异同，简述理由； 3、若将 f2(x,y)顺时针旋转 90 度得到 f3(x,y)，试显示 FFT(f3)的幅度谱，并与 FFT(f2)的幅度谱进行比较。 （三）任意图像的频谱显示任意图像的频谱显示 1、读入图像 lenagray.tif，计算该图像的频谱，并将频谱原点移到中心位置显示。 2、读入图像 rice.tif，计算该图像的频谱，并将频谱原点移到中心位置显示。