函数图象的三种变换
函数图象变换和零点
函数图象变换和零点一、函数图像1、平移变换Ⅰ、水平平移：函数()y f x a =+的图像可以把函数()y f x =的图像沿x 轴方向向左(0)a >或向右(0)a <平移||a 个单位即可得到；1）y =f (x )h 左移→y =f (x +h)； 2）y =f (x ) h右移→y =f (x -h)；Ⅱ、竖直平移：函数()y f x a =+的图像可以把函数()y f x =的图像沿x 轴方向向上(0)a >或向下(0)a <平移||a 个单位即可得到；1）y =f (x ) h 上移→y =f (x )+h ； 2）y =f (x ) h下移→y =f (x )-h 。
2、对称变换Ⅰ、函数()y f x =-的图像可以将函数()y f x =的图像关于y 轴对称即可得到；y =f (x ) 轴y →y =f (-x ) Ⅱ、函数()y f x =-的图像可以将函数()y f x =的图像关于x 轴对称即可得到；y =f (x ) 轴x →y = -f (x ) Ⅲ、函数()y f x =--的图像可以将函数()y f x =的图像关于原点对称即可得到；y =f (x ) 原点→y = -f (-x ) Ⅳ、函数)(y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像关于直线y x =对称得到。
y =f (x ) xy =→直线x =f (y )Ⅴ、函数)2(x a f y -=的图像可以将函数()y f x =的图像关于直线a x =对称即可得到；y =f (x )ax =→直线y =f (2a -x )。
3、翻折变换Ⅰ、函数|()|y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像的x 轴下方部分沿x 轴翻折到x 轴上方，去掉原x 轴下方部分，并保留()y f x =的x 轴上方部分即可得到；Ⅱ、函数(||)y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像右边沿y 轴翻折到y 轴左边替代原y 轴左边部分并保留()y f x =在y 轴右边部分即可得到4、伸缩变换Ⅰ、函数()y af x =(0)a >的图像可以将函数()y f x =的图像中的每一点横坐标不变纵坐标伸长(1)a >或压缩（01a <<）为原来的a 倍得到；y =f (x )ay ⨯→y =af (x )Ⅱ、函数()y f ax =(0)a >的图像可以将函数()y f x =的图像中的每一点纵坐标不变横坐标伸长(1)a >或压缩（01a <<）为原来的1a倍得到。
高中趣味课——函数图象的变换
f(x)→-f(x)：两函数图象关于x轴对称.
f(x)→f(|x|)：两函数图象在x正半轴相同，f(|x|)为偶函数.
f(x)→|f(x)|：将f(x)中x轴下方的图象对称折向x轴上方，既得|f(x)|图象
就是要钻“牛角尖”，就是这么任性！！！
THANK YOU
所以，只需将y=x2的图象向左平移3个单位，再向下平移4
个单位即可！ 方法二：向量
二、伸缩变换
y=f(ωx)(ω>0)的图象可将函数y=f(x)的图象上所有点的
1 横坐标变为原来的 ,纵坐标不变得到. w
y=kf(x)(k>0)的图象可将函数y=f(x)的图象上所有点 的纵坐标变为原来的 k 倍，横坐标不变而得到.
三、对称变换
y=f(x)与y=f(-x)的图象关于Leabharlann y轴 对称； x轴 对称；
y=f(x)与y=-f(x)的图象关于
y=f(x)与y=-f(-x)的图象关于
原点 对称；
y=|f(x)|的图象可将函数y=f(x)的图象在x轴下方的部分以
x轴 为对称轴翻折到 x轴 上方,其余部分不变；
一句话：左加右减，上加下减！
下面我们以f(x)=x2为例来说明平移变换：
例：函数y=x2+6x+5 的图象可由函数y=x2 的图象如何平移得到 ？
方法一：逆向思维--待定系数法：
令y=(x+k)2+b展开得：y=x2+2kx+k2+b，易得k=3，b=-4;
所以：y=x2+6x+5=(x+3)2-4
函数图像的变换
高中数学
函数图象变换
函数图象变换1、平移变换2、对称变换①y＝f（－x）与y＝f（x）关于y轴对称；②y＝－f（x）与y＝f（x）关于x轴对称；③y＝－f（－x）与y＝f（x）关于原点对称；④y＝f－1（x）与y＝f（x）关于直线y＝x对称；⑤y＝|f（x）|的图象可将y＝f（x）的图象在x轴下方的部分以x轴为对称轴翻折到x轴上方，其余部分不变．⑥y＝f（|x|）的图象：可将y＝f（x），x≥0的部分作出，再利用偶函数关于y轴的对称性．三、伸缩变换①y＝Af（x）（A＞0）的图象，可将y＝f（x）图象上每一点的纵坐标伸（A＞1）缩（0＜A＜1）到原来的A倍，横坐标不变而得到．②y＝f（ax）（a＞0）的图象，可将y＝f（x）的图象上每一点的横坐标伸（0＜a＜1）缩（a＞1）到原来的，纵坐标不变而得到．三、初等函数及图象(大致图象)【高考试题剖析】1．当a>1时，在同一坐标系中，函数y＝a－x与y＝log a x的图象是（ ）【答案】A2．若函数f（x－1）＝x2－2x＋3（x≤1）则函数f－1（x）的草图是（ ）【解析】f（x－1）＝（x－1）2＋2 ①f（x）＝x2＋2 ②又∵①式中x≤1，∴x－1≤0，故②式中函数自变量x≤0，由②式得：x＝－，即f－1（x）＝－ （x≥2）．【答案】C3．已知函数f（x）＝ax3＋bx2＋cx＋ｄ的图象如图2—6，则（ ）A．b∈（－∞，0）B．b∈（0，1）C．b∈（1，2）D．b∈（2，＋∞）【解析】由题知f（x）＝0有三个根0，1，2．∴f（x）＝ax3＋bx2＋cx＋d＝ax（x－1）（x－2）＝ax3－3ax2＋2ax．∴b＝－3a，∵a＞0，∴b＜0．【答案】A4．若函数y＝f（x）的图象过点（1，0），则它的反函数的图象必经过点_____．【解析】点（1，0）关于直线y＝x的对称点是（0，1）．【答案】（0，1）5．要得到y＝lg（3－x）的图象，只需作y＝lgx关于_____轴对称的图象，再向_____平移3个单位而得到．【解析】由y＝lgx的图象关于y轴对称得y＝lg（－x）的图象，要得y＝lg（3－x）即y＝lg［－（x－3）］的图象，需将y＝lg（－x）的图象向右平移3个单位．【答案】y 右【典型例题精讲】［例1］已知y＝f（x）的图象如图2—7所示，则下列式子中能作为f（x）的解析式是（ ）A．B．x2－2|x|＋1C．|x2－1|D．【解析】当f（x）＝时，其图象恰好是上图．【答案】A［例2］画出函数y＝lg|x＋1|的图象．【解】y＝lg|x＋1|．［例3］要将函数y＝的图象通过平移变换得到y＝的图象，需经过怎样的变换？【解】y＝－1，先沿x轴方向向左平移1个单位，再沿y轴方向向上平移1个单位，即可得到y＝的图象．［例4］方程kx＝有两个不相等的实根，求实数k的取值范围．【解】设y1＝kx ①y2＝ ②方程①表示过原点的直线，方程②表示半圆，其圆心（2，0），半径为1，如图2—9．易知当OA与半圆相切时， ，故当0≤k＜时，直线与半圆有两个交点，即0≤k＜时，原方程有两个不相等的实根．［例5］作函数f（x）＝x＋的图象．【分析】f（x）＝x＋不能由已知函数图象变换得到，故需对函数f（x）的性质进行研究．【解】函数的定义域是（－∞，0）∪（0，＋∞），∵f（－x）＝－f（x），∴f（x）是（－∞，0）∪（0，＋∞）上的奇函数，又|f（x）|＝|x＋|＝|x|＋≥2，当且仅当|x|＝1时等号成立，∴当x>0时y≥2；当x<0时，y≤－2；当x∈（0，1）时函数为减函数，且急剧递减；当x∈［1，＋∞）时函数为增函数，且缓慢递增，又x≠0，y≠0，∴图象与坐标轴无交点，且y轴是渐近线，作出第一象限的函数的图象，再利用对称性可得函数在定义域上的图象，如图2—10所示．【评述】（1）熟悉各种基本函数图的“原型”是函数作图的一项基本功；先研究函数的性质，再利用性质作图则能减少作图的盲目性，提高图象的准确性．（2）与图象有关的“辅助线”要用虚线作，以起到定形、定性、定位、定量的作用．【综合能力训练】1．f（x）是定义在区间［－c，c］上的奇函数，其图象如图所示．令g（x）＝af（x）＋b，则下列关于函数g（x）的叙述正确的是（ ）A．若a<0，则函数g（x）的图象关于原点对称B．若a＝－1，－2<b<0，则方程g（x）＝0有大于2的实根C．若a≠0，b＝2，则方程g（x）＝0有两个实根D．若a≥1，b<2，则方程g（x）＝0有三个实根【解析】将f（x）图象上每点的纵坐标变为原来的a倍，横坐标不变，再将所得图象向上（b>0）或向下（b<0）平移|b|个单位，得g（x）＝af（x）＋b的图象．【答案】B2．(2007．全国Ⅱ)把函数y＝ex的图象按向量＝(2，3)平移，得到y＝f(x)的图象，则f(x)＝ ( )(A)e x－3＋2 (B)e x＋3－2 (C)e x－2＋3 (D)e x＋2－3【答案】C3．(2008·菏泽模拟)如图为函数y＝m＋的图象，其中m，n为常数，则下列结论正确的是 ( )(A)m<0，n>1 (B)m>O，n>l(C)m>O，0<n<1 (D)m<0，0<n<1【答案】D4．(2008．安庆模拟)函数y＝e－｜x－1｜的图象大致是( )【答案】D5．在直角坐标系xOy中，已知△AOB三边所在直线的方程分别为x＝0，y＝0，2x＋3y＝30，则△AOB内部和边上整点（即横、纵坐标均为整数的点）的总数是（ ）A．95 B．91 C．88D．75【解析】画出图象，补形做出长方形AOBC，共有整点数11×16＝176，而六点（0，10），（3，8），（6，6），（9，4），（12，2），（15，0）在长方形的对角线上，所以符合题意的点数为（176＋6）×＝91．【答案】B6．将函数y＝logx的图象沿x轴方向向右平移一个单位，得到图象C，图象C1与C关于原点对称，图象C2与C1关于直线y＝x对称，那么C2对应的函数解析式是_____．【解析】C:y＝log（x－1）；由－y＝log（－x－1）得C1:y＝log2（－x－1）；求C1的反函数得y＝－1－2x．【答案】y＝－1－2x7．若函数y＝｜－x2＋4x－3｜的图象C与直线y＝kx相交于点M（2，1），那么曲线C与该直线有 个交点．【解析】（数形结合法）作y＝｜－x2＋4x－3｜的图象，知其顶点在M（2，1）．过原点与点M（2，1）作直线y＝kx，如图．∴曲线C与直线y＝kx有四个交点．【答案】48．作函数y＝（）|x－1|的图象．【解】（1）y＝故它在区间［1，＋∞）上的图象，可由y＝2－x（x≥0）的图象沿x轴方向向右平移1个单位得到；在区间（－∞，1）上的图象，可由y＝2x（x<0）的图象沿x轴方向向右平移1个单位得到．9．已知函数y＝f（x）（x∈R）满足f（a＋x）＝f（a－x），求证y＝f（x）的图象关于直线x＝a对称．【证明】设p（x0，y0）是y＝f（x）图象上的任一点，则有y0＝f（x0），设点P关于直线x＝a的对称点为p′（x′，y′），则有，即 由y0＝f（x0）y′＝f［a－（a－x′）］＝f（x′）．即点p′（x′，y′）也在y＝f（x）的图象上．∴y＝f（x）的图象关于直线x＝a对称．【评述】本题的结论应熟记．10．画出函数y＝的图象，并利用此图象判定方程＝x＋a有两个不同的实数解时，实数a所满足的条件．【解】图象是抛物线y2＝2x＋1在y≥0上的部分．把y＝x＋a代入y2＝2x＋1，得（x＋a）2＝2x＋1，即x2＋2（a－1）x＋a2－1＝0，由Δ＝0得a＝1，此时直线与抛物线相切．又因抛物线顶点是（－，0），可知当直线过点（－，0）时，即a＝时直线与抛物线有两交点，故当≤a ＜1时直线与此抛物线有两个交点，即原方程有两不同实数解．。
函数图象的四大变换
你会利用图象的直观性来解决问题吗？
函数图象的四大变换
平移
翻折
对称 伸缩
一、知识点及基本方法
1、画函数图象的依据：⑴解析式及定义域；⑵图象变换
2、图象变换类型：常用变换方法有四种，即平移变换、 伸缩变换、对称变换 和翻折变换
(1)平移变换：分为水平平移与竖直平移
y=f(x)
x
x－h ( h > 0 )
练习2：
已知 f(x)=log2|x|, g(x)=－x2+2，则f(x)g(x)的图象
只能是下图中的( )
y
y
y
y
x
x
x
x
A
B
C
D
解析：由f(x)g(x)是偶函数否定A、D，
当x→±∞时，f(x)g(x) →－∞，故选C.
2、画函数图象，由图象求解析式
例2 已知函数y=f (x)是在R上以2为周期的奇函数，在区 间［0,1）上的图象如下图所示，并已知该区间上图象是 一个二次函数的图象的一部分，点(1,1)是其顶点.试作出 y=f (x)在区间［－2,2］上的图象，并求该区间上的解析式.
(3)伸缩变换：
y=f(x)
x
ωx (ω>1)
纵坐标不变，横坐标缩短为原来的 1 倍 ω
y=f(x)
x
ωx ( 0 < ω < 1)
纵坐标不变，横坐标伸长到原来的 1倍 ω
y=f(x)
纵坐标伸长(A＞1)或缩短(0＜A＜1) 到原来的A倍，横坐标不变
y=f(ω x) y=f(ω x)
y= A f( x)
y
y
y
O
1x -1
-1 O
函数图象变换
y
y = 2|x-1|
把 y = 2|x| 图象向右平移1个单位 得到函数 y = 2|x-1| 的图象. 由图象知函数的对称轴为 x=1 ，
0
x
函数的单调增区间为 [1 ，+∞)， 单调减区间为 (-∞，1].
函数图象的四大变换之
对称变换
1 例6设f(x)= (x>0)，求函数y=-f(x)、y=f(-x)、y=x
∴ y = 2|x| 图象关于y轴对称.
y = 2|x|
0
x
例5.
先作出函数 y = 2|x| 的图象， 解： 2 x ••• x 0) x ( 2 •• x 0) ( | x| y 2 x 1 x 2 ( x 0) ( ) ( x 0) 2 又 y = 2|x| 是偶函数，
f(-x)的解析式及其定义域并分别作出它们的图象。
y
y=f(x) y=f(-x)
y
y=f(x)
y
y=f(x)
o
1
x
o
1
x
o
y=-f(-x)
1
x
y=-f(x)
对 称 变 换
图象关于 x轴对称
图象关于
图象关于
原点对称
y轴对称
例7.指数函数 y = 2x 的图象与函数 y = 2-x ，y=-2x ，y = -2-x 的图象的关系：
x 3
(3，4) 3 图象恒过定点 _________.
3 图象是由 y a 3
沿 x 轴向右平移 3 个单位，再
沿 y 轴向上平移 3 个单位所得 .
又 y a 图象过定点 0 ， ， （ 1 ）
三种图象变换：平移变换、对称变换和伸缩变换
三种图象变换：平移变换、对称变换和伸缩变换①平移变换：(h>0)Ⅰ、水平平移：函数()y f x a =+的图像可以把函数()y f x =的图像沿x 轴方向向左(0)a >或向右(0)a <平移||a 个单位即可得到；1）y=f(x)h 左移→y=f(x+h)；2）y=f(x) h 右移→y=f(x -h)；Ⅱ、竖直平移：函数()y f x a =+的图像可以把函数()y f x =的图像沿x 轴方向向上(0)a >或向下(0)a <平移||a 个单位即可得到；1）y=f(x) h 上移→y=f(x)+h ；2）y=f(x) h下移→y=f(x)-h 。
②对称变换：Ⅰ、函数()y f x =-的图像可以将函数()y f x =的图像关于y 轴对称即可得到； y=f(x) 轴y →y=f(-x)Ⅱ、函数()y f x =-的图像可以将函数()y f x =的图像关于x 轴对称即可得到；y=f(x) 轴x →y= -f(x)Ⅲ、函数()y f x =--的图像可以将函数()y f x =的图像关于原点对称即可得到；y=f(x) 原点→y= -f(-x)Ⅳ、函数)(y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像关于直线y x =对称得到。
y=f(x) x y =→直线x=f(y)Ⅴ、函数)2(x a f y -=的图像可以将函数()y f x =的图像关于直线a x =对称即可得到；y=f(x) a x =→直线y=f(2a -x)。
③翻折变换：Ⅰ、函数|()|y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像的x 轴下方部分沿x 轴翻折到x 轴上方，去掉原x 轴下方部分，并保留()y f x =的x 轴上方部分即可得到；Ⅱ、函数(||)y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像右边沿y 轴翻折到y 轴左边替代原y 轴左边部分并保留()y f x =在y 轴右边部分即可得到④伸缩变换：Ⅰ、函数()y af x =(0)a >的图像可以将函数()y f x =的图像中的每一点横坐标不变纵坐标伸长(1)a >或压缩（01a <<）为原来的a 倍得到；y=f(x)ay ⨯→y=af(x)Ⅱ、函数()y f ax =(0)a >的图像可以将函数()y f x =的图像中的每一点纵坐标不变横坐标压缩(1)a >或伸长（01a <<）为原来的1a倍得到。
函数图像的三种变换平移变换
函数图像的三种变换一 、平移变换函数图象的平移变换，表现在函数图象的形状不变，只是函数图象的相对位置在变化，其平移方式可分为以下两种： 沿水平方向左右平行移动比如函数()y f x =与函数()(0)y f x a a =->，由于两函数的对应法则相同，x a -与x 取值范围一样，函数的值域一样。
以上三条决定了函数的形状相同，只是函数的图象在水平方向的相对位置不同，如何将函数()y f x =的图象水平移动才能得到函数()y f x =的图象呢？因为对于函数()y f x =上的任意一点（11,x y ），在()y f x a =-上对应的点为11(,)x a y +，因此若将()y f x =沿水平方向向右平移a 个单位即可得到()(0)y f x a a =->的图象。
同样，将()y f x =沿水平方向向左平移a 个单位即可得到()(0)y f x a a =+>的图象。
沿竖直方向上下平行移动比如函数()y f x =与函数()(0)y f x b b =+>，由于函数()y f x =函数()(0)y b f x b -=>中函数y 与y b -的对应法则相同，定义域和值域一样，因此两函数形状相同，如何将函数()y f x =的图象上下移动得到函数()y b f x -=的图象呢？因为对于函数()y f x =上的任意一点（11,x y ），在()(0)y b f x b -=>上对应的点为11(,)x y b +，因此若将()y f x =沿竖直方向向上平移a 个单位即可得到()(0)y b f x b -=>的图象。
同样，将()y f x =沿竖直方向向下平移a 个单位即可得到()(0)y b f x b +=>的图象。
据此，可以推断()y f x a b =±±(0,0)a b >>为水平方向移动a 个单位，“左加右减”，竖直方向移动b 个单位，“上加下减”。
函数图象的三种变换
(2)如图数图象的三种变换函数的图象变换是高考中的考查热点之一，常见变换有以下3种：一、平移变换例1设fx)=X2，在同一坐标系中画出：(1)y=fx),y=fx+1)和y=f(x-1)的图象，并观察三个函数图象的关系；(2)y=fx),y=fx)+1和y=f(x)-1的图象，并观察三个函数图象的关系.解(1)如图点评观察图象得：y二fx+1)的图象可由y二fx)的图象向左平移1个单位长度得到；y二fx-1)的图象可由y二fx)的图象向右平移1个单位长度得到；y二fx)+1的图象可由y二fx)的图象向上平移1个单位长度得到；y二fx)-1的图象可由y二fx)的图象向下平移1个单位长度得到.二、对称变换_例2设fx)=x+1,在同一坐标系中画出y=fx)和y=f(—x)的图象，并观察两个函数图象的关系.解画出y二fx)二x+1与y二f(-x)二-x+1的图象如图所示.由图象可得函数y二x+1与y二-x+1的图象关于y轴对称.小点评函数y二fx)的图象与y二f(-x)的图象关于y轴对称;函数y二fx)的图象与y二-fx)的图象关于x轴对称；函数y二fx)的图象与y二-f(-x)的图象关于原点对称.三、翻折变换例3设fx )=x +l ,在不同的坐标系中画出y =fx )和y =|fx )1的图象，并观察两个函数图象的关系.解y 二fx )的图象如图1所示，y 二|fx )l 的图象如图2所示.点评要得到y 二fx )l 的图象,把y 二fx )的图象中x 轴下方图象翻折到x 轴上方，其余部分不变.例4设fx )=x +1,在不同的坐标系中画出y =fx )和y =f(\x\)的图象，并观察两个函数图象的关系.解如下图所示.点评要得到y 二f (\x \)的图象，先把y 二fx )图象在y 轴左方的部分去掉，然后把y 轴右边的对称图象补到左方即可.小结：y €f(x)——,y =f x )\将x 轴下方图象翻折上去y €f(x)——留y 轴右侧图象,y =f (\x \).并作其关于y 轴对称的图象—如图:y+y=f(x)四函数图象自身的对称性 1•函数y =f(x)的图象关于直x =a 2b对称…f (a +x )€f (b -x )…f (a +b -x)=f(x)2•函数y =f(x)的图象关于点(a,b)对称…2b -f(x)=f(2a -x)…f (x )€2b —f (2a —x )…f(a +x)+f(a -x)=2b3.若f(x)€-f (-x),则f(x)的图象关于原点对称，若f(x)=f(-x),则f(x)的图象关于y 轴对称。
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函数图象的三种变换
函数的图象变换是高考中的考查热点之一，常见变换有以下3种：
一、平移变换
2，在同一坐标系中画出：＝x设f(x)例1
(1)y＝f(x)，y＝f(x＋1)和y＝f(x－1)的图象，并观察三个函数图象的关系；
(2)y＝f(x)，y＝f(x)＋1和y＝f(x)－1的图象，并观察三个函数图象的关系．解(1)如图
(2)如图
点评观察图象得：y＝f(x＋1)的图象可由y＝f(x)的图象向左平移1个单位长度得到；y＝f(x－1)的图象可由y＝f(x)的图象向右平移1个单位长度得到；
y＝f(x)＋1的图象可由y＝f(x)的图象向上平移1个单位长度得到；
y＝f(x)－1的图象可由y＝f(x)的图象向下平移1个单位长度得到．
小结：
二、对称变换的图象，并观察两个函数图)－xy＝f(x＋1，在同一坐标系中画出y＝f()和x例2设f(x)＝象的关系．1的图象如图所示．＝－x＋x与y＝f(－)＋y解画出＝f(x)＝x1
由图象可得函数y＝x＋1与y＝－x＋1的图象关于y轴对称．
点评函数y＝f(x)的图象与y＝f(－x)的图象关于y轴对称；
函数y＝f(x)的图象与y＝－f(x)的图象关于x轴对称；
函数y＝f(x)的图象与y＝－f(－x)的图象关于原点对称．
三、翻折变换
例3 设f(x)＝x＋1，在不同的坐标系中画出y＝f(x)和y＝|f(x)|的图象，并观察两个函数1 / 6
.
图象的关系．
解y＝f(x)的图象如图1所示，y＝|f(x)|的图象如图2所
示．
点评要得到y＝|f(x)|的图象，把y＝f(x)的图象中x轴下方图象翻折到x轴上方，其余部分不变．例4 设f(x)＝x＋1，在不同的坐标系中画出y＝f(x)和y＝f(|x|)的图象，并观察两个函数图象的关系．
解如下图所
示．
点评要得到y＝f(|x|)的图象，先把y＝f(x)图象在y轴左方的部分去掉，然后把y轴右边的对称图象补到左方即可．
小结：
保留x轴上方图象y?f(x)????????y＝|f(x)|. 将x轴下方图象翻折上去保留y轴右侧图象y?f(x)?????????y＝f(|x|). 并作其关于y轴对称的图象如图：
y yy函数图象自身的对称性四y=f(x)y=f(|x|)y=|f(x)|a?b?f(a?x)?f(b?x)?f(a?b?(x)x)?f(x)y?f?x函数对称的图象关于直
1.2a ox cba xo c xo bcab y?f(x)(a,b)?2b?f(x)?f(2a?x)对称函数的图象关于点
2.?f(x)?2b?f(2a?x)?f(a?x)?f(a?x)?2b
f(x)??f(?x)f(x)f(x)?f(?x)f(x)的图象的图象关于原点对称，若 3.若，则，则y轴对称。
关于基础训练
1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)当x∈(0，＋∞)时，函数y＝|f(x)|与y＝f(|x|)的图象相同. (×)
(×)
的图象关于原点对称f)＝(2)函数yf(x与y＝－(x).
(3)若函数y＝f(x)满足f(1＋x)＝f(1－x)，则函数f(x)的图象关于直线x＝1对称. (√)
(4)将函数y＝f(－x)的图象向右平移1个单位得到函数y＝f(－x－1)的图象.
(×)
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.
如图所示的四个容器高度都相同，将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中，注满2.之间的关系，其中不正确的有t为止．用下面对应的图象显示该容器中水面的高度h和时间)
(
．4个个 D B．2个C．3A．1个之间的函数关系式h和时间t解析对于一个选择题而言，求出每一幅图中水面的高度既无必要也不可能，因此可结合相应的两幅图作定性分析，即充分利用数形结合．对于第一幅图，不难得知水面高度的增加应是均匀的，因此不正确；对于第二幅图，随着时间的增加，越往上，增加同一个高度，需要的水越多，因此趋势愈加平缓，因此正确；同理可分析第三幅图、第四幅图都是正确的．A. 故只有第一幅图不正确，因此选A 答案
是典型的数形结合问题，本题考查函数的对应关系．由容器的形状识别函数模型，点评近两年的高考越来越注重对”有利于克服死记硬背，更突出了思维能力的考查．“只想不算理性思维能力的考查．的函数关系的图象如图所示，与水深h3.向高为H的水瓶中注水，注满为止．如果注
水量V)
那么水瓶的形状是
(
VH0，即水深至一半时，实际注水量大于水瓶总水>＝，此时注水量V′解析取水深h22 量的一半．VV00B.
、D，选V′＝，故排除A、C，A中V′<C、D中221 )．1－的图象是(4．函数y＝
1x－
1－1－＝1个单位，再向上平移一个单位，解析将y即可得到函数y＝的图象向右平移1
x1x－B
答案的图象．
)，则图②的图象对应的函数为xfy5．已知图①中的图象对应的函数为＝()(．3 / 6
.
A．y＝f(|x|) B．y＝|f(x)| C．y＝f(－|x|) D．y＝－f(|x|)
?，0，x≥f?－x???C
答案|)解析y＝f(－|x＝?0.＜?，xf?x?2a???yxx a y与曲线．的取值范围是＝1有四个交点，则________6.直线
2axy?x??是偶函数如图所示，51?a1?1?aa???44是对称；已知的图像关于__________7.已知是偶函数，则)2xff(x?2)(f(x)?.
____________对称偶函数，则函数的图像关于)(xf) ((1－x)的图象为y8.已知＝f(x)的图象如图所示，则y＝f
的图象按照如下变换得)的图象可以由y=f(xxf（-(x-1)）,故y=f(1-解析: )Af［因为(1-x)=的图象向右平移一个)x的图象，然后将y=f(-x()的图象关于y轴翻折，得y=f(-x)到：先将y=f ］(-x+1)
的图象.单位，即得y=f 分别画出下列函数的图象：9.2＋x2)?1?x?2(xy(1) 3）（y |(1)y＝x－2|x－1；(2)＝. 1－x2??x≥0xx－2－1??.
图象如图③＝.(1)y?2?0x－1?x＜2x＋??33个单位，再向上平移1个单位，＝＋y＝1，先作出y 的图象，将其图象向右平移1因(2)x1x－2x＋.
的图象，如图④＝即得y1x－4 / 6
.
10.若函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝－f(x＋1)的图象大致为_____.
. 的图象x＋1))的图象，再得到y＝－f(y＝f(x)的图象可先得到y＝－f(x思维启迪从轴对称xx)的图象关于需要先将y＝f(x)的图象得到y＝－f(x＋1)的图象，y解析要想由＝f(的图象，根据上述步骤可1)x＋的图象，然后再向左平移一个单位得到)y＝－f(得到y＝－f(x ③答案正确. 知③2的单调区间，并指出其增减性；x)3|.(1)求函数f(x)＝|xx－4＋11．已知函数f( ．有四个不相等的实根}x)＝m求集合M＝{m|使方程f((2)2?，＋∞－∞，1]∪[32?－1，x∈?x?－??＝f(x)解
?2?3?1，?－2＋1，x∈－?x??
作出函数图象如图．(1)函数的增区间为[1,2]，[3，＋∞)；函数的减区间为(－∞，1]，[2,3]．(2)在同一坐标系中作出y＝f(x)和y＝m的图象，使两函数图象有四个不同的交点(如图)．
由图知0<m<1，∴M＝{m|0<m<1}．
112.已知函数f(x)的图象与函数h(x)＝x＋＋2的图象关于点A(0,1)对称.求f(x)的解析式；(2)x 解析：(1)设f(x)图象上任一点P(x，y)，则点P关于(0,1)点的对称点P′(－x,2－y)在h(x)11的图象上，即2－y＝－x－＋2，∴y＝f(x)＝x＋(x≠0).
xx2－2x＋3，试求f(x)在x>0xy．已知函数＝f()的图象关于原点对称，且x时，f()＝x R上的13表达式，并画出它的图象，根据图象写出它的单调区间．
解：∵f(x)的图象关于原点对称，∴f(－x)＝－f(x)，∴当x＝0时，f(x)＝0.
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.
22－2x－x)＝－x3.
<0x－2x＋3，∴当x时，f(x时，又当x>0 f()＝2?，x>032x＋，x－??，0，0x＝作出函数的图象如图．＝)(∴函数的解析式为fx??2<0.－2x－－x3，x Array根据图象可以得函数的增区间为(－∞，－1)，(1，＋∞)；函数的减区间为(－1,0)，(0,1)．
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