第一次作业

1、举出两三个实例说明建立数学模型的必要性，包括实际问题的背景，建模目的，需要的模型以及怎样应用模型。

一,减肥模型
【问题背景】
在国人初步过上小康生活以后，不少自感肥胖的人纷纷奔向减肥食品的柜台，可是大量事实说明，大多数减肥食品达不到减肥目的，或者即使能减肥也一时难以维持下去，许多医生和专家的意见是，人体内的能量是守恒的，要想达到预期减肥效果，只有两种有效的方式，第一是控制饮食，第二是增加运动量，并且在不伤害身体健康的条件下，体重的减少也不宜过快过多。

我们用联合国发布的体重指数来衡量是否达到正常体重，即体重指数（BMI ）=体重/身高的平方，当<BMI <25时为正常，25≤BMI <30为超重，而BMI ≥30时即为肥胖。

【建模目的】
在不伤害身体的条件下，采用两种有效的减肥方式，即通过控制饮食和增加运动量，在一定时间内达到预期的减肥效果。

【模型类型】
差分方程模型 ()()()()k W k c k W k W βα-++=+11
【模型应用】
符号说明：
()1+k W ：第1+k 周体重
()k W ：第k 周体重
α：热量消耗系数
β：代谢消耗系数
第1+k 周体重等于第k 周体重加上第1+k 周所摄入能量转化的体重减去代谢消耗转化的体重。

以周为单位作为减肥周期，分两个阶段进行减肥:
第一阶段：在无运动的情况下，每周减少固定体重
第二阶段：热量保持不变，使体重由第一阶段末的体重值减到预期体重 ①无运动情况下只通过饮食减少热量；
②通过控制饮食和增加运动减少热量；
二、捕鱼持续增长模型
【问题背景】
渔业资源是一种再生资源，突然增加单一的个体或少数几个个体，与全体数量相比增长率是微小的，而种群的增长是种群个体死亡与繁殖共同作用的结果，
同时资源有限的生存环境也对种群的繁衍生长有抑制作用，因此，建立数学模型讨论即使鱼量保持稳定又能获得最大捕鱼量和最佳经济效益是必要的。

【建模目的】
在渔场中捕鱼从长远利益来看，我们希望渔场中的鱼量在保持稳定的前提下，能够获得最大捕鱼量和最佳经济效益。

【模型类型】
微分方程模型
【模型应用】
符号说明：
b ：增长率
x ：鱼量
c ：捕捞率
K ：资源有限情况下最大鱼量
1、无捕捞时，鱼量变化符合Logistic 模型，即
⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=K x bx dt dx 1 2、有捕捞时，鱼量变化与捕捞量有关，即
cx K x bx dt dx -⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=1 通过模型建立求解，我们可以控制捕捞强度，在渔场鱼量稳定在某个值的前提下，保证获得最大鱼量，使得渔场获得最优的经济效益。

三、蛛网模型
【问题背景】
商品的生产销售具有一定的滞后性，因此市面上经常出现某一商品由于过度需求、厂家过度生产造成的后期商品堆积现象，为此，我们根据商品的价格与其产量之间的必然联系，通过对商品生产销售周期的考察，分析商品价格与其产量之间的变化规律，使得商品价格及其产量稳定在某一水平，避免产品滞销与供不应求现象。

【建模目的】
通过合理假设，建立模型，分析其结果，以此来调控消费者对需求的敏感度和生产者对价格的敏感度，使得商品的产量与价格达到稳定状态。

【模型类型】
差分方程模型
【模型应用】
符号说明:
()k x :产量
()k y :商品价格
α:消费者对需求的敏感度
β：生产者对价格的敏感度
利用线性近似模型进行稳定性分析，得到产品产量与价格的稳定点 ()()()11x k x y k y --=-α
()()()111y k y x k x -=-+β
()11,y x 为稳定点
通过对模型的建立、求解及分析，得出使商品的产量与价格趋于稳定的合理方案。

2、从下面不太明确的叙述中确定要研究的问题，要考虑哪些有重要影响的变量及因素
（1）一家商场要建立一个新的停车场，如何规划照明设施
【研究问题】
在商用停车场中为便捷车主取车停车，在照明设施费用花费最少的情况下，能够获得最佳照明效果。

【变量】
照明设施成本，灯的数量，总花费。

【影响因素】
① 考虑照明设施的平均照度，商用停车场的照度应高于民用停车场； ② 考虑初装成本与运营成本，选择长寿命，低光衰的光源（如LCD 螺旋灯），高效节能型照明设施，并考虑各种节能设施的费用；
③ 以车道照明为主，车位照明为辅，以此考虑车位灯与车道灯的区别；
④ 出入口安装照明设施，并且其照度应比停车场内高，减少白洞与黑洞效应； ⑤ 行人取车或下车离开时，步行路段照明应按普通人行道路考虑其照明设施 ⑥ 在出入口中设置标志照明，作为车辆进出的提醒信号；
⑦ 在停车场中安装感应设施（如红外线的使用），智能控制照明设施的开关，节省资源。

分析易知，总费用=照明设备的费用+电费+后期维护费用，其中照明设备的费用包括车位灯，车道灯，普通照明灯，标志照明灯等，我们可以根据以上的影响因素来对模型进行合理的假设，同时考虑在实际情况下商用停车场照明设施的基本要求，建立优化模型，以此确定最优照明方案，并使总花费用最少。

（2）一制造商要确定某种产品的产量及定价
【研究问题】
通过控制产量及定价，使制造商获得最大利润。

【变量】
成本，产量，定价，利润。

【影响因素】
内部因素：
①产品成本（原材料，人力，物流，销售，财务，水电费，机器设备的磨损，管理费）；
②产品的生产难易程度，生产成本随产量的变化关系；
③制造商的制造能力，生产者的生产技术水平；
④产品生产销售周期，产品的生产销售有一定的滞后性，因此，大批量的盲目生产可能带来销售价格的大幅波动；
⑤产品的相互关联性，其他产业产品及厂商数量会对该产品产量有一定的影响；外部因素：
①市场环境，所需该产品的客户年龄段，收入水平等；
②市场结构，市场对产品的需求量和制造商对产品的供应量；
③竞争因素，同类型产品的知名度、数量、质量等；
④市场经济状况及政府的干预政策。

分析易知，利润=产量×（单位定价-单位成本），产品产量和定价与上阶段的生产销售情况有关，我们可以利用以上影响因素和厂商的实际生产情况，对产品的单位成本进行合理假设，利用限制条件，进行优化模型的建立求解，合理控制产品的产量和定价，使得厂商获得的利润最大。

（3）卫生部门要确定一种新药对某种疾病的疗效
【研究问题】
影响这种新药疗效的因素。

【变量】
用药剂量，治愈时间，治愈效果。

【影响因素】
①病人的个体差异，如性别，年龄，心理状态，病理状态（疾病的进展程度、
并发症等），血液浓度，遗传因素，饮食习惯等；
②药物自身性质及用药剂量、剂型、温度等；
③药物本身的副作用及该药物与其他药物联合用药产生的协同或拮抗作用；
④病人从接受治疗起所需治愈时间长短；
⑤病人治愈后机体防病能力和病人内在机能处于平衡状态。

根据实际情况，我们知道某种新药的疗效有多种影响因素，通过对以上因素的分析，我们进行合理的假设，建立数学模型，定量分析，得到影响这种新药疗效的关键因素。