北京市海淀区2018届高三一模文科数学word

海淀区高三年级第二学期期中练习数 学（文科） 2018.4本试卷共4页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将答题纸交回。

第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

(1)已知集合{}0,A a =，{}12B x x=-，且A B ⊆，则a 可以是(A) 1- (B)0 (C)l (D)2 (2)已知向量a =(l ，2)，b =（1-，0），则a +2b =(A)（1-，2） (B)（1-，4） (C)(1，2) (D) (1，4） (3)下列函数满足()()=0f x f x +-的是 (A)()f x =(B) ()ln f x x =(C) 1()1f x x =- (D) ()co s f x x x =(4)执行如图所示的程序框图，输出的S 值为 (A)2 (B)6 (C)8 (D) 10 (5)若抛物线22(0)y p x p=上任意一点到焦点的距离恒大于1，则p 的取值范围是 (A) 1p (B)1p(C) 2p(D) 2p(6)如图，网格纸上小正方形的边长为1，若四边形A B C D 及其内部的点组成的集合记为M ，(,)P x y 为M 中任意一点，则y x -的最大值为(A)1 (B)2 (C) 1- (D) 2-(7)已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，则“nn S n a 对，2n ≥恒成立”是“数列{}n a 为递增 数列”的(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件(8)已知直线l ：(4)y k x =+与圆22(2)4x y ++=相交于A B ，两点，M 是线段A B 的中点，则点M 到直线3460x y --=的距离的最大值为(A)2 (B)3 (C)4 (D)5第二部分（非选择题，共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

(9)复数21i i=+ .( 10)已知点(2，0)是双曲线C ：2221x ya-=的一个顶点，则C 的离心率为 .( 11)在A B C ∆中，若2c =，a =6A π∠=，则sin C = ，s 2co C = .( 12)某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积是. ( 13)已知函数1()=c o s f x x x+，给出下列结论：①()f x 在0)2π（，上是减函数；②()f x 在0)π（，上的最小值为2π；③()f x 在0)π（，2上至少有两个零点，其中正确结论的序号为 .（写出所有正确结论的序号） ( 14)将标号为1，2，…，20的20张卡片放入下列表格中，一个格放入一张卡片．把每列标号最小的卡片选出，将这些卡片中标号最大的数设为a ；把每行标号最大的卡片选出，将这些卡片中标号最小的数设为b ．甲同学认为a 有可能比b 大，乙同学认为a 和b 有可能相等．那么甲乙两位同学中说法正确 的同学是 .三、解答题共6小题，共80分。

解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。

( 15)（本小题13分）已知等比数列{}n a 满足以，1=1a ，521=8a a ．( I)求数列{}n a 的通项公式；(Ⅱ)试判断是否存在正整数n ，使得{}n a 的前n 项和n S 为52？若存在，求出n 的值；若不存在，说明理由．( 16)（本小题13分）函数()3sin ()f x x x ωϕ=+（0,2πωϕ）的部分图象如图所示，其中0x 是函数()f x 的一个零点． (I)写出ωϕ，及0x 的值； (Ⅱ)求函数()f x 在区间[,0]2π-上的最大值和最小值．( 17)（本小题13分）流行性感冒多由病毒引起，据调查，空气相对湿度过大或过小时，都有利于一些病毒的繁殖和传播．科学测定，当空气相对湿度大于65%或小于40%时，病毒繁殖滋生较快，当空气相对湿度在45%—55%时，病毒死亡较快，现随机抽取了全国部分城市，获得了它们的空气月平均相对湿度共300个数据，整理得到数据分组及频数分布表，其中为了记录方便，将空气相对湿度在a %～b %时记为区间[,)a b ．(I)求上述数据中空气相对湿度使病毒死亡较快的频率；(Ⅱ)从区间[ 15，35）的数据中任取两个数据，求恰有一个数据位于[25，35）的概率； (Ⅲ)假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计样本中空气月平均相对 湿度的平均数在第几组（只需写出结论）．(18)（本小题14分）如图，四棱锥E A B C D -中，1//,12A DBC AD A b AE B C ====，且B C ⊥平面A B E ，M 为棱C E 的中点．(I)求证：D M ∥平面A B E ;(Ⅱ)求证：平面C D E ⊥平面C B E ;(Ⅲ)当四面体D A B E -的体积最大时，判断直线A E 与直线C D 是 否垂直，并说明理由．( 19)（本小题14分）已知椭圆C 的两个焦点为12(1,0),(1,0)F F -，离心率为12．(I)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)设点A 是椭圆C 的右顶点，过点1F 的直线与椭圆C 交于P ，Q 两点，直线A P ，A Q与直线4x =-分别交于M ，N 两点．求证：点1F 在以M N 为直径的圆上．( 20)（本小题13分）已知函数()=e s in xf x x a x -(I)当0a =时，求曲线()y f x =在(0,(0))f 处的切线方程； (Ⅱ)当0a ≤时，判断()f x 在3[0,]4π上的单调性，并说明理由；(Ⅲ)当1a时，求证：3[0,]4x π∀∈，都有()0f x ≥．海淀区高三年级第二学期期中练习数学(文)参考答案与评分标准 2018.4一．选择题:本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．1i + 10211133， 12．3+32π 13．①③ 14. 乙三．解答题：本大题共6小题，共80分。

解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．解：（Ⅰ）设{}n a 的公比为q ， 因为 521=8a a ，且352=a a q ，所以 318q = ，得 21=q所以1111(1,2,)2n nn a a qn --=== ………………6分（Ⅱ）不存在n ，使得{}n a 的前n 项和n S 为52因为11a =，21=q ，所以⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-⎪⎭⎫⎝⎛-=n nn S 2112211211 ………………10分方法1： 令52n S =，则152(1)22n-=得24n=-，该方程无解. 所以不存在n ，使得{}n a 的前n 项和n S 为52. ………………13分方法2：因为对任意*∈N n ，有1211<-n，所以 22112<⎪⎭⎫⎝⎛-=n n S 所以不存在n ，使得{}n a 的前n 项和n S 为52。

………………13分16．解：（Ⅰ）0112,,.612x ωϕππ===………………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，()3s in (2)6f x x π=+因为[,0]2x π∈-，所以52[,]666x πππ+∈-当2=,62x ππ+- 即 =3x π-时，()f x 的最小值为3-.当2=,66x ππ+即 =0x 时，()f x 的最大值为32. ………………13分17．解：（Ⅰ）由已知，当空气相对湿度在45%%55时，病毒死亡较快.而样本在[45,55)上的频数为30， 所以所求频率为301=30010………………3分（Ⅱ）设事件A 为“从区间[15,35)的数据中任取两个数据，恰有一个数据位于[25,35)” 设区间[15,25)中的两个数据为12,a a ，区间[25,35)中的三个数据为123,,b b b ， 因此，从区间[15,35)的数据中任取两个数据，包含12111213212223121323(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,)a a a b a b a b a b a b a b b b b b b b 共10个基本事件，而事件A 包含111213212223(,),(,),(,),(,),(,),(,)a b a b a b a b a b a b 共6个基本事件， 所以63()105P A ==. …………………….…10分（Ⅲ）第6组. …………………….…13分18．（Ⅰ）证明：取线段E B 的中点N ，连接,M N A N .DABCM EN因为M 为棱C E 的中点，所以在C B E ∆中//M N B C ，12M N B C =.又//A D B C ，12A DBC =,所以//,M N A D M N A D =.所以四边形D M N A 是平行四边形, 所以//D M A N . 又D M ⊄平面A B E , A N ⊂平面A B E ,所以//D M 平面A B E . （Ⅱ）因为A E A B =,N 为E B 中点,所以A N B E ⊥. 又B C ⊥平面A B E ,A N ⊂平面A B E ,所以B C A N ⊥ 又B C B E B =,所以A N ⊥平面B C E . 又//D M A N ，所以D M ⊥平面B C E . 因为D M ⊂平面C D E ,所以平面C D E ⊥平面C B E . .…………………….…9分（Ⅲ）A E C D ⊥. 设E A B θ∠=，1A D A B A E ===则四面体D A B E -的体积 sin V A E A B A D θ⨯⋅⋅⋅11=321s in 6θ=.当90θ=︒，即A E A B ⊥时体积最大. 又B C ⊥平面A B E ,A E ⊂平面A B E ,所以A E B C ⊥. 因为B C A B B =,所以A E ⊥平面A B C . 因为C D ⊂平面A B C D ，所以A E C D ⊥. .…………………….…14分19．解：（Ⅰ）由题意，设椭圆方程为22221(0)x y a b ab+=>> ，则222112c ca ab c=⎧⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎩得2,a b ==所以椭圆方程为221.43xy+= .…………………….…5分（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可得(2,0)A .当直线P Q 不存在斜率时，可得33(1,),(1,)22P Q ---直线AP 方程为()122y x =--，令4,x =-得(4,3)M -,同理，得(4,3)N --.所以()()113,3,3,3F M F N =-=--, 得110F M F N ⋅=.所以190M F N ∠=︒,1F 在以M N 为直径的圆上.当直线P Q 存在斜率时，设P Q 方程为()1y k x =+ ，()11,y x P 、()22,y x Q .由()221143y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得()22223484120k x k x k +++-=. 显然0∆>,221212228412,3434kkx x x x k k-+=-=++,直线AP 方程为11(2)2y y x x =--，得116(4,)2y M x --- ,同理， 226(4,)2y N x ---.所以12111266(3,),(3,)22y y F M F N x x --=-=---.121112369(2)()y y F M F N x x ⋅=+--2因为()()11221,1y k x y k x =+=+ 所以2121212123636(1)(1)(2)()(2)()y y k x x x x x x ++----=22()()212121212222222222223612()441283436()3441216121634936369kx x x x x x x x kkkk kkkkkk k+++=-++--+++=-++++-⋅==-所以110F M F N ⋅=所以90M F N ∠=︒,F 在以M N 为直径的圆上. .…………………….…14分综上，F 在以M N 为直径的圆上.20．解：（Ⅰ）当0a =时，()e s in x f x x =,'()e (s in c o s )xf x x x x =+∈R.得'(0) 1.f =又0(0)e s in 0=0f =,所以曲线()y f x =在(0,(0))f 处的切线方程为.y x = .…………………….…4分（Ⅱ）方法1：因为()e s in xf x x a x =-， 所以'()e (s in c o s )x f x x x a =+-.sin (+)4xx aπ=-因为3[0,]4x π∈，所以[,]44x πππ+∈.sin ()04xx π+≥.所以 当0a ≤时，'()0f x ≥，所以()f x 在区间3[0,]4π单调递增..…………………….…8分方法2：因为()e s in xf x x a x =-，所以'()e (s in c o s )x f x x x a =+-.令()'()g x f x =，则'()e (s in c o s )e (c o s s in )2e c o s xxxg x x x x x x=++-=，(),'()g x g x 随x 的变化情况如下表：当0a≤时，3(0)10,()04g a g a =->π=-≥.所以3[0,]4x π∈时，()0g x ≥，即'()0f x ≥，所以()f x 在区间3[0,]4π单调递增. (8)分（Ⅲ）方法1：由（Ⅱ）可知，当0a≤时，()f x 在区间3[0,]4π单调递增，所以3[0,]4x π∈时，()(0)0f x f ≥=.当01a <<时，设()'()g x f x =，则'()e (s in c o s )e (c o s s in )2e c o s xxxg x x x x x x=++-=，(),'()g x g x 随x 的变化情况如下表：所以'()f x 在[0,]2π上单调递增，在3(,]24ππ上单调递减因为'(0)10f a =->，3'()04f a π=-<，所以存在唯一的实数03(,)24x ππ∈，使得0'()0f x =，且当0(0,)x x ∈时，'()0f x >，当03(,]4x x π∈时，'()0f x <，所以()f x 在0[0,]x 上单调递增，()f x 在03[,]4x π上单调递减.又(0)0f =，3324433()304242f ea eππππ=⨯->⨯->>,所以当01a <<时，对于任意的3[0,]4x π∈，()0f x ≥.综上所述，当1a <时，对任意的3[0,]4x π∈，均有()0f x ≥..…………………….…13分方法2：由（Ⅱ）可知，当0a≤时，()f x 在区间3[0,]4π单调递增，所以3[0,]4x π∈时，()(0)0f x f ≥=.当01a <<时， 由（Ⅱ）可知，'()f x 在[0,]2π上单调递增，在3(,]24ππ上单调递减，因为'(0)10f a =->，3'()04f a π=-<，所以存在唯一的实数03(,)24x ππ∈，使得0'()0f x =，且当0(0,)x x ∈时，'()0f x >，当03(,]4x x π∈时，'()0f x <，所以()f x 在0[0,]x 上单调递增，()f x 在03[,]4x π上单调递减.又(0)0f =，3324433()304242e f ea eππππ-=⨯->⨯->>,所以当01a <<时，对于任意的3[0,]4x π∈，()0f x ≥.综上所述，当1a <时，对任意的3[0,]4x π∈，均有()0f x ≥. .……………。