高数下期中考试 (1)

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南昌航空大学高数(下)期中考试试题及答案1

.____________x )1,1,1(1y )xy arcsin()1y (x z .1轴的倾角是处的切线对上点曲线⎩⎨⎧=-+= 4:π解 .41a r c t a n ,1)]xy arcsin(0x [dx d )1,x (f x π==θ=⋅+=故 ,e z .2xy=设.__________dz)2,1(=则)dy dx 2(e :2+-解.e x1e y z,e 2)xy (e xz 2)2,1(xy )2,1(2)2,1(2xy)2,1(=⋅=∂∂-=-=∂∂._________,4z 31y x t z ,t y ,t x .332则切点的坐标是的切线平行于平面已知曲线=++===)1,1,1(:--解.1z ,1y ,1x 1t 0t t 21n T },31,1,1{n },t 3,t 2,1{T 22-==-=⇒-=⇒=++=⋅==.____________2z )y x (214z .422于所围成的立体的体积等与面曲面=+-=π4:解ππθπ402)8(2)212()21212(]2)(214[42202022222=-=-=--=-+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰r r rdr r d dxdyy x dxdy y x V xyxy D D则平面所围成的闭区域与是上半球面设,xoy )0z (1z y x .5222≥=++Ω.______zdxdydz =⎰⎰⎰Ω4:π解.44r 2s i n 2dr sin r cos r d d zdxdydz 1042022010220π=⋅ϕπ=ϕ⋅ϕϕθ=πππΩ⎰⎰⎰⎰⎰⎰则曲线积分的交线与平面是球面设,0z y x R z y x .62222=++=++Γ._________z y x ds222=++⎰Γ π2:解 .2R 2R 1R ds π=π⋅==∴⎰Γ原式._________)x (f ,xoy dy )x (f dx ye .7x =-+则分平面上是某函数的全微在设 )y (e :x ϕ+-解 .)y (e )x (f e )x (f )x (f x Q ,e y P x x x ϕ+-=⇒='⇒'-=∂∂=∂∂).B ()0,0()0,0()y ,x (,0)0,0()y ,x (,y x xy2z .822处在点函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=A ．A ．连续可导B ．不连续，可导C ．连续不可导D ．不连续不可导极限不存在解∴+=+→=→,k 1k2y x xy 2lim :2220kx y 0x .0)y ,0(z ,0)0,x (z y x ==).C ()1,1,2(B )1,1,2(A z xy 2u .92方向的方向导数为指向点在点处沿点函数---=35.A 37.B 310.C 2.D}2,2,1{B A ,2z 2z u,4x 2y u ,2y 2x u :A A A A A A -=-=-=∂∂==∂∂-==∂∂ 解,32c o s ,32c o s ,31c o s -===γβα.310)32()2(324312l u =-⋅-+⋅+⋅-=∂∂故).B (rdr )sin r ,cos r (f d .1012可以写成极坐标下的二次积分⎰⎰θθθπ⎰⎰-2yy 01dx)y ,x (f dy .A⎰⎰-2y101dx)y ,x (f dy .B ⎰⎰--2x1011dy)y ,x (f dx .C⎰⎰-2xx 01dy)y ,x (f dx .D.y 1x 01y 01r 020:2⎩⎨⎧-≤≤≤≤⇒⎪⎩⎪⎨⎧≤≤π≤θ≤解 11．设以O(0,0),A(1,1),B(1,-1)为顶点的三角形薄板上任意一点处的密度等于这点到原点的距离的平方，则薄片的质量M=（ B ）。

同济大学高等数学(下)期中考试试卷

同济大学高等数学（下）期中考试试卷1一.填空题（每小题6分） 1.有关多元函数的各性质：（A ）连续；（B ）可微分；（C ）可偏导；（D ）各偏导数连续，它们的关系是怎样的？若用记号“X ⇒Y ”表示由X 可推得Y ，则（）⇒（）⇒⎩⎨⎧)()(.2.函数),(y x f 22y xy x +-=在点)1,1(处的梯度为，该点处各方向导数中的最大值是 .3.设函数),(y x F 可微，则柱面0),(=y x F 在点),,(z y x 处的法向为，平面曲线⎩⎨⎧==00),(z y x F 在点),(y x 处的切向量为 .4.设函数),(y x f 连续，则二次积分=⎰⎰1sin 2),(xdy y x f dx ππ.(A)⎰⎰+ππydxy x f dy arcsin 1),(； (B)⎰⎰-ππydxy x f dy arcsin 10),(； (C) ⎰⎰+ydxy x f dy arcsin 1),(ππ；(D)⎰⎰-ydxy x f dy arcsin 1),(ππ.二.（6分）试就方程0),,(=z y x F 可确定有连续偏导的函数),(x z y y =，正确叙述隐函数存在定理.三.计算题（每小题8分）1.设),(y x z z =是由方程0),(=--z y z x f 所确定的隐函数，其中),(v u f 具有连续的偏导数且0≠∂∂+∂∂v f u f ，求y z x z ∂∂+∂∂的值.2.设二元函数),(v u f 有连续的偏导数，且1)0,1()0,1(==v u f f . 又函数),(y x u u =与),(y x v v =由方程组⎩⎨⎧-=+=bv au y bvau x （022≠+b a ）确定，求复合函数)],(),,([y x v y x u f z =的偏导数),(),(a a y x x z=∂∂，),(),(a a y x y z =∂∂.3.已知曲面221y x z --=上的点P 处的切平面平行于平面122=++z y x ，求点P 处的切平面方程.4计算二重积分：⎰⎰Dd y xσsin，其中D 是以直线x y =，2=y 和曲线3x y =为边界的曲边三角形区域.5.求曲线积分⎰-++L dy y x dx y x )()(2222，L 为曲线|1|1x y --=沿x 从0增大到2的方向.五.（10分）球面被一平面分割为两部分，面积小的那部分称为“球冠”；同时，垂直于平面的直径被该平面分割为两段，短的一段之长度称为球冠的高. 证明：球半径为R 高为h 的球冠的面积与整个球面面积之比为R h 2:.六.（10分）设线材L 的形状为锥面曲线，其方程为：t t x cos =，t t y sin =，t z =（π20≤≤t ），其线密度z z y x =),,(ρ，试求L 的质量.七.（10分）求密度为μ的均匀柱体122≤+y x ，10≤≤z ，对位于点)2,0,0(M 的单位质点的引力.同济大学高等数学（下）期中考试试卷2一.简答题（每小题8分）1.求曲线⎪⎩⎪⎨⎧+=+=-=t z t y t t x 3cos 12sin 3cos 在点⎪⎭⎫ ⎝⎛1,3,2π处的切线方程.2.方程1ln =+-xze y z xy 在点)1,1,0(的某邻域内可否确定导数连续的隐函数),(y x z z =或),(x z y y =或),(z y x x =？为什么？3.不需要具体求解，指出解决下列问题的两条不同的解题思路：设椭球面1222222=++c z b y a x 与平面0=+++D Cz By Ax 没有交点，求椭球面与平面之间的最小距离.4.设函数),(y x f z =具有二阶连续的偏导数，3x y =是f 的一条等高线，若1)1,1(-=y f ，求)1,1(x f .二.（8分）设函数f 具有二阶连续的偏导数，),(y x xy f u +=求y x u∂∂∂2.三.（8分）设变量z y x ,,满足方程),(y x f z =及0),,(=z y x g ，其中f 与g 均具有连续的偏导数，求dx dy.四.（8分）求曲线⎩⎨⎧=--=01,02y x xyz 在点)110(，，处的切线与法平面的方程. 五.（8分）计算积分）⎰⎰Dy dxdy e 2，其中D 是顶点分别为)0,0(.)1,1(.)1,0(的三角形区域.六.（8分）求函数22y x z +=在圆9)2()2(22≤-+-y x 上的最大值和最小值. 七.（14分）设一座山的方程为2221000y x z --=，),(y x M 是山脚0=z 即等量线1000222=+y x 上的点.（1）问：z 在点),(y x M 处沿什么方向的增长率最大，并求出此增长率；（2）攀岩活动要山脚处找一最陡的位置作为攀岩的起点，即在该等量线上找一点M 使得上述增长率最大，请写出该点的坐标.八.（14分）设曲面∑是双曲线2422=-y z （0>z 的一支）绕z 轴旋转而成，曲面上一点M 处的切平面∏与平面0=++z y x 平行. （1）写出曲面∑的方程并求出点M 的坐标；（2）若Ω是∑.∏和柱面122=+y x 围成的立体，求Ω的体积.。

高数下册期中试卷语文答案

一、选择题（每题5分，共20分）1. 下列函数中，可导函数是：A. y = |x|B. y = x^2C. y = x^(1/3)D. y = x^(-1)答案：B解析：可导函数的定义是，对于函数y=f(x)，如果对于定义域内的任意一点x，都存在一个唯一的切线，那么这个函数就是可导的。

在选项中，只有B项y = x^2是可导的，因为它的导数存在。

2. 若函数f(x)在区间[a, b]上连续，在(a, b)内可导，且f'(a) = f'(b)，则：A. f(x)在[a, b]上单调递增B. f(x)在[a, b]上单调递减C. f(x)在[a, b]上至少有一个极值点D. f(x)在[a, b]上没有极值点答案：C解析：根据罗尔定理，如果一个函数在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)内可导，且在区间端点处的导数相等，那么至少存在一个点c∈(a, b)，使得f'(c) = 0。

因此，f(x)在[a, b]上至少有一个极值点。

3. 下列极限中，正确的是：A. lim(x→0) (sinx/x) = 1B. lim(x→0) (1/x^2) = ∞C. lim(x→∞) (lnx/x) = 0D. lim(x→∞) (e^x/x) = ∞答案：D解析：选项A中的极限是洛必达法则的应用，但这里直接用洛必达法则是不恰当的，因为洛必达法则适用于“0/0”或“∞/∞”型的极限。

选项B和C中的极限都是无穷大或无穷小，不符合常规极限的定义。

选项D中的极限可以通过直接代入或洛必达法则求解，得到结果为∞。

4. 设f(x) = x^3 - 3x，则f'(x) = _______。

答案：3x^2 - 3解析：根据导数的定义，对函数f(x)求导，得到f'(x) = 3x^2 - 3。

5. 设f(x) = e^x - 2x，则f'(x) = _______。

答案：e^x - 2解析：同样根据导数的定义，对函数f(x)求导，得到f'(x) = e^x - 2。

高数期中考试题目及答案

高数期中考试题目及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 函数f(x)=x^3-3x+1的导数f'(x)为：A. 3x^2 - 3B. 3x^2 + 3C. x^3 - 3D. x^3 + 3答案：A2. 极限lim(x→0) (sin x) / x的值为：A. 0B. 1C. -1D. 2答案：B3. 定积分∫(0 to 1) (2x + 1) dx的值为：A. 1B. 2C. 3D. 4答案：C4. 微分方程dy/dx = 2x的通解为：A. y = x^2 + CB. y = 2x + CC. y = x + CD. y = 2x^2 + C答案：B二、填空题（每题5分，共20分）1. 函数f(x)=x^2-4x+3的极值点为______。

答案：22. 函数f(x)=e^x的n阶导数为______。

答案：e^x3. 函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6的拐点为______。

答案：24. 函数f(x)=ln(x)的定义域为______。

答案：(0, +∞)三、解答题（每题10分，共60分）1. 求函数f(x)=x^3-3x^2+2x-1的一阶导数和二阶导数。

答案：一阶导数f'(x)=3x^2-6x+2；二阶导数f''(x)=6x-6。

2. 计算定积分∫(0 to π) sin(x) dx。

答案：23. 解微分方程dy/dx - 2y = e^(2x)。

答案：y = (1/3)e^(2x) + C4. 求函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6的极值。

答案：极小值点x=2，极小值f(2)=3；极大值点x=3，极大值f(3)=4。

5. 证明函数f(x)=x^3+3x^2-3x-1在区间(-1,1)内单调递增。

答案：略6. 求函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6的凹凸性。

答案：二阶导数f''(x)=6x-6，令f''(x)>0得x>1，令f''(x)<0得x<1，故函数在(-∞, 1)上凹，在(1, +∞)上凸。

高数下期中考试

高等数学〔下册〕期中考试汇编<2013-5-5>一、解答下列各题〔70107=⨯'分〕1. 设xyz yxxy u e +-=,求(1,2,0)d z 2. 设曲线为32()(,,)r r t t t t ==,求它在对应于1=t 的点处的切线方程和法平面方程.3. 设有球面14222=++z y x ,求它在)1,2,3(处的切平面方程和法线方程.4. 设由方程0932222=--+++z xy z y x 可确定),(y x z z =,求yx z∂∂∂2在)1,2,1(-P 处的值.5. 设积分区域Ω由抛物面22y x z +=与平面0>=h z 所围成.求2d z v Ω⎰⎰⎰ 6. 计算二重积分⎰⎰+-=Dy x I σd )1(22,其中D 是由222a y x =+和ax y x =+22与0=x 所围在第一象限的区域. 7. 计算二重积分⎰⎰⎰⎰+=y yxy y xyx y x y I d e d d e d 121212141.8. 在圆锥面22y x h Rz +=与)0,0(>>=h R h z 所围的锥体内作一个底面平行于xoy 面的最大长方体,求此长方体的体积.9. 在一个侧面为旋转抛物面224y x z +=的容器内装有)(cm 83π的水,现注入)(cm 1283π的水,问水面比原来升高多少？10. 求向量值函数f 的导数,其中[].)sin(,e ,cos Tx xz y y x =f二、设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+y x f z y x ,e ,其中具有二阶连续偏导数,求.2y x f∂∂∂三、讨论函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠+++=0,00,1sin )(),(22222222y x y x y x y x y x f 在)0,0(点是否连续,是否可微. 四、设Ω是由曲面222y x a z --=与)0(22>-+=a a y x z 围成的空间立体,求Ω对oz 轴的转动惯量.z I五、设)(t f 在),0[+∞上连续,且满足方程⎰⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=Ωv y x f z t f d 211)(222,其中Ω是由不等式2224,0t y x h z ≤+≤≤所确定,求).(t f<2012-4-21>一．填空题〔每小题5分,共20分〕1．曲线2t x =,2,y t z t ==上相应于2=y 的点处的切线方程是2．xyz u arctan=在点)1,0,1(A 处沿点A 指向点)2,2,3(-B 方向的方向导数为 3．曲面01),,(322=+-++=z y xy x z y x F ,在点)6,1,2(-M 处的切平面方程为4．若函数y xy ax x y x f 22),(22+++=在点)1,1(-处取得极值,则常数=a二．计算下列各题〔每小题9分,共54分〕1〕计算dx xxe dy I yx sin )1(11⎰⎰+=2〕计算二重积分⎰⎰+D dxdy y x 22sin ,22224:ππ≤+≤y x D 3〕设),(22x y x f x z =,其中f 具有连续的二阶偏导数,求x z ∂∂和22x z∂∂4〕求椭球面123222=++z y x 被平面0=++z y x 截得的椭圆长半轴与短半轴之长. 5．在曲面1=++z c y b x a )0,0,0(>>>c b a 上作切平面,使该切平面与三坐标面所围成的体积最大,求切点的坐标.6．设函数)](1[),(22y x yf x y x F ++=,其中)(u f 二阶可导,① 求yx F x F ∂∂∂∂∂2,,② 求二重积分⎰⎰=Ddxdy y x F I ),(,其中D 是由3,1,1y x y x ===-围成的平面区域.三. <9分><学习工科数学分析者作<1>,其余作<2>>1〕设有二元向量值函数⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=xy y x y x f 2),(22 ,试求f 在点)1,1(处的导数与微分. 2>．设),(y x f z =,由0=+---zy x xey x 所确定,求dz 四．〔11分〕讨论函数32),(y x y x f =在点)0,0(处是否连续,偏导是否存在,是否可微？五．〔6分〕已知)(22y x u u +=有连续二阶偏导数,且满足222222y x yu x u +=∂∂+∂∂试求函数u 的表达式.<2011-4-23>一、填空题〔每小题5分共20分〕 1．函数)2sin(ln e ),(y x y x f x-=,在)0,4(π点处的全微分=z d .2．设22z xy u -=,则u 在点)1,1,2(-处的方向导数的最大值为.3．设有椭球面12222=++z y x ,则它在点)21,21,21(-处的切平面方程为4．设),(y x z z =由方程yzz x ln =所确定,则=∂∂22x z二．单选题〔每小题5分,共20分〕1．在曲线⎪⎩⎪⎨⎧=-==32t z t y tx 的所有切线中,与平面42=++z y x 平行的切线〔〕A ．只有1条B ．只有2条C ．只有3条D 不存在2．22201limcos()d d x y r De x y x y r π-→+=⎰⎰〔〕. 其中.:222r y x D ≤+ A ．π B ．1/π C ．1 D ．1-3．设),(y x f 连续,⎰⎰=ex y y x f x I 1ln 0d ),(d 交换积分次序后为〔〕A ．⎰⎰=ex x y x f y I 1ln 0d ),(d B ．⎰⎰=eey x y x f y I 1d ),(dC ．⎰⎰=x ex y x f y I ln 01d ),(d D ．⎰⎰=1d ),(d eey x y x f y I4．函数22222222sin 2(),0(,)0,0x y x y x y f x y x y ⎧++≠⎪+=⎨⎪+=⎩在点)0,0(处〔〕 A ．无定义 B ．连续 C ．有极限但不连续 D ．无极限三、〔10分〕设函数),(v u f 可微,),(y x z z =是由方程),(yz xz f xy z =+确定的可微函数,求,z zx y∂∂∂∂. 四、〔10分〕讨论函数(,)f x y =在)0,0(处连续性、可导性、可微性.五、〔10分〕在曲面222:y x z +=∑上求一点),,(000z y x p ,使它到平面062:=++-z y x π的距离最短.六、〔10分〕计算 24 212d d d d 22xxxI x y x y yyππ=+⎰⎰.七、〔10分〕计算二重积分.4:,d d sin222222ππ≤+≤+⎰⎰y x D y x y x D八、<4分><学习工科数学分析者作<1>,其余作<2>><1> 求向量值函数(,,)(cos ,,sin())x Tf x y z x y ye xz =的Jacobi 矩阵.<2> 求函数2(,2,3)z f x x y x y =+-的梯度<f 的偏导存在>.九. 〔6分〕求抛物面221z x y =++的一个切平面,使得它与抛物面与圆柱22(1)1x y -+=围成的体积最小,试写出切平面方程并求出最小体积.<2010-5-8>一、填空题〔每小题4分,共20分〕 1 设xyz yxxy u e +-=,则=)0,2,1(d z . 2 设⎪⎩⎪⎨⎧===t z t y t x 23,则它在1=t 所对应点处的切线方程为.3 设222lnz y x u ++=,则=)1,1,1(grad f .4 设22z xy u -=,则u 在点)1,1,2(-处沿方向⎭⎬⎫⎩⎨⎧=31,31,31l的方向导数为. 5 计算2222()d x y R x y σ+≤+⎰⎰.二、计算题〔每小题7分,共63分〕1 求曲面122-+=y x z 在点)4,1,2(的切平面方程和法线方程.2 计算⎰⎰-+-221111d sin d y yx xxyy . 3 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=x y x xf z 2,2,其中f 具有二阶连续偏导数,求y x z ∂∂∂2.4 讨论函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0,00,),(222222y x y x y x xyy x f 在点)0,0(的偏导数与可微性.5 设有形状为旋转抛物面的一容器,其中心轴截面与容器的截线方程为2y x =,现将长为l 的细棒AB 置于容器之中,试求细棒中点的最低位置<设1l <>.6 <学工科数学分析者作<1>,其他作<2>><1>求向量值函数T2222221),ln(),sin(⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡++-=z y z x y x f 在点T )1,1,1(处的导数.<2>求由方程05242222=-+-+-z x z y x 所确定的隐函数z 的二阶偏导数22xz ∂∂.7 计算二重积分⎰⎰+Dy x σd 22,其中}0,0,42|),{(22≥≥≤+≤=y x y x x y x D .8 若二元函数),(y x z 在xoy 平面上的任意一个有界闭区域内存在一阶连续的偏导数,且⎰⎰⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛-∂∂=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂D D y x z x x z xz y x x z d d 2d d 222,求函数),(y x z . 9 设函数()f t 在[0,)+∞上连续,且满足方程22224π4()e d d t x y t f t f x y +≤=+⎰⎰,求()f t .三、讨论题〔共17分〕1.计算二元函数(,)z f x y =在点00(,)P x y 处对x 的偏导数00(,)x f x y 时,可以先将0y y =代入(,)f x y 中,再求一元函数0(,)f x y 在0x 处对x 的导数,即0000(,)(,)x x x df x y f x y dx ==,为什么?2.试通过讨论函数224(,)128f x y x xy y =-+的极值点,来说明当点(,)x y 在过000(,)M x y 的任一直线L 上变动时,二元函数(,)f x y 都在000(,)M x y 处取得极值,能否断定该函数在000(,)M x y 处取得极值?〔2009-4-26〕一、填空题〔每小题3分,共15分〕1．若函数y xy ax x y x f 22),(22+++=在点)1,1(-处取得极值,则常数=a .2． )ln(e 2y x z x+=-,沿}0,1{=l 方向的方向导数=∂∂lz . 3．曲线2tan ,sin ,cos tz t y t x ===在点)1,1,0(处的切线方程是.4．交换二次积分的积分次序〔其中),(y x f 为连续函数〕=+⎰⎰⎰⎰-xx y y x f x y y x f x 20211d ),(d d ),(d 2.5．设)2,1,1(-M 是曲面),(y x f z =上的一点,若3)1,1(=-x f ,在任一点),(y x 处有),(),(),(y x f y x yf y x xf y x =+,则曲面在M 处的切平面方程是.二、单项选择题〔每小题3分,共15分〕1. 函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0,00,4),(222222y x y x yx xy y x f 在原点)0,0(间断的原因是),(y x f 〔〕 A. 在原点无定义 B. 在原点极限存在但在原点无定义C. 在原点极限不存在D. 在原点极限存在,但极限不等于原点的函数值 2. 函数10232),(22+--=y x xy y x f 在点)0,0(O 处〔〕A. 取得极大值B. 取得极小值C. 无极值D. 不能判定是否取得极值3. 设yxu arctan=则=)1,1(grad u 〔〕 A. 21B. 21-C. 11(,)22-D. 11(,)22-4. 设)(u f 是连续函数,平面区域)1|(|10:2≤-≤≤x x y D ,则⎰⎰+Dv y x f d )(22〔〕A.⎰⎰-+210221d )(d x y y x f x B.⎰⎰-+2102210d )(d y x y x f yC. ⎰⎰120d )(d ρρρθπf D.⎰⎰120d )(d ρρθπf5.比较⎰⎰+=Dy x I σd )(21与⎰⎰+=Dy x I σd )(32的大小,其中{}22(,)|(2)(2)2D x y x y =-+-≤,则〔〕A. 21I I =B. 21I I >C. 21I I ≤D. 21I I ≥三、解答题〔每小题8分,共64分〕1. 设22ln arctan y x xy z +-=,求x z ∂∂和y x z ∂∂∂2.2. 求曲面2=++z y x 上任一点处的切平面与三个坐标轴的截距之和.3. 计算二重积分⎰⎰+13102d 1d xy yxyx .4. 设y x t F Dy x d d e )(22sin ⎰⎰+=,其中222{(,)|}D x y x y t =+≤,求t t F t )(lim 2'→π.5. 讨论函数⎪⎩⎪⎨⎧+≠+++=22222222,001sin )(),(y x y x y x y x y x f 在原点)0,0(处的可微性.6. 设有一物体,它是由曲面22y x z +=和228y x z --=所围成,已知它在任意的点),,(z y x 处的密度z =μ,求此物体的质量m .7. <学习工科数学分析者作①,学习工科数学分析者作②>①求向量值函数⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=22),(y xy x y x f 的导数.② 设函数),(y x z z =由方程0),(2222=--z y y x F 所确定.其中(,)F u v 可微,0v zF ≠,求yz x x z y∂∂+∂∂. 8. 设),(xyx f z =,其中f 具有二阶连续偏导数,求z d 与y x z ∂∂∂2.四、综合题〔6分〕在第一卦限内作旋转抛物面221y x z --=的切平面,使得该切平面与旋转抛物面)0,0(122≥≥--=y x y x z 与三个坐标面所围成的立体的体积最小,求切点坐标.<2008.4.26>一.解答下列各题<每小题7分,共70分>1. 设2(,)arcsin ,y f x y x=求(,)df x y . 2. 设由方程0932222=--+++z xy z y x 可确定),(y x z z =,求(1,2,1)z x -∂∂,)1,2,1(2-∂∂∂y x z.3. 求曲面122-+=y x z 在点<2,1,4>的切平面与法线方程. 4. 求曲线2(sin ,,2)0r t t t t ==在时的切线与法线方程. 5. 设f 连续,交换积分次序2111(,)ydy f x y dx -⎰⎰.6. 计算二重积分.2222(sin 1)x y a x y dxdy +≤++⎰⎰7. 设空间立体Ω是由抛物面22y x z +=与平面0>=h z 所围成,已知它的密度为2),,(z z y x f =.试计算它的质量. 8. 求22z xy u -=在点(2,1,1)- 处的方向导数的最大值. 9. 求曲线(cos ,sin ,)r a t a t kt =的曲率. 10.〔学工科数学分析者做①,其它做②〕① 设,),(),(22Txy e y x y x f +=求)1,1(),1,1(df Df② 设方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧-==+22222vu xy uvy x ,确定了函数),(y x u u =和),(y x v v = 求x v x u ∂∂∂∂,. 二. 〔8分〕设),,(2xy y x f z =其中(2)f C ∈, 求y x z x z ∂∂∂∂∂2,. 三. 〔8分〕设⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0,00,),(2222222y x y x y x y x y x f ,试研究),(y x f 在<0,0>点处的连续性、可微性.四. 〔7分〕求曲面221z x y =++在点0(1,1,3)M -的切平面与曲面22z x y =+所围立体的体积..五. 〔7分〕设函数(,,)f x y z 在闭球体222:3x y z Ω++≤上有连续的偏导数,且满足条件：①在Ω内1,1,1f f fx y z∂∂∂===-∂∂∂, ②(1,1,1)11f =. 试求函数(,,)f x y z 并证明7(,,)13,(,,)f x y z x y z ≤≤∀∈Ω<20##>一、解答下列各题〔每小题7分,总计70分〕1、设(2,)z f x y xy =+,其中f 具有一阶连续偏导数,求dz .2、设arctan y z x=-求2z x y ∂∂∂.3、求曲面228xy z z+=,在0(2,2,1)M 处的切平面和法线方程.4、设22[,]xy Tf x y e =+,求(1,1),(1,1)Df df .〔求332233f x y x y =+--的极值〕5．求曲线22260x y z x y z ⎧++=⎨++=⎩在(1,2,1)-处的切线和法平面方程.6．若()f r 为可微函数,其中r =计算grad ()f r .7．在直角坐标系下,交换二次积分20(,)aa xa dx f x y dy -⎰⎰的积分次序.〔0,a f >连续〕.8．设有一物体由曲面z =和z =,已知它在任意一点(,,)M x y z 处的密度z μ=,求此物体的质量.9．一质量分布均匀〔密度为常数〕的物体Ω由曲面2222,1z x y x y =++=与0z =所围成,求此物体的质心坐标.10．计算212y xdx e dy ⎰.二、〔8分〕设(,)z z x y =由方程222()zx y z yf y++=确定,其中f 具有一阶连续偏导数,求z z yx x y∂∂-∂∂. 三、〔8分〕设222,(,)(0,0)(,)0,(,)(0,0)x yx y f x y x y x y ⎧≠⎪=+⎨⎪=⎩,试讨论f 在点<0,0>处的连续性和可微性.四、〔8分〕在第一卦限内作旋转抛物面221z x y =-+的切平面,使得该切平面与旋转抛物面221(0,0)z x y x y =-+>>与三个坐标面所围成的立体的体积最小,求切点的坐标.五、〔6分〕设(,)f x y 在单位圆221x y +≤上有连续的一阶偏导数,且在边界上取值为零,证明：2201(0,0)lim2x y Dxf yf f dxdy x y επ→+-=+⎰⎰,其中D 为圆环域2221x y ε≤+≤. <20##>一、解答下列各题〔每小题7分,总计70分〕1、设(,2,)z f x x y xy =+,其中f 具有一阶连续偏导数,求dz .2、设()yz f xy x=+,其中f 具有二阶连续偏导数,求22z x ∂∂3、求曲线2(){,,31}r t t t t =--上一点处与平面24x y z ++=平行的切平面方程. 4、求曲面222522z x y ++=的平行于平面221x y z ++=的切平面方程. 5、交换二次积分的积分次序：240(,)yydy f x y dx -⎰⎰.6、计算212y xdx e dy ⎰7、设()f u 是连续函数,试将2xdx f dy ⎰⎰在极坐标系下为二次积分.8、设函数(,,)6f x y z xy zx zy x y z =++---+,问在点(3,4,0)M 处沿怎样的方向l ,f 的变化率最大？并求此最大变化率. 9、计算二重积分22()Dx y dxdy +⎰⎰,其中D 为222x y x +=所围平面区域.10、〔注学习工科分析基础的作〔1〕,其余作〔2〕（1）证明等式21ln 2()()2Df xy dxdy f u du =⎰⎰⎰,其中D 是由直线,2y x y x ==与双曲线1,2xy xy ==所围成的位于第一象限的闭域.（2）把正数a 分成三个正数,,x y z 之和,并使23(,,)f x y z xy z =取得最大值.二、〔8分〕设222(,)z y f x y xy =-其中f 具有二阶连续偏导数,求2zx y∂∂∂.三、〔8分〕从平面薄圆板22(1)1x y +-≤的内部挖去一个园孔2211()24x y +-≤后,得到一个薄板,若其上名点处的密度为μ=求此薄板的质量.四、〔7分〕证明：(,)(0,0)(,)0,(,)(0,0)x y f x y x y ≠==⎩在点<0,0>处偏导数存在但不可微..五、〔7分〕若点0000(,,)M x y z 是光滑曲面(,,)0F x y z =上与原点距离最近的点,试证过点0M 的法线必定过坐标原点.<20##>一、解答下列各题〔每小题6分,总计12分〕1、求曲线ct z t b y t a x ===,sin ,cos 在点⎪⎪⎭⎫⎝⎛c b a 6,2,23π处的切线方程.2．将202(,)(,)RRR I dx f x y dy dx f x y dy =+⎰⎰化为极坐标系中先对r 后对θ的二次积分.二、解答下列各题〔每小题6分,总计12分〕1．在曲线223,2,t z t y t x ===上求点,使该点处曲线的切线平行于平面1478=-+z y x . 2、求曲面323=++z xz y x 在点<1,1,1>处的切平面方程. 三、〔8分〕计算⎰⎰-+=Ddxdy y xI |2|22,其中3:22≤+y x D .四、〔7分〕设()[()],()0g y z f x f x =>,其中g f ,为可微函数,求yzx z ∂∂∂∂,. 五、〔7分〕设函数),(s t f 具有连续的一阶偏导数,而)(xyz z y x f u ，++=,求du .六、〔7分〕证明：⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=)0,0(),(,0)0,0(),(,),(422y x y x y x xy y x f 在点<0,0>处不连续,但存在一阶偏导数.七、〔9分〕在椭球面196222=++z y x 上求距离平面2881243=++z y x 的最近点和最远点. 八、〔9分〕设)(),(x z z x y y ==是由方程()z xf x y =+和0),,(=z y x F 所确定的函数,其中f 和F分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数,求dxdz.九、〔9分〕设球体)0(2222>≤++a az z y x 中每点的质量密度与该点到坐标原点的距离平方成反比.试求该球体的质量与质心.十、〔9分〕试求正数λ的值,使得曲面λ=xyz 与曲面1222222=++cz b y a x 在某点相切.十一、〔8分〕设由0,ln ==y x y 与e x =所围的均匀薄板〔密度1=μ〕求此薄板绕哪一条垂直于x 轴的直线旋转时转动惯量最小？<20##>一、解答下列各题<每小题5分,总计15分>1、设j i a += ,k j i b 4 -+=, c i j =-,求c b a ⋅⨯)(.2、求曲线t z t y t x sin ,cos ,2===在点)22,22,16(2π处的切线方程. 3、设),(y x f 为连续函数,交换累次积分⎰⎰x xdy y x f dx 2 2),(的积分次序.二、解答下列各题<每小题6分,总计12分>1、试求平行于x 轴,且过点)2,1,3(-与)0,1,0(的平面方程.2、试求曲面32=+-xy e z z在点)0,2,1(处的切平面方程.三、<8分>设区域D 由x y x y x 2,12222≤+≤+与0≥y 所确定,计算二重积分⎰⎰+=Dd y x I σ22.四、<7分>设⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+=y x y x y x f arccos )1(),(,五、<7分>六、<7分>,且和两直线,1141:1--==z y x l2124:2-=-=-z y x l 都相交,求该直线的方程. 七、<9分>.八、<9分>设x y z e x z y x f u ysin ,0),,(),,,(2===ϕ,其中ϕ,f 具有一阶连续的偏导数,且0≠∂∂zϕ,求.dxdu 九、<9分>计算由曲面222,0,1,x y z y y x z ===+=围成的曲顶柱体的体积.十、<9分>求函数222z y x u ++=在点)3,0,1(-M 处沿椭球面11832222=++z y x 外法线方向的方向导数.十一、<8分>设),(y x f x '在),(00y x 点处连续,),(00y x f y '存在,试证),(y x f 在),(00y x 点处可微.<20##>一、解答下列各题<每小题6分,共60分>1．求向量p ,使其与}3,2,4{=a与}3,1,0{=b 都垂直,模为26,且与y 轴成钝角. 2．求过点)2,1,0(),1,0,1(21-M M 且垂直于平面0=++z y x 的平面方程.3．一直线在xoz 坐标面上,且通过原点,又垂直于直线152132-=-+=-z y x ,求它的对称式方程.4．设),(y x f z =,其中)(x y y =由方程0),(=y x φ确定,而φ,f 具有连续的一阶偏导数,且0≠'y φ, 求.dxdz5．设y x zcos )(ln =,求dz .6．求曲线⎩⎨⎧==21y x xyz 在)1,1,1(点处的切线和法平面方程. 7．求函数y x y xy x z +-+-=222极值.8．改变二次积分⎰⎰⎰⎰+--axa a xady y x f dx dy y x f dx 2),( ),( 0)0(>a 的积分次序,其中),(y x f 连续. 9．计算积分⎰⎰-+2202220)( x x dy y x dx .10．求函数z y x u ++=在点)1,0,0(M 处沿球面1222=++z y x 的外法线方向的方向导数.二、〔10分〕设函数),(yxxy f z =,其中),(v u f 具有二阶连续的偏导数,求y x z x z ∂∂∂∂∂2,. 三、〔10分〕试讨论函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠+= )0,0(),( 0)0,0(),(),(2222y x y x y x y x y x f 在)0,0(处的连续性与可微性.四、〔10分〕设半径为r 的球面)(1S 其球心位于定球面2222:)(a z y x S =++上,试求r 的值,使得球面)(1S 位于定球面)(S 内部的那一部分面积取得最大值.五、〔10分〕证明：抛物面122++=y x z 上任一点处的切平面与曲面22y x z +=所围成的立体的体积为一定值.。

高数期中试题及解答

⾼数期中试题及解答武汉⼤学电信学院2009－2010学年第⼆学期⾼等数学期中考试试卷1．（6分）求过点(2,1,3)M 且与直线11321x y z+-==-垂直相交的直线⽅程。

2．（6分）给出平⾯lx my nz p ++=与⼆次曲⾯2221Ax By Cz ++=相切的条件并说明理由。

3．（12分）设函数arctan ,)(0,0),(,)0,(,)(0,0),y x y f x y x y ì??1??=í??=，问在原点(0,0)处：（1）偏导数是否存在？（2）偏导数是否连续？（3）是否可微？均说明理由。

4．（6分）设()z xy xF u =+，其中F 为可微函数，且yu x=，试证明：z zxy z xy x y抖+=+抖。

5．（6分）设⽅程(,)z xy f xz yz +=确定可微函数(,)z z x y =，求zx。

6．（9分）设函数(,)u x y 满⾜0xx yy u u -=且(,2)u x x x =，2(,2)x u x x x =，求(,2)xx u x x ，(,2)xy u x x ，(,2)yy u x x 。

7．（8分）已知点(1,0,1)P -与(3,1,2)Q ，在平⾯212x y z -+=上求⼀点M ，使得PM MQ +最⼩。

8．（6分）设D 是矩形域：0xp＃，0y p ＃，计算⼆重积分max{,}sin sin d d Dx y x y x y 蝌。

=+++蝌?，其中W 是由平⾯1x y z ++=与三个坐标⾯所围成的空间区域。

10．（6分）设空间区域222:1x y z W ++?，0z 3，求2()x z dxdydz W+蝌?。

11．（6分）计算dDI x y =蝌，其中D 是由曲线4236x y xy 骣÷?+=?÷桫在第⼀象限中所围成的区域。

12．（6分）设(,)f x y 为连续函数,且(,)(,)f x y f y x =，证明：1100(,)(1,1)x x dx f x y dy dx f x y dy =--蝌蝌。

数学高一下期中经典测试卷(含答案解析)(1)

一、选择题1．(0分)[ID ：12425]设曲线31x y x +=-在点25（，）处的切线与直线10ax y +-=平行，则a=（）A ．-4B ．14-C ．14D ．42．(0分)[ID ：12421]设l 为直线，,αβ是两个不同的平面，下列命题中正确的是( ) A ．若//l α，//l β，则//αβB ．若l α⊥，l β⊥，则//αβC ．若l α⊥，//l β，则//αβD ．若αβ⊥，//l α，则l β⊥3．(0分)[ID ：12416]水平放置的ABC 的斜二测直观图如图所示，若112A C ＝，111A B C △的面积为22，则AB 的长为（）A ．2B ．217C ．2D ．84．(0分)[ID ：12398]已知定义在R 上的函数()21()x m f x m -=-为实数为偶函数,记0.5(log 3),a f 2b (log 5),c (2)f f m ,则,,a b c ,的大小关系为（）A ．a b c <<B ．c a b <<C ．a c b <<D ．c b a << 5．(0分)[ID ：12377]<九章算术>中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑.若三棱锥P ABC -为鳖臑，PA ⊥平面,2,4ABC PA AB AC ===，三棱锥P ABC -的四个顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为（）A ．8πB ．12πC ．20πD ．24π6．(0分)[ID ：12356]在我国古代数学名著九章算术中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑，如图，在鳖臑ABCD 中， AB ⊥平面BCD ，且AB BC CD ==，则异面直线AC 与BD 所成角的余弦值为（）A ．12B ．12-C 3D ．3 7．(0分)[ID ：12344]用一个平面去截正方体，则截面不可能是（）A ．直角三角形B ．等边三角形C ．正方形D ．正六边形 8．(0分)[ID ：12396]若a ＞b ＞0，0＜c ＜1，则A ．log a c ＜log b cB ．log c a ＜log c bC ．a c ＜b cD ．c a ＞c b9．(0分)[ID ：12395]正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是AD ，DD 1的中点，AB ＝4，则过B ，E ，F 的平面截该正方体所得的截面周长为（）A ．62+45B ．62+25C ．32+45D ．32+25 10．(0分)[ID ：12387]α，β为两个不同的平面，m ，n 为两条不同的直线，下列命题中正确的是（）①若α//β，m ⊂α，则m//β； ②若m//α，n ⊂α，则m//n ；③若α⊥β，α∩β=n ，m ⊥n ，则m ⊥β ④若n ⊥α，n ⊥β，m ⊥α，则m ⊥β. A ．①③ B ．①④ C ．②③ D ．②④ 11．(0分)[ID ：12371]若方程21424x kx k +-=-+ 有两个相异的实根，则实数k 的取值范围是（）A ．13,34⎛⎤ ⎥⎝⎦ B ．13,34⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．53,124⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．53,124 12．(0分)[ID ：12369]某锥体的三视图如图所示（单位：cm ），则该锥体的体积（单位：cm 3）是（）A ．13 B ．12 C ．16 D ．113．(0分)[ID ：12410]已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的求面上，ABC ∆是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且2SC =，则此棱锥的体积为（） A 2 B 3C 2 D 2 14．(0分)[ID ：12397]若函数6(3)3,7(),7x a x x f x a x ---≤⎧=⎨>⎩单调递增,则实数a 的取值范围是( )A ．9,34⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．9,34⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．()1,3D ．()2,3 15．(0分)[ID ：12360]如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实（虚）线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为（）A ．64B ．643C ．16D ．163二、填空题16．(0分)[ID ：12478]在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，BD AC O ⋂=,M 是线段1D O 上的动点，过M 做平面1ACD 的垂线交平面1111D C B A 于点N ，则点N 到点A 的距离最小值是___________．17．(0分)[ID ：12463]已知圆22:20(0)M x y ay a +-=>截直线0x y +=所得线段的长度是22，则圆M 与圆22:(1)(1)1N x y -+-=的位置关系是_________．18．(0分)[ID ：12462]若一个圆柱的侧面展开图是边长为2的正方形，则此圆柱的体积为 .19．(0分)[ID ：12522]在三棱锥P ABC -中,PA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，3AB =，4BC =，5PA =，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为__________20．(0分)[ID ：12508]已知P 是抛物线24y x =上的动点，点Q 是圆22:(3)(3)1C x y ++-=上的动点，点R 是点P 在y 轴上的射影，则PQ PR +的最小值是____________．21．(0分)[ID ：12443]已知B 与点()1,2,3A 关于点()0,1,2M -对称，则点B 的坐标是______．22．(0分)[ID ：12431]已知棱长等于23的正方体1111ABCD A B C D -，它的外接球的球心为O ﹐点E 是AB 的中点，则过点E 的平面截球O 的截面面积的最小值为________.23．(0分)[ID ：12430]若直线:20l kx y --=与曲线()2:111C y x --=-有两个不同的交点，则实数k 的取值范围________.24．(0分)[ID ：12432]如图所示，二面角l αβ--为60,,A B 是棱l 上的两点，,AC BD 分别在半平面内,αβ，且AC l ⊥，，4,6,8AB AC BD ===，则CD 的长______．25．(0分)[ID ：12450]已知球的表面积为20π，球面上有A 、B 、C 三点．如果2AB AC ==，22BC =，则球心到平面ABC 的距离为__________．三、解答题26．(0分)[ID ：12628]已知点()1,0P ，圆22:6440C x y x y +-++=.（1）若直线l 过点P 且到圆心C 的距离为2，求直线l 的方程；（2）设过点()0,1Q -的直线m 与圆C 交于A 、B 两点（m 的斜率为负），当||4AB =时，求以线段AB 为直径的圆的方程.27．(0分)[ID ：12597]已知点(3,3)M ，圆22:(1)(2)4C x y -+-=.（1）求过点M 且与圆C 相切的直线方程；（2）若直线40()ax y a -+=∈R 与圆C 相交于A ，B 两点，且弦AB 的长为23，求实数a 的值.28．(0分)[ID ：12545]如图所示，已知四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，PA ⊥平面ABCD ，60,,ABC E F ∠=分别是,BC PB 的中点．（1）证明：AE ⊥平面PAD ；（2）若H 为PD 上的动点，EH 与平面PAD 所成最大角的正切值为3，求二面角B AF C --的正切值．29．(0分)[ID ：12622]已知圆22C (4)4x y +-=：，直线:(31)(1)40l m x m y ++--=.（1）求直线l 所过定点A 的坐标；（2）求直线l 被圆C 所截得的弦长最短时直线l 的方程及最短弦长；（3）已知点M (-3,4)，在直线MC 上(C 为圆心)，存在定点N (异于点M )，满足：对于圆C 上任一点P ，都有||||PM PN 为一常数，试求所有满足条件的点N 的坐标及该常数.30．(0分)[ID ：12542]如图，将棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -沿着相邻的三个面的对角线切去四个棱锥后得一四面体11A CB D -．（Ⅰ）求该四面体的体积；（Ⅱ）求该四面体外接球的表面积．【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷参考答案 **科目模拟测试一、选择题1．D2．B3．B4．B5．C6．A7．A8．B9．A10．B11．D12．A13．A14．B15．D二、填空题16．【解析】连结易知面面而即在面内且点的轨迹是线段连结易知是等边三角形则当为中点时距离最小易知最小值为17．相交【解析】【分析】根据直线与圆相交的弦长公式求出的值结合两圆的位置关系进行判断即可【详解】解：圆的标准方程为则圆心为半径圆心到直线的距离圆截直线所得线段的长度是即则圆心为半径圆的圆心为半径则即两个18．2π【解析】试题分析：设圆柱的底面半径为r高为h底面积为S体积为V则有2πr=2⇒r=1π故底面面积S=πr2=π×(1π)2=1π故圆柱的体积V=Sh=1π×2=2π考点：圆柱的体积19．【解析】【分析】以为长宽高构建长方体则长方体的外接球是三棱锥的外接球由此能求出三棱锥的外接球的表面积【详解】由题意在三棱锥中平面以为长宽高构建长方体则长方体的外接球是三棱锥的外接球所以三棱锥的外接球20．【解析】根据抛物线的定义可知而的最小值是所以的最小值就是的最小值当三点共线时此时最小最小值是所以的最小值是3【点睛】本题考查了点和圆的位置关系以及抛物线的几何性质和最值问题考查了转化与化归能力圆外的21．【解析】【分析】根据空间直角坐标系中点坐标公式求结果【详解】设B则所以所以的坐标为【点睛】本题考查空间直角坐标系中点坐标公式考查基本分析求解能力属基础题22．【解析】【分析】当过球内一点的截面与垂直时截面面积最小可求截面半径即可求出过点的平面截球的截面面积的最小值【详解】解：棱长等于的正方体它的外接球的半径为3当过点的平面与垂直时截面面积最小故答案为：【23．【解析】【分析】由题意可知曲线为圆的右半圆作出直线与曲线的图象可知直线是过点且斜率为的直线求出当直线与曲线相切时k的值利用数形结合思想可得出当直线与曲线有两个公共点时实数的取值范围【详解】对于直线则24．【解析】【分析】推导出两边平方可得的长【详解】二面角为是棱上的两点分别在半平面内且的长故答案为：【点睛】本题考查线段长的求法考查空间中线线线面面面间的位置关系等基础知识考查运算求解能力考查函数与方程25．【解析】设球的半径为表面积解得∵在中∴从圆心作平面的垂线垂足在斜边的中点处∴球心到平面的距离故答案为点睛：本题考查的知识点是空间点线面之间的距离计算其中根据球心距球半径解三角形我们可以求出所在平面截三、解答题26．27．28．29．30．2016-2017年度第*次考试试卷参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题1．D解析：D【解析】【分析】求出原函数的导函数，得到函数在2x =时的导数，再由两直线平行与斜率的关系求得a 值．【详解】解：由31x y x +=-，得()()2213411x x y x x ---=---'=， ∴2'|4x y ==-，又曲线31x y x +=-在点25（，）处的切线与直线10ax y +-=平行， ∴4a -=-，即4a =．故选D ．【点睛】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查两直线平行与斜率的关系，是中档题．2．B解析：B【解析】A 中，,αβ也可能相交；B 中，垂直与同一条直线的两个平面平行，故正确；C 中，,αβ也可能相交；D 中，l 也可能在平面β内.【考点定位】点线面的位置关系3．B解析：B【解析】【分析】依题意由111A B C △的面积为114B C =，所以8BC =，2AC =，根据勾股定理即可求AB ．【详解】依题意，因为111A B C △的面积为所以11111sin 452AC B C ︒=⨯⋅=11122B C ⨯⨯，解得114B C =，所以8BC =，2AC =，又因为AC BC ⊥，由勾股定理得：AB ====故选B ．【点睛】本题考查直观图还原几何图形，属于简单题. 利用斜二测画法作直观图，主要注意两点：一是与x 轴平行的线段仍然与x '轴平行且相等；二是与y 轴平行的线段仍然与y '轴平行且长度减半. 4．B解析：B【解析】由()f x 为偶函数得0m =,所以0,52log 3log 32121312,a =-=-=-=2log 521514b =-=-=,0210c =-=,所以c a b <<,故选B.考点：本题主要考查函数奇偶性及对数运算.5．C解析：C【解析】【分析】先作出三棱锥P ABC -的图像，根据P ABC -四个面都为直角三角形和PA ⊥平面ABC ，可知PC 中点即为球心，利用边的关系求出球的半径，再由24S R π=计算即得.【详解】三棱锥P ABC -如图所示，由于P ABC -四个面都为直角三角形，则ABC 是直角三角形，且2ABC π∠=，2223BC AC AB ∴=-=，又PA ⊥平面ABC ，且PAC 是直角三角形，∴球O 的直径2222PC R PA AB BC ==++2025==，5R ∴=，则球O 的表面积2420S R ππ==.故选：C【点睛】本题考查多面体外接球的表面积，是常考题型.6．A解析：A【解析】如图，分别取,,,BC CD AD BD 的中点,,,M N P Q ，连,,,MN NP PM PQ ，则,MN BD NP AC ，∴PNM ∠即为异面直线AC 和BD 所成的角（或其补角）．又由题意得PQ MQ ⊥，11,22PQ AB MQ CD ==. 设2AB BC CD ===，则2PM =又112,222MN BD NP AC ====, ∴PNM ∆为等边三角形，∴60PNM =︒∠，∴异面直线AC 与BD 所成角为60︒，其余弦值为12．选A ．点睛：用几何法求空间角时遵循“一找、二证、三计算”的步骤，即首先根据题意作出所求的角，并给出证明，然后将所求的角转化为三角形的内角．解题时要注意空间角的范围，并结合解三角形的知识得到所求角的大小或其三角函数值． 7．A解析：A【解析】【分析】【详解】画出截面图形如图显然A 正三角形C 正方形：D 正六边形可以画出三角形但不是直角三角形；故选A ．用一个平面去截正方体，则截面的情况为：①截面为三角形时，可以是锐角三角形、等腰三角形、等边三角形，但不可能是钝角三角形、直角三角形；②截面为四边形时，可以是梯形（等腰梯形）、平行四边形、菱形、矩形，但不可能是直角梯形；③截面为五边形时，不可能是正五边形；④截面为六边形时，可以是正六边形．故可选A ．8．B解析：B【解析】试题分析：对于选项A ，a b 1gc 1gc log c ,log c lg a lg b==，01c <<，10gc ∴<，而0a b >>，所以lg lg a b >，但不能确定lg lg a b 、的正负，所以它们的大小不能确定;对于选项B ，c lg lg log ,log lg lg c a b a b c c ==,lg lg a b >，两边同乘以一个负数1lg c改变不等号方向，所以选项B 正确;对于选项C ，利用c y x =在第一象限内是增函数即可得到c c a b >，所以C 错误;对于选项D ，利用xy c =在R 上为减函数易得a b c c <，所以D 错误.所以本题选B.【考点】指数函数与对数函数的性质【名师点睛】比较幂或对数值的大小,若幂的底数相同或对数的底数相同,通常利用指数函数或对数函数的单调性进行比较；若底数不同,可考虑利用中间量进行比较. 9．A解析：A【解析】【分析】利用线面平行的判定与性质证明直线1BC 为过直线EF 且过点B 的平面与平面11BCC B 的交线,从而证得1,,,B E F C 四点共面,然后在正方体中求等腰梯形1BEFC 的周长即可.【详解】作图如下:因为,E F 是棱1,AD DD 的中点,所以11////EF AD BC ,因为EF ⊄平面11BCC B ,1BC ⊂平面11BCC B ,所以//EF 平面11BCC B ，由线面平行的性质定理知,过直线EF 且过点B 的平面与平面11BCC B 的交线l 平行于直线EF ,结合图形知,l 即为直线1BC ,过B ，E ，F 的平面截该正方体所得的截面即为等腰梯形1BEFC ,因为正方体的棱长AB ＝4,所以11EF BE C F BC ====所以所求截面的周长为+故选:A【点睛】本题主要考查多面体的截面问题和线面平行的判定定理和性质定理；重点考查学生的空间想象能力;属于中档题.10．B解析：B【解析】【分析】在①中，由面面平行的性质定理得m ∥β；在②中，m 与n 平行或异面；在③中，m 与β相交、平行或m ⊂β；在④中，由n ⊥α，m ⊥α，得m ∥n ，由n ⊥β，得m ⊥β．【详解】由α，β为两个不同的平面，m ，n 为两条不同的直线，知：在①中，若α∥β，m ⊂α，则由面面平行的性质定理得m ∥β，故①正确；在②中，若m ∥α，n ⊂α，则m 与n 平行或异面，故②错误；在③中，若α⊥β，α∩β＝n ，m ⊥n ，则m 与β相交、平行或m ⊂β，故③错误；在④中，若n ⊥α，m ⊥α，则m ∥n ，由n ⊥β，得m ⊥β，故④正确．故选：B ．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力，考查化归与转化思想，是中档题．11．D解析：D【解析】【分析】由题意可得，曲线22(1)4(1)x y y +-=与直线4(2)y k x -=-有2个交点，数形结合求得k 的范围.【详解】如图所示，化简曲线得到22(1)4(1)x y y +-=，表示以(0,1)为圆心，以2为半径的上半圆，直线化为4(2)y k x -=-，过定点(2,4)A ，设直线与半圆的切线为AD ，半圆的左端点为(2,1)B -，当AD AB k k k <，直线与半圆有两个交点，AD 与半圆相切时，2|124|21k k --+=+，解得512AD k =， 4132(2)4AB k -==--，所以53,124k ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦. 故选：D【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，属于中档题.12．A解析：A【解析】【分析】根据三视图知该几何体对应的三棱锥，结合图中数据求得三棱锥的体积．【详解】由题意可知三棱锥的直观图如图：三棱锥的体积为：111211323⨯⨯⨯⨯=．故选：A ．【点睛】本题考查了利用三视图求几何体体积的应用问题，考查了空间想象能力，是基础题．13．A解析：A【解析】【分析】【详解】根据题意作出图形：设球心为O ，过ABC 三点的小圆的圆心为O 1，则OO 1⊥平面ABC ，延长CO 1交球于点D ，则SD ⊥平面ABC ．∵CO 1=233323⨯=， ∴116133OO =-=， ∴高SD=2OO 1=263，∵△ABC 是边长为1的正三角形，∴S △ABC =34， ∴132623436S ABC V -=⨯⨯=三棱锥．考点：棱锥与外接球，体积．【名师点睛】本题考查棱锥与外接球问题，首先我们要熟记一些特殊的几何体与外接球（内切球）的关系，如正方体（长方体）的外接球（内切球）球心是对角线的交点，正棱锥的外接球（内切球）球心在棱锥的高上，对一般棱锥来讲，外接球球心到名顶点距离相等，当问题难以考虑时，可减少点的个数，如先考虑到三个顶点的距离相等的点是三角形的外心，球心一定在过此点与此平面垂直的直线上．如直角三角形斜边中点到三顶点距离相等等等．14．B解析：B【解析】【分析】利用函数的单调性，判断指数函数底数的取值范围，以及一次函数的单调性，及端点处函数值的大小关系列出不等式求解即可【详解】解：函数6(3)3,7(),7x a x x f x a x ---⎧=⎨>⎩单调递增，()301373a a a a ⎧->⎪∴>⎨⎪-⨯-≤⎩解得934a ≤< 所以实数a 的取值范围是9,34⎡⎫⎪⎢⎣⎭．故选：B ．【点睛】本题考查分段函数的应用，指数函数的性质，考查学生的计算能力，属于中档题． 15．D 解析：D【解析】根据三视图知几何体是：三棱锥D ABC -为棱长为4的正方体一部分，直观图如图所示：B 是棱的中点，由正方体的性质得，CD ⊥平面,ABC ABC ∆的面积12442S =⨯⨯=，所以该多面体的体积1164433V =⨯⨯=，故选D.二、填空题16．【解析】连结易知面面而即在面内且点的轨迹是线段连结易知是等边三角形则当为中点时距离最小易知最小值为6【解析】连结11B D ，易知面1ACD ⊥面11BDD B ，而1MN ACD ⊥，即1NM D O ⊥，NM 在面11BDD B 内，且点N 的轨迹是线段11B D ，连结1AB ，易知11AB D 是等边三角形，则当N 为11B D 中点时，NA 6 17．相交【解析】【分析】根据直线与圆相交的弦长公式求出的值结合两圆的位置关系进行判断即可【详解】解：圆的标准方程为则圆心为半径圆心到直线的距离圆截直线所得线段的长度是即则圆心为半径圆的圆心为半径则即两个【解析】【分析】根据直线与圆相交的弦长公式，求出a 的值，结合两圆的位置关系进行判断即可．【详解】解：圆的标准方程为222:()(0)M x y a a a +-=>，则圆心为(0,)a ，半径R a =，圆心到直线0x y +=的距离d =，圆22:20(0)M x y ay a +-=>截直线0x y +=所得线段的长度是∴即24a =，2a =，则圆心为(0,2)M ，半径2R =，圆22:(1)(1)1N x y -+-=的圆心为(1,1)N ，半径1r =，则MN =3R r +=，1R r -=，R r MN R r ∴-<<+，即两个圆相交．故答案为：相交．【点睛】本题主要考查直线和圆相交的应用，以及两圆位置关系的判断，根据相交弦长公式求出a 的值是解决本题的关键．18．2π【解析】试题分析：设圆柱的底面半径为r 高为h 底面积为S 体积为V 则有2πr=2⇒r=1π故底面面积S=πr2=π×(1π)2=1π故圆柱的体积V=Sh=1π×2=2π考点：圆柱的体积解析：2π【解析】试题分析：设圆柱的底面半径为r ，高为h ，底面积为S ，体积为V ，则有2πr =2⇒r =1π，故底面面积S =πr 2=π×(1π)2=1π，故圆柱的体积V =Sh =1π×2=2π. 考点：圆柱的体积 19．【解析】【分析】以为长宽高构建长方体则长方体的外接球是三棱锥的外接球由此能求出三棱锥的外接球的表面积【详解】由题意在三棱锥中平面以为长宽高构建长方体则长方体的外接球是三棱锥的外接球所以三棱锥的外接球解析：50π【解析】以,,AB BC PA 为长宽高构建长方体，则长方体的外接球是三棱锥P ABC -的外接球，由此能求出三棱锥P ABC -的外接球的表面积.【详解】由题意，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面,,3,4,5ABC AB BC AB BC PA ⊥===，以,,AB BC PA 为长宽高构建长方体，则长方体的外接球是三棱锥P ABC -的外接球，所以三棱锥P ABC -的外接球的半径为22215234522R =++=，所以三棱锥P ABC -的外接球的表面积为225244()502S R πππ==⨯=. 【点睛】本题主要考查了三棱锥的外接球的表面积的计算问题，其中解答中根据几何体的结构特征，以,,AB BC PA 为长宽高构建长方体，得到长方体的外接球是三棱锥P ABC -的外接球是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力.20．【解析】根据抛物线的定义可知而的最小值是所以的最小值就是的最小值当三点共线时此时最小最小值是所以的最小值是3【点睛】本题考查了点和圆的位置关系以及抛物线的几何性质和最值问题考查了转化与化归能力圆外的解析：【解析】根据抛物线的定义，可知1PR PF =-，而PQ 的最小值是1PC -，所以PQ PR +的最小值就是2PF PC +-的最小值，当,,C P F 三点共线时，此时PF FC +最小，最小值是()()2231305CF =--+-= ，所以PQ PR +的最小值是3.【点睛】本题考查了点和圆的位置关系以及抛物线的几何性质和最值问题，考查了转化与化归能力，圆外的点和圆上的点最小值是点与圆心的距离减半径，最大值是距离加半径，抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离相等，这样转化后为抛物线上的点到两个定点的距离和的最小值，即三点共线时距离最小.21．【解析】【分析】根据空间直角坐标系中点坐标公式求结果【详解】设B则所以所以的坐标为【点睛】本题考查空间直角坐标系中点坐标公式考查基本分析求解能力属基础题解析：()1,4,1--【解析】【分析】根据空间直角坐标系中点坐标公式求结果.【详解】设B (),,x y z ,则1230,1,2222x y z +++=-==，所以1,4,1x y z =-=-=，所以B 的坐标为()1,4,1--．【点睛】本题考查空间直角坐标系中点坐标公式，考查基本分析求解能力，属基础题. 22．【解析】【分析】当过球内一点的截面与垂直时截面面积最小可求截面半径即可求出过点的平面截球的截面面积的最小值【详解】解：棱长等于的正方体它的外接球的半径为3当过点的平面与垂直时截面面积最小故答案为：【解析：3π.【解析】【分析】当过球内一点E 的截面与OE 垂直时，截面面积最小可求截面半径，即可求出过点E 的平面截球O 的截面面积的最小值．【详解】解：棱长等于1111ABCD A B C D -，它的外接球的半径为3，||OE =当过点E 的平面与OE 垂直时，截面面积最小，r 33S ππ=⨯=，故答案为：3π．【点睛】本题考查过点E 的平面截球O 的截面面积的最小值及接体问题，找准量化关系是关键，属于中档题．23．【解析】【分析】由题意可知曲线为圆的右半圆作出直线与曲线的图象可知直线是过点且斜率为的直线求出当直线与曲线相切时k 的值利用数形结合思想可得出当直线与曲线有两个公共点时实数的取值范围【详解】对于直线则解析：4,23⎛⎤ ⎥⎝⎦【解析】【分析】由题意可知，曲线C 为圆()()22111x y -+-=的右半圆，作出直线l 与曲线C 的图象，可知直线l 是过点()0,2-且斜率为k 的直线，求出当直线l 与曲线C 相切时k 的值，利用数形结合思想可得出当直线l 与曲线C 有两个公共点时实数k 的取值范围.【详解】对于直线:2l y kx =-，则直线l 是过点()0,2P -且斜率为k 的直线，对于曲线()2:111C y x --=-，则101x x -≥⇒≥，曲线C 的方程两边平方并整理得()()22111x y -+-=，则曲线C 为圆()()22111x y -+-=的右半圆，如下图所示：当直线l 与曲线C 相切时，0k >()222123111k k k k ---==++-，解得43k =，当直线l 过点()1,0A 时，则有20k -=，解得2k =.结合图象可知，当4,23k ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，直线l 与曲线C 有两个交点. 故答案为：4,23⎛⎤ ⎥⎝⎦. 【点睛】本题考查利用直线与曲线的交点个数求参数，解题的关键就是将曲线C 化为半圆，利用数形结合思想求解，同时要找出直线与曲线相切时的临界位置，考查数形结合思想的应用，属于中等题.24．【解析】【分析】推导出两边平方可得的长【详解】二面角为是棱上的两点分别在半平面内且的长故答案为：【点睛】本题考查线段长的求法考查空间中线线线面面面间的位置关系等基础知识考查运算求解能力考查函数与方程解析：217【解析】【分析】推导出CD CA AB BD =++，两边平方可得CD 的长．【详解】二面角l αβ--为60︒，A 、B 是棱l 上的两点，AC 、BD 分别在半平面α、β内，且AC l ⊥，BD l ⊥，4AB =，6AC =，8BD =，∴CD CA AB BD =++，∴22()CD CA AB BD =++2222CA AB BD CA BD =+++361664268cos12068=+++⨯⨯⨯︒=，CD ∴的长||68217CD ==．故答案为：217．【点睛】本题考查线段长的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．25．【解析】设球的半径为表面积解得∵在中∴从圆心作平面的垂线垂足在斜边的中点处∴球心到平面的距离故答案为点睛：本题考查的知识点是空间点线面之间的距离计算其中根据球心距球半径解三角形我们可以求出所在平面截 3【解析】设球的半径为r ，表面积24π20πS r ==，解得5r =ABC 中，2AB AC ==，22BC =222AB AC BC +=，∴90BAC ∠=︒，从圆心作平面ABC 的垂线，垂足在斜边BC 的中点处，∴球心到平面ABC 的距离22132d r BC ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭3 点睛：本题考查的知识点是空间点、线、面之间的距离计算，其中根据球心距d ，球半径R ，解三角形我们可以求出ABC 所在平面截球所得圆（即ABC 的外接圆半径），构造直角三角形，满足勾股定理，我们即可求出球心到平面ABC 的距离是与球相关的距离问题常用方法.三、解答题26．（1）1x =或0y =；（2）()()22134x y -++=.【解析】【分析】（1）对直线l 的斜率是否存在进行分类讨论，利用圆心到直线l 的距离等于2可求得直线l 的方程；（2）先通过点到直线的距离及勾股定理可解得直线m 的斜率，然后将直线m 的方程与圆的方程联立，求出线段AB 的中点，作为圆心，并求出所求圆的半径，进而可得出所求圆的方程.【详解】（1）由题意知，圆C 的标准方程为()()22329x y -++=，∴圆心()3,2C -，半径3r =，①当直线l 的斜率k 存在时，设直线的方程为()01y k x -=-，即kx y k 0--=，则圆心到直线l的距离为2d ==，0k ∴=.∴直线l 的方程为0y =；②当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为1x =，此时圆心C 到直线l 的距离为2，符合题意.综上所述，直线l 的方程为1x =或0y =；（2）依题意可设直线m 的方程为1y kx =-，即()100kx y k --=<，则圆心()3,2C -到直线m的距离d === 22320k k ∴+-=，解得12k =或2k =-，又0k <，2k ∴=-，∴直线m 的方程为210x y ---=即210x y ++=，设点()11,A x y 、()22,B x y ，联立直线m 与圆C 的方程得()()22210329x y x y ++=⎧⎪⎨-++=⎪⎩，消去y 得251010x x -+=，122x x ∴+=，则线段AB 的中点的横坐标为1212x x +=，把1x =代入直线m 中得3y =-，所以，线段AB 的中点的坐标为()1,3-，由题意知，所求圆的半径为：122AB =， ∴以线段AB 为直径的圆的方程为：()()22134x y -++=.【点睛】本题考查利用圆心到直线的距离求直线方程，同时也考查了圆的方程的求解，涉及利用直线截圆所得弦长求参数，考查计算能力，属于中等题.27．（1）3x =或34210x y +-=；（2）34-. 【解析】【分析】（1）考虑切线的斜率是否存在，结合直线与圆相切的的条件d=r ，直接求解圆的切线方程即可．（2）利用圆的圆心距、半径及半弦长的关系，列出方程，求解a 即可．【详解】（1）由圆的方程得到圆心(1,2)，半径2r .当直线斜率不存在时，直线3x =与圆C 显然相切；当直线斜率存在时，设所求直线方程为3(3)y k x -=-，即330kx y k -+-=，2=，解得34k =-， ∴ 方程为33(3)4y x -=--，即34210x y +-=. 故过点M 且与圆C 相切的直线方程为3x =或34210x y +-=. （2）∵ 弦长AB为 2.圆心到直线40ax y -+=的距离d =∴2242⎛⎛⎫+= ⎝⎭，解得34a =-. 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系的综合应用，考查切线方程的求法，考查了垂径定理的应用，考查计算能力． 28．(1)见证明；(2) 【解析】【分析】(1)由PA ⊥面ABCD 可知PA AE ⊥，又可证AE BC ⊥，根据线面垂直的判定即可证明(2) 取AB 中点M ，作MN AF ⊥于N ，连CN ，可证MNC ∠是二面角B AF C --的平面角，解三角形即可求解.【详解】（1）PA ⊥面ABCD ，AE ⊂面ABCD ，PA AE ∴⊥；又底面ABCD 为菱形，60ABC ∠=，E 为BC 中点，,//,,AE BC AD BC AE AD ∴⊥∴⊥AE ∴⊥面PAD ；（2）AE 面PAD ，AHE ∴∠是EH 与面PAD 所成角，tan ,AE AHE AH PO AH∠=⊥时，AH 最小，tan AHE ∠最大，AHE ∠最大，令2AB =，则3,1AE AH ==，在Rt AHD ∆中，2,30AD ADH =∠=，在Rt PAD ∆中，233PA = PA ⊥面ABCD ，∴面PAB ⊥面ABCD ，且交线为AB ，取AB 中点M ，正ABC ∆中，,CM AB CM ⊥∴⊥面PAB ，作MN AF ⊥于N ，连CN ，由三垂线定理得CN AF ⊥，MNC ∠是二面角B AF C --的平面角.3CM =.在PAB ∆中，23,2,3BF AF AB ===边AF 上的高11,2BG MN ==， tan 23CM MNC MN∠==【点睛】本题主要考查了线面垂直的判定，线面垂直的性质，二面角的求法，属于难题. 29．（1）A （1，3）；（2）直线l 方程为20x y -+=，最短弦长为223）在直线MC 上存在定点4,43N ⎛⎫-⎪⎝⎭，使得||||PM PN 为常数32．【解析】【分析】（1）利用直线系方程的特征，直接求解直线l 过定点A 的坐标；（2）当AC ⊥l 时，所截得弦长最短，由题知C （0，4），2r，求出AC 的斜率，利用点到直线的距离，转化求解即可；（3）由题知，直线MC 的方程为4y =，假设存在定点N （t ，4）满足题意，则设。

高等数学(下)期中考试题及答案

f ( x, y ) d x + ∫ d y ∫ y 2 f ( x, y ) d x ．
0 2
v
2
2
二、记 x − y = u ， ln x = v ，则 x = e ， y = e − u ，代入右端，得
f (u , v ) =
即
u u −2 v e ， v
x x −2 y e ． y ∂f 1 + x x −2 y ∂f x(1 + 2 y ) x−2 y = e ， =− e ． y y2 ∂x ∂y
五、设 F ( x, y, z ) = xyz + λ ( x + y + z − 5r ) ，令
3 2 2 2 2
Fx = yz 3 + 2λ x = 0 , Fy = xz 3 + 2λ y = 0 , Fz = 3 xyz 2 + 2λ z = 0 , x 2 + y 2 + z 2 = 5r 2 ,
x +1 y − 3 z = = 相交 1 1 2
参考答案
一、
⎡ ⎤ 2x 2y 1． d z |(1,2) = ⎢ dx+ d y⎥ 2 2 2 2 1+ x + y ⎣1 + x + y ⎦ 1 2 = dx+ d y． 3 3
2 2
3 2 a ．因此 4
M = ∫∫∫ z d V = ∫∫ d x d y ∫
Ω
D
a2 − x2 − y 2 a− a2 − x2 − y2
zdz =
1 [ 2a a 2 − x 2 − y 2 − a 2 ] d x d y ∫∫ 2 D
a 5 1 2π d θ ∫ 2 [ 2 a a 2 − ρ 2 − a 2 ] ρ d ρ = πa 4 ． ∫ 0 2 0 24 G G 2 八、(1) τ = 1,−2t ,3t ， n = (0 , 3 , 2 ) ． G G 令 τ ⋅ n = 0 ，得 t1 = 0 ， t 2 = 1 ，即 G G τ 1 = (1 , 0 , 0 ) ， τ 2 = (1 , − 2 , 3 ) ．

大一第二学期高等数学期中考试试卷(答案)

大一第二学期高等数学期中考试试卷一、填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分），请将合适的答案填在空中。

1、已知球面的一条直径的两个端点为()532，，-和()314-，，，则该球面的方程为______________________2、函数ln(u x =在点(1,0,1)A 处沿点A 指向点(3,2,2)B -方向的方向导数为3、曲面22z x y =+与平面240x y z +-=平行的切平面方程为4、2222222(,)(0,0)(1cos())sin lim ()ex y x y x y xy x y +→-+=+ 5、设二元函数y x xy z 32+=，则=∂∂∂y x z 2_______________ 二、选择填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分）。

以下每道题有四个答案，其中只有一个答案是正确的，请选出合适的答案填在空中，多选无效。

1、旋转曲面1222=--z y x 是（）（A ）．x O z坐标面上的双曲线绕Ox 轴旋转而成；（B ）．x O y坐标面上的双曲线绕Oz 轴旋转而成；（C ）．x O y坐标面上的椭圆绕Oz 轴旋转而成；（D ）．x O z 坐标面上的椭圆绕Ox 轴旋转而成．2、微分方程23cos 2x x x y y +=+''的一个特解应具有形式（）其中3212211,,,,,,d d d b a b a 都是待定常数.(A).212211sin )(cos )(x d x b x a x x b x a x ++++;(B).32212211sin )(cos )(d x d x d x b x a x x b x a x ++++++;(C).32212211)sin cos )((d x d x d x b x a b x a x +++++;(D).322111)sin )(cos (d x d x d x x b x a x +++++3、已知直线π22122:-=+=-z y x L 与平面4 2:=-+z y x ππ,则（）(A).L 在π内; (B).L 与π不相交;(C).L 与π正交; (D).L 与π斜交.4、下列说法正确的是（）(A) 两向量a 与b 平行的充要条件是存在唯一的实数λ，使得b a λ=；(B) 二元函数()y x f z ,=的两个二阶偏导数22x z ∂∂,22yz ∂∂在区域D 内连续，则在该区域内两个二阶混合偏导必相等；(C) 二元函数()y x f z ,=的两个偏导数在点()00,y x 处连续是函数在该点可微的充分条件；(D) 二元函数()y x f z ,=的两个偏导数在点()00,y x 处连续是函数在该点可微的必要条件.5、设),2,2(y x y x f z -+=且2C f ∈（即函数具有连续的二阶连续偏导数），则=∂∂∂y x z 2（）(A)122211322f f f --; (B)12221132f f f ++;(C)12221152f f f ++; (D)12221122f f f --.三、计算题（本大题共29分）1、（本题13分）计算下列微分方程的通解。

高数下期中试题及答案

高数下期中试题及答案高数下期中试题及答案高数的选择题，在推导和演算的基础上对选项做出选择。

下面是小编收集整理的高数下期中试题及答案，希望对您有所帮助！高数下期末试题《高等数学》试卷结构(一)考试内容与要求执行全国高校网络教育考试委员会于2010年制定的考试大纲相应部分，见《高等数学》(2010年修订版)。

(二)试卷分值试卷满分为100分。

(三)试题类型试题的类型全部为选择题，在推导和演算的基础上对选项做出选择。

每套试卷为20小题，每小题均为5分。

其中“二选一”共10道题，对命题作“正确”或“不正确”的选择。

“四选一”共10道题，在四个备选答案中选出一个符合题目要求的答案。

“四选一”的题目包括对运算结果的选择、对运算过程正确性的判定等多种形式。

(四)试题难度试题难度分为容易题、中等题和较难题，其分值比例为5:4:1。

(五)试题内容比例一元函数微积分约90%，常微分方程约10%。

(六)考试方式与时间考试方式为机考、闭卷。

考试时间为90分钟。

答卷时应该注意以下一些问题：1、要认真阅读试卷和试题的指导语，弄清答题的要求和方式。

要正确解答二选一的题，首先必须把有关知识弄清楚，其次还有必要掌握一定的解题方法。

以下是几种比较常用的解答二选一的`题的方法。

分析推理：即根据有关的数学知识，通过分析推理，作出判断。

计算求解：即根据题目的条件，通过计算等过程，求出正确答案，再作判断。

寻找反例：即从反面思考，看看是否存在与题目所说相反的情况。

如有，只要找出一个相反的例子，就能断定原题是错的。

假设验证：有些二选一的题，如果直接判断有困难，有时可以假设一个或几个具体的数，验证结论是否成立，再作出判断。

在实际解答二选一的题时，究竟选用哪种方法，要根据题目的具体特点来决定。

有些题目可以用不同的方法来判断，又有些题目可以把某两种方法结合起来判断。

四选一的题常用的方法有淘汰法和直接法：淘汰法的特点是，根据已学知识经过判断去掉不合题意者，剩下的一个就是正确的答案;直接法的特点是，根据已学知识经过推论或计算得出答案，以此答案对照各备选答案，相同者为正确答案，解题时找到一个正确答案后，剩下部分可以不再考虑。

高等数学第二学期期中考试试卷及答案(优选.)

卷号：（A ）（年月日）机密学年第2学期2010级计算机专业《高等数学》期中考试试卷A 卷一、选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分） 1.下列方程所示曲面是双叶旋转双曲面的是( )(A) 1222=++z y x (B) z y x 422=+(C) 14222=+-z y x (D) 1164222-=-+z y x 2.二元函数 222214y x y x z +++=arcsin ln的定义域是( )(A) 4122≤+≤y x (B) 4122≤+<y x (C) 4122<+≤y x (D) 4122<+<y x3.已知),(y x f 在点),(00y x 处连续,且两个偏导数),(00y x f x ,),(00y x f y 存在是),(y x f 在该点可微的( )(A) 充分条件,但不是必要条件; (B) 必要条件,但不是充分条件;(C) 充分必要条件 ; (D) 既不是充分条件,也不是必要条件. 4. 下列直线中平行xOy 坐标面的是________ ．（A ）．233211+=+=-z y x ；（B ）．⎩⎨⎧=--=--04044z x y x ；（C ）．10101zy x =-=+；（D ）．3221=+=+=z t y t x ，，． 5.函数z y x u sin sin sin =满足),,(0002>>>=++z y x z y x π的条件极值是( )(A) 1 ; (B) 0 ; (C) 61 ; (D) 81 . 二、填空题（本大题共10个填空题，每空3分，共30分）1.已知52==||,||b a 且,),(3π=∠b a则_______)()(=+⋅-b a b a 32.2.通过曲线⎩⎨⎧=-+=++0562222222y z x z y x ,且母线平行于y 轴的柱面方程是_________________. 3.若),ln(222z y x u ++=则._________________=du4. 已知球面的一直径的两个端点为()532，，-和()314-，，，则该球面的方程为______________________________．.5. 函数2223u x y z z =++-在点()01,1,2M -的梯度为___________及沿梯度方向上函数的方向导数为_________.6．设二元函数y x xy z 32+=，则=∂∂∂yx z2_______________． 7．设⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0 , 00 , ),(2222222y x y x y x y x y x f ,求),(y x f x =___________________________.8.xy y x y x +→)2,1(),(lim=___________.y xy y x )tan(lim )0,2(),(→=___________.三、解下列微分方程（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 1．给定一阶微分方程dydx= 3x （1）求它的通解；（2）求过点（2，5）的特解；（3）求出与直线y = 2x – 1 相切的曲线方程。

高等数学下册试题集

二、填空题（每小题4分，共计24 分）
1、设，则，在点处的梯度。
2、设，则 1。
3、由曲线所围成的闭区域，则。
4、函数在点处沿从点到点所确定方向的方向导数是。
5、曲线在点处的切线方程为，法平面方程为。
6、改变积分次序。
三、计算题（每小题7分，共计49分）
1、求。
2、求椭球面的平行于平面的切平面方程。
求微分方程的通解。
三、计算三重积分，其中是由柱面与平面，x=0所围成的第一卦限内的区域。（9分）
四、计算，其中为球面的外侧。
（9分）
五、计算曲线积分，其中L：自点A＝沿曲线到点B＝的一段有向曲线弧（9分）
六、求级数的收敛域与和函数。（9分）
七、求极限（4分）
高等数学II（A卷重修）
六、求级数的收敛域与和函数。（9分）
七、求极限（4分）
等数学试卷(下期04)
一、单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中）(每小题4分,共8分)
1、二重积分 (其中D：0≤y≤x2,0≤x≤1)的值为
答( )
2、设∑为球面x2+y2+z2=a2在z≥h部分，0<h<a,则
五、（10分）确定的值，使曲线积分与路径无关，
并求分别为，时曲线积分的值。
六、（10分）化三重积分为柱面坐标及球面坐标系下的三次积分，其中是由和，所围成的闭区域。
七、（10分）求，其中∑为锥面的外侧。
八、（4分）设在点的某一邻域内具有二阶连续导数，且，证明级数
绝对收敛。
高等数学II（A卷）096
1．1．(本小题6分)

101高等数学下学期期中考试(解答)

高等数学期中考试题参考解答一、填空题（每小题4分，共20分）12．0 3．22)(y x e y x -+ 4． ⎰⎰-2620d ),(d y y x y x f y 5．8- 二、单选题（每小题4分，共20分）1．C 2．B 3．D 4．D 5．A三、1、解 ⎰⎰⎰⎰-+=+20112211y dyxdx dxdy yx D =π(6分) 2、解 )0,21,21(),0,1,1(0-=-==→l AB l . (1分) )(2)0,21,21()2,2,2(),,(0y x z y x l z f y f x f l f -=-⋅=⋅∂∂∂∂∂∂=∂∂ (3分) 设)122()(2222-+++-=z y x y x F λ.令 ()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=='=+-='=+=')4(12230220421042222 z y x z F y F x F x x x λλλ,(4分) 解得点2),0,21,21(-=∂∂-l f ,及点2),0,21,21(=∂∂-l f ,故点)0,21,21(-p 为所求。

(6分) 3、解转动惯量为2222()d ()d I x y v x y v μΩΩ=+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰, (2分)利用柱坐标, 有22()d I x y v Ω=+⎰⎰⎰2212200d d d r rr r r z πθ-=⎰⎰⎰(4分)132042(2)d 15r r r r ππ=--=⎰(6分) 4、解所求流量为d d d d d d Sx y z y z x z x y Φ=++⎰⎰(2分)设四面体为Ω，由高斯公式，有113d 362v ΩΦ==⋅=⎰⎰⎰ (6分)5、解上半球面方程为z =与平面z a =和z b =的交线在xOy 面上的投影分别为2222:a D x y R a +≤-及2222:b D x y R b +≤-，(2分)则所求曲面面积为:2()a ba b D D S S S R b a π=-=-=-.(6分)四解21yf f x z=∂∂，…………（2分） 322221112212212221122122211yf f f f f f f f f x f f x f f y f f x y x z --=∂∂-∂∂=∂∂=∂∂.…………（8分）五、解 22ln ,2,(yx x Q y x x y y x P -=+=，……（2分）则221y x x x Q y P -=∂∂=∂∂，…（4分）y x x y y yx x x y x x y y x u y x 222),()1,1(ln d )(ln d )2(),(+=-++=⎰.……（8分）六、解 32d )(d )](arcsin[sin d )2(d 2404sin 20224πθθθθθππθπ=-=-=-⎰⎰⎰⎰----a r ra r r.…………（2分…5分…8分）七、解添加一有向曲面1,1:221≤+-=∑y x z ，（1分）法线向量指向下侧.(2分）阶πγβα==++⎰⎰⎰⎰≤+∑1333221d d d )cos cos cos (y x y x S z y x ，……（4分）⎰⎰⎰⎰⎰Ω∑+∑++=++z y x z y x S z y xd d d )(3d )cos cos cos (2223331γβα⎰⎰⎰-==ϕπππππϕϕθcos 144320109d d sin d r r ，……（6分）原式=1010911πππ-=-=-⎰⎰⎰⎰∑∑+∑.（8分）八、解设运动质所在位置为),(y x ，则引力方向为},3{)3(1220y x yx F -+--=,引力大小为 222)3(yx GmMr mM G F +-== ,……（2分）因此 },3{])3[(2322y x y x GmMF -+--= ,……（3分）引力所作功为 ⎰+-+--=Ly x yy x x GmM W 2322])3[(d d )3(,……（4分）令32223(3)x P x y -=⎡⎤-+⎣⎦,3222(3)y Q x y =⎡⎤-+⎣⎦,则52223(3)2(3)Q x y Px y x y ∂-∂=-⋅=∂∂⎡⎤-+⎣⎦,（6分）因此取折线AOB 为积分路径,有=+--++-=⎰⎰]]16)3[(d )3()4(d [0523240232x xx y y y GmM W GmM 103-.……（8分）。

高数期中测试题(1)

一、选择题1.xyz z xy u -+=32在)2,1,1(处沿方向角为3πα=，4πβ=，3πγ=方向导数为A．1B．2C．4D．52.=→x xy y x )sin(lim)1,0(),(A．1B．0C．y D．∞3.设L 为连接点()0,0与点(1,的直线段，则曲线积分2Ly ds =⎰A．1B.2C.3D.4.过点)2,3,1(-且与xoz 平面平行的平面方程为A.023=+-z y x B.1=x C.3-=y D.2=z 5.设222222,0(,)0,0xy x y x y f x y x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩,则(0,0)y f 等于A.不存在B.0C.1D.26.点)1,1,1(到平面0522=+++z y x 的距离=d A．310B．103C．3D．10.7.点)5,4,3(-所在直角坐标系的卦限是A．ⅡB．ⅣC．ⅥD．Ⅷ8.直线431232--=+=-z y x 与平面3=++z y x 的位置关系是A．平行，但直线不在平面上B．直线在平面内C．垂直D．相交9.曲面3z e z xy -+=在点(2,1,0)P 处的切平面方程是A．240x y +-=B．24x y z +-=C．240x y +-=D．250x y +-=10.设(2)(4)a b a b +⊥- ，(4)(2)a b a b +⊥- ，则a与b 间的夹角为A．3πB.34π C.2π D.6π11.111:325x y z L ---==-与641020x y z -+-=的位置关系为A．L 与π垂直 B.L 与π平行但L 在π上C.L 与π相交但不垂直 D.L 在π上12.下面四组角中，能作为某向量的方向角的为A．3,,443πππ B.,,334πππ C.,,643πππ D.,,466πππ13.20lim sin()x y yxy →→=A．12B.∞C.1D.214.设2sin()21z xy y =++，则22zx∂=∂A．22cos()y xy - B.42sin()y xy - C.22cos()y xy D.42cos()y xy -15.设22(1,232)z f x y x x y =--++-，则zy∂=∂A．12()f f ''-+ B.1223yf f ''-+ C.1222xf f ''+ D.1222xf f ''-16.曲面22z x y =+在(1,2,5)处的切平面方程是A．245x y z +-= B.21x y z ++=C.221x y z --= D.2414x y z -+=17.设L 为正向圆周226x y +=，则23(322)(421)Lx y y d x x x y d y -+++++=⎰A．4π B.4π- C.36πD.36π-18.设(5,,2),(,6,4)a x b y =-=平行，则,x y 的值分别为A．1,2 B.3,10-- C.3,4D.10,3--二、填空题1.设1:25120x y z π+-+=与2:432x y m z π++=垂直，则m =.2.22:0y x L z ⎧=⎨=⎩绕x 轴旋转一周所形成的旋转曲面方程为.3.设215tanz x y e y -=+，则(1,0)z x∂=∂.4.222(,,)36f x y z x y z =+++在1,1,1（）处方向导数的最大值为.5.设Γ为用平面0x y z ++=截球面2222x y z R ++=所得的圆周，若从x 轴的正方向看，圆周是逆时针方向．则曲线积分d d d y x z y x z Γ++=⎰ .6.(1)11x z y =++在(1,1)处的全微分(1,1)dz=.7.设L 为抛物线2y x =介于(0,0)和2)之间的一段弧，则L=⎰.8.∑为1x y z ++=在第一卦限的部分，则dS ∑=⎰⎰．9．设l 为任意一条分段光滑的闭曲线，则22lxydx x dy +=⎰ .10．设)ln(22y x z +=，则=dz .11．向量a 的两方向余弦为31cos =α，32cos =β6=，则a 的坐标为.12．交换积分()⎰⎰-2120,y dx y x f dy 的积分次序后为.13．平面0522=++-z y x 与xoy 面的夹角为.14．函数221y x z --=的极大值为.15．已知2e 610y xy x ++-=,则(0)y ''=.16．设Ω是由球面2221x y z ++=围成的闭区域，则Ω=.三、计算题1．一平面过点(1,0,1)-且平行于向量(2,1,1)a =- 与(1,1,2)b =- ，求此平面的方程.2.求过点()4,2,0且与两平面12=+z x 和23=-z y 平行的直线方程．3．求22(,)22f x y x y y x =++-的极值.4.设u t uv z cos 2+=，t e u =，t v ln =，求全导数dtdz．5．如果L 为摆线sin 1cos x t ty t=-⎧⎨=-⎩上从点()2,0A π到点()0,0B 的一段弧，求曲线积分231(3)(sin )3x L x y xe dx x y y dy ++-⎰.6.计算二重积分ln D⎰⎰，其中{}22(,)14D x y x y =≤+≤.7．计算⎰⎰Ddxdy xy 22，其中D 由抛物线x y =2及直线2-=x y 围成.8.求曲面积分2,SI yzdzdx dxdy =+⎰⎰其中S 是球面2224x y z ++=外侧在0z ≥的部分.9.计算曲面积分xdydz ydzdx zdxdy ∑++⎰⎰ ，其中∑是介于0=z 和3=z 之间的圆柱体229x y +≤的整个表面的外侧.四、综合题1.要做一个容积为V 的圆柱形封闭容器，问此圆柱形的底面半径r 和高h 分别为多少时，才能使表面积最小？2.某城市2008年的人口密度(,)p x y =其中坐标原点为市中心，(,)x y 表示城市中的一点，单位：km，人口密度单位：2km 万人,试求距市中心2km 区域内的人口数.3.某公司计划造一无盖长方体水池，它的底部造价设计为每平方米180元，侧面造价设计为每平方米60元，长方体水池的总造价设计为2160元。

高等数学下学期期中考试试题

高等数学下学期期中考试试题(指挥类)一、填空题（每小题3分，共15分）1、设函数222(,,)161218x y z u x y z =+++，单位向量n = ，则(1,2,3)u n ∂=∂.2、设22)(),(yx x x y y x f +-=，则=→→),(lim 0y x f y x .3、设⎰-=xyt dt e y x f 02),(，则=∂∂+∂∂yf x f . 4、交换积分次序=+⎰⎰⎰⎰-6260222),(),(x x dy y x f dx dy y x f dx .5、设L 是以A （-1,0），B (-3,2)，C (3,0)为顶点的三角形区域的周界，且沿ABCA 方向，则积分⎰-+-=Ldy y x dx y x I )2()3(的值为 .二、选择题（每小题3分，共15分）1、函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=)0,0(),(,0)0,0(),(,),(22y x y x y x xyy x f 在（0,0）处（）.（A ）连续且偏导数存在；（B ）连续但偏导数不存在；（C ）不连续但偏导数存在；（D ）不连续且偏导数不存在． 2、设),(y x z z =由方程0),(=--bz y az x F 所确定，),(v u F 可微，a,b 为常数，则必有（）.（A ） 1=∂∂-∂∂y z b x z a；（B ）；1=∂∂+∂∂yzb x z a （C ）1=∂∂-∂∂x z a y z b；（D ）1=∂∂+∂∂yz a x z b ． 3、设有三元方程ln 1xzxy z y e -+=，根据隐函数存在定理，存在点(0,1,1)的一个邻域，在此邻域内该方程（）.（A ）只能确定一个具有连续偏导数的隐函数(,)z z x y =；（B ）可确定两个具有连续偏导数的隐函数(,)y y x z =，(,)z z x y =；（C ）可确定两个具有连续偏导数的隐函数(,)x x y z =，(,)z z x y =；（D ）可确定两个具有连续偏导数的隐函数(,)x x y z =,(,)y y x z =.4、极坐标下的累次积分cos 2(cos ,sin )d f r r rdr πθθθθ⎰⎰化为直角坐标下的累次积分是（）.（A ）⎰⎰-12),(y y dx y x f dy （B ）⎰⎰-10102),(y dx y x f dy（C ）⎰⎰1010),(dx y x f dy （D ）⎰⎰-102),(x x dy y x f dx5、设∑是平面4=++z y x 被圆柱面122=+y x 截去的有限部分，则⎰⎰∑yds 的值是（）（A ） 0 （B ）334 （C ）34 （D ）π 三、试解答下列各题（每小题6分，共30分） 1、设{}11,20|),(≤≤-≤≤=y x y x D ，求⎰⎰+Ddxdy yx21的值. 2、在椭球面122222=++z y x 上求一点P ，使得函数222),,(z y x z y x f ++=在点P 处沿着从A （1,1,1）到B （2,0,1）的方向导数具有最大值（不要求判别）.3、由曲面222x y z +=-与z =所围成立体为Ω, 其密度为1, 求Ω关于z 轴的转动惯量.4、设有流速场v xi yj zk =++, S 是以(0,0,0),(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)O A B C 为顶点的四面体的边界曲面的外侧, 求通过S 的流量.5、求球面2222R z y x =++被平面a z =及)0(R b a b z <<<=所夹部分的面积. 四、（8分）设),(y x z z =由方程0),(=-yz x y f 所确定的隐函数，其中f 具有对各个变量的二阶连续偏导数，求22xz ∂∂.五、（8分）证明：存在函数),(y x u 使得),()(ln )2(22y x du dy y x x dx y x x y =-++，并求该函数.六、（8分）计算σd y x a yx D⎰⎰+-+)(4122222，其中a 为正常数，D 是由22x a a y -+-=与x y =所围成的平面区域.七、（8分）求曲面积分⎰⎰∑++dS z y x )cos cos cos (333γβα，其中∑是由锥面222y x z +=在01≤≤-z 部分的上侧，γβαcos ,cos ,cos 是∑上任一点处法向量的方向余弦.八、（8分）一质量为M 的质点固定于椭圆1162522=+y x 的焦点（3,0）处，另一质量为m 的质点，沿椭圆正向由点A （5,0）到B (0,4)运动，试求引力所作的功.。

高数下期中试卷及参考答案

福建师范大学协和学院09－10学年第二学期09级高数Ⅰ 期中试卷试卷类别：闭卷考试时间：120分钟一、单项选择题（每小题3分，共18分）1、设直线方程为1111111122220,0A x B y C z D A B C D A D A x D +++=⎧⎨+=⎩、、、、、均不为零，则直线( C ). （A ）过原点（B ）平行x 轴（C ）垂直x 轴（D ）平行z 轴2、平面,a b为共线的单位向量，则它们的数量积a b ⋅= ( D )．（A ）1（B ）-1 （C ） 0 （D ）cos(,)a b ∧3、函数z f x y =(,)在点(,)x y 00处连续且偏导数存在是它在该点可微的( A ).（A ）必要而非充分条件（B ）充分而非必要条件（C ）充分必要条件（D ）既非充分又非必要条件4、设函数(,)f x y 在点()0,0的某邻域内有定义，且(0,0)3,(0,0)1x y f f ==-，则曲线(,)z f x y =在点()()0,0,0,0f 的一个法向量为( B ).（A ）()3,1,1- （B ）()3,1,1-- （C ）()1,0,3 （D ）()3,0,15、3322(,)339f x y x y x y y =+++-的极小值点是（ B ）.（A ）（-2，1）（B ）（0，1）（C ）（0，-3）（D ）（-2，-3） 6、设平面区域{}(,),,D x y a x a x y a =-≤≤≤≤{}1(,)0,D x y x a x y a =≤≤≤≤,则(cos sin )Dxy x y dxdy +=⎰⎰（ C ）.（A ）14cos sin D x ydxdy ⎰⎰ （B ）14(cos sin )D xy x y dxdy +⎰⎰（C ）12cos sin D x ydxdy ⎰⎰ （D ）0二、填空题（每题3分，共21分）1、极限00x y →→= 16- 2、函数2yz xe =在点(1,0)P 处沿东北方向的方向导数为23、直线 3212x ty t z t=+⎧⎪=-⎨⎪=+⎩与平面250x y z ++-=的夹角为 6π.4、设ln x z z y =，则dz = ()2z z dx dy x z y x z +++5、过点(3,1,2)-且与直线11211-+==-z y x 垂直相交的直线方程为31274x y z --==+－ 6、星形线33cos ,sin x a t y a t ==的全长为 6a7、交换二次积分1(,)dy f x y dx ⎰⎰的次序得2121(,)(,)x dx f x y dy dx f x y dy +⎰⎰⎰三、计算题（每小题8分,共56分）解 [][]210,2,(1cos )2dA a d θπθθ∈=+，从而 []()222220011(1cos )12cos cos 22A a d a d ππθθθθθ=+=++⎰⎰22220022211cos213112cos 2cos cos22222213132sin sin 22242a d a d a a πππθθθθθθθθθπ+⎛⎫⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎡⎤=⋅++=⎢⎥⎣⎦⎰⎰ 解设平面束方程：()540x y z x z λ+++-+=，即()()15140x y z λλλ+++-+=，从而()11,5,1n λλ+=-又平面48120x y z --+=的法线向量()21,4,8n --=从而 1212cos 42n n n n π⋅====⋅ 所以()2223131612225022724λλλλλ-=⇒-+=⇒=-+ 即平面：207120x y z ++-=又平面4x z -+的一个法线向量()31,0,1n =-则平面4x z -+与平面48120x y z --+=的夹角的余弦为32322n n n n ⋅==⋅ 即平面4x z -+满足条件. 所以，求过直线5040x y z x z ++=⎧⎨-+=⎩且与平面48120x y z --+=成4π角的平面为（１）207120x y z ++-= （２）4x z -+解 12yz f e f x ∂''=⋅+∂，()212121y y y z z f f f e f e f e x y y x y y y''∂∂∂∂∂∂⎛⎫'''==⋅+=⋅+⋅+ ⎪∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭()12111321232111312123,,yy y y y y f f f xe f f xe f y yzf xe f e f e f xe f x y''∂∂''''''''=⋅+=⋅+∂∂∂'''''''''∴=⋅+⋅+⋅+⋅+∂∂ 解设切点为()000,,M x y z ，取切向量12,,12n x y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，则0012,,12M n x y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭由已知，切平面平行于平面02=++z y x ，从而0012,,12Mnx y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭平行于平面02=++z y x 的法线向量()12,1,1n =所以 00000121211,23211y x x y z -===-⇒=-=-⇒=所以，切点()1,2,3--，()2,1,1Mn =---切平面方程：()()()21230x y z -+-+--=，即：210x y z +++= 法线方程：123211x y z ++-==---，即：1232x y z +=+=-解1 设(,,)x y z 为曲面22z x y =+上任一点，则目标函数：d ==；约束条件：22z x y =+将约束条件代入目标函数，化为无条件极值： d ==将绝对值内配方得，22222x x y y -+-+222211111117222222162164444x x y y x y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++-+-+=-+-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以，22117722x yd⎛⎫⎛⎫-+-+⎪ ⎪=≥=14x y==时取等号从而，求曲面22z x y=+与平面220x y z+--=之间的最短距离24d=解２设000(,,)x y z为曲面22z x y=+上任一点，则过该点的曲面的一个法向量()002,2,1n x y=-，当过该点的切平面与平面220x y z+--=平行时，可得最短距离即：()()002,2,1//1,1,2n x y=--000002211111248x yx y z-⇒==⇒==⇒=-，从而，所求的点为111,,448⎛⎫⎪⎝⎭则所求的最短距离7d====解曲线22z x=绕x轴旋转得旋转曲面：()222222y z x x y z+=⇔=+222224;510x y z x y z=⇒+==⇒+=投影法：将Ω投影在yOz面上，22:41002,25yzDy z r xθπ≤+≤⇔≤≤≤≤≤≤所以()522222()yzDy z dv y z dx dydzΩ⎡⎤+=+⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰()2222233126yzDy zdydz d rdrπθπ=+=⋅=⎰⎰⎰解2xyDA=，其中曲面方程：z=则x x z z ===()2222:211,02c o s22xy D x y x x yr ππθθ+≤⇔-+≤⇔-≤≤≤≤所以，2cos 20224816xyD A d rdr πθπθπ-===-⎰⎰⎰⎰分) 分析函数(,)f x y 在()00,x y 处可微()()()()()()00000000,,,,x y z f x x y y f x y dz O f x y x f x y y O ρρ⇔∆=+∆+∆-=+=∆+∆+ ()()()()0lim,,,,limx y x y z dzf x x y y f x y f x y x f x y y ρ∆→∆→∆→∆→∆-⇔+∆+∆--∆+∆== 证明 ()()()()()()22001sin 0,00,010,0limlim lim sin0x x x x x f xf x f x xxx ∆→∆→∆→∆+∆-∆===∆⋅=∆∆∆同理，()0,00y f =()()()()002222lim,0,00,00,0lim1sinlim1limx y x y x y x y z dzf x y f f x f y x y x y x y ρ∆→∆→∆→∆→∆→∆→∆→∆→∆-∴∆∆--∆+∆=⎡⎤∆+∆⎣⎦∆+∆===∆+∆ 证毕.。

高等数学期中模拟试题3套

∂u ∂x
A= x+
1 y2 + z2
(1,0,1) = 1/ 2 ；
∂u ∂y
A= x+
1
⋅
y2 + z2
y y2 + z2
(1,0,1) = 0 ；
∂u ∂z
A= x+
1
⋅
y2 + z2
z y2 + z2
(1,0,1) = 1/ 2
而 l = AB = (2,−2,1), 所以 l o = ( 2 ,− 2 , 1) ,故在 A 点沿 l = AB 方向导数为： 3 33
x2 + y2 =ε 2
6. 解：解：补上 ∑1 : z = 0 (x2 + y2 ≤ 4) 下侧。……………………2 分
∫∫ y2dzdx + zdxdy = ∫∫ y2dzdx + zdxdy − ∫∫ y2dzdx + zdxdy..............2分
∑
∑ + ∑1
∑1
= ∫∫∫ (2 y +1)dxdydz − 0............................................3分 Ω
3
3
→
6．解：连接 OA ，由 Green公式得：
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ I = + − =
−
L
OA
OA
L +OA
OA
Green公式
=
∫∫ (e x cos y − e x cos y + m)dxdy + 0
x2 + y2 ≤ax, y≥0
= 1 mπa 2 8

高数大一下语文期中试卷

一、选择题（每题2分，共20分）1. 下列词语中，没有错别字的一项是：A. 青涩岁月B. 风和日丽C. 腹背受敌D. 惊心动魄2. 下列句子中，没有语病的一项是：A. 这次比赛，他表现出了惊人的毅力，赢得了观众的一致好评。

B. 为了实现自己的梦想，他每天晚上都加班到很晚。

C. 他不仅学习成绩好，而且体育能力强。

D. 这个故事让我们明白了，只有团结一致，才能战胜困难。

3. 下列词语中，与“无私奉献”意思相近的一项是：A. 无私无欲B. 无私无畏C. 无私无求D. 无私无怨4. 下列句子中，使用了比喻修辞手法的一项是：A. 他像一颗永不生锈的螺丝钉，坚守在自己的岗位上。

B. 那片湖泊宛如一面镜子，映出了天空的美丽。

C. 她的声音像春风一样温暖人心。

D. 他走得很快，仿佛一阵风。

5. 下列词语中，属于“四字成语”的一项是：A. 一丝不苟B. 气喘吁吁C. 一帆风顺D. 欣欣向荣6. 下列句子中，使用了“排比”修辞手法的一项是：A. 这本书让我感受到了生活的美好、快乐和温馨。

B. 她不仅聪明，而且勤奋，还非常善良。

C. 天空飘着朵朵白云，小鸟在枝头欢快地歌唱。

D. 他热爱祖国，关心集体，乐于助人。

7. 下列词语中，与“坚持不懈”意思相近的一项是：A. 坚持不懈B. 坚定不移C. 坚守阵地D. 坚如磐石8. 下列句子中，使用了“拟人”修辞手法的一项是：A. 那棵老树仿佛在诉说着岁月的故事。

B. 小草在春风的吹拂下茁壮成长。

C. 太阳公公从东方升起。

D. 他瞪大了眼睛，紧紧地盯着屏幕。

9. 下列词语中，属于“形容词+名词”结构的一项是：A. 茂密的森林B. 美丽的风景C. 高兴的心情D. 快乐的时光10. 下列句子中，使用了“夸张”修辞手法的一项是：A. 他跑得像兔子一样快。

B. 那本书厚得像砖头。

C. 这个苹果大得能装下一个篮球。

D. 那座山高得能顶到天。

二、填空题（每空2分，共20分）1. 下列词语中，填入空白处使句子完整的是：（）A. 他（）地工作，终于完成了任务。