高数下期中考试

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南昌航空大学高数(下)期中考试试题及答案1

.____________x )1,1,1(1y )xy arcsin()1y (x z .1轴的倾角是处的切线对上点曲线⎩⎨⎧=-+= 4:π解 .41a r c t a n ,1)]xy arcsin(0x [dx d )1,x (f x π==θ=⋅+=故 ,e z .2xy=设.__________dz)2,1(=则)dy dx 2(e :2+-解.e x1e y z,e 2)xy (e xz 2)2,1(xy )2,1(2)2,1(2xy)2,1(=⋅=∂∂-=-=∂∂._________,4z 31y x t z ,t y ,t x .332则切点的坐标是的切线平行于平面已知曲线=++===)1,1,1(:--解.1z ,1y ,1x 1t 0t t 21n T },31,1,1{n },t 3,t 2,1{T 22-==-=⇒-=⇒=++=⋅==.____________2z )y x (214z .422于所围成的立体的体积等与面曲面=+-=π4:解ππθπ402)8(2)212()21212(]2)(214[42202022222=-=-=--=-+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰r r rdr r d dxdyy x dxdy y x V xyxy D D则平面所围成的闭区域与是上半球面设,xoy )0z (1z y x .5222≥=++Ω.______zdxdydz =⎰⎰⎰Ω4:π解.44r 2s i n 2dr sin r cos r d d zdxdydz 1042022010220π=⋅ϕπ=ϕ⋅ϕϕθ=πππΩ⎰⎰⎰⎰⎰⎰则曲线积分的交线与平面是球面设,0z y x R z y x .62222=++=++Γ._________z y x ds222=++⎰Γ π2:解 .2R 2R 1R ds π=π⋅==∴⎰Γ原式._________)x (f ,xoy dy )x (f dx ye .7x =-+则分平面上是某函数的全微在设 )y (e :x ϕ+-解 .)y (e )x (f e )x (f )x (f x Q ,e y P x x x ϕ+-=⇒='⇒'-=∂∂=∂∂).B ()0,0()0,0()y ,x (,0)0,0()y ,x (,y x xy2z .822处在点函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=A ．A ．连续可导B ．不连续，可导C ．连续不可导D ．不连续不可导极限不存在解∴+=+→=→,k 1k2y x xy 2lim :2220kx y 0x .0)y ,0(z ,0)0,x (z y x ==).C ()1,1,2(B )1,1,2(A z xy 2u .92方向的方向导数为指向点在点处沿点函数---=35.A 37.B 310.C 2.D}2,2,1{B A ,2z 2z u,4x 2y u ,2y 2x u :A A A A A A -=-=-=∂∂==∂∂-==∂∂ 解,32c o s ,32c o s ,31c o s -===γβα.310)32()2(324312l u =-⋅-+⋅+⋅-=∂∂故).B (rdr )sin r ,cos r (f d .1012可以写成极坐标下的二次积分⎰⎰θθθπ⎰⎰-2yy 01dx)y ,x (f dy .A⎰⎰-2y101dx)y ,x (f dy .B ⎰⎰--2x1011dy)y ,x (f dx .C⎰⎰-2xx 01dy)y ,x (f dx .D.y 1x 01y 01r 020:2⎩⎨⎧-≤≤≤≤⇒⎪⎩⎪⎨⎧≤≤π≤θ≤解 11．设以O(0,0),A(1,1),B(1,-1)为顶点的三角形薄板上任意一点处的密度等于这点到原点的距离的平方，则薄片的质量M=（ B ）。

大学高数期中考试试卷

大学高数期中考试试卷一、选择题（每题2分，共20分）1. 函数f(x)=\(\frac{1}{x}\)在x=0处：A. 连续B. 可导C. 不连续D. 可积2. 若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则：A. 必存在最大值B. 必存在最小值C. 必存在零点D. 以上都不对3. 微分方程\(\frac{dy}{dx} + y = e^x\)的解是：A. \(y = e^x - xe^x\)B. \(y = e^x + ce^{-x}\)C. \(y = e^x - ce^x\)D. \(y = e^x\)4. 曲线y=x^3在点(1,1)处的切线斜率是：A. 0B. 1C. 3D. 无法确定5. 函数\(\sin(x)\)的原函数是：A. \(x\)B. \(\cos(x)\)C. \(-\cos(x)\)D. \(\sin(x)\)6. 若f(x)在区间(a,b)内可导，则f(x)在该区间内：A. 必定单调递增B. 必定单调递减C. 必定连续D. 以上都不对7. 曲线y=\(\sqrt{x}\)与直线x=4所围成的面积是：A. \(\frac{16}{3}\)B. \(\frac{32}{3}\)C. \(\frac{64}{3}\)D. \(\frac{128}{3}\)8. 函数\(\ln(x)\)的泰勒展开式是：A. \(x - 1 + \frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{3}x^3 + \cdots\)B. \(x + \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{3}x^3 + \cdots\)C. \(x - \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{3}x^3 - \cdots\)D. \(\frac{1}{x} - \frac{1}{2x^2} + \frac{1}{3x^3} -\cdots\)9. 若\(\int_{0}^{1} f(x)dx = 2\)，则\(\int_{0}^{1} x f(x)dx\)的值是：A. 0B. 1C. 2D. 无法确定10. 函数\(\frac{1}{1+x^2}\)的不定积分是：A. \(\ln(1+x^2)\)B. \(\arctan(x)\)C. \(\ln|x|\)D. \(\ln|x+1|\)二、填空题（每空1分，共10分）1. 若\(\frac{dy}{dx} = 3x^2\)，则\(dy\) = __________。

同济大学高等数学(下)期中考试试卷

同济大学高等数学（下）期中考试试卷1一.填空题（每小题6分） 1.有关多元函数的各性质：（A ）连续；（B ）可微分；（C ）可偏导；（D ）各偏导数连续，它们的关系是怎样的？若用记号“X ⇒Y ”表示由X 可推得Y ，则（）⇒（）⇒⎩⎨⎧)()(.2.函数),(y x f 22y xy x +-=在点)1,1(处的梯度为，该点处各方向导数中的最大值是 .3.设函数),(y x F 可微，则柱面0),(=y x F 在点),,(z y x 处的法向为，平面曲线⎩⎨⎧==00),(z y x F 在点),(y x 处的切向量为 .4.设函数),(y x f 连续，则二次积分=⎰⎰1sin 2),(xdy y x f dx ππ.(A)⎰⎰+ππydxy x f dy arcsin 1),(； (B)⎰⎰-ππydxy x f dy arcsin 10),(； (C) ⎰⎰+ydxy x f dy arcsin 1),(ππ；(D)⎰⎰-ydxy x f dy arcsin 1),(ππ.二.（6分）试就方程0),,(=z y x F 可确定有连续偏导的函数),(x z y y =，正确叙述隐函数存在定理.三.计算题（每小题8分）1.设),(y x z z =是由方程0),(=--z y z x f 所确定的隐函数，其中),(v u f 具有连续的偏导数且0≠∂∂+∂∂v f u f ，求y z x z ∂∂+∂∂的值.2.设二元函数),(v u f 有连续的偏导数，且1)0,1()0,1(==v u f f . 又函数),(y x u u =与),(y x v v =由方程组⎩⎨⎧-=+=bv au y bvau x （022≠+b a ）确定，求复合函数)],(),,([y x v y x u f z =的偏导数),(),(a a y x x z=∂∂，),(),(a a y x y z =∂∂.3.已知曲面221y x z --=上的点P 处的切平面平行于平面122=++z y x ，求点P 处的切平面方程.4计算二重积分：⎰⎰Dd y xσsin，其中D 是以直线x y =，2=y 和曲线3x y =为边界的曲边三角形区域.5.求曲线积分⎰-++L dy y x dx y x )()(2222，L 为曲线|1|1x y --=沿x 从0增大到2的方向.五.（10分）球面被一平面分割为两部分，面积小的那部分称为“球冠”；同时，垂直于平面的直径被该平面分割为两段，短的一段之长度称为球冠的高. 证明：球半径为R 高为h 的球冠的面积与整个球面面积之比为R h 2:.六.（10分）设线材L 的形状为锥面曲线，其方程为：t t x cos =，t t y sin =，t z =（π20≤≤t ），其线密度z z y x =),,(ρ，试求L 的质量.七.（10分）求密度为μ的均匀柱体122≤+y x ，10≤≤z ，对位于点)2,0,0(M 的单位质点的引力.同济大学高等数学（下）期中考试试卷2一.简答题（每小题8分）1.求曲线⎪⎩⎪⎨⎧+=+=-=t z t y t t x 3cos 12sin 3cos 在点⎪⎭⎫ ⎝⎛1,3,2π处的切线方程.2.方程1ln =+-xze y z xy 在点)1,1,0(的某邻域内可否确定导数连续的隐函数),(y x z z =或),(x z y y =或),(z y x x =？为什么？3.不需要具体求解，指出解决下列问题的两条不同的解题思路：设椭球面1222222=++c z b y a x 与平面0=+++D Cz By Ax 没有交点，求椭球面与平面之间的最小距离.4.设函数),(y x f z =具有二阶连续的偏导数，3x y =是f 的一条等高线，若1)1,1(-=y f ，求)1,1(x f .二.（8分）设函数f 具有二阶连续的偏导数，),(y x xy f u +=求y x u∂∂∂2.三.（8分）设变量z y x ,,满足方程),(y x f z =及0),,(=z y x g ，其中f 与g 均具有连续的偏导数，求dx dy.四.（8分）求曲线⎩⎨⎧=--=01,02y x xyz 在点)110(，，处的切线与法平面的方程. 五.（8分）计算积分）⎰⎰Dy dxdy e 2，其中D 是顶点分别为)0,0(.)1,1(.)1,0(的三角形区域.六.（8分）求函数22y x z +=在圆9)2()2(22≤-+-y x 上的最大值和最小值. 七.（14分）设一座山的方程为2221000y x z --=，),(y x M 是山脚0=z 即等量线1000222=+y x 上的点.（1）问：z 在点),(y x M 处沿什么方向的增长率最大，并求出此增长率；（2）攀岩活动要山脚处找一最陡的位置作为攀岩的起点，即在该等量线上找一点M 使得上述增长率最大，请写出该点的坐标.八.（14分）设曲面∑是双曲线2422=-y z （0>z 的一支）绕z 轴旋转而成，曲面上一点M 处的切平面∏与平面0=++z y x 平行. （1）写出曲面∑的方程并求出点M 的坐标；（2）若Ω是∑.∏和柱面122=+y x 围成的立体，求Ω的体积.。

高数下册期中试卷语文答案

一、选择题（每题5分，共20分）1. 下列函数中，可导函数是：A. y = |x|B. y = x^2C. y = x^(1/3)D. y = x^(-1)答案：B解析：可导函数的定义是，对于函数y=f(x)，如果对于定义域内的任意一点x，都存在一个唯一的切线，那么这个函数就是可导的。

在选项中，只有B项y = x^2是可导的，因为它的导数存在。

2. 若函数f(x)在区间[a, b]上连续，在(a, b)内可导，且f'(a) = f'(b)，则：A. f(x)在[a, b]上单调递增B. f(x)在[a, b]上单调递减C. f(x)在[a, b]上至少有一个极值点D. f(x)在[a, b]上没有极值点答案：C解析：根据罗尔定理，如果一个函数在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)内可导，且在区间端点处的导数相等，那么至少存在一个点c∈(a, b)，使得f'(c) = 0。

因此，f(x)在[a, b]上至少有一个极值点。

3. 下列极限中，正确的是：A. lim(x→0) (sinx/x) = 1B. lim(x→0) (1/x^2) = ∞C. lim(x→∞) (lnx/x) = 0D. lim(x→∞) (e^x/x) = ∞答案：D解析：选项A中的极限是洛必达法则的应用，但这里直接用洛必达法则是不恰当的，因为洛必达法则适用于“0/0”或“∞/∞”型的极限。

选项B和C中的极限都是无穷大或无穷小，不符合常规极限的定义。

选项D中的极限可以通过直接代入或洛必达法则求解，得到结果为∞。

4. 设f(x) = x^3 - 3x，则f'(x) = _______。

答案：3x^2 - 3解析：根据导数的定义，对函数f(x)求导，得到f'(x) = 3x^2 - 3。

5. 设f(x) = e^x - 2x，则f'(x) = _______。

答案：e^x - 2解析：同样根据导数的定义，对函数f(x)求导，得到f'(x) = e^x - 2。

高数期中考试题目及答案

高数期中考试题目及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 函数f(x)=x^3-3x+1的导数f'(x)为：A. 3x^2 - 3B. 3x^2 + 3C. x^3 - 3D. x^3 + 3答案：A2. 极限lim(x→0) (sin x) / x的值为：A. 0B. 1C. -1D. 2答案：B3. 定积分∫(0 to 1) (2x + 1) dx的值为：A. 1B. 2C. 3D. 4答案：C4. 微分方程dy/dx = 2x的通解为：A. y = x^2 + CB. y = 2x + CC. y = x + CD. y = 2x^2 + C答案：B二、填空题（每题5分，共20分）1. 函数f(x)=x^2-4x+3的极值点为______。

答案：22. 函数f(x)=e^x的n阶导数为______。

答案：e^x3. 函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6的拐点为______。

答案：24. 函数f(x)=ln(x)的定义域为______。

答案：(0, +∞)三、解答题（每题10分，共60分）1. 求函数f(x)=x^3-3x^2+2x-1的一阶导数和二阶导数。

答案：一阶导数f'(x)=3x^2-6x+2；二阶导数f''(x)=6x-6。

2. 计算定积分∫(0 to π) sin(x) dx。

答案：23. 解微分方程dy/dx - 2y = e^(2x)。

答案：y = (1/3)e^(2x) + C4. 求函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6的极值。

答案：极小值点x=2，极小值f(2)=3；极大值点x=3，极大值f(3)=4。

5. 证明函数f(x)=x^3+3x^2-3x-1在区间(-1,1)内单调递增。

答案：略6. 求函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6的凹凸性。

答案：二阶导数f''(x)=6x-6，令f''(x)>0得x>1，令f''(x)<0得x<1，故函数在(-∞, 1)上凹，在(1, +∞)上凸。

高等数学(下册)期中考试题及答案

高等数学（下册）期中考试20110504一、填空题（每小题4分，共计40分）1、已知三点 A(1,0,2)，B(2,1,-1)，C(0,2,1)，则三角形ABC 的面积为。

2、已知曲面224y x z --=在点P 处的切平面平行于平面0122=-++z y x ，则点P 的坐标是。

3、函数),(y x f z =在),(00y x 处可微的充分条件为 , 必要条件为。

4、设方程az z y x 2222=++确定函数),(y x z z =，则全微分dz 。

5、设⎰⎰=202),(x xdy y x f dx I ，交换积分次序后，=I 。

6、设∑是曲面22y x z +=介于1,0==z z 之间的部分，则曲面面积为。

7、⎰=+Lds y x )(22 ，其中222:a y x L =+。

8、设Ω为曲面0,122=--=z y x z 所围成的立体，如果将三重积分⎰⎰⎰Ω=dv z y x f I ),,(化为先对z 再对y 最后对x 三次积分，则I= 。

9、设Ω：,0,1222≥≤++z z y x 若将三重积分⎰⎰⎰Ω=zdV I 在球面坐标系下化为三次积分,则I= 。

10、设Ｌ是椭圆周1422=+y x 的正向，则曲线积分⎰+-L y x ydxxdy 224= 。

二、求解下列问题（共计14分） 1、（7分）求函数)ln(22z y x u ++=在点A （1, 0，1）沿A 指向点B （3，-2，2）的方向的方向导数。

2、（7分）已知函数(,)f u v 具有二阶连续偏导数，(1,1)2f =是(,)f u v 的极值，(,(,)).z f x y f x y =+, 求2(1,1).zx y∂∂∂三、求解下列问题（共计16分）1、（8分）计算⎰⎰⎰Ω+++=3)1(z y x dvI ，其中Ω是由0,0,0===z y x 及1=++z y x 所围成的立体域。

2、（8分）设)(x f 为连续函数，定义⎰⎰⎰Ω++=dv y x f z t F )]([)(222，其中{}222,0|),,(t y x h z z y x ≤+≤≤=Ω，求dtdF 。

高等数学(下)期中考试题及答案

2010 年4月高数A （下）期中考试试题答案班级姓名学号一、填空题（每空3分，共30分）1．设()2,z x y f x y =++-且当1y =时，23z x =+，则()f x =21x +。

2．设()222z y f x y =+-，其中()f u 可微，则z zyx x y∂∂+=∂∂2xy 。

3．设z u xy =，则()1,2,2d u =4d 4d 4ln 2d x y z ++。

4．设(),z z x y =由222x x y z yf y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭所确定，其中f 为可微函数，则zy∂=∂'22x x x f f y y y y z ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。

5．曲面222315x y z ++=在点()1,1,2-处的切平面方程是412290x y z -++-=。

6．设函数cos u xy z =，则在点()2,1,0M -处的()div grad u = 2 。

7．设曲面222236,x y z n ++=是曲面上点()1,1,1P 处指向外侧的法线向量，函数u =P 点处沿方向n的方向导数 117 。

8．若交换积分次序，则()1320d ,d y y f x y x -=⎰()()()21133201d ,d d ,d x x x f x y y x f x y y -+⎰⎰⎰⎰。

9．设L 为封闭曲线22143x y +=，其周长为a ，则()22234d L x y s ++=⎰ 14a 。

10. 设()()222d 23d 3d z xy x x x y y =+++，则z =233x y x y C +++。

二、(10分 ) 设()2ln ,,z f x y x y f =-具有二阶连续偏导数，求2zx y∂∂∂。

解：()''''1212'2""""111122122'"""1111222ln ,2,ln 221ln 2ln 2.z z xf y f f yf x y yf z x x y f f y f yf x y y y y x y x f f y y f yf y y y ∂∂=+=-∂∂⎡⎤∂=++-+-⎢⎥∂∂⎣⎦⎛⎫=++-- ⎪⎝⎭三、（10分）计算()2d x y z S ∑++⎰⎰, 其中∑是球面2222R z y x =++中满足0,0x y ≥≥及0z ≥的那部分曲面块，R 为正数。

《高等数学下》期中试题参考答案

《高等数学下》期中试题参考答案一．填空题 (每小题3分，共21分)1．lim x →0⎰ 0x 2sin 2tdt x 4 = lim x →02xsin 2x 4x 3 = lim x →0sin 2x 2x 2 = 12. 2．⎰-11 x 2+sinx 1+x 2dx = ⎰-11x 21+x 2dx +⎰-11sinx 1+x 2dx = 2⎰01x 21+x 2dx +0=2⎰01(1-11+x 2)dx=2-2arctanx|01=2-π/2 3．⎰-∞+∞dx x 2+2x+2 = ⎰-∞+∞d(x+1)(x+1)2+1= arctan(x+1)|-∞+∞ =π/2 – (-π/2) = π 4．空间曲线 ⎩⎨⎧ z=2-x 2-y 2 z=x 2+y 2在XOY 平面上的投影为 ⎩⎨⎧x 2+y 2=1z=0 5．设z = ln(x+lny) , 则 1y ∂z ∂x - ∂z ∂y = 1y •1x+lny - 1/y x+lny= 0 6．交换 ⎰ 04 dy ⎰y 2 f (x,y)dx 积分次序得 ⎰02 dx ⎰0x 2f (x,y)dx7．设f(x)是连续函数，且⎰ 0x 3-1f (t)dt =x ，则 f (7) = 。

两边求导得到 f(x 3-1)3x 2=1，将x=2代入得到 f(7)=1/12二。

单项选择题（在每小题的四个备选答案中选出一个正确答案，并将正确答案的序号填在题中的括号内。

每小题3分，共18分。

）8. 下列等式正确的是（C ）Ａ、d dx ⎰a b f(x)dx=f(x) Ｂ、d dx ⎰f(t)dt=f(x) Ｃ、d dx ⎰ax f(t)dt=f(x) Ｄ、⎰f '(x)dx=f(x) 正确的关系式为：Ａ、d dx ⎰a b f(x)dx=0 Ｂ、d dx ⎰f(t)dt=0 Ｃ、d dx⎰a x f(t)dt=f(x) Ｄ、⎰f '(x)dx=f(x)+C 9. 设⎰0x f(t)dt = 12f(x)- 12，且f(0)=1，则 f(x)= （ A ） A 、e 2x B 、12e x C 、e x 2 D 、12e 2x 两边求导得到f(x)= 12f '(x) , 只有 f(x)= e 2x 10. 已知函数 f (x+y, xy) = x 2+y 2 ，则 ∂f(x,y)∂x + ∂f(x,y)∂y= （ B ） A 、2x+2y B 、2x – 2 C 、2x – 2yD 、2x + 2f (x+y, xy) = (x+y)2-2xy , f(u,v)=u 2-2v, 所以 f(x,y)=x 2-2y=x 2+y 2 ∂f(x,y)∂x + ∂f(x,y)∂y=2x-2 11. 二元函数 z = x 2 +y 2+4(x-y)的极小值为 ( D )A 、8B 、-12C 、16D 、-8∂z ∂x =2x+4, ∂z ∂y=2y-4, z 的极小值点为(-2,2)，z = x 2 +y 2+4(x-y)的极小值为 –8 12. 下列广义积分收敛的是（ C ）Ａ、⎰1+∞—— dx 4x 3 Ｂ、⎰e +∞lnx x dx Ｃ、⎰ 01—— dx 3xＤ、⎰e +∞dx x lnx 利用常用广义积分的指数判别法 ⎰ 01—— dx3x 收敛13. f(x,y)=ln x 2 -y 2 则 ∂2f(x,y)∂x ∂y =（C ） A 、x 2-y 2(x 2-y 2)2 B 、y 2-x 2(x 2-y 2)2 C 、2xy (x 2-y 2)2D 、- 2xy (x 2-y 2)2 因为 ∂f(x,y)∂x =1x 2 -y 2 •2x 2x 2 -y 2 =x x 2-y 2 ，所以 ∂2f(x,y)∂x ∂y =2xy(x 2-y 2)2三。

高数下期中考试

高等数学〔下册〕期中考试汇编<2013-5-5>一、解答下列各题〔70107=⨯'分〕1. 设xyz yxxy u e +-=,求(1,2,0)d z 2. 设曲线为32()(,,)r r t t t t ==,求它在对应于1=t 的点处的切线方程和法平面方程.3. 设有球面14222=++z y x ,求它在)1,2,3(处的切平面方程和法线方程.4. 设由方程0932222=--+++z xy z y x 可确定),(y x z z =,求yx z∂∂∂2在)1,2,1(-P 处的值.5. 设积分区域Ω由抛物面22y x z +=与平面0>=h z 所围成.求2d z v Ω⎰⎰⎰ 6. 计算二重积分⎰⎰+-=Dy x I σd )1(22,其中D 是由222a y x =+和ax y x =+22与0=x 所围在第一象限的区域. 7. 计算二重积分⎰⎰⎰⎰+=y yxy y xyx y x y I d e d d e d 121212141.8. 在圆锥面22y x h Rz +=与)0,0(>>=h R h z 所围的锥体内作一个底面平行于xoy 面的最大长方体,求此长方体的体积.9. 在一个侧面为旋转抛物面224y x z +=的容器内装有)(cm 83π的水,现注入)(cm 1283π的水,问水面比原来升高多少？10. 求向量值函数f 的导数,其中[].)sin(,e ,cos Tx xz y y x =f二、设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+y x f z y x ,e ,其中具有二阶连续偏导数,求.2y x f∂∂∂三、讨论函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠+++=0,00,1sin )(),(22222222y x y x y x y x y x f 在)0,0(点是否连续,是否可微. 四、设Ω是由曲面222y x a z --=与)0(22>-+=a a y x z 围成的空间立体,求Ω对oz 轴的转动惯量.z I五、设)(t f 在),0[+∞上连续,且满足方程⎰⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=Ωv y x f z t f d 211)(222,其中Ω是由不等式2224,0t y x h z ≤+≤≤所确定,求).(t f<2012-4-21>一．填空题〔每小题5分,共20分〕1．曲线2t x =,2,y t z t ==上相应于2=y 的点处的切线方程是2．xyz u arctan=在点)1,0,1(A 处沿点A 指向点)2,2,3(-B 方向的方向导数为 3．曲面01),,(322=+-++=z y xy x z y x F ,在点)6,1,2(-M 处的切平面方程为4．若函数y xy ax x y x f 22),(22+++=在点)1,1(-处取得极值,则常数=a二．计算下列各题〔每小题9分,共54分〕1〕计算dx xxe dy I yx sin )1(11⎰⎰+=2〕计算二重积分⎰⎰+D dxdy y x 22sin ,22224:ππ≤+≤y x D 3〕设),(22x y x f x z =,其中f 具有连续的二阶偏导数,求x z ∂∂和22x z∂∂4〕求椭球面123222=++z y x 被平面0=++z y x 截得的椭圆长半轴与短半轴之长. 5．在曲面1=++z c y b x a )0,0,0(>>>c b a 上作切平面,使该切平面与三坐标面所围成的体积最大,求切点的坐标.6．设函数)](1[),(22y x yf x y x F ++=,其中)(u f 二阶可导,① 求yx F x F ∂∂∂∂∂2,,② 求二重积分⎰⎰=Ddxdy y x F I ),(,其中D 是由3,1,1y x y x ===-围成的平面区域.三. <9分><学习工科数学分析者作<1>,其余作<2>>1〕设有二元向量值函数⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=xy y x y x f 2),(22 ,试求f 在点)1,1(处的导数与微分. 2>．设),(y x f z =,由0=+---zy x xey x 所确定,求dz 四．〔11分〕讨论函数32),(y x y x f =在点)0,0(处是否连续,偏导是否存在,是否可微？五．〔6分〕已知)(22y x u u +=有连续二阶偏导数,且满足222222y x yu x u +=∂∂+∂∂试求函数u 的表达式.<2011-4-23>一、填空题〔每小题5分共20分〕 1．函数)2sin(ln e ),(y x y x f x-=,在)0,4(π点处的全微分=z d .2．设22z xy u -=,则u 在点)1,1,2(-处的方向导数的最大值为.3．设有椭球面12222=++z y x ,则它在点)21,21,21(-处的切平面方程为4．设),(y x z z =由方程yzz x ln =所确定,则=∂∂22x z二．单选题〔每小题5分,共20分〕1．在曲线⎪⎩⎪⎨⎧=-==32t z t y tx 的所有切线中,与平面42=++z y x 平行的切线〔〕A ．只有1条B ．只有2条C ．只有3条D 不存在2．22201limcos()d d x y r De x y x y r π-→+=⎰⎰〔〕. 其中.:222r y x D ≤+ A ．π B ．1/π C ．1 D ．1-3．设),(y x f 连续,⎰⎰=ex y y x f x I 1ln 0d ),(d 交换积分次序后为〔〕A ．⎰⎰=ex x y x f y I 1ln 0d ),(d B ．⎰⎰=eey x y x f y I 1d ),(dC ．⎰⎰=x ex y x f y I ln 01d ),(d D ．⎰⎰=1d ),(d eey x y x f y I4．函数22222222sin 2(),0(,)0,0x y x y x y f x y x y ⎧++≠⎪+=⎨⎪+=⎩在点)0,0(处〔〕 A ．无定义 B ．连续 C ．有极限但不连续 D ．无极限三、〔10分〕设函数),(v u f 可微,),(y x z z =是由方程),(yz xz f xy z =+确定的可微函数,求,z zx y∂∂∂∂. 四、〔10分〕讨论函数(,)f x y =在)0,0(处连续性、可导性、可微性.五、〔10分〕在曲面222:y x z +=∑上求一点),,(000z y x p ,使它到平面062:=++-z y x π的距离最短.六、〔10分〕计算 24 212d d d d 22xxxI x y x y yyππ=+⎰⎰.七、〔10分〕计算二重积分.4:,d d sin222222ππ≤+≤+⎰⎰y x D y x y x D八、<4分><学习工科数学分析者作<1>,其余作<2>><1> 求向量值函数(,,)(cos ,,sin())x Tf x y z x y ye xz =的Jacobi 矩阵.<2> 求函数2(,2,3)z f x x y x y =+-的梯度<f 的偏导存在>.九. 〔6分〕求抛物面221z x y =++的一个切平面,使得它与抛物面与圆柱22(1)1x y -+=围成的体积最小,试写出切平面方程并求出最小体积.<2010-5-8>一、填空题〔每小题4分,共20分〕 1 设xyz yxxy u e +-=,则=)0,2,1(d z . 2 设⎪⎩⎪⎨⎧===t z t y t x 23,则它在1=t 所对应点处的切线方程为.3 设222lnz y x u ++=,则=)1,1,1(grad f .4 设22z xy u -=,则u 在点)1,1,2(-处沿方向⎭⎬⎫⎩⎨⎧=31,31,31l的方向导数为. 5 计算2222()d x y R x y σ+≤+⎰⎰.二、计算题〔每小题7分,共63分〕1 求曲面122-+=y x z 在点)4,1,2(的切平面方程和法线方程.2 计算⎰⎰-+-221111d sin d y yx xxyy . 3 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=x y x xf z 2,2,其中f 具有二阶连续偏导数,求y x z ∂∂∂2.4 讨论函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0,00,),(222222y x y x y x xyy x f 在点)0,0(的偏导数与可微性.5 设有形状为旋转抛物面的一容器,其中心轴截面与容器的截线方程为2y x =,现将长为l 的细棒AB 置于容器之中,试求细棒中点的最低位置<设1l <>.6 <学工科数学分析者作<1>,其他作<2>><1>求向量值函数T2222221),ln(),sin(⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡++-=z y z x y x f 在点T )1,1,1(处的导数.<2>求由方程05242222=-+-+-z x z y x 所确定的隐函数z 的二阶偏导数22xz ∂∂.7 计算二重积分⎰⎰+Dy x σd 22,其中}0,0,42|),{(22≥≥≤+≤=y x y x x y x D .8 若二元函数),(y x z 在xoy 平面上的任意一个有界闭区域内存在一阶连续的偏导数,且⎰⎰⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛-∂∂=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂D D y x z x x z xz y x x z d d 2d d 222,求函数),(y x z . 9 设函数()f t 在[0,)+∞上连续,且满足方程22224π4()e d d t x y t f t f x y +≤=+⎰⎰,求()f t .三、讨论题〔共17分〕1.计算二元函数(,)z f x y =在点00(,)P x y 处对x 的偏导数00(,)x f x y 时,可以先将0y y =代入(,)f x y 中,再求一元函数0(,)f x y 在0x 处对x 的导数,即0000(,)(,)x x x df x y f x y dx ==,为什么?2.试通过讨论函数224(,)128f x y x xy y =-+的极值点,来说明当点(,)x y 在过000(,)M x y 的任一直线L 上变动时,二元函数(,)f x y 都在000(,)M x y 处取得极值,能否断定该函数在000(,)M x y 处取得极值?〔2009-4-26〕一、填空题〔每小题3分,共15分〕1．若函数y xy ax x y x f 22),(22+++=在点)1,1(-处取得极值,则常数=a .2． )ln(e 2y x z x+=-,沿}0,1{=l 方向的方向导数=∂∂lz . 3．曲线2tan ,sin ,cos tz t y t x ===在点)1,1,0(处的切线方程是.4．交换二次积分的积分次序〔其中),(y x f 为连续函数〕=+⎰⎰⎰⎰-xx y y x f x y y x f x 20211d ),(d d ),(d 2.5．设)2,1,1(-M 是曲面),(y x f z =上的一点,若3)1,1(=-x f ,在任一点),(y x 处有),(),(),(y x f y x yf y x xf y x =+,则曲面在M 处的切平面方程是.二、单项选择题〔每小题3分,共15分〕1. 函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0,00,4),(222222y x y x yx xy y x f 在原点)0,0(间断的原因是),(y x f 〔〕 A. 在原点无定义 B. 在原点极限存在但在原点无定义C. 在原点极限不存在D. 在原点极限存在,但极限不等于原点的函数值 2. 函数10232),(22+--=y x xy y x f 在点)0,0(O 处〔〕A. 取得极大值B. 取得极小值C. 无极值D. 不能判定是否取得极值3. 设yxu arctan=则=)1,1(grad u 〔〕 A. 21B. 21-C. 11(,)22-D. 11(,)22-4. 设)(u f 是连续函数,平面区域)1|(|10:2≤-≤≤x x y D ,则⎰⎰+Dv y x f d )(22〔〕A.⎰⎰-+210221d )(d x y y x f x B.⎰⎰-+2102210d )(d y x y x f yC. ⎰⎰120d )(d ρρρθπf D.⎰⎰120d )(d ρρθπf5.比较⎰⎰+=Dy x I σd )(21与⎰⎰+=Dy x I σd )(32的大小,其中{}22(,)|(2)(2)2D x y x y =-+-≤,则〔〕A. 21I I =B. 21I I >C. 21I I ≤D. 21I I ≥三、解答题〔每小题8分,共64分〕1. 设22ln arctan y x xy z +-=,求x z ∂∂和y x z ∂∂∂2.2. 求曲面2=++z y x 上任一点处的切平面与三个坐标轴的截距之和.3. 计算二重积分⎰⎰+13102d 1d xy yxyx .4. 设y x t F Dy x d d e )(22sin ⎰⎰+=,其中222{(,)|}D x y x y t =+≤,求t t F t )(lim 2'→π.5. 讨论函数⎪⎩⎪⎨⎧+≠+++=22222222,001sin )(),(y x y x y x y x y x f 在原点)0,0(处的可微性.6. 设有一物体,它是由曲面22y x z +=和228y x z --=所围成,已知它在任意的点),,(z y x 处的密度z =μ,求此物体的质量m .7. <学习工科数学分析者作①,学习工科数学分析者作②>①求向量值函数⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=22),(y xy x y x f 的导数.② 设函数),(y x z z =由方程0),(2222=--z y y x F 所确定.其中(,)F u v 可微,0v zF ≠,求yz x x z y∂∂+∂∂. 8. 设),(xyx f z =,其中f 具有二阶连续偏导数,求z d 与y x z ∂∂∂2.四、综合题〔6分〕在第一卦限内作旋转抛物面221y x z --=的切平面,使得该切平面与旋转抛物面)0,0(122≥≥--=y x y x z 与三个坐标面所围成的立体的体积最小,求切点坐标.<2008.4.26>一.解答下列各题<每小题7分,共70分>1. 设2(,)arcsin ,y f x y x=求(,)df x y . 2. 设由方程0932222=--+++z xy z y x 可确定),(y x z z =,求(1,2,1)z x -∂∂,)1,2,1(2-∂∂∂y x z.3. 求曲面122-+=y x z 在点<2,1,4>的切平面与法线方程. 4. 求曲线2(sin ,,2)0r t t t t ==在时的切线与法线方程. 5. 设f 连续,交换积分次序2111(,)ydy f x y dx -⎰⎰.6. 计算二重积分.2222(sin 1)x y a x y dxdy +≤++⎰⎰7. 设空间立体Ω是由抛物面22y x z +=与平面0>=h z 所围成,已知它的密度为2),,(z z y x f =.试计算它的质量. 8. 求22z xy u -=在点(2,1,1)- 处的方向导数的最大值. 9. 求曲线(cos ,sin ,)r a t a t kt =的曲率. 10.〔学工科数学分析者做①,其它做②〕① 设,),(),(22Txy e y x y x f +=求)1,1(),1,1(df Df② 设方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧-==+22222vu xy uvy x ,确定了函数),(y x u u =和),(y x v v = 求x v x u ∂∂∂∂,. 二. 〔8分〕设),,(2xy y x f z =其中(2)f C ∈, 求y x z x z ∂∂∂∂∂2,. 三. 〔8分〕设⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0,00,),(2222222y x y x y x y x y x f ,试研究),(y x f 在<0,0>点处的连续性、可微性.四. 〔7分〕求曲面221z x y =++在点0(1,1,3)M -的切平面与曲面22z x y =+所围立体的体积..五. 〔7分〕设函数(,,)f x y z 在闭球体222:3x y z Ω++≤上有连续的偏导数,且满足条件：①在Ω内1,1,1f f fx y z∂∂∂===-∂∂∂, ②(1,1,1)11f =. 试求函数(,,)f x y z 并证明7(,,)13,(,,)f x y z x y z ≤≤∀∈Ω<20##>一、解答下列各题〔每小题7分,总计70分〕1、设(2,)z f x y xy =+,其中f 具有一阶连续偏导数,求dz .2、设arctan y z x=-求2z x y ∂∂∂.3、求曲面228xy z z+=,在0(2,2,1)M 处的切平面和法线方程.4、设22[,]xy Tf x y e =+,求(1,1),(1,1)Df df .〔求332233f x y x y =+--的极值〕5．求曲线22260x y z x y z ⎧++=⎨++=⎩在(1,2,1)-处的切线和法平面方程.6．若()f r 为可微函数,其中r =计算grad ()f r .7．在直角坐标系下,交换二次积分20(,)aa xa dx f x y dy -⎰⎰的积分次序.〔0,a f >连续〕.8．设有一物体由曲面z =和z =,已知它在任意一点(,,)M x y z 处的密度z μ=,求此物体的质量.9．一质量分布均匀〔密度为常数〕的物体Ω由曲面2222,1z x y x y =++=与0z =所围成,求此物体的质心坐标.10．计算212y xdx e dy ⎰.二、〔8分〕设(,)z z x y =由方程222()zx y z yf y++=确定,其中f 具有一阶连续偏导数,求z z yx x y∂∂-∂∂. 三、〔8分〕设222,(,)(0,0)(,)0,(,)(0,0)x yx y f x y x y x y ⎧≠⎪=+⎨⎪=⎩,试讨论f 在点<0,0>处的连续性和可微性.四、〔8分〕在第一卦限内作旋转抛物面221z x y =-+的切平面,使得该切平面与旋转抛物面221(0,0)z x y x y =-+>>与三个坐标面所围成的立体的体积最小,求切点的坐标.五、〔6分〕设(,)f x y 在单位圆221x y +≤上有连续的一阶偏导数,且在边界上取值为零,证明：2201(0,0)lim2x y Dxf yf f dxdy x y επ→+-=+⎰⎰,其中D 为圆环域2221x y ε≤+≤. <20##>一、解答下列各题〔每小题7分,总计70分〕1、设(,2,)z f x x y xy =+,其中f 具有一阶连续偏导数,求dz .2、设()yz f xy x=+,其中f 具有二阶连续偏导数,求22z x ∂∂3、求曲线2(){,,31}r t t t t =--上一点处与平面24x y z ++=平行的切平面方程. 4、求曲面222522z x y ++=的平行于平面221x y z ++=的切平面方程. 5、交换二次积分的积分次序：240(,)yydy f x y dx -⎰⎰.6、计算212y xdx e dy ⎰7、设()f u 是连续函数,试将2xdx f dy ⎰⎰在极坐标系下为二次积分.8、设函数(,,)6f x y z xy zx zy x y z =++---+,问在点(3,4,0)M 处沿怎样的方向l ,f 的变化率最大？并求此最大变化率. 9、计算二重积分22()Dx y dxdy +⎰⎰,其中D 为222x y x +=所围平面区域.10、〔注学习工科分析基础的作〔1〕,其余作〔2〕（1）证明等式21ln 2()()2Df xy dxdy f u du =⎰⎰⎰,其中D 是由直线,2y x y x ==与双曲线1,2xy xy ==所围成的位于第一象限的闭域.（2）把正数a 分成三个正数,,x y z 之和,并使23(,,)f x y z xy z =取得最大值.二、〔8分〕设222(,)z y f x y xy =-其中f 具有二阶连续偏导数,求2zx y∂∂∂.三、〔8分〕从平面薄圆板22(1)1x y +-≤的内部挖去一个园孔2211()24x y +-≤后,得到一个薄板,若其上名点处的密度为μ=求此薄板的质量.四、〔7分〕证明：(,)(0,0)(,)0,(,)(0,0)x y f x y x y ≠==⎩在点<0,0>处偏导数存在但不可微..五、〔7分〕若点0000(,,)M x y z 是光滑曲面(,,)0F x y z =上与原点距离最近的点,试证过点0M 的法线必定过坐标原点.<20##>一、解答下列各题〔每小题6分,总计12分〕1、求曲线ct z t b y t a x ===,sin ,cos 在点⎪⎪⎭⎫⎝⎛c b a 6,2,23π处的切线方程.2．将202(,)(,)RRR I dx f x y dy dx f x y dy =+⎰⎰化为极坐标系中先对r 后对θ的二次积分.二、解答下列各题〔每小题6分,总计12分〕1．在曲线223,2,t z t y t x ===上求点,使该点处曲线的切线平行于平面1478=-+z y x . 2、求曲面323=++z xz y x 在点<1,1,1>处的切平面方程. 三、〔8分〕计算⎰⎰-+=Ddxdy y xI |2|22,其中3:22≤+y x D .四、〔7分〕设()[()],()0g y z f x f x =>,其中g f ,为可微函数,求yzx z ∂∂∂∂,. 五、〔7分〕设函数),(s t f 具有连续的一阶偏导数,而)(xyz z y x f u ，++=,求du .六、〔7分〕证明：⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=)0,0(),(,0)0,0(),(,),(422y x y x y x xy y x f 在点<0,0>处不连续,但存在一阶偏导数.七、〔9分〕在椭球面196222=++z y x 上求距离平面2881243=++z y x 的最近点和最远点. 八、〔9分〕设)(),(x z z x y y ==是由方程()z xf x y =+和0),,(=z y x F 所确定的函数,其中f 和F分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数,求dxdz.九、〔9分〕设球体)0(2222>≤++a az z y x 中每点的质量密度与该点到坐标原点的距离平方成反比.试求该球体的质量与质心.十、〔9分〕试求正数λ的值,使得曲面λ=xyz 与曲面1222222=++cz b y a x 在某点相切.十一、〔8分〕设由0,ln ==y x y 与e x =所围的均匀薄板〔密度1=μ〕求此薄板绕哪一条垂直于x 轴的直线旋转时转动惯量最小？<20##>一、解答下列各题<每小题5分,总计15分>1、设j i a += ,k j i b 4 -+=, c i j =-,求c b a ⋅⨯)(.2、求曲线t z t y t x sin ,cos ,2===在点)22,22,16(2π处的切线方程. 3、设),(y x f 为连续函数,交换累次积分⎰⎰x xdy y x f dx 2 2),(的积分次序.二、解答下列各题<每小题6分,总计12分>1、试求平行于x 轴,且过点)2,1,3(-与)0,1,0(的平面方程.2、试求曲面32=+-xy e z z在点)0,2,1(处的切平面方程.三、<8分>设区域D 由x y x y x 2,12222≤+≤+与0≥y 所确定,计算二重积分⎰⎰+=Dd y x I σ22.四、<7分>设⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+=y x y x y x f arccos )1(),(,五、<7分>六、<7分>,且和两直线,1141:1--==z y x l2124:2-=-=-z y x l 都相交,求该直线的方程. 七、<9分>.八、<9分>设x y z e x z y x f u ysin ,0),,(),,,(2===ϕ,其中ϕ,f 具有一阶连续的偏导数,且0≠∂∂zϕ,求.dxdu 九、<9分>计算由曲面222,0,1,x y z y y x z ===+=围成的曲顶柱体的体积.十、<9分>求函数222z y x u ++=在点)3,0,1(-M 处沿椭球面11832222=++z y x 外法线方向的方向导数.十一、<8分>设),(y x f x '在),(00y x 点处连续,),(00y x f y '存在,试证),(y x f 在),(00y x 点处可微.<20##>一、解答下列各题<每小题6分,共60分>1．求向量p ,使其与}3,2,4{=a与}3,1,0{=b 都垂直,模为26,且与y 轴成钝角. 2．求过点)2,1,0(),1,0,1(21-M M 且垂直于平面0=++z y x 的平面方程.3．一直线在xoz 坐标面上,且通过原点,又垂直于直线152132-=-+=-z y x ,求它的对称式方程.4．设),(y x f z =,其中)(x y y =由方程0),(=y x φ确定,而φ,f 具有连续的一阶偏导数,且0≠'y φ, 求.dxdz5．设y x zcos )(ln =,求dz .6．求曲线⎩⎨⎧==21y x xyz 在)1,1,1(点处的切线和法平面方程. 7．求函数y x y xy x z +-+-=222极值.8．改变二次积分⎰⎰⎰⎰+--axa a xady y x f dx dy y x f dx 2),( ),( 0)0(>a 的积分次序,其中),(y x f 连续. 9．计算积分⎰⎰-+2202220)( x x dy y x dx .10．求函数z y x u ++=在点)1,0,0(M 处沿球面1222=++z y x 的外法线方向的方向导数.二、〔10分〕设函数),(yxxy f z =,其中),(v u f 具有二阶连续的偏导数,求y x z x z ∂∂∂∂∂2,. 三、〔10分〕试讨论函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠+= )0,0(),( 0)0,0(),(),(2222y x y x y x y x y x f 在)0,0(处的连续性与可微性.四、〔10分〕设半径为r 的球面)(1S 其球心位于定球面2222:)(a z y x S =++上,试求r 的值,使得球面)(1S 位于定球面)(S 内部的那一部分面积取得最大值.五、〔10分〕证明：抛物面122++=y x z 上任一点处的切平面与曲面22y x z +=所围成的立体的体积为一定值.。

高等数学(下)期中考试题及答案

f ( x, y ) d x + ∫ d y ∫ y 2 f ( x, y ) d x ．
0 2
v
2
2
二、记 x − y = u ， ln x = v ，则 x = e ， y = e − u ，代入右端，得
f (u , v ) =
即
u u −2 v e ， v
x x −2 y e ． y ∂f 1 + x x −2 y ∂f x(1 + 2 y ) x−2 y = e ， =− e ． y y2 ∂x ∂y
五、设 F ( x, y, z ) = xyz + λ ( x + y + z − 5r ) ，令
3 2 2 2 2
Fx = yz 3 + 2λ x = 0 , Fy = xz 3 + 2λ y = 0 , Fz = 3 xyz 2 + 2λ z = 0 , x 2 + y 2 + z 2 = 5r 2 ,
x +1 y − 3 z = = 相交 1 1 2
参考答案
一、
⎡ ⎤ 2x 2y 1． d z |(1,2) = ⎢ dx+ d y⎥ 2 2 2 2 1+ x + y ⎣1 + x + y ⎦ 1 2 = dx+ d y． 3 3
2 2
3 2 a ．因此 4
M = ∫∫∫ z d V = ∫∫ d x d y ∫
Ω
D
a2 − x2 − y 2 a− a2 − x2 − y2
zdz =
1 [ 2a a 2 − x 2 − y 2 − a 2 ] d x d y ∫∫ 2 D
a 5 1 2π d θ ∫ 2 [ 2 a a 2 − ρ 2 − a 2 ] ρ d ρ = πa 4 ． ∫ 0 2 0 24 G G 2 八、(1) τ = 1,−2t ,3t ， n = (0 , 3 , 2 ) ． G G 令 τ ⋅ n = 0 ，得 t1 = 0 ， t 2 = 1 ，即 G G τ 1 = (1 , 0 , 0 ) ， τ 2 = (1 , − 2 , 3 ) ．

大一下学期高等数学期中考试试卷及答案

大一下学期高等数学期中考试试卷及答案一、选择题（共40题，每题2分，共80分）1. 计算∫(4x-3)dx的结果是：A. 2x^2 - 3x + CB. 2x^2 - 3x + 4C. 2x^2 - 3x + 1D. 2x^2 - 3x答案：A2. 曲线y = 2x^3 经过点(1, 2)，则函数y = 2x^3的导数为：A. 2x^2B. 6x^2C. 6xD. 2x答案：D3. 若a,b为实数，且a ≠ 0，则 |a|b 的值等于：A. aB. abC. 1D. b答案：B4. 设函数f(x) = x^2 + 2x + 1，g(x) = 2x - 1，则f(g(-2))的值为：A. 19B. 17C. 16D. 15答案：C5. 已知√2是无理数，则2-√2是：A. 有理数B. 无理数C. 整数D. 分数答案：A二、填空题（共5题，每题4分，共20分）1. 设函数f(x) = 3x^2 - 2x + 1，则f'(1)的值为____。

答案：42. 已知函数f(x) = 4x^2 + ax + 3，若其图像与x轴有两个交点，则a的取值范围是____。

答案：(-∞, 9/4) ∪ (9/4, +∞)3. 三角形ABC中，AB = AC，角A的度数为α，则角B的度数为____。

答案：(180°-α)/24. 若函数y = f(x)在点x = 2处的导数存在，则f(x)在点x = 2处____。

答案：连续5. 若直线y = kx + 2与曲线y = x^2交于两个点，则k的取值范围是____。

答案：(-∞, 1) ∪ (1, +∞)三、解答题（共5题，每题20分，共100分）1. 计算∫(e^x+1)/(e^x-1)dx。

解：令u = e^x-1，则du = e^xdx。

原积分变为∫(1/u)du = ln|u| + C = ln|e^x-1| + C。

2. 求函数y = x^3 + 2x^2 - 5x的驻点和拐点。

同济大学高等数学（下）期中考试试卷

同济大学高等数学（下）期中考试试卷1一.填空题（每小题6分）1.有关多元函数的各性质：（A ）连续；（B ）可微分；（C ）可偏导；（D ）各偏导数连续，它们的关系是怎样的？若用记号“X ⇒Y ”表示由X 可推得Y ，则（）⇒（）⇒⎩⎨⎧)()(. 2.函数),(y x f 22y xy x +-=在点)1,1(处的梯度为，该点处各方向导数中的最大值是 .3.设函数),(y x F 可微，则柱面0),(=y x F 在点),,(z y x 处的法向为，平面曲线⎩⎨⎧==00),(z y x F 在点),(y x 处的切向量为 .4.设函数),(y x f 连续，则二次积分=⎰⎰1sin 2),(x dy y x f dx ππ . (A)⎰⎰+ππy dx y x f dy arcsin 10),(； (B) ⎰⎰-ππy dx y x f dy arcsin 10),(； (C)⎰⎰+y dx y x f dy arcsin 10),(ππ； (D) ⎰⎰-y dx y x f dy arcsin 10),(ππ.二.（6分）试就方程0),,(=z y x F 可确定有连续偏导的函数),(x z y y =，正确叙述隐函数存在定理.三.计算题（每小题8分）1.设),(y x z z =是由方程0),(=--z y z x f 所确定的隐函数，其中),(v u f 具有连续的偏导数且0≠∂∂+∂∂v f u f ，求y z x z ∂∂+∂∂的值.2.设二元函数),(v u f 有连续的偏导数，且1)0,1()0,1(==v u f f . 又函数),(y x u u =与),(y x v v =由方程组⎩⎨⎧-=+=bv au y bv au x （022≠+b a ）确定，求复合函数)],(),,([y x v y x u f z =的偏导数),(),(a a y x x z=∂∂，),(),(a a y x y z =∂∂.3.已知曲面221y x z --=上的点P 处的切平面平行于平面122=++z y x ，求点P 处的切平面方程.4计算二重积分：⎰⎰D d y x σsin ，其中D 是以直线x y =，2=y 和曲线3x y =为边界的曲边三角形区域.5.求曲线积分⎰-++Ldy y x dx y x )()(2222，L 为曲线|1|1x y --=沿x 从0增大到2的方向. 五.（10分）球面被一平面分割为两部分，面积小的那部分称为“球冠”；同时，垂直于平面的直径被该平面分割为两段，短的一段之长度称为球冠的高. 证明：球半径为R 高为h 的球冠的面积与整个球面面积之比为R h 2:.六.（10分）设线材L 的形状为锥面曲线，其方程为：t t x cos =，t t y sin =，t z =（π20≤≤t ），其线密度z z y x =),,(ρ，试求L 的质量.七.（10分）求密度为μ的均匀柱体122≤+y x ，10≤≤z ，对位于点)2,0,0(M 的单位质点的引力.同济大学高等数学（下）期中考试试卷2一.简答题（每小题8分）1.求曲线⎪⎩⎪⎨⎧+=+=-=t z t y t t x 3cos 12sin 3cos 在点⎪⎭⎫ ⎝⎛1,3,2π处的切线方程.2.方程1ln =+-xz e y z xy 在点)1,1,0(的某邻域内可否确定导数连续的隐函数),(y x z z =或),(x z y y =或),(z y x x =？为什么？3.不需要具体求解，指出解决下列问题的两条不同的解题思路：设椭球面1222222=++c z b y a x 与平面0=+++D Cz By Ax 没有交点，求椭球面与平面之间的最小距离.4.设函数),(y x f z =具有二阶连续的偏导数，3x y =是f 的一条等高线，若1)1,1(-=y f ，求)1,1(x f .二.（8分）设函数f 具有二阶连续的偏导数，),(y x xy f u +=求y x u∂∂∂2.三.（8分）设变量z y x ,,满足方程),(y x f z =及0),,(=z y x g ，其中f 与g 均具有连续的偏导数，求dx dy.四.（8分）求曲线⎩⎨⎧=--=01,02y x xyz 在点)110(，，处的切线与法平面的方程. 五.（8分）计算积分）⎰⎰D y dxdy e 2，其中D 是顶点分别为)0,0(.)1,1(.)1,0(的三角形区域. 六.（8分）求函数22y x z +=在圆9)2()2(22≤-+-y x 上的最大值和最小值. 七.（14分）设一座山的方程为2221000y x z --=，),(y x M 是山脚0=z 即等量线1000222=+y x 上的点.（1）问：z 在点),(y x M 处沿什么方向的增长率最大，并求出此增长率；（2）攀岩活动要山脚处找一最陡的位置作为攀岩的起点，即在该等量线上找一点M 使得上述增长率最大，请写出该点的坐标.八.（14分）设曲面∑是双曲线2422=-y z （0>z 的一支）绕z 轴旋转而成，曲面上一点M 处的切平面∏与平面0=++z y x 平行.（1）写出曲面∑的方程并求出点M 的坐标；（2）若Ω是∑.∏和柱面122=+y x 围成的立体，求Ω的体积.下面是古文鉴赏，不需要的朋友可以下载后编辑删除！！谢谢！！九歌·湘君屈原朗诵：路英君不行兮夷犹，蹇谁留兮中洲。

高数下期中试题及答案

高数下期中试题及答案高数下期中试题及答案高数的选择题，在推导和演算的基础上对选项做出选择。

下面是小编收集整理的高数下期中试题及答案，希望对您有所帮助！高数下期末试题《高等数学》试卷结构(一)考试内容与要求执行全国高校网络教育考试委员会于2010年制定的考试大纲相应部分，见《高等数学》(2010年修订版)。

(二)试卷分值试卷满分为100分。

(三)试题类型试题的类型全部为选择题，在推导和演算的基础上对选项做出选择。

每套试卷为20小题，每小题均为5分。

其中“二选一”共10道题，对命题作“正确”或“不正确”的选择。

“四选一”共10道题，在四个备选答案中选出一个符合题目要求的答案。

“四选一”的题目包括对运算结果的选择、对运算过程正确性的判定等多种形式。

(四)试题难度试题难度分为容易题、中等题和较难题，其分值比例为5:4:1。

(五)试题内容比例一元函数微积分约90%，常微分方程约10%。

(六)考试方式与时间考试方式为机考、闭卷。

考试时间为90分钟。

答卷时应该注意以下一些问题：1、要认真阅读试卷和试题的指导语，弄清答题的要求和方式。

要正确解答二选一的题，首先必须把有关知识弄清楚，其次还有必要掌握一定的解题方法。

以下是几种比较常用的解答二选一的`题的方法。

分析推理：即根据有关的数学知识，通过分析推理，作出判断。

计算求解：即根据题目的条件，通过计算等过程，求出正确答案，再作判断。

寻找反例：即从反面思考，看看是否存在与题目所说相反的情况。

如有，只要找出一个相反的例子，就能断定原题是错的。

假设验证：有些二选一的题，如果直接判断有困难，有时可以假设一个或几个具体的数，验证结论是否成立，再作出判断。

在实际解答二选一的题时，究竟选用哪种方法，要根据题目的具体特点来决定。

有些题目可以用不同的方法来判断，又有些题目可以把某两种方法结合起来判断。

四选一的题常用的方法有淘汰法和直接法：淘汰法的特点是，根据已学知识经过判断去掉不合题意者，剩下的一个就是正确的答案;直接法的特点是，根据已学知识经过推论或计算得出答案，以此答案对照各备选答案，相同者为正确答案，解题时找到一个正确答案后，剩下部分可以不再考虑。

高数下期中考试(10-11)试卷及解答

广东工业大学试卷用纸，共 4 页，第 1 页学院：专业：学号：姓名：装订线广东工业大学考试试卷 ( )课程名称: 高等数学（二）期中测验考试时间: 第周星期 ( 月日) 成绩:一、填空题（每题3分,共15分）1．已知{4,3,4}a =- 在向量{2,2,1}b =上的投影为=_ ２ ____。

2．曲线ttte z t e y t e x 2,sin ,cos ===在相应于0=t 的点处切线与Oz 轴夹角的正弦25sin 1cos 6αα=-=。

3．设10,1:≤≤≤y x D 。

则⎰⎰σ+Dyd y y x )cos (5＝32 。

4．已知曲面221z x y =--平行于平面2210x y z ++-=的切平面方程为_____2(1)2(1)10x y z -+-++=, （其中切点P 的坐标为(1,1,1)-）5. 设函数22),(y xy x y x f +-=，则),(y x f 在点)1,1(处沿变化率最大方向的方向导数为2 。

二、单选题：（每题4分,共20分）1．已知直线⎩⎨⎧=+--=--+072072z y x z y x 与平面0453=-+-z ky x 平行，则k 的值为（Ｄ）（A ） 16 (B) 17 (C) 32 (D)34 2. 改变积分次序后⎰⎰-2210),(x x xdy y x f dx = （Ｃ）。

(A) ⎰⎰-+xx dx y x f dy 21110),( (B)⎰⎰-+yydx y x f dy 21110),( (C )⎰⎰--yydx y x f dy 2111),( (D)⎰⎰+-yydx y x f dy 2111),(3．函数()()()()()⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=0,0,,00,0,,,22y x y x y x xy y x f 在点()0,0处（Ｃ）（Ａ）连续，偏导数存在；（Ｂ）连续，偏导数不存在；（Ｃ）不连续，偏导数存在；（Ｄ）不连续，偏导数不存在．广东工业大学试卷用纸，共 4 页，第 2 页4．设y x x z --=32，则它在点（1,0）处（Ｂ）（A ）取得极大值; (B)无极值;（C ）取得极小值; (D)无法判别是否有极值;5.设),(v u f 具有连续偏导，且x x x x x f ++=3422),(，122),(221+-='x x x x f ，则='),(22x x f （Ａ）（A ）1222++x x （B ）xx x 21322++（C ）1222+-x x （D ）1322++x x三、求解下列各题（每题6分，共24分）１．求极限)sin(11lim2320xy yx y x y x +-→→解：原式=lim()sin()x y x yx y x y xy →→-++00232211 3分=-++⋅→→limsin()x y x y xy xy0021115分=-126分2．已知(,)()xy z f xy g y x=+，其中f 具有二阶连续偏导数，g 具有二阶连续导数，求2zx y ∂∂∂．解:1221.()z y f y f g x y x∂'''=++-∂2121122232311zx y f f xyf f g g x yyyxx∂'''''''''=-+---∂∂．3．设),(y x z z =由方程⎪⎪⎭⎫⎝⎛=y z x z f x ,所确定，其中f 具有一阶连续偏导数，求z d 。

高等数学下学期期中考试试题

高等数学下学期期中考试试题(指挥类)一、填空题（每小题3分，共15分）1、设函数222(,,)161218x y z u x y z =+++，单位向量n = ，则(1,2,3)u n ∂=∂.2、设22)(),(yx x x y y x f +-=，则=→→),(lim 0y x f y x .3、设⎰-=xyt dt e y x f 02),(，则=∂∂+∂∂yf x f . 4、交换积分次序=+⎰⎰⎰⎰-6260222),(),(x x dy y x f dx dy y x f dx .5、设L 是以A （-1,0），B (-3,2)，C (3,0)为顶点的三角形区域的周界，且沿ABCA 方向，则积分⎰-+-=Ldy y x dx y x I )2()3(的值为 .二、选择题（每小题3分，共15分）1、函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=)0,0(),(,0)0,0(),(,),(22y x y x y x xyy x f 在（0,0）处（）.（A ）连续且偏导数存在；（B ）连续但偏导数不存在；（C ）不连续但偏导数存在；（D ）不连续且偏导数不存在． 2、设),(y x z z =由方程0),(=--bz y az x F 所确定，),(v u F 可微，a,b 为常数，则必有（）.（A ） 1=∂∂-∂∂y z b x z a；（B ）；1=∂∂+∂∂yzb x z a （C ）1=∂∂-∂∂x z a y z b；（D ）1=∂∂+∂∂yz a x z b ． 3、设有三元方程ln 1xzxy z y e -+=，根据隐函数存在定理，存在点(0,1,1)的一个邻域，在此邻域内该方程（）.（A ）只能确定一个具有连续偏导数的隐函数(,)z z x y =；（B ）可确定两个具有连续偏导数的隐函数(,)y y x z =，(,)z z x y =；（C ）可确定两个具有连续偏导数的隐函数(,)x x y z =，(,)z z x y =；（D ）可确定两个具有连续偏导数的隐函数(,)x x y z =,(,)y y x z =.4、极坐标下的累次积分cos 2(cos ,sin )d f r r rdr πθθθθ⎰⎰化为直角坐标下的累次积分是（）.（A ）⎰⎰-12),(y y dx y x f dy （B ）⎰⎰-10102),(y dx y x f dy（C ）⎰⎰1010),(dx y x f dy （D ）⎰⎰-102),(x x dy y x f dx5、设∑是平面4=++z y x 被圆柱面122=+y x 截去的有限部分，则⎰⎰∑yds 的值是（）（A ） 0 （B ）334 （C ）34 （D ）π 三、试解答下列各题（每小题6分，共30分） 1、设{}11,20|),(≤≤-≤≤=y x y x D ，求⎰⎰+Ddxdy yx21的值. 2、在椭球面122222=++z y x 上求一点P ，使得函数222),,(z y x z y x f ++=在点P 处沿着从A （1,1,1）到B （2,0,1）的方向导数具有最大值（不要求判别）.3、由曲面222x y z +=-与z =所围成立体为Ω, 其密度为1, 求Ω关于z 轴的转动惯量.4、设有流速场v xi yj zk =++, S 是以(0,0,0),(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)O A B C 为顶点的四面体的边界曲面的外侧, 求通过S 的流量.5、求球面2222R z y x =++被平面a z =及)0(R b a b z <<<=所夹部分的面积. 四、（8分）设),(y x z z =由方程0),(=-yz x y f 所确定的隐函数，其中f 具有对各个变量的二阶连续偏导数，求22xz ∂∂.五、（8分）证明：存在函数),(y x u 使得),()(ln )2(22y x du dy y x x dx y x x y =-++，并求该函数.六、（8分）计算σd y x a yx D⎰⎰+-+)(4122222，其中a 为正常数，D 是由22x a a y -+-=与x y =所围成的平面区域.七、（8分）求曲面积分⎰⎰∑++dS z y x )cos cos cos (333γβα，其中∑是由锥面222y x z +=在01≤≤-z 部分的上侧，γβαcos ,cos ,cos 是∑上任一点处法向量的方向余弦.八、（8分）一质量为M 的质点固定于椭圆1162522=+y x 的焦点（3,0）处，另一质量为m 的质点，沿椭圆正向由点A （5,0）到B (0,4)运动，试求引力所作的功.。

高数下期中试卷及参考答案

福建师范大学协和学院09－10学年第二学期09级高数Ⅰ 期中试卷试卷类别：闭卷考试时间：120分钟一、单项选择题（每小题3分，共18分）1、设直线方程为1111111122220,0A x B y C z D A B C D A D A x D +++=⎧⎨+=⎩、、、、、均不为零，则直线( C ). （A ）过原点（B ）平行x 轴（C ）垂直x 轴（D ）平行z 轴2、平面,a b为共线的单位向量，则它们的数量积a b ⋅= ( D )．（A ）1（B ）-1 （C ） 0 （D ）cos(,)a b ∧3、函数z f x y =(,)在点(,)x y 00处连续且偏导数存在是它在该点可微的( A ).（A ）必要而非充分条件（B ）充分而非必要条件（C ）充分必要条件（D ）既非充分又非必要条件4、设函数(,)f x y 在点()0,0的某邻域内有定义，且(0,0)3,(0,0)1x y f f ==-，则曲线(,)z f x y =在点()()0,0,0,0f 的一个法向量为( B ).（A ）()3,1,1- （B ）()3,1,1-- （C ）()1,0,3 （D ）()3,0,15、3322(,)339f x y x y x y y =+++-的极小值点是（ B ）.（A ）（-2，1）（B ）（0，1）（C ）（0，-3）（D ）（-2，-3） 6、设平面区域{}(,),,D x y a x a x y a =-≤≤≤≤{}1(,)0,D x y x a x y a =≤≤≤≤,则(cos sin )Dxy x y dxdy +=⎰⎰（ C ）.（A ）14cos sin D x ydxdy ⎰⎰ （B ）14(cos sin )D xy x y dxdy +⎰⎰（C ）12cos sin D x ydxdy ⎰⎰ （D ）0二、填空题（每题3分，共21分）1、极限00x y →→= 16- 2、函数2yz xe =在点(1,0)P 处沿东北方向的方向导数为23、直线 3212x ty t z t=+⎧⎪=-⎨⎪=+⎩与平面250x y z ++-=的夹角为 6π.4、设ln x z z y =，则dz = ()2z z dx dy x z y x z +++5、过点(3,1,2)-且与直线11211-+==-z y x 垂直相交的直线方程为31274x y z --==+－ 6、星形线33cos ,sin x a t y a t ==的全长为 6a7、交换二次积分1(,)dy f x y dx ⎰⎰的次序得2121(,)(,)x dx f x y dy dx f x y dy +⎰⎰⎰三、计算题（每小题8分,共56分）解 [][]210,2,(1cos )2dA a d θπθθ∈=+，从而 []()222220011(1cos )12cos cos 22A a d a d ππθθθθθ=+=++⎰⎰22220022211cos213112cos 2cos cos22222213132sin sin 22242a d a d a a πππθθθθθθθθθπ+⎛⎫⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎡⎤=⋅++=⎢⎥⎣⎦⎰⎰ 解设平面束方程：()540x y z x z λ+++-+=，即()()15140x y z λλλ+++-+=，从而()11,5,1n λλ+=-又平面48120x y z --+=的法线向量()21,4,8n --=从而 1212cos 42n n n n π⋅====⋅ 所以()2223131612225022724λλλλλ-=⇒-+=⇒=-+ 即平面：207120x y z ++-=又平面4x z -+的一个法线向量()31,0,1n =-则平面4x z -+与平面48120x y z --+=的夹角的余弦为32322n n n n ⋅==⋅ 即平面4x z -+满足条件. 所以，求过直线5040x y z x z ++=⎧⎨-+=⎩且与平面48120x y z --+=成4π角的平面为（１）207120x y z ++-= （２）4x z -+解 12yz f e f x ∂''=⋅+∂，()212121y y y z z f f f e f e f e x y y x y y y''∂∂∂∂∂∂⎛⎫'''==⋅+=⋅+⋅+ ⎪∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭()12111321232111312123,,yy y y y y f f f xe f f xe f y yzf xe f e f e f xe f x y''∂∂''''''''=⋅+=⋅+∂∂∂'''''''''∴=⋅+⋅+⋅+⋅+∂∂ 解设切点为()000,,M x y z ，取切向量12,,12n x y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，则0012,,12M n x y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭由已知，切平面平行于平面02=++z y x ，从而0012,,12Mnx y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭平行于平面02=++z y x 的法线向量()12,1,1n =所以 00000121211,23211y x x y z -===-⇒=-=-⇒=所以，切点()1,2,3--，()2,1,1Mn =---切平面方程：()()()21230x y z -+-+--=，即：210x y z +++= 法线方程：123211x y z ++-==---，即：1232x y z +=+=-解1 设(,,)x y z 为曲面22z x y =+上任一点，则目标函数：d ==；约束条件：22z x y =+将约束条件代入目标函数，化为无条件极值： d ==将绝对值内配方得，22222x x y y -+-+222211111117222222162164444x x y y x y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++-+-+=-+-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以，22117722x yd⎛⎫⎛⎫-+-+⎪ ⎪=≥=14x y==时取等号从而，求曲面22z x y=+与平面220x y z+--=之间的最短距离24d=解２设000(,,)x y z为曲面22z x y=+上任一点，则过该点的曲面的一个法向量()002,2,1n x y=-，当过该点的切平面与平面220x y z+--=平行时，可得最短距离即：()()002,2,1//1,1,2n x y=--000002211111248x yx y z-⇒==⇒==⇒=-，从而，所求的点为111,,448⎛⎫⎪⎝⎭则所求的最短距离7d====解曲线22z x=绕x轴旋转得旋转曲面：()222222y z x x y z+=⇔=+222224;510x y z x y z=⇒+==⇒+=投影法：将Ω投影在yOz面上，22:41002,25yzDy z r xθπ≤+≤⇔≤≤≤≤≤≤所以()522222()yzDy z dv y z dx dydzΩ⎡⎤+=+⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰()2222233126yzDy zdydz d rdrπθπ=+=⋅=⎰⎰⎰解2xyDA=，其中曲面方程：z=则x x z z ===()2222:211,02c o s22xy D x y x x yr ππθθ+≤⇔-+≤⇔-≤≤≤≤所以，2cos 20224816xyD A d rdr πθπθπ-===-⎰⎰⎰⎰分) 分析函数(,)f x y 在()00,x y 处可微()()()()()()00000000,,,,x y z f x x y y f x y dz O f x y x f x y y O ρρ⇔∆=+∆+∆-=+=∆+∆+ ()()()()0lim,,,,limx y x y z dzf x x y y f x y f x y x f x y y ρ∆→∆→∆→∆→∆-⇔+∆+∆--∆+∆== 证明 ()()()()()()22001sin 0,00,010,0limlim lim sin0x x x x x f xf x f x xxx ∆→∆→∆→∆+∆-∆===∆⋅=∆∆∆同理，()0,00y f =()()()()002222lim,0,00,00,0lim1sinlim1limx y x y x y x y z dzf x y f f x f y x y x y x y ρ∆→∆→∆→∆→∆→∆→∆→∆→∆-∴∆∆--∆+∆=⎡⎤∆+∆⎣⎦∆+∆===∆+∆ 证毕.。

高等数学期中模拟试题3套

∂u ∂x
A= x+
1 y2 + z2
(1,0,1) = 1/ 2 ；
∂u ∂y
A= x+
1
⋅
y2 + z2
y y2 + z2
(1,0,1) = 0 ；
∂u ∂z
A= x+
1
⋅
y2 + z2
z y2 + z2
(1,0,1) = 1/ 2
而 l = AB = (2,−2,1), 所以 l o = ( 2 ,− 2 , 1) ,故在 A 点沿 l = AB 方向导数为： 3 33
x2 + y2 =ε 2
6. 解：解：补上 ∑1 : z = 0 (x2 + y2 ≤ 4) 下侧。……………………2 分
∫∫ y2dzdx + zdxdy = ∫∫ y2dzdx + zdxdy − ∫∫ y2dzdx + zdxdy..............2分
∑
∑ + ∑1
∑1
= ∫∫∫ (2 y +1)dxdydz − 0............................................3分 Ω
3
3
→
6．解：连接 OA ，由 Green公式得：
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ I = + − =
−
L
OA
OA
L +OA
OA
Green公式
=
∫∫ (e x cos y − e x cos y + m)dxdy + 0
x2 + y2 ≤ax, y≥0
= 1 mπa 2 8